Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
1.
2.
3. Метод математической индукции.
Принцип матем.индукции:
Предложение p(n) считается истинным для всех натуральных значений переменной, если выполнены следующие 2 условия:
1). Предложение p(n) истинно для n=1.
2). Для любого натурального k из предположения, что p(n) истинно для n=k следует, что оно истинно и для n=k+1.
Под методом матем.индукции понимают способ доказательства, основанный на принципе матем.индукции, т.е. если требуется доказать истинность предложения p(n) для всех натуральных значений n, то сначала проверяют истинность высказывания p(1), и затем, допустив истинность высказывания p(k), доказывают истинность высказывания p(k+1).
Обобщение метода матем.индукции.
Иногда метод маетм.индукции применяют для доказательства истинности предложения p(n) не для всех натуральн.значений n, а для всех n, начиная с некоторого натурального числа m. В таких случаях сначала проверяется истинность высказывания p(m).
4. .Факториал. Сочетания. Формула числа сочетаний.
Произведение последовательных натуральн.чисел от единицы до n называется n-факториалом, и обозначается n!.
Напр., 1*2*3*n=n!.
Сочетанием из n-элементов по k-элементов называется любое подмножество из k элементов множества, содержащего n элементов.
Число сочетаний из n-элементов по k элементов обозначается Ckn, и вычисл.по формуле Ckn=n!/k!(n-k)!
Свойства сочетаний:
1. Ckn =Cn-kn
2. Ckn + Ck+1n+1
5. Бином Ньютона.
Формула Бинома Ньютона позволяет возводит двучлен а+в в любую натуральную степень n.
Ньтоном было установлено, что (a+b)n=C0nanbn+ C1nan-1bn-1+ C2nan-2bn-2 +…+Cknan-kbn-k + … + Cnna0bn, где Ckn – число сочетаний.
Эта формула позволяет возводить двучлен в любую стпень, доказывается методом математич. индукции.
Если необходимо найти член разложеня с номером k, то он будет вычисляться по формуле: Ck-1nan-(k-1)bk-1 .
6. Множества. Действия над множествами.
Множество представляет собой соединение, совокупность, собрание некоторых предметов, объединенных по какому-либо признаку.
Если любой элемент множества В является и элементом множества А, то множество В называют подмножество множества А.
Действия над множествами:
1. Объединение множеств (А U В).
Объединением множества А и В назыв. такое множество С, которое состоит из всех элементов множеств А и В, и только из них. В этом случае пишут: А U В.
2. Вычитание множеств:
Множество С, которое состоит из всех элементов множества А, не принадлеж. множеству В, назыв. разностью множеств А и В и обознач. А \ В.
Если А принадл.В, то разность А \ В назыв. дополнением множества В до множества А.
7. Алгебраические многочлены. Теорема Безу.
Функция f(x)=A0xn+A1xn-1+A2xn-2+…, где n – целое число, назыв. многочленом (полиномом), или целой рацион. функцией от числа x. Число n назыв. степенью многочлена. Коэффициенты A0, A1,A2, … это действит. или комплексн.числа. Переменная x также может принимать действит. или комплексн.значения. Корнем многочлена назыв. такое значение х, при котором многочлен обращается в 0.
Теорема Безу: При делении многочлена f(x) на разность x-a получается остаток, равный f(a).
Доказательство: При делении многочлена f(x) на х-а частным будет многочлен f1(x), степень которого на единицу меньше степени многочлена, а остатком будет постоянное число R: f(x)=(x-a)f1x+R.
Cледствие: Если а является корнем многочлена, т.е. f(a)=0, то f(x) делится без остатка на х-а, следовательно, f(x)=(x-a)f1(x).
Теорема 2(основная теорема алгебры): Всякая целая рациональная функция f(x) имеет, по крайней мере, один корень, действительный или комплексный.
Теорема 3: Всякий многочлен n-степени разлагается на n-линейных многочленов вида х-а и множитель, равный коэффициенту при xn:
f(x)=A0(x-a1)(x-a2)(x-a3)…(x-an).
Всякий многочлен n-степени имеет n-корней(действит. или комплексных).
Теорема 4: Если многочлен f(x) с действит.коэффициентами имеет комплексный корень a+bi, то он имеет и сопряженный корень a-bi.
8. . Комплексные числа. Геометрическая интерпретация комплексного числа.
Действит.чисел не достаточно для решения многих практических задач. Простейшее квадратн.уравнение x2+1=0 во множестве действит.чисел решить нельзя. Для расширения понятия числа ввели обозначение √-1=i, и назвали "мнимой единицей", т.е. x2=-1.
Комплексным числом z назыв.число вида a+bi, где a и b – действит.числа, а i – мнимая единица. 2 комплексн.числа z1=a+bi и z2=c+di считаются равными, если равны их действит.части и коэффициенты при мнимых частях (a=c, b=d).
Числа z1=a+bi и z2=a-bi назыв. сопряженными.
Числа z1=a+bi и z2=-a-bi назыв. противоположными.
Т.к каждому комплексн.числу z=a+bi соответствует пара действит.числе a и b, а каждой паре действит.чисел на плоскости соответств. единственная точка, то комплексные числа можно изображать точками координатн.плоскости. На оси абсцисс (ОХ) откладывается действит.часть (a), поэтому эту ось назыв.действительной осью; на оси ординат (ОУ) откладывается коэффициент при мнимой части, поэтому эту ось назыв. мнимой.
Т.к. каждому комплексн.числу z=a+bi соотв. единственная точка с координатами (a;b), а каждой точке плоскости соотв. свой радиус вектор,то комплексн. числа можно изображать при помощи векторов
Длина радиусвектора соотв.комплексн. числу z=a+bi, назыв. модулем комплексн.числа и обознач. r, а угол, образован.радиус-вектором с положит.направлением ОХ, назыв. аргументом комплексн.числа и обознач. arg z:
│z│=r= √a2+b2.
z=a+bi
b/r=sin φ a/r=cos φ
9. Операции над комплексн.числами
(z1=a+bi, z2=c+di);:
1). Сложение: z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+i(b+d). Для сложениянеобход. сложить их действит.части и коэффициенты при мнимых частях.
2). Вычитание: z1-z2=(a+bi)-(c-di)=(a-c)+i(b-d).
3). Умножение: z1*z2=(a+bi)*(c+di)=(ac)+adi+cbi+bdi2=ac+i(ad*cb)-bd . !(bdi2=-bdi).
4). Деление: z1/z2=a+bi/c+di=(a+bi)(c-di)/(c+di)(c-di)=ac-adi+bci-bdi2/c2-d2i2=ac+bd+(bc-
- ad)i/c2+d2=ac+bd/c2+d2 + (bc-ad)i/ c2+d2
10. Тригонометрическая форма комплексн.чиисла.
Из геометрической интерпретации комплексн.чисел можно записать, что a=r*cos φ, b=r*sin φ. Тогда комплексн.число z=a+bi можно записать в виде z=r*cos φ+ r*sin φi, или
z=r(cos φ+i*sin φ). Эта форма записи комплексн.числа назыв.тригонометрической.
Действия над компл.числами в тригоном.форме:
z1=r1(cosφ1+sin φ1); z2=r2(cosφ2+sin φ2);
1).Умножение z1*z2= r(cosφ1+sin φ1)* r2(cosφ2+sin φ2)=r1*r2(cosφ1*cos φ 2+icos φ 1*sin φ 2 +isin φ 1*cos φ 2 - sin φ1*sin φ 2)=r1*r2(cos(φ 1+φ 2)+isin(φ 1+φ 2));
2).Деление: z1/z2= r1(cosφ1+sin φ1) /r2(cosφ2+sin φ2)=(r1/r2)*cos(φ1- φ2)+i*sin(φ1- φ 2).
3)Возведение в степень: zn=rncos n φ +isin n φ (формула Муабра);
4).Извлечение корня: n√z=z1/n; => n√z= n√r * cos (φ+2πk/n) + i*sin (φ+2πk/n).
11. ).Умножение z1*z2= r(cosφ1+sin φ1)* r2(cosφ2+sin φ2)=r1*r2(cosφ1*cos φ 2+icos φ 1*sin φ 2 +isin φ 1*cos φ 2 - sin φ1*sin φ 2)=r1*r2(cos(φ 1+φ 2)+isin(φ 1+φ 2));
2).Деление: z1/z2= r1(cosφ1+sin φ1) /r2(cosφ2+sin φ2)=(r1/r2)*cos(φ1- φ2)+i*sin(φ1- φ 2).
12. Извлечение корня: n√z=z1/n; => n√z= n√r * cos (φ+2πk/n) + i*sin (φ+2πk/n).
13. Показательная форма числа.
Эйлером было установлено, что е iφ= cos φ + i sin φ. Тогда комплексное число z=cos φ + i*sin φ можно записать в виде: z=r * ei φ
Действия над комплексн.числами в показат.форме:
Сложение и вычитание в показат.форме не выполняются!
1). Умножение: z1*z2=r1 ei φ1 * r2 * ei φ1=r1r2*ei(φ1+ φ2);
2). Деление: z1/z2=r1 * ei φ1/r2 * ei φ2=(r1/r2) ei(φ1 – φ2);
3). Возведение в степень: zn=(r*ei φ )2= rn ei nφ ;
4). Извлечение корня: n√z=n√r * ei*(φ+2πk/n);
где k – 1,2,3,…,n-1.
14. Действия над комплексн.числами в показат.форме:
Сложение и вычитание в показат.форме не выполняются!
1). Умножение: z1*z2=r1 ei φ1 * r2 * ei φ1=r1r2*ei(φ1+ φ2);
2). Деление: z1/z2=r1 * ei φ1/r2 * ei φ2=(r1/r2) ei(φ1 – φ2);
3). Возведение в степень: zn=(r*ei φ )2= rn ei nφ ;
4). Извлечение корня: n√z=n√r * ei*(φ+2πk/n);
где k – 1,2,3,…,n-1.
15. Определение матрицы. Виды матриц.
Для описания многих математических и экономических моделей иногда приходится использовать большое количество однотипных величин. В этом случае данные удобно представлять в виде таблиц. Матрицей размера m x n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m-строк и n-столбцов.
В общем виде матрица записывается следующ.образом:
a1.1 a1.2 … a1.n
а= a2.1 a2.2 … a2.n
… … … … …
am.1 am.2 .... am.n
Каждый элемент матрицы имеет 2 индекса: первый (i) – номер строки, в которой содержится элемент, второй (j) – номер столбца.
Если m=n, то матрица называется квадратной. Квадратн.матрица записывается след.образом:
a1.1 a1.2 … a1.n
а= a2.1 a2.2 … a2.n
… … … … …
an.1 an.2 .... an.n
Элементы матрицы a1.1 a2.2 … an.n образуют главную диагональ матрицы.
16. Равенство матриц
Матрицы A = || ai j || и B = || ai j || считаются равными, если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие матричные элементы попарно равны: (1)
для любых допустимых значений индексов i и j.
К линейным операциям над элементами множества или пространства относятся операции сложения элементов и их умножения на скаляр (число).
Умножение матрицы на число
При умножении матрицы A на число λ (слева или справа) каждый ее матричный элемент умножается на это число:
(2)
Сложение матриц
Операция сложения определена только для матриц одинаковых размеров. Результатом сложения матриц A = || ai j || и B = || bi j || является матрица C = || ci j || , элементы которой равны сумме соответствующих матричных элементов:
(3)
Линейной комбинацией матриц A и B называется выражение вида , где и – числовые коэффициенты.
17. Умножение матрицы. Транспонирование матрицы.
1. Произведение двух матриц: А размером m x n, и В размером m x p, элементы которой определяются по формуле:
n
С(i,j)= ∑ аik ∙ bjk
k-1
Для матриц в общем случае переместительный закон умножения не выполняется:
а ∙ в ≠ в ∙ а.
2. Каждой матрице а можно поставить в соответствие транспонированную матрицу (ат), которая получается из матрицы а заменой соответствующих строк столбцам, или наоборот.
Транспонированная матрица имеет вид:
a1.1 a2.1 … am.1
а= a1.2 a2.2 … am.2
… … … … …
a1.n a2.n. .... am.n
18. . Понятие определителя. Определитель 2го, 3го порядка. Свойства определителей.
Определителем называется число, заданное в виде квадратной таблицы чисел. Он обознач. ∆ или det А. В общем вид определитель записывается след.образом:
│а1.1 а1.2 а1.3 … а1.n│
│а2.1 а2.2 а2.3 … а2.n│
∆ = │… … … … │
│ аn.1 аn.2 аn.3 . ..а.n.n│
Каждому элементу определителя ai.j соответствуют два числа: i – это номер строки, в которой стоит элемент, j – номер столбца.
Элементы а1.1 а1.2 а1.3 … а1.n образуют первую строку определителя.
Элементы а1.1 а2.1 а3.1 … аn.1 образуют первый столбец определителя.
Элементы а1.1 а2.2 а3.3 … аn..n образуют главную диагональ определителя.
Элементы аn.1 аn-1.2 аn-2.3 … а1.n образуют второстепенную диагональ определителя.
Порядком определителя назыв. кол-во строк или столбцов в определителе.
Определитель второго порядка в общем виде выглядит так:
│а1.1 а1.2 │
∆ = │а2.1 а2.2 │
и вычисляется как разность произведений элементов по главной и побочной диагонали.
Определитель 3-его порядка в общем виде:
│а1.1 а1.2 а1.3│
∆ = │а2.1 а2.2 а2.3│
│а3.1 а3.2 а3.3│.
Свойства определителя:
1). Значение определителя не изменится, если все его строки заменить столбцами, и наоборот.
2). Если 2 стоки (столбца) определителя поменять местами, то знак определителя изменится на противоположный.
3). Если определитель содержит строку (столбец), все элементы которого равны нулю, то и определитель будет равен нулю.
4). Если в определителе имеется 2 строки (2 столбца), элементы которых пропорциональны, то определитель равен нулю.
5). Если все элементы какой-либо одной строки умножить на одно и то же число k≠0, то значение определителя изменится в k-раз.
6). Если ко всем элементам какой-либо строки (столбца) прибавить соответсв. элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и тоже число, то значение определителя не изменится.
19. Минором элемента ai.j определителя ∆ n-ого порядка называется определитель n-1-го порядка, полученный из определителя n-ого порядка путем вычеркивания i-отй строки и j-го столбца. Обозначается Мi.j.
Алгебраическое дополнение элемента ai.j вычисляется по формуле: Аi.j =(-1)i+j ∙ Mi.j.
Определитель второго порядка вычисляется как разность произведений элементов по главной и побочной диагонали:
│а1.1 а1.2 │
Свойства определителя:
1). Значение определителя не изменится, если все его строки заменить столбцами, и наоборот.
2). Если 2 стоки (столбца) определителя поменять местами, то знак определителя изменится на противоположный.
3). Если определитель содержит строку (столбец), все элементы которого равны нулю, то и определитель будет равен нулю.
4). Если в определителе имеется 2 строки (2 столбца), элементы которых пропорциональны, то определитель равен нулю.
5). Если все элементы какой-либо одной строки умножить на одно и то же число k≠0, то значение определителя изменится в k-раз.
6). Если ко всем элементам какой-либо строки (столбца) прибавить соответсв. элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и тоже число, то значение определителя не изменится.
20. . Обратная матрица.
Каждой квадратной матрице, определитель которой не равен нулю, можно поставить в соответствие обратную матрицу.
Матрицей, обратной данной матрице А, называется такая матрица, которая, будучи умноженной на матрицу А, даст единичную матрицу. Обратная матрица обозначается А-1.
Тогда А ∙ А-1=А-1 ∙А=Е.
Обратная матрица вычисляется следующ. образом:
А1.1 А1.2 А1.n
∆ ∆ ∆
A-1= А2.1 А2.2 А2.n
∆ ∆ ∆
А.m1 А.m2 Аm.n
∆ ∆ ∆
21. Системы линейных уравнений.
Системой m – линейных уравнений с n-неизвестными называется система вида
а1.1х1 + а1.2х2+…+ а1.nхn = в1
а2.1х1 + а2.2х2+…+ а2.nхn= в2
… …. … … ….
а.m.1х1 + а.m.2х2+…+ аm.nх n= вm
где х1, х2, …, хn – неизвестные величины;
а1.1, а1.2, …, аm.n - коэффициенты при неизвестных величинах;
в1, в2,…, вm – свободные члены (столбец свободных членов).
Решением системы называется такое значение переменных х1, х2, …, хn , при которых каждоеиз уравнений, входящих в систему, обращается в верное числовое равенство.
Если m<n, т.е. количество неизвестных больше количества уравнений, входящих в систему,
то система имеет бесчисленное множество решений.
Если m≥n, то система может иметь единственное решение, не имеет решения или иметь бесчисленное количество решений.
Система, которая имеет хотя бы одно решение, называется совместной.
22. Решение систем линейных уравнений методом Крамера.
Для решения системы n-линейных уравнений с n-неизвестными методом Крамера вычисляется главный определитель ∆, составленный из коэффициентов при неизвестных, и определителей ∆х1, ∆х2, …, ∆хn, которые получаются из главного определителя путем замены столбца коэффициентов, стоящих при соответств. неизвестной на столбец свободных членов.
Тогда решение системы находится по следующ. формулам:
∆х_ ∆х2 ∆хn
х1 = ∆ х2 = ∆ хn = ∆.
23. . Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы.
В матричной форме систему линейных уравнений можно записать след.образом:
АХ=В, где А – матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных, Х – матрица неизвестных величин), В – матрица свободных членов.
Умножив обе части равенства на матрицу, обратную матрице А, получим:
А-1 ∙ АХ=А-1∙ В
Е ∙ Х=А-1 ∙ В
Х=А-1 ∙ В.
24. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
При решении систем линейных уравнений методом Гаусса систему преобразовывают так, чтобы при первом неизвестном в первом уравнении коэффициент не был равен нулю. С этой целью иногда приходится менять местами уравнения и неизвестные. (выбирается ведущее уравнение и ведущая переменная). Далее, добавляя или вычитая из остальных уравнений первое уравнение, умноженное на некоторое число, исключаем из всех уравнений, начиная со второго, первую переменную. Затем так же процесс последовательного исключения переменных повторяем для второго, третьего, и т.д. уравнений, пока система не примет треугольный вид. Тогда из последнего уравнения находим значение переменной, подставляя это значение в предпоследнее уравнение, находим значение следующей переменной, и т.д., пока не будут найдены значения всех переменных.
25.
26. Базис. Координаты вектора в базисе. Декартова
Определим понятие базиса на прямой, плоскости и в пространстве.
Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор на этой прямой. Любой другой вектор , коллинеарный данной прямой, может быть выражен через вектор в виде .
Базисом на плоскости называются любых два линейно независимых вектора и этой плоскости, взятые в определенном порядке. Любой третий вектор , компланарный плоскости, на которой выбран базис может быть представлен в виде .
Базисом в трехмерном пространстве называются любые три некомпланарных вектора , взятые в определенном порядке. Такой базис обозначается. Пусть произвольный вектор трехмерного пространства, в котором выбран базис . Тогда существуют числа такие, что.
|
(4) |
Коэффициенты называются координатами вектора в базисе , а формула (4) есть разложение вектора по данному базису.
Координаты вектора в заданном базисе определяются однозначно. Введение координат для векторов позволяет сводить различные соотношения между векторами к числовым соотношениям между их координатами. Координаты линейной комбинации векторов равны таким же линейным комбинациям соответствующих координат этих векторов.
27. Линейные операции над векторами. Длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов его координат.
|
. |
(8) |
Длина вектора , заданного координатами своих концов, т.е. расстояние между точками и вычисляется по формуле
|
. |
(9) |
Если и коллинеарны, то они отличаются друг от друга скалярным множителем. Следовательно, у коллинеарных векторов координаты пропорциональны:
|
. |
(7) |
Пусть точка делит отрезок между точками и в отношении , тогда радиус-вектор точки выражается через радиусы-векторы и его концов по формуле: .
Отсюда получаются координатные формулы:
.
В частности, если точка делит отрезок пополам, то и , т.е. .
Линейные операции над векторами:
1). Сложение
Свойства сложения:
- Св-во коммутативности: а+в=в+ав;
- Св-во ассоциативности: (а+в)+с=а+(в+с);
- Св-во существования вектора нейтрального относит. операции сложения: а+0=а.
2). Вычитание
Вектор с=а+(-в) назыв. разностью векторов а и в, и обознач. с=а-в.
Чтобы вычесть из вектора а вектор в, нужно к вектору а прибавить вектор –в, противоположн. вектору в.
3). Умножение вектора на число.
Произведение вектора на число λ назыв.вектор, длина которого равна │λ│*│а│, а направление совпадает направлением вектора а, если λ>0,и противоположно ему , если λ<0. Свойства:
1. α(β*α)=(α*β)α;
2. (α+β)а=αа+βаж
3. α(а+в)=αа+αв.
28. Скалярное произведение векторов.
Скалярным произведением двух отличных от нуля векторов назыв. число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
а*в=│а│*│в│*cos φ, где φ – угол между а и в.
Свойства:
1. а*в=в*а
2. (λа)в=а(λв)=λ(ав)
3. а(в+с)=ав+вс.
29. . Векторное произведение векторов.
Векторным произведением вектора а на неколлинеарный ему вектор в называется такой вектор с, котор. удовлетворяет след. условиям:
1. Вектор С перпендикулярен плоскости, образован.векторами а и в.
2. Векторы а, в и с образуют правую тройку векторов, т.е. если из конца вектора с кратчайший поворот от вектора а к вектору в виден против часовой стрелки);
3. Длина вектора с численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах а и в.
Векторное произведение обозначается: с=а х в.
│с│=│а│х│в│*sin α.
Свойства векторн.произведений:
1. Для любых векторов а и в пространстве справедливо равенство: а х в= -в х а
2. Для любых векторов а и в в пространстве и числа λ справедл.равенство: λа х в=а х λв.
3. Для любых 3 векторов а, в, с в пространстве справедливо равенство: (а+в)х с=ас + вс.
30. Смешанное произведение векторов.
Смешанным произведением 3 векторов а, в,с пространства назыв. число, равное скалярному произведению а х в х с. Смешан. произведен. векторов: (а х в)с, или [a,в]c, или [a,в,с].
Из определения следует, что:
(а х в)с=│а х в│*│с│*cos(a x b)^c=(│a│*│в│*sin a^b) ∙ │c│*cos(а х в)^с.
Теорема: Для любых 3 некомпланарных векторов а,в,с имеет место равенство: │(а х в)с│=V, где V – объем параллелепипеда, построенного на векторах а, в и с, т.е. модуль их смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, отложен. от одной точки.
Теорема: Для того, чтобы смешан.произведение 3 векторов было равно нулю, необходимо и достаточно, чтобы эти векторы были компланарны.
Свойства смешанного произведения:
1). Смешан.произведение не меняется при циклической (круговой) перестановке векторов со сомножителями, т.е.: (а х в)с=(в х с)а=(с х а)в., и знак смешан.произведения меняться на противоположный при перестановке любых 2сомножителей местами.
2). Если векторы а, в, с заданы в координатах а(x1,y1,z1), в(x2,y2,z2) и с(x3,y3,z3), то смешан. произведение векторов равно определителю 3его порядка, составленного из координат этих векторов: │x1 y1 z1│
(а х в)с = │x2 y2 z2│
│x3 y3 z3 │
Вектора являются компланарными, если лежат в одной плоскости.
31. Полярными координатами точки P называются радиус-вектор ρ - расстояние от точки P до заданной точки O (полюса) и полярный угол φ - угол между прямой OP и заданной прямой, проходящей через полюс (полярной осью). Полярный угол считается положительным при отсчете от полярной оси против часовой стрелки и отрицательным при отсчете в обратную сторону.
Координатные линии в полярных системах - окружности с центром в полюсе и лучи.
Формулы для перехода от полярных координат к декартовым
x=ρ*cos(φ), y=ρ*sin(φ)
и обратно:
ρ=sqrt(x2)+y2), φ=arctg(y/x)=arcsin(y/ρ)
32.? График функции.
Графиком функции называется множество всех точек плоскости с координатами х и у=f(х).
33.
34. Каноническое и параметрическое уравнение прямой.
Канонич. уравнение: Пусть прямая L проходит через точку М0(х0,у0) и параллельно вектору N(а1,а2). Вектор, параллельный данной прямой, называется направляющим вектором этой прямой. Возьмем на прямой L произвольную точку М(х,у). Тогда векторы M0M и n коллинераны, а значит их соответствующие координаты пропорциональны. Т.к. M0M (x-x0, y-y0), то получим:
х-х0 = у-у0
а1 а2 - каноническое уравнение прямой, или уравнение прямой, проход. через данную точку с заданным направляющим вектором.
35. . Уравнение прямой, проходящей через данную точку с задан. нормальным вектором.
Пусть прямая l проходит через точку М0 с координатами (х0, y0), и перпендикулярна вектору n(A,B). Вектор, перпендикулярный данной прямой, называется нормальным вектором этой прямой. Возьмем на прямой произвольную точку М(х,y). Векторы M0M и n перпендикулярны, а значит, их скалярное произведение равно 0, т.к. М0М имеет координаты (х-х0, y-y0):
n ∙ M0M=0.
Запишем это равенство в координатной форме: А(х-х0) – В(у-у0)=0. Это и есть уравнение прямой, проходящей через задан.точку с задан. нормальн.вектором.
36. Общее уравнение прямой.
Пусть дано уравнение 1ой степени с двумя неизвестными. В общем виде оно записывается след.образом: Ах+Ву+С=0. Покажем, что данному уравнению на плоскости соответствует прямая линия, и что уравнение любоц прямой можно записать в таком виде:
Пусть дана прямая А(х-х0) + В(у-у0) =0. Преобразуем это уравнение:
Ах – Ах0 + Ву – Ву0=0.
Ах + Ву + (-Ах0-Ву0)=0.
Обозначим -Ах0-Ву0=С => Ах +Ву+С=0.
Докажем, что уравнению Ах+Ву+С=0 на плоскости соотв. прямая линия. Преобразуем его:
Ах + В(у+ с/в)=0;
А(х-0) + В (у- (-с/в)) =0, а это прямая, проходящая через точку с координатами (0; -с/в) и перпендикулярно вектору с координатами (А,В).
37. Общее уравнение прямой
Ax + By + C = 0. (2)
Частные случаи общего уравнения прямой:
а) Если C = 0, уравнение (2) будет иметь вид
Ax + By = 0,
и прямая, определяемая этим уравнением, проходит через начало координат, так как координаты начала координат x = 0, y = 0 удовлетворяют этому уравнению. б) Если в общем уравнении прямой (2) B = 0, то уравнение примет вид
Ax + С = 0, или .
Уравнение не содержит переменной y, а определяемая этим уравнением прямая параллельна оси Oy.
в) Если в общем уравнении прямой (2) A = 0, то это уравнение примет вид
By + С = 0, или ;
уравнение не содержит переменной x, а определяемая им прямая параллельна оси Ox.
Следует запомнить: если прямая параллельна какой-нибудь координатной оси, то в ее уравнении отсутствует член, содержащий координату, одноименную с этой осью.
г) При C = 0 и A = 0 уравнение (2) принимает вид By = 0, или y = 0.
Это уравнение оси Ox.
д) При C = 0 и B = 0 уравнение (2) запишется в виде Ax = 0 или x = 0.
Это уравнение оси Oy.
38. Уравнение прямой, проходящей через две точки: A(x1, y1) и B(x2, y2), Выглядит:
39. Уравнение прямой в отрезках
Если в общем уравнении прямой , то разделив (1) на, получаем уравнение прямой в отрезкахгде,. Прямая пересекает ось в точке, осьв точке.
40. Угол между прямыми.
Пусть требуется определить угол между прямыми l1 и l2, заданными в плоскости Oxy уравнениями А1х+В1у+С1=0 и А2х+В2у+С2=0. Очевидно, что n1=(A1;B1) является нормальным вектором прямой l1, а n2=(A2;B2) – нормальный вектор прямой l2. Кроме того, угол φ между нормальными векторами n1 и n2 равен одному их углов, образованных прямыми l1 и l2.
φ=(n1^n2) = (l1^l2).
Но : ___n1 ∙ n2_____
cos φ=│n1│∙│n2│
Записав правую часть последнего равенства в координатной форме, получаем:
__A1A2 + B1B2____
cos φ = √A21+B21 √ A22+B22
Эта формула служит для определения угла между двумя прямыми, заданными их общими уравнениями.
41?. Условие параллельности прямых.
Если прямые l1 и l2 параллельны между собой, то их нормальные векторы n1=(A1;B1) и n2=(A2;B2) коллинеарны. Считая, что ни одна из прямых не колллинеарна осям координат, запишем условие коллинеарности векторов n1 и n2 в координатной форме:
А1/A2=B1/B2=C1/C2 k1=k2.
К этому же выводу можно прийти и из геометрических соображений. Если l1 ║ l2, то α1= α2.
Следовательно, tg α1 = tg α2 (при условии, что α1=α2≠90o), или k1=k2. Таким образом, прямые параллельны тогда и только тогда, когда равны их угловые коэффициенты.
. Условие перпендикулярности прямых.
Если прямые l1 и l2 взаимно перпендикулярны, то взаимно перпендикулярны и их нормальные вектора n1=(A1;B1) и n2=(A2;B2). Запишем условие перпендикулярности векторов n1 и n2 в координатной форме:
А1А2 + В1В2=0.
Считая, В1≠0 и В2≠0, имеем: _ __1__
А1/В1 ∙ А2/В2 +1= 0 k1 ∙ k2=0, или k1= k2 , если k2≠0.
Таким образом, прямые взаимно перпендикулярны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку. (Например, 2/3 и -3/2).
42. Окружность и ее уравнение.
Окружностью называется множество всех точек плоскости, одинаково удаленных от данной точки. Пусть центр окружности находится в точке О1(а,в), а радиус окружности равен r.
Возьмем на окружности произвольную точку М(х,у). Тогда модуль О1М будет равен r или:
√(х-а)2+(у-в)2=r, или : (х-а)2+(у-в)2=r2.
Если центр окружности находится в начале координат, то его уравнение имеет вид: х2+у2=r2.
43. . Эллипс и его уравнение.
Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до 2ух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная. Для вывода уравнения эллипса выберем систему координат таким образом, чтобы ось ОХ проходила через фокусы, а ось ОУ через середину отрезка, соединяющего фокусы.
Пусть М(х,у) –произвольная точка эллипса.Обозначим расстояние между фокусами через 2с:
F1M + F2M = 2a._____________
Тогда получим: √(х + с)2 + (у - 0)2 = 2а.
Возведя дважды в квадрат данные уравнения выражения и обозначив а2-с2=в2, уравнение эллипса записывается: х2 _ у2
а2 в2 =1.
Исследование уравнения эллипса:
1. Т.к. переменные х и у входят в уравнение эллипса во второй степени, то эллипс симметричен относительно осей ОХ и ОУ.
2. Выразим из уравнения эллипса У:
у2 х2 а2в2 – в2х2 в2 + в ____
в2 = 1 - а2, у2 = а2 = а2 (а2-х2). у = - а √(а2-х2).
Отсюда следует, что │х│≤ а.
Значит, эллипс заключен между прямыми х=-а и х=а.
Выразим из уравнения эллипса х:
+ _а_ ______
х = - в √(в2 – у2), Значит, эллипс заключен между прямыми у=в и у=-в.
При возрастании х от 0 до а, у изменяется от в до 0.
Отрезок А1А2, равный 2а, называется большой осью эллипса.
Отрезов В1В2, равный2в называется малой осью эллипса.
44. . Гипербола и ее уравнение.
Гиперболой назыв. множетво точек плоскости, абсолютная величина разности от каждой из которых до 2 данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.
Для вывода уравнения гиперболы выберем систему координат таким образом, чтобы ось ОХ проходила через фокусы, а ось ОУ проходила через середину отрезка, соединяющего фокусы.
Пусть М(х,у) – произвольная точка гиперболы.
Обозначим расстояние между фокусами через 2с: │F1F2│=2c, а абсолютную величину разности расстояний отточек гиперболы до фокусов – через 2а. Тогда можно записать:
│F1M│-│F2M│=2a,
где F1M и F2M – фокальные радиусы точки М. Данное равенство, дважды возведя в квадрат и обозначив с2-а2=в2, можно привести к виду:
х2 _ y2
a2 в2 = 1. – простейшее (каноническое) ур-ние гиперболы.
Т.к. переменные х и у входят в уравнение гиперьолы во 2ой степени, то гипербола симметрична и отностительно ОХ , и относительно ОУ.
Выразим из уравнения гиперболы у:
у2 х2 _
в2 = а2 1,
у2 х2 –а2
в2 = а2 ,
в2 + в2 ______
у2= а2 (х2 – а2), у = - а2 √ х2 + а2 ,│х│≥а ,т.е. между прямыми х=а и х=-а точек гиперболы нет.
Аналогично выразим из уравнения гиперболы х:
+ а ______
х = - в √у2 – в2 , => у (-∞; ∞).
При возрастании х от а до +∞ у изменяется от 0 до +∞.
Асимптоты гиперболы:
+ в х;
у = - а
Эстентриситетом гиперболы назыв. отношение расстояний между фокусами к длине действит. оси:
2а а √а2+в2
ε = 2с = с = а (т.к. в2=с2-а2);
45.. Парабола и ее уравнение.
Параболой называется множество точек плоскости, одинаково удаленных от данной точки, называемой фокусом и от прямой, называемой директрисой.
Для вывода уравнения параболы выберем систему коорднат таким образом, чтобы ось ОХ проходила через фокус перпендикулярно директрисе, а ось ОУ – через середину отрезка, соединяющего фокус и директрису.
Пусть М – произольная точка параболы. Обозначим расстояние между фокусом и директрисой через Р Из определения параболы следует, что │FM│=│KM│. Запишем это равенство в координатной форме:
√(х – р/2)2 + (у-0)2 = √х- (- р/2)2 + (у-у)2 или √(х – р/2)2 + у2 = √х+ (р/2)2.
Возведем обе части в квадрат:
(х – р/2)2+у2 = (х+р/2)2;
х2-рх+ (р2/4) + у2 = х2 + рх + (р2)/4;
у2=2рх – канонической уравнение параболы.
Т.к. переменная у во второй степени, парабола симметрична отности. оси ОХ.
Т.к. точка 0 удовлетворяет уравнению, то значит, парабола проходит через начало координат.
Парабола располагается правее оси ОУ, т.к. 2рх должно быть ≥ 0.
При возрастании х от 0 до +∞ у изменяется от 0 до +∞.
Если ветви параболы направлены влево от оси ОУ, то уравнение имеет вид: у2= - 2рх;
Если ветви параболы наход. направлены вверх от оси ОХ, а фокус наход. на оси ОУ уравн. имеет вид: х2=2ру;
Если ветви параболы направлены вниз, а фокус расположен ниже ОХ, то уравн.имеет вид: х2= - 2ру.
46.. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку с заданным нормальным вектором.
Пусть в прямоугольной системе еоординат Охуz задана некоторая точка М0(х0;у0;z0) и ненулевой вектор N=(A;B;C). Требуется составить уравнение плоскости α, проходящей через точку М0 и перпендикулярно вектору N. (Любой ненулевой вектор, перпендикулярный к плоскости α,назыв. нормальным вектором этой плоскости). Возьмем на плоскости α произвольн.точку М(х, у, z). Ясно, что М принадлежащ. α эквивалентно N│ M0M, что в свою очередь эквивалентно N ∙ M0M=0. Учитывая, что N=(A;B;C) и М0М= (х-х0; у-у0; z-z0), запишем равенство в координатной форме:
А(х-х0) + В(у-у0)+Z(z-z0)=0. Это уравнение назыв. уравнением плоскости,проход. через данную тоску с задан. нормальн.вектором.
47. . Общее уравнение плоскости.
Всякое уравнение первой степени Ах + Ву +Сz +D=0 в прямоугольной системе координат Оxyz определяет плоскость, и притом единственную.
Ах + Ву +Сz +D=0 – общее уравнение плоскости, где D = - (Ах0 + Ву0 +Сz0).
Частные случаи уравнения плоскости:
1. D=0, => уравнение имеет вид Ах + Ву +Сz =0, плоскость проходит через начало координат.
2. С=0, => уравнение имеет вид Ах + Ву +D=0, плоскость парралельна OZ.
Аналогично: А=0, Ву +Сz +D=0, плоскость прралельна ОХ,
В=0, Ах + Сz +D=0, плоскость парралельна ОУ.
3. С=В=0, => Ax+D=0, плоскость параллельна осям ОХ и ОУ и перпендикулярна ОZ.
Аналогично: А=В=0, Cz+D=0, перпендикуларна OZ,
А=С=0, Ву+D=0, перпендикулярна ОУ.
4. A=D=0, => By+Cz=0, плоскость проходит через ОХ и начало координат.
Аналогично: В=D=0, Ax+Cz=0, плоскость проходит через ОУ и начало координат.
С=D=0, Ax+By=0, плоскость проходит через ОZ и начало координат.
5. А=В=D=0, => Cz=0 – уравнение плоскости Оху.
Аналогично: B=C=D=0, Ax=0 – уравнение плоскости Оуz.
A=C=D=0, By=0 – уравнение плоскости Оxz.
48. Уравнение плоскости, проходящей через 3 данные точки.
Пусть плоскость проходит через М1(х1;у1;z1) и М2(х2;у2;z2) и М0(х0;у0;z0). Возьмем на плоскости произвольную точку М. Тогда векторы М0М(х-х0;у-у0;z-z0), М0М1(х1-х0;у1-у0;z1-z0) и М0М2(х2-х0;у2-у0;z2-z0) будут компланары. Из условия компланарности векторов можно записать:
│ х-х0 у-у0 z-z0│
│ х1-х0 у1-у0 z1-z0│ = 0.
│ х2-х0 у2-у0 z2-z0│
49.
50. . Условие параллельности прямых. Условие перпендикулярности прямых.
Если прямые l1 и l2 параллельны между собой, то их нормальные векторы n1=(A1;B1) и n2=(A2;B2) коллинеарны. Считая, что ни одна из прямых не колллинеарна осям координат, запишем условие коллинеарности векторов n1 и n2 в координатной форме:
А1/A2=B1/B2=C1/C2 k1=k2.
К этому же выводу можно прийти и из геометрических соображений. Если l1 ║ l2, то α1= α2.
Следовательно, tg α1 = tg α2 (при условии, что α1=α2≠90o), или k1=k2. Таким образом, прямые параллельны тогда и только тогда, когда равны их угловые коэффициенты.
. Условие перпендикулярности прямых.Если прямые l1 и l2 взаимно перпендикулярны, то взаимно перпендикулярны и их нормальные вектора n1=(A1;B1) и n2=(A2;B2). Запишем условие перпендикулярности векторов n1 и n2 в координатной форме:
А1А2 + В1В2=0.
Считая, В1≠0 и В2≠0, имеем: _ __1__
А1/В1 ∙ А2/В2 +1= 0 k1 ∙ k2=0, или k1= k2 , если k2≠0.
Таким образом, прямые взаимно перпендикулярны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку. (Например, 2/3 и -3/2).
51-52. . Каноническое и параметрическое уравнения прямой в пространстве.
x=x0+mt
y=y0+nt
z=z0+pt
Данное уравнение назыв. параметрическим уравнением прямой.
Каноническим же уравнением назыв. уравнение вида:
x-x0 y-y0 z-z0
m = n = p .
53. Числовые последовательности и способы их задания. Геометрическое изображение числовых последовательностей.
Бесконечной числовой последовательностью называется числовая функция, определенная на множестве всех натуральных чисел. Общий вид: а1; а2; а3; … аn; … (или (аn)).
Способы задания последовательностей:
1. Последовательность может быть задана при помощи формулы, указывающей, как по номеру n члена последовательности вычислить его значение а.
Последовательность, у которой все члены принимают равные между собой значения, называется постоянной последовательностью.
2. Реккурентный (индуктивный) способ: он состоит в том, что указывается правило (обычно это формула), позволяющая вычислить общий член последовательности через предыдущие, и задается несколько начальных членов последовательности. Эта формула называется реккурентным соотношением.
3. Последовательность может быть задана словесно, т.е. описанием ее членов.
При изучении последовательностей удобно использовать их геометрическое изображение. Для этого используют в основном 2 способа:
1. Т.к. последовательность (аn) есть функция, заданная на N, то ее можно изобразить как график этой функции с координатами точек (n; аn).
2. Члены последовательности (аn) можно изобразить точками х=аn.
Виды: Ограниченные и неограниченные последовательности.
Последовательность (аn) называется ограниченной, если существуют числа M и m, такие, что имеет место неравенство m≤an≤M. В противном случае она называется неограниченной.
Существует 3 вида неограниченных последовательностей:
1. Для нее существует m и не существует M – в таком случае она ограниченная снизу и неограниченная сверху.
2. Для нее не существует m и существует M – в таком случае она неограниченная снизу и ограниченная сверху.
3. Для нее не существует ни m, ни М – в таком случае она не ограниченная ни снизу, ни сверху.
54. . Предел числовой последовательности. Основные теоремы о пределах.
Число а называется пределом последовательности (аn), если для каждого положительного числа ε найдется такое натуральное число N, что для любого n>N выполняется неравенство:
|an – a| < ε.
В этом случае пишут: lim an = a , или an->a при n->∞.
n->∞
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, а не имеющая предела – расходящейся.
Если последовательность имеет предел, то она ограниченная.
Всякая сходящаяся последовательность имеет только один предел Базисом на плоскости называются любых два линейно независимых вектора и этой плоскости, взятые в определенном порядке. Любой третий вектор , компланарный плоскости, на которой выбран базис может быть представлен в виде .
Базисом в трехмерном пространстве называются любые три некомпланарных вектора , взятые в определенном порядке. Такой базис обозначается. Пусть произвольный вектор трехмерного пространства, в котором выбран базис . Тогда существуют числа такие, что.
|
(4) |
Коэффициенты называются координатами вектора в базисе , а формула (4) есть разложение вектора по данному базису.
Координаты вектора в заданном базисе определяются однозначно. Введение координат для векторов позволяет сводить различные соотношения между векторами к числовым соотношениям между их координатами. Координаты линейной комбинации векторов равны таким же линейным комбинациям соответствующих координат этих векторов.
Декартова прямоугольная система координат в пространстве определяется заданием единицы масштаба для измерения длин и трех пересекающихся в точке взаимно перпендикулярных осей, первая из которых называется осью абсцисс , вторая – осью ординат , третья – осью аппликат ; точка начало координат. Положение координатных осей можно задать с помощью единичных векторов , направленных соответственно по осям . Векторы называются основными или базисными ортами и определяют базис в трехмерном пространстве.
55. . Предел функции в точке. Основные теоремы о пределах
Число А называется пределом функции f (х) при х, стремящемся к х0 (или в точке х0), если для любого ε>0 существует такое δ>0, что для всех х, удовлетворяющих условию |х-х0|<δ, x≠x0, имеет место неравенство |f(x)-A|<ε.
Основные теоремы о пределах:
Теорема 1 (о представлении функции в виде суммы своего предела и бесконечно малой функции): lim f(x)=A тогда и только тогда, когда f(x)=A+α(x), где α(х) – бесконечно малая функция при х->a.
Теорема 2 (о пределах суммы, произведения и частного): Если функция f(х) и g(х) определены в некоторой окрестности точки а, возможно, за исключением самой точки а, и существуют пределы lim f(x), lim g(x), то существуют пределы их суммы: lim (f(x)+g(x))
х->a x->a x->a
произведения: lim (f(x)g(x))
x->a _f(x)_
и, если g(x)≠0, lim g(x)≠0, то и частного: lim g(x)
и имеют место равенства:
1. lim (f(x)+g(x)) = lim f(x) + lim g(x);
2. lim (f(x)g(x)) = lim f(x) ∙ lim g(x);
f(x) lim f(x)
3. lim g(x) = lim g(x), при g(x)≠0, lim g(x)≠0.
Следствия из теоремы:
1). Постоян.множитель может быть вынесен из под знака предела: lim сf(x) = с ∙ lim f(x).
2). Предел степени равен степени предела. Если показатель степени n принадлеж. N, то:
lim (f(x))n=(lim f(x))n.
Теорема 3 (о пределе промежуточной функции): Если lim f(x)=A, lim g(x)=a и в некоторой окрестности точки а (коме точки а) имеют место неравенства:
f(x)≤φ(x)≤g(x), то lim φ(x) = A.
56 .Предел функции на бесконечности и бесконечные пределы
О пределе функции пр x стремящемуся к += бескончности.Бескончный предел функции.При изучении свойств функции приходится рассматривать предел функции в бесконечности,бесконечный прдел функции в точке,а также бесконечный предел в бесконечности.
Остановимся подробнее на пределе функции в бесконечности,т.е. при x стрем.к + бесконеч, и при x стрем.к – бесконеч.
Пусть функия f (x) определена на всей числовой прямой.Число B называется пределом функции f(x) при x стрем.к + бесконеч.,если Lim f(xdel)=B для любой последовательности (x) такой,что lim x=+бесконеч.
В этом случае пишут lim f(x)=B.Аналогично,lim f(x)=C, если lim f(x del)=C ,для любой (x del) такой,что Lim x del=-бесконечн.
57?. Односторонние пределы.
Односторонние пределы:
Если в определении предела вместо равенства 0<|x-x0|<δ, т.е. x0-δ<x<x0+δ, x≠x0, рассмотреть неравенство x0<x<x0+δ, то мы получим понятие правого предела. В этом случае пишут:
A=f(x0+0) = lim f(x)
x->x0->0
Аналогично рассматривая неравенство x0-δ<x<x0, вводим понятие левого предела:
A=f(x0-0) = lim f(x)
x->x0->0
Двухсторонний предел функции в точке х0 существует только тогда, когда левый и правый пределы в этой точке существуют и совпадают:
f(x0+0) = f(x0-0).
58.?
59.