Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
2
ДНІПРОПЕТРОВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
ФІЛІПОВА ОЛЬГА СЕРГІЇВНА
УДК 539.3
ПЛОСКІ ЗАДАЧІ ДЛЯ СКЛАДЕНИХ
АНІЗОТРОПНИХ ТА П’ЄЗОЕЛЕКТРИЧНИХ ТІЛ
З ЗОВНІШНІМИ МІЖФАЗНИМИ ТРІЩИНАМИ
01.02.04 –механіка деформівного твердого тіла
АВТОРЕФЕРАТ
на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук
Дніпропетровськ
2007
Дисертацією є рукопис.
Робота виконана на кафедрі теоретичної та прикладної механіки
Дніпропетровського національного університету.
Науковий керівник
доктор фізико-математичних наук, професор
Лобода Володимир Васильович,
Дніпропетровський національний університет,
Міністерство освіти і науки України,
завідувач кафедри теоретичної та прикладної механіки.
Офіційні опоненти:
доктор фізико-математичних наук, професор
Камінський Анатолій Олексійович,
Інститут механіки ім. С. П. Тимошенка НАН України,
завідувач відділу механіки руйнування матеріалів;
доктор фізико-математичних наук, професор
Смирнов Сергій Олександрович,
Дніпропетровський національний університет,
Міністерство освіти і науки України,
декан економічного факультету ДНУ,
професор кафедри комп’ютерної обробки економічної інформації.
Провідна установа
Інститут прикладних проблем механіки і математики
ім. Я. С. Підстригача НАН України, відділ математичних методів
механіки руйнування та контактних явищ, м. Львів.
Захист відбудеться “22” червня 2007 року о 14 год. 30 хв. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 08.051.10 при Дніпропетровському національному університеті за адресою: м. Дніпропетровськ, просп. К. Маркса, 35, корпус 5, ауд. 85.
З дисертацією можна ознайомитись в науковій бібліотеці ДНУ за адресою:
, м. Дніпропетровськ, вул. Козакова, 8.
Відгук на автореферат просимо надсилати за адресою:
49050, м. Дніпропетровськ, вул. Наукова, 13, Дніпропетровський національний університет, вченому секретарю спеціалізованої вченої ради Д 08.051.10.
Автореферат розісланий “18” травня 2007 року.
Вчений секретар спеціалізованої вченої ради,
професор Дзюба А. П.
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми. Одна з основних задач механіки –це розрахунок на міцність конструкцій. Суттєвий вплив на міцність конструкції мають структурні дефекти. В реальних матеріалах конструкцій завжди присутні мікродефекти. Останні під впливом навантаження призводять до появи тріщин та їх росту, що може призвести до руйнування конструкції. Це явище в першу чергу властиве для крихких матеріалів. Тому дуже багато дослідників займалися проблемою міцності елементів конструкцій з тріщинами, практичними питаннями розрахунків конструкцій з дефектами. Основні результати дослідження напружено-деформівного стану (НДС) для тіл з тріщинами представлені в монографіях Камінського А. О., Кіта Г. С. і Хая М. В., Партона В. З. і Кудрявцева Б. А., Морозова М. Ф., Панасюка В. В., Попова Г. Я., Прусова І. А., Саврука М. П, Черепанова Г. П. та інших.
У наш час композитні матеріали широко використовуються в якості конструкційних матеріалів. Дослідження тріщин, котрі виникають на границі поділу різних складових композитних матеріалів (міжфазних тріщин) має велике значення, так як ці тріщини в більшості випадків призводять до руйнування конструкцій, виготовлених з таких матеріалів. В наш час існують дві основні математичні моделі міжфазних тріщин. Перша модель –це “відкрита”тріщина. Вона ще називається класичною (осциляційною) моделлю. Ця модель має суттєвий недолік –напруження та переміщення берегів тріщини біля її вершини мають осцилюючі особливості, що приводить до фізично нереального взаємопроникнення матеріалів. Вагомий внесок в дослідження міжфазних тріщин в рамках класичної моделі зробили Грілицький Д. В., Моссаковський В. І., Прусов І. А., Рибка М. Т., Сулим Г. Т., Черепанов Г. П., Clements D. L., Erdogan F., Rice J. R., Sih G. C., Ting T. C., Williams M. L. та інші. Другу, тобто контактну модель міжфазної тріщини вперше запропонувала Comninou М. В цій моделі вважається, що біля вершин тріщини береги контактують. Вона є більш складною, але дозволяє усунути недолік, пов’язаний з наявністю осцилюючої особливості біля вершини тріщини. Контактна модель досліджувалася в роботах Антипова Ю. В., Кіта Г. С., Лободи В. В., Мартиняка Р. М., Острика В. І., Симонова І. В., Смирнова С. О., Улітка А. Ф., Comninou М, Dundurs J., Gautesen A. K., Herrmann К. Р., Mai Y. W., Qin Q. H. та інших.
Внутрішні міжфазні тріщини вивчені на даний час досить повно як в класичній постановці, так і з врахуванням контакту берегів. У той же час міжфазні тріщини, що виходять на край тіла, досить часто зустрічаються на практиці, але їх дослідженню присвячено значно менше уваги ніж внутрішнім тріщинам. Тут слід назвати роботи Острика В. І. та Улітка А.Ф., Rice J. R. і Sih G. C., Erdogan F., де в рамках різних моделей аналізується напівнескінчена тріщина між двома ізотропними матеріалами. Слід зауважити, що якщо розмір тіла набагато більший характерного розміру області навантаження та її відстані до вершини крайової тріщини, то ефекти, які мають місце в околі вершин тріщини будуть співпадати з тими, які мають місце для випадку, коли границі тіла прямують до нескінченності. Тому в подальшому області для тіл з тріщинами будемо вважати нескінченими, а тріщини, що виходять на відповідний віддалений край тіла, коротко називати зовнішніми. Оскільки, як уже відзначалось, такі тріщини недостатньо вивчені навіть в рамках класичної моделі, то їх дослідження для анізотропних та п’єзоелектричних матеріалів є актуальним.
Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота проводилась згідно з індивідуальним планом підготовки аспіранта кафедри теоретичної та прикладної механіки Дніпропетровського національного університету та в межах науково дослідницьких тем: 06-168-00 “Аналіз незворотних процесів деформування та розробка методів розв’язку основних та змішаних задач теорії пружності, пластичності, стійкості та руйнування для однорідних та кусково-однорідних тіл”, номер державної реєстрації № 0100V005240, 2000–2 рр.; 7-062-03 "Дослідження проблем міцності, стійкості та руйнування кусково-однорідних ізотропних, анізотропних та п’єзоелектричних тіл з міжфазними дефектами", номер державної реєстрації № 0103U000578, 2003–рр.
Мета і задачі дослідження. Метою роботи є розвиток аналітичних методів та розв’язок плоских задач для зовнішніх міжфазних тріщин з зонами контакту під дією термомеханічного навантаження в анізотропному біматеріалі, а також дослідження зовнішньої електро-проникної та електроізольованої тріщини в п’єзоелектричному біматеріалі в полі електромеханічного навантаження.
Для досягнення сформульованої мети було поставлено та вирішено наступні задачі:
Об’єктом дослідження в роботі є кусково-однорідні анізотропні та п’єзоелектричні тіла з зовнішніми міжфазними тріщинами, зокрема такими, що мають зони контакту в околі їх вершин.
Предметом дослідження є розробка методів розрахунку і дослідження особливостей НДС в околі вершин зовнішніх міжфазних тріщин з врахуванням контакту їх берегів.
Методи дослідження. Першою складовою методики дослідження є побудова представлень компонент напружено-деформівного та електричного стану через кусково-голоморфні вектор-функції. Наступна складова базується на формулюванні та побудові точних аналітичних розв’язків задач лінійного спряження для різних моделей зовнішньої міжфазної тріщини. При чисельній реалізації одержаних результатів використані методи розв’язку трансцендентних рівнянь, а для апробації одержаних розв’язків –метод скінчених елементів.
Наукова новизна одержаних результатів.
В дисертаційній роботі одержані наступні нові результати:
Обґрунтованість і достовірність наукових результатів забезпечується використанням достовірних моделей, коректністю фізичної та математичної постановок граничних задач, застосуванням відомих, перевірених іншими дослідниками аналітичних методів, узгодженням одержаних результатів з окремими відомими розв’язками, а також з результатами чисельного аналізу.
Теоретичне й практичне значення одержаних результатів. Запропоновані методики дозволяють визначати напруження і стрибки переміщень, а також досліджувати коефіцієнти інтенсивності напружень та довжини зон контакту для міжфазних тріщин в анізотропних матеріалах під дією температурного поля й зосереджених сил, а також для п’єзоелектричних матеріалів у випадку електро-проникної та електроізольованої тріщин, що дає можливість робити висновки про тріщиностійкість кусково-однорідних матеріалів. Крім того, одержані результати дозволяють виявити реальну картину деформування зовнішньої міжфазної тріщини і дозволяють використати ці закономірності при конструюванні чисельних алгоритмів розв’язання задач з міжфазними тріщинами для біматеріальних тіл скінчених розмірів.
Апробація результатів дисертації. Окремі результати дисертаційної роботи доповідалися на:
У цілому дисертаційна робота обговорювалася на наукових семінарах кафедри теоретичної та прикладної механіки ДНУ та кафедри диференціальних рівнянь ДНУ, а також на семінарі відділу математичних методів механіки руйнування та контактних явищ Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, м. Львів.
Публікації. За матеріалами дисертації опубліковано 7 робіт. З них: 5 статей у наукових фахових виданнях, 2 тези доповідей.
Особистий внесок здобувача:
Основні результати були отримані автором самостійно. Співавтор робіт [1-3, 5-6] В. В. Лобода є науковим керівником дисертанта, тому з ним обговорювалися постановки розглянутих задач, здійснювався вибір методів дослідження та аналізувалися отримані результати.
Особисто О. С. Філіповій належать такі розглянуті в дисертаційній роботі і публікаціях наукові результати:
Структура дисертації. Дисертація складається зі вступу, трьох розділів, висновків і списку використаних джерел. Вона містить 136 сторінок машинописного тексту, 26 ілюстрацій, 26 таблиць, налічує 113 літературних джерел.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
У вступній частині обґрунтовано актуальність роботи як з теоретичної, так і з практичної точок зору, а також подано стислу характеристику дисертаційної роботи.
У першому розділі приводиться огляд літератури, присвяченої дослідженню міжфазних тріщин з відкритими берегами та з зоною їх контакту, котрі розташовані на лінії поділу двох різнорідних ізотропних, анізотропних чи п’єзоелектричних матеріалів.
Далі розглянуто анізотропний біматеріальний простір зі змішаними умовами в площині поділу матеріалів . Вважаючи, що всі компоненти НДС не залежать від координати одержано наступні представлення компонент НДС через кусково-голоморфні вектор-функції:
, (1)
де –вектор-функція комплексної змінної , яка аналітична у кожній півплощині, включаючи зчеплені ділянки інтерфейсу;, , –біматеріальна матриця, що визначається пружними характеристиками півпросторів, –означає стрибок функції при переході через інтерфейс.
Вводячи нову вектор-функцію де символ з рискою означає комплексне спряження, одержуємо такі представлення для компонент НДС:
, (2)
де. Очевидно, що функція аналітична у кожній півплощині, а також на тих відкритих ділянках лінії поділу матеріалів, на яких навантаження відсутні. Слід також відзначити, що співвідношення (1) і (2) забезпечують неперервність напружень при переході через інтерфейс. Ці співвідношення зручні для формулювання задач лінійного спряження при конкретних умовах на інтерфейсі.
Далі розглядаються крайові міжфазні тріщини в анізотропному біматеріалі (рис. 1). Вважається, що розмір тіла набагато більший, ніж довжина ділянки зчеплення і величини та . Тоді ефекти, які мають місце в околі вершин тріщин будуть співпадати з тими, які мають місце для випадку, коли границі тіла прямують до нескінченності. Тому в подальшому будемо вважати тіла нескінченними. Крім того, якщо значно менше ніж довжина зони зчеплення , то вплив лівої тріщини та її навантаження на ефекти, що виникають в околі вершини правої, буде незначним. Тому в подальшому будемо звертати основну увагу на праву тріщину і при її дослідженні враховувати лише навантаження на неї. При необхідності аналогічний аналіз може бути проведений і для лівої тріщини.
Спочатку поставлена задача розв’язується в класичній постановці. Тобто вважається, що два ортотропних півпростори зчеплені на ділянці , , а на іншій частині інтерфейсу , та , мають місце дві тріщини (рис. 1). Вважається також, що в точці , берегів правої тріщини діють зосереджені сили , які не змінюються вздовж координати . Тоді має місце плоска деформація в площині і у векторах і, а також у відповідних матрицях можна враховувати тільки дві перші компоненти. Умови на інтерфейсі мають вигляд:
, , , , , (3)
, ,. (4)
Виходячи з (2), можна записати:
(5)
Комбінуючи співвідношення (5), одержуємо:
, , (6)
де, , , , , , , , , , –компоненти матриці , –дійсні.
Задовольняючи умовам на інтерфейсі приходимо до такої задачі лінійного спряження для функції :
, , , , (7)
де.
Було отримано точний розв’язок цієї задачі і знайдено вираз для. Одержано також вирази для похідних від стрибків переміщень та напружень на лінії поділу матеріалів. Проводячи аналіз одержаних напружень для і стрибків переміщень для отримали, що вони при і, відповідно, нескінченну кількість разів змінюють знак, тобто для такої моделі тріщини має місце добре відома осцилююча особливість, що характеризується фізично нереальним взаємопроникненням матеріалів.
З метою усунення осцилюючої особливості розглянута уточнена модель правої тріщини. Поблизу її вершини введемо область гладкого контакту берегів , з заздалегідь невідомим положенням точки (рис. 2). Умови на інтерфейсі, окрім (3), включають:
, , , (8)
, ,. (9)
Задовольняючи граничним умовам приходимо до наступної комбінованої крайової задачі Діріхле – Рімана:
, , , , . (10)
Задача (10) є набагато більш складною, ніж (7). Але розв’язок цієї задачі при умові був також представлений у замкненому вигляді:
(11)
де, ,
, ,.
Аналітичний аналіз показав, що при основні характеристики НДС знайдені у рамках контактної моделі зводяться до відповідних формул осциляційної моделі, що говорить про правильність результатів, отриманих для контактної моделі.
Розв’язок (11) є математично коректним для довільного положення точки . Однак, він буде фізично коректним, якщо будуть виконані наступні додаткові умови:
для, для. (12)
Останні умови будуть виконані, якщо тріщина в точці закривається плавно, таким чином, що На основі цієї умови було отримане наступне трансцендентне рівняння для визначення відносної довжини області контакту :
, (13)
де, ,. У випадку малих вважаючи, що, маємо, тобто наближений розв’язок рівняння (13) можна подати у вигляді:
, (14)
де. Значення потрібно вибирати так, щоб представляло собою найбільший корінь рівняння (13) з проміжку, де. Точність розв'язку (14) є тим більшою, чим менше значення. КІН зсувного напруження визначається формулою:
. (15)
На рис. 3 для, , , , приведена залежність відносних довжин області контакту від величини . Вибиралися біматеріали: алюміній/ мідь (біматеріал I), комбінація ортотропних матеріалів з характеристиками:
d0.3
, , , ,
d2 1
|
-10 |
-5 |
-2 |
-1 |
0 |
|
|
0.25 |
-12.746 |
-6.467 |
-2.837 |
-1.794 |
-1.268 |
|
0.5 |
-9.873 |
-5.009 |
-2.197 |
-1.389 |
-0.982 |
|
1 |
-8.061 |
-4.09 |
-1.794 |
-1.134 |
-0.802 |
|
2 |
-6.981 |
-3.542 |
-1.553 |
-0.982 |
-0.695 |
, (біматеріал II),
d0.3
ідеалізований матеріал з, і з умовами на відрізку нижньої границі, близькими до жорсткого закріплення (біматеріал III).
В табл. 1 приведені значення КІН для біматеріалу I та зон контакту з рис. 3. З отриманих результатів випливає, що зсувне навантаження суттєво впливає як на довжину зони контакту, так і на КІН . При від’ємних значеннях довжини зон контакту можуть ставати співвимірними з довжиною ділянки зчеплення, однак при додатних і нульових значеннях зона контакту є дуже малою.
З метою апробації одержаного аналітичного розв’язку для зовнішньої міжфазної тріщини в ортотропному біматеріалі одержано розв'язок подібної задачі методом скінчених елементів. Розглядалась плоска деформація ізотропного нескінченно довгого по напряму осі тіла, поперечний переріз якого показано на рис. 4. Ділянка нижньої границі жорстко защемлена, а на ділянках границі виникли крайові тріщини. На ділянці невідомої довжини в околі вершини правої тріщини має місце зона гладкого контакту, а її берега навантажені системою зосереджених сил, котрі прикладені в точці с координатами. Розв’язок задачі будувався при довільному положенні точки . Щоб він був фізично коректним, потрібно, щоб виконувалися додаткові умови:
для , для . (16)
Розв’язок отримано методом скінчених елементів. Вибирались восьмивузлові елементи, які подрібнювалися при наближенні до тріщини і особливо до її правої вершини. Визначались інваріантні – інтеграли в околі точок і , через які по відомим формулам знаходились КІН. Для конкретного положення точки відношення варіювалось, до тих пір поки мало місце плавне закриття тріщини в точці (відповідний КІН ставав близьким до нуля). В припущенні, що одержаний результат порівнювався зі знайденим вище відповідним аналітичним розв’язком для нескінченої області, одержаним при тих же значеннях матеріальних констант. Похибка у визначенні відносної довжини зони контакту складала , що говорить про добру узгодженість результатів, одержаних абсолютно різними методами.
У другому розділі спочатку проводиться аналіз осциляційної моделі для зовнішніх тріщин під дією температурного поля. Припустимо, що біматеріальні півплощини нагріті (охолоджені) на температуру. Використовуючи підхід Вольтера вважаємо, що температурні напруження, а температурні переміщення, де – коефіцієнти лінійного теплового розширення. Останнє справедливо, якщо півплощини не зв'язані.
Вважаючи, що ортотропні півплощини зчеплені на ділянці, а на іншій частині інтерфейсу та вони вільні від напружень (рис. 1 для), одержуємо:
, для. (17)
Використовуючи співвідношення (6) приходимо до наступної задачі лінійного спряження:
, , (18)
з умовою на нескінченності, де,.
Було знайдено вираз для та стрибок похідної від переміщень при переході через інтерфейс, який має осцилюючу особливість. Для усунення цієї особливості (аналогічно розділу 1) розглянута уточнена модель правої тріщини (рис.2 для), яка припускає наявність зони контакту . В цьому випадку має місце наступна комбінована крайова задача Діріхле – Рімана:
, , (19)
, , (20)
з умовою на нескінченності.
Приведено точний розв’язок цієї задачі та вираз для стрибка похідної від переміщень при переході через інтерфейс. Аналогічно як і для міжфазної тріщини під дією зосереджених сил, було знайдено трансцендентне рівняння для визначення відносної довжини області контакту :
, де . (21)
КІН в цьому випадку має вигляд:
. (22)
Далі розглядалась зовнішня міжфазна тріщина під дією температурного поля й зосереджених сил. У силу лінійності задачі, її розгляд може бути проведений для температурного та силового навантажень окремо. Всі ж необхідні характеристики напруженно-деформівного стану знаходяться суперпозицією розв’язків вказаних задач.
Був проведений чисельний аналіз результатів, отриманих у випадку термопружної задачі, для зовнішньої міжфазної тріщини з зоною контакту.
d0.5
На рис. 5 та 6 для, , , приведені значення відносних довжин області контакту в залежності від величини (при) та від величини (при) відповідно. Характеристики біматеріалів ті ж, що і у розділі 1.
У третьому розділі було проаналізовано зовнішні міжфазні тріщини в п’єзоелектричному матеріалі.
d0.6
13