Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Федеральное агентство по образованию
ГОУ ВПО
ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ
ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
Факультет ФНО
Специальность Бакалавр экономики
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1
по дисциплине «Экономико-математические методы и прикладные модели»
Выполнила:
Преподаватель:
Москва 2012
Задача 1.
Двойственные оценки как инструмент определения эффективности отдельных вариантов.
В 1975 году наш соотечественник Канторович Л.В. был удостоен Нобелевской премии по экономике за разработку теории оптимального использования ресурсов. Также им были введены «двойственные оценки» ресурсов, показывающие степень ценности этих ресурсов для общества.
Рассмотрим основные понятия и выводы специального раздела линейного программирования – теорию двойственности.
Любой задаче линейного программирования можно поставить в соответствие двойственную задачу. Связь исходной и двойственной задач заключается, в частности, в том, что решение одной из них может быть получено непосредственно из решения другой.
Модель прямой задачи имеет вид:
Целевая функция:
F(x) = ∑ cj ∙ xj→ max
Ограничения:
∑ ai,j ∙ xj ≤ bj; i= 1, m,
xj ≥ 0; j = 1,n.
А модель двойственной задачи имеет следующий вид:
Целевая функция:
G(x) = ∑ bi ∙ yi → min
Ограничения:
∑ ai,j ∙ yi ≥ cj, j = 1,n
yi ≥ 0, i = 1,m.
Каждая из задач двойственной пары фактически является самостоятельной задачей линейного программирования и может быть решена независимо от другой. Однако при определении симплексным методом оптимального плана одной из задач находится и решение другой задачи.
Двойственная задача по отношению к исходной составляется по следующим правилам:
Итак, согласно теории линейного программирования каждой ЗЛП соответствует двойственная ей задача. Основные утверждения о взаимно двойственных задачах содержатся в следующих теоремах.
Первая теория двойственности. Для взаимодейственных ЗЛП имеет место один из взаимоисключающих случаев:
Вторая теорема двойственности (теорема о дополняющей нежесткости).
Пусть X = (x1, x2,…., xn) – допустимое решение прямой задачи, а Y = (y1, y2, …., ym) – допустимое решение двойственной задачи. Для того, чтобы они были оптимальными решениями соответствующих взаимодвойственных задач, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие соотношения:
yi (∑ ai,j xj – bi) = 0; I = 1,m
xj (∑ai,j yi – cj) = 0; j = 1,n
Эти условия позволяют, зная оптимальное решение одной из взаимодвойственных задач, найти оптимальное решение другой задач.
Теория об оценках.
Значения переменных yi в оптимальном решении двойственной задачи представляют собой оценки влияния свободных членов bi системы ограничений – неравенств прямой задачи на величину ∆f (X):
∆f (X) = ∆ biyi .
Решая ЗЛП симплексным методом, мы одновременно решаем исходную, и двойственную задачи. Значения переменных двойственной задачи yi в оптимальном плане называют объективно обусловленными, или двойственными оценками.
Рассмотрим пример решения двойственной задачи.
Пусть для выпуска четырех видов продукции Р1, Р2, Р3, Р4 на предприятии используют три вида сырья S1, S2 и S3. Объемы выделенного сырья, нормы расхода сырья и прибыль на единицу продукции при изготовлении каждого вида продукции приведены в табл. 1. Требуется определить план выпуска продукции, обеспечивающий наибольшую прибыль.
Таблица 1.
|
Вид сырья |
Запасы сырья |
Вид продукции |
|||
|
P1 |
P2 |
P3 |
P4 |
||
|
S1 |
35 |
4 |
2 |
2 |
3 |
|
S2 |
30 |
1 |
1 |
2 |
3 |
|
S3 |
40 |
3 |
1 |
2 |
1 |
|
Прибыль |
14 |
10 |
14 |
11 |
Решение:
Составим ЭММ задачи оптимального использования ресурсов на максимум прибыли. В качестве неизвестных примем объем выпуска продукции j-ого видa xj (j=1,2,3,4).
Целевая функция:
F(X) = 14x1+10x2+14x3+11x4→max
Ограничения:
4x1+2x2+2x3+3x4 ≤ 35
x1+x2+2x3+3x4 ≤ 30
3x1+x2+2x3+x4 ≤ 40
xj ≥0, j = 1,2,3,4.
Теперь сформируем двойственную задачу. Пусть некая организация решила закупить все ресурсы рассматриваемого предприятия. При этом необходимо установить оптимальную цену на приобретаемые ресурсы y1,y2,y3 исходя из следующих объективных условий:
Согласно первому условию общая стоимость сырья выражается величиной g(Y) = 35y1+30y2+40y3 → min. Согласно второму требованию вводятся ограничения: на единицу первого ресурса ценой y1, одна единица второго ресурса ценой y2 и три единицы третьего ресурса ценой y3. Стоимость всех ресурсов, расходуемых на производство единицы первого вида продукции, равна 4y1+y2+3y3 и должна составлять не менее 14.
В результате аналогичных рассуждений относительно производства других видов продукции получаем систему неравенств:
4y1+y2+3y3≥14,
2y1+y2+y3≥10,
2y1+2y2+2y3≥14,
3y1+3y2+y3≥11.
По экономическому смыслу цены неотрицательные:
y1 ≥ 0, y2 ≥ 0, y3 ≥ 0.
Получили симметричную пару взаимодвойственных задач. В результате решения данной задачи симплексным методом получаем оптимальный план X = (0;5;12,5;0); Y = (3;4;0).
Ответ: оптимальный план выпуска продукции, который обеспечит наибольшую прибыль будет составлять 0 ед. продукции первого типа, 5 ед. продукции второго типа, 12,5 ед. продукции третьего типа и 0 ед. продукции четвертого типа, при этом оптимальная цена на приобретаемые ресурсы будет составлять 3 ден.ед. на первый вид сырья, 4 ден. ед. на второй вид сырья и 0 ден. ед. третьего типа сырья.
Задача №2.
Решить графическим методом типовую задачу оптимизации.
На имеющихся у фермера 400 гектарах земли он планирует посеять кукурузу и сою. Сев и уборка кукурузы требует на каждый гектар 200 ден. ед. затрат, а сои – 100 ден. ед. На покрытие расходов, связанных с севом и уборкой, фермер получил ссуду в 60 тыс. ден. ед.. Каждый гектар, засеянный кукурузой, принесет 30 центнеров, а каждый гектар, засеянный соей – 60 центнеров. Фермер заключил договор на продажу, по которому каждый центнер кукурузы принесет ему 3 ден. ед., а каждый центнер сои – 6 ден. ед. Однако, согласно этому договору, фермер обязан хранить убранное зерно в течение нескольких месяцев на складе, максимальная вместимость которого равна 21 тыс. центнеров.
Фермеру хотелось бы знать, сколько гектар нужно засеять каждой из этих культур, чтобы получить максимальную прибыль.
Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум и почему?
Решение.
|
Параметры |
Кукуруза |
Соя |
Ограничения |
|
Сев/уборка (ден.ед.) |
200 |
100 |
60000 |
|
Объем (ц) |
30 |
60 |
21000 |
|
Ограничение по площади (га) |
1 |
1 |
400 |
|
Стоимость (ден.ед.) |
3 |
6 |
Составим ЭММ задачи.
Пусть х1 гектаров нужно засеять кукурузы, х2 – сои.
Это задача линейного программирования с двумя переменными, а значит ее можно решить графическим методом.
Последнее ограничение – прямое, означает, что область решений будет лежать в первой четверти декартовой системы координат.
Остальные три – функциональные ограничения.
1. Определим область допустимых решений первого неравенства. Оно состоит из решения уравнения и строгого неравенства. Решением уравнения служат точки прямой x1+x2=400. Построим прямую a по двум точкам (0;400) и (400;0), которые легко получить в результате последовательного обнуления одной из переменных.
Область решений строгого неравенства — одна из полуплоскостей, на которую делит плоскость построенная прямая. Какая из них является искомой, можно выяснить при помощи одной контрольной точки. Если в произвольно взятой точке, не принадлежащей прямой, неравенство выполняется, то оно выполняется и во всех точках той полуплоскости, которой принадлежит контрольная точка, и не выполняется во всех точках другой полуплоскости. В качестве такой точки удобно брать начало координат. Подставим координаты (0; 0) в неравенство x1+x2≤400, получим 0 ≤ 400, т.е. оно выполняется. Следовательно, областью решения неравенства служит нижняя полуплоскость.
Аналогичным образом построим области решения двух других неравенств
200x1+100x2=60 000
2 x1+ x2 = 600
x1 = 0, x2 = 600
x1 = 300, x2 = 0
По точкам (0;600), (300;0) построим прямую b.
200х1+100х2 ≤ 60 000 при x1 = x2 = 0;
0 ≤ 60 000 выполняется, берется левая полуплоскость.
30x1+60х2=21 000
x1 = 0, x2 = 350
x1 = 700, x2 = 0
По точкам (0;350) и (700;0) построим прямую c.
30х1+60х2 ≤ 21 000 при x1 = x2 = 0;
0 ≤ 21 000 выполняется, берется нижняя полуплоскость.
Выделим общую область для всех неравенств. Обозначим вершины области латинскими буквами и определим их координаты, решая систему уравнений двух пересекающихся соответствующих прямых. Например, определим координаты точки C, являющейся точкой пересечения первой и второй прямой:
x1+x2=400, x1 = 200; x2 = 200
2 x1+ x2 = 600.
Аналогично поступим для других точек, являющихся вершинами области АВСDO, представляющей собой область допустимых решений рассматриваемой ЗЛП. Координаты этих вершин имеют следующие значения: А(0;350), В(100;300), С(200;200), D(300;0), О(0;0).
2. Построим вектор-градиент , координаты которого являются частными производными функции f(X), т.е. =(90;120). Чтобы построить этот вектор, нужно соединить точку (90;120) с началом координат. При максимизации целевой функции необходимо двигаться в направлении вектора-градиента, а при минимизации — в противоположном направлении.
90x1+120x2 = а.
Это уравнение является множеством точек, в котором целевая функция принимает значение, равное а. Меняя значение а, получим семейство параллельных прямых, каждая из которых называется линией уровня. Пусть а=0, вычислим координаты двух точек, удовлетворяющих соответствующему уравнению 90x1+120x2 = 0. В качестве одной из этих точек удобно взять точку О(0;0), а так как при x1 = 4 x2 = -3, то в качестве второй точки возьмем точку E(4;-3).
Через эти две точки проведем линию уровня f(Х)= 90x1+120x2 = 0.
В нашем случае движение линии уровня будет осуществляться до ее пересечения с точкой В, далее она выходит из области допустимых решений. Следовательно, именно в этой точке достигается максимум целевой функции.
Решение исходной ЗЛП:
Вычислим значение целевой функции в точке B (100;300):
f(Х)= 90x1+120x2=90∙100 + 120∙300 = 45000.
max f(Х) =45000, достигается при x1 = 100, x2=300.
Следовательно, чтобы получить максимальную прибыль, фермер должен засеять 100 га земли кукурузой, 300 га – соей. При этом прибыль составит 45 000 ден. ед.
Если поставить задачу минимизации функции f(Х) = 90x1+120x2 при тех же ограничениях, линию уровня необходимо смещать параллельно самой себе в направлении, противоположном вектору-градиенту. В нашем случае минимум функции будет в точке О(0;0). Это означает, что фермер не получит ни чего, если не засеет поле зерновыми культурами.
Задача №3.
Рассчитать параметры моделей экономически выгодных размеров заказываемых партий.
На станке производятся детали в количестве 20 тыс. штук в месяц. Эти детали используются для производства продукции на другом станке с интенсивностью 5000 шт. в месяц. По оценкам специалистов компании, издержки хранения составляют 5 руб. в год за одну деталь. Стоимость производства одной детали равна 2,50 руб., а затраты на подготовку производства составляют 1000 руб. Каким должен быть размер партии деталей, производимой на первом станке и с какой частотой следует запускать производство этих партий? Постройте график общих годовых затрат.
Решение:
К = 1000 шт., (затраты на подготовку производства)
V = 5000 шт. в месяц или 60000 шт. в год, (детали, используемые на станке)
S = 5 руб. в год за деталь, (издержки на хранение одной детали)
= 20000 шт. в месяц или 240000 шт. в год. (количество производимых деталей)
Найдем размер партии деталей, производимой на первом станке по формуле Уилсона:
в год
Частота запускания партий в производство:
года или 1,08 месяцев
Общие затраты на управление запасами:
руб. в год
Построим по имеющимся данным график общих годовых затрат.
Рис.3 График общих годовых затрат.
Ответ: размер партии деталей, производимой на первом станке должен составлять 5656 деталей в год, а частота запускания этих партий на производство будет 1,08 месяцев, при этом общие затраты на управление запасами составят 11668,7 рублей в год.