Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
PAGE 48
Философские проблемы математики
Материалы для выполнения учебных заданий
Новосибирск
2006
УДК
ББК
Ф
Философские проблемы математики: Материалы для выполнения учебных заданий. Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 2006.
Составитель
Д-р филос. наук, профессор Л.С. Сычева
«Материалы» содержат статьи по философии математики, излагающие современные взгляды на философские проблемы математики, такие, как природа математического знания, способ бытия математических объектов, формирование нового знания в математике, отношение математики и других наук, различие чистой и прикладной математики. Материалы предназначены для студентов и магистрантов механико-математического факультета для углубленного изучения философских проблем их науки, а также для аспирантов ММФ, готовящихся к сдаче кандидатского экзамена «История и философия науки». Каждая статья снабжена вопросами, ответы на которые будут способствовать лучшему пониманию рассматриваемых вопросов.
СОДЕРЖАНИЕ
Философия математики
Френкель А., Бар-Хиллел И. Философские замечания
Целищев В.В. Поиски новой философии математики
Способ бытия математических объектов
Розов М.А. Способ бытия математических объектов
Коллинз Р. Социальная реальность объектов математики и естествознания
Розов Н.С. Природа «упрямой реальности» в философии естествознания и математики
Сычева Л.С. Проблема реальности математических объектов
Формирование нового знания в математике
Григорян А.А. Социокультурные и метафизические круги и их преодоление в развитии математики
Веркутис М.Ю. Рефлексивная симметрия как механизм новаций в условиях неведения
Отношение математики и других наук
Вигнер Е. Непостижимая эффективность математики в естественных науках
Возникновение математики
Нидам Дж. Общество и наука на Востоке и на Западе
Различие чистой и прикладной математики
Блехман И.И., Мышкис А.Д., Пановко Я Г. О различии некоторых подходов в чистой и прикладной математике
Философские проблемы математики
Книга А. Френкеля (математик, один из авторов важной системы аксиом Цермело-Френкеля для теории множеств) и И. Бар-Хиллела (специалист в области семиотики) представляет собой полный обзор результатов, полученных в основаниях теории множеств к 1958 году. Приведенный в хрестоматии параграф 8 из главы Y содержит изложение философских проблем, связанных с обоснованием математики, и различных точек зрения на их решение. Основное внимание направлено на исследование вопроса об онтологическом статусе множеств. Рассматриваются решения, предложенные платонистами, неономиналистами, неоконцептуалистами. Рассмотрены также попытки осознать математику как эмпирическую науку, качественно никак не выделяемую из других эмпирических наук, когда доказывается, что формальные науки менее «формальны», чем принято думать, а также попытка Куайна, которая исходит из того, что эмпирические науки не столь уж «эмпиричны».
Целищев Виталий Валентинович, директор Института философии и права СО РАН, логик, доктор философских наук, выпустил несколько книг по философии математики. В первой главе книги «Философия математики», приведенной в хрестоматии, дает сводку направлений в философии математики, более подробно характеризует структурализм, номинализм, реализм. Анализирует платонизм как представление о том, что математические объекты сущест вуют вне и независимо от человеческого сознания, существуют не в материальном мире, а в мире идеальных сущностей. Если платонизм как «рабочая» вера математика не вызывает у математиков никаких сомнений, то в философском отношении платонизм отягощен массой неприятных аспектов. Реакцией на философски затруднительную позицию платонизма является эпистемологизация математики, т.е. переход от рассмотрения традиционных вопросов о природе математических объектов и математической истины к исследованию вопросов математического познания.
Френкель А., Бар-Хиллел И.
Философские замечания.
Френкель А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. М., 1966. Глава Y, § 8. Стр.398-416.
Во многих местах этой книги, когда нам приходилось ка саться некоторых щекотливых «философских» вопросов, мы пре рывали изложение замечанием, что проблема эта будет освещена «позже». Теперь наступил последний срок выплаты накопив шихся долгов. Вряд ли читатель после чтения этого заключи тельного параграфа проникнется ощущением, что все возникшие перед ним проблемы получили теперь свое окончательное разре шение. Почти никаких окончательных суждений он здесь не встретит; единственно, в чем мог бы состоять прогресс, так это в самой формулировке некоторых из этих проблем, а также различных точек зрения на них, что могло бы способствовать лучшему пониманию их существа.
Первая из этих проблем — это онтологический статус множеств; не того или иного конкретного множества, а множеств вообще. Под словом «множество» обычно понимают то, что философы называют универсалиями (universals); таким образом, интересующая нас сейчас проблема есть частный случай давно известной и широко обсуждавшейся классической проблемы об онтологическом статусе универсалий. Три основных ответа на общую проблему универсалий, идущие еще от средневековых дискуссий, известны под именами реализма, номинализма и концептуализма. Мы будем рассматривать здесь не сами по себе эти направления мысли в их традиционных версиях (1), а только их современные аналоги, известные как платонизм (2), неономинализм и неоконцептуализм (впрочем, приставку 'нео' мы будем, как правило, опускать, так как здесь у нас не будет случая обсуждать старинные версии). Мы рассмотрим затем еще одну позицию, согласно которой вся эта проблема онтологиче ского статуса универсалий вообще и онтологического статуса множеств в частности есть не что иное, как метафизическая псевдопроблема.
Платонисты убеждены, что для каждого правильно определенного одноместного условия существует, вообще говоря, соответствующее множество (или класс), состоящее из всех тех и только тех предметов, которые удовлетворяют этому условию, и что это множество само является предметом с таким же полноправным онтологическим статусом, как и его члены. Если бы только не антиномии, то лучшим отражением интуитивной позиции платонистов должно было бы быть идеальное исчисление К (стр. 172) или что-нибудь в этом роде; главная особенность такого рода систем — это ничем не ограниченная схема аксиом свертывания. Будучи вынужденными считаться с реальной ситуацией, платонисты допускают, хотя и с неохотой, что их представления о том, что такое правильно определенное условие, могут оказаться недостаточно четкими, и заявляют о своей готовности наложить на употребление схемы аксиом свер тывания некоторые ограничения, вроде тех, что приняты в тео рии типов или в теории множеств цермеловского толка. Од нако в глубине души они надеются, что рано или поздно кому-нибудь удастся показать достаточность гораздо менее ради кальных мер предосторожностей. Может, конечно, случиться, что некоторые платонисты придут к убеждению (или другие сумеют убедить их) в том, что в мире, в котором они живут, предметы действительно расслоены (are really stratified) на типы и порядки, тогда они примут теорию типов не в качестве удобного соглашения, а в качестве описания реальной ситуации.
Неономиналисты заявляют, что они вообще не могут понять, что имеют в виду те, кто говорит о множествах, — такие разго воры для них могут представлять собой лишь facon de parler (манера выражаться). Единственный язык, на понимание которого они претендуют,— это исчисление индивидов (calculus of individuals), построенное как прикладное функциональное исчисление первого порядка. Многие обороты, используемые как в научном, так и в повсе дневном языке, зависящие, prima facie (на первый взгляд), от термина 'множе ство', номиналисты без особого труда точно переводят на свой ограниченный язык. Такое, скажем, обычное выражение как «множество предметов а есть подмножество предметов b» они переводят как «для всех x, если х есть а, то х есть b». Некоторые другие обороты и выражения представляют большие трудности для такого перевода. На языке теории множеств легко выра зить тот общепринятый способ образования понятий, посред ством которого какое-либо асимметричное и интранзитивное отношение порождает новое отношение наследственности (the ancestral) (5) (которое оказывается уже транзитивным). Например, исходя из допущения, что в области целых чисел уже имеется отношение 'быть на единицу больше’ (но пока не про сто 'быть больше'), определяют: х больше, чем у, если и толь ко если х отлично от у и х принадлежит всем множествам, со держащим у и все целые числа, на единицу большие любого их члена. Воспроизведение такого способа образования поня тий в исчислении индивидов часто требует больших ухищре ний, в ряде же случаев эта задача по-видимому, вообще невыполнима (6). Известно, что выражения типа «кардинальное число множества а есть 17» (или «... не более 17», или «... не менее 17», или «... лежит между 12 и 21» и т. п.) легко выразимы в функциональном исчислении первого порядка с равенством. Однако такое выражение, как «кошек больше, чем собак» уже вызывает значительные трудности, и хотя в данном и любых других конкретных случаях эти трудности все же преодолимы, нет общего метода номиналистического истолкования выражения «предметов а больше, чем предметов b» (7). Трудности, возникающие при попытках выразить всю клас сическую математику в номиналистических терминах, производят впечатление непреодолимых — и так оно, по всей вероятности, и есть. Поскольку речь идет о канторовской теории множеств, теории трансфинитных кардинальных чисел и подобных им теориях, то номиналисты только рады избавиться от этих теорий и с равнодушием относятся к понесенным «потерям». Зато к тем разделам математики, которые находят примене ние в других науках, номиналисты относятся со здоровым ува жением, и многие из них готовы скорее подвергнуть сомнению собственную философскую интуицию, нежели принести в жертву хотя бы часть такой рабочей математики. Есть только два заслуживающих внимания выхода из возникающих затрудне ний: либо продолжать пользоваться всеми нужными частями математики в надежде, по-видимому, не слишком обоснован ной (8), что в конце концов удастся получить их адекватную переформулировку в номиналистических терминах, либо объ явить всю высшую математику неинтерпретируемым исчисле нием, пользование которым, несмотря на отсутствие интерпре тации, оказывается возможным благодаря тому обстоятельству, что его синтаксис формулируется (или может быть сформули рован) на вполне понятном номиналистическом метаязыке (9). Насколько успешно неинтерпретированное (и непосредственно не интерпретируемое) исчисление может выполнять возлагаемую на него задачу согласования интерпретированных предложений эмпирического характера — вопрос пока еще далеко не ясный, несмотря на большие усилия, потраченные на его решение мно гими учеными, занимавшимися проблемами философии науки (10). Здесь явственно усматривается близость к формалистической (гильбертовской) позиции, согласно которой определенная часть математики, в основном рекурсивная арифметика, считается интерпретируемой, а остальная часть — неинтерпретированным исчислением, используемым в качестве средства преобразования осмысленных предложений в другие осмысленные утверждения, причем этот статус «идеальных» частей математики сравнивается со статусом «идеальных» точек в аффинной геометрии.
От такой точки зрения остается всего один шаг до принятия философии «как-будто» („As-if "philosophy"); Генкин (11) указывает, что финитистски настроенный номиналист, т.е. тот, кто верит, что мир (который для него представляется всегда в виде некоторой однородной области индивидов, причем природа этих индивидов роли не играет) состоит лишь из конечного числа элементов, вполне мог бы допустить, что существование беско нечного числа предметов есть полезный обман (pretense) (рань ше в таких случаях говорили 'фикция' (fiction)). Он, конечно, видит, что уж если быть готовым к фикциям, то с таким же успехом можно было бы согласиться с фикцией о существовании универсалий и пользоваться в полном объеме платонистским языком, отрицая в то же время, что тем самым приходится принимать онтологические соглашения, связываемые обычно с таким языком; однако он чувствует, что между этими двумя фикциями есть существенное различие, вследствие которого по следовательный номиналист охотнее согласится с первой фик цией, чем со второй; Генкин признает при этом, что никакого объективного критерия для такого различения фикций ему неизвестно. Конечно, он прав, говоря, что такой образ действий, при котором использование языков форм не предполагает принятия онтологических допущений, производит несколько легко мысленное впечатление и нуждается поэтому в дальнейших разъяснениях (12).
Имеются и такие авторы, которых не привлекает ни сочная растительность платонистских джунглей, ни суровый пустынный ландшафт неономинализма. Им больше нравится жить в тщательно распланированных и хорошо обозримых садах неоконцептуализма. Они претендуют на понимание того, что такое множество, хотя и предпочитают пользоваться метафорой по строение (или придумывание (inventig}), а не любимой мета форой платонистов выбор (или открытие); эти метафоры заменяют собой более старую антитезу: существование в созна нии— существование в некотором внешнем (реальном или иде альном) мире. Неоконцептуалисты готовы допустить, что лю бое вполне определенное и ясное условие действительно опреде ляет соответствующее множество — коль скоро в этом случае они могут «построить» это множество, исходя из некоторого за паса множеств, существование которых либо интуитивно оче видно, либо гарантировано предварительными построениями,— но не согласны принимать никаких аксиом или теорем, в силу которых им пришлось бы согласиться с существованием каких бы то ни было множеств (13), не характеризуемых конструктив ным образом. Поэтому они не допускают множеств, соответствую щих непредикативным условиям (за исключением, конечно, тех случаев, когда можно доказать, что такое условие можно заме нить равносильным ему предикативным), и отрицают справед ливость (validity) теоремы Кантора в ее наивной, абсолютной интерпретации, в силу которой множество всех подмножеств любого данного множества имеет мощность большую, чем мощность самого этого множества. Абсолютное понятие несчетности объявляется лишенным смысла, хотя и может случиться, что какое-либо бесконечное множество окажется не перечислимым с помощью некоторых данных средств.
Конечно, в номиналистически интерпретируемой теории мно жеств, при которой '' интерпретируется как 'является членом', заключено contradictio in adiecto (14 - противоречие по определению). Но мы говорили уже, что некоторые номиналисты согласны пользоваться теорией мно жеств как неинтерпретированным исчислением, выполняющим чисто трансформационные функции. И платонисты, и концеп туалисты настаивают на том, что теория множеств (как и вооб ще математика) должна быть интерпретируемой и понимаемой сама по себе и не использовать никаких неинтерпретируемых исчислений. Расходятся же эти два направления в своем понимании того, что такое «понимаемость» (intelligibility).
Нечего и говорить, что каждое из этих больших философских направлений распадается на множество более специальных, что границы их неопределенны и что часто бывает очень трудно отнести какого-либо автора с полной определенностью к одному из них. Логицизм обычно считают одной из разновидностей пла тонизма; однако сам Рассел на протяжении своей шестидесяти летней философской деятельности не раз высказывал идеи, носящие концептуалистский и даже номиналистический характер (15). Разветвленная теория типов имеет явственный концептуа листский привкус; что же касается аксиомы сводимости, то она, конечно, является платонистской. Когда он выступил со своей бесклассовой теорией (no-class theory), многие расценили ее (особенно это относится к члену венского кружка Гансу Хану в начале 30-х годов (16); впрочем, пожалуй, некоторое время так был настроен и сам Рассел) как чисто номиналистическую, про должающую традиции бритвы Оккама. (Это было, однако, яв ным недоразумением, объясняемым отчасти двусмысленностью употребляемого Расселом термина 'пропозициональная функция': в значениях 'открытая формула' и в то же время 'аттрибут' (attribute). Фактически Рассел показал, каким образом можно обойтись без употребления классов, заменив их «пропозицио нальными функциями»; но эти функции были не чем иным, как аттрибутами (свойствами или отношениями), т. е. по меньшей мере такими же «универсалиями», какими являлись сами клас сы; Рассел отдавал себе отчет в двусмысленности этого своего словоупотребления, но заблуждался, полагая, что оно имеет чисто языковую природу (17). Гёделя теперь принято считать платонистом; но первые его работы испытали сильное влияние гильбертовской школы и даже Сколема, настроенного еще более решительно концептуалистски. Гёделевский постулат конструк тивности (стр.153), имеющий очевидную концептуалистскую на правленность, в качестве такового получил признание и одобре ние концептуалистов; но сам Гёдель отказывается рассматри вать его в качестве истинного теоретико-множественного утверждения (statement). Гильберт — отец современного форма лизма; но его метаматематика в сильной степени концептуалистична, а взгляд, согласно которому математические понятия высших ступеней абстракции имеют «идеальную» природу, во обще трудно отнести с определенностью к какому-либо из обыч ных направлений. Лоренценовский операционизм следует охарактеризовать как некий переходный оттенок в смеси кон цептуализма и номинализма породы «как-будто», но характери стика эта лишь в малой степени вскрывает нам все отпугиваю щие стороны его позиции. Куайн, начинавший как логицист, в течение многих лет пытался защищать номиналистическую по зицию, но теперь он чувствует, что, устав от своих донкихотских попыток номиналистской реконструкции, может впасть в концептуализм, успокаивая при этом «свою пуританскую совесть сознанием, что не совсем уж погряз в платинистской скверне (18)» (19). Для первых работ Тарского характерна идущая от Лесневского позиция, характеризуемая самим Тарским как интуиционистский формализм; но теперешняя его позиция уже не такова (20). Если раньше он испытывал затруднения, связанные с обоснованием оперирования над бесконечными множествами предложений, то теперь он, не проявляя видимых угрызений совести, вводит в рассмотрение языки, множества индивидных констант которых имеют любую мощность.
Было бы легко, даже слишком легко, продолжать в том же духе. Лишь очень немногие современные логики и математики последовательно и неуклонно придерживались в течение всей своей жизни одной и той же философской линии. Говоря об исключениях из этого правила, можно назвать Брауэра, всю жизнь являющегося искренним и бескомпромиссным концеп туалистом (позиция эта, между прочим, не помешала ему дока зать несколько «классических» теорем топологии), Чёрча, про поведующего прямолинейный (хотя отнюдь не догматический) платонизм, и Гудмена, до сих пор не поддавшегося концептуа листским соблазнам и стойко исповедующего самый крайний но минализм, который если и меняется в чем-либо со временем, то разве что в сторону еще большей радикальности. Следует, прав да, отметить, что номинализм его несколько особой марки и имеет мало общего с классическим номинализмом. Номинализм этого рода можно было бы назвать чисто синтаксическим номи нализмом; Гудмен настаивает на том, что единственной законной формой языка является некоторое функциональное исчисление первого порядка, но без каких бы то ни было ограничений, по крайней мере официально принятых им, на онтологический ста тус самих индивидов, до которых ему нет решительно никакого дела; в качестве таковых можно рассматривать хотя бы сообщения с того света, или числа, или множества, вернее «множества», поскольку про такие множества нельзя сказать, что они содержат какие-либо члены. Короче говоря, девиз Гудмена та ков: он ничего не имеет против множеств, он только не может понять, что значит множество чего-либо (21) .
Для большинства авторов, занимавшихся основаниями математики, характерно поразительное непостоянство философских позиций. С их точки зрения, эти изменения воззрений вполне естественно объяснять эволюцией мышления в сторону большей его зрелости и считать более поздние позиции более обоснованными, нежели ранние, независимо от того, в какую именно сто рону произошел сдвиг.
В то же время вполне естественно, что в глазах некоторых мыслителей все эти причудливые блуждания служат подтвер ждением той точки зрения, что ни одна из рассмотренных трех основных онтологических концепций объективно не имеет ни какого отношения к проблеме оснований, независимо от того, что думают по этому поводу приверженцы этих концепций и насколько сильны в этом отношении их чувства. Сторонники та кого образа мыслей пришли к выводу, что теории множеств следует оценивать не по их онтологиям (в смысле Куайна), а по их плодотворности. Существуют или нет непредикативные множества — на этот вопрос не следует ждать ответа ни от теоретических рассуждений, ни от (иррациональной?) веры, ос новывающейся на интуиции или свободе совести. Получившие столь широкое распространение противоположные мнения были вызваны совместным рассмотрением и смешением двух совершенно различных вопросов: первый из них — можно ли доказать, или опровергнуть, или доказать неразрешимость не которых определенных экзистенциальных предложений в неко торой данной теории; другой вопрос — следует ли принять всю эту теорию. Можно ли доказать в существование множества, являющегося объединением (множеством-суммой) трех данных множеств,— это серьезный вопрос, легко решаемый, как мы знаем, положительно. Можно ли доказать в несуществова ние нетривиального недостижимого числа — это еще более серь езный вопрос, причем настолько трудный, что мы не умеем на него ответить. По отношению же к системе на тот же са мый вопрос тривиальным образом следует дать отрицательный ответ. А для некоторых других теорий ответ может оказаться положительным, иногда получаемым тривиально, иногда тре бующим глубоких рассуждений. Следует ли принять систему , или , или , или Т*, или , или , или что вам еще угодно, - это уже другой, очень серьезный вопрос, но, конеч но, вопрос совершенно иного рода. Сущность его в практи ческом решении, основанном на таких (теоретических) сообра жениях, как правдоподобность непротиворечивости, удобство для проведения выводов, эффективность построений классиче ского анализа, педагогические соображения, а может быть, на личие стандартной модели, и т. п. Смешение этих двух совершенно различных вопросов приводит к такого рода псевдопроблемам, как, скажем, существуют ли несчетные множества (как таковые, в абсолютном смысле, а не в рамках данной теории), провоцирующим бесплодные псевдотеоретические дискуссии или создающим впечатление, что ответ на такого рода во прос могут подсказать только интуиция и философские убежде ния, основываясь на которых платонист ответит на этот вопрос ясным «да», а концептуалист и номиналист столь же ясным «нет», поскольку интуиции, из которых они при этом исходят, совершенно различны.
Самый выдающийся представитель этой четвертой, антионтологической, точки зрения — Карнап. В одной из своих послед них работ (22) он ввел для обозначения двух названных нами во просов термины: внутренняя проблема {question) существования и внешняя проблема существования. Правда, Карнап не зани мается непосредственным приложением этого различения к про блемам оснований теорий множеств; но нам представляется, что такое приложение осуществляется совсем легко и прямо, и мы надеемся, что не исказим точку зрения самого Карнапа на обсу ждаемый сейчас вопрос.
Точка зрения эта также не свободна от своих собственных трудностей. Мы не будем обсуждать их здесь. Считаем только необходимым сказать, что наше изложение могло породить не сколько преувеличенное представление о степени расхождения позиций Куайна и Карнапа. Верно, что Куайн часто повторял, принять какую-либо теорию можно, лишь связав себя некоторыми абсолютными онтологическими соглашениями; верно, что Карнап как раз это самое отрицал. И тем не менее далеко не ясно, до какой степени это расхождение не является чисто (или преимущественно) словесным (23).
Мы уже говорили (гл. III, стр. 216), что некоторые неокон цептуалисты отвергают не только непредикативные способы образования понятий, но и более широкий класс методов нео пределенного (в смысле Карнапа) образования понятий; если говорить об этом в терминах метаязыка, речь идет об отказе от языков с неограниченной квантификацией. Сторонники такой позиции (среди них можно назвать Пуанкаре, Брауэра, Витген штейна, Кауфмана, Сколема и Гудстейна) приходят к своему отказу от таких трансфинитных операций под влиянием того соображения, что не существует разрешающей процедуры, ко торая позволяла бы решать вопрос об истинности квантифицированных предложений. Отождествляя осмысленность с эффек тивной проверяемостью (effective verifiability) (24), они немедлен но приходят к заключению, что выражения, содержащие неогра ниченные кванторы, вообще говоря, бессмысленны.
Философские аспекты этой позиции более чем сомнительны. Наиболее распространенные возражения против нее состоят в том, что принятие ее изуродовало бы математику, точно так же, как принятие аналогичной позиции в отношении эмпирических предложений изуродовало бы эмпирическую науку. Нельзя, однако, не признать, что теории, удовлетворяющие ее требованиям, обладают определенной привлекательностью. Скажем, арифметика, исходящая из отношений (или операций), эффективно разрешимых в каждом конкретном случае, и запрещающая использование неограниченных кванторов при образовании дальнейших своих понятий, остается на всех стадиях своего развития интуитивно прозрачной, это, безусловно, одна из са мых надежных и наименее подверженных сомнениям теорий, имеющих дело с бесконечной предметной областью. Понятно, что Гильберт должен был стремиться доказать формальную не противоречивость математики именно в этой весьма интуитивной рекурсивной арифметике (recursive number theory). Сколему удалось в рамках этой теории развить значительную часть классической арифметики, а Гёдель превосходно показал достаточность ее средств для арифметизации элементарного синтаксиса любой формальной системы (25).
В четко определенных языках, хотя они и подчиняются пра вилам классической пропозициональной логики, те употребления принципа исключенного третьего, против которых возражают интуиционисты и которые часто ответственны за возникновение антиномий (26), остаются в стороне как раз потому, что они не мо гут быть сформулированы. Неограниченная общность предложе ний выразима с помощью свободных переменных; что же ка сается неограниченных экзистенциальных предложений, то они вообще не могут быть выражены в таком языке: утверждать
‘F(х)’- значит утверждать, что все х суть F, но утверждать ‘~ F(x)’ — значит утверждать вовсе не то, что не все х суть F, а то, что все х суть не F или что никакое х не есть F.
Тот факт, что запрещение обычных (неограниченных) кванторов не приводит к таким тяжелым ограничительным последствиям, каких можно было бы ожидать, можно проиллюстрировать следующим, довольно тривиальным примером. Пусть в некоторой теории натуральных чисел уже определен дву местный предикат ‘D’ («делит»); тогда можно дать обычное определение одноместного предиката ‘Р’ («есть простое»), скажем, следующим образом:
Вся хитрость теперь состоит в замене ‘(Ау)’ на ‘(Ау)’х (читается: ‘для всех у от 0 до х включительно’). Вообще всякий раз, когда мы, вводя какое-нибудь разрешимое свойство, хотим заменить неограниченные кван торы ограниченными, нам нужно только найти какую-нибудь верхнюю границу рассматриваемых чисел.
Поэтому и было предложено (27) считать один из определенных языков, а именно Язык I Карнапа, «в известном смысле» осуществлением наиболее решительных концептуалистских тенденций, иногда именуемых ‘финитистскими’ или ‘конструктивистскими’. Некоторые авторы (например, Сколем или Гудстейн) согласились бы, пожалуй, с такой формулировкой их взглядов, но интуиционисты не согласились бы, хотя, быть может, лишь по той причине, что они вообще считают, что интуицию нельзя адекватно выразить посредством какой бы то ни было формализации.
Отдельно стоит сказать о Лоренцене, который решительней шим образом отвергает непредикативное образование понятий и в то же время с полной определенностью допускает неогра ниченную квантификацию (28), отказываясь иметь дело с затруд нениями, связанными с критерием верифицируемости. Он не придерживается концептуалистической философии, множества для него — это всего-навсего пропозициональные формы (29), ус ловия со свободными переменными, а вовсе не внеязыковые сущности, соответствующие этим формам, как для настоящего концептуалиста. Но Лоренцен не является и синтаксическим но миналистом и уже тем более платонистом. Не примыкает он и к последователям Карнапа. Математика для Лоренцена — не лингвистическая неинтерпретированная схема, оцениваемая в зависимости от ее плодотворности и т. п., а интерпретированная теория схематических операций над неинтерпретированными исчислениями.
Несмотря на многочисленные расхождения, философия ма тематики Карри (30) ближе всех связана с философией Карнапа. Подобно Карнапу, Карри отвергает любые онтологические допу щения (commitments) (31) и в качестве критерия для оценки математических теорий настойчиво выдвигает их приемлемость (acceptability}(32). Он называет свою концепцию эмпирическим формализмом, подчеркивая этим ее отличие от гильбертовской версии формализма, с которой она и в самом деле значительно расходится; более уместным был бы, пожалуй, термин прагма тический формализм. Утверждение Карри, что формалистское (предлагаемое им) определение математики не нуждается ни в каких предварительных философских допущениях и что разго вор о философских различиях было бы разумнее вести в тер минах «приемлемости», вполне согласуется с теперешней точкой зрения Карнапа, а проводимое Карри различение между обсу ждением вопроса об истинности какого-либо данного математи ческого предложения (statement) в данной системе и вопроса о приемлемости этой системы в целом, по-видимому, равносильно карнаповскому различению внутренней и внешней проблем су ществования.
В отличие от гильбертовского формализма Карри с прене брежением относится к доказуемой непротиворечивости, отводя более важную роль приемлемости. Это различие позиций, по-ви димому, не столь уж принципиально, поскольку и сам Гильберт не считал, что непротиворечивость является достаточным усло вием приемлемости (33). Что же касается интуитивной очевидно сти, то это, по мнению Карри, роскошь, без которой математика может превосходно обойтись. «Поскольку дело касается приемлемости для физики, анализ не более нуждается в доказательствe непротиворечивости, чем в интуитивной очевидности» (34).
Наконец, аргументы Карри в защиту терпимости (tolerance) допросах приемлемости (35) отражают, вероятно намеренно, знаменитый карнаповский принцип терпимости (36). Всякому, кто настаивает, основываясь на своей интуитивной убежденности, что raison d'etre имеют лишь математические системы определенного рода, стоит еще раз как следует подумать, не тормозит ли его нетерпимость научный прогресс, а не пытаться втиснуть науку в узкую колею единственного пути, обещающего надежду. В некоторых случаях конструктивность является необходимым условием приемлемости математической теории — так, сажем, обстоит дело с метаматематикой или с машинной математикой; поэтому теории конструктивного (theories of the conctructible} (термин этот, в противовес употребляемому в следующей фразе, недавно предложен Гейтингом (37)) стоят того, чтобы их изучали математики с любыми философскими убе ждениями; и их действительно изучают математики с совершенно различными убеждениями, равно как и те, что обходятся без всяких философских убеждений. Что же касается утвер ждения, согласно которому единственная законная математи ка — конструктивная математика (constructible mathematics}, то очень мало шансов, что оно убедит кого-либо из тех, кто не разделяет особой точки зрения интуиционистов.
В наши намерения не входило давать здесь полную сводку всех существующих направлений философии математики. Все же будет уместно сделать еще несколько замечаний на эту тему.
Мы совсем пока не говорили о той концепции математики, согласно которой математика рассматривается как эмпириче ская наука, качественно никак не выделяемая из других эмпи рических наук. Мы не говорили об этом до сих пор по той при чине, что просто не можем себе представить, каким образом можно было бы обосновать веру в то, что «источником и окон чательным raison d'etre понятия числа, как натурального, так и действительного, является опыт и практическая применимость» (38), хотя именно эту веру исповедует Мостовский, и аналогичные заявления можно встретить также в других, весьма многочисленных сочинениях, начиная еще с Джона Стюарта Милля. Разумеется, можно было также считать, что за такого рода заявлениями не скрывается ничего большего, нежели тривиальная констатация того факта, что опыт привел человечество к математике. Трудно, однако, согласиться с этой тривиализацией; совершенно непонятно, например, как из такого истолкования можно «сделать вывод, что имеется только одна арифметика натуральных чисел, одна арифметика действитель ных чисел и одна теория множеств» (39). Но какой же еще смысл может иметь заявление, что источник бесконечных множеств заключается в опыте? (У нас нет особых возражений против того взгляда, что окончательный raison d'etre понятий числа и множества лежит в их практической применимости, но мы ре шительно не понимаем, как из этого можно извлечь единствен ность арифметики и теории множеств.)
Эту попытку игнорировать качественное отличие формальных наук (логики и математики) от реальных (эмпирических) наук, представляющуюся нам недостаточно обоснованной, не следует смешивать с другой недавней попыткой, предпринятой Куайном (40) и другими, игнорировать границу между этими науками. Последняя отличается от первой тем, что основным ее тезисом является не столько утверждение, что формальные науки менее «формальны», нежели принято думать, сколько утверждение, что эмпирические науки не столь уж «эмпиричны». В защиту этой точки зрения приводятся довольно убедительные аргументы, но выводы, которые можно сделать из этих аргументов, вовсе не предопределены с необходимостью. С таким же (а пожалуй, даже с большим) успехом можно прийти к заключению, что в эмпирической теории следует различать теоретическую подтеорию и экспериментальную подтеорию, так что математика — или требующиеся к данному случаю ее разделы — составляла бы вместе с некоторой конкретной теоретической подтеорией исчисление, хотя непосредственно и не интерпретированное, но получающее частичную и косвенную интерпретацию с помощью специальных правил соответствия, связывающих теоретические термины с почерпнутыми из наблюдения и опыта понятиями экспериментальной подтеории (41).
За последнее время было предпринято немало попыток ис толкования некоторых метаматематических теорем, например теоремы Лёвенгейма — Сколема или теоремы Гёделя о неполноте в качестве доводов, опровергающих одни онтологические воззрения и поддерживающих другие. Эти попытки, по нашему мнению, к успеху не привели. Свои сомнения по этому поводу, касающиеся теоремы Лёвенгейма — Сколема, мы уже выражали раньше (гл. II, стр. 138—139). Что же касается теоремы Гёделя, то мы склонны признать точку зрения Майхилла (42), глубоко критикующего доводы, основанные на различии понятий «дока зуемое» и «истинное», и присоединиться к его утверждению, что доводы эти вовсе не опровергают номиналистическую позицию (но никоим образом не разделяем майхилловской интерпрета ции ограничительных теорем Гёделя, Чёрча и др., носящей пси хологический характер). Вообще мы считаем маловероятным, что какие бы то ни было математические и метаматематические результаты смогут окончательно опровергнуть какую-либо из онтологических позиций, хотя и вполне возможно, что в ка честве факторов иррациональной природы они смогут оказы вать значительное влияние на готовность принять какую-либо из этих позиций. Если кому-нибудь будет угодно заключить отсюда, что ни одна онтологическая концепция, ввиду неопро вержимости каждой из них, не имеет никакого значения для математики (именно для математики, а не для математиков), мы не станем ему особенно возражать.
Теперь нам легче оценить — хотя, пожалуй, и не решить — выдвинутую выше (стр. 379—382) проблему. Мы видели тогда, что непополнимость некоторых логистических систем может иногда быть истолкована как неаксиоматизируемость некото рых формализованных теорий. Но если такое истолкование для арифметических теорий было вполне естественным, то по от ношению к теориям множеств оно внушает сомнения. Дело в том, что существует по крайней мере одна формализованная арифметика, полная относительно ясного и естественного поня тия общезначимости (validity), а именно арифметика Сколема; что же касается теорий множеств, то ничего подобного о них сказать нельзя.
В каком же тогда смысле существует, если только этому действительно придается смысл, единственное в своем роде понятие множества (натурального числа), подчиняющееся един ственной настоящей Теории Множеств (соответственно Арифме тике Натуральных Чисел), неполными приближениями к кото рой являются имеющиеся аксиоматические теории множеств (арифметики)? Мы уже знаем, что некоторые эмпирические реалисты, например Мостовский, ответили бы на этот вопрос заявлением, что множества и натуральные числа существуют и (приблизительно) том же смысле, в каком существуют живот ные или камни, и что Теория Множеств и Арифметика един ственны опять-таки в том же самом смысле, в каком единствен ны Зоология (43) и Минералогия. Возможно, что другие предста вители эмпирического реализма проводили бы здесь различие, утверждая реальность и единственность только для чисел и арифметики, но не для теории множеств. Мы уже признались в своей неспособности понять любую из этих позиций.
Все платонистски настроенные реалисты убеждены в един ственности чисел — не как эмпирических сущностей, а как платонистских идей — и их теории (т.е. арифметики- 44). (Для интересующих нас це лей не существенно, какие термины используются для обозначе ния специфической «формы бытия» этих сущностей, в отличие от формы бытия животных и камней. Некоторые авторы упо требляют в таких случаях различные поясняющие эпитеты, дру гие проводят различие между «бытием» (being), «существова нием» различного рода («existence», «subsistence»), «реальностью» (reality) и т. п.) Например, Гёдель полагает, «что допущение таких объектов [классов и общих понятий] столь же законно, как и допущение физических тел, и имеются столь же веские осно вания верить в их существование» (45). Однако не ясно, следует ли из этой точки зрения единственность классов и понятий, или же различные, возможно даже несовместимые между собой, си стемы таких сущностей могли бы выполнить задачу «получения удовлетворительной системы математики». Мы не убеждены, что расстояние между прагматическим платонизмом Гёделя и праг матическим формализмом Карнапа и Карри так уж велико, как это принято считать. Действительно ли так глубока пропасть между следующими двумя позициями: верой в существование множеств, обосновываемой их необходимостью для получения некоторой удовлетворительной системы, и принятием некоторой теории множеств, обосновываемым тем, что эта теория способ ствует получению некоторой удовлетворительной системы?
Концептуалисты и номиналисты имеют мало оснований ве рить в однозначную определенность понятия множества, хотя большинство концептуалистов верят в однозначную определен ность натурального ряда чисел, который служит им в качестве основы для их построений. Но сами построения вовсе не обя зательно должны осуществляться однозначным образом.
Для антионтологистов вся эта проблема вообще не возни кает. Источник веры в единственность Теории Множеств совер шенно ясен. В неэлементарные теории повсеместно проникают теоретико-множественные понятия, и если сама теория множеств понимается как элементарная аксиоматическая теория, то вся кая неэлементарная теория может тогда рассматриваться как объединение двух элементарных теорий: элементарной теории множеств и некоторой элементарной теории, специфичной для рассматриваемой дисциплины. Решающее понятие «абсолютной модели» неэлементарной теории, т. е. такой модели, в которой теоретико-множественные понятия получают их стандартную интерпретацию, определена однозначно лишь в той же мере, в какой однозначно определена стандартная интерпретация этих понятий. Поэтому верно утверждение, что понятие абсо лютной модели «получит более глубокое значение только то гда, когда будут решены трудные проблемы оснований теорий множеств, благодаря чему математики могут единодушно при нять один способ обоснования этой теории» (46). Но мы не ви дим пока решительно никаких оснований верить в единствен ность решения проблем оснований теории множеств, которое привело бы всех математиков к принятию одной такой теории в качестве подлинной (47) Теории Множеств. Прагматическая необходимость такой веры, мотивируемая тем, что в случае отказа от нее возник бы хаос, когда каждый математик говорил бы о своей собственной теории множеств, более чем сомнительна. Для того чтобы быть хозяевами положения, нам вполне достаточно прагматического критерия приемлемости. Наличие многих конкурирующих между собой теорий множеств, по, крайней мере до тех пор, пока они не вносят существенных перемен в каждодневную деятельность математиков и физиков, вряд ли настолько опасно, чтобы оправдывать навязывание какого бы то ни было credo в этом отношении. Поскольку вера в объективную реальность (что бы под этим ни подразумева лось) и обусловленная ею однозначная определенность понятия множества и самой теории множеств — это всего лишь своего рода успокоительные средства, вовсе не приводящие к догматическому отказу от каких-либо предложенных теорий множеств (заметим, что даже Мостовский самым недвусмысленным образом заявляет, что «у нас нет критериев, которые могли бы указать на правильный выбор из этих многих систем [теорий множеств] (48)), такой метафизический акт веры оказы вается совершенно безобидным, даже в известном смысле по лезным. Но часто всего один шаг отделяет веру в существова ние объективного критерия, с помощью которого можно было бы однозначным образом решить спор между конкурирующими теориями, от веры, что этот критерий уже найден, и от присвое ния права предать анафеме все эти теории, кроме как разве что какой-нибудь одной, во имя некой земной или небесной реальности. И многие предпочитают беспокойную свободу рабскому спокойствию.
Во взглядах на то, каким образом можно было бы достигнуть удовлетворительного обоснования теории множеств, все еще имеется большое расхождение, и громадное количество возникающих в этой связи проблем еще далеко не решено. И все же подавляющее большинство математиков отказывается счи тать, что идеи Кантора были всего лишь болезненным бредом. Несмотря на то что основания теории множеств все еще довольно шатки, эти математики продолжают с успехом применять понятия, методы и результаты теории множеств в большей части разделов анализа и геометрии, и даже отчасти в арифметике и алгебре, твердо веря в то, что работы по обоснованию теории множеств приведут в конце концов к реабилитации теории множеств в полном (или по крайней мере почти полном) ее классическом объеме. Эта позиция отнюдь не исключает готовности интерпретировать теорию множеств совсем не так, как это обычно делается, что соответствует, очевидно, существующей потребности в пересмотре интерпретации логики и математики вообще.
Примечания
1. Доступное описание этих классических точек зрения, выполненное с современных позиций, см. в статьях Штегмюллера, 56—57, где представлены также и некоторые из новейших направлений.
2. Этот термин (в принятом здесь нами смысле) впервые употреблен, по-видимому, Бернайсом, 35. Был ли (да и вообще мог ли быть) платонистом сам Платон — вопрос спорный. Ср., например, рецензию П. Хенле на книгу Гудмена, 51, в Journal of Symbolic logic, 17 (1952), 130—133.
3. Манеру выражаться (франц.). — Прим. перев.
4. На первый взгляд (лат.). —Прим, перев.
5.То есть —для какого-либо данного бинарного отношения R —такое отношение между х и у, которое равносильно наличию цепочки , где и для всех i, , ; см., например, Гудстейн, 57, стр. 138 русского издания, т- Прим. перев.
6. Ср. Гудмен — Куайн, 47; Гудмен, 51, 56; Куайн, 53.
7. См. Гудмен, 51, стр. 37 и сл.
8. О причинах безнадежности нахождения для (какой-нибудь формы) аксиомы бесконечности такой интерпретации, которая удовлетворила бы финитистски настроенных номиналистов, см. Генкин, 53а, стр. 27.
9. Ср. Гудмен — Куайн, 47.
10. Подробное обсуждение современного состояния очень близкого вопроса — статуса теоретических понятий в эмпирических науках — см. у Карнапа, 56, и в упоминавшейся выше (стр. 385, примечание 2) статье Хемпела.
11. Генкин, 53а, стр. 28.
12. См. Карнап, 50а, 56, Алстон, 58, Иссман, 58. Можно ожидать, что материалы готовящегося к печати сборника “The philosophy of Rudoff Carnap» — The Library of Living philosophers — внесут существенный вклад в такого рода необходимое разъяснение.
13. Обсуждение этого вопроса, так же как и всего круга проблем, рас сматриваемых в данном пункте, см. у Бета, 56, стр. 41 и ел
14. Противоречие по определению; противоречивое свойство (лат.).— Прим. перев.
15. Подобные случая могут быть объяснены эволюцией науки: номинали-
стические тенденции в свое время привели к логицизму, а впоследствии
логицизм уже стал рассматриваться как разновидность платонизма, и т. п.—
Прим. ред. /
16. *Хан, 7, 9, 10.
17. Ср. Куайн, 53, стр. 122—123.
18. Куайн, 53, стр. 129 [буквально: «... не вкусил лотоса с платонистами» (идиома lotus-eater («поедатель лотоса») имеет два значения: 1) праздный мечтатель, 2) человек, живущий в свое удовольствие. — Перев.].
19. Куайн, 53, стр. 129.
20. Ср., например, Тарский, 56, стр. 62.
21. [Курсив добавлен при переводе; в оригинале эsets-of '. — Перев.] Чрезвычайно ясное описание этого оттенка номинализма и убедительная защита его непривычных утверждений от всяческих нападок изложены в статье Гудмена, 56.
22. См. Карнап, бОа.
23. Ср. между собой последние параграфы книги Карнапа, 50а, и вторую статью из сборника Куайна, 53 (стр. 46) .
24. Аналогичное отождествление, касающееся эмпирических предложений, идёт еще от Пирса и в качестве верификационного критерия-смысла играло важнейшую роль в начальной стадии развития логического эмпиризма. Об истории этого вопроса см., например, *Карнап, 18.
25. Классическим изложением этой теории может служить книга Гуд-
стейна, 57. Не предполагается никакой предварительной основы, даже про-
позиционального исчисления. Ср. также Гудстейн, 54; по поводу стоящей за
этой теорией философии см. Гудстейн, 52.
26. Уже отмечалось, что ответственность за возникновение антиномий ле жит (если принимается положительное исчисление предикатов) не на упо треблениях закона исключенного третьего, а на неограниченном употреблении аксиом свертывания. — Прим. ред.
27. См. Карнап, 37, стр. 46.
28. Лоренцен, 55, стр. 6.
29. Или, еще вернее, они получаются в результате акта абстракции от эквиполлентных пропозициональных форм — всем эквиполлентным фор мам соответствует одно и то же множество.
30. Взгляды Карри претерпевали с годами значительные изменения. Кро ме того, многие из его работ были опубликованы (из-за второй мировой войны) гораздо позднее времени их написания, иногда уже после опублико вания более поздних сочинений. Эти обстоятельства (а также многократные изменения в терминологии) осложняют оценку вклада Карри в разработку проблем обоснования математики. Наш беглый очерк основывается главным образом на книге Карри, 51 (написанной еще в 1939 г.), содержание кото рой было впоследствии изложено более сжато в статье Карри, 54.
31. Карри, 51, стр. 31.
32. Карри, 51, стр. 59 и сл.
33. Ср. Гильберт, 25, стр. 163 [стр. 340 русск. изд. Здесь Гильберт гово рит буквально следующее: «... если, помимо доказательства непротиворечи вости, может иметь смысл еще вопрос о законности некоторого мероприятия, то таким вопросом может быть только вопрос о том, сопровождается ли это мероприятие соответствующим успехом или нет. Действительно, успех здесь необходим; он является высшей инстанцией, перед которой преклоняется каждый». Насколько уместно делать из подобных высказываний заключения «о не столь уж принципиальном различии позиций» Карри и Гильберта, предоставляем судить читателю. — Перёв.].
34. Карри, 51, стр. 62.
35. Карри, 51, стр. 64.
36. Карнап, 37, стр. .51.
37. На Коллоквиуме по конструктивным проблемам математики (Амстер дам, 1957).
38. Мостовский, 55, стр. 16 [стр. 13 русск. изд.. — Перевод. }•
39. Там же.
40. Locus classicus, посвященное этому вопросу, — Куайн, 53, I.
41. Такова точка зрения Карнапа, 56.
42. Майхилл, 52а; ср. Тюркетт, 50.
43. Отметим, что даже Рассел одно время выражался в том же духе, Так, в книге *Рассела, 5 (стр. 169), мы читаем: «Логика связана с реальным миром так же точно, как зоология, несмотря на присущие ей большую аб страктность и большую общность». Разумеется, последняя оговорка возбуж дает некоторые сомнения в серьезности расселовской манеры выражаться, oт которой он, во всяком случае, очень скоро отказался.
44. То есть арифметики. — Прим. перев.
45. Гёдель, 44, стр. 137; ср. также статью 47, уже цитированную нами на стр. 119—120, гл. II. Пояснение в квадратных скобках принадлежит не Геделю, а авторам настоящей книги, — Перев.]
46. Мостовский, 55, стр. 12 [стр. 11 русск. изд. — Перев.].
47. оригинале 'the'. — Прим. перев.
48. Мостовский, 55, стр. 19 [стр. 17 русск. изд.; пояснение в квадратных скобках принадлежит авторам — Перев.].
Вопросы для понимания
В.В. Целищев
Поиски новой философии математики
В.В. Целищев. Философия математики. Новосибирск, «Наука». 2002. Стр. 6-48.
Философия математики есть философия в ее чистейшем состоянии, свободном от всяких мирских соображений, философия без всякого подслащивания в виде претензий на Важность для Повседневных Проблем.
Поль Бенацерраф
ВВЕДЕНИЕ
Философия долгое время ассоциировалась с мате матикой, и было бы весьма прискорбно игнорировать это важное историческое обстоятельство. Дело в том, что многие философские аргументы, используемые в тех областях философии, которые имеют приложения, в значительной степени «прокатаны» при обсужде нии тех проблем, которые так и или иначе связаны с философией математики. Например, обсуждение таких фундаментальных эти ческих проблем, как Формы Справедливости, Благо и других кате горий восходит к проблеме существования абстрактных объектов, которая наиболее успешно и конструктивно обсуждалась и обсуж дается во все той же философии математики.
С другой стороны, написание таких книг и апелляция через них к потенциальному читателю всегда проблематичны, поскольку сама область исследований просто зачастую непонятна. Все знают о ма тематике, некоторые знают о философии, но не так много тех, кто имеет представление о философии математики. Известный философ математики П. Мэдди, говорит, что ее признание в обществе образованных людей в том, что она является философом математи ки, приводит к некоторому замешательству — всем более или менее понятно, что такое математика, менее ясно, что такое философия, но философия математики?..
Известно, что сами работающие математики спокойно обходят ся без философии (кроме, может быть, некоторых выдающихся, ко торых беспокоят вечные философские вопросы). Известно также, 6
что подавляющее число философов находятся в счастливом неведе нии относительно тех проблем, которые обсуждаются в математи ке. Так что эти проблемы могут касаться только весьма узкого круга читателей. Эта ситуация вполне понятна и на обыденном уровне. Для того чтобы читать работы по философии математики, требует ся знание не только философии, но и некоторое представление о математике, в частности, о математической логике, а также спо собность следить за математической аргументацией. Обычному чи тателю философских книг будут непонятны математические и ло гические детали, работающему математику будет непонятна возня вокруг «тривиальных» философских положений.
Необходимость разбираться в технических деталях представля ет одну из причин того, что часто философии математики отказыва ют в статусе подлинной философии, которая должна заниматься «реальными» и «жизненными» проблемами. Так, математик Ж-.К. Рота утверждает, что «...философы этого века больше, чем когда-либо страдали от диктата определенности. Иллюзия окончательного от вета, который не смог быть получен на протяжении двух с полови ной тысяч лет в Западной философии, обернулась в нынешнем веке рабской имитацией математики» (1). Далее он говорит: «Снобическое разбрасывание по страницам философских статей символов просто удивляет математиков. Ситуацию можно уподобить тому, как если бы вы расплачивались в магазине долларами из настольной игры Монополия» (2).
Этому мнению противостоит мнение известного философа и математика X. Патнэма: «Орды интеллектуалов жалуются, что фи лософия стала слишком "технической", что она "отреклась" от ре альных проблем, и т.п. ...Но печальным фактом остается то, что добротная философия есть и всегда была трудна, и что гораздо лег че выучить имена немногих философов, чем прочитать их книги. Тот, кто находит философию слишком "технической" сегодня, не смог бы найти времени или желания уследить за длинной цепью аргументов Сократа, или же прочитать одну из Критик Канта» (3).
Чем занимается философия математики? Прежде всего, такими фундаментальными вопросами, как «Что такое математика?», «Ка кого рода знанием является математическое знание?», «Какова специфика математических объектов?» Все эти вопросы традиционны для философии математики, но сейчас на первый план выходит воп рос о том, каким образом люди, с их ограниченным чувственным видением мира, входят в контакт с идеальными объектами матема тики и получают знание математических истин об этих объектах. Заранее нужно отметить важный факт по поводу того, как понима ется философия математики разными научными сообществами. Философы и математики, занятые основаниями математики, имеют одну точку зрения, а работающие математики — другую. Филосо фы заинтересованы в поиске философских категорий, которые по зволили бы объяснить природу математических объектов, т.е. от крыть нечто большее о математических объектах, чем это делается в математических теориях. Для этой цели соотносятся математичес кие объекты, например множества, и философские категории, на пример универсалии. Математические утверждения об объектах математики анализируются в терминах теории познания, а матема тические теории оцениваются как свидетельства в пользу той или иной философской концепции. При таком подходе осуществляется сведение проблем о природе специфических математических объек тов к общефилософским проблемам.
Работающие математики совсем по-другому рассматривают про блемы оснований математики, не считая важными те вопросы, ко торые считаются таковыми философами. Здесь взгляды на природу математических утверждений и математических объектов в силь нейшей степени зависят от степени интереса математиков к теоре тико-познавательным проблемам. Следует признать, что существу ют две ориентации, которые можно назвать ориентацией работаю щего математика и ориентацией философского логика. Обе пози ции превосходно охарактеризованы Р. Мартином:
«Внимание математика приковано главным образом к матема тической структуре, и его интеллектуальный восторг вызывается открытием того, что данная теория проявляет такие-то и такие-то структуры, или открытием, что одна структура "моделируется" дру гой, или открытием некоторых других структур, и показом того, как они соотносятся с уже изученными структурами... Математик удов летворен работой с некоторыми "сущностями" или "объектами" ("множествами", "числами", "функциями", "пространствами", "точ ками"), и он не исследует их внутренний характер или онтологичес кий статус. Философский логик, с другой стороны, более чувстви телен к онтологии и будет особенно заинтересован в том, какого рода сущностями они являются в действительности... Он не удовлетворяется тем простым фактом, что такие-то и такие-то сущности про являют такую-то и такую-то математическую структуру. Он хотел более глубоко исследовать, что это за сущности и как они соотно сятся с другими сущностями... Он также хотел бы знать, выступа ют ли эти сущности как sui generis, или же они в некотором смысле сводимы (или построены в терминах) к другим, вероятно, более фундаментальным» (4).
Учитывая все вышесказанное, ясно, что эта книга обращена к философам, и только к ним. Дело в том, что многие вещи, кажущие ся тривиальными математикам, в сильнейшей степени озадачивают философов. В качестве типичного примера можно указать теорию трансфинитных чисел Кантора. В обычном учебнике по математи ке, где есть глава с изложением теории множеств, основные резуль таты этой теории излагаются на нескольких страницах. Между тем философам известно, что при создании теории Кантор огромное значение придавал метафизическим и даже теологическим сообра жениям о бесконечности. Поэтому для философа математики инте рес представляет, скажем, логика теории Кантора, ее генетическая структура, и если прибегнуть к крайностям, можно сказать, что фи лософа интересует как раз то, что совсем не интересует математика.
Однако для понимания проблем философии математики и их решений требуется знание деталей. Степень детализации при изло жении таких вопросов — дело тонкое, и зависит от многих вещей. Одним из тезисов этой книги является то, что зачастую невнимание к этим деталям приводит к существенным искажениям интерпрета ции формализмов, и больше того, к необоснованным философским заключениям. Поэтому технические детали приводятся, по большей части, там, где следует опасаться именно такой напасти.
В книге избегались «избитые» вопросы философии математи ки, в частности, обсуждение тезисов классических школ филосо фии математики XX в., а именно логицизм, интуиционизм, форма лизм, потому что по выражению X. Патнэма «ничего из этого уже не работает». Больше того, содержание книги практически ограни чено обсуждением проблем, концентрирующихся вокруг двух тем. Это теория множеств Кантора и ее аксиоматизация, а также теорема Левенгейма — Сколема. Хотя обе темы хорошо известны, в тради ционных изложениях философии математики они зачастую избега ются, уступая место таким темам, как парадоксы теории множеств и способы их решения в логицизме, интуиционизме и формализме, теорема Геделя о неполноте, формализация математики и пр. Меж ду тем показательно, что теория Кантора, которая часто рассматри вается в традиционных курсах лишь как повод для разговора о па радоксах, совсем по-другому рассматривалась теми же классиками в области оснований математики. Б. Рассел, который одновременно с Э. Цермело предложил выход из парадоксов теории множеств (Рас сел предложил в 1908 г. теорию типов, а Цермело в том же году — аксиоматическую теорию множеств), уже после публикации Principia Mathematica, в работе Наше познание внешнего мира 1914 г. значи тельнейшее место уделил тем следствиям, которые теория Кантора имела для философии. Что касается теоремы Левенгейма — Сколема, то она вообще обойдена вниманием философов, в то время как она породила в последнее время целое философское направление, а именно так называемый внутренний реализм X. Патнэма, направ ление, которое оказало большое влияние на дискуссии о природе реальности и ее «схватывании» языком.
Наконец, еще одно соображение, которым руководствовался автор книги, избегая «избитых» тем вроде парадоксов, их значимос ти для ситуации в математике. В большинстве учебников приводит ся распространенная история о том, что теория множеств возникла как результат наивной интуиции, которая привела к парадоксам, вследствие чего интуиция объявлялась ненадежной, и существую щие аксиоматизации теории множеств исторически возникли как реакция на парадоксы. Многие исследователи опровергают эту точ ку зрения (5). История с парадоксами касается логического понятия множества, которое использовалось Расселом в чисто философской программе. А в математике применяется комбинаторное понятие множества, и собственно математические исследования Кантора касались этого понятия, связанного с обобщенным понятием функ ции как полностью произвольного соответствия. Эта точка зрения принимает совсем четкий вид у Геделя: «Более близкий взгляд по казывает, что теоретико-множественные парадоксы не причиняют особых неприятностей. Они представляют серьезнейшую пробле му, однако не для математики, а скорее для логики и эпистемологии» (6). Поворот в философии математики скорее к математической прак тике, а не традиционным философским программам, знаменует со бой натурализацию этой дисциплины. Поворот этот прослеживается очень зримо на работах одного из ведущих специалистов в облас ти оснований математики П. Мэдди. Если в книге Математичес кий реализм (7), опубликованной в 1990г., она придерживается реа лизма, считая его доминирующим взглядом в философии математи ки то в новой книге Натурализм в математике (8) 1997 г. она отказы вается от философских тенет и исповедует принцип «максимиза ции», согласно которому математик может постулировать любые виды объектов и изучать их, не вопрошая, «а существуют ли эти объекты?». Так что стратегия, принятая в нашей книге по филосо фии математики, и заключающаяся в том, что мы избегаем традици онных вопросов об истине математических утверждений и о суще ствовании математических объектов, имеет свои резоны. Между тем краткую сводку этого традиционного материала можно найти в не которых Прелюдиях к главам; этот нетрадиционный способ препод несения материала также имеет свои резоны.
С философской точки зрения философия математики претерпе ла в известной степени «эпистемологический поворот», напомина ющий «лингвистический» поворот в аналитической философии по лувеком ранее. В значительной степени именно эти тенденции бу дут фоновыми при рассмотрении различного рода проблем. В це лом это книга о взаимоотношениях математики и философии (или математиков и философов). На этот счет имеются самые разные мнения. Цеховые интересы и предпочтения проявляются тут с уди вительным непониманием противоположной стороны. Так, по пово ду Б. Рассела с его логицистской программой ныне говорят, что в кон це концов Б. Рассел был все-таки философом, а по поводу Я. Брауэра говорят о его философских «чудачествах». Об увлечении К. Геделя последние четыре десятка лет его жизни философией И. Канта и Э. Гуссерля говорят со смешанным чувством уважения к дости жениям логика и недоумения по поводу странностей гения. Этот перечень можно продолжать достаточно долго, и всякий раз мы стал киваемся с тем, что превосходно выразил Ж.-К. Рота в статье Мате матика и философия: история взаимного непонимания ( 9).
Рота говорит о том, что математика имеет дело, во-первых, с фактами, как и любая другая наука. Во-вторых, математика имеет дело с доказательствами, которые кодифицируются в аксиоматичес ких системах. В этом, по его выражению, проявляется двойная жизнь математики, вполне успешная жизнь, вызвавшая зависть филосо фии. Во-первых, философия имеет дело со способами описания мира, а во-вторых, философия опирается на аргументацию. Но по поводу методов аргументации среди философов никогда не было согласия. «Отношения философов с богиней Разума всегда были ближе к вынужденному сожительству, чем к романтической связи между богиней Разума и математиками» (10).
Попытка устранить неясности в философской аргументации с помощью математики давно превратилась в мощную индустрию. Однако по ходу того, как основная «производительная сила» этой индустрии — математическая логика — становилась все более ма тематической дисциплиной, стало закрадываться сомнение в том, насколько формальный аппарат логики, а также математические те оремы могут быть правильно интерпретированы философски. Имен но этим вопросам и посвящена данная книга.
ПРЕЛЮДИЯ К ГЛАВЕ 1
В момент возникновения Науки матема тика и религия были партнерами. От их союза произошли два отпрыска, Платонизм и Основания, с притязаниями на знатность. (Математические истины суть вечные исти ны в уме Бога; интуиция, способность человека взаимо действовать с этими истинами может дать неоспоримые основания.) После Канта этот союз распался, и религия была изгнана из страны Науки. Одна из главных защит ниц Оснований, Евклидова геометрия, была вытеснена своими молодыми кузенами — Неевклидовыми геомет риями, и была ущемлена Анализом и Арифметизацией. Их дитя, Множество, обещало защитить отпрысков, но не смогло по причине своей нетвердости. Вопреки усилиям трех защитников — Лог(ицизма), Инт(уиционизма) и Форм(ализма), Основания умерли. Платонизм выжил, и не смотря на то, что его теологические претензии граждана ми государства Науки были преданы анафеме, доминиру ющая философия продолжала предоставлять ему убежи ще. По ходу всей истории гуманистическое меньшинство пыталось свергнуть Платонизм с его притязаниями. Математика не должна, по заверениям гуманистов, подчи няться диктату Платонизма. Она должна жить своей соб ственной жизнью, подчиняясь лишь установленным са мой правилам. С некоторыми заметными гуманистичес кими исключениями (среди них Аристотель, Локк, Вит-тгенштейн, Лакатос, Китчер) доминирующая тенденция включает традиционную и современную философию ма тематики.
Р. Херш. Что же такое математика, на самом деле? (Hersh R. What is Mathematics, Really! — Oxford: University Press, 1997)
ГЛАВА 1
ПОИСКИ НОВОЙ ФИЛОСОФИИ МАТЕМАТИКИ
1. Философские программы в математике
Философия математики как отдельная ветвь философии роди лась сто лет назад. Исследования в области оснований математики и математической логики, начатые в конце XIX — начале XX в., были связаны с грандиозными философскими программами, а именно с логицизмом, интуиционизмом и формализмом.
С тех пор традиционным описанием проблем философии мате матики стало описание того состояния оснований математики и ее философии, которое явилось естественным завершением попыток преодолеть кризис в основаниях математики, развившийся в начале XX в. Этот уже почти хрестоматийный материал хорошо известен читателю даже в самом простом нетехническом преподнесении, на пример, через превосходную книгу М. Клайна (1), не говоря уже о массе более технических изложений (2). Существует много других книг, в которых излагается материал, в той или иной мере связан ный с достижениями в математической логике и основаниях мате матики, и во всех этих книгах фигурируют одни и те же имена и одни и те же проблемы — логицизм Г. Фреге и Б. Рассела, интуицио низм Я. Брауэра и А. Рейтинга, формализм Д. Гильберта и Дж. Фон Неймана.
Поначалу эта связь философии и математики казалась необхо димой, но со временем росло разочарование в выполнимости этих программ, и к 1960-м годам в настроениях математиков и логиков стала превалировать усталость. В этом отношении весьма симпто матично замечание А. Мостовского в работе Тридцать лет иссле дований в области оснований математики: «Философские цели трех школ не были достигнуты, и, судя по всему, мы не ближе к полному пониманию математики, чем основатели этих школ» (3). Многие ис следователи полагают, что сами программы не имеют и не имели прямого отношения к основаниям математики и математической логике, а возникновение программ обязано философским талантам и интересам основателей школ. Больше того, другие исследователи полагают, что сами философские программы появились в результа те случайных исторических совпадений, в частности того, что та кие люди, как Рассел, будучи одинаково компетентными в матема тике и философии, связали теорию типов как математическую про грамму с логицизмом как философской программой. По крайней мере, среди философов подобного рода связь закрепилась надолго, и потребовалось значительное время для того чтобы ощутить необ ходимость в ревизии таких «заблуждений». Другим примером мо жет служить интуиционизм Брауэра, философские основания кото рого кажутся весьма далекими от конструктивистской математики. Наконец, вступающие в область философии математики встречают ся с явным затруднением, пытаясь примирить мнения о формализме Гильберта с его знаменитым лозунгом «Никто не может изгнать нас из рая, созданного для нас Кантором» (рая, естественно, платонистского). Характерно в этой связи свидетельство Хао Вана: «интерес философов к основаниям математики возник как результат той ис торической случайности, что Рассел и Фреге правильно или непра вильно связали некоторые области математики с философией... Тем не менее, с устойчивостью этого интереса следует считаться, хотя и сожалея о бедности философии»(4).
Определенная стагнация в этой области философии может быть оценена в сравнении с философией науки. В 30—40-х годах XX в. философия науки направлялась логическими позитивистами, влия ние которых ослабло лишь с появлением новых идей о решающей роли научной практики и исторических изысканий в науке. Р. Херш говорит, что «философия математики запоздала со своими Поппером, Куном, Лакатосом и Фейерабендом. Она запоздала с анализом того, что делают сами математики, и с соответствующими фило софскими рассмотрениями» (5).
В цитированном выше отрывке А. Мостовский продолжает уже с большим оптимизмом: «Вопреки этому, нельзя отрицать, что ак тивность этих школ принесла огромное число новых важных откры тий, которые углубили наше познание математики и ее отношение к логике. Как часто случается, побочные продукты оказались более важными, чем исходные цели основателей трех школ». Но возмож но, именно это обстоятельство явилось причиной отсутствия про гресса в философии математики, потому что проблемы, бывшие соб ственно философскими, перестали быть таковыми, перейдя в раз ряд «технических», чисто математических или логических. Быть может, исследования в области философии математики, точнее, ос нований математики, действительно должны быть в высшей степе ни техническими исследованиями, а само появление традиционных классических направлений было обязано тому, что «отцы-основате ли» сумели соотнести (быть может, и не совсем обоснованно) мате матические и философские проблемы, как это сделал Рассел, увязав поиски спасения от парадоксов с логицизмом. Кстати, такого рода процессы происходили непрерывно, например, в 60-е годы XX в. одним из аспектов такой технизации философии явилась алгебраизация логики, связанная с развитием теории моделей, когда к удив лению философов, всегда считавших логику своей вотчиной, мно гие ее положения стали алгебраическими теоремами.
Современными свидетельствами усталости и недовольства мо гут служить признания двух ведущих философов математики. Не давно видный философ и математик X. Патнэм опубликовал статью с характерным названием Почему ничего из этого не работает (имея в виду традиционно главные направления в философии математи ки). Далее, видный логик Я. Хинтикка отмечает, что «подобно Деррида, я верю, что современная философия... созрела для деконст рукции» (6). Нет никаких сомнений, какую часть современной фи лософии Хинтикка хочет деконструировать, если иметь в виду вышедшую годом ранее его книгу Принципы математики ревизированные (7)', название которой, по его признанию, есть аллюзия к работе Рассела Принципы математики 1903 г., в которой изложе ны многие программные идеи в области оснований математики.
Известный математик Ж-.К. Рота идет еще дальше и дает объяс нение тому факту, что философия пошла по неверному пути вооб ще, ассоциировав себя с математикой. Философия, подобно матема тике, опирается на аргументацию, поскольку обе науки используют логику. Но в отличие от общепринятых стандартов у математиков стандарты аргументации у философов оказались весьма различны ми. Рота утверждает, что заключения философов часто диктуются эмоциями, и разум в этих заключениях играет лишь вспомогатель ную роль, а поиски философией окончательного ответа на свои воп росы вылились в рабскую имитацию математики. Апелляция к ма тематической логике, которая и представляет собой главную основу философии математики, оказалась несостоятельной, потому что ло гика больше не является частью философии. Математическая логи ка является процветающей частью математики, и она прекратила свои связи с основаниями математики. «Ценой допущения логики в математическую область было гигиеническое очищение даже от следов философии» (8).
Другими словами, философия математики оказалась в глубоком кризисе, начиная с 50—60-х годов XX в., когда были исчерпаны ре сурсы традиционных подходов к пониманию оснований математи ки. И хотя традиционное преподнесение проблем этой области фи лософских исследований опиралось (да и опирается сейчас) на три великих направления, существует глубокий скепсис относительно возможностей самой дисциплины. И тем не менее, по мнению ряда авторитетных исследователей, дисциплина выжила, поскольку ста рые проблемы были заменены новыми (9).
2. Сводка направлений в философии математики
Действительно, не все так безнадежно, и в уже цитированной выше работе X. Патнэм дает краткий перечень устаревших и новых взглядов в философии математики:
логицизм (математика есть логика в чужом одеянии);
логический позитивизм (математические истины суть истины благодаря правилам языка);
формализм (теория множеств и неконструктивная математика суть просто «идеальное» — и само по себе не несущее смысла — рас ширение «реальной» — конечной и комбинаторной — математики);
платонизм (согласно Геделю, реально существуют математичес кие объекты, и человеческий ум имеет способность, отличающую ся в некоторой степени от восприятия, с помощью которой он при обретает все лучшую интуицию относительно поведения таких объектов);
холизм (В. Куайн полагал, что математика должна рассматри ваться не как отдельная наука, а как часть всей науки, и необходи мость квантификации над математическими объектами в случае достаточно богатого языка для эмпирических наук есть наилучшее свидетельство в пользу «постулирования множеств с той же степе нью обоснования, какую мы имеем при всяком онтологическом по стулировании»; множества и электроны рассматривались Куайном на пару как нечто такое, что нужно постулировать в процессе науч ного исследования);
квазиэмпирический реализм (идея, о том, что есть нечто анало гичное эмпирическому исследованию в чистой математике);
модализм (мы можем переформулировать классическую мате матику таким образом, что вместо разговора о множествах, числах и других объектах будем просто утверждать возможность или не возможность определенных структур);
интуиционизм (принятие математических утверждений как зна чимых, и в то же время отказ от реалистических посылок относи тельно истин, например бивалентности).
Патнэм полагает, что следует отказаться от первых четырех на правлений и продолжать исследования, которые представляют со бой определенную смесь последних четырех направлений. Другие исследователи считают перспективными направления, которые в той или иной степени пересекаются с этими последними, но в некото ром смысле (в другой классификации) являются самостоятельны ми. Так, Дж. Кетланд говорит о дополнении списка Патнэма еще тремя направлениями, полагая при этом, что в целом этот список, состоящий из 11 направлений, покрывает все направления в фило софии математики (10):
номинализм (программа X. Филда);
структурализм (программа С. Шапиро и М. Резника);
натурализм (программа П. Мэдди).
Само многообразие направлений не должно вызывать удивле ния, поскольку это довольно распространенное явление в современ ной аналитической философии. Действительно, важнейшим отли чием описания того, что собой представляет нынешняя философия математики по сравнению с классической, является почти полная бесполезность устойчивой классификации. В этом отношении си туация в философии математики похожа на ситуацию в аналитичес кой философии вообще. Дж. Пассмор выразил свое ощущение этой ситуации такими словами: «Буйное, плохо вмещающееся в какие-либо рамки, невероятно разнообразное в целях и методах — можно ли надеяться описать, хоть и кратко, но в то же время с достаточным охватом англо-американское философское предприятие? Ответ на этот вопрос — невозможно. Столь много философов творят в наше время, столь много проблем поднято ими, и поэтому полнота боль ше не представляется разумной амбицией. Более скромное назва ние моей книги, скажем Некоторые последние философские споры, слишком кратко описанные, было бы более подходящим названием в современном стиле» (11).
Далее будет представлено краткое описание новых направле ний в философии математики, которые появились за последнее вре мя, будучи реакцией на «усталость» от классических направлений. Описание не претендует на полноту и очерчивает эти направления в самых общих чертах.
3. Структурализм, номинализм, натурализм
Из вышеперечисленных направлений рассмотрим только те, которые широко обсуждаются в нынешней литературе по филосо фии математики. Прежде всего следует рассмотреть структурализм как одно из самых важных направлений современной философии математики. Ранним влиятельнейшим идеологом этого направления выступил Н. Бурбаки. Основными нынешними представителями струк турализма являются П. Бенацерраф (12), С. Шапиро (13) и М. Резник (14).
А. Структурализм
Платонистская посылка о существовании независимых от че ловеческого сознания четко определенных объектов является весь ма уязвимой с точки зрения современной философии математики. В частности, критике подвергается платонистское утверждение о том, что имеется единственная последовательность абстрактных объектов, которые представляют собой натуральные числа. Отказ от этого утверждения характерен для широко известного направле ния, называемого структурализмом. Правда, при обсуждении этого направления следует иметь в виду две вещи. Во-первых, сам термин «структурализм» является настолько широким, что его надо пони мать здесь в специальном смысле философии математики. Но даже и здесь этот термин имеет расширительное значение благодаря про грамме Н. Бурбаки. Во-вторых, это философское направление еще не приобрело окончательных очертаний, и скорее, это некоторая перспективная программа исследований.
Структурализм является реакцией на проблему неединственно сти представления математических объектов. Проблема может быть описана так: платонисты утверждают, что математика говорит об объектах, но мы ничего не можем знать об этих объектах, кроме того, что они соотносятся друг с другом определенным образом. Если математические объекты должны иметь некоторые свойства сами по себе, тогда эти свойства скрыты от математиков и не важны для них. Например, какие конкретные объекты мы можем назвать нату ральными числами?
Начиная с работ Фреге, Рассела и Уайтхеда, числа считаются множествами. В этом смысле можно было бы сказать, что натураль ными числами мы можем назвать множества. При этом множества могут трактоваться как те самые объекты, которые требуются для платонистской картины. Для этого надо, чтобы редукция натураль ных чисел к множествам была единственной, т.е. каждому натураль ному числу должно соответствовать определенное множество. Но как раз это условие не может быть выполнено. Бенацерраф первым указал на это обстоятельство. Аргументация Бенацеррафа опиралась на тот факт, что теоретико-множественное моделирование чисел не является единственным. Существуют известные версии перевода чисел во множества Фреге — Рассела, фон Неймана, Цермело и др. Эта ситуация приводит к вопросу, чем же на самом деле являются числа, и вопрос этот относится не к математике, а к философии, будучи типичным онтологическим вопросом. В конце концов, «фи лософия математики... есть онтология математических объектов»15. Однако такие вопросы не оказывают на математику никакого влия ния. «Особенность математики состоит в том, что она рассматрива ет только некоторые существенные свойства ее объектов, считая остальные не относящимися к делу. Один из этих несущественных вопросов — об онтологии формальной системы... мы должны при нять нечто аналогичное принципу терпимости Карнапа в отноше нии онтологических вопросов» (16).
Продемонстрируем неединственность теоретико-множествен ной экспликации понятия числа. Э. Цермело предложил следующую экспликацию натуральных чисел. В качестве 0 берется пустое мно жество Ø, а в качестве операции последующего элемента Sx — еди ничное множество, членом которого является предыдущий элемент, т.е. Sx есть {х}. Натуральный ряд чисел в теоретико-множественной версии Э. Цермело выглядит так:
0 1 2 3 ...
Ø { Ø } {{ Ø }} {{{ Ø }}} …
Таким образом, числа являются множествами определенного рода. Такой вывод следует из наличия вполне удовлетворительной экспликации чисел. Число 3 «в реальности» есть множество {{{ Ø }}}.
Дж. фон Нейман предложил в качестве 0, как и в версии Церме ло, пустое множество Ø, a Sx определил как х {х}. Тогда нату ральный ряд выглядит следующим образом:
0 1 2 3 …
Ø { Ø } {Ø, { Ø }} { Ø, { Ø }, (Ø, { Ø }}} ...
Таким образом, теперь число «три» оказывается множеством {Ø, {Ø}, {Ø, {Ø}}}. Ясно, что множество {{{Ø}}} отлично от множе ства {Ø, {Ø}, {Ø, {Ø}}}. Больше того, в теории чисел имеются та кие утверждения, которые переводятся в истинное теоретико-мно жественное утверждение в версии фон Неймана, и в ложное утвер ждение в версии Цермело, например «3 5».
Можно предположить, исходя из онтологических соображений о природе числа, что лишь одна из теоретико-множественных версии числа является правильной. Но как выделить некоторое множе ство, о котором можно с уверенностью сказать, что именно оно, и никакое другое, указывается некоторым числом? Оказывается, по всем математическим параметрам версии равноправны, и нет ника ких аргументов, которые могли бы указать на «правильную» вер сию. Следовательно, ни одна версия не имеет никаких преимуществ перед другими. Остается заключить, что отличающие условия всех версий правильны, и тогда мы просто не можем сказать абсолютно, что же такое числа. Во всяком случае, мы можем заключить, что числа вовсе не должны быть множествами.
На вопрос о том, почему числа не могут считаться определен ными множествами, в общем дается два ответа. Один из ответов, предлагаемых в структурализме, состоит в том, что числа вообще не объекты, и поэтому цифры как сингулярные термины сопостав ляются с различными множествами без оглядки на то, как сопостав ляются числа и множества. Знаки, представляющие цифры, не ука зывают на абстрактные объекты-числа и функционируют в знаковой системе независимым образом. Реальный мир представлен в науке теоретическими схемами, и любой вариант реализма в отношении теорий утверждает истинность предложений теории об объектах этой теории, а также то, что термины теории указывают на эти объекты. Объектами в реалистической схеме могут быть как материальные предметы, так и абстрактные объекты платонистского толка.
Цель аргументации Бенацеррафа может состоять в том, чтобы от вергнуть платонизм, показав возможность математики без предполо жения о существовании абстрактных объектов. Главная проблема для Бенацеррафа в этом случае — объяснить, как знаки-цифры выполняют все то, что делают по платонистской версии математики числа. Рас смотрим понятие объекта с точки зрения его функционирования в сис теме. Главный признак существования объекта — наличие у элементов структуры системы знаков свойств, независимых от свойств структу ры. Объект можно отличить от других объектов, если имеются проце дуры его индивидуализации, которые не должны зависеть от роли, ко торую объект играет в рамках структуры. Аргумент Бенацеррафа со стоит в том, что числам нельзя приписать подобную индивидуальность, потому что, будучи представлены в системе цифрами, они не известны нам помимо цифр. Но цифры являются частью структуры, и их инди видуальность не есть индивидуальность объекта, поскольку роль знака в системе определяется особенностями структуры системы.
Действительно, «быть числом 3 — это не больше и не меньше, чем иметь предшествующими числами 2 и 1, и возможно, 0, и иметь последующие числа 5, 6 и т.д. И быть числом 4 — значит не больше и не меньше, чем иметь в качестве предшествующих чисел 1, 2 и 3, и последующими 5 и 6 и т.д. ...Любой объект может сыграть роль числа 3, то есть, любой объект может быть третьим элементом неко торой профессии. Особенностью числа 3 является как раз то, что .. .оно представляет собой отношение, которое любой член прогрес сии имеет к остальной части прогрессии» (17).
Числа, с этой точки зрения, вообще не объекты, а знаки специ фической знаковой системы с определенными законами. Все свой ства чисел, определяемые этими законами, принадлежат знаковой системе, и среди свойств нет таких, которые характеризовали бы нечто, выходящее за рамки взаимоотношений элементов структу ры. Природа элементов структуры не имеет никакого значения. Определение чисел, по Бенацеррафу, есть совокупность некоторых условий, относящихся не к элементам структуры, а к отношениям, определенным на ней. «Если мы отождествим абстрактную струк туру с системой отношений... мы получим арифметику, разрабаты вая свойства отношения меньше-чем, или всех систем объектов (то есть, конкретных структур), обнаруживающих эту абстрактную структуру» (18). Итак, индивидуальность знака в системе определяет ся его функциями в системе, т.е. по природе своей определяется структурой в системе. А вот индивидуальность объекта, как уже было сказано выше, не зависит от структуры. При этом структура пони мается как система отношений на совокупности объектов.
Теперь центр тяжести переносится на понятие структуры. Почти всеми признается, что математика состоит из структур. Но что та кое структура с онтологической и эпистемологической точек зре ния? И является ли это понятие более простым или удобным, или более фундаментальным, чем понятие абстрактного объекта? Это тот самый вопрос, который пытаются разрешить М. Резник и С. Ша пиро в целой серии влиятельных статей и книг. Н. Бурбаки полагал, что понятие структуры является более фундаментальным, чем все остальные понятия математики. Сходным образом формулируются посылки Резника и Шапиро. Если структура понимается как область объектов с определенными отношениями между ними, т.е. как струк тура, изучаемая в математической логике, то тогда нужно иметь в виду, что в математической логике структура определяется теоре тико-множественным образом. Но в этом случае следует весьма радикальное заключение, что теория множеств представляет собой дис циплину наравне с другими ветвями математики, но никак не осно ванием всей математики, т.е. теория множеств изучает одну из мно жества возможных структур. Например, арифметика — исследова ние не натуральных чисел, а «натуральных структур». Все это озна чает, что в этом случае нам нужно определение структуры, которое само не является теоретико-множественным понятием. Шапиро опи сывает структуру как «возможную систему объектов, находящихся в определенных отношениях друг к другу, когда игнорируются те свойства объектов, которые несущественны для этих отношений». Например, в аксиоматической теории множеств Цермело — Френ келя игнорируется все, кроме отношения членства в множестве. Отметим, что это лишь описание понятия структуры, а не определе ние. Структуралисты в философии математики избегают давать по добные определения, поскольку само понятие структуры не очень подходит на роль базисного онтологического понятия, и в то же вре мя не снимает эпистемологические проблемы. Понятие структуры не решает, а скорее, «рассасывает» эти проблемы в духе виттгенштейновской терапии.
Несмотря на определенный радикализм, структурализм являет ся лишь модификацией того, что Ч. Чихара назвал «буквалистской точкой зрения». Буквализм состоит в том, что экзистенциальные утверждения математики не отличаются по своей структуре от экзи стенциальных утверждений эмпирических наук. Обоснование это го тезиса состоит в том, что математические утверждения делаются в терминах экзистенциальных кванторов логики первого порядка, и поэтому буквально и прямо утверждают существование математи ческих сущностей. И поскольку структура математических утверж дений в понимании структуралистов остается именно такой, перед ними встают все те же проблемы, которые они предпочли бы видеть «рассосанными». Действительно, «буквализм» такого структурали ста, как Резник, заключается в двух идеях. Во-первых, логическая форма математических утверждений должна пониматься букваль но, и, во-вторых, семантика математических утверждений должна быть семантикой естественных наук. В противном случае нельзя будет говорить об истинности математических утверждений, а без этой посылки невозможно ничего сказать о математических объек тах. Эти проблемы могли бы быть игнорированы, если бы не обще принятое, разделяемое и структуралистами, убеждение в том, что математические утверждения истинны.
Б. Номинализм
Подлинно радикальным взглядом в этом отношении является номинализм X. Филда, который полагает математические утверж дения ложными19. X. Филд считает, что математических объектов не существует, что стандартная математика ложна, но при этом он стремится сохранить математическую практику. Для этого он снаб жает физическую реальность значимой математической структурой и описывает физические версии анализа. Математические утверж дения типа «континуум-гипотезы» оказываются утверждениями об областях пространства и времени.
Такая позиция возможна лишь при некоторой сильной версии номинализма. Техническим средством выражения такого номина лизма является так называемая теорема консервативности, суть ко торой в том, что любое номиналистическое заключение, которое может быть выведено с помощью математики из номиналистичес кой теории, может быть сделано без помощи математики, с одним лишь использованием логики. Таким образом, в математической практике делается указание на математические сущности, но нет необходимости верить в существование таких вещей, поскольку ука зание подобного рода не требует признания математических утвер ждений истинными. Филд полагает математические теоремы про сто ложными, а математические объекты — полезными фикциями, которые в теоретическом смысле вполне устранимы.
Теория Филда не только радикальна, но и в значительной степени парадоксальна, так как соединяет в себе логицизм и номинализм. Ло гицизм виден в самой «теореме консервативности», согласно которой математический вывод можно в принципе заменить более длинным логическим выводом. Под номиналистической теорией Филд понима ет теорию, в которой кванторные переменные ограничены нематемати ческими сущностями. Другими словами, нелогический словарь но миналистической теории не пересекается со словарем математичес кой теории и, значит, абстрактные объекты математики избегаются. Более точно, пусть N— номиналистическая теория первого порядка, a ZF—теория множеств Цермело — Френкеля. Тогда может быть по казано, что если N+ZF дает S, тогда N дает S.
Тезис Филда состоит в том, что математика является консерва тивным расширением номиналистических истин. Но значит ли это, что математика лишь «добавка», позволяющая сократить длинные логические выкладки, которые в принципе могли бы быть получе ны и без математики? Другими словами, верно ли, как Филд полага ет, что использование математики есть уступка физиологической и психологической ограниченности человека?
Это определенно неверно, потому что консервативные расшире ния несут все-таки новую информацию. Сами методы расширения, хотя бы и консервативного, таковы, что позволяют делать обобщения, кото рые не могут быть сделаны в расширяемой области. Действительно, консервативность подобного рода характерна для различных областей математики. Так, Г. Такеути показал, что аналитическая теория чисел, использующая полностью комплексное поле, есть консервативное рас ширение над элементарной теорией чисел20. Хотя этот результат инте ресен и важен, никто не считает аналитические методы устаревшими. Аналитическая теория позволяет делать такие классификации, кото рые не могут делаться элементарной теорией. Эта большая выразитель ная сила является причиной того, что доказательства в аналитической теории чисел выглядят «проще». То же относится к первому доказа тельству теоретико-числовой теоремы о распределении простых чисел. («Первое доказательство» было дано Ж. Адамаром и Ш. Валле-Пуссеном, последующие даны П. Эрдешем и А. Селбергом без использова ния дзета-функции; эти последние доказательства «элементарны», хотя этот смысл элементарности отличается от того, какой имеется в виду в доказательствах Такеути.)
Номиналистическая программа в первую очередь является про граммой онтологической. Номиналисты не признают абстрактных объектов, полагая, что реальным существованием обладают лишь физические объекты, или более точно, единичные конкретности (в противоположность универсалиям). Вклад в упрощение, который вносится консервативным расширением, может быть оспорен Филдом на том основании, что, скажем, упрощение теории распределе ния простых чисел дается ценой увеличения в онтологии. Комплек сные числа несчетны, а целые — счетны. Номиналист признает счет ные совокупности (скорее, даже конечные), и никак не признает несчетные. Но онтологические соображения вряд ли играют какую-либо роль в математике, где «более простые доказательства» явля ются подлинным вкладом в теорию. Кроме того, для того чтобы от казаться от приобретений, полученных в ходе консервативного расширения, требуются какие-то дополнительные мотивы, кроме уста новления самого факта консервативности расширения.
Филд понимает это обстоятельство, и считает, что апелляция к исходному ядру, которое подвергается консервативному расшире нию, будет успешной, если номиналистическая переформулировка будет «разумно привлекательной». Дж. Таппенден отмечает в этой связи, что «любая теория может быть заменена эквивалентной "но миналистической" подтеорией: для этого надо просто убрать (с по мощью грубой силы или с помощью теоремы Крэйга) все предло жения, кроме тех, которые удовлетворяют подходящим образом выб ранному словарю. Но результирующая теория будет столь дезорга низована, что от нее не будет никакой практической пользы. Не мо жет быть выведено никакого философского следствия из наблюде ния, что хорошая теория в принципе может быть заменена практи чески бесполезной теорией, как бы эта последняя теория ни была привлекательной философски» (21). Таким образом, номиналистичес кая программа Филда оказывается не столь привлекательной.
В. Квазиэмпирический реализм
Квазиэмпирический реализм представляет собой широкое на правление, в значительной степени связанное с натурализацией ма тематики, которая в свою очередь связана с натурализацией эписте мологии. Не претендуя на общность, можно проиллюстрировать квазиэмпирический реализм реалистической программой П. Мэд ди. Она считает, что предполагаемые платонистскими сущности могут быть доступны обычному восприятию. На этом мы остано вимся чуть позже.
Мэдди полагает, что математики имеют чувственный контакт с множествами в математическом смысле, а не просто с совокупно стями материальных вещей. Стандартная точка зрения состоит в том, что множества являются абстрактными объектами, что и позволяет математикам рассматривать такие объекты, как пустое множество, в качестве базиса для построения всей иерархии множеств. Таким образом, речь идет о возможности причинного указания на абстракт ные объекты, что напоминает с первого взгляда крайний платонизм К. Геделя.
Однако позиция Мэдди более эмпирична. При указании на объект подразумевается стандартная семантика, а именно, что ука зание осуществляется сингулярным термином, или же собственным именем, в то время как предикаты, или общие термины, не указыва ют объектов, а истины о них, обозначая род объектов. Мэдди пола гает, что, имея некоторый эмпирический опыт в отношении матери альных совокупностей, мы образуем общий термин, родовое поня тие, которое указывает на множество как абстрактный объект. Тогда возникает важнейший вопрос о пространственно-временной лока лизации указываемого общим термином объекта.
Мэдди полагает, что абстрактные сущности математики подоб ны физическим сущностям, и поэтому возможен прямой перцептуальный доступ к ним. Мэдди отличает совокупность физических вещей, скажем, груду камней, от множества тех же самых камней. Отличие состоит в том, как соотносится камень с грудой камней, и как он соотносится с множеством камней. Каждый камень сделан из физического материала, который и образует части физической совокупности. Но никакой камень не является членом физической совокупности, потому что физическая совокупность не имеет чле нов. Здесь Мэдди апеллирует к идее, что множество (и членство в нем) есть результат деятельности сознания, образования в уме кон цепции множества. Камень является членом множества, и именно отношение членства делает его таковым. И в этом смысле множе ство абстрактный объект, а физическая совокупность — нет. Но из такой трактовки следует чрезвычайно важный вывод квазиэмпири ческого толка: множество камней локализовано точно в том месте, в котором локализована физическая совокупность. Это в высшей сте пени непривычная трактовка понятия абстрактного объекта. Физи ческие совокупности не имеют членов, в то время как множество определяется отношением членства. Именно по этой причине мно жество является абстрактным объектом, который, тем не менее, пред полагается локализованным в том же месте пространства, в котором локализована физическая совокупность.
Следует еще раз подчеркнуть, что подобная трактовка множеств возможна за счет эпистемологических трактовок восприятия, раз витых в самое последнее время. Так, согласно одному из определе ний, субъект Р воспринимает объект К в месте H, если и только если, во-первых, имеется объект, принадлежащий виду К в месте H, во-вторых, Р приобретает перцептуальное знание о виде К, и, в-треть их, объект в месте H включен в процесс порождения состояния перцептуальной веры подходящим причинным образом. Не входя в подробности этого определения, отметим, что оно является лишь одним из нескольких подходов к определению перцептуального вос приятия, и не ясно, в какой степени трактовка Мэдди множеств как перцептуально воспринимаемых объектов будет оправданной при других определениях восприятия. Действительно, при других опре делениях возникает основное препятствие пути принятия платониз ма, т.е. тезиса о реальном существовании абстрактных объектов, поскольку причинная связь между ними и субъектом представляет ся невозможной. В трактовке же Мэдди при таком определении вос приятия нет существенного различия между восприятием груды кам ней и множества камней. Хотя восприятие множества камней явля ется актом ментальным, а восприятие груды камней — актом чув ственным, трудно провести грань между двумя когнитивными спо собностями человека. Это нарушает традиционную для философии дихотомию между чувственным и рациональным, и единственным способом отказа от этой дихотомии для Мэдди представляется по стулирование специальной когнитивной способности к определе нию именно «множеств» в отличие от груды.
Ч. Чихара резко критикует точку зрения Мэдди, согласно кото рой мы можем буквально «видеть» множества (22). Первым контрпри мером служит случай единичного множества. Пусть в помещении имеется один физический предмет, скажем, камень. С точки зрения здравого смысла, в этом помещении ничего больше нет, однако с точки зрения Мэдди существует еще множество, единственным членом которого является камень. Множество есть абстрактный объект, а камень — физический объект, и согласно Мэдди оба рас положены в одном и том же месте. Традиционно множество рас сматривается как универсалия, лишенная локализации во времени и пространстве. Универсалия с локализацией в пространстве пред ставляет значительные трудности для философии.
Поскольку порождение множеств осуществляется замыканием единичного множества (далее в книге об этом будет сказано более пространно), вместо одного камня и одного множества мы имеем один камень и бесконечное число множеств. Однако в пользу такого взгляда нет эмпирических свидетельств. Больше того, такой взгляд противоречит интуиции, и имеет просто неправдоподобные след ствия. Еще более трудным становится понимание позиции Мэдди в случае бесконечных множеств, которые невозможно сопоставить с конечными физическими совокупностями. Перед Мэдди встает в высшей степени традиционная проблема понимания природы математической абстракции. Квазиэмпирический подход Мэдди ставит целью сделать более приемлемым с философской точки платонизм, который является «рабочей философией математика».
4. Платонизм как философия работающего математика
Платонизм, безусловно, является философией большинства ра ботающих математиков, а также многих людей, успешно применя ющих математику в естественных науках. Подобно мольеровскому герою, всю жизнь не осознававшему, что он говорит прозой, эти люди часто не осознают, что являются платонистами. Ситуация более точно выражена в книге Дэвиса и Херша (23) Математический опыт: рабо тающие математики являются платонистами в рабочие дни, а по выходным они являются формалистами. Для Р. Пенроуза «абсолют ность математической истины и платонистское существование ма тематических концепций представляет собой одно и тоже. Сущест вование множества Мандельброта есть особенность его абсолют ной природы» (24). Платонистское сознание работающих математиков зачастую не осознается ими как специфически философский взгляд, потому что лежащие в его основе представления абсолютно есте ственны и просты. Вполне естественно, что существует огромное число математических истин, некоторые из которых открыты, а боль шая часть остается неоткрытой. Работа математиков заключается в расширении круга открытых истин. Математические объекты сущест вуют вне и независимо от человеческого сознания. Больше того, они существуют не в материальном мире, а в мире идеальных сущностей. Если платонизм как «рабочая» вера математика не вызывает у него никаких сомнений, то в философском отношении платонизм отягощен массой неприятных аспектов. Прежде всего, весьма про блематично понятие существования в нематериальном мире, кото рое присуще широкому спектру философских учений, известных под названием «идеализм». Исторически, идеализм как оформленное Пифагором и Платоном философское учение мотивировался мате матикой. «Увлеченность Пифагора математикой положила начало ... теории универсалий. Когда математик доказывает свою теорему о треугольниках, то он говорит не о какой-либо конкретной фигуре, где-то нарисованной, он говорит о том, что существует в его голове. Так начинает проявляться различие между умственным и чувствен ным. Более того, доказанная теорема верна без оговорок и на все времена. Отсюда всего лишь один шаг к точке зрения о том, что только умственное — реально, совершенно и вечно, в то время как чувственное — кажущееся, несовершенное и скоротечное» (25). «Я по лагаю, что математика является главным источником веры в вечную и точную истину, как и в сверхчувственный интеллигибельный мир. Геометрия имеет дело с точными окружностями, но ни один чув ственный объект не является точно круглым... Это наталкивает на предположение, что всякое точное размышление имеет дело с идеа лом, противостоящим чувственным объектам. Естественно сделать еще один шаг вперед и доказывать, что мысль благороднее чувства, а объекты мысли более реальны, чем объекты чувственного воспри ятия. Мистические доктрины по поводу соотношения времени и вечности также получают поддержку от чистой математики, ибо математические объекты, например, числа (если они вообще реаль ны), являются вечными и вневременными. А подобные вечные объек ты могут быть в свою очередь истолкованы как мысли Бога» (26). Из этих цитат Рассела видно, сколь «тяжелые» для философии след ствия имеет математика. Именно их этих посылок выросли фило софские представления о природе математики, известные под на званием «платонизм». Сама по себе философия платонизма вы зывает множество возражений опять-таки чисто философского тол ка. Но коль скоро математика играет важнейшую роль в этой фило софии, возникает вопрос, в какой степени математика ответственна за те неприемлемые по философским основаниям положения, кото рые свойственны платонизму.
В частности, платонизм в области математики утверждает су ществование другого, нематериального, мира, населенного матема тическими объектами. Возникают вопросы о том, где находится этот мир, как войти в соприкосновение с ним, как может наш язык ука зывать на объекты этого мира, если они не являются чувственно воспринимаемыми объектами. Платонисты настаивают на том, что люди имеют внечувственное осознание математических структур, называемое часто интуицией математика, и что при помощи интуи ции мы входим в контакт с математическими сущностями.
Вся эта картина в высшей степени затруднительна для ее вос приятия натуралистически настроенным умом. Натурализм предпо лагает, что человеческое познание опирается на разного рода когни тивные способности человека, которые выработаны в процессе эво люции, и поэтому любые познанные структуры объективного мира должны иметь естественное происхождение. А с точки зрения платониста математика изучает не этот мир, а мир внепространственных, вневременных, не созданных сознанием сущностей, который недоступен нашим чувствам. Эта метафизическая картина призва на объяснить существование и применение математики, и такое объяснение вполне устраивает многих математиков, если не всех, за исключением тех, кто чувствителен к философским затруднениям. А они в случае платонизма огромны, и возникает вопрос, в какой степени для объяснения природы математики необходим платонизм.
Реакция против платонизма принимает различные формы. Есть возражения, основанные на том, что платонизм есть результат склон ности математиков к вневременным и внепространственным сущ ностям, что идет вразрез с естественными науками, где изучаются сущности, находящиеся в пространстве и во времени. Больше того, некоторые философы полагают, что такая страсть математиков име ет некоторый нормативный характер, выражающий в известной мере ценности математиков. Так, Р. Нозик утверждает: «Некоторые мате матики имеют предрассудки, выражающиеся в предпочтении неиз менных и вечных математических объектов и структур, которые изу чаются ими. Хотя эта традиция имеет почтенный возраст, трудно понять, почему неизменное или вечное более ценно или значимо, почему длительность сама по себе должна быть важной. Рассматри вая эти вещи, люди говорят о вечном и неизменном, и этот разговор включает (кроме Бога) числа, множества, абстрактные идеи, само пространство-время. Неужели лучше быть одной из этих вещей? Это странный вопрос: как может быть конкретный человек абстрактным объектом? Можно ли хотеть стать числом 14 или Формой Справед ливости или пустым множеством? Хотел ли кто-нибудь иметь такое существование, которое приписывается множеству?» (27).
Другие философы возражают платонизму на том основании, что он бессодержателен уже по своей постановке вопроса. Так, А. Сло ман скептически оценивает позицию платонизма Р. Пенроуза. «Все, что он говорит, состоит в том, что математические истины и концеп ции существуют независимо от математиков, и что они открывают ся, а не изобретаются. Это лишает платонизм всякого содержания... Хотя многие люди полагают платонизм как чем-то мистическим, или антинаучным, так же горячо, как Пенроуз защищает платонизм, такие разногласия на самом деле пусты. Нет никакой разницы, существуют ли математические объекты до их открытия или нет. Спор этот, как и всякий спор в философии, зависит от ошибочного предположения, что существует четко определенная концепция (например, "существо вание математического объекта"), которая может быть использована с целью постановки вопроса, на который можно дать определенный ответ. Мы все знаем, что означает существование единорогов, или вполне разумный вопрос о существовании простого числа между двумя задан ными целыми числами. Но нет смысла спрашивать, существуют ли все целые числа, или существуют ли они независимо от нас, и все дело в том, что понятие существования весьма плохо определено» (28).
Такие точки зрения резко контрастируют с мнением математи ков, исповедующих платонизм. Например, Ш. Эрмит писал: «Я верю, что числа и функции в анализе не являются произвольными продук тами нашего сознания: Я верю, что они существуют вне нас, обла дая той же необходимостью, какой обладают вещи объективной ре альности; и мы обнаруживаем или открываем их, или изучаем точ но так же, как это делают физики, химики и зоологи» (29).
Избегая крайностей, следует признать, что коль скоро платонизм есть успешное с точки зрения математического сообщества объяснение природы математики и математической практики, все, что может сделать аргументативная философия, это исследовать, в ка кой степени математика ответственна за столь странный взгляд как платонизм. Кроме того, несмотря на странности платонизма, следу ет понять, в какой степени платонизм неизбежен, и есть ли ему жиз неспособные альтернативы в объяснении природы математики.
Термин «платонизм» настолько устоялся в философии матема тики, что едва ли кто-либо из вновь приходящих в эту область знает, что, несмотря на близость идеологии работающих математиков фи лософии Платона, сам термин «математический платонизм» был введен в обиход относительно недавно, а именно П. Бернайсом в 1934 г. в статье О платонизме в математике (30).
Между тем более правильно говорить не о платонизме в мате матике, а о реализме в математике. Подобное терминологическое уточнение важно, потому что фактически философские доктрины, ассоциирующиеся с математикой, напрямую связаны с многими логико-философскими доктринами, в частности, с различными тео риями истины, значения, и в целом, с теориями соотношения языка и мира. Поэтому всякому обсуждению собственно платонизма дол жно предшествовать обсуждение концепции реализма. Этот подход тем более правилен, что модная ныне проблематика противопостав ления реализма и так называемого антиреализма имеет прямое от ношение к философии математики.
Обсуждение реализма в математике следует начать с того, что все мы, независимо от наших философских убеждений, верим в эле ментарные математические истины. Поскольку математика успеш но применяется для счета и других расчетов, мы полагаем, что мате матические истины отражают факты в мире. Больше того, сама струк тура языка подводит нас к такому выводу: если математические ис тины есть истины в общем понимании этого слова, тогда это долж ны быть истины о чем-то в мире. Тогда встает вопрос о том, о чем же говорит математика, и вряд ли у кого-либо есть сомнения в том, что математика говорит о реальных объектах. В частности, ее объек ты — числа, множества, функции, пространства и пр. — существу ют вполне реально. И математика изучает эти объекты точно так же, как естественные науки изучают свои, например, как физик изучает атомы. В свое время подобное кредо реализма категорично было выражено Расселом в отношении логики: «логика имеет дело с ре альным миром в той же степени, что и зоология, хотя с его наиболее абстрактными и общими чертами» (31). Естественность реалистичес кого взгляда в математике объясняется тем, что «основная поддерж ка реалистическому подходу к математике состоит в инстинктивной уверенности большинства из нас, пытавшихся решить математичес кую проблему, в том, что мы думаем о "реальных объектах", будь то множества, числа и т.п.» (32).
Проблема реализма разрабатывается в рамках эпистемологии. В настоящее время существует два подхода к эпистемологии. Один следует традиционному картезианскому идеалу теории познания, которая представляет собой исследование знания и обоснования знания, априорное по отношению к естественной науке. При таком подходе теория познания ищет основания науки, что выходит за пре делы компетенции самой науки, на основе стандартов чистого разу ма. Другой подход известен под названием «натурализованной эпи стемологии»; в ней исследование знания и способов познания ста новится частью самой науки.
Натурализация эпистемологии имеет большое значение для раз решения споров по поводу реализма. Установление того, что суще ствует реально, — дело не спекулятивных рассуждений, а самых но вых научных теорий. Таким образом, при обсуждении реалистичес кой программы в математике нам не следует углубляться в традици онные споры о существовании или несуществовании универсалий, или абстрактных объектов. Нам следует опереться на современные теории. Правда, при этом на нас ложится дополнительное бремя демонстрации того, что математика подобна естественным наукам. Эта последняя точка зрения находит свое лучшее выражение в аналогии, используемой многими философами — как сторонни ками платонизма, так и его противниками. Так, Куайн полагает, что с точки зрения натурализованной эпистемологии, мы считаем суще ствующими физические объекты среднего размера по той причине, что такая онтология дает нам наиболее простое объяснение природ ных явлений, описываемых физическими теориями. Точно так же, полагает он, мы должны принять в качестве существующих множе ства, поскольку такое решение упрощает наши математические тео рии. Действительно, такое предположение выглядит вполне прав доподобно в свете редукции всех математических объектов к мно жествам33.
В таком случае теорией, на которую мы будем ориентироваться при исследовании реализма в математике, будет теория множеств. Этот выбор стандартен в исследованиях по философии математики, и не требует особого оправдания. Следует учесть, что именно тео рия множеств ставит перед философами наиболее острые пробле мы. Понимание концепции множества, по сути своей, и представля ет собой целую программу исследований, вокруг которой концент рируются многие важнейшие философские проблемы. Реализм в теории множеств означает убеждение в том, что теоретико-множе ственные утверждения имеют истинностные значения. В качестве лакмусовой бумажки в этом вопросе обычно берется континуум-гипотеза. Реалист полагает, что истинность или ложность ее явля ется делом объективным, даже если (Боже сохрани) мы никогда не узнаем этого (34).
5. Эпистемологизация философии математики
Видимо, следует сказать, что преодоление стагнации в филосо фии математики в последние два десятка лет было связано с обще философскими тенденциями. Главным обстоятельством тут являет ся то, что философия математики есть часть философии, и на ней отражаются все те тенденции, которые свойственны всей филосо фии. Философия даже относительно элементарных ветвей матема тики — это такая дисциплина, в которой ясно фокусируются теории о природе языка, знания, указания и истины. Именно это обстоя тельство делает исследования в философии математики важным видом философского исследования. Стало очевидно, что традици онная философия математики столкнулась с дилеммами, обуслов ленными современной теорией познания, и, стало быть, мы имеем дело с эпистемологическим уклоном в философии математики.
Возможны два представления того, что было сделано в филосо фии математики в последнее время. Одно пыталось увязать новые исследования с традиционными направлениями —логицизмом, фор мализмом и интуиционизмом, т.е. представить новые направления как реакцию на традиционные. Другое связано непосредственно с эпистемологической тенденцией, вызванной к жизни постановкой важной проблемы П. Бенацеррафом в его работе Математическая истина (35).
Дилемма формулируется следующим образом: если математика представляет собой исследование объективных идеальных сущностей и если когнитивные способности человека позволяют ему познавать только чувственные объекты, то как он может познавать математичес кие объекты? Апелляция к познанию чувственных объектов подразу мевает совершенно определенную концепцию познания —так называ емую причинную теорию познания. Можно возразить, что это не един ственная теория, и тогда дилемма теряет смысл. Однако можно пере формулировать дилемму таким образом, что она не будет опираться на специфическую теорию познания. Дилемма ставит перед нами выбор: либо отрицать, что математика говорит о числах, либо предполагать некоторые неестественные способности человека в отношении сбора информации. Поскольку обе возможности не выглядят привлекатель ными, предпринимались различные попытки разрешить дилемму. Мно гие исследователи соглашаются, что при обсуждении эпистемологи ческих вопросов приходится решать и главный онтологический вопрос о существовании математических сущностей, и решать его надо так, чтобы не нужно было жертвовать стандартной математикой, как это происходит при традиционном номиналистическом подходе. Но как нам кажется, эпистемологический вызов философии математики, иниции рованный Бенацеррафом, принят в качестве того, что можно назвать локальной парадигмой этой области философии.
Превосходно «эпистемологический поворот» в философии мате матики выразил У. Харт: «Во время заката чувственных данных и ана литичности эпистемология как будто потеряла гордое место центра посткритической философии и, вероятно, современной философии во обще. С подъемом семантики и возрождением онтологии эпистемоло гия как будто закатилась. Фреге ниспровергнут, и почти все чувствуют, что древность более уместна, чем современность. Но даже если эпис темология заслуживает пару пинков, тем не менее, она остается пол ноправным гражданином философской республики. Причины этого очевидны. Некоторые из самых глубоких проблем философии состоят из примирения естественных, но несовместимых эпистемологии и он тологии. Например, не случайно, что есть проблемы других умов и про блема соотношения ума и тела. Но нигде такой конфликт не является более древним, чем в философии математики. Для сочувствующего читателя Менона или Пира или же середины Государства должно быть ясно, как Платон героически сражается в поисках правдоподобной эпистемологии для теории форм. Платонизм кажется ясным, когда вы думаете о математической истине, но невозможным, когда вы думаете о математическом познании. И конечно, эпистемология не умерла в нашем веке; она просто изменилась. Причинность, холизм, и натурализация вытеснили чувственные данные и аналитичность. Так что надо приветствовать переформулировку основных положе ний эпистемологии математики. Интеллектуальным долгом являет ся не только прогресс в области математической логики, но прогресс в эпистемологии математики» (36).
Эпистемологизация математики может рассматриваться в пер вую очередь как реакция на философски затруднительную позицию платонизма. Традиционно платонизм считался спорным онтологи чески, т.е. как доктрина о существовании вне и независимо от разу ма объектов, обитающих в сфере идеального. Эпистемологическое возражение против платонизма, сформулированное четко Бенацер рафом, делает упор на невозможности эпистемологического досту па к такого рода объектам. Другими словами, если мы признаем математическое знание истинным, и его объекты существующими, тогда непонятно, как мы получаем это знание, не имея чувственного контакта с этими объектами. В такого рода аргументации, конечно, важно, что собственно имеется в виду под познанием объектов. Та ким образом, мы имеем некоторые очертания эпистемологического подхода к опровержению платонизма.
В некотором смысле вся история философии математики связа на с борьбой против платонизма, и поскольку это предприятие нельзя назвать особенно успешным, возникают сомнения относительно того, можно ли вообще найти решение этой проблемы, т.е. можно ли считать, что есть серьезные аргументы за или против платониз ма. Причем ситуация тут несимметричная, поскольку платонизм является «намеренной» философией математиков, в то время как антиплатонизм — результат по большей части (если исключить ин туиционизм) философских исследований. Поэтому каждый антиплатонистский шаг подразумевает собственную стратегию и классифи кацию альтернативных решений. В этой связи весьма интересным представляется подход М. Балагера, который полагает, что тщатель ный анализ технических аргументов не дает оснований считать, что они решительно свидетельствуют в пользу платонизма или антипла тонизма (37). В следующем ниже обзоре эпистемологических аргумен тов мы существенно опираемся на эту работу.
Балагер полагает, что работа Бенацеррафа Математическая ис тина, которая, по общему признанию, вызвала к жизни эпистемологические программы опровержения платонизма, явилась не больше, чем инспирацией, поскольку в ней были спутаны различные про блемы. В частности, Бенацерраф сделал упор на несовместимости семантики Тарского для математических языков с причинной тео рией познания. Недостаток такого подхода состоит в том, что мате матические языки могут обладать и другой семантикой, например, подстановочной (38), а причинная теория познания не является един ственной или выделенной среди других теорий (39). Тем не менее, по лезно представить аргументацию Бенацеррафа в следующем виде:
1. Люди существуют в пространстве и времени.
2. Если существуют абстрактные математические объекты, то они существуют вне пространства и времени.
Следовательно, согласно причинной теории познания,
3. Если существуют абстрактные математические объекты, тог да человеческие существа не могут иметь к ним познаватель ного доступа.
Следовательно,
4. Если математический платонизм верен, тогда человеческие существа не могут иметь к ним познавательного доступа.
5. Человеческие существа имеют-таки математическое знание.
Следовательно,
6. Математический платонизм не верен.
Это несколько дотошный анализ аргументации Бенацеррафа мож но было бы заменить одним пунктом 3, который концентрируется вок руг более общей проблемы, как познаются абстрактные объекты. При чинная теория познания утверждает, что для того, чтобы субъект А знал р, необходимо наличие причинной связи между А и р, подходящим об разом установленной. Поскольку установление причинной связи меж ду субъектом и абстрактными объектами проблематично, аргумента ция сторонников платонизма направлена против причинной теории познания. Проблематичность эта не усматривается мистически настро енными мыслителями, например, К. Геделем, но в целом ее осознает большинство философов-платонистов.
Как указывает Балагер, разговор о причинной теории познания лишь усложняет ситуацию, поскольку можно обойтись без нее, счи тая, что заключение (6) прямо следует из посылок (1) и (2). Дей ствительно, человеческие существа и абстрактные объекты не пере секаются, обитая в разных мирах, что соответствует интуиции. Од нако факт познания математических объектов налицо, поскольку мы имеем не только стройные (хочется сказать, непротиворечивые) ма тематические теории, но и крайне успешное применение математи ки в естественных науках. Это так называемый аргумент о необхо димости (indispensability) математики, который играет важную роль в защите платонизма (40). Заключение (3) можно подвергнуть сомнению тремя разными путями. Во-первых, можно объявить ложной посылку (1). Это зна чит, что человеческие существа могут иметь доступ к абстрактным объектам, что утверждал, как уже было сказано выше, К. Гедель. Взгляды Геделя по этому поводу крайне туманны, а их интерпрета ция основывается на часто приводимой цитате из дополнения ко второму изданию его статьи Что такое континуум-гипотеза?: «...объекты трансфинитной теории множеств ... не принадлежат к физическому миру и даже их косвенная связь с физическим опытом является очень неопределенной (главным образом потому, что тео ретико-множественные концепции играют незначительную роль в современных физических теориях). Но вопреки их отдаленности от чувственного опыта, мы имеем нечто подобное ощущению и в слу чае объектов теории множеств, что видно из факта, что аксиомы вынуждают нас признать их истинность. Я не вижу никаких резо нов для того, чтобы испытывать меньшее доверие к этому виду вос приятия, т.е. к математической интуиции, чем к чувственному вос приятию, которое побуждает нас к построению физических теорий и ожиданию, что будущие чувственные восприятия будут согласо ваны с ними... Следует заметить, что математическая интуиция не должна рассматриваться как способность получения непосредствен ного знания соответствующих объектов. Скорее, как и в случае фи зического опыта, мы образуем наши идеи об этих объектов на осно вании чего-то еще, что дано нам непосредственно. Только это нечто не есть ощущения, и не главным образом ощущения. То, что это нечто помимо ощущений действительно дано нам непосредствен но, следует из того факта, что даже наши идеи касательно физичес ких объектов содержат конституенты, качественно отличные от ощу щений или просто их комбинаций, например, идея самого объекта, в то время как, с другой стороны, в нашем мышлении мы не можем создать качественно новых элементов, и можем лишь воспроизвес ти и скомбинировать только то, что дано. Очевидно, что "данное" в математике близко соотносится с абстрактными элементами, которые содержатся в наших эмпирических идеях» (41). Эта длинная цита та приведена здесь полностью для того, чтобы можно было убедиться в некоторой расплывчатости видения проблемы Геделем (кстати, тут видно влияние философии Гуссерля, которого Гедель изучал осо бенно тщательно).
Сразу следует отметить, что сейчас мало кто считает точку зре ния Геделя приемлемой, полагая ее странной и слишком метафо ричной. Более точная формулировка его представлений включает следующие утверждения: во-первых, математическая интуиция ана логична чувственному восприятию; во-вторых, математическая ин туиция включает информационный обмен между абстрактными ма тематическими сущностями и людьми; в-третьих, тезис (1) ложен.
С точки зрения здравого смысла попытка объявить ложным ут верждение о том, что человеческие существа не выходят за пределы пространства и времени, отдает мистикой. И действительно, «Ге дель разделял с Эйнштейном определенный мистический поворот мысли... Я спросил его [Геделя], верит ли он, что Ум есть везде, в противоположность локализованным мозгам отдельных людей. И Гедель ответил: "Конечно. Это основное мистическое учение"» (42).
Абсолютный Ум, или отдельные умы, имеют нематериальный, и стало быть, внепространственный и вневременной характер. Тог да возражение платонизму на основе причинной, или какой-либо другой теории познания, сводящееся к тому, что трудно представить себе поток информации от абстрактных объектов к человеческим существам, становится как будто менее серьезным, поскольку чело веческие существа заменены нематериальными умами. Однако та кая замена не спасает платонизм, потому что передача информации, которая является процессом причинным, от абстрактных объектов к нематериальным умам не менее загадочна по сравнению с переда чей информации от абстрактных объектов к человеческим существам.
Таким образом, крайний платонизм в версии Геделя неправдо подобен, и объяснение интуиции как средства познания следует ис кать на другом пути. Недаром Гедель значительную часть времени уделил изучению философии Канта и Гуссерля, в работах которых интуиция занимает важное место. Другими словами, идея контакта с другими мирами не проходит. Впрочем, несмотря на то, что эти идеи исходили от столь авторитетного ученого, как Гедель, их никто не принимал и не принимает всерьез.
С точки зрения логики вполне возможна защита платонизма путем признания ложным пункта (2), т.е. отказ от утверждения, что абстрактные математические объекты существуют вне пространства и времени. Именно такова позиция П. Мэдди, описанная выше. На сегодняшний день Мэдди отказалась от своего в достаточной мере радикального реализма в пользу натурализма. Менее радикальным решением в выработке стратегии защиты платонизма является при знание (1) и (2) с одновременным отказом от того, что из этих утвер ждений следует (3), а именно, что если существуют абстрактные математические объекты, тогда человеческие существа не могут иметь к ним познавательный доступ. Большая часть исследователей придерживается именно такой стратегии. Наиболее основательная аргументация в этом направлении представлена В. Куайном.
6. Плюрализм и консенсус
Прекрасной иллюстрацией тех трудностей, которые возникают перед желающим дать четкую классификацию направлений и кон цепций современной философии математики, является понимание основного термина — «реализм». С. Шапиро дает такую сводку: «Реалист говорит, что "числа существуют". Антиреалист говорит: "числа не существуют". Тут страсти нешуточные. Оппонентов час то называют "теологами", "скептиками" — весьма оскорбительные слова на современном жаргоне. Я хочу понимать эти направления как рабочие программы. Реализм может иметь много смыслов. Один — что математические объекты существуют независимо от математиков. Это реализм в онтологии. Другой — что утверждения различных областей математики имеют объективные бивалентные истинностные значения независимо от конвенций, языка и правил математиков, и что основная часть утверждений компетентных ма тематиков истинна. Это — реализм в истинностных значениях. Нет общего согласия относительно соотношения этих двух видов реа лизма. Мэдди и Гедель — реалисты в обоих смыслах. Даммит — антиреалист в обоих смыслах. Хеллман и Чихара — антиреалисты в онтологии и реалисты в истинностных значениях. Единственный человек — реалист в онтологии и антиреалист в истинностных зна чениях — это Теннант» (43).
Перечисленные выше старые и новые направления в филосо фии математики не исчерпывают всех подходов, поскольку все они принадлежат некоторому «канону», который превосходно ощуща ется аналитическими философами. Однако есть и радикально дру гие подходы к философии математики, и среди них следует выде лить философа Ф. Китчера и математика Р. Херша.
Для Китчера математические утверждения суть совокупность операций, выполняемых идеальным субъектом (44). Он полагает мате матику цепью непрерывных концептуальных конструкций и в этой связи развивает эволюционную модель математического познания. Таким образом, ключевой дисциплиной при подобного рода иссле дованиях предстает история математики, из которой следует извлечь некоторые рациональные принципы, управляющие концептуальны ми изменениями по ходу развития математики. Ясно, что философия Т. Куна занимает в позиции Ф. Китчера самое значительное место. Кроме того, Китчер прибегает в объяснении математического познания к причинной теории указания Крипке — Патнэма, согласно которой значение термина прослеживается через цепь изменений к некото рому исходному акту употребления термина. Рано или поздно эта цепь упирается в перцептуальное познание наших предшественни ков-предков. В этом ключе, утверждая важность психологии, Кит чер отказывается от эпистемологической ориентации в исследова нии природы математических истин. Если обычная позиция в фило софии математики состоит в том, чтобы обосновать знание этих ис тин, то Китчер полагает, что большая часть людей уже знает значи тельную часть математических истин, и задача философского исследо вания состоит в том, чтобы понять, как мы получаем это знание.
Несмотря на новые программы, все эти направления находятся в русле, если можно так выразиться, классической философии ма тематики. Между тем возможен более радикальный взгляд на фило софию математики, который, как считает Р. Херш, больше соответ ствует духу того, что делают работающие математики. Он полагает, что в повороте философии математики к практике некоторые фило софы высказали новые взгляды, суть которых состоит в следующем.
• Математика является человеческим предприятием и, стало быть, частью человеческой культуры. Значит, математика не есть описание абстрактных концепций Фреге и вневременной объектив ной реальности.
• Математическое знание погрешимо. Подобно науке, матема тика прогрессирует через ошибки и их исправление (Лакатос).
• Существуют различные версии доказательства и строгости в зависимости от времени, места и множества других вещей. Исполь зование компьютеров в доказательстве есть нетрадиционная версия строгости.
• Эмпирические свидетельства, числовое экспериментирование, вероятностные доказательства помогают нам решать, во что верить в математике. Аристотелевская логика является не самым лучшим способом решения этих проблем.
• Математические объекты суть специальный вид социально-культурно-исторических объектов. Мы можем выделить математи ку из литературы или религии. Тем не менее математические объек ты являются общими культурными идеями, подобно литературным персонажам или религиозным концепциям (45).
Следует сказать несколько больше относительно того, что же представляет собой так называемая гуманистическая математика. В целом ее можно отнести к новому модному направлению в фило софии — социальному конструированию, хотя гуманистическая математика является менее радикальным взглядом по сравнению с социальным конструированием (46). Дело в том, что признание мате матики просто человеческой активностью, с точки зрения гуманис тической математики, вообще не имеет отношения к философии математики. Последняя усматривает скрытый смысл за пределами социально-историко-культурного контекста, который проявляется в неизменной онтологии математических объектов и вневременном характере математических истин. Но если, как это утверждает гума нистическая математика, математическое познание погрешимо, тогда истина и онтология в математике изменяются по ходу познания.
Конфликт между гуманистической математикой и классической философией математики достаточно глубок, поскольку отражает не только недовольство стагнацией в философии математики, но и по пытки радикального отделения философии от математики вообще. Р. Херш говорит, что зачастую нет смысла философствовать по по воду математики, ища в ней скрытый смысл. Все, что есть в матема тике, — это деятельность работающих математиков, и поиски философов по поводу того, что такое математика, не имеют отноше ния к деятельности математиков. Философия тут берет ложный след.
Итак, в философии математики создалась следующая ситуация. С одной стороны, хотя есть признание стагнации в классической философии математики и даже признание того, что «ничего из этого не работает», существует ряд направлений, призванных придать философии математики новое дыхание. С другой стороны, есть пол ное отрицание значимости классической философии математики, обоснованное убеждением, что философская оценка математичес кой деятельности бесплодна: математическая деятельность не име ет в себе скрытого смысла, искомого философией, и сама филосо фия неправильно следует в своих собственных стандартах строгос ти, на которых основывается философия математики, за этой самой математикой. Ясно, что с классической философией математики что-то не так, но в поисках нового дыхания этой фундаментальной об ласти философии требуется ответить на упреки гуманистической математики. Таким ответом является эпистемологический поворот в исследованиях по основаниям математики и в целом в философии математики.
Теперь рассмотрим радикальный тезис о том, что философия не имеет отношения к математике. С этой точки зрения математика живет своей собственной жизнью независимо от каких-либо фило софских рассмотрений. Взгляды относительно статуса математичес ких объектов или утверждений ничего не вносят в математику и яв ляются худшей софистикой, бормотаньем и вмешательством посто ронних. Надо признать, что большинство математиков вообще не интересуются философией, онтологией или семантикой. Ну а те математики, которые исповедуют философию, часто входят в про тиворечие со своей собственной практикой.
В этом отношении близким взглядом является натурализм, ха рактеризуемый Куайном как «отказ от первой философии» и «осоз нание того, что только в рамках самой науки должна описываться и идентифицироваться реальность». Мэдди применяет натурализм к математике, также утверждая, что математика должна быть изоли рована от традиционных философских исследований. Ну и все про блемы в математике должны решаться математиками как математи ками. Как быть с такой радикальной точкой зрения?
Известно, что многие знаменитые математики были философа ми. Так, Гедель утверждал, что его реализм был важным фактором открытия полноты первопорядковой логики и неполноты арифме тики. Например, теорема полноты есть следствие некоторых результатов Сколема. Но Сколем не сделал этого шага. Почему? Потому что оба имели различные ориентации в онтологии. Но это лишь не многие счастливые примеры среди моря примеров отрицательного отношения математиков к философии.
Р. Херш продолжает атаковать философию математики еще бо лее яростно, настаивая на том, что даже подразумеваемая филосо фия работающего математика, а именно платонизм, ущербна в са мой основе. Характерным подтверждением такой позиции является следующее его высказывание: «Проблема состоит в том, что Плато низм оставил Бога, но продолжает считать Математику мыслями Бога». Херш полагает, что «традиционная философия осознает толь ко передовой фронт математики». Но нельзя понять передовой фронт без того, чтобы понять ее фон. Внутренний участник событий мог бы: 1) помочь лучшему пониманию мешанины в математике и сфор мулировать проблемы под правильным углом зрения с учетом кон текста, с новой возможностью решить их; 2) показать, что нет нуж ды философствовать по поводу математики, ища скрытый смысл в ней; 3) дать философский ответ на то, что есть математика. Одна ко пролегомены (1) не должны быть терапевтическими по отноше нию к (2) и не должны делать позитивного вклада в (3). Херш сам предпочитает заниматься в основном (3). Внутренний участник мо жет дать ответ на (1), но вряд ли на (2) и (3). Большая часть внутрен них участников являются повседневными платонистами, а по вы ходным — формалистами, что вносит философскую путаницу (47).
Большинство внутренних участников (от Декарта до Гильбер та) были осведомлены о «задворках» математики, но их, в отличие от Херша, интересовал вопрос не о том, что такое математика, а о том, как мы объясняем объективность математических вер и надеж ность математического размышления. Социальный характер мате матики является тривиальным обстоятельством, свойственным все му человеческому знанию.
В подобного рода рассмотрениях важное место занимает пози ция работающего математика, или, более фундаментально, матема тическая практика. Любое обсуждение философии науки требует обращения к научной практике. Но для философских целей понятие практики часто принимает нужную форму в угоду философским предпочтениям. Поэтому желательно заранее сформулировать, что представляет собой научная практика, или, более точно, какова структура научной практики, которая является предметом философского анализа. В случае математики суть практики отнюдь не сводится к доказательству, хотя традиционно считалось, что математик дока зывает истины. Само понятие доказательства представляет собой цепь аргументов, значимость которых варьировалась в зависимости от той же самой математической практики. Научная практика имеет много компонентов: язык, теоретические принципы, примеры тео ретической и экспериментальной работы, принятые методы размыш ления, техника разрешения проблем, оценка важности вопросов, метанаучные взгляды на природу научного поиска. Ф. Китчер рас сматривает математическую практику как предприятие, включаю щее в себя пять компонентов: язык, множество принятых предложе ний, множество принятых способов рассуждения, множество при нятых в качестве важных вопросов и множество метаматематичес ких взглядов (стандарты доказательства и определения, а также утверждения о сфере и структуре математики) (48).
Таким образом, традиционные взгляды на философию матема тики претерпевают значительное изменение. Среди хаоса мнений и предположений о том, в какой степени математика связана с фило софией, следует найти какой-то порядок, который смог бы дать точ ку опоры в будущей философии математики, если ей суждено вы жить. На мой взгляд, таковой является эпистемологическая ориен тация на вопросы математического познания, а не на традиционные вопросы о природе математических объектов и математической истины.
Литература
К Введению
' Rota G.-C. The Pernicious Influence of Mathematics upon Philosophy/I SyntheseSS: 165—178,1991 —P. 167.
2 Ibid. — P. 168—169
3 Putnam H. Review of the Concept of a Person II Philosophical Papers. Mind, Language and Reality. — Cambridge: University Press, 1975. — Vol. 2. — P. 132—133.
4 Martin R. Intension and Decision. — N.Y., 1964. — P. 42.
5 См., например: Lavine Sh. Understanding the Infinite. — Cambridge: Harvard University Press, 1994.
6 Godel K. What is Cantor's Continuum Problem? II Philosophy of Mathematics / Ed. P. Benacerraf, H. Putnam. — Englewood Cliffs: Prentice-Hall, 1964. — P. 262.
7 Maddy P. Realism in Mathematics. — Oxford: University Press, 1990.
8 Maddy P. Naturalism in Mathematics. — Oxford: University Press, 1997.
9 Rota G.-C. Mathematics and Philosophy: Story of Misunderstanding II Review of Metaphysics. — 1990. — Vol. 44, N 174, Dec.
10 Rota О -С Mathematics and Philosophy. — P. 260.
К главе 1
1 Клайн М. Математика: утрата определенности. — М.: Мир, 1984.
2 См., например: Korner S. The Philosophy of Mathematics. — L.: Hutchinson,
3 Mostowski A. Thirty Years of Foundational Studies // Acta Philosophica Fennica, t' Fasc. 17. — Helsinki, 1965. — P. 8.
4 Хао Ван. Процесс и существование II Математическая логика и ее примене- { ние. — М., 1965.
5 Hersh R. A Fresh Winds in the Philosophy of Mathematics II Amer. Math. Monthly. — 1995. — Aug.-Sept. — P. 590—591.
6 Hintikka Ja. Lingua Universalis vs Calculus Ratiocinator. — Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1997. — P. 2.
7 Hintikka Ja. Principles of Mathematics Revisited. — Cambridge: University Press, 1996.
8 Hintikka Ja. Principles of Mathematics Revisited.
9 Maddy P. Philosophy of Mathematics: Prospects for the 1990s II Synthese 88. — 1991.— P. 155—164.
10 www.math.psu.edu/simpson/fom/posting/006/msg00142.html
11 Passmore J. Recent Philosophers. — N.Y.: Open Court, 1991.
12 Benacerraf P. What Numbers Could Not Be II Philos. Rev. — 1965. — Vol. 74, № 1.
13 Shapiro S. Philosophy of Mathematics. Structure and Ontology. — Oxford: University Press, 1997.
14 Resnik M. Mathematics as a Science of Patterns. — Oxford: Clarendon Press, 1997. 20
15 Beth Е. Mathematical Thought. — Dordrecht: Reidel, 1965. — P. 176.
16 Curry H. Outlines of a Formalist Philosophy of Mathematics. — Amsterdam, 1970.— P. 30—31.
17 Benacerraf P. What Numbers Could Not Be. — P. 23.
18 Ibid.
19 Field H. Science without Numbers. — Princeton: University Press, 1980.
20 Takeuti G. Two Applications of Logic to Mathematics. — Princeton: University Press, 1977.
21 Tappenden J. Recent Works in Philosophy of Mathematics II J. Philosophy. — 2001. — Vol. 97. — P. 488—497.
22 Chihara Ch. Constructibility and Mathematical Existence. —Oxford: University Press, 1990.
23 Davis Ph., Hersh R. The Mathematical Experience. —Penguin, 1983. —P. 321.
24 Penrose R. The Emperors New Mind. — L : Vintage, 1990. — P. 147.
25 Рассел Б. Мудрость Запада. — М.: Республика, 1998. — С. 5р—51.
26 Рассел Б. История западной философии. — Новосибирск: Изд-во НГУ, 1997.— С. 51.
28 Barrow J. Pi in the Sky. — P. 273.
29 Ibid. — P. 259.
" 1U1U.---- Г. £.J7.
30 См.: Philosophy of Mathematics I Ed. P. Benacerraf, H. Putnam. — Engiewood Cliffs: Prentice-Hall, 1964.
31 Рассел Б. Введение в математическую философию. —М.: Гнозис, 1996. — С. 155—156.
32 Moschovakis Y. Descriptive Set Theory. — Amsterdam: North Holland, 1980. — P. 605.
33 Quine W.V.O. Epistemology Naturalized II Ontological Relativity and Other Essays. — Harvard: University Press, 1969.
34 Maddy P. Mathematical Realism //Midwest Studies in Philosophy. — 1988. — Vol. 12. — P. 275.
35 Benacerraf P. Mathematical Truth II J. Philosophy. — 1973. — P. 403—419.
36 Из рецензии на кн.: Mathematical Knowledge by M. Steiner, Ithaka. — Cornell: University Press, 1975. — 164 p. — Rec. W.D. Hart //J. Philosophy. —1977. —Vol. 74, N2, febr. — P. 118—129.
37 BalaguerM. Platonism and Antiplatonism in Mathematics. —Oxford: University Press, 1998.
38 См.: Целищев В.В., Бессонов А.В. Две интерпретации логических сис тем. — Новосибирск: Наука, 1979.
39 По поводу причинной теории познания см.: Goldman A.I. A Causal Theory of Knowledge II Essays on Knowledge and Justification / Ed. G. Pappas, M. Swain. — Cornell: University Press, 1978.
40 Сводка результатов этого крайне объемного материала может быть найде на в кн.: Colyvan M. The Indispensability of Mathematics. — Oxford: University Press, 2001.
41 Godel К. What Is Cantor 's Continuum Problem? II Philosophy of Mathematics / Ed. H. Putnam, P. Benacenaf. — Cambridge: University Press, 1964. — P. 271—272.
42 Rucker R. Infinity and the Mind. — Bantam Books, 1983. — P. 183.
43 Shapiro S. Mathematics and Philosophy of Mathematics /I Philosophia Mathematica. — 1994. — Vol. 2, N 3. — P. 148—160.
44 Kitcher Ph. The Nature of Mathematical Knowledge.— Oxford: University Press, 1983.
45 Rec. Philosophy of Science. — 1966. — N 3. — P. 501—502: Hersh R. What is Mathematics, Really?- Oxford: University Press, 1997.
46 По поводу социального конструирования см.: Hacking I. The Social Construction of What? — Harvard: University Press, 1999.
47 Hersh R. Mathematics has a Front and a Back II Synthese P- 127-133.
Вопросы для понимания
разделу 2
Раздел 3.
раздел 4
Раздел 5
Раздел 6.
Способ бытия математических объектов
Если в первом разделе хрестоматии рассмотрены постановка и решения вопроса в основном о способе бытия множества как математического объекта, то в данном разделе вопрос ставится в более общем виде – каков способ бытия любых математических объектов, где и как они существуют. М.А. Розов решает этот вопрос путем выявления тесной связи названной проблемы с аналогичными фундаментальными проблемами современных гуманитарных наук – где и как существуют такие объекты, как слово или литературные герои. В статье показано, что объекты математики такие, например, как натуральные числа, – это некоторые роли соответствующих обозначений, которые вос производят себя по принципу нормативных систем. Это и есть их «устройство» или способ их бытия. Ска занное означает независимость математических объектов от индивидуального че ловеческого сознания, ибо они в своем бытии обусловлены всем контекстом культуры, всей практикой человечества и противо стоят отдельному человеку или целому поколению как явление не менее объективное, чем язык. Но, будучи явлением культуры, они и развиваются не по законам естественнонаучных объектов, а вместе с культурой и по ее законам.
Аналогичную точку зрения проводит Р. Коллинз, американский философ, автор фундаментальной монографии «Социология философий», ((фрагмент эпилога которой представлен в хрестоматии)), где он строит и изучает сети личных связей как вертикальные (учитель-ученик), так и горизонтальные (кружки единомышленников). Коллинз развивает социальную концепцию творчества и выступает против платонистской трактовки математики – т.е. против того, что матема тические истины существуют в некотором особом царстве, никак не со относящемся с человеческой деятельностью по формулированию мате матических утверждений. Он говорит, что математика имеет социальную природу в том смысле, что она неизбежно является дискурсом в некотором социальном сообществе (математики включены в сеть учителей) и математические объекты столь же реальны, сколь реален обыденный, соразмерный человеку мир действия.
Соглашаясь с отказом Коллинза от наивного реализма и платонизма и признавая социальную сконструированность знания, Н.С. Розов полагает, что необязательно сводить, подобно Коллинзу, реальность объектов естествознания к лабораторному оборудованию, а реальность математических объектов – к коммуникативным операциям. Он занимает позицию, названную им генеративным виртуализмом, что включат в себя а) чисто ментальный характер математических миров; б) потенциал бесконечного развертывания; в) жесткость, «упрямство», отсутствие произвольности в следствиях заданных конструкций.
В статье Л.С. Сычевой показано, как можно попытаться снять трудности философии математики, связанные с вопросом, где и как существуют математические объекты (в частности дилемму Бенацеррафа, рассмотренную в работе В.В. Целищева – если математика представляет собой исследование объективных идеальных сущностей и если когнитивные способности человека позволяют ему познавать только чувственные объекты, то, как он может познавать математические объекты?) на базе представлений о том, что числа – это роли обозначений и существуют как социальные эстафеты, развитых в статье М.А. Розова.
М. А. Розов
СПОСОБ БЫТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ
– Методологические проблемы развития и применения математики. Сборник научных трудов. М., 1985. С. 20–26.
Онтологический статус математических объектов или, что то же самое, способ их бытия – это одна из проблем философии математики, которая, начиная еще с Платона, породила огром ную литературу. Мы не претендуем в этой маленькой заметке на анализ существующих здесь дискуссий и точек зрения, а огра ничимся рядом соображений, цель которых показать тесную связь названной проблемы с аналогичными фундаментальными проблемами современных гуманитарных наук. Впрочем, на наличие такой связи в принципе уже указывали и сами математики (1).
В качестве отправного пункта для рассуждения возьмем точку зрения Р. Л. Гудстейна на природу натуральных чисел. Гудстейн сопоставляет арифметику с шахматами и пишет: «...шахматный король – это одна из ролей, которую фигура играет в шахматной партии, – роль фигуры, а не сама фигура. Точно так же различные роли, которые цифры играют в языке, это и есть числа. Арифметические правила, аналогично шахмат ным правилам, формулируются в терминах дозволенных пре образований числовых знаков» (2). Шахматные фигуры можно сделать из дерева или из пластмассы, цифры можно писать каран дашом на бумаге или вырезать на камне... Материал не имеет значения, все определяют правила «ходов», которые и задают роли. Приведенную точку зрения не трудно обобщить, ибо боль шинство окружающих нас предметов тоже выполняют опреде ленные роли в нашей жизни и практической деятельности, роли, которые отнюдь не заданы однозначно самим материалом этих вещей, но предполагают наличие некоторых правил, обычаев, традиций... Да и сами мы постоянно играем определенные со циальные роли.
Мы сталкиваемся здесь с двумя разными подходами к одно му и тому же явлению. Можно играть в шахматы, углубляясь в анализ позиций, и совершенно не интересоваться тем привыч ным, но, вообще-то говоря, удивительным фактом, что обыкновенные деревяшки вступают друг с другом на доске в многообраз ные отношения, напоминая чем-то актеров на сцене. Мы как бы попадаем в этом случае во власть некоего «гипноза» шахматной игры и «грезим» наяву, наблюдая, как борются друг с другом деревянные фигурки. Но можно посмотреть на все и с другой точки зрения, поставив вопрос о механизмах этого «гипнотиче ского» воздействия, о причинах возникновения самой шахматной иллюзии. Это другой подход, неинтересный для шахматиста, но принципиально важный для философа, для гносеолога.
Аналогичным образом можно впадать в иллюзию искусства, сопереживая героям художественного произведения, а можно ставить вопрос о способе бытия этого мира, который удивитель ным образом вырастает со страниц книги. Мы подходим здесь к традиционной проблеме литературоведения: что такое литера турное произведение, каков его онтологический статус? (3). Приме нительно к математике эту проблему достаточно четко поставил еще Платон. Ему было ясно, что геометр, рисуя на песке четы рехугольник и проводя диагональ, говорит при этом о каком-то другом четырехугольнике и о другой диагонали. Что же собой представляют эти идеальные геометрические объекты? (4). Речь при этом идет не о свойствах этих объектов, не о способах их по строения, а о способе их бытия.
Разницу выделенных подходов можно проиллюстрировать с помощью следующей аналогии. В калейдоскопе мы наблюдаем смену различных узоров, но ничего не узнаем при этом о строе нии калейдоскопа. Иными словами, нам не ясен при этом спо соб бытия или механизм существования этих узоров. Напротив, разобрав калейдоскоп, мы получаем возможность описать его устройство, но не наблюдаем при этом никаких узоров. Выяс нение способа бытия математических объектов, как и другие указанные нами аналогичные проблемы, требуют разборки «ка лейдоскопа».
Но вернемся к ролевой концепции натуральных чисел. С шахматами дело обстоит, казалось бы, просто, ибо роли фигур заданы здесь достаточно четкими правилами ходов, и трудно представить себе шахматы без этих правил. Но так ли в слу чае арифметики? Натуральные числа и навыки счета появились в практике человека много тысячелетий тому назад, чуть ли не на заре развития человечества (5), а аксиоматизация арифметики – это дело второй половины XIX века. «До XIX века, – пи шет Н. Бурбаки, – ученые, по-видимому, не пытались определить сложение и умножение натуральных чисел иначе, чем путем пря мого обращения к интуиции» (6). Но тогда возникает принципиаль ный вопрос: чем задана роль числовых знаков в языке в усло виях отсутствия явно сформулированных правил?
Вопрос этот не новый, и прежде всего он уводит нас в линг вистику, в проблему выяснения механизмов существования самого языка. Очевидно, что носитель языка может и не знать правил грамматики. Как же он говорит? Можно ли считать, что те правила, которые формулирует грамматика, до этого как бы существуют имплицитно, т. е. в скрытом виде, в сознании говорящего? Как он приобрел эти правила, если они не являют ся врожденными? Все эти вопросы породили немало дискуссий и точек зрения (7). Мы сформулируем здесь одно из возможных ре шений, которое будет иметь принципиальное значение для все го дальнейшего обсуждения.
Ребенок заимствует язык непосредственно из той языковой среды, в которой он развивается. Но это значит, что у него нет никаких иных путей усвоения языка, кроме как воспроизведения образцов речевого поведения, которые демонстрируют ему взрослые. Мы можем отвлечься от конкретных физиологических или психологических механизмов такого воспроизведения. Важ но следующее: так называемые имплицитные правила граммати ки существуют для ребенка только в виде конкретных образ цов, ребенок усваивает язык, подражая взрослым. Речевое по ведение воспроизводится и передается от поколения к поколе нию как своеобразная эстафета, и подражание – это механизм передачи эстафетной палочки.
Системы, которые воспроизводят себя на уровне подражания, на уровне процессов-эстафет, мы будет называть нормативными системами (8). К их числу относится не только язык, не только речь, но в конечном итоге и все остальные виды человеческой деятельности, включая и деятельность в рамках науки. Шахма ты – это тоже нормативная система. Во-первых, правила игры не могут быть сформулированы без языка, а во-вторых, далеко не весь шахматный опыт вербализуется в виде правил. Социаль ные процессы-эстафеты напоминают волну, которая бежит по поверхности водоема, вовлекая в движение все но вые частицы жидкости. Обычаи и традиции, научные школы, литературные направления – это частные случаи такого рода «волн». Они давно стали объектом специального исследования в гуманитарных науках, но в основном в плане диахронии, а не синхронии, в плане анализа исторической преемственности, а не при выяснении способа бытия отдельных социальных явлений.
Мы возвращаемся к двум способам описания, о которых уже говорилось выше. Можно описывать шахматы путем формули ровки правил ходов, а можно говорить о традиции комбинацион ной игры или о традициях советской шахматной школы. Это два, казалось бы, совершенно разных типа подхода, два разных предмета исследования. Но мы забываем при этом, что сами шахматы как таковые с их правилами ходов воспроизводят се бя только как нормативная система, т. е. существуют только в рамках определенных процессов-эстафет. Эти процессы есть механизм существования шахмат, способ их бытия. Возвращаясь к основной теме нашей статьи, можно сказать, что эстафеты – это способ бытия и математических объектов. А два вида описа ния, если продолжить аналогию с волной, напоминают следую щее: можно описать распространение круговых волн на воде от упавшего камня, а можно выделить отдельную частицу жидко сти и описать ее траекторию. Фиксируя правила шахматных хо дов или правила оперирования с числовыми знаками, мы описы ваем не социальную «волну», а только то «возмущение», которое она вызывает в нашей деятельности, перекатываясь от поколе ния к поколению.
Соотношение двух видов описания имеет принципиальное значение для гуманитарных наук. Начнем с примера. Допустим, что историк математики изучает «Начала» Евклида и хочет описать способы рассуждения древнегреческого геометра. Он легко обнаружит, что Евклид в своих доказательствах исходит из некоторых допущений, которые нигде в явной форме не сфор мулированы. Как он должен поступить? Первый путь – сформу лировать эти допущения, т. е. те правила, по которым действо вал Евклид. Но сделав так, историк получит новую аксиоматику, может быть, аналогичную аксиоматике Гильберта, и не столько опишет работу Евклида, сколько продвинет геометрию вперед. Второй путь – предположить, что Евклид действовал вовсе не по правилам, а просто воспроизводил существующие в его время образцы математических рассуждений. Но каково содержание этих образцов? Описать их – это значит сформулировать не которые правила или допущения, которых у Евклида не было, а простое указание делает описание почти бессодержательным. Вопрос упирается в следующее: можно ли объединить два типа описания, насколько правила, которые мы формулируем, адекватно передают содержание образцов?
Ответ предполагает уточнение того, что мы понимаем под воспроизведением социальных образцов. Известно, что акты по дражания имеют место уже у животных, было бы, однако, боль шой ошибкой рассматривать человеческую способность действо вать по образцам как чисто биологическое подражание. Живот ные за редким исключением сильно ограничены в своем выборе как способов действия, так и объектов оперирования. Что ка сается человека, то он, вообще говоря, имеет здесь огромное ко личество степеней свободы. Проиллюстрируем возникающие в связи с этим трудности на примере так называемых остенсивных определений. Представьте себе, что вам указали на предмет, имеющий форму раковины, и сказали: «Это пепельница». Что обозначает введенное таким образом слово и как вы должны его в дальнейшем употреблять, следуя образцу? Вероятно, словом «пепельница» вы должны обозначать все то, что похоже на про демонстрированный предмет, но в том-то и дело, что на него в том или в другом отношении похоже почти все. Слово может обозначать предмет, стоящий на столе, определенный цвет или материал, форму раковины, функциональное назначение и мно гое, многое другое. Это значит, что отдельно взятый образец не задает четкого множества возможных реализаций или, что то же самое, соответствующая нормативная система не является стационарной.
Чем же тогда объяснить, что в обществе мы сталкиваемся с достаточно устойчивыми традициями, что шахматисты не нару шают правила игры, что, используя язык, мы в основном пони маем друг друга? Объяснить это можно социальным контекстом, тем, что человек имеет дело не с изолированными образцами, а с множеством взаимосвязанных образцов. Именно социальный контекст и ограничивает наши степени свободы. В приведенном примере с пепельницей мы не будем, скажем, использовать новое слово для обозначения цвета, ибо соответствующее обозначение уже есть, не будем обозначать предмет, стоящий на столе, ибо уже имеем для этого другие языковые средства ... Сказанное означает, что стационарность нормативных систем – это со циальный, а не биологический феномен. Впрочем, если быть точ ным, то можно говорить только об относительной стационар ности.
Вернемся теперь к поставленному вопросу. Описывая содер жание образца, мы стремимся сформулировать некоторое пра вило деятельности, т. е. задать четкое, насколько это позволяет стационарность системы языка, множество возможных реализа ций. Суть, однако, в том, что сам образец этого множества не задает. Мы, следовательно, приписываем ему отсутствующие у него характеристики. Можно, разумеется, брать не отдельный образец, а некоторую их систему, но и в этом случае указан ная трудность имеет место, если, конечно, мы не сталкиваемся с идеальным случаем абсолютно стационарной нормативной систе мы. Думается, однако, что таких систем вообще не существует. А это значит, что стремление максимально точно описать содер жание образцов неминуемо связано с некоторым искажением этого содержания (9).
Конкретные трудности, которые при этом возникают, можно проиллюстрировать на примере фиксации языковых норм. Оче видно, что для такой фиксации нам необходим определенный языковый материал, т. е. определенный набор текстов. Но чем больше текстов мы соберем, тем больше они будут «размазаны» во времени и тем меньше наши правила будут соответствовать реальному употреблению языка, ибо сам язык изменяется. Казалось бы, надо, наоборот, ограничить набор текстов, сузив одно временно и отрезок времени. Но, как уже отмечалось, отдельно взятые образцы не задают множества возможных реализаций. «Неадекватность кодификации литературной норме, – пишет В. А. Ицкович, – объясняется ... ретроспективностью кодифика ции, ее ориентацией на образцы хронологически удаленные от современности» (10).
Вернемся теперь к математическим объектам и подведем некоторые итоги. Основная наша мысль в том, что объекты математики такие, например, как натуральные числа,– это некоторые роли соответствующих обозначений, которые вос производят себя по принципу нормативных систем. Иными сло вами, математические объекты существуют как нормативные системы. Это и есть их «устройство» или способ их бытия. Ска занное выше означает их независимость от индивидуального че ловеческого сознания, ибо они в своем бытии обусловлены всем контекстом культуры, всей практикой человечества и противо стоят отдельному человеку или целому поколению как явление не менее объективное, чем язык. Но будучи явлением культуры, они и развиваются не по законам естественно-научных объектов, а вместе с культурой и по ее законам.
Здесь стоит вернуться к аналогии с калейдоскопом, ибо ее необходимо существенно дополнить. Наблюдение узоров и раз борка калейдоскопа – это два несовместимых эксперимента, однако, описания устройства и узоров вполне совместимы. Не так в гуманитарных науках, ибо выделенные выше два типа описаний выступают как несовместимые, но дополнительные. Указание на образцы не дает возможности точного прогнозиро вания характера деятельности, а по возможности точное описа ние того, что и как делается, не соответствует полностью со держанию образцов. Последние могут быть описаны различным образом в разных культурных контекстах и в этом плане потен циально бесконечны по своему содержанию. Сказанное озна чает, в частности, что аксиоматизация и формализация матема тики, связанная с заменой непосредственных образцов, задаю щих те или иные роли, строгими «правилами» – это есть пере стройка и самого объекта математики. Впрочем, скорей всего, мы имеет здесь нечто подобное развитию языка. Кодификация последнего в виде различного рода словарей, учебников и грам матических справочников, конечно, влияет на его развитие, но отнюдь не исключает роль непосредственных образцов речевой деятельности.
Потенциальная бесконечность содержания образцов невольно вызывает ассоциации с некоторыми аспектами интуиционистско го понимания математики. Излагая метафизику интуиционистов, X. Карри отмечает, что они постулируют, в частности, следующую характерную черту своей изначальной интуиции: «она не может быть адекватно описана никакими заранее составленны ми правилами: доказательство справедливо, когда оно является построением, отдельные шаги которого непосредственно очевид ны; независимо от того, каковы данные правила, можно найти правильное доказательство, которое не согласуется с этими пра вилами» (11).
Мы не собираемся полностью присоединяться к метафизике интуиционизма, но в данном конкретном пункте она допускает вполне рациональную экспликацию в рамках введенных пред ставлений. И суть дела не в характере «изначальной интуиции», а в нестационарности нормативных систем и в невозможности вполне адекватно и точно описать содержание образцов деятель ности. Но в этом, как нам представляется, залог вечной моло дости математики.
1 См., напр., Гейтинг А. Интуиционизм. М., 1965, с. 19.
2 Гудстейн Р. Л. Математическая логика. М., 1961, с. 22.
3 См., напр.: Уэллек Р. и Уоррен О. Теория литературы. М., 1978, с. 154–172.
4 Платон. Государство. – Соч., т. 3, ч. 1, М., 1971, с. 318.
5 Фролов Б. А. Числа в графике палеолита. Новосибирск, 1974.
6 Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М., 1963, с. 36.
7 См., напр.: Хомский Н. Аспекты теории синтаксиса. М., 1972; Слобин Д., Грин, Дж. Психолингвистика. М., 1976; Кейсер С., Хиллс И. Что мы, собственно, делаем, когда говорим. – В кн.: Распознавание образов. М., 1970.
8 Розов М. А. Проблемы эмпирического анализа научных знаний. Новосибирск, 1977.
9 Розов М. А. Информационно-семиотические исследования: процессы – эстафеты и принцип дополнительности. – НТИ, серия 2, № 2, 1984.
10 Ицкович В. А. Очерки синтаксический нормы. М., 1982, с. 13.
11 Карри X. Основания математической логики. М., 1969, с. 30.
Вопросы для понимания
Р. Коллинз
СОЦИАЛЬНАЯ РЕАЛЬНОСТЬ ОБЪЕКТОВ МАТЕМАТИКИ И ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ
Данная работа представляет собой фрагмент эпилога из книги Р. Коллинза "Со циология философий: Глобальная теория интеллектуального изменения". Новосибирск, 2002, стр. 1114 - 1131. (Collins R. Sociology of philosophies: A global theory of intellectual change. - Cambridge (Mass.); London (England): Belknap Press of Harvard Univ. Press, 1998). Публикуется с любезного разреше ния автора. Перевод с англ. Н.С.Розова. ФИЛОСОФИЯ НАУКИ № 2 (10) 2001
Социологический реализм
<.. > Социально-конструктивистская теория интеллектуальной жиз ни далека от того, чтобы быть антиреалистской, и предоставляет нам целое изобилие реальностей. Социальные сети существуют, и существуют их материальные основы - церкви и школы, а также аудитории и покрови тели, которые кормили и одевали интеллектуалов, и существуют эконо мические, политические и геополитические процессы, составляющие внешнюю сферу причинности. Эти последовательные уровни контекста, в котором существовали умы философов, не разделены между собой ка кими-то жесткими границами. Нет критерия для произвольной останов ки, с тем, чтобы сделать признание такого рода: "Я согласен, что соци альная реальность существует. Однако мир материальной природы не существует". Это все одно целое, все принадлежит к континууму in medias res (среди вещей).
Выводы, к которым мы приходим, следуя эмпирическому пути in medias res, усиливают полученные априорные следствия из социологического cogito. При движении в обоих направлениях социальный конст руктивизм ведет к социологическому реализму.
Фактически никто и не сомневается в реальности мира обыденного опыта, - вопрос о том, может ли эта банальная реальность быть доказана в соответствии со строгими стандартами аргументации, поднимался толь ко в специализированных интеллектуальных сетях. Да и сами интеллек туалы, будучи "не на службе", всегда возвращаются к признанию реаль ности обычного пространственно-временного мира. Социологический реализм показывает, что даже на самом высоком уровне рефлексии в интеллектуальном споре можно поддерживать банальный реализм. От сюда не следует, что тем самым утверждается существование любого типа онтологической реальности. Есть несколько видов реализма и антиреа лизма, и давайте теперь посмотрим, что предполагается в социологичес ком реализме относительно областей, выходящих за пределы обычной повседневности.
Социологический реализм утверждает, что существуют ментальные и физические реальности в соразмерных человеку времени и простран стве. Проблемы возникают, когда делаются утверждения о реальностях, лежащих за пределами |этого соразмерного человеку мира. Сюда относятся объекты науки (если это целостности или структуры, не наблюдаемые невооруженным глазом и не позволяющие оперировать ими просто с по мощью рук), понятия математики, сама по себе концептуальная или абстрактная реальность — идеи и в особенности универсалии, а также ра зум, рассматриваемый как некая целостность или субстанция. Относитель но такого рода вещей было выработано множество разнообразных пози ций, направленных как на отрицание их реальности, так и на утвержде ние их реальности более высокой степени, чем обыденный опыт. Эти позиции, отрицающие банальную реальность или выходящие за ее пре делы, были продуктом интеллектуальных сетей, в которых борьба за нов шества в аргументативном пространстве внимания вновь и вновь толка ла за пределы соразмерного человеку мира.
Математика как коммуникативные операции
Математика есть социальный дискурс. Этот факт неизбежен, если мы прямо рассмотрим имеющуюся данность. Перед нами математический аргумент очень небольшой технической сложности:
а = bх + су, (1)
a-bx-cy = 0. (2)
Данная последовательность суждений истинна и осмысленна для меня лишь постольку, поскольку я знаю, что означают эти символы, и знаю допустимые операции по преобразованию этих символов, такие, что урав нение (1) становится уравнением (2). Символы, как и любая иная форма дискурса, предполагают коммуникацию. Приведенное скромное сужде ние из области математической абстракции предполагает, что у меня был контакт с сетью учителей, которые, без сомнения, на много связующих звеньев отстоят от тех, кто создал данную область математики. Давайте возьмем пример из области более высокой абстракции [Kline, 1972, р.1128].
Если Ал - это компонент ковариантного тензора ранга 2, то его ковариант, производный в отношении к xl, можно представить как
.
Теперь сеть математиков становится более ограниченной. На неко тором уровне она сводится к сети активно работающих математиков, со здающих исследовательский фронт математических истин.
Для сравнения рассмотрим утверждение, сделанное в китайской математике - алгебре эпохи Сун (см. рисунок). Трудность заключается не только в том, что мы, если принадлежим к западному миру, не знаем от дельных символов, подобно тому, как представители этого западного мира обычно не могут понять уравнения 4 + 5 = 9, если оно записано так:
Трудность состоит в том, что мы не знаем операций, определяющих, как работать с этими знаками. Китайская математика представлялась на счетной доске, разделенной на квадраты <. . .>. Сунская алгебра, назван ная "методом небесного элемента", была набором процедур представле ния выражений, обозначающих константы и неизвестные, возведенные в различные степени, путем помещения числовых знаков на конкретные места доски, окружающие центральный элемент. Например, в общепри нятой европейской системе обозначений рамка в середине первого пра вого столбца может быть записана так: ху2-120у-2ху+2х2+2х. Китайские иероглифы между рамками представляют в словесной форме некое рас суждение (читается сверху вниз и справа налево), объясняющее, как одно алгебраическое выражение может быть преобразовано в другое. Таков словесный способ хранения математических результатов. В живой практике математик использует набор стандартных процедур манипулиро вания фишками на этой доске - процедур, состоящих в преобразова нии одного выражения в другое. Физические операции и символичес кая структура (а не просто отдельные символы) отличаются от карте зианских правил переноса выражений из одной стороны относитель но знака равенства (=) в другую. Сходство заключается в общей фор ме данной практики, позволяющей выводить строки математических выражений одну из другой.
Приверженец платонизма сказал бы, что форма данного утвержде ния нерелевантна, что вывод одного математического выражения из дру гого верен независимо от того, записан ли он в виде словесного рассуж дения на латыни, в виде посткартезианских символов, в виде сунской алгебры или еще каким-либо образом. Однако платонизм - это лишь те ория. В нем предполагается то, что должно быть доказано - что матема тические истины существуют в некотором особом царстве, никак не со относящемся с человеческой деятельностью по формулированию мате матических утверждений. Это можно показать с помощью квазиматема тического cogito: если я отрицаю, что математическое утверждение долж но существовать в форме какого-то конкретного типа дискурса, то в са мом этом высказывании я представляю утверждение в некотором дискур се. Если я отступаю назад, утверждая, что математика должна быть транс цендентной, поскольку может быть переведена с одного языка на другой, то я основываю мое утверждение на существовании переводов - опера ций, соединяющих между собой несколько дискурсов. Это не только не позволяет избежать дискурса, но добавляет еще один его вид [1].
Математика имеет социальную реальность в том смысле, что она неизбежно является дискурсом в некотором социальном сообществе. Это может показаться каким-то минимальным уровнем реальности. Тем не менее, не следует думать, что социальный дискурс не имеет никакого объективного, твердого качества, того типа сильного принуждения, кото рый соответствует понятию истины. Чтобы показать, почему математи ческий дискурс имеет это качество, мы должны исследовать отличитель ные характеристики математических сетей.
Математические сети исторически связаны с математиками предше ствующих эпох. Дело здесь не только в генеалогической преемственнос ти, типичной для всех интеллектуалов, занимающихся творчеством, ког да центральная сеть знаменитых творцов одного поколения порождает следующие поколения тех, кто будет делать открытия. Математики осо бым образом сосредоточены на своей истории, поскольку главный путь математического открытия состоит в разработке темы методами, уже использовавшимися в математике предшествующих уровней, в создании такой символической системы, которая делает явными некоторые ранее молчаливо предполагавшиеся операции, а также в изучении следствий на этом более высоком уровне абстрактного символизма. В алгебре обоб щаются правила арифметики и формулируются методы, которыми могут решаться целые классы арифметических задач. На последующих высших уровнях алгебры разрабатываются общие правила, касающиеся разрешимости различных типов алгебраических уравнений. Сходные последова тельности имели место в математическом анализе, теории чисел, геомет рии и разнообразных смешанных областях.
В ходе таких последовательных шагов создаются новые понятия, в которых обобщаются и суммируются целые классы результатов преды дущей работы. Общепринятые алгебраические символы для неизвестных х, у могут означать какое угодно число; на более высоком уровне знак функции f(x) пригоден для обозначения целых выражений какой угодно формы. Еще более высокую абстракцию представляют собой функции функций; таковыми являются группы, кольца, поля и т.д. Это не означа ет, что абстрагируемое непременно считается, в конечном счете, числом, неизвестным или операцией. На более высоком уровне операции обыч ной арифметики абстрагируются как класс операций, которые могут от бираться и разрабатываться различными способами, что приводит к воз никновению альтернативных арифметик, альтернативных алгебр, или, короче говоря, к появлению высшей математики.
Математика - это самая историчная из дисциплин в том смысле, что ее главной темой являются углубление, движение вспять к тому, что счи талось само собой разумеющимся в работе предшественников. Алгебра не только предполагает арифметику, равно как и высшие уровни алгеб ры, математического анализа и т.д. не только предполагают ранее иссле дованные более низкие уровни абстракции в соответствующих областях. В каждой точке истории математики символическая система последней относится к типам операций, разработанным на более раннем уровне ее развития. Невозможно избежать исторического накопления прошлых ре зультатов, заключенных в значении любого математического выражения. Сама история математики воплощена в этом символизме.
После Декарта механизм обращения с уравнениями состоял в про цедурах переноса символов из одной стороны уравнения в другую и пе регруппировки членов до тех пор, пока уравнение не примет форму того, что уже следует решать или доказывать. Ключ к использованию такого метода - это обратимость. Результаты выполнения операций могут быть взяты как начальные точки через приписывание им символов, которыми также можно оперировать в данном уравнении. Символические обозна чения неизвестных чисел х, у, удовлетворяющих конкретным уравнени ям, рассматриваются, как будто они уже известны. Таким же образом выражения любого иного класса, включающие то, что должно быть най дено, представляются как некие позиции в уравнении. Работе данного механизма не мешает наше незнание какого-то конкретного факта. Метод символизации целых классов, включающих прошлые результаты, будущие результаты, возможно, даже недостижимые или невозможные результаты, позволяет приводить в движение процедуры преобразования уравнений и приходить к заключениям о том, как соотносятся между собой члены этих уравнений.
В некотором смысле такой способ символизации - это реификация, или овеществление. При этом используемые элементы рассмат риваются как вещи, поскольку они символизируются подобно симво лическому обозначению вещей. Это дает видимую твердость данному х или данной функции f(x), что является еще одной попыткой отно ситься к математическим объектам, как будто они являются реальнос тями в платоновском смысле. Однако эта реификация носит лишь вре менный характер и осуществляется ради реализации технологии пре образования уравнений. Данная система символизации принадлежит к продолжающейся истории. Это видно как при движении назад, в прошлое, так и при движении вперед, в будущее: назад, поскольку самый очевидный референт (обозначаемый объект) символической позиции есть нечто того типа, который уже был обнаружен на более конкретном уровне. Так, х может быть заменен числом, являющимся решением некоторой арифметической задачи; для f(х) может быть пред ставлен пример конкретного алгебраического выражения. Поскольку данная система символизации имеет абстрактный и общий характер, она обращена вперед к охватывающим областям математики - не толь ко ко всем конкретным неизвестным, которые могли бы быть замене ны каким-либо символом, но и к внешнему пространству абстрактных возможностей во всем семействе родственных операций. На этом пути разработка новой системы символизации, что всегда означает появле ние новых систем практики, процедур оперирования группами сим волов, обнаруживает новые области для открытий, новые математи ческие уровни, подлежащие изучению. Таким образом, последователь ные порядки символизации обращены не только вспять к той предше ствующей работе, на которой они основаны, но также и вперед - к новым типам проблем.
Итак, математика социальна в двух смыслах, второй из которых еще сильнее первого: каждый, кто причастен к математике, даже на уровне понимания уравнения элементарной арифметики, включен в некую форму социального дискурса и некоторую сеть учителей и ис следователей, делающих открытия. Символы и процедуры, составля ющие математику, рефлексивным образом воплощают историю этой творческой сети на всем протяжении до самых ее ранних связей, а рефлексия над собственными прошлыми операциями - это само зда ние высшей математики.
Следует подчеркнуть другой аспект, еще более ярко показываю щий, что математика насквозь социальна. Предметом математики являются операции, а не вещи. Это не та область, где исследуется, какие типы вещей существуют в этом мире, либо в каком-то ином мире за пределами этого. Вернемся к нулевому уровню математики - числам. Поскольку некое число может считаться существительным в предло жении, постольку легко полагать число вещью. Однако первоосновой числа является просто счет, а он состоит в выполнении жестов, сло весных или иных, относительно чего-либо при произнесении после довательности "1, 2, 3 ...". Ответом на вопрос "сколько?" является число, на котором человек останавливается, когда завершает свое ука зание жестами на то, что подсчитывает. Числа изначально являются деятельностью (или операцией) перечисления.
В этом отношении числа сходны с другими символами, составля ющими человеческий дискурс. Универсальность чисел происходит из их унивeрcaльнoro использования, а вовсе не из какого-то характера объектов, для которых они используются. Перечисление - это процесс разделения и указания. Оно может быть применено к чему угодно: к ма териальным объектам, среди которых могут быть очевидные разделения, но также к вещам, чьи контуры расплывчаты и изменчивы (к облакам, например), либо же к таким "вещам", которые вообще вещами не яв ляются, но могут быть операциями, абстракциями или воображаемы ми предметами. Перечисление - это операция, делающая элементы (единицы) эквивалентными друг другу через их подсчет, и они стано вятся единицами, поскольку к ним относятся как к таковым. Это не означает, что числа иллюзорны. Они реальны как операции, выполня емые человеческими существами, как деятельность, осуществляемая в каком-то времени и месте. Они также могут быть обобщены и пере несены из одной ситуации в другую, поскольку являются операция ми, которые могут применяться вновь и вновь. Общность чисел про исходит из того, что они суть операции человеческого дискурса.
Операции математики социальны начиная от элементарного уровня счета и далее. Дело не просто в том, что мы учимся считать всегда у кого-то другого и что умение считать широко распространено в большинстве обществ. Здесь следует применить принципы социологии мышления. Счет может быть явной социальной деятельностью: я считаю эти вещи, находящиеся перед нами, я предлагаю и вам тоже их посчитать или же со гласиться с результатами моего счета, поскольку при выполнении тех же самых процедур вы придете к тому же заключению [2]. Посколь ку понятийное мышление интериоризировано из внешнего дискурса и становится осмысленным лишь потому, что предполагает внешнюю аудиторию, мой счет "про себя" - это также операция в некоторой социальной рамке. Вывод, сделанный ранее, можно в данном случае еще раз повторить: счет ведет к появлению универсалий, ибо осуще ствляется в некоторой универсальной позиции - позиции любого че ловека вообще, который следует данному соглашению, или конвенции, в дискурсе.
То, что было сказано о счете, можно сказать и о любых более аб страктных формах математики. Арифметика обобщает результаты сче та: сложение дает правила сокращения операций, указывая, например, что будет при подсчитывании одной группы вещей, затем другой груп пы, затем при подсчете их всех и т.д. Элементарная алгебра обобщает результаты решения различных типов арифметических задач. Такова цепочка обобщения и рефлексии от одной формы математики к дру гой, от операций подсчета к изучению операций над операциями и к дальнейшим замысловатым ступеням абстрактной математики. На каждом своем уровне математика исследует и классифицирует опера ции. Она делает операции эквивалентными друг другу, рассматривая их как эквивалентные, подчиняя их какому-то систематическому на бору операций более высокого порядка. Мы делаем эквивалентными числа в некоторой системе счета, вводя соглашения об их сложении и вычитании. Для математики смешать яблоки с апельсинами не составля ет проблемы: математик придумывает какое-нибудь новое понятие для того, что является в них эквивалентным. Причем вовсе не обязательно, чтобы этот эквивалент был "естественным", понятием в вещах (напри мер, "фрукт"), - достаточно того, чтобы эквивалентность придавалась операциями, введенными для обращения с этими предметами. Если счет состоит в осуществлении ряда жестов, которые тем самым представляют нечто как ряд, то арифметика состоит в выполнении жестов по отноше нию к числовым операциям, элементарная алгебра - в выполнении жес тов по отношению к арифметическим операциям, высшая алгебра - в выполнении жестов по отношению к элементарным алгебраическим опе рациям, рассматриваемым как эквивалентные.
Эти жесты в сообществе математиков делаются совместно. Некто становится членом такого сообщества, усваивая конвенции относитель но коммуникации. Социальная структура математики имеет вид пирами ды. В основании находится огромное сообщество тех, кто использует конвенции счета и арифметики. На каждой более высокой ступеньке располагаются сообщества все более специализирующихся и эзотерически мыслящих математиков - сети, в которых коммуникативные операции и конвенции более низкого уровня берутся в качестве предмета абстраги рования и рефлексивного обобщения.
Математические объекты реальны в том же смысле, в каком реально человеческое общение. Это реальность процессов деятельности реальных человеческих существ, выполняемой во времени и локализованной в пространстве. И это вдвойне мощная, упрямая реальность социально го, - широко распространенных соглашений (конвенций) дискурса, т.е. деятельности, выполняемой сообща, которая и составляет сообщество как раз из тех людей, кто принимает эти условные (конвенциональные) опе рации. Можно даже сказать, что это втройне мощная реальность, посколь ку сеть математиков - это то, что выросло вокруг главной деятельности по конструированию способов построения метаопераций, предметом которых являются предыдущие операции того же сообщества.
Устоявшийся в течение долгого времени взгляд на математику как на царство платонистских идеалов ошибочен. Некоторые греческие фи лософы и математики утверждали, что объекты математики должны быть идеальными, поскольку доказываемые в них истины о геометрических фигурах относятся к идеальным окружностям и прямым, а не к несовер шенным линиям, начерченным на песке [3]. Другие утверждали идеаль ность математики, используя в качестве объекта критики эмпиризм: чис ла - это не вещи, наблюдаемые нами в мире, поскольку именно с помо щью чисел мы можем вещи перечислять. В обеих линиях аргументации делается одна и та же ошибка (то же относится и к полагающим, что математика возникает на основе индукции из опыта восприятия вещей) - допускается, что реальность должна состоять либо из субстантивных ве щей, либо из самостоятельных идей. Однако математические объекты не являются ни теми, ни другими, они суть символы действий - операций математического дискурса. Универсалии и идеалы - это деятельность социального дискурса, и они столь же реальны, сколь реален этот дис курс. Иными словами, они столь же реальны, сколь реален обыденный, соразмерный человеку мир действия. Нет нужды приписывать их какому-то иному миру.
Другая ошибка - считать математику состоящей из тавтологий. Тож дественность между элементами в разных сторонах математического уравнения - это не тот же тип тождественности, которая устанавливается при приписывании чему-либо имени, это не пустая тавтология, приме ром которой может служить объяснение "тяжести" как "стремления к падению". Математическая эквивалентность и словесная тавтология yкoренены в различных языковых играх — в разных системах операций. Про извольные тавтологии обыденного языка никуда не ведут, тогда как мате матическая процедура - это машина по получению открытий. Механизм математических уравнений действует во многих направлениях, как отме тил Фреге, говоря о различении смысла и отнесенности к предмету (ре ференции). Устанавливающие эквивалентность математические конвен ции приводят к обнаружению последовательных классов абстрактных операций, свойства которых могут изучаться. Конвенции произвольны, но математическое открытие состоит в исследовании неких устойчивых структур, или паттернов, обнаруживаемых при принятии разнообразных типов конвенций. Математика - это особая область эмпирических откры тий, причем в той мере, в какой "эмпирическое", или "опытное", означа ет изучение опыта во времени. Именно исследовательский опыт матема тической сети - вот что предполагается в принимаемых этой сетью кон венциях относительно символических обозначений.
Теории о том, что математика должна быть неким трансцендентным царством платонистских объектов или, по крайней мере, собранием апри орных истин, заключенных в тавтологиях, привлекательны, поскольку помогают объяснить ощущение того, что математика - это нечто досто верное, что ее результаты обладают такой высокой степенью неопровер жимости и истинности, какую только люди могут достичь. Эту достоверность можно объяснить особым социальным характером математических сетей. Поскольку содержание математики выстроено в некую цепь во времени, постольку от самых высоких и утонченных абстракций и до обычных операций счета, все это здание внутренне скреплено самым тесным образом. Дело не только в том, что результаты лениво переходят от одного поколения к другому как некая устоявшаяся традиционная пара дигма, которую никто не удосуживается поставить под вопрос. Напротив, данная связность глубока и неизбежна, поскольку темы все более абст рактной математики были внутренними моделями операций предыдуще го периода развития математики. В математике, в ее процедурах исполь зования символических обозначений воплощена ее собственная история, причем в такой степени, которая не обнаруживается ни в какой иной области. Самый наивный практикующий математику приходит к тем же результатам, что и любой другой, поскольку каждый, кто учится следо вать данным конвенциям, может повторить эту цепь аргументации. Ма тематика достоверна, поскольку она надежно воспроизводима, что озна чает воспроизводимость в цепи социальных конвенций.
Объекты науки быстрых открытий
Социальный конструктивизм в социологии науки обычно ассоции руется с антиреалистской позицией относительно предметов, или сущ ностей, науки (entities of science). Давайте посмотрим, до какой степени это оправданно. Деятельность в области естественных наук (естествоз нания), а может быть, даже и само это название существовали в интел лектуальных сетях многих частей мира с древних времен. На протяже нии большей части истории <...> эти сети подчинялись закону малых чисел, разделяясь на противостоящие позиции в рамках астрономии, ме дицинской физиологии и даже математики. Для сетей, в которых осмыс лялись предметы науки, они составляли множественные и конкурирую щие реальности. В поколениях европейских ученых между 1500 и 1700 гг. некая ветвь интеллектуальных сетей претерпела такую реорганизацию, что характер науки изменился: она стала наукой быстрых открытий, которая, в конечном счете, достигла высокого уровня согласия. В данной сети внимание сместилось к цепи открытий, продвигающих науку вперед. Споры стали более скоротечными, редко выходящими за пределы одного поколения. Разделение между противостоящими позициями, соответству ющее закону малых чисел, было сведено к временным разногласиям на исследовательском фронте, которые постоянно оказывались позади по мере смещения внимания к переднему краю открытий.
То, что здесь описано, - это уровень социальной реальности данных сетей ученых-естествоиспытателей. Сеть относится к предметам науки лишь постольку, поскольку они являются теми содержаниями, которые утверждаются, принимаются, оспариваются и транслируются благодаря поддержке сети. Сеть ученых в период революции быстрых открытий была по большей части ветвью существовавшей издавна философской сети. Постепенно отделяясь от философов, естественнонаучная сеть ста новилась в своей собственной области двойной сетью: с одной стороны, сетью интеллектуалов - цепочками учителей и учеников; с другой сторо ны — цепочками исследовательского оборудования, которое модифициро валось с каждым новым поколением.
Носителями генеалогий исследовательской технологии являются сети людей, именно люди из линз делают телескопы и микроскопы, а потом оптическое и спектрографическое лабораторное оборудование. Оба этих типа сетей как бы паразитируют друг на друге. Быстрое развитие иссле довательского оборудования от одной модификации к другой - вот ключ к тому способу быстрых открытий, которому так доверяют ученые-есте ственники. Они чувствуют, что открытия возможны при определенной ориентации исследования, поскольку предшествующие поколения иссле довательского оборудования позволили выявить феномены, доступные для интеллектуальной работы человеческой сети. В самом выгодном положе нии находится та часть научной сети, у которой есть ближайший доступ к предыдущему поколению оборудования, с помощью которого делались успешные открытия. Такие люди могут усовершенствовать или модифи цировать данное оборудование, продвигая тем самым прошлый фронт открытий. Это относится и к приросту мелких открытий в рамках успеш ной парадигмы, что обычно происходит при небольших модификациях или расширении применения существующей технологии, и к масштаб ным новым фронтам открытий, появляющихся обычно при совмещении разных линий развития оборудования или при изобретении совершенно новой исследовательской технологии (усовершенствование электричес кой батареи и ее совмещение с оборудованием для химических опытов, а затем с астрономическим оборудованием и т.д.) [4]. Для этого процесса нет видимого предела во времени. Комбинаторные перекрестные смеше ния генеалогий исследовательского оборудования, по-видимому, будут вести к продолжению генерирования явлений для научных открытий до тех пор, пока будут существовать социальные сети, продвигающие раз витие этих генеалогий оборудования.
Линии преемственности исследовательского оборудования реальны в том же смысле, в каком реален во времени и пространстве весь мир соразмерных человеку объектов. Это линии преемственности материаль ных вещей. Иногда дается такая интерпретация: научные эксперименты являются воплощенными теориями, а исследовательское оборудование имеет в первую очередь ментальную реальность. Это существенное пре увеличение. Генеалогия оборудования реализуется во времени сетью уче ных-интеллектуалов, которые как бы выращивают и скрещивают между собой элементы своего технологического "урожая", чтобы получить эм пирические результаты, которые могут быть "привиты" к текущей линии интеллектуальной аргументации. Это вовсе не означает, что ученые все гда экспериментируют в свете теорий, дающих приемлемые толкования тому, что делается с помощью используемого оборудования. Наладка и модификация оборудования, скрещивание его с другим или изобретение нового оборудования - все это может делаться при самом малом обраще нии к теоретическим темам, которые затем развертываются из уже полу ченных результатов и представляют собой ретроспективную теоретичес кую интерпретацию того, что, собственно, с помощью этого оборудова ния и делается. Независимо от того, имеют ли интеллектуалы-естествен ники ясную и защищаемую теоретическую концепцию своего оборудо вания или нет, они вовлекаются в практическую телесную деятельность всегда, когда это оборудование используют. Сеть ученых-естественников действует в самом банальном материальном пространственно-временном мире, а обсуждаемые ими и передаваемые в качестве содержания своей науки теоретические сущности или предметы укоренены в этом сораз мерном человеку мире людских тел и исследовательского оборудования.
Чем же тогда является реальность теоретических предметов науки? Будучи невидимыми структурами или субстанциями, они подвержены всем философским неприятностям, которые всегда возникают, когда кто-то пытается сделать шаг за пределы вещей (in medias res) в царство совершенной точности и непрерывной субстанциональности. Тем не менее, это не де лает данные предметы непременно иллюзорными или нереальными. Те оретические конструкты могут обладать твердыми, упрямыми качества ми, как и части мира банальной действительности, поскольку они соеди нены с ней, по крайней мере, двумя путями. Во-первых, они являются реальным центром внимания и с течением времени становятся центром согласия в реальных сетях ученых. Это социальный консенсус вполне определенного типа, он ориентирован на линии открытий относительно упрямой реальности, поскольку, во-вторых, научные предметы также ос нованы на материальных генеалогиях исследовательского оборудования. Хотя научные предметы имеют свою интеллектуальную сторону, у них также есть и неинтеллектуальная сторона - те явления, что возникают из поведения самого этого оборудования.
Оба эти соединения с банальной реальностью соразмерного челове ку материального опыта простираются во времени, для обоих можно указать поколения предшественников, и оба они несут в себе прошлый опыт предыдущих поколений, а кроме того в них обоих предполагаются исследовательские практики, которые в будущем вновь будут работать. Это особенно существенно для генеалогии оборудования, ибо исследо вательские технологии подвергались как раз таким манипуляциям и из менениям, чтобы они давали воспроизводимые результаты. Устойчивость научных предметов в интеллектуальном плане являет собой эквивалент той стабильности, которая создана практикой работы с применением ис следовательского оборудования. Эту устойчивость можно рассматривать как стабильность во взаимодействии между телами экспериментаторов и оборудованием. Совершенство оборудования и стабилизация теоретичес кого предмета или сущности (скажем, электрона) зиждятся на таком спо собе изменения генеалогии оборудования, что обращаться с оборудова нием становится все легче и легче Особенно высокий уровень устой чивости достигается тогда, когда стандартизованное оборудование или какой-либо его "отпрыск" выходят из лаборатории: электрические цепи становятся той проводкой, которая используется миллионами людей в повседневной жизни, детекторы электромагнитных волн становятся ра диоприемниками. Когда это происходит, социальная сеть, осваиваю щая данный теоретический предмет, придает ему на вид безупречную реальность. Специализированная интеллектуальная сеть, склонная к созданию эзотерики вне повседневного мира, уже перестает здесь оказывать влияние: электричество становится так тесно связанным с само собою разумеющимися реальностями человеческих тел и окру жающих их соразмерных вещей, что кажется уже продолжением по вседневной реальности.
И действительно, в некотором смысле так оно и есть. Хотя мы редко осознаем этот факт, но электрические выключатели, детекторы радиоволн и прочие приборы являются современным этапом долгого пути предшествующего развития той техники, начало которого отно сится к генеалогиям лабораторного оборудования. Именно эта длин ная цепь, простирающаяся как назад, так и вперед во времени, делает некоторые научные сущности столь устойчивыми, - они так тесно и многообразно связаны с повседневной действительностью, что уже трудноотделимы от нее.
Эта устойчивая реальность, обретенная некоторыми предметами науки, в большей мере происходит из их материальной укорененности в оборудовании, чем из теоретической концептуализации. Электричество стало широко распространенной практической реальностью примерно с 1850 г. [5], притом, что в центре исследовательской сети теоретическая интерпретация электричества менялась несколько раз. Таким же образом от поколения к поколению менялись концепции Нового времени и совре менности об элементарных составляющих химии и физики: от атомов перешли к электронным орбитам, от них - к последующим новым и но вым упорядочиваниям семейств субатомных частиц и античастиц, наконец - к струнам. Изучение стандартных учебников, написанных с ин тервалом в 30 лет, дает модель продолжающейся эволюции, и нет ни какого разумного основания предполагать, что сегодняшние сущнос ти будут когда-то в будущем приняты как нечто большее, чем грубые приближения [6]. Эта историческая текучесть концептуальных пост роений науки является как раз тем, что мы и должны ожидать от кон курентных интеллектуальных сетей. Устойчивость и упрямая реаль ность "электричества", "бактериальной инфекции" и других знакомых теперь сущностей гарантируются их укорененностью в генеалогиях материальной практики, получившей распространение среди неинтел лектуалов. Высшая реальность, приписываемая концепциям науки быстрых открытий, происходит из того способа, которым двойствен ные, паразитирующие друг на друге сети этого сообщества, генеало гии [лабораторного] оборудования и люди-интеллектуалы, породили третью ветвь - такие генеалогии оборудования, которые обосновались вне идейного состязания интеллектуалов, беспрестанно сдвигающих фронт своего поиска. Значение имеет уже не то, как в данный момент на этой эзотерической интеллектуальной границе толкуется "электри чество", - это некритично используемое слово служит маркером для устойчивой и упрямой реальности повседневной жизни, [в которой электричество широко, постоянно и надежно используется].
Социальная конструкция предметов, или сущностей, науки обус ловливает, по крайней мере, квазиреализм. Хотя не все научные пред меты как интеллектуальные конструкты имеют такие же притязания на то, чтобы считаться реальными, некоторые из них настолько тесно переплетены с соразмерной человеку обыденной реальностью, что между ними трудно провести границу. При том, что эпистемологичес кое оправдание таких научных предметов более сложно, чем утверж дение неопровержимых реальностей непосредственного социального опыта, реальности двух этих типов, по крайней мере, находятся меж ду собой в близком родстве.
Как возможно то, что математика столь часто оказывается при менимой к естественному, нечеловеческому, несимволическому миру? Почему она стала настолько полезной в естествознании? Это будет уже не столь таинственным, как только мы осознаем всю силу того факта, что математика зарождается в социальных сетях, являющихся частью природного мира. Отличительная черта сети практикующих матема тику состоит в том, что они сосредоточивают свое внимание на чис тых бессодержательных формах человеческих коммуникативных операций - на жестах обозначения единиц как эквивалентных и состав ления их них ряда, на операциях более высокого порядка, с помощью которых рефлексивно изучаются сочетания этих операций. Первичные операции - счет, измерение - берут свое начало в жестах, направлен ных на обычные, соразмерные человеку телесные объекты и процес сы деятельности в пространственно-временной реальности. Подобная деятельность имеет такое же качество реальности, как и что-либо иное на уровне этого банального обыденного мира. Абстрактная математи ка, рефлексивно возникающая на основе таких операций, остается частью природного мира. Фактически это эмпирическое исследование некоторого аспекта данного природного мира, той его части, которая состоит в коммуникативной деятельности математиков по созданию новых форм оперирования своими же предыдущими операциями. Математика возникает in medias res (среди вещей), и в ней утверждается гладкая не прерывность от одного уровня ее собственной абстрактности к друго му. Нет жесткой границы между объектами математики и миром есте ствознания. Применимость в науке математических процедур не долж на восприниматься как нечто удивительное.
Высокий уровень согласия относительно объектов естествознания появляется только в сетях быстрых открытий; они же, в свою очередь, составлены из паразитирующих друг на друге генеалогий исследователь ского оборудования и аргументативной сети интеллектуалов-естествен ников. Математизированная наука быстрых открытий добавляет сюда третью сеть - преемственную линию манипулирования формальными символами, представляющими собой классы коммуникативных операций. Математика не дарует нам какой-то магический глаз, с помощью которо го мы видим объекты, трансцендентно существующие за пределами фе номенальной поверхности опыта, - невидимые сущности научных тео рий. Математика соединена с другими двумя сетями в том же самом фе номенальном мире опыта.
С одной стороны, измерения, проводимые с помощью исследователь ского оборудования, превращаются в математические реальности, посколь ку люди используют последние в качестве маркеров - в том же смысле, что элементарная математическая операция счета есть социальная про цедура указания жестом на единицы опыта (тем самым установленные в качестве эквивалентных друг другу). Как сказал бы Сёрль [Searle, 1992], в исследовательском оборудовании нет гомункулуса. Именно люди-мате матики - вот кто использует это оборудование как средство расширения их собственной способности делать жесты. Это жесты, одновременно обращенные и к нечеловеческому миру, и к социальному сообществу, которое выстроило некий репертуар надежных методов превращения одного набора символических жестов в иной.
С другой стороны, генеалогия математических техник соединена с сетью интеллектуалов-естественников, в которой создаются осмысленные предметы и аргументы, составляющие знакомое людям содержание ес тествознания. Генеалогии оборудования производят явления в мире опы та, а интеллектуалы-естественники превращают эти явления в интерпре тации, полезные для ведения аргументации и привлечения сети к иссле дованию дальнейших тем. "Невидимый" мир сущностей науки порожда ется интеллектуалами, а не непосредственно оборудованием. Математи ческая техника становится значимой для ученых-естественников, посколь ку позволяет им придавать особенно устойчивый характер, по крайней мере, части их аргументации. Но данная часть аргументации является именно той устойчивой и упрямой реальностью определенных сетей реф лексивных коммуникативных операций, которая и стала ранее для мате матиков предметом их исследовательской деятельности. Кристаллически-жесткая социальная реальность математиков образует как бы хребет аргументации научных коалиций, которую они ведут в своих социальных переговорах.
Математика - это мост: ее общность с сетью естествознания состо ит в том, что она также имеет характер социального бытия, ее общность с генеалогиями оборудования - в том, что она также является преемствен ной линией развития техник. Поскольку линия математической техники -- это линия преемственности открытий, касающихся процессов простран ственно-временной реальности (т.е. математических операций), постоль ку она прекрасно совмещается с порождаемыми при помощи оборудова ния феноменами, являющимися такими многомерными процессами, фор мы которых не могут быть интерпретированы на низких уровнях абст ракции и рефлексии, характерных для обычной грамматики типа "суще ствительное - прилагательное - глагол" или для обыкновенной арифме тики. (Вот почему изучение высшей алгебры - кватернионов, векторов, матриц - было столь плодотворным для развития современной физики.) Здесь мы вновь обнаруживаем социальную реальность математики, ко торая соединяется без каких-либо видимых швов с нечеловеческой при родной действительностью феноменов, порождаемых с помощью обору дования.
Главной социальной сетью в науке остается сеть людей-интеллекту алов. Наука, если быть последовательными, имеет своим конечным результатом слова и образы. Чисто математический замысел, такой как, например, теория струн, не обретает полную, социально принятую "ре альность", пока не появится словесная интерпретация его основных мо ментов, переводящая их в знакомые, обозначаемые существительными "предметы", или "сущности", в обыденном языке считающиеся высшей реальностью. Однако здесь мы должны отметить, что математика также укоренена в словах [7]. Это напоминание о том, что "математика" являет ся двумя сетями в одной сети — генеалогией техник и человеческой се тью, причем последняя, с одной стороны, умеет работать с данными тех никами, а с другой стороны, вовлечена в обычный интеллектуальный контекст постановки аргументов и контраргументов. Вербальный дис курс - это наиболее надежный каркас, основное вместилище интеллек туальной жизни. Если математика действительно является важным мос том между человеческими и нечеловеческими сетями, составляющими науку, то это происходит потому, что сами математики суть гибриды, имеющие все человеческие черты, начиная от словесного дискурса и кон чая своими собственными специальными формами освобожденной от содержания рефлексивности.
Математика одновременно эмпирична и концептуальна. Она охва тывает опытные наблюдения во времени и пространстве, причем данный опыт всегда конкретен и ситуационно локализован. При этом математика имеет дело с универсальным и общим, с теми моделями, которые дей ствительно неопровержимым образом обнаруживаются среди универсаль ных понятий, поскольку темой математики является чистая общность человеческих коммуникативных операций. Таковы действия, устанавли вающие эквивалентность между вещами и надстраивающие их друг над другом. Данная тема универсальна, поскольку включает операции пола гания вещей как универсалий. Одновременно эта тема является эмпири ческой, возникающей в опыте и применяемой к опыту, поскольку делать математику - значит совершать деятельность во времени и в некоторой социальной сети. Универсальные черты математики обнаруживаются эмпирически через труд математиков, изучающих различные системы операций. Тема математики - это система коммуникативных соглашений (конвенций) между математиками. То, что они открывают в данной сфе ре, является объективной, упрямой реальностью. Если мы говорим, что она социально конструируется, то это эмпирическое изучение устой чивых и упрямых качеств социальной конструкции. Математическая реальность столь реальна именно потому, что она целиком социально сконструирована. <...>
Примечания
<...> 1. Я не обсуждаю здесь вопрос, всегда ли может быть выполнен такой пе ревод фактически. Дело лишь в том, что перевод не является чем-то вне дискурса. В социальном опыте перевод - это соединение двух сетей. Аргумент Куайна, состоя щий в том, что есть множественность различных возможных переводов между языка ми, возможно, не вполне применим к математическим переводам по причинам, кото рые далее будут ясны.
2. Если фактически мы не приходим к одной и той же сумме, то предполагаем, что кто-то из нас ошибся - неверно выполнил данную операцию; иными словами, мы оба не следовали данному соглашению, или конвенции, [о самой операции - порядке ведения счета].
3. Сравнительная социология сетей проливает свет на то, как возникает эта кон цепция математики. В греческих сетях фракция Платона была альянсом между мате матиками и философами, творчество которых исходило из напряженного противосто яния с фракциями эмпирицистов, материалистов и скептиков-релятивистов. В после дующих платонических и неоплатонических религиях были разработаны взаимопод держивающие аргументы на основе концепции трансцендентного Бога, иерархии уров ней всеобщности и математического платонизма. Позже это сочетание понятий было воспринято главными течениями христианской, исламской и еврейской философии, а в эпоху секуляризации европейской мысли оно оставалось доступным в качестве тра диционной философии математики. В Индии и Китае такого рода математический платонизм не возник даже в условиях преобладания идеалистической философии в Индии в послебуддийский период. Причиной этому был факт (обоснованный в главе 10) очень малых пере сечений математических и философских сетей в Индии и Китае, в противоположность Греции и Западу.
4. Поскольку математика - это также некая генеалогия технических приемов, взлет которой можно считать собственной математической революцией быстрых от крытий в период между Тартальей и Декартом, развитие математико-экспериментальных парадигм в науке Нового времени стало еще одним типом гибридизации генеа логий различных техник. Преемственные линии математики разветвлялись и по-раз ному соединялись между собой, что приводило к появлению богатого экологического мира математических "видов" (в смысле эволюционной биологии - "species"), кото рые различными путями скрещивались со сходным же образом скрещенными "вида ми" из генеалогий исследовательского оборудования.
5. Это произошло потому, что появление телеграфа (1837 г.), а затем электромото ров, телефонов, электрического освещения и прочего сделало электричество частью обы денной реальности. Прежде электричество имело более ограниченную лабораторную реальность для исследователей, с тех пор как в 1740-х годах была изобретена лейденская банка и особенно с появления вольтовой электролитической ванны (1799г.), надежно дававшей постоянный ток. В течение промежуточного периода, до того как лабораторное оборудование стало широко распространяться в повседневной жизни, было множество популярных интерпретаций реальности электричества (например, интерпретация Месмера, а также религиозные толкования), лишенных того ощущения нормальной обыденности, которое позже стало относиться к электричеству.
6. Есть некое непрерывное "семейное сходство" между соседними поколениями развития таких понятий, хотя именно то, что составляет данную непрерывность, ока зывается не раскрытым ни вообще, ни каким-либо специальным образом. Кун утвер ждал, что даже в крупных концептуальных сдвигах, называемых им парадигмальными революциями, сохранялась математика [Kuhn, 1961]. Как мы видели в предыду щем разделе, математику следует рассматривать как некую практическую систему приемов для получения открытий относительно формальных интеллектуальных опе раций. Это опять же означает, что сохраняющееся при смене поколений - это не сами по себе идеи, но непрерывность еще одной генеалогии исследовательского "оборудо вания". Математическая непрерывность и обоснованность естественно-научных пред метов (сущностей) - это еще один случай непрерывности практической пространствен но-временной деятельности. Вновь мы видим некий эпистемологический разрыв меж ду данной надежной, материально существующей, но скрытой практикой, вербаль ными конструкциями и соразмерным человеку воображением, включающим овеще ствленные (реифицированные) существительные и субстанции, приписанные теоре тическим естественнонаучным предметам.
7. Каждая математическая статья начинается со словесно выраженного загла вия и углубляется в словесные объяснения, пусть эзотерические, неких проблем до погружения в свою символизацию и соответствующее преобразование формул. В другом отношении успешная математика становится частью словесного дискурса, посредством которого математики обобщают свои прошлые достижения и указывают на будущие темы. Данные, иллюстрирующие этот момент в математических журна лах, приведены в работе автора "Статистика против слов". [Collins, 1984]. <...>
Литература
Collins R. Statistics versus words // Sociological Theory. - San Francisco: Jossey-Bass, 1984.
Kline M. Mathematical thought from ancient to modem times. - N.Y.: Oxford University Press, 1972.
Kuhn Th. S. The function of measurement in modern physical science // Quantification: A history of the meaning of measurement in the natural and social sciences / Ed. H. Woolf.- Indianapolis: Bobbs-Merrill, 1961.
Searle J.R. The rediscovery of mind. - Cambridge, Mass.: MIT Press, 1992.
Вопросы для понимания
Н.С.Розов
ПРИРОДА "УПРЯМОЙ РЕАЛЬНОСТИ" В ФИЛОСОФИИ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ И МАТЕМАТИКИ
ФИЛОСОФИЯ НАУКИ № 2 (10) 2001
Крупным событием философской и научной жизни на рубеже XX и XXI вв. явилась книга Рэндалла Коллинза "Социология философий: Гло бальная теория интеллектуального изменения " [1]. В первую очередь это громадный компендиум главных мировых философских традиций, раз вивавшихся на протяжении 25 столетий. Детально проанализированы древнегреческая и эллинистическая, древняя и средневековая китайская, древняя и средневековая индийская, средневековая японская, еврейская и арабская философские традиции, европейская традиция периодов сред невековья, Нового времени, ХГХ в. XX век представлен неопозитивизмом и Венским кружком, немецкой и французской экзистенциальной филосо фией, англо-американской ветвью. Кроме того, развитие философского мышления показано в контексте смежных интеллектуальных традиций богословия, оккультизма, естествознания, математики и логики, при этом особое внимание уделено структурным факторам внешнего социального контекста.
Главным предметом исследования являются не учения и не философы, но сети личных связей между ними, как вертикальные (учитель — ученик), так и горизонтальные (кружки единомышленников, сопернича ющие между собой). На основе изучения множества биографических источников Коллинз выстроил несколько десятков "сетевых карт" - схем личных знакомств между философами и учеными для всех рассмотрен ных им традиций. Этими картами охвачено 2670 мыслителей. Обширность эмпирического материала не подавляет, поскольку он осмыслен в единой стройной теоретической схеме.
Это единство социологической теории, применяемой к разным эпо хам и культурам, следует подчеркнуть особо, поскольку оно находится в прямом противоречии с до сих пор модным среди отечественных ученых
цивилизационным подходом, подразумевающим уникальность, несравни мость, смысловую замкнутость каждой крупной культурной традиции (то, что Коллинз называет "партикуляризмом").
Основные понятия теории Коллинза представим как баланс общего и особенного. С одной стороны, везде с интеллектуалами происходит "одно и то же": идет кристаллизация групп (фракций), мыслители и их группировки ищут и используют организационные основы, спорят меж ду собой, что составляет основу интеллектуальных ритуалов с обменом культурным капиталом и эмоциональной энергией, формулируют интел лектуальные позиции, соперничают между собой за пространство вни мания, делятся или объединяются, заимствуют и распространяют вовне свои идеи, комментируют классиков, переживают периоды расцвета твор чества и времена идейного застоя, образуют соответствующие интеллек туальные сети (те самые связи личных знакомств между мыслителями), • завоевывают долговременные интеллектуальные репутации при условии непрерывности спора во многих поколениях, достигают все более высо ких уровней абстракции и рефлексии, развивая космологические, мета физические, эпистемологические и другие последовательности. С дру гой стороны, везде и во все времена это происходит по-разному. Уникаль ность отнюдь не игнорируется, но Коллинз показывает, каким именно образом эти неповторимые конфигурации складываются из принципиаль но общего состава "ингредиентов" интеллектуального творчества.
Обратимся к проблеме реальности объектов познания, которой по священ эпилог книги, имеющий заглавие "Социологический реализм". Специфика позиции Коллинза состоит в том, что он, с одной стороны, твердо и убедительно отстаивает тезис о социальной природе всякого познания (в том числе математического и естественно-научного), а с дру гой стороны, из своей версии социального конструктивизма делает не скептические и релятивистские, но вполне реалистские выводы.
Свои рассуждения Коллинз начинает с расширенной, по сути, соци ологической трактовки cogito. Утверждать "я мыслю" - значит утверж дать, что существуют время, пространство, язык, понятия с универсаль ными значениями, сообщество людей, способных понимать такие выска зывания. Далее, это предполагает существование преемственности идей и аргументации, а также носителей данной преемственности - уходящих в глубь времен сетей из таких людей и сообществ. От этих сетей делает ся ход к существованию организаций, поддерживающих интеллектуаль ные сообщества (школы, академии, монастыри, патронаж, университеты и т.д.), и остального социального и физического мира, соразмерного человеку. Результаты такого использования cogito практически совпадают с реализмом здравого смысла, - здесь особенно сложных проблем Коллинз не видит. Трудности возникают при выходе за пределы соразмерного че ловеку мира - в мир теоретических естественно-научных (атомы, микро частицы, эфир, поля, струны и т.д.) и математических объектов (числа, геометрические фигуры, алгебраические структуры, множества).
В публикуемом в этом номере журнала фрагменте видно, каким об разом Коллинз пытается модифицировать свой принцип социологичес кого cogito применительно к объектам этих двух типов. Он отвергает наи более привычные позиции — натурализм (окультуренный наивный реа лизм) для естествознания и платонизм для математики. Оба этих отрица ния, когда они делаются не с априорно идеалистических, а с реалистских позиций, открывают весьма любопытные эпистемологические и онтоло гические перспективы. В этом пространстве сам Коллинз намечает соб ственную доктрину - "социологический реализм". В дальнейших рассуж дениях попробуем воспользоваться открывшимся концептуальным про странством, но не привязываться к достаточно узкой позиции самого Кол линза.
В рамках социологического реализма, предложенного Коллинзом, реальность объектов естествознания обосновывается через реальность соразмерных человеку лабораторного оборудования, соответствующих надежно воспроизводимых феноменов и интеллектуальных сетей (при чем сети оборудования и сети людей как бы паразитируют друг на дру ге). Реальность оборудования и работающих на нем людей обосновыва ется через расширенное понимание cogito (см. выше) и через универсаль ность принципа in medias res (лат. "среди вещей").
Основное несогласие в таком подходе вызывает то, что предмет познания здесь практически сводится к средству познания (сетям оборудо вания и людей). Примем в качестве предпосылки весьма общую позна вательную установку - искать субстанциональное в объекте, пользуясь максимально широким спектром подходов и средств его познания, обоб щая соответствующие (возможно, весьма различные) результаты и отвле каясь от специфики отдельных средств и подходов. Приложение этой установки к тезису Коллинза дает два любопытных результата. Во-пер вых, выйти за пределы обозначенных Коллинзом сущностей не удается: невозможно представить себе естествознание без сетей оборудования (связанного, как минимум, в генетическую сеть, или генеалогию, указы вающую на происхождение одних приборов от других) и без интеллекту альных сетей (людей, связанных между собой, как минимум, отношением "учитель - ученик"). Даже чистое собирательство и наблюдение за природой предполагают ту или иную систематизацию, которая является особым символическим "оборудованием". Во-вторых, внесение макси мального разнообразия (в порядке мыслительного эксперимента) в сети оборудования и сети ученых-естественников оставляет одно существен ное единство - некие инварианты в целях познания и воспроизводимых феноменах. Действительно, имеет смысл сопоставлять только те научные сообщества и сети, которые заняты изучением примерно одной области (будь то небесные светила, приливы и отливы, падение тел, свойства ве ществ, устройство растений или поведение животных).
Отсутствие надежно воспроизводимых феноменов указывает на прак тическое отсутствие достигнутых знаний о предметной области. Остав ляем для рассмотрения только такие сообщества и сети, в которых зна ния существуют, а соответственно существуют и группы воспроизводи мых феноменов. Совершенно ясно, что в независимых сетях (например, в европейском и китайском естествознании до контактов в XVII-XVIII вв.) должны появляться разные феномены, которые получены с помощью разного оборудования и осмысливаются в разных концептуальных кодах. Здесь коллинзовская зависимость феноменов естествознания от сетей оборудования и от людских сетей проявляется особенно четко. Однако анализ на этом не должен останавливаться. Именно кардинальное разли чие феноменов, получаемых относительно одной и той же предметной области (например, человеческого организма или небесных светил), все гда вызывает острый интерес к причинам этого различия, к попыткам обобщения существенных черт в разных традициях и отвлечения от ар тефактов, связанных с местной культурной, символической, технологи ческой спецификой.
Иначе говоря, при неизбежной зависимости естественно-научного познания от сетей оборудования и интеллектуальных сетей (ученых) кар динальную роль в проблеме реальности объектов естествознания играет общность воспроизводимых феноменов, выявляемая поверх специфичес ких различий локальных сетей. Источником этой общности и будем считать "упрямую реальность" объектов естествознания.
Здесь обнаруживается хорошо известное в натурфилософии глу бокое затруднение. В сердцевине любого естественно-научного откры тия всегда лежат человеческие понятия. Кроме того, в развитых обла стях естествознания такими понятиями являются весьма изощренные математические конструкции, относительно которых достоверно из вестно, кто и когда изобрел их самих или их ключевые составляющие.
Поставим соответствующий и весьма традиционный для натурфило софии вопрос так: почему внечеловеческий и беспонятийный внешний мир объектов действует согласно человеческим понятиям? Тот же воп рос можно поставить более поэтично" откуда Природа знает формулы собственных законов? Если она их не знает, то почему с таким завид ным постоянством эти законы в Природе выполняются?
Оставим пока эти вопросы без ответа и обратимся к самой матема тике, точнее, к проблеме онтологического статуса математических объек тов. Здесь Коллинз полемизирует с платонизмом и предлагает следующее обоснование их реальности. Все то, что происходит в математике, происходит только среди тех, кто с математикой знаком (ход от универсально сти платонизма к интеллектуальным сетям). "Вещность" математических объектов (например, чисел, переменных, функций) иллюзорна: то, что кажется "идеальной вещью", является лишь обозначением операции или комплекса допустимых операций (ход от платонистской реификации к операциям, совершаемым людьми). Далее, сами новые математические понятия и конструкции не возникают ниоткуда, — они являются обобще ниями, расширениями, свертками многих предшествующих уровней ма тематических операций. В корне же таких операций лежат вполне мате риальные жесты, например подсчет предметов одним человеком в при сутствии другого (пусть даже воображаемого другого). Такие операции социальны, материальны и соразмерны человеку, соответственно они подпадают под действие расширенного cogito. От реальности этого кор ня Коллинз ведет реальность и последующих разветвляющихся матема тических миров.
Прежде чем спорить с заявленной позицией, подчеркнем ценность исходной установки -установки на преодоление традиционного матема тического платонизма (от Пифагора и Платона через Декарта, Лейбница и Канта к Фреге, Кантору и Расселу). Суть этой широко распространен ной и часто неосознаваемой установки хорошо выражена в следующем пассаже из Н.Бурбаки: «Каковы бы ни были философские оттенки, в ко торые понятие математических объектов окрашивалось у того или иного математика или философа, имеется по крайне мере один пункт, в кото ром они единодушны: это то, что эти объекты нам даны и не в нашей власти приписывать им произвольные свойства, так же как физик не мо жет изменить какое-либо природное явление. Правду сказать, составной частью этих воззрений, несомненно, являются реакции психологическо го порядка, в которые нам не следует углубляться, но которые хорошо знакомы каждому математику, когда он впустую тратит силы, стараясь
поймать доказательство, беспрестанно, как ему кажется, ускользающее. Отсюда до приравнивания этого сопротивления обстоятельствам, ко торые противопоставляет нам внешний мир, - один шаг; и даже се годня не один математик, афиширующий непримиримый формализм, в глубине души охотно подписался бы под следующим признанием Эрмита: "Я полагаю, что числа и функции Анализа не являются про извольным созданием нашего ума; я думаю, что они существуют вне нас с такой же необходимостью, как и предметы объективной реаль ности, и мы их встречаем или открываем и изучаем их так же, как физики, химики, или зоологи"» [2].
Платонистская установка, столь привычная и, вероятно, по-свое му полезная для практикующих математику, должна быть поставлена под вопрос в философии математики по следующей причине. Мате матический платонизм заслоняет сложнейшую онтологическую про блему специфики математических объектов и специфики их пресло вутого "упрямства", заставляющего отвергнуть их рядоположенность другим объектам воображения, с которыми мы можем обращаться произвольно. Если платонистский мир математики существует так же, как мир частиц, волн и полей для физика, мир веществ для химика и мир животных для зоолога, то проблем нет — просто учись входить в этот мир (читай: учись математике) и исследуй выбранную область.
Другой сомнительной стороной математического платонизма явля ется его плохая совместимость с историей математики. В последней бо лее или менее хорошо осознаны большие этапы создания крупных час тей математического знания. Платонизм же подразумевает только обна ружение предсуществующего.
Проблема состоит в том, как вырваться из крепких объятий пла тонизма, не утеряв при этом неоспоримую реальность "упрямства" ма тематических объектов. Претензии к версии решения этой проблемы Коллинзом ему уже высказывались: абстрагирование и обобщение операций не означают отсутствия нового самостоятельного содержа ния на новом уровне абстракции. Кроме того, математика не апелли рует к примитивным коммуникативным операциям, каждый раз дис курс ведется на релевантном уровне абстракции. Если бы математика основывалась на изучении коммуникативных операций, она являлась бы одной из социальных наук, что с очевидностью неверно. К этой критике я добавлю такое возражение: само рассуждение Коллинза базируется на специфической предпосылке, состоящей в том, что оп равдание реальности абстрактных объектов возможно только при выведении их из социальных, материальных, соразмерных человеку яв лений. Данная предпосылка вовсе не очевидна и никак не обоснована.
Объекты математики имеют свою "твердую", или "упрямую", ре альность (в отличие от обычных воображаемых объектов, доступных для индивидуального произвола), поскольку их свойства и связи, а также соответствующие явления (например, наличие или отсутствие решений задачи, доказуемость или недоказуемость теоремы) надежно воспроизводимы в умах обученных математиков и в их общении. Коллинзовский смысл данного тезиса заключается в жесткой привя занности математических миров (как вместилищ соответствующих объектов) к сообществам и сетям математиков. Такой вывод, по всей видимости, неизбежен. Далее начинается расхождение. Дело не в сво димости математических объектов ко все более и более простым и кон кретным операциям, а в пределах возможного и невозможного каждой заданной области математического мира. Эти пределы зада ются в исходных понятиях, явных и неявных аксиомах и определени ях, которые вовсе не обязательно сводимы к каким-то примитивным операциям.
Проведем аналогию с шахматами. Современные гроссмейстеры противопоставляют друг другу в своей игре разнообразные шахмат ные идеи стратегического и тактического характера. Эти идеи имеют смысл и возможность реализации как в широких рамках правил шах матной игры (некий аналог теории множеств и фундаментальных ло гических законов в математике), так и в более узких рамках шахмат ной традиции, вплоть до пространства каждой конкретной партии (ана лог математической задачи). Сводить, подобно Коллинзу, содержание сложнейших (или гениально простых - для знатоков) математических идей к операциям счета - все равно что сводить содержание современ ных шахматных идей к войсковым единицам (коннице, пехоте, офи церам), из абстрагирования и символизации которых родилась когда-то в Индии шахматная игра. Пользуясь метафорой того же Коллинза, можно сказать, что математика и шахматы давно вырвались из порож давших их конкретных структур, подобно тому как воздушный шар вырывается из пут, держащих его у поверхности земли.
Для уяснения сути "упрямства" математических объектов исполь зуем еще одну метафору - порождаемые лабиринты. Допустим, что за дание некой совокупности объектов со свойствами, связями и прави лами взаимодействия (например, правила заполнения или незаполне ния клеток в некоторой бесконечной сетке) автоматически порождает некий невидимый лабиринт. Его можно обнаружить либо эмпиричес ким путем, выявляя в каждом месте наличие или отсутствие перего родок, либо теоретически - через оперирование исходными данными. Пока нет сообщества, обученного правилам работы с такими лабирин тами, нет и лабиринтов. Зато обученный человек, которому заданы порождающие лабиринт условия, сталкивается с этим лабиринтом уже как с независимо от него существующим миром, подобным миру фи зика, химика или зоолога.
Почему же шахматы и шашки, карты, кости, раскладывание пасьян сов, игры в "лабиринты" и "стратегии" считаются досужим времяпре провождением, а математика - серьезнейшей наукой, царицей наук? Дело здесь, видимо, в специфике направленности поисков, в специфике направ ленности развития и интерпретируемости. В играх при фиксированном уровне абстракции объектов и операций интерес задается либо случай ностью расклада (карты, кости, пасьянс, стохастический элемент в ком пьютерных играх), либо борьбой и непредсказуемостью поведения про тивника (шахматы, шашки). В математике объекты сходны с игровыми объектами в своей глубинной онтологии. Разница же заключается в том, что в математике каждый уровень абстракции исследуется целиком в своих обязательных аспектах (это касается и теории вероятностей, системати чески исследующей закономерности в случайных процессах), а далее интерес обращается не на варьирование переменных при том же уровне абстракции, а на принципиальное изменение самих исходных объектов и правил (обычно в сторону обобщения, абстрагирования и расширения) и на исследование обязательных аспектов нового появившегося "лабирин та" - математического мира. Благодаря систематически растущей абст ракции растут и области интерпретации математических конструкций, что влечет за собой возможности практического применения огромного на копленного разнообразия математических аппаратов.
Особую жесткость, цельность и красоту математическому зданию придают систематическое накопление и эффективное использование "сверток" - краткого обозначения сложных, ранее доказанных выводов (теорем и т.д.). Воспользуемся вновь метафорой лабиринта. Допустим, удалось доказать, что из каждого пункта типа А можно попасть в любой пункт типа Б менее чем за и ходов. Далее представим лабиринт, состав ленный из множества ранее уже рассмотренных лабиринтов, где суще ствуют пункты типа ан Б. Теперь в решении задач относительно прохо димости в большом лабиринте уже не нужно каждый раз заново рассмат ривать проходимость между пунктами типа А и Б в малых лабиринтах.
Здесь просто используется свертка, смысл которой выражается пример но так: в рамках любого малого лабиринта от любого А до любого Б тре буется менее чем п ходов. Систематическое и надежное использование таких сверток и составляет ту самую "машинерию" математического от крытия, о которой столь много говорит Коллинз.
В данном контексте целесообразно вновь обратиться к синтети ческим априорным суждениям Канта, поскольку их существование и роль в математике для многих философов (в том числе и для такого крупного авторитета, как Б. Рассел [3]) продолжают служить доводом в пользу платонизма. Вспомним классическое рассуждение Канта. Число 12 аналитически не заложено в сумме 5+7. Утверждение 5+7=12 синтетично, т.е. дает расширение знания, а не просто прояс няет уже имеющееся. В то же время в отличие от эмпирических (апо стериорных) суждений оно априорно, так как, по Канту, "выражает не обходимость одних только понятий" [4].
Ясно, что кантовская "необходимость понятий" означает примерно то же, что и "упрямство математических объектов" в нашем рассуж дении. Мы не вольны считать сумму 5 и 7 каким-либо угодным нам числом, но с необходимостью приходим к согласию с упрямым мате матическим фактом: данная сумма равна 12. Любопытно, что Кант по казывает эту необходимость буквально "по-коллинзовски": "В самом деле, беру сначала число семь и затем, для получения понятия пяти, прибегая к помощи созерцания пальцев своей руки, присоединяю по степенно к числу 7 с помощью этого образа единицы, ранее взятые для составления числа 5, и таким образом вижу, как возникает число 12" [5]. Однако совершенно ясно, что дело здесь не в способе "созер цания", а в наличии весьма сложного понятия числового ряда и его использовании вкупе с операцией сложения. Числовой ряд - это и есть тот самый невидимый "лабиринт", образованный порождающими пра вилами прибавления единицы и десятичной системы записи чисел. Операции сложения, вычитания и прочие, на них основанные, анало гичны "ходам" в лабиринте и "сверткам" уже проложенных "ходов". Следует обратить внимание также на лицо, ведущее счет: это вовсе не трансцендентальное "Я", не Разум и не совокупное Человечество, но представитель (например, сам автор рассуждения - Кант) сообщества, знакомого с числовым рядом и элементарной арифметикой, т.е. тот, кто имеет ментальный "доступ" к лабиринту.
Кантовскую "синтетичность" следует интерпретировать как не тождественность "порождения" "включению". Исходные правила порождают числовой ряд и соотношения между числами (в нашей ме тафоре - невидимый лабиринт и наличие ходов между пунктами), но не включают в себя всю эту совокупность элементов в качестве своих предикатов. Кантовскую "априорность" следует освободить от плато нического универсального "ноуменализма" и придать ей более част ный и ограниченный характер: для математического мира, заданного конкретной математической конструкцией, и для сообщества матема тически образованных людей, умеющих с этой конструкцией обращать ся и в этом математическом мире проводить разрешенные операции. Тут-то и возникает закономерное и ожидаемое платоновско-кантовско-расселовское возражение: как ни ограничивайте ваши миры и сооб щества, а 2+2=4, 5+7=12 и т. д. всегда, везде, для всех и вообще неза висимо от нас - в "настоящем" мире (идеальном, ноуменальном или реальном - выбирайте по вкусу).
В данном пункте, вместо того чтобы продолжать отстаивать соци альный конструктивизм человеческого знания вообще и математическо го в частности (например, указывать на множественные системы исчис ления, альтернативные геометрии и т.д.), я пойду навстречу и задамся вопросом: чем в действительности вызвано столь широкое и эффектив ное применение математики, почему такой обширный круг явлений и операций успешно описывается (и даже управляется) с помощью мате матической экспликации? Как видим, такого рода вопросы смыкаются с проблемой философии естествознания, которую мы оставили нерешен-i ной: почему естественные, независимые от человека явления Природы ] происходят в прямом или весьма близком соответствии с законами, сформулированными людьми в человеческих понятиях, в том числе в сложных и изощренных математических понятиях?
Вначале обратим внимание на то, что в Природе происходит далеко не все, что способна описать математика. Далее, согласимся, что в При роде существуют какие-то (пока неопределенные) упорядоченности, т.е. повторяющиеся явления и устойчивые связи между ними. При отсутствии таковых (полном хаосе) ни один прибор никогда бы не показал никаких воспроизводимых феноменов, однако такие феномены существуют. Те перь вопрос переформулируется следующим образом: почему природные упорядоченности имеют место в соответствии с отдельными понятийными (в частности, математическими) конструкциями?
При такой постановке проблемы решение уже проясняется. При роде ничего не нужно "знать". В ней нет ни понятий, ни истин, ни формул, ни чисел (на заметку исследователям фундаментальных постоянных физики). В Природе есть какие-то явления и упорядоченности явлений (с той поправкой, что в выделении и отделении явлений друг от друга уже заключается первичная концептуализация). Все ос тальное, что можно сказать о Природе, тем более является искусст венным символическим порождением интеллектуальных сообществ и сетей (с последующим "паразитическим" наслоением лабораторного оборудования). Зато эти символические системы, особенно концепту альные конструкции и самая точная, абстрактная и рафинированная их часть - математика, в процессе развития интеллектуальных сетей стали настолько широкими и гибкими, что оказалось возможным ими тировать в упорядоченности концептуальных миров (в том числе ма тематических) упорядоченность явлений Природы.
Взлет экспериментального и математического естествознания, традиционно связываемый с именами Галилея, Декарта и Ньютона, начался тогда, когда удалось найти такие понятийные объекты ("ква зивещи") и правила (в частности, математические формулы), которые надежно и воспроизводимо порождают понятийные же упорядочен ности, наделенные любопытным свойством. Оно заключается в пря мом соответствии такой концептуальной упорядоченности с упорядо ченностью опять же надежно воспроизводимых явлений, получаемых с помощью лабораторного оборудования и встроенной в него измери тельной техники. Такую принципиальную структуру имеет каждое действительное открытие в естествознании.
Как же теперь быть с универсальностью истин типа 2+2=4? Во-первых, следует еще и еще раз повторить, что без операций счета и измерения, проводимых разумными существами (возможно, с помо щью приборов), никаких чисел в Природе нет. Во-вторых, если в ин теллектуальном сообществе появляются конструкции числового ряда и операции над числами, то 2+2=4 действительно имеет универсаль ную значимость относительно любых систем исчисления и арифме тических традиций (при внимании, обращенном на математические сущности, а не на частные знаковые системы). В-третьих, такого рода "априорные истины" прямо зависят от весьма жестких предпосылок, которые принимает (обычно неосознанно) всякий, кто ведет счет, -отдельности, устойчивости, некой эквивалентности объектов счета (попробуйте сложить быстро смешивающиеся облака или мерцающие блики на воде). Наша вера в надежность и универсальность истин арифметики вне самого математического мира абстракций зиждется на действительном наличии во внешнем мире разнообразных и обширныx областей с отдельными, устойчивыми и обладающими минималь ной эквивалентностью объектами (от звезд до деревьев, домов, людей и книжек на полке), на относительной устойчивости значений изме ряемых величин и т.д.
Итак, оказывается возможным совместить отказ от наивного реа лизма и платонизма с социальной сконструированностью знания, но необязательно при этом сводить, подобно Коллинзу, реальность объек тов естествознания к лабораторному оборудованию, а реальность ма тематических объектов - к коммуникативным операциям.
Выработанную позицию относительно естествознания обозначим как транссетевой реализм. Здесь под сетями подразумеваются долго временные сети (генеалогии) трех коллинзовских типов: интеллекту альные сети ученых, генеалогии оборудования (цепи происхождения приборов от других приборов) и сети надстраивающихся понятий и теорий. Приставка "транс" означает здесь "сквозь": познание Челове ком Природы хотя и осуществляется при необходимом посредстве указанных сетей, но содержание знания в конце концов задается не спецификой сетей, а сквозь них - явлениями и порядками самой При роды. Согласно метафоре Коллинза, мечтать о независимости позна ния от социальной (сетевой) сконструированное™ - все равно что мечтать о видении без помощи глазного яблока. Все же в своем соци ологическом реализме Коллинз свел реальность объектов познания к его средствам, так сказать, интерпретировал видимое глазом в терми нах структур глазного яблока. Транссетевой реализм, не соскальзывая к наивному реализму и платонизму, восстанавливает реальность внеш него мира, проникающего к нам как с помощью социальных, техни ческих и понятийных сетей, так и сквозь них.
Совсем другая позиция требуется для понимания сущности ма тематических объектов. Здесь транссетевой реализм был бы равно значен платонизму. Для математики изложенная выше позиция дол жна быть обозначена скорее как генеративный виртуализм. Здесь виртуализм указывает: а) на чисто ментальный характер математи ческих миров; б) на потенциал бесконечного развертывания; в) на жесткость, "упрямство", отсутствие произвольности в следствиях заданных конструкций. "Генеративный" ("порождающий", ср.: ге неративная грамматика у Н. Хомского) означает здесь фундамен тальную роль порождающих исходных математических понятий (с соответствующими виртуальными объектами) и правил опериро вания ими (аксиом).
Вероятно, в заявленной позиции есть свои затруднения и проти воречия. Перспективы, открытые смелым социологическим прозрени ем Коллинза, достаточно широки и приглашают исследователей к новым поискам. По крайней мере, здесь была продемонстрирована их возможность.
Примечания
1. Collins R. The sociology of philosophies: A global theory of intellectual change. - Cambridge (Mass); London (England): Belknap Press of Harvard University Press, 1998.
2.. Бурбаки Н. Теория множеств. – M.: Мир, 1965. - С.317.
3. См.: Рассел Б. История западной философии: В 2 т. - М.: Мир, 1993.
4. См.: Кант И. Критика чистого разума. - М., 1994 - С 37-40
5. Там же - С.39.
Вопросы для понимания
Л.С. Сычева
Проблема реальности математических объектов
Основное, что будет нас интересовать в данной статье – с помощью каких средств рационально рассматривать вопрос о реальности математических объектов. Многовековые споры о том, где и как существуют эти объекты, обусловил наше обращение к другим средствам изучения этой проблемы, чем это традиционно имело место – к сравнительно новой концепции знака и знания, предложенной в рамках теории социальных эстафет М.А. Розовым. Математические объекты при этом сближаются с гуманитарными, и именно такое их рассмотрение позволяет, как представляется, наметить выход из дилеммы, сформулированной П. Бенацеррафом: «если мы признаем математическое знание истинным, и его объекты существующими, тогда непонятно, как мы получаем это знание, не имея чувственного контакта с этими объектами» (Цит по 13, с. 39).
Общеизвестно, что вопрос о том, где и как существуют математические объекты, ставится давно. Еще Платон и Аристотель обсуждали вопросы о том, что такое число, что такое общее. Платон, как известно, противопоставлял понятия как единственно действительные сущности чувственному бытию. В главе 9 первой книги «Метафизики» Аристотель от имени всей платоновской школы говорит, что «ни один из способов, какими мы доказываем, что эйдосы существуют, не убедителен» (1, стр. 86). Он полагает, что следует, по-видимому считать невозможным, чтобы отдельно друг от друга «существовали сущность и то, сущность чего она есть; как могут поэтому идеи, если они сущности вещей, существовать отдельно от них?» (1, стр.88). «Не дается также никакого объяснения, как существует или может существовать то, что ... идет после чисел – линии, плоскости и тела, и каков их смысл» (1, стр.91).
Более подробно аргументы Аристотеля против теории самостоятельного существования идей вообще, и математических объектов, в частности, мы уже излагали (12). Отметим лишь, что и в наши дни воспроизводятся и воззрения Платона, и их критика. Так, в недавно вышедшей книге В.В. Целищева «Философия математики», которая базируется на детальном анализе имеющейся западной литературы по философии математики, читаем: «Прежде всего, весьма проблематично понятие существования в нематериальном мире, которое присуще широкому спектру философских учений, известных под названием «идеализм». Исторически, идеализм, как оформленное Пифагором и Платоном философское учение, мотивировался математикой» (13, стр. 31). Автор книги ставит вопрос, в какой степени математика ответственна за те неприемлемые по философским основаниям положения, которые свойственны платонизму: «В частности, платонизм в области математики утверждает существование другого, нематериального, мира, населенного математическими объектами. Возникают вопросы о том, где находится этот мир, как войти в соприкосновение с ним, как может наш язык указывать на объекты этого мира, если они не являются чувственно воспринимаемыми объектами. Платонисты настаивают на том, что люди имеют внечувственное осознание математических структур, называемое часто интуицией математика, и что при помощи интуиции мы входим в контакт с математическими сущностями». (13, с. 32-33).
Ссылаясь на Бенацеррафа, В.В. Целищев формулирует следующую дилемму: «если математика представляет собой исследование объективных идеальных сущностей и если когнитивные способности человека позволяют ему познавать только чувственные объекты, то как он может познавать математические объекты?» (13, с.37). Он подчеркивает, что дилемма ставит перед нами выбор – либо отрицать, что математика говорит о числах, либо предполагать некоторые неестественные способности человека в отношении сбора информации. Он совершенно справедливо признает, что обе возможности не выглядят привлекательными.
Однако зададим вопрос – почему рассматриваются только две возможности? Почему надо безоговорочно признавать, что когнитивные способности человека позволяют ему познавать только чувственные объекты? Почему признание чисел как объектов исследования необходимо требует неестественных способностей человека в отношении сбора информации? Ведь кроме естественных наук и математики есть еще одна группа наук – гуманитарные, методы исследования которых позволяют изучать такие «объекты», как язык (вообще тексты), литературные герои, прошлое, не являющиеся «чувственными» объектами в полном смысле?
Подчеркнем, что В.В. Целищев совершенно прав, когда он приводит слова У. Харта (и присоединяется к ним), что надо приветствовать переформулировку основных положений эпистемологии математики, надо осуществить эпистемологический поворот в философии математики (13, с. 38). Однако, рассматривая эпистемологические проблемы, он снова возвращается к позиции П. Бенацеррафа, уже приведенной нами выше, который считает, что невозможен эпистемологический доступ к математическим объектам.
Действительно, математические объекты отличаются от растений, животных, горных пород, которые ученые приносят в лабораторию и с которыми они вступают «в чувственный контакт» - взвешивают, изучают форму, цвет и т.д. Однако нельзя сказать, что математические объекты совершенно не даны человеку в его чувственном опыте – человек видит математические знаки, отличает интеграл от дифференциала, одно число от другого и т.д. Однако каждый согласится, что способы действия с математическими объектами не определяются чувственным обликом этих объектов. Для исследования проблем, поставленных В.В. Целищевым, воспользуемся его советом осуществить эпистемологический поворот и обратимся к теории социальных эстафет, которую развивает М.А. Розов (11), а также к его статьям «К методологии анализа феномена идеального» (8) и «Способ бытия математических объектов» (7) . В последней статье он приводит ряд соображений, цель которых - показать тесную связь названной проблемы с аналогичными фундаментальными проблемами современных гуманитарных наук и замечает, что на наличие такой связи в принципе уже указывали и сами математики (2, с. 19). Именно в сближении проблем философии математики и гуманитарных наук, в использовании в философии математики средств для анализа семиотических объектов гуманитарных наук, в частности, теории социальных эстафет, мы видим эпистемологический поворот, который следует совершить, чтобы попытаться выйти из дилеммы, сформулированной П. Бенацеррафом.
В статье «К методологии анализа феномена идеального» М.А. Розов вводит принцип персонификации, т.е. показывает, что отношение человека к вещи – это всегда отношение «человек – человек»: «Можно сформулировать общий принцип, согласно которому любое отношение человека к окружающим объектам всегда опосредовано его отношением к другому человеку. За отношением «человек – вещь» всегда скрывается отношение «человек – человек» в качестве ис ходного и определяющего. Назовем это утверждение принципом пер сонификации. Каждый из нас живет в окружении многих привычных вещей, которые он использует строго определенным образом. Может показаться, что способ употребления, способ действия прежде все го определяется свойствами самой вещи, что с ней просто нельзя обходиться иначе. Но это не так. Запустите в свою квартиру стадо обезьян и вы убедитесь, что знакомые вам предметы гораздо более полифункциональны, чем вы думали раньше. И если вы не перевора чиваете свой письменный стол, не раскачиваетесь на люстре и не используете книжный стеллаж в качестве шведской стенки, то это вовсе не потому, что названные предметы сами не допускают столь безобразный способ их употребления. Они допускают, но это не при нято. Иными словами, ограничивают нас не вещи, а нормативные сис темы, в рамках которых мы живем, т. е. другие люди. Способ дейст вия с предметом не вытекает непосредственно из его физических, химических и прочих свойств. Эти свойства, конечно, ограничива ют круг возможных действий, но оставляют его всегда практически бесконечным. И в этом плане нет никакой существенной разницы меж ду письменным столом и фигурой на шахматной доске. В обоих случа ях мы имеем дело с определенным материалом, но письменный стол и ферзь – это не материал сам по себе, а функция, которая закреп лена за этим материалом и «записана» в нормативной системе общест ва» (8, с. 69). Отсутствие однозначного соответствия объективных свойств вещи и способов ее использования порождают, по М.А. Розову, в конечном счете, феномен идеального. Он приводит слова Платона из «Государства» о геометрах «Но ведь когда они вдобавок пользуются чертежами и делают отсюда выводы, их мысль обращена не на чертеж, а на те фигуры, подобием которых он служит. Выводы свои они делают только для четырехугольника самого по себе и его диагонали, а не для той диагонали, которую они начертили. Так и во всем остальном. То же самое относится и к произведениям ваяния и живописи: от них падает тень, и возможны их отражения в воде, но сами они служат лишь образным выражением того, что можно видеть не иначе как мысленным взором» (5, С. 318). Работая с чертежом и строя свои утвержде ния, геометр не обращает внимания на неровности линий, на то, что диагональ проведена не до конца, и на многие другие небреж ности исполнения. Этих небрежностей для него как бы не существу ет. Иначе говоря, поведение геометра и его утверждения не могут быть выведены из особенностей того объекта, с которым он непосредственно действует, он действует как бы с чем-то других. И Платон вводит представление об особых идеальных объектах. Основная мысль статьи М.А. Розова следующая: «Идеальное – это феномен определенной точки зрения, определенной позиции, точнее, это феномен неполноты выделения исследуемой системы. Стоит нам ограничить себя анализом отношения «человек–предмет», «человек – вещь», стоит забыть принцип персонификации, и сразу оказывается, что поведение человека не выводимо из объ ективной ситуации, а иногда прямо ей противоречит. Оперируя не посредственно с конкретным, чувственно данным предметом, человек в то же время действует как бы с чем-то другим. Видимый предмет точно одевается невидимыми гранями, которые определяют поведе ние человека. Это другое и есть идеальное, ибо в рамках выде ленной системы его никак нельзя определить, кроме как через про тивопоставление материальной вещи. Но стоит расширить систему, раздвинуть ее рамки, и станет ясно, что человеческое поведение детерминировано другими людьми, обществом в целом, что оно глу боко социально по своей природе, и что феномен идеального – это только эхо или тени, подлинные причины которых не попали в поле нашего зрения» (8, с. 71).
В более поздних работах М.А. Розов различает атрибутивные свойства объектов, т.е. такие свойства, которые вытекают из их материала, и неатрибутивные, способы действия с которыми определяются не их материалом, а чем-то другим. Семиотические объекты неатрибутивны, т.е. способы действия с ними определяются не их материалом, а традициями, эстафетами, в которые включены знаки, в том числе – математические. Рассматривая вопрос о способе бытия математических объектов, М.А. Розов обращается к аналогии чисел и шахмат, которую использует Р.Л. Гудстейн «...шахматный король – это одна из ролей, которую фигура играет в шахматной партии, – роль фигуры, а не сама фигура. Точно так же различные роли, которые цифры играют в языке, это и есть числа. Арифметические правила, аналогично шахмат ным правилам, формулируются в терминах дозволенных пре образований числовых знаков» (3, с. 22) Шахматы как таковые с их правилами ходов воспроизводят се бя только как нормативная система, т. е. существуют только в рамках определенных процессов-эстафет. Эти процессы есть механизм существования шахмат, способ их бытия. Эстафеты – это способ бытия и математических объектов – делает вывод М.А. Розов: «объекты математики такие, например, как натуральные числа,– это некоторые роли соответствующих обозначений, которые вос производят себя по принципу нормативных систем. Иными сло вами, математические объекты существуют как нормативные системы. Это и есть их «устройство» или способ их бытия. Ска занное выше означает их независимость от индивидуального че ловеческого сознания, ибо они в своем бытии обусловлены всем контекстом культуры, всей практикой человечества и противо стоят отдельному человеку или целому поколению как явление не менее объективное, чем язык. Но будучи явлением культуры, они и развиваются не по законам естественно-научных объектов, а вместе с культурой и по ее законам» (7, с. 30).
Представления о математике как социальной науке, развивает также Р. Коллинз в Эпилоге своей книги «Социология философий» (4), где автор выстроил сети личных связей между философами и учеными, как по вертикали (учитель-ученик), так и по горизонтали (кружки единомышленников, соперничавших между собой). Сети, которые представлены в книге, включают и математиков, ибо философы часто были и математиками и наоборот. Кроме того, из всех научных дисциплин сообщество математиков функционирует наиболее продолжительно. Коллинз пишет, что математика социальна в двух смыслах: 1) каждый, кто причастен к математике, даже на уровне понимания уравнения элементарной арифметики, включен в некую форму социального дискурса и некоторую сеть учителей и исследователей, делающих открытия; 2) предметом математики являются операции, а не вещи. Он считает, что «второй аспект еще более ярко показывает, что математика насквозь социальна» (4, с. 1120). «Операции математики социальны, начиная от элементарного уровня счета и далее. Дело не просто в том, что мы учимся считать всегда у кого-то другого и что умение считать широко распространено в большинстве обществ. Счет может быть явной социальной деятельностью: я считаю эти вещи, находящиеся перед нами, я предлагаю и вам тоже их посчитать или же согласиться с результатами моего счета, поскольку при выполнении тех же самых процедур, вы придете к тому же заключению» (4, с. 1121).
Коллинз специально подчеркивает, что предметом математики являются операции, а не вещи. Математика не является областью, где исследуется, какие типы вещей существуют в этом мире, либо в каком-то ином мире за пределами этого. Он говорит, что легко полагать число вещью, ибо оно может считаться существительным в предложении. Однако первоосновой числа является просто счет, а он состоит в выполнении жестов, словесных или иных, относительно чего-либо при произнесении последовательности «1, 2, 3 …», число изначально является деятельностью (или операцией) перечисления. Предлагая понимание математических объектов, существенно отличающееся от традиционного, Коллинз приводит объяснение того, что устоявшийся в течение долгого времени взгляд на математику как на царство платонистских идеалов ошибочен. Один аргумент - объекты математики должны быть идеальными, поскольку доказываемые в них истины о геометрических фигурах относятся к идеальным окружностям и прямым, а не к несовершенным линиям, начерченным на песке. Другой – числа – это не вещи, наблюдаемые нами в мире, поскольку именно с помощью чисел мы можем вещи перечислять. «В обеих линиях аргументации делается одинаковая ошибка: допускается, что реальность должна состоять либо из субстантивных вещей, либо из самостоятельных идей. Однако математические объекты не являются ни теми, ни другими, они суть символы действий – операций математического дискурса. Универсалии и идеалы – это деятельность социального дискурса, и они столь же реальны, сколь реален этот дискурс. Иными словами, они столь же реальны, сколь реален обыденный, соразмерный человеку мир действия. Нет нужды приписывать их какому-то иному миру» (4, с. 1123).
Апелляция Коллинза к миру человеческих действий при анализе вопроса о сущности математических объектов, к человеческому общению, к сетям коммуникаций созвучна и мнению Гудстейна (число – это роль, которую играет соответствующая цифра), и представлениям Розова, во-первых, в некоем глобальном смысле – что решение вопроса, где и как существуют объекты математики, нужно искать в области гуманитарного познания, а во-вторых, совпадает и конкретное видение сути математических объектов – а именно тот и другой автор видит эту суть в коммуникациях между людьми. Коллинз называет это сетями, Розов – эстафетами.
Однако есть и различие. М.А. Розов различает непосредственные эстафеты, которые являются воспроизведением образцов, находящихся в поле восприятия человека, и опосредованные – заданные описанием транслируемого действия. Суть теории социальных эстафет состоит именно в утверждении о том, что в основе всей Культуры, прежде всего языка, простейших (основных) производственных действий лежит непосредственное воспроизведение опыта. Впоследствии наряду с непосредственными образцами, определяющими действия человека, появляются и правила, однако обычно человек, владеющий языком, может и не знать правил (а говорить при этом верно), да и все правила невозможно сформулировать. Все это перекликается с идеями неявного знания М. Полани. Существенно, что в эстафетах М.А. Розов выделяет, во-первых, транслируемое содержание, и, во-вторых, собственно эстафету – от кого кому происходит передача образца (способа действия). Коллинз описывает сети передачи опыта, но не говорит о содержании того, что идет по сетям. В этом смысле сети математиков ничем по типу не будут отличаться от сетей историков или кого-то еще. Теория же социальных эстафет позволяет поставить вопросы о появлении опосредованных эстафет, о формулировании норм (грамматических, правил в математике и т.д.), а также о том, все ли правила выявлены в каждом случае. Обычно выявлены не все правила языка, правила математических рассуждений и т.д. Иначе говоря, даже после выявления некоторых правил, еще остается существенной роль образцов рассуждений. Возникает вопрос о стационарности эстафет, который М.А. Розов решает, обращаясь к социальному контексту. Каждый предмет, который мы как-то называем, похож в том или ином отношении на остальные – по цвету, по форме, материалу или чем-то еще. Но человеку, которому указали на предмет и назвали его «пепельницей», уже известна таблица цветов, известны формы и т.д. Иначе говоря, человек имеет дело не с изолированными образцами, а с множеством взаимосвязанных образцов. «Именно социальный контекст и ограничивает наши степени свободы. Стационарность нормативных систем – это со циальный, а не биологический феномен и если быть точ ным, то можно говорить только об относительной стационар ности» (7, с. 23).
Воспользуемся еще одним понятием – понятием социальный куматоид. Это некоторое устройство социальной памяти, для которого характерно наличие инвариантов – программ, в рамках которых организуется деятельность большого числа людей. Программы – это инварианты, а люди все время меняются, представляя собой некий поток, некий постоянно обновляющий себя материал, программы же остаются неизменными. Программы могут представлять собой четко сформулированные и записанные инструкции или неявное знание, которое передается от человека к человеку путем воспроизведения непосредственных образцов, т.е. путем эстафет.
Любое слово, любой математический объект – это куматоиды. Представив математический объект как куматоид, можно сформулировать программу его исследования, а именно – можно поставить задачу выяснить, какая программа связана с каждым из объектов, как эта программа складывалась, сформулированы ли, например, правила действия с числами, или люди действуют по образцам, что изменяется тогда, когда появляются правила. Так, в статье Ю.В. Пушкарева (6) проанализирована история формирования понятия интеграл. Возникновение метода интегрирования связывают с именем Архимеда, который предложил формулу вычисления объема шара новым методом. Пушкарев показал, как происходил переход от представлений об интегралах как средствах вычисления площадей и объемов к анализу их как полноправных объектов математики, которые интересны и важны сами по себе, а не только как средства решения задач механики (в работах Ньютона) или астрономии (у Кеплера). В статье исследована роль рефлексивных преобразований в становлении интегрального исчисления, роль программно-предметных комплексов дисциплин в возникновении математического анализа, значение ценностных установок в этом процессе. Все эти вопросы важны для изучения механизмов новаций в математике и сформулированы в рамках эстафетной модели науки (11, гл. 4). Так выполненный анализ формирования и видоизменения математического знания вполне отвечает вполне определенной эпистемологической ориентации, о необходимости которой говорит В. В. Целищев: «Среди хаоса мнений и предположений о том, в какой степени математика связана с философией, следует найти какой-то порядок, который смог бы дать точку опоры в будущей философии математики, если ей суждено выжить. На мой взгляд, таковой является эпистемологическая ориентация на вопросы математического познания, а не на традиционные вопросы о природе математических объектов и математической истины» (13, с. 48). Фактически В.В. Целищев считает, что надо перейти от обсуждения сугубо философских вопросов, касающихся математики, таких, которые с неизбежностью всегда будут порождать споры в силу самой природы философии, для которой характерно наличие точек произвольного выбора (9), к изучению эпистемологической специфики математики, фактически приближающейся по характеру работы к научной дисциплине, многие утверждения которой могут быть верифицированы или фальсифицированы фактами истории науки, или, говоря словами И. Лакатоса, когда история науки выступает как пробный камень методологии науки. Эстафетная модель науки, предложенная М.А. Розовым как развитие модели науки Т. Куна (10) предоставляет богатые возможности такой эпистемологической переориентации.
Литература
Вопросы
Формирование нового знания в математике
В данном разделе две статьи. Первая из них – статья А.А. Григоряна посвящена анализу социокультурных и метафизических запретов в развитии математики. Григорян использует идеи известного французского математика А. Гротендика и показывает, что возникновению нового в математике часто препятствуют метафизические представления, которые запрещают тот или иной вид исследования. Автор анализирует три высказывания Аристотеля: «О случайном не может быть знания через доказа тельство», «Актуально-бесконечного не существует», «Математические науки чужды движению, за исключением тех, которые относятся к астроно мии», которые характеризовали социокультурный контекст развития греческой математики, в рамках которой не могли возникнуть такие теории, как теория вероятностей, анализ бесконечно малых и теория геометрических преобразований на плоскости и в пространстве, хотя соответствующий уровень развития математики (математической техники) и имевшиеся проблемы делали возникновение упо мянутых теорий вполне вероятным.
Вторая статья – М.Ю. Веркутиса посвящена анализу возникновения новых объектов исследования в математике в условиях неведения, т.е. когда ученые вообще не имели представлений о возможности таких объектов, как группы, неевклидова геометрия. Они при этом решали традиционные задачи (разрешимость уравнений выше пятой степени в радикалах, доказательство пятого постулата Евклида) и в ходе этой деятельности «натолкнулись» на новые объекты. В случае возникновения представлений о группах Галуа ввел группы в качестве средства для отбора тех уравнений, которые все же разрешимы в радикалах. Открытие Лобачевским неевклидовой геометрии – более сложный случай, но в каждом из них существенную роль играют рефлексивные преобразования деятельности – перенос центра тяжести с решения исходной задачи на тот результат, который получился непреднамеренно. В работе Лобачевского осознание того, что в конечном итоге ими была решена не исходная задача, а совсем другая – играет решающую роль в создании новой геометрии.
Григорян А. А.
Несколько лет назад, выступая на одном из заседаний Всероссийского семинара по философии математики, я говорил о «социокультурных запретах», препятствовавших возникновению математических теорий на тех или иных этапах развития математики. В качестве примера приводились три выс казывания Аристотеля: «О случайном не может быть знания через доказа тельство», «Актуально-бесконечного не существует», «Математические науки чужды движению, за исключением тех, которые относятся к астроно мии». Я утверждал, что эти слова характеризуют тот социокультурный (и/ или, метафизический) контекст развития греческой математики, в рамках которой не могли возникнуть такие теории как теория вероятностей, анализ бесконечно малых и теория геометрических преобразований на плоскости и в пространстве, хотя соответствующий уровень развития математики (математической техники) и имевшиеся проблемы делали возникновение упо мянутых теорий вполне вероятным. Речь разумеется не шла о том, что фи лософия в лице Аристотеля «запрещала» возникновение математических теорий, на самом деле Аристотель лишь констатировал сложившийся социокультурный контекст развития математики, признававшийся, по всей видимости, и теми учеными, которые будучи математиками-профессионалами стояли достаточно далеко от метафизических дискуссий того времени. Однако само выражение «социокультурные запреты» вызвало достаточно резкие возражения вследствие предполагаемой им жестко детерминированной взаимосвязи между социокультурным контекстом и фактическим разви тием математики. Эти возражения показались мне в достаточной мере спра ведливыми по двум причинам. Во-первых, существуют историко-математические факты (например, математическая деятельность Демокрита), кото рые свидетельствуют о том, что «социокультурные запреты» не обладают непререкаемым авторитетом, и, во-вторых, преодоление социокультурных ограничений часто бывает обусловлено не столько изменениями социокультурного контекста, сколько существенно внутриматематическими причинами.
Более подходящим термином (или более удачной метафорой) в контексте этих размышлений представляется понятие «круга» (социокультурного и/или метафизического), введенное выдающимся французским математиком А. Гротендиком в его философско-математическом эссе «Урожаи и посевы. Размышления о прошлом математика». Остановимся на его идеях несколько подробнее.
По мнению Гротендика, большинство математиков ограничивают себя жесткими понятийными рамками, затворившись во Вселенной, обустроен ной раз и навсегда, а именно в том универсуме, который они нашли тогда, когда принимались за свои научные изыскания. Получив в наследство боль шой, красиво обустроенный математический дом со всеми удобствами, гостиными, кухнями, мастерскими и общедоступными инструментами, они и не задумываются, почему и как были задуманы и изготовлены инструменты, которыми они пользуются, почему комнаты размещены и благоустроены так, а не иначе (1). При этом Гротендик замечает, что подобная ситуация не является специфичной лишь для математики. С подобным положением дел можно столкнуться в любой из сфер человеческой деятельности с незапамятных времен.
Но существуют математики, к числу которых Гротендик (и, надо сказать, не без оснований) относит и себя самого, чьим призванием является беспрестанная жажда строительства новых домов. И как бы прекрасно и гармонич но не были устроены имеющиеся вселенные, этим ученым претит дальней шее благоустройство построенных трудами предшественников (или даже ими самими) математических дворцов, они стремятся к открытию новых, непривычных миров. К такого типа математикам Гротендик относит прежде всего Галуа, Римана и Гильберта. Среди своих современников Гротендик причисляет к их числу одного из своих учителей Ж. Лере.
Говоря о математиках, не принадлежащих к числу избранных, Гротендик отмечает, что им часто удавалось получать значительные, порой очень красивые результаты, однако эти результаты находились в рамках уже завершен ного контекста. Эти ученые, не подозревая о том, так и остались узниками «кругов невидимых и властных», установленных в качестве своеобразных границ для математической Вселенной в данную эпоху и в данной среде. Они и не помышляли о том, чтобы затронуть эти границы. Для того чтобы пере ступить их, считает Гротендик, ученый должен был бы вновь обрести даро ванную ему при рождении способность быть одному (2). Другими словами, способность самостоятельно анализировать проблемы, не доверяя вербально или по умолчанию общепринятым представлениям, способность не становиться добровольным узником тех кругов, которые в каждую эпоху огра ничивают горизонт творчества. В процессе познания Вселенной (в том числе и ее «математического среза»), утверждает Гротендик, только невинность, и ничто другое, наделяет нас реформаторской властью. Это та первоначальная невинность, которая дана человеку от рождения, которая порой неявно оби тает в каждом из нас, являясь зачастую объектом нашего же презрения и тай ного страха. Одна лишь невинность, по убеждению Гротендика, объединяет смирение и смелость, благодаря которым человек оказывается способным проникнуть в суть «вещей», и, с другой стороны, проникнуться ими, впустив их внутрь себя. Эта власть (а отнюдь не особый «дар», подобный исключи тельной способности рассудка усваивать и управляться легко и ловко с ог ромной массой известных идей, технических приемов и фактов, а также и не честолюбие, поддержанное непреклонной волей к успеху) позволяет пере шагнуть «круги невидимые, но властные», ограничивающие наш творческий горизонт. Это преодоление часто не вполне осознается именно благодаря осуществляющей его невинности.
Но какова природа этих кругов, о которых говорит французский матема тик? Отмечая наиболее важные темы своего математического творчества, Гротендик заявляет, что каждая из них является воплощением единого широкого видения, которое может быть обозначено как новая геометрия. «Новиз на» этой геометрии заключается в обеспечении синтеза двух миров, до ее появления хотя и тесно взаимосвязанных друг с другом, но все же отдель ных, различных: мира «арифметического» и мира непрерывных величин. В «новой геометрии» эти два мира, некогда отдельные, сливаются в один, сме тая существовавшие ранее границы. При этом идею топоса, стоящую в цен тре «новой геометрии», Гротендик рассматривает как свидетельство фунда ментального изменения наших представлений о пространстве. Дело в том, что до появления понятия топоса (конец 50-х годов) эволюция представлений о пространстве происходила в рамках природы самой непрерывности. И лишь идея топоса охватила в общетопологической интуиции как традицион ные топологические пространства, олицетворяющие мир непрерывных вели чин вместе с многообразиями («пространствами») абстрактной алгебраи ческой геометрии, так и бесконечное множество структур другой природы, до тех пор считавшихся принадлежащими миру арифметическому («дискрет ные» или «разрывные» системы). Показательно, что Гротендик сравнивает появление новой геометрии с возникновением теории относительности Эй нштейна прежде всего потому, что обе концепции демонстрируют фунда ментальное изменение наших представлений о пространстве (соответственно о «математическом» и «физическом» пространстве), а также из-за того, что эти концепции охватывают в едином видении множество ситуаций, ранее воспринимавшихся совершенно изолированно друг от друга. Продолжая сравнение с развитием современной физики, Гротендик указывает на кванто вую механику, в которой материальная точка классической физики уступает место «вероятностному облаку», что символизирует еще более, чем у Эйн штейна, фундаментальное изменение самого способа восприятия явлений. Другими словами, круги, ограничивающие горизонт мышления ученого и преодолеваемые учеными-первооткрывателями, имеют преимущественно метафизическую природу (представления о пространстве, времени и т.п.). Кроме того, очень часто можно говорить об укорененности этих метафизических представлений в социокультурном контексте развития науки.
Следует отметить, что выявление социокультурных и метафизических кругов и анализ процесса их преодоления в развитии науки затруднены на столько, насколько близко находится исследователь к рассматриваемому им фрагменту истории науки. И это не является удивительным, ведь мы сами зачастую являемся пленниками предрассудков, унаследованных от не столь отдаленных времен, что, разумеется, не способствует адекватному их выявлению и характеризации. Поэтому вернемся к анализу ситуаций, упомянутых в начале данной статьи.
Круг № 1: «О случайном не может быть знания через доказательство», или почему теория вероятностей не возникла вплоть до XVII в.
В историко-математической литературе является общепринятым связы вать возникновение теории вероятностей как науки со второй половиной XVII века. При этом считается, что исходным пунктом развития теории послужила переписка между двумя выдающимися математиками Нового времени Фер ма и Паскалем. Эта переписка относится к 1654 г. и содержит главным обра зом решение задач на разделение ставки, связанных с рядом азартных игр.
В письмах, впервые опубликованных в Тулузе в 1697 г., как Паскаль, так и Ферма неявным образом пользовались такими фундаментальными теорети ко-вероятностными представлениями, как зависимость и независимость со бытий, теоремами сложения и умножения вероятностей (не определяя еще самого понятия «вероятность»). Было введено также и такое важное понятие будущей теории вероятностей, как математическое ожидание случайного события (в данном случае выигрыша в игре).
Еще до опубликования этих писем, примерно в 1656—1657 гг., Гюйгенс, узнавший о том, что такие корифеи новой математики, как Ферма и Паскаль, серьезно заняты задачей на разделение ставки, подключился к этим исследованиям и в 1657 г. опубликовал работу «О расчетах в азартной игре» — пер вое увидевшее свет сочинение по теории вероятностей. В предисловии к это му изданию можно прочитать следующие примечательные строки: «Чем более трудной является задача определения при помощи рассуждений того, что кажется неопределенным и подчинено случаю, тем более наука, которая достигает результата, представляется удивительной. Во всяком случае, я пола гаю, что при внимательном изучении предмета читатель заметит, что имеет дело не только с игрой, но что здесь закладываются основы очень интерес ной и глубокой теории (курсив мой. —А. Г.)» (3). Значение этой небольшой работы Гюйгенса трудно переоценить. И не случайно, что первая часть рабо ты Я. Бернулли «Искусство предположений», появление которой знаменует окончательное становление новой теории, представляет собой перепечатку и тщательный комментарий упомянутой работы Гюйгенса.
Таковы вкратце историко-научные факты, из которых следует вывод о том, что становление теории вероятностей как науки происходило во второй половине XVII в. (основные теоретико-вероятностные результаты были получены Я. Бернулли в 90-х гг. XVII столетия) (4). В связи с этими фактами интерес но было бы разобраться в таком вопросе: является ли возникновение матема тической науки о случайном именно в XVII в. «случайным событием»? Пра вомерность этого вопроса обусловлена, с одной стороны, достаточно высо ким уровнем развития математики в античности, а с другой стороны, имею щимися сведениями о распространенности как в античности, так и позднее, азартных игр, послуживших в XVII в. источником первых теоретико-вероят ностных проблем. Можно ли предположить, что, сумей какой-либо любитель азартных игр в античности (вроде вошедшего в историю теории вероятностей кавалера де Мере) привлечь внимание крупных математиков своего времени к задачам на разделение ставки, то наука о случайном могла бы возникнуть намного раньше, чем это произошло на самом деле? Подобное предположе ние нельзя отметать с порога и потому, что для античности характерно при стальное внимание к проблемам необходимости и случайности, возможно сти и действительности.
Одним из первых философов античности, рассмотревших проблему необходимого и случайного был Демокрит. Следует отметить, что реконструкция его позиции затруднена ввиду большого количества зачастую противоречи вых сведений поздних авторов, которые характеризуют точку зрения Демок рита по этой проблеме. Уже само по себе такое многообразие мнений говорит о том, что проблема случайного отнюдь не относилась к маргинальным проблемам античной философии.
Проблема необходимости и случайности занимает одно из центральных мест в философской системе Аристотеля. Философ предваряет изложение своей точки зрения обзором мнений предшественников и современников. «Некоторые сомневаются, существует случай или нет. Они утверждают, что ничего не происходит случайно, но что есть некоторая определенная причи на для всего того, относительно чего мы говорим, что оно произошло спон танно и случайно... Но и вот что удивительно: многое и происходит и суще ствует случайно и спонтанно; эти мудрецы хорошо знают, что каждое [из этих событий] можно свести к какой-нибудь причине возникновения, как го ворит древняя теория, отрицающая случай, и тем не менее часть [этих собы тий], по мнению всех людей, происходит случайно, а часть — неслучайно» (5). Примечательно, что здесь Аристотель считает своим долгом соотнести точ ку зрения философов со здравым смыслом — «мнением всех людей». И не случайно, что точка зрения самого Аристотеля в снятом виде включает в себя «философию здравого смысла». «Уничтожение случая, - пишет Аристотель, — влечет за собой нелепые последствия. Есть многое, что соверша ется не по необходимости, а случайно... Если в явлениях нет случая, но все су ществует и возникает из необходимости, тогда не пришлось бы ни совещать ся, ни действовать для того, чтобы, если поступить так, было одно, а если иначе, то не было этого» (6). Подобная взвешенная точка зрения, признающая как необходимость, так и случайность, вряд ли преобладала в античности. Большинство античных мыслителей скорее были бы солидарны со Стобеем, утверждавшим, что «люди измыслили идол [образ] случая, чтобы пользовать ся им как предлогом, прикрывающим их собственную нерассудитель ность» (7). Демокриту приписывается тождественное по смыслу высказывание: «Люди сотворили себе кумир из случая как прикрытие для присущего им не домыслия» (8).
В целом философско-методологические представления, так или иначе связанные с теоретико-вероятностными рассуждениями, их значимостью и статусом, можно разделить на три большие группы. Первая гpyппa пред ставлений — назовем их онтологическими — отвечает на вопросы о приро де случайного, его месте в структуре реальности, о взаимоотношении слу чайного и необходимого. Вторая группа представлений отвечает на вопросы теоретико-познавательного характера (гносеологические представления). (Возможно ли, и если да, то при каких условиях достижение абсолютно досто верного знания? Имеет ли ценность для науки и философии знание, не обла дающее абсолютной достоверностью? Каков статус так называемого вероят ного знания?) Третья группа представлений — методологические представленная — связаны с характеризацией самой теории вероятностей, выявлением ее места в системе научного знания, определением ее предмета, критериев истинности теоретико-вероятностных утверждений и т. п.
Можно показать, что отличия гносеологических представлений, господствовавших в античности, от возникших в рамках философии и науки Нового времени, позволяют понять причины как отсутствия науки о случайном в ан тичности (и средневековье), так и ее возникновения и бурного развития в ХVII—ХVIII вв.
Для античной философской традиции характерна принципиальная дихо томия между знанием (episteme) и мнением (doxa). При этом под знанием понималась система абсолютно достоверных (истинных) утверждений, доказанных по образцу евклидовой геометрии (с соблюдением требований евклидовой строгости — утверждения выводятся из очевидных аксиом). Достижение достоверного знания, описывающего ту или иную область материи или духа, объявлялось единственной целью науки. За рассуждениями же, которые не удовлетворяли критериям доказательства геометрического типа, не признавали статуса научности. Выводы, связанные с подобными рассуждениями, относили к разряду мнения. Согласно Аристотелю, «пред мет знания и знание отличаются от предмета мнения и от мнения, ибо зна ние направлено на общее и основывается на необходимых [положениях]; необходимое же есть то, что не может быть иначе. Многое же, хотя и истин но и существует, но может быть иным. Ясно поэтому, что о нем нет на уки» (9).
Очевидно, что в рамках такой гносеологической позиции невозможно представить себе возникновение науки о случайном, ибо оно не есть то, «что не может быть иначе». Это справедливо даже в том случае, если случайности придается статус объективного существования, что, как мы видели, имеет место у Аристотеля.
Именно Аристотель, как никто другой, убеждает нас в том, что в условиях господства античных гносеологических представлений о достоверности знания, становление теории вероятностей как науки было невозможным. Признание объективности случая не могло навести Аристотеля на мысль о необходимости науки о случайном потому, что он резко «противопоставил логику истины, свойственную теоретическому знанию, логике вероятного и правдоподобного, присущей случайным спорам и обыденной практике» (10). «О случайном или преходящем, — писал Стагирит, — нет знания через дока зательство... Если случайное... не есть ни то, что бывает большей частью, ни необходимое, то для него не может быть доказательства» (11).
Средневековая европейская философия, основывавшаяся на теологичес ки переработанной концепции Аристотеля, также не допускала возможности существования знания, не обладающего чертами абсолютной достоверности, завершенности, окончательности. Соответственно этому и в Средние века случайность, вероятность не стали объектом научного исследования, несмотря на то, что в трудах схоластов нашли место интересные философские рас суждения о природе случайного.
Любопытно, что в Средние века (начиная с X—XI вв.) в связи с распростране нием азартных игр, с использованием игральных костей в различных рукописях встречаются подсчеты количества различных исходов при их бросании. Более того, в 1494 г. в Венеции был издан труд Луки Пачоли (1445 — ок. 1514г.) — «Сумма знаний по арифметике, геометрии, отношениям и пропорциональ ности», в котором рассматриваются, в частности, задачи о справедливом раз деле ставки между двумя игроками, когда игра прервана до того, как один из играющих выиграл определенное число партий или очков согласно условиям игры. Однако в отличие от Паскаля и Ферма, рассматривавших подобные зада чи в XVII в., Пачоли пытался решать их без использования вероятностных сооб ражений (позднее предложенные им решения были признаны неверными) (12).
Таким образом, задачи, решение которых в XVII в. привело к возникнове нию теории вероятностей, в условиях отсутствия соответствующих гносеоло гических предпосылок не сыграли той роли, которую им предстояло сыграть позднее. Более того, гносеологический пласт философско-методологических представлений о случайном лишь препятствовал возникновению науки о слу чайном — теории вероятностей.
Но за счет чего был преодолен этот круг? Как показывает анализ, прежде всего вследствие вполне определенных социокультурных и соответствующих им метафизических метаморфоз.
«Новый Органон» Бэкона в качестве новой гносеологической позиции, противостоящей перипатетизму, не снимал противопоставления «знание — мнение» в аристотелевском смысле. Однако у Бэкона нет пропасти между episteme и doxa. Напротив, достижение абсолютно достоверного знания «форм» связывается Бэконом с постепенным преобразованием данных опы та из области мнения в сферу знания посредством разработанных им проце дур индуктивного метода. Исследовательская программа Бэкона стала про граммой созданного в 1660 г. Лондонского королевского общества.
Однако на пути реализации указанной программы члены Королевского общества столкнулись со значительными трудностями. Исследовательская практика навязывала убеждение в том, что максимально достижимый результат в опытном естествознании — это хорошо обоснованная гипотеза. В дальнейшем эта гипотеза может уточняться за счет привлечения новых фактов, степень ее обоснованности может повышаться, при этом, однако, никог да не достигая уровня достоверности в аристотелевском смысле. Из этой ситуации может быть два выхода: устремиться по пути, указанному скептиками; и воздержаться от научных суждений или переосмыслить само понятие достоверности. Члены Королевского общества выбирают второй путь.
Надо отметить, что на становление вероятностных аспектов гносеологии членов Королевского общества существенное влияние оказали философско-методологические воззрения Декарта (13). В свете принципиальных отличий декартовского рационализма от английского эмпиризма сам факт упомяну того влияния как нельзя лучше характеризует торжество вероятностной гно сеологии XVII — начала XVIII вв.
Согласно Декарту, абсолютно достоверное знание возможно лишь о том, что полностью подчинено сознанию. Это — знание, удовлетворяющее кри териям ясности и отчетливости для разума и ограниченное пределами мате матики (в частности, созданной Декартом аналитической геометрии) и метафизическими истинами типа cogito ergo sum. Физический мир, однако, недоступен для абсолютно достоверного познания. Физическое познание, убеж ден Декарт, — это сфера более или менее вероятных гипотез, следствия из которых должны согласовываться с опытом, хотя последнее не гарантирует их абсолютной истинности. Предельно достижимый уровень достоверного в сфе ре опытного естествознания — это уровень моральной достоверности, «дос таточный для того, чтобы управлять нашими нравами при равной достовер ности вещей, в которых мы обычно не сомневаемся, касательно правил нашего поведения, хотя и знаем, что в смысле абсолютном эти правила могут быть и неверны» (14). Любопытно, что Р. Бойль, находившийся под влиянием идей де картовского гипотетизма, полагал, что моральная достоверность достижима на пути согласования или соединения нескольких вероятных суждений (15).
Проблемы сравнения гипотез по их большей или меньшей вероятности, оценки вероятности гипотезы, полученной на основе соединения или согласования двух иди нескольких вероятных гипотез, численной оценки вероят ности морально достоверной гипотезы, поставленные в связи со становлени ем новой, вероятностной гносеологии, настоятельно требовали создания, с одной стороны, соответствующего математического аппарата для необходи мых вычислений, и, с другой стороны, построения основ новой, вероятност ной логики научного познания. Необходимость создания вероятностной ло гики вскоре была зафиксирована Лейбницем, также испытавшим существен ное влияние картезианства. «Я уже не раз говорил, — писал Лейбниц в «Но вых опытах о человеческом разумении...», — что нужен новый раздел логи ки, который занимался бы степенями вероятности, так как Аристотель в сво ей «Топике» ничего не дал по этому вопросу» (16).
Таким образом, для создания вероятностной логики оказалось необходи мым возникновение математической науки об «оценке случайностей», или исчисления (теории) вероятностей. При этом просто и ясно сформулированные и в то же время достаточно содержательные (в свете целей исчисления вероятностей) задачи, связанные с азартными играми, стали стартовыми про блемами для становления новой теории.
Отметим, что вероятностный круг был абсолютно невидим для античных математиков, они не осознавали в этом отношении какого-либо запрета или ограничения, препятствующего их научным исследованиям. Это справедли во потому, что данный круг носил исключительно внешний относительно математики характер. Социокультурные основания теоретического знания античности предопределили невозможность появления не только каких-либо вероятностных понятий, но и вообще каких-либо научных проблем, при ре шении которых такие понятия могли понадобиться. Другими словами, ни одному из античных математиков и в голову не могло прийти рассматривать какую-либо проблему, включающую какие-либо аспекты понятия «случай ного». Естественно, что преодоление этого круга произошло без каких-либо сверхусилий со стороны математиков. Более того, становление вероятностной гносеологии Нового времени, её укорененность в социокультурном кон тексте теоретического знания существенным образом подталкивало матема тиков к разработке необходимого математического аппарата для создания казавшейся крайне необходимой вероятностной логики.
Круг № 2: «Математические науки чужды движению, за исключением тех, которые относятся к астрономии»
За этими словами Стагирита стоит более фундаментальное представле ние, если угодно более фундаментальный метафизический круг, существен но ограничивавший античное математическое мышление. Речь идет о при знании фундаментальных различий физического и математического суще ствования, физического и математического мышления. Физические объекты могут изменяться (в частности, находиться в движении), оставаясь при этом самими собой, математические же объекты существуют в дискретном про странстве состояний, более точно, каждый из математических объектов тож дественен своему единственному и уникальному состоянию, которое в прин ципе не может быть подвержено какому-либо изменению. (17) Ясно, что ника кого представления о переменной величине любой природы (арифметичес кой или геометрической) в античности просто не могло возникнуть. Кроме того, несмотря на наличие собственно математических предпосылок вряд ли возможно было возникновение чего-то подобного теории геометрических преобразований (движений). Греческие математики знали о возможности доказательства теорем с помощью движения и наложения (вспомним хотя бы про теоремы, доказанные Фалесом). Движения и наложения использовались даже в «Началах», однако можно вполне определенно утверждать, что Евклид старается избегать этого там, где это только возможно. И хотя с совре менной точки зрения решение проблемы об удвоении куба Архитом Тарентским с помощью так называемых «механических приспособлений» (а на са мом деле с помощью представлений о непрерывном преобразовании гео метрических объектов) является вполне приемлемым, греческие математики в большинстве своем были на стороне Платона, высмеивавшего подобные доказательства, отказывая им в принадлежности к математике. Здесь следует отметить, что данный круг, по-видимому, не имел значения для доплатоновской (может быть, допифагорейской) математики. Но затем, несмотря на его чисто метафизическую природу, он стал осознаваться математиками как один из аспектов требований строгости математических рассуждений, от ступление от которых являлось крайне нежелательным. Таким образом, в отличие от вероятностного круга, круг № 2 оказался укорененным в матема тике, что обусловило значительные трудности в процессе его преодоления. В свете сказанного, на основании чисто умозрительных соображений можно встать на точку зрения тех историков науки, которые отрицают факт суще ствования так называемой «античной геометрической алгебры». Построение алгебры предполагает представление о возможности преобразования (транс ляции) одних величин в другие. Но круг № 2 отрицал такую возможность для математических величин. Появление же алгебры в рамках «арабской» мате матической традиции следует объяснять, по-видимому, принципиально иным метафизическим и социокультурным контекстом (данная проблема заслу живает специального и тщательного исследования).
Другой характерный пример. Со времени открытия Менехма античные математики понимали, что при пересечении конуса плоскостями под различными углами наклона последовательно появляются все конические сечения. Однако это не могло служить основанием для объединения данных кривых в один род. В своем трактате о конических сечениях Апполоний, стараясь да вать единые доказательства ряда общих свойств (разумеется далеко не всех) конических сечений, пользуется соображениями, связанными с так называе мым «методом площадей», а не с представлениями о преобразовании этих геометрических образов друг в друга.(3десь, разумеется стоит упомянуть и о третьем круге античной математики («Актуально бесконечного не суще ствует»), о которым будет идти речь ниже. Не случайно Харди, говоря о про ективной геометрии Дезарга, отмечал что она знаменует первое в истории введение актуальной бесконечности в математику. Ведь именно введение бесконечно удаленных точек и прямых позволили Дезаргу говорить о непре рывном изменении геометрических образов, возникающих при пересечении конуса плоскостью под разными углами наклона.)
Оборотной стороной данного метафизического круга был принципиаль но качественный характер физики Аристотеля. Поскольку «математические науки чужды движению», движение не может быть описано с использованием математики (небесные движения занимают особое, уникальное положе ние, поэтому для астрономии греческая наука делает исключение).
Преодоление данного круга (в европейской математической традиции) начинается в позднем средневековье с попыток сближения математического и физического существования. Я имею в виду прежде всего философско-математическую деятельность мыслителей Оксфордского и Парижского уни верситетов. Именно в Оксфорде Р. Гроссетест и Р. Бэкон впервые в Средние века настаивают на необходимости математизации знания, при этом суще ственно отходя от античной (пифагорейско-платоновской) традиции, выдвигая принципиальной важности идею количественной структуризации античных натурфилософских представлений о движении. В том же направлении разви ваются исследования и в Сорбонне. «Английские (Т. Брадвардин, Р. Суайнсхед и др.), а также французские (особенно Н. Орем) ученые XIV в., — отме чал А. П. Юшкевич, — предпринимают смелую попытку подвергнуть с по мощью инфинитезимальных идей квантификации квалитативную в своей основе натурфилософию перипатетиков. Прежде всего - и это оказалось особенно важным для дальнейшего — по новому осмысливаются те разделы «Физики» Аристотеля, в которых рассматриваются соотношения между си лой и движением, силой и сопротивлением; иными словами перестраивает ся перипатетическая механика; вслед за тем математическому рассмотре нию подвергаются любые виды изменения непрерывных, а частью и кусоч но-разрывных измеримых величин или, в терминологии перипатетиков, ин тенсификации — усиления и ремиссии — ослабления всякого рода «форм» или качеств — теплоты, цвета и т.д., но также доброты, греховности и т.п., пе ременная интенсивность которых зависит от их экстенсивности — распреде ления интенсивностей на конечных или бесконечных интервалах в простран стве либо времени. К категории форм относится и простейшее механическое движение, т.е. пространственное перемещение» (18). Таким образом, средневе ковые ученые преодолевают пропасть, лежащую между математикой и есте ствознанием, преодолевают круг, во власти которого находилось античное мышление. Математика в их представлении не описывает лишь мир вечных и неизменных чисел и геометрических форм, а также и небесных движений, она способна внести свой вклад в понимание закономерностей «форм» изме няющихся. Иными словами, в новом социокультурном контексте математика низвергается с пьедестала «вечности», уступая место теологии, толкующей о действительно вечном и абсолютном. От этого, с одной стороны, выигрывает естествознание, разумеется не сразу, но предпосылки математического естествознания складываются уже тогда, достаточно упомянуть, что в Оксфорде и Париже «формируется идея о переменности — течении (fluxus) величин, о мгновенных скорости и ускорении, для которых вводятся соответствующие, даже латинские, термины и в совершенно отвлеченном, не связанном с физикой плане, доказывается основной закон и другие свойства равномерно уско ренного движения» (19). И, с другой стороны, что для нас особенно важно, до пуск в математику представлений об изменении, движении способствует преодолению кругов невидимых, но властных, препятствовавших самой воз можности появления математики, имеющей дело с изменяющимися, перетекающими друг в друга переменными величинами. Преодоление метафи зических представлений, принципиально разводящих математическое и естественнонаучное (механическое и физическое) мышление, приводит в конце концов к становлению эмпиристской философии математики, ставшей краеугольным камнем нового метафизического круга, долгое время препят ствовавшего, в частности, появлению и признанию неевклидовых геометрий. В то же время радикальный отказ от эмпиристской философии математики привел к образованию очередного круга, в рамках которого современная математика находится и поныне.
Здесь следует указать на принципиальные различия в преодолении кру гов, доставшихся в наследство от античности (круги № 1 и № 2) и «эмпиристского» метафизического круга. В первых двух случаях именно изменения социокультурного и метафизического контекста (процесс, происходивший независимо от развития математики) освобождали математическое мышле ние от невидимых, но властных ограничений. Эмпиристские же запреты пре одолеваются изнутри самой математики, вследствие, в частности, построе ния интерпретаций непривычных неевклидовых образов на евклидовых объектах, а также понимания того, что новые математические образы оказы ваются чрезвычайно полезными при решении математических проблем, воз никших независимо от новых понятий и концепций. То же самое происходи ло (и происходит сейчас) когда антиэмпиристский круг местами рвался под натиском математического мышления, изобретательно, но незаконно пользо вавшегося физическими соображениями. Правда, как правило, строгие при верженцы математической нравственности восстанавливали статус кво (вспомним, например деятельность ученика Вейерштрасса Шварца, давшего строгое обоснование незаконнорожденному «принципу Дирихле», а также обобщенные функции Дирака и Хевисайда, получившие вскоре после свое го появления законный математический статус). Сам факт поиска таких оп равданий свидетельствует о прагматизме математиков нового и новейшего времени, принципиально чуждом математикам античности (достаточно сравнить осторожные высказывания Архимеда по поводу квадрирования криволинейных фигур и прагматизм ученых, отраженный в словах Даламбера по поводу нестрогих инфинитезимальных методов: «Идите вперед, уверенность придет потом!»). И даже в период полного преобладания антиэмпиристской философии математики, использование официально запретных способов рассуждения в математике не прекращается. Более того, в последние годы Э. Виттен с помощью интегралов Фейнмана совершенно удивительным образом находит новые инварианты для трехмерных многообразий и т.д. Безусловно, в будущем интегралы Фейнмана будут формализованы, но сейчас их использование требует огромной физической интуиции и опыта. Ю. И. Манин пишет по этому поводу: «В предыстории интегрального исчисления важное место занимает замечательный труд Кеплера «Стереометрия винных бочек». Интегралы, выражающие объемы тел вращения, полезных в народном хозяйстве, были вычислены в этой работе до появления общего определения интеграла. Математическая теория великолепных интегралов Фейнмана, которые физики пишут в огромных количествах, все еще не далеко ушла от стереометрии винных бочек. С точки зрения математики, каждое такое вычисление есть заодно определение того, что «вычисляется», либо построением текста в формальном языке, грамматика которого заранее не описана. В процессе таких вычислений физик спокойно делит или умножает на бесконечности (точнее, на нечто, что если бы оно было определено, оказалось бы бесконечным); суммирует бесконечные ряды бесконечностей, предполагая при этом, что 2—3 члена ряда дают хорошее приближение ко всему ряду, и вообще живет в царстве свободы, нарушая все «моральные нормы» (20). Нo можно ли в таком случае утверждать, что статус социокультурных и мета физических кругов, начиная со второй половины XIX века, радикально изме нился? Можно ли сказать, что они потеряли былую жесткость и непререкае мость в глазах математического сообщества? Для того, чтобы прояснить эту ситуацию обратимся к третьему из указанных в начале статьи кругов.
Аксиома Евдокса об «архимедовых» величинах («Говорят, что величины имеют отношение между собой, если они, взятые кратно, могут превзойти друг друга» (21)) предназначена не только для легализации отношений между несоизмеримыми отрезками, но также и для того, чтобы исключить из математики как актуально бесконечно малые, так и бесконечно большие величи ны. Таким образом, в лице Евдокса, греческая математика сознательно огра ничивает множество объектов, оперирование с которыми является допусти мым. Другими словами, данный круг возникает изнутри математики в качестве средства, позволявшего застраховаться от парадоксов бесконечного, (возможность появления которых для греческих математиков стала очевидной в свете апорий Зенона Элейского. Одними из наиболее интересных объектов, оставшихся за границами этого круга, были роговидные углы. По скольку роговидные углы (например, угол, образованный окружностью и касательной к ней) меньше любого, сколь угодно малого прямолинейного угла, постольку они оказались под запретом, несмотря на то, что греческим математикам были известны ряд их свойств. Особенность данного круга как раз и состоит в его совершенно отчетливой осознанности математиками-профессионалами, что вело к использованию «запретных объектов» и свя занных с ними рассуждений в качестве эвристического средства получения новых результатов. Подчеркнем, что истинность полученных «незаконным» путем результатов не подвергалась сомнению. Доказательство в этих случаях было равносильно соблюдению необходимых формальностей, поскольку оперирование (не только в качестве эвристического средства, но и в контек сте обоснования) актуально бесконечно малыми (неделимыми), впервые имевшее место в «любительских», с точки зрения математика-профессиона ла, работах Демокрита считалось признаком дурного тона. При этом статус инфинитезимальных рассуждений оценивался выше тех, которые основыва лись на «механических» аналогиях, поскольку выход за пределы круга № 3 не выводил за пределы математики (в отличие от выхода за пределы круга № 2), хотя мог признаваться допустимым лишь в контексте открытия новых фактов, но никак не в контексте их обоснования. Заметим, что круг № 3, сформиро вавшийся, как уже было отмечено изнутри математики (в отличие от круга № 2, имевшего метафизическую природу и круга № 1, сформированного со четанием метафизических и социокультурных предпосылок (?!)), прекрасно вписывался в социокультурный контекст развития античной математики и, разумеется подпитывался этим контекстом. Это очень хорошо известно, и наиболее ярко, хотя и далеко не всегда корректно об этом писал О. Шпенглер. Однако изменение социокультурного контекста отнюдь не вело автоматичес ки к преодолению этого круга в развитии математики (как это было с «веро ятностным» кругом). «Я протестую..., — писал Гаусс Шумахеру, — против пользования бесконечною величиною как завершенною, что в математике никогда не позволено. Бесконечность есть лишь некий fa on de parler [способ выражаться], причем в действительности имеют в виду границы, к которым определенные отношения подходят как угодно близко, в то время как другим запрещается расти без ограничения» (22). О глубокой укорененности в матема тике инфинитезимального круга (особенно той его части, которая относится к актуально бесконечно малым), существовавшего в течение достаточно долгого периода времени практически независимо от изменений, происходив ших в социокультурном и метафизическом контексте развития математики, очень красноречиво свидетельствуют колебания Галилея, которыми он делится как в своих опубликованных работах, так и в письмах к своему знаменито му ученику Кавальери. Как считает П. П. Гайденко, и с ней, по-видимому; следует согласиться, Галилей фактически пользуется представлением об акту ально бесконечно малых в своей механике. Так, говоря о причине сопротив ляемости некоторых материалов разрыву, Галилей упоминает о мельчайших пустотах, замечая, что «хотя эти пустоты имеют ничтожную величину и, сле довательно, сопротивление каждой из них легко превозмогаемо, но неисчер паемость их количества неисчислимо увеличивает их сопротивляемость» (23). Как не без оснований считает П. П. Гайденко, «неисчислимость количества ничтожно малых пустот — это в сущности бесконечное множество беско нечно малых, можно сказать пустот, а можно сказать, сил сопротивления. Потом окажется, что этот метод суммирования бесконечно малых — неважно чего: моментов времени, частей пространства, моментов движения и т. д. — является универсальным и необычайно плодотворным инструментом мыш ления» (24). Говоря о новых возможностях, открывающихся перед мышлением, принимающем понятие актуально бесконечно малого (он не просто говорит о возможностях применения этого понятия, но реализует эти возможности, вводя, например, понятие о мгновенной скорости), Галилей осознает пара доксальность природы неделимых. Это приводит его к колебаниям относи тельно вопроса о возможности допущения актуально бесконечно малых (не делимых) в математику. И хотя в «Беседах о математических доказательствах» Галилей не отрицает этой возможности, позднее, когда Кавальери создает свою геометрию неделимых, он высказывается против представлений своего ученика. «Хотя письмо Галилея к Кавальери и не сохранилось, но по некоторым высказываниям самого Галилея и по ответу Кавальери на письмо Гали лея можно судить о том, что именно понятие суммы бесконечно малых Га лилей считал теоретически несостоятельным» (25). И действительно, признавая, что в целом философия науки Галилея бесконечно далека от представлений Аристотеля, Галилей, подобно Стагириту, настаивает на необходимости для математиков оставаться в рамках инфинитезимального круга. «Бесконеч ность, — писал Галилей в одной из своих работ, — должна быть вовсе исклю чена из математических рассуждений, так как при переходе к бесконечности количественное изменение переходит в качественное, подобно тому, как если мы будем самой тонкой пилой... размельчать тело, то как бы мелки ни были опилки... каждая частица имеет известную величину, но при бесконечном размельчении получится уже не порошок, а жидкость, нечто качественно новое, причем отдельные частицы вовсе исчезнут» (26). Одним из доводов Гали лея против признания актуально бесконечно малых в математике было его убеждение в том, что различные бесконечные множества не могут находить ся между собой в каком-либо из отношений (равенства, больше, меньше), ибо это приводит к неустранимым парадоксам. Но для Кавальери, стоящего перед проблемами нахождения площадей и объемов, эта парадоксальность неделимых постулируется и закрепляется в качестве основополагающего положения. «Я решился признать тот факт, — отвечал на письмо Галилея Кавальери, — что одно бесконечное может быть больше другого, за проч нейшее основание геометрии» (27). Таким образом, пользуясь парадоксаль ным представлением об актуально бесконечно малом в механике, Галилей не соглашался с подобным прагматическим компромиссом в математичес кой концепции Кавальери. Даже Кантор (в конце XIX в. (!)) подчеркивал, что к идее введения актуальной бесконечности в математику он пришел почти против своей воли, вступая в конфликт с ценными для него традициями. Изучая свойства тригонометрических рядов, он обнаружил, что понятия предельной точки и иррациональных чисел требуют введения и использования совершенно новых и непривычных представлений—так он пришел к обще му понятию и классификации бесконечных множеств (вновь «прагматиче ские» соображения являются существенным фактором преодоления ограни чений!). Именно укорененностью «инфинитезимального» круга в самой математике (относительно независимо от социокультурного контекста) мож но объяснить не только длительный период игнорирования идей проектив ной геометрии (от пионерских работ Дезарга и Паскаля в XVII в. до появив шихся лишь в XIX веке работ Понселе), но и насколько чрезвычайно ярост ную, настолько и ничем логически не обоснованную атаку самого Кантора на ученых, пытавшихся ввести в математику актуально бесконечно малые величины. В письме Виванти от 13 декабря 1893 г. он называет их «инфинитезимальными бациллами холеры в математике», бумажными величинами, не обладающими «никаким другим существованием, кроме как на бумаге, ис писанной их открывателями и приверженцами» (28), добавляя, что место этих величин — в корзине для бумаг. Более того, основываясь на теории порядко вых чисел, Кантор пытался доказать, что актуально бесконечно малые не могут существовать в принципе. Об абсолютной нелогичности этой деятель ности Кантора свидетельствуют следующие слова Цермело: «Несуществова ние «актуально бесконечно малых величин» недоказуемо в той же мере, как и несуществование канторовских трансфинитов, и в обоих случаях ошибоч ное умозаключение одно и то же; оно состоит в том, что новым величинам приписываются некоторые, не могущие быть присущими им, свойства обыч ных «конечных величин» (29). Любопытно, что сам Кантор задолго до Цермело, используя практически те же аргументы убедительно показывал тщетность попыток доказательства невозможности существования актуально бесконеч ных чисел, не замечая, что эти же доводы показывают тщетность его соб ственных усилий относительно доказательства абсурдности актуально бесконечно малых. «Все так называемые доказательства абсурдности актуально бесконечных чисел ошибочны, — писал Кантор, — как может быть показано в каждом отдельном случае и вытекает так же из общих соображений. Причина заключается главным образом в том, что в этих доказательствах сто ящим под вопросом числам заранее приписываются, а точнее — навязыва ются все свойства конечных чисел, в то время как, наоборот, бесконечные числа, если они вообще мыслимы в какой-либо форме, вследствие их проти воположности конечным числам должны образовать совершенно новый род чисел, строение которого целиком зависит от природы вещей и является пред метом исследования, но не нашего произвола или нашей предубежденнос ти» (30). К чести Кантора следует отметить, что позднее (о чем свидетельствует сравнительно недавно обнаруженное письмо к Лассвицу) он «отказался от категоричности своего прежнего мнения и допустил возможность того, что в дальнейшем исследователям удастся дать строгое определение бесконечно малых величин» (31). Однако вряд ли обосновано предположение, что это мне ние Кантора, будь оно высказано в одной из его печатных работ, нашло бы поддержку, достаточную для признания концепций, появившихся в конце XIX века, о которых в первой четверти XX века известный историк математики Г. Вилейтнер счел необходимым заметить следующее: «И действительно, Веронезе (G. Veronese) в 1894 г. ...построил вполне последовательную систему бесконечно малых величин различных порядков. Еще раньше этого (Гальфен, Halphen, 1877), бесконечно малые различных порядков элементы кривой с успехом применялись в теории особых точек алгебраических кривых. Однако дух времени не благоприятствовал, да и сейчас не благоприятствует такого рода исследованиям (выделено мною. - А. Г.)» (32). Пытаясь объяснить факт непризнания упомянутых концепций, Вилейтнер отмечает: «Причина лежит в том, что математика, начиная с Вейерштрасса (1860 г.) стала на путь все усиливавшейся «арифметизации». Иными словами, она отказывается от геометрической наглядности и во имя полной строгости заковывает себя в логически безупречную арифметическую форму» (33). Несомненно, факт арифметизации анализа, а также стремление ученых оставаться в рамках строгости, заданной эталонными работами Вейерштрасса, трудно переоце нить. Однако нельзя не отметить, что введение в математику актуально бесконечно малых сдерживал тот самый круг № 3 («инфинитезимальный круг»), который был настолько глубоко укоренен в самой математике, что даже из менение социокультурного и метафизического контекстов не означало его автоматического преодоления (как это было с «вероятностным кругом», имевшим внешние по отношению к математике характер и происхождение). Как уже отмечалось, его частичное преодоление в работах Кантора было обусловлено прежде всего прагматическими соображениями (настоятельной необходимостью введения общего понятия и классификации бесконечных множеств в связи с его исследованиями тригонометрических рядов). Заметим здесь же, что у Кантора были схоластические предшественники, рассуждавшие о равенстве или неравенстве бесконечных последовательностей, причем равенство фактически определялось через взаимно однозначное соответ ствие. При этом все они придерживались представления о числе как совокуп ности единиц. Именно это представление подпитывало формирование инфинитезимального круга в античности, и средневековые ученые, естественно, разделяли его. Но определяющим для них было убеждение в самопротиворе чивости актуальной бесконечности. Поэтому опыт установления взаимно однозначных соответствий, выявление способности бесконечных множеств стоять во взаимно однозначном соответствии со своим подмножеством ис пользовалось средневековыми мыслителями в качестве еще одного подтверж дения этого фундаментального убеждения. В частности, Дунс Скот отмечал, что если рассматривать отрезок как актуально бесконечную совокупность его составляющих точек, то придется согласиться с равенством таких, например, отрезков, как сторона и диагональ квадрата, что, по его мнению, абсурдно. Подобные примеры приводит в своем трактате о континууме и Брадвардин, отмечая, что представление о континууме, составленном из неделимых (т. е. из точек) приводит к неразрешимым парадоксам. В отличие от своих схоласти ческих предшественников, перед Кантором стояли конкретные математичес кие проблемы, необходимость решения которых толкала его к выходу за пре делы привычных представлений. Поэтому он использует известные схоластам конструкции не для демонстрации самопротиворечивости актуально бесконечного, а для констатации необходимых ему свойств актуально бесконечных множеств. Последующие метафизические и методологические обоснования законности операций с актуально бесконечными объектами выглядят у Канто ра скорее лишь как ad hoc аргументы, что косвенно подтверждается упомяну тым фактом резкого неприятия создателем наивной теории множеств актуально бесконечно малых величин. И лишь с появлением нестандартного ана лиза А. Робинсона (60-е годы XX века) начался процесс окончательного пре одоления инфинитезимального круга, связанный с достижением полной уве ренности в том, что средствами нестандартного анализа можно получить все теоремы, справедливые в рамках классического анализа, нисколько не нару шая при этом общепринятых норм строгости математических доказательств. Как известно, А. Робинсон, используя достижения современной матема тической логики и в значительной мере созданной им самим теории моделей, построил свой нестандартный анализ на основе введения системы гипердей ствительных чисел, включающих в себя «стандартные» действительные числа и актуально бесконечно малые, которые определяются у него в духе Лейбница. А именно: положительное бесконечно малое есть число, которое меньше любого действительного числа, но больше нуля, а отрицательное бесконечно малое — это число, большее любого отрицательного действительного числа, но меньшее нуля. В то время как математики XVII—Х1Х вв. считали, что по скольку актуально бесконечно малые не удовлетворяют аксиоме Архимеда и, следовательно, не могут быть приняты как полноправные математические объекты, Робинсон сознательно поставил себя вне рамок инфинитезимального круга, обретя, пользуясь метафорой Гротендика, первоначальную невин ность, наделившую его реформаторской властью. При этом Робинсон исхо дил из того, что хотя, в отличие от эпсилон-дельта формализма, интуитивные представления Лейбница, братьев Бернулли и Эйлера не получили в свое вре мя строгого обоснования, полученные ими на основе этих представлений результаты выдержали испытание временем. И не случайно, что сам Робин сон рассматривал свою деятельность не только как продолжающую традиции инфинитезималистов XVII—XIX вв., но даже как оправдание и объяснение их представлений и методов. Важно и то, что непосредственно в процессе разра ботки нестандартного анализа Робинсон не преследовал каких либо прагмати ческих целей, т.е. не имел в виду необходимость решения тех или иных конк ретных математических проблем. Более того, создается впечатление, что рабо тая над созданием теории моделей, Робинсон уже имел программу преодоле ния инфинитезимального круга, возникшую во многом в процессе тщатель ного изучения истории классического анализа (первые самостоятельные на учные результаты были получены Робинсоном в области гидро- и аэродина мики) (34). Несомненно, что преодоление данного круга облегчалось для Робин сона тем, что его укорененность в математике не подпитывалась социокуль турным или метафизическим контекстами развития математики. Более того, формалистская философия математики, на позиции которой Робинсон пере шел (будучи ранее платоником) в процессе разработки нестандартного анали за стимулирует подобные исследования. Тем не менее, наличие жесткой критики нестандартного анализа как «формального ухищрения» и «унижения смысла» (35). намекает на существование других кругов, невидимых, но властных, которые ограничивают горизонт современной математики, подобно тому, как это происходило практически на всех предшествующих этапах ее развития (36).
Примечания
1 См.: ГротендикА. Урожаи и посевы. Размышления о прошлом матема тика. М., 1995. Выпуск 0. С. 29.
2 См.: Там же. С. 22.
3 Цит. по: Майстров Л. Е. Развитие понятие вероятности. М., 1980. С. 56.
4 См.: Юшкевич А. П. Биография Я. Бернулли // Бернулли Я. О законе больших чисел. М., 1986. С. 157.
5 Лурье С. Я. Демокрит. Л., 1970. С. 213—214.
6 Материалисты Древней Греции / Под общ. ред. М. А. Дынника. М., 1955. С. 70.
7 Там же. С. 69.
8 Лурье С Я. Демокрит. С. 216.
9 Аристотель. Соч.: В 4 т. М., 1978. Т. 2. С. 312.
10 Вернан Ж.-П. Происхождение древнегреческой мысли. М., 1988. С. 69.
11. Аристотель. Соч.: В 4 т. Т. 2. С. 308—309.
12 См.: Майстров Л, Е. Развитие понятия вероятности. С. 28—29.
13 См: Lauden L. The clock methaphor and probabilism: The impact of Decartes in English methodological thought. 1650—1665 // Annals of science. N. Y. L., 1966. Vol. 22. P. 93—104.
14. Декарт Р. Избранные произведения. М., 1950. С. 541.
15 Подробнее о становлении вероятностной гносеологии Нового времени см. обзор Л. М. Косаревой (Вероятностная концепция естественнонаучного знания в гносеологии XVII века // Современные исследования по истории и методологии науки. М., 1987).
16. Лейбниц Г. В. Соч.: В 4 т. М., 1983. Т. 2. С. 479.
17 Я полагаю, что это представление разделяли работающие математики античности, которые вряд ли вдавались в более изощренные метафизические различения того же Аристотеля или Платона.
18 Юшкевич А. П. Математика и ее история в ретроспективе // Закономер ности развития современной математики: методологические аспекты. М., 1987. С. 61—62.
19 Там же. 6. 62.
20 Манин Ю. И. Математика и физика. М., 1980. С. 59.
21 Евклид. Начала. М.— Л., 1948. С. 142.
22 Цит. по: Пуркерт В., Ильгаудс Х. И. Георг Кантор. Харьков, 1991. С. 31.
23 Галилей. Избранные труды: В 2 т. М., 1964. Т. 2. С. 131.
22 Гайденко П. П. Эволюция понятия науки (XVII—XVIII вв.) М., 1980. С. 73.
25 Там же. С. 135.
26 Цит. по: Кавалъери Б. Геометрия, изложенная новым способом при помощи неделимых непрерывного. М.—Л., 1940. С- 37.
27 Цит. по: Там же. С. 46.
28 Цит. по: Там же. С. 67.
29 Цит. по: Там же. С. 67—68.
30 Цит. по: Там же. С. 67.
31 Пуркерт В., Йлъгаудс X. И. Георг Кантор. С. 68.
32 Вилейтнер Г. Как рождалась современная математика. М.—Л., 1927. С. 109.
33 Там же. С. 109— 110.
34 Е. А. Зайцев заметил, что потребность в строгом обосновании операций с актуально бесконечно малыми величинами достаточно естественна для ученого, имеющего богатый опыт исследований в области гидро- и аэроди намики.
35 Bishop Erret. The crisis in contemporary mathematics // Historia mathe-matica. 1975. № 2. P. 513—514. ,
36 В настоящей статье метафора «круга» использовалась для обоснования «ограничительного» характера социокультурного и метафизического контек стов развития математики. Разумеется, значение этого контекста не сводится к налагаемым им ограничениям. Однако для характеризации его конструк тивной роли, возможно, лучше использовать куновское понятие «парадиг мы». Впрочем, сам Т. Кун, насколько мне известно, не применял это понятие для описания развития математики.
КОММЕНТАРИИ
В. Я. Перминов
А. А Григорян, на мой взгляд, дал нам пример правильного подхода к анализу социокультурного влияния на развитие науки. Когда пытаются доказать, что аксиомы логики или арифметики зависят от типа культуры, то это, конеч но, чепуха и дискредитация самой идеи социокультурного влияния, ибо ни чего подобного быть не может. А. А. Григорян выявляет те стороны научно го прогресса, которые действительно зависят от социокультурного контекста. Мы видим, что появление новых научных понятий и теорий связано с мировоззренческим фоном и существенно ограничивается им. Такого рода факты важны для философии науки, и против такого рода социокультурного анали за науки нельзя возражать.
Но автор, к сожалению, прекращает анализ там, где он становится дей ствительно интересным в философском плане. Изложение в своей основе сводится к анализу фактов. Но мы, очевидно, нуждаемся в их объяснении. Как возникают эти «метафизические» круги и как они разрушаются? В ста тье есть только отдельные намеки на объяснение, но серьезного теоретичес кого подхода нет. Идут ли эти метафизические ограничения от самой науки (можно допустить, к примеру, что древние греки ограничили себя идеей ко нечной величины просто потому, что не дошли еще до определений и алго ритмов, связанных с бесконечными множествами), или они идут от фило софских представлений о мире, господствующих в данную эпоху, или они порождаются непосредственно некоторыми сторонами общественной прак тики. В этом важно разобраться, так как главная задача философии состоит не в констатации исторических фактов, а в их объяснении. Это было бы инте ресным и потому, что здесь, как мне кажется, намечается путь к исследова нию реального механизма взаимодействия метафизики и науки в истории науки, о котором мы имеем до сих пор довольно смутное представление.
Вопросы для понимания
М.Ю. Веркутис
РЕФЛЕКСИВНАЯ СИММЕТРИЯ КАК МЕХАНИЗМ НОВАЦИЙ В НАУКЕ В УСЛОВИЯХ НЕВЕДЕНИЯ
Науковедение 2002, №3, стр. 136-146.
В литературе, посвящённой жизни и творчеству Николая Ивановича Лобачевского, нередко можно встретить характеристики его как “Коперника”, или как “Колумба” геометрии (1, с. 111). Выдающийся знаток научного наследия Лобачевского В.Ф. Каган даже вполне аргументировано доказывал, что Лобачевский для геометрии – это больше, чем Коперник для астрономии (2, с. 58 - 59). Как бы то ни было, но первооткрыватели неевклидовой геометрии, - Гаусс, Бойяи и Лобачевский - отлично сознавали, что они столкнулись в своём творчестве с целым новым миром, к которому никто до них не проложил путей. “Из ничего я создал целый мир”, - писал Янош Бойяи своему отцу. Но как создаются, открываются новые миры в математике? Можно ли здесь говорить о некоторой ситуационной логике, логике открытия в смысле Пойя, Поппера и Лакатоса?
Для ответа на этот вопрос обратимся к различению незнания и неведения, которое проводит М.А. Розов (3, с. 116 – 118). Незнание – это движение учёного в рамках проблемного поля, заданного прошлыми достижениями, когда переход к новому знанию можно представить как ответ на вопросы, характер которых определяется тем или иным уровнем развития данной науки. Вопросы фиксируют область незнания. Ученый может сказать: “Я не знаю того-то”. То, чего не знает в данном случае ученый – это какие-то вполне определенные объекты и их характеристики, например, может быть не известен химический состав какого-либо вещества или расстояние между какими-то городами. Существенно, что фиксируя вопросы, на которые неизвестны ответы, можно построить достаточно развернутую программу, нацеленную на получение и фиксацию нового знания, можно выявить некоторую перспективу развития данной науки в той ее части, которая зависит от уже накопленных знаний (3, с.117). О вопросах в сфере незнания можно получить некоторое представление, если вспомнить, что говорит о типах экспериментов, которые обычно ставятся в рамках нормальной науки, Т. Кун. Он называет целые группы задач, например, определение положения звезд и звездных величин, периодов затмения двойных звезд и планет в астрономии; вычисление удельных весов и сжимаемостей материалов, длин волн и спектральных интенсивностей, электропроводностей и контактных потенциалов в физике и т.п. (4, с. 47). М.А. Розов подчеркивает, что “незнание – это область нашего целеполагания, область планирования нашей познавательной деятельности. Строго говоря, - это явная или неявная традиция, использующая уже накопленные знания в функции образцов” (3, с. 117)
Совершенно иначе обстоит дело с неведением. Область неведения нельзя зафиксировать вопросами, опирающимися на те или иные научные положения. Она находится за пределами существующего уровня развития науки и определяемого этим уровнем возможного горизонта научной деятельности. К этому случаю относится, например, открытие сумчатых в Австралии, которое никак не предопределялось уровнем развития биологии того времени. Оно было безотносительно к любым из положений биологической науки, к её понятийному аппарату. Но как можно ввести в математику понятие, не имеющее отношения ни к каким другим её понятиям? Чтобы иметь математическое содержание, это понятие должно быть референциально связано с миром математических объектов, с математической традицией. И тем не менее в математике, совершая неожиданные для себя открытия, ученые тоже сталкиваются с областью неведения, а не только с областью незнания. В свою очередь область неведения как-то опосредованно связана с имеющимися традициями. Действиям ученых в ситуации неведения и посвящена статья.
Известный отечественный философ и методолог науки Б.С. Грязнов для обозначения неожиданных открытий применял греческое понятие – поризм (см. 4, с.114 - 115). Так в античной науке называли утверждение, которое получалось как непредвиденное следствие, как промежуточный результат. Грязнов приводит пример из математики, а именно – пример отрицательных и комплексных чисел, которые получаются в системе математического знания, как он пишет, чисто логическим путём, но открыты были как промежуточные результаты решения некоторого класса математических задач. О типичности для математики таких открытий, по существу, писал американский историк науки М. Кроу, когда формулировал свои десять “законов” развития математики. Его первый “закон” гласил: новые математические понятия часто возникают вопреки намерениям их творцов (6, p.162). Действительно, хотя в математике и осуществляется всё целенаправленно, в рамках конкретных программ, но не всегда именно то, на что эти программы направлены. Реализация программы вполне может натолкнуться на побочный результат, представляющий самостоятельный интерес. Классический пример этого – так впечатлившее древних греков открытие иррациональных величин. Сознательный поиск иррациональных величин был для греков психологически невозможен. Особенно это касается пифагорейской математики с её культом числа, числовых отношений. Но на иррациональности, реализуя не относящиеся напрямую к этому программы, натолкнулись именно пифагорейцы1. Отыграв назад, однако, мы, пожалуй, смогли бы сформулировать “за греков” не выходящую за рамки их науки программу поиска отрезков геометрических фигур, невыразимых рациональными отношениями. В математическом материале, с которым имели дело древние греки, имелись все предпосылки для формулировки программы такого поиска. Не было лишь соответствующей установки сознания. Но, чтобы сформулировать программу поиска сумчатых, мы не смогли бы отыграть назад ни к каким идеям биологической науки.
Основная идея статьи – в случае с открытием неевклидовой геометрии Бойяи и Лобачевским мы имеем дело со сферой неведения, а средство проникновения в эту сферу в данном случае – рефлексивная симметрия (3, с. 165 - 171). М.А. Розов отмечает, что невозможен целенаправленный поиск неведомых явлений; неведение открывается только побочным образом. На вопрос – что должен делать ученый для обнаружения новых видов животных или каких-то новых, неведомых явлений – М.А. Розов отвечает – продолжать делать то, что он делал и до этого, т.е. работать в рамках уже существующих программ. Именно это последнее и происходит, как мы увидим дальше, в случае открытия неевклидовой геометрии – Лобачевский (и Бойяи) сначала решал традиционную для геометрии задачу – доказательство пятого постулата Евклида. Однако затем он понял, что решил совсем другую задачу – обнаружил “новый мир” - геометрию, совсем непохожую на евклидову. Интрига здесь заключается в том, что и Лобачевский, и Бойяи включились в решение давно поставленной задачи, и шли при этом тем же самым путем, каким шли и их предшественники. Вопрос состоит в том, что же привело их к открытию нового мира? Чего не сделали их предшественники, многие из которых реально доказали ряд теорем новой геометрии, но не считаются (и справедливо) ее творцами?
Рассмотрим детально, насколько это возможно, что позволило Лобачевскому и Бойяи прийти к созданию гиперболической геометрии. Наиболее доступным для анализа является, конечно, творчество Николая Ивановича Лобачевского. Но начинать такое исследование надо с теории параллельных линий Евклида. Предыстория неевклидовой геометрии широко известна. Мы изложим её кратко, опираясь, главным образом, на работы В.Ф. Кагана (2; 7).
В первой книге начал Евклидом устанавливается четыре аксиомы и пять постулатов. Аксиомы Евклид называет “общими достояниями ума”. Это истины, которые признаются всяким человеком, которыми неизбежно руководствуются не только в научном, но и в любом другом рассуждении (к примеру, вторая евклидова аксиома утверждает, что если к равным прибавить равные, то получатся равные). Напротив, постулаты – это положения специальной дисциплины, которые не обязательно должны восприниматься безоговорочно, но которые нужно всё равно принять, подчиняясь внешнему авторитету, чтобы уже дальнейшие рассуждения не вызывали никаких возражений (7, с.43). Так, своим первым постулатом Евклид требует признания того, что от точки к точке всегда можно провести прямую линию. Столь же просто формулируются и воспринимаются следующие три постулата Евклида. Резко контрастирует с ними лишь последний, пятый постулат. Он не так прост в восприятии, довольно тяжеловесно выражен и, самое главное, многим не казался настолько очевидным, чтобы его принятие без доказательства было оправдано. Приводим его дословную формулировку: всякий раз, как прямая, пересекая две прямые, образует с ними внутренние односторонние углы, составляющие (вместе) меньше двух прямых, эти прямые при неограниченном продолжении пересекаются с той стороны, с которой эти углы составляют меньше двух прямых. Евклидом строго доказываются гораздо более простые предложения. Особая роль пятого постулата заключалась не только в его относительной сложности и неочевидности, но и в том, какое место он занимал в общей системе евклидовой геометрии. Тогда как первые четыре постулата Евклид начинает применять практически с первых предложений своей геометрии, то необходимость в постулате о параллельных возникает у него довольно поздно, лишь при доказательстве 29-го предложения первой книги. Таким образом, первая книга евклидовых “Начал” распадается на две части: первые 28 её предложений не зависят от постулата о параллельных, последующие же предложения (29-48) либо доказываются непосредственно при помощи пятого постулата, либо при помощи тех положений, которые были доказаны с использованием этого постулата раньше. Более того, таким образом можно разбить на две части весь геометрический материал “Начал”. Значительная часть его совершенно не зависит от постулата о параллельных. Совокупность относящихся сюда предложений принято называть абсолютной геометрией. Но большая часть предложений геометрии на этот постулат опирается. Их совокупность принято называть собственно евклидовой геометрией. Поэтому строгое доказательство постулата о параллельных, сведение его к другим постулатам и аксиомам позволило бы резко повысить “доказательную силу” всей геометрической системы Евклида. Теория параллельных была в центре внимания греческих геометров ещё до Евклида. Рассуждения о параллельных линиях можно найти уже в “Аналитике” Аристотеля. Но так как попытки безупречного обоснования этой теории успеха не имели, Евклид, как пишет об этом В.Ф. Каган (2, с.111 - 112), разрубил гордиев узел, связанный с пятым постулатом, и принял содержащееся в этом постулате утверждение без доказательства. Но многочисленные комментаторы евклидовых “Начал” очень рано возродили попытки доказать постулат о параллельных линиях.
Многочисленные попытки доказательства пятого постулата не прекращались со времён античности вплоть до первой четверти 19-го века. Выдающиеся геометры и простые любители геометрии сломали на этом поприще не мало копий. Но общий результат был плачевен. Чаще всего попытки доказать постулат страдали одним очень серьёзным недостатком: явно или неявно они опирались на допущения, эквивалентные доказываемому постулату. В подобную ошибку, к примеру, впадали в античности - неоплатоник Прокл, в средние века - азербайджанский математик Насир-Эддин, в новое время - знаменитый французский геометр Лежандр. Наибольший интерес, с точки зрения предыстории неевклидовой геометрии, представляют попытки доказательства пятого постулата, предпринятые в первой половине 18-го столетия иезуитом Саккери в Италии, а во второй половине того же столетия - философом и математиком Ламбертом в Германии.
Геометрия Лобачевского-Бойяи или гиперболическая геометрия - это теоретическая система, которая образована на основе геометрии Евклида. При этом Лобачевский, как и Бойяи, принимал всю аксиоматику Евклида за исключением пятого постулата - постулата о параллельных; он также принимал те предложения евклидовой геометрии, в доказательстве которых не было необходимости использовать этот постулат, т.е. всю абсолютную геометрию. Если мы хотим, исходя из этих условий, построить новую геометрическую систему, то первое, что необходимо - это выяснить логические следствия отказа от постулата о параллельных. Известно, что одной из эквивалентных формулировок постулата о параллельных является утверждение о том, что сумма углов в треугольнике равна двум прямым (гипотеза прямого угла). После отказа от постулата остаются две возможности - сумма углов в треугольнике больше двух прямых (гипотеза тупого угла) и сумма углов в треугольнике меньше двух прямых (гипотеза острого угла). Гипотеза тупого угла была легко опровергнута уже до Лобачевского. Значит, ему было необходимо принять гипотезу острого угла. Что он и сделал. Но это логическая реконструкция первых шагов создания неевклидовой геометрии. Она предполагает вполне определённое намерение построить новую геометрическую систему. Фактически же эти шаги впервые были предприняты совсем с другой целью, не с целью составить конкуренцию Евклиду, а наоборот, с целью более строгого обоснования его геометрической системы. Начиная с Саккери и Ламберта, основным способом, которым пытались освободить геометрию от постулата о параллельных, было доказательство от противного: исходили из допущения, противоположного постулату (а именно - из гипотезы острого угла) и стремились прийти к противоречию с уже установленными предложениями, тем самым доказывая постулат. Но ни историки математики, ни специалисты по философии математики не исследовали, что именно привело Лобачевского и Бойяи к открытию нового мира. Так, известный специалист в области философии математики А.Г. Барабашев пишет: "В литературе по философским проблемам математики, затрагивающей вопрос создания неевклидовой гиперболической геометрии (геометрии Лобачевского), глубоко укоренилась точка зрения о том, что эта геометрическая конструкция возникла в результате … простого удлинения доказательных рассуждений, строящихся с заменой постулата о единственности параллельных на постулат о множественности параллельных (т.е. на гипотезу острого угла - М.В.). Такие рассуждения имели своей целью доказать справедливость постулата о единственности параллельных от противного: показать, что обратное утверждение ложно, ибо приводит к противоречию. Подобные доказательства начали строить ещё комментаторы Евклида; рассуждения усложнялись, становились всё более хитроумными, и, наконец, Лобачевский, Бойяи и Гаусс поняли, что диковинная конструкция внутренне непротиворечива (8, с.77 - 78). Итак, в этих словах А.Г. Барабашева зафиксировано широко распространенное объяснение появления новой геометрической системы - она возникла в результате "простого удлинения доказательных рассуждений" от противного!
Покажем, что дело не в “простом удлинении” рассуждений, а в ином их осознании – таком, которое не было осуществлено предшественниками Лобачевского – Саккери, Ламбертом и другими, доказавшими много теорем неевклидовой геометрии, но не ставшими, тем не менее, ее творцами. Для этого обратимся к некоторым представлениям гносеологической концепции М.А. Розова, в частности к его анализу механизмов научных новаций. В качестве таких механизмов им были рассмотрены рефлексивно-симметричные преобразования. Эти преобразования тесно связаны с явлением рефлексивной симметрии, которое подробно разбирается во многих его работах (см., например, 3; 9; 10). При определении рефлексии М.А. Розов идет по пути задания ее функций в рамках научного знания, т.е. говорит о рефлексирующих системах (3, с. 153 - 164). Это такие системы, которые могут оценивать собственное состояние и, на основе этого инициировать его изменение. Так, рефлектирующей системой является человек, когда своим вниманием он запускает механизмы изменения содержания собственного мышления, изменяя тем самым состояние своего сознания. Изменения состояний могут как отражаться, так и не отражаться на поведении системы. Нас будет интересовать главным образом тот случай, когда рефлексия ведёт к изменению поведения человека, изменению характера его деятельности.
У мыслящих субъектов надо строго различать действия и деятельность. Деятельность - это действия с фиксированной целью. Поэтому деятельность есть продукт рефлексии. Ведь рефлексия подразумевает оценку ситуации (в той мере, в какой эта ситуация отражается в мышлении) и, как следствие, может вызывать целенаправленное изменение поведения. При этом одни и те же действия могут означать разную деятельность. Рассмотрим пример, проанализированный М.А. Розовым(9, с.225). Допустим, человек подходит к окну и опускает шторы. Может быть, он хочет, чтобы яркое солнце не слепило ему глаза; может быть, его волнует то, что он виден из улицы или из окон соседнего дома; может быть, он боится, что в комнате скоро станет слишком жарко и т.п. Осознавая свои действия различным образом, он осуществляет всякий раз иную деятельность. Сами действия остаются инвариантом. Связанные же с ними виды деятельности М.А. Розов называет попарно симметричными (там же). При этом он исходит из следующих представлений. Используя понятие рефлексии в его узком значении, связанном только с целеполаганием, М.А. Розов предлагает называть рефлексивными такие преобразования одной деятельности в другую, которые инициируются различными осознаниями наших целевых установок (или, другими словами, сменой нашей рефлексивной позиции) (см. 10, с. 88). Если в результате таких преобразований ничего не меняется, кроме самой целевой установки (рефлексивной позиции), то М.А. Розов называет их рефлексивно-симметричными (см. 3, с.167 – 171; 9, с.222 - 237; 10, с.87 -90). Поэтому рефлексивно-симметричными будут называться и такие два акта деятельности, которые отличаются друг от друга только осознанием результата и взаимно друг в друга преобразуются путём изменения нашей рефлексивной позиции (9, с. 225).
Какое всё это имеет отношение к математике? Покажем, что самое прямое. Действительно, жизнь бодрствующего – это всегда направленность на что-то, как на цель или средство, на важное или не важное, на интересное или безразличное и т.д. Не являются, конечно, исключением и математики. Так же как и другим людям, им свойственна не только та или иная интенциональная направленность на различные виды деятельности, но и способность переключаться с одной деятельности на другую. Какой же должен быть характер этих “переключений”, чтобы можно было обеспечить своеобразные эстафеты от одних математических теорий к другим? Предположим, что, осуществляя некоторые действия, мы рассматриваем результат “А” как основной, а результат “Б” как побочный. Смена рефлексивной позиции может заключаться в том, что “А” и “Б” меняются местами, т.е. “Б” становится основным продуктом, ради которого осуществляются действия, а “А” переходит в разряд побочных результатов (9, с. 225). Если теперь примем, что “Б” – группа Галуа, а “А” –уравнения выше пятой степени, то смена рефлексивной позиции будет тождественна смене референции знания. Здесь мы имеем дело с рефлексивной симметрией: действительно, деятельность Галуа можно описать двумя попарно симметричными способами: как решение проблемы разрешимости алгебраических уравнений в радикалах (введение понятия “группы” в этом случае – побочный результат) и как введение им в математику понятия группы (а вопрос о разрешимости уравнений в радикалах – уходит в тень). Фактически изменение рефлексивной позиции было осуществлено не Галуа, жизнь которого оказалась очень коротка, а другими математиками 19 века. Но нам важен сам гносеологический механизм, способный привести к изменению направленности математической деятельности. А этим механизмом здесь является рефлексивно-симметричное преобразование. С помощью этих преобразований оказываются возможными переключения с одной математической деятельности на другую, позволяющие сохранять, через общие им понятия, преемственность между старыми и новыми математическими программами.
О механизмах можно говорить, поскольку переходы от одной математической теории к другой не связаны с субъективным произволом. Так как эти переходы не носят логического характера, то, видимо, оправданно говорить здесь о гносеологических механизмах развития математики. Остаётся вопрос, что запускает такие механизмы? Какие причины могут привести к столь резкой смене направленности математической деятельности?
3. В деятельности Лобачевского мы встречаем рефлексивно-симметричное преобразование в самом чистом виде. Выполняя работу по опровержению гипотезы острого угла, учёные в то же время незаметно для себя открывали новую математическую теорию. Поставленная цель (опровергнуть гипотезу острого угла) оказалась недостижимой, но полученные при попытке её достижения результаты оказались значимыми в совершенно ином контексте – Лобачевский (а также Бойяи и Гаусс) открыли принципиально новую геометрию, существование которой невозможно было предположить в рамках традиционных математических программ.
И Гаусс, и Лобачевский, и Бойяи начинали свои исследования с попыток опровержения гипотезы острого угла. Но, как мы постараемся показать, мнение о том, что для открытия новой геометрии им понадобилось лишь “удлинить доказательные рассуждения” от противного и осознать значение “диковинной конструкции” - слишком упрощенно. Многие теоремы, полученные в результате простых рассуждений от противного, вошли в состав геометрии Лобачевского-Бойяи, но они не были тем центром, вокруг которого она кристаллизировалась. Саккери и Ламберт, которые, как мы упоминали выше, впервые дали развёрнутые попытки доказательства постулата о параллельных с помощью опровержения гипотезы острого угла, не смогли осуществить рефлексивно-симметричные преобразования своей деятельности в сторону создания новой математической теории не только в силу каких-либо субъективных причин, но и по вполне объективным обстоятельствам. Новая теория вовсе не “вывелась” внутри старой, как птенец из яйца, в результате рассуждений от противного, а лишь использовала эти рассуждения, как строительный материал для построения своего здания. Саккери и Ламберт заблудились, идя по дорожке этих рассуждений. Чтобы мог сработать механизм рефлексивной симметрии, необходимо было не просто механически удлинять цепочки выводов, а натолкнуться на вполне определённые результаты, оставшиеся для них неизвестными. Рассмотрим это более подробно.
Итальянский математик иезуит Саккери издал в 1733 году замечательную работу "Евклид, очищенный от всех пятен; опыт установления самых первых начал всей геометрии". Она пользовалась определённым успехом у современников, но ко времени Лобачевского была практически забыта. Вопрос о постулате о параллельных занимал в этой книге одно из центральных мест. Саккери первым в истории математики приходит к мысли, что для доказательства постулата о параллельных достаточно опровергнуть гипотезу острого угла. Этой гипотезе он посвящает обширное исследование, занимающее более 80 страниц. После ряда подготовительных рассуждений, которые Саккери проводит с безупречной строгостью, он показывает, что при гипотезе острого угла две непересекающиеся прямые, расположенные в одной плоскости, либо имеют общий перпендикуляр, от которого они расходятся, бесконечно удаляясь друг от друга в обе стороны, либо бесконечно удаляются друг от друга в одну сторону и неограниченно сближаются в другую. Саккери пришёл к тем геометрическим образам, с которых, столетие спустя, начнёт развёртывать свою геометрическую систему Лобачевский (как известно, Лобачевский не был знаком с работами Саккери). Но поглощённый своей задачей опровержения гипотезы острого угла, Саккери, теоремой XXXI, внезапно обрывает “тонкую нить безупречных рассуждений”, делая из полученных положений вывод о противоречивости такой геометрической конструкции. Саккери допускает элементарную ошибку, связанную с некорректными утверждениями о бесконечно удалённой точке. Очевидно, чувствуя слабость этих утверждений, он пытается дать ещё одно опровержение гипотезы острого угла, но снова впадает в ошибку, на этот раз связанную с весьма характерной для 18 века неточностью применения метода бесконечно-малых (более подробный анализ ошибок Саккери можно найти в статье С.А. Яновской - 11, с. 59 - 64). Заканчивая свои рассуждения, итальянский математик не смог скрыть своего удивления по поводу тех усилий, которые ему пришлось предпринять, прежде чем, как ему казалось, опровергнуть рассматриваемую гипотезу. Если гипотеза тупого угла опровергалась довольно просто ("при гипотезе тупого угла дело ясно, как свет божий" (цит. по 7, с. 147)), то опровергнуть гипотезу острого угла удаётся только с помощью длинной цепи тончайших рассуждений.
Итак, Саккери выводит из сделанного допущения около 40 теорем, из которых два приводят к кажущемуся противоречию с предыдущими предложениями. Оставшиеся же теоремы, по существу, являются утверждениями геометрии Лобачевского - Бойяи. И, тем не менее, никто из исследователей работ Саккери и не пытается говорить, что итальянский математик, пусть сам того и не сознавая, открыл новую геометрическую систему. В лучшем случае речь идёт о предвосхищении начал неевклидовой геометрии. Заключается ли дело здесь лишь в том, что Саккери запутался и не продолжил цепочку выводов? Анализ исследований И.Г. Ламберта, шедшего по стопам Саккери, заставляет в этом сильно сомневаться.
Немецкий философ и математик И.Г. Ламберт в середине шестидесятых годов 18 века занимался Евклидом и заинтересовался теорией параллельных линий. Уже после его смерти, в литературном архиве Ламберта была найдена посвящённая этому вопросу статья. Она никогда им не публиковалась, т.к. те результаты, к которым немецкий философ в ней пришёл, видимо, не могли его удовлетворить (7, с. 148). Ламберт в своей работе так же очень подробно останавливается на гипотезе острого угла. При этой гипотезе сумма углов в треугольнике меньше двух прямых. Разница между двумя прямыми углами и суммой углов в треугольнике называется дефектом треугольника. Ламберт показывает, что величина дефекта треугольника пропорциональна его площади. А отсюда прямо вытекает, что существует треугольник с предельной, самой большой площадью, т.е. площадь треугольника не может быть сколь угодно велика. Более того, из этого следует, что должна существовать абсолютная единица длины, определяемая чисто геометрически, без помощи эталона. Её можно было бы определить, например, с помощью высоты предельного равнобедренного треугольника, которая больше высоты всякого другого равнобедренного треугольника. Подобия и пропорциональности фигур тогда не существовало бы вовсе. Ни одна фигура не могла бы быть представлена иначе, как в абсолютной своей величине. Указывая ряд абсурдных утверждений, к которым приводит гипотеза острого угла, Ламберт сохраняет достаточную ясность мышления, чтобы заметить, что все они не дают логического доказательства, не вступают в противоречие ни сами с собой, ни с какими-либо предложениями абсолютной геометрии. Его поражает стройность выводов, но он не может понять её причины. Перед Ламбертом предстало богатство, с которым он не знал, что делать и поэтому был вынужден прервать свои исследования. Ламберт не впал в заблуждение по поводу полученных результатов, подобно Саккери, но не смог и продвинуться дальше. Он останавливается примерно на том же рубеже, что и Саккери. "Простое удлинение доказательных рассуждений" завело его в тот же тупик, что и итальянского математика. Им обоим чего-то не хватало для продвижения вперёд. Разумеется, они оба не сознавали действительного смысла своих действий по выводу следствий из гипотезы острого угла, не осуществляли над своей деятельностью никаких рефлексивно-симметричных преобразований (как пишет В.Ф. Каган, - "авторы были беспомощны перед полученными ими результатами"(2, с. 254)), но даже и те учёные, которые такие преобразования осуществляли, не обязательно продвигались много дальше. Речь здесь идёт в первую очередь о корреспонденте Гаусса Фердинанде Швейкарте.
Правовед по образованию, Швейкарт на досуге охотно занимался математикой. Идя по пути Саккери и Ламберта, по пути планомерного вывода всех следствий из гипотезы острого угла, Швейкарт также пришёл к исходным положениям гиперболической геометрии. Но в отличие от них, он, как это видно из его заметки, предназначенной для Гаусса (см. 7, с. 470 - 471), прямо признавал и существование иной, неевклидовой геометрии. По Швейкарту, существует двоякая геометрия: геометрия в узком смысле слова и звёздная (астральная). Треугольники последней геометрии имеют ту особенность, что сумма трёх их углов не равна двум прямым. Далее он упоминает примерно те же положения астральной геометрии, что мы находим и у Ламберта. Швейкарт осознал, что он имеет дело с новой геометрической системой, но это вовсе не помогло ему продвинуться сколько-нибудь существенно дальше Саккери и Ламберта. Швейкарт сообщил о своих исследованиях своему племяннику Тауринусу, молодому математику. Тауринус так же не смог ничего сделать для развития астральной геометрии. Свои усилия он направил на опровержение гипотезы острого угла, получив при этом некоторые новые результаты, впрочем, непринципиального характера. Поэтому Тауринус может быть поставлен в один ряд с Саккери и Ламбертом. Лишь "на берегах Волги и в глуши Венгрии в двадцатых годах XIX столетия получил новое и неожиданное решение вопрос, который более чем за 2000 лет перед этим был поставлен учёными Афин и Александрии" (1, с. 124). Что же позволило Лобачевскому и Бойяи пройти до конца по тому пути, по которому шли, хотели они того или не хотели, Саккери, Ламберт, Швейкарт и Тауринус?
4. Даже такой выдающийся знаток творчества Лобачевского, как В.Ф. Каган, описывает создание русским математиком неевклидовой геометрии в выражениях, не слишком отличающихся, по сути, от стандартной точки зрения, прозвучавшей в словах А.Г. Барабашева в приведённой выше цитате. Так, В.Ф. Каган пишет: "Гений Лобачевского сказался в том, что он не поддался … предубеждению; напротив, смело развивая следствия, вытекающие из отрицания пятого постулата, он создал новую геометрическую систему … Он имел решимость отказаться от связующей силы сложившихся геометрических представлений …" (7, с. 152). Но откуда смелость и решимость при движении в никуда? Откуда воля продолжать движение? Несомненно, в самом начале работы над проблемой постулата о параллельных перед Лобачевским предстали те же разрозненные диковинные результаты, которые мы находим, например, в сочинении Ламберта. Значит, был какой-то момент, когда эти странные результаты оказались осознаны им как часть единого целого, новой теоретической системы. При этом речь не может идти о некотором случайном осознании, как это, скорее всего, было в случае Швейкарта. Лобачевский увидел реальные контуры новой геометрии, новой целостности. Возможно, здесь уместно применить представление о переключении гештальта, которое Т. Кун использовал в своей трактовке научных революций.
Психологи пользовались представлением о переключении гештальта, главным образом, в опытах, связанных с изменением зрительного восприятия. Томас Кун пришёл к выводу, что нечто, подобное этим переключениям, происходит в сознании учёных после научных революций. Их восприятие научной картины мира изменяется так, что одна целостность сменяется другой (4, с. 151 - 180). Сдвиг восприятия, сдвиг научного видения возникает в результате научных открытий. Но и сами эти открытия нередко требуют такого сдвига. Так, Аристотель и Галилей рассматривали одни и те же факты, но под разным углом зрения. То же самое можно сказать и о Саккери и Лобачевском. Что изменило точку зрения Лобачевского и позволило ему продолжить движение в столь необычном направлении?
На пути Лобачевского к его замечательному открытию можно выделить несколько этапов. Начало серьёзных размышлений русского математика, относящихся к основаниям геометрии, по-видимому, почти совпадает с началом его педагогической деятельности. До нас дошли записи лекций по элементарной геометрии, читанные Лобачевским студентам Казанского университета с 1815 по 1817 год (так называемые "Записки Темникова"). Каждый год при изложении своего курса, Лобачевский давал различные способы обоснования теории параллельных линий. В то время интерес к теории параллельных был особенно высок. Это было связано, главным образом, с выходящими тогда неоднократными переизданиями знаменитого учебника геометрии Лежандра. В этих переизданиях Лежандр предпринял многочисленные попытки дать доказательство пятого постулата Евклида. Но, в конце концов, они оказывались недостаточными. Неудивительно, что Лобачевский тоже попытался испробовать свои силы на этом поприще. В курсе 1815 года Лобачевский дал оригинальное, в духе Лежандра, доказательство постулата о параллельных. Но уже к следующему году он в нём разочаровался и попробовал изложить теорию параллельных с помощью переосмысления самого понятия параллельности. При этом он исходил из понятия о направлении, как основном, и пытался определить параллельные линии, как простирающиеся в одном направлении. Но и это его не удовлетворило, и в 1817 году он дал ещё одно доказательство, основанное, на этот раз, на рассмотрении бесконечных частей плоскости. Таким образом, Лобачевский постепенно разочаровался не только в своих попытках доказательства постулата о параллельных, но и, видимо, в попытках его доказательства вообще. К этому надо прибавить ещё одно немаловажное обстоятельство: Лобачевский не только занимался обоснованием теории параллельных, но он стал размышлять и об основаниях геометрии в целом.
В тех же тетрадях лекций по геометрии, в которых мы встречаем различные попытки доказательства пятого постулата Евклида, мы находим и различные попытки обоснования геометрии (1, с. 134 - 136). Лобачевский пытался дать себе отчёт в тех первичных понятиях, из которых исходит геометрия. Так, в одной из тетрадей геометрия определяется как наука о пространстве: "геометрическое тело есть часть полного пространства, простирающаяся во все стороны, но вместе с тем ограниченная". Поверхность есть граница тела, граница поверхности есть линия, граница линии - точка. Далее Лобачевский делает попытку определить свойства пространства. В другой тетради он уже избегает слова "пространство", но вводит вместо него понятие "протяжение". Именно протяжения, по мнению Лобачевского, составляют предмет геометрии. Соответственно, протяжение одного измерения называется в геометрии линией, а протяжение двух измерений - поверхностью. Связь же между протяжениями различных измерений устанавливается движением. Линия происходит от движения точки, поверхность - от движения линии, а тело - от движения поверхности. Наконец, в третьей тетради Лобачевский вместо понятия "протяжение" вводит, как основное, понятие "прикосновение тел". Через прикосновение двух тел Лобачевский определяет поверхность, линию, точку. И такой подход к основаниям геометрии оказался у Лобачевского окончательным. Его он проводит во всех своих зрелых работах. Этот подход наиболее соответствует тем гносеологическим установкам, которых Лобачевский придерживался в отношении геометрии. Для него геометрия - опытная наука. И он стремится рассматривать её как учёный-эмпирик. Основными понятиями геометрии не могут быть ни пространство, ни протяжение, ни поверхность, ни линия и т.п., потому что они существуют только в воображении. Ясное же понятие, по мнению Лобачевского, может быть соединено только с теми словами, которым можно указать прямые референты в реальном мире. Поэтому в предисловии к "Новым началам геометрии…" (12) он формулирует следующую точку зрения: "В природе нет ни прямых, ни кривых линий, нет плоскостей и кривых поверхностей, в ней находим одни тела, так что всё прочее создано нашим воображением, существует только в теории". Лобачевский считает, что с помощью чувств мы познаём в природе одни только тела. Это факт, от которого нельзя отвернуться, и поэтому он предлагает считать основным объектом геометрии тело, а основными отношениями между телами - их прикосновение. Все остальные понятия должны быть определены через эти основные.
Таким образом, главным злом в основаниях геометрии Лобачевский, в конце концов, стал считать "темноту", "отвлечённость" начальных геометрических абстракций и направил свои усилия на то, чтобы возвратиться от них к тем понятиям, которые "непосредственно соединены с представлениями тел в нашем уме, к которым наше воображение приучено, которые можно поверять в природе прямо, не прибегая наперёд к другим, искусственным и посторонним" (12, с. ).
Возвратимся теперь к постулату о параллельных. Вдумываясь всё более и более в начальные понятия геометрии, Лобачевский начал, по-видимому, отчётливо сознавать, что неудачи в доказательстве пятого постулата не случайны. Он пришёл к выводу, что в самих понятиях, с которыми имеет дело геометрия, ещё не заключается той истины, которую хотим доказать (12, с. 147). Поэтому Лобачевский начинает “Пангеометрию” следующими словами: “Понятия, на которых основывают начала геометрии, недостаточны, чтоб отсюда вывести доказательство теоремы: сумма трёх углов прямолинейного треугольника равна двум прямым ... Недостаточность начальных понятий для доказательства приведённой теоремы принудила геометров допускать вспомогательные положения, которые как ни просты кажутся, тем не менее произвольны и, следовательно, допущены быть не могут” (13, с. 137). Итак, постулат Евклида не обоснован ни логически, ни эмпирически! Возможно, что опыты Лобачевского по тотальному эмпирическому обоснованию геометрии были реакцией русского математика на то странное обстоятельство, что все попытки строго логического доказательства постулата о параллельных терпели неизбежный крах. Но положительного результата, в этом отношении, не дали и они. Постепенно Лобачевский понял ограниченность эмпирического метода в геометрии. Поскольку геометрические свойства пространства зависят от физических свойств тел и могут, следовательно, меняться с изменением этих физических свойств, то ничего не стоит, как стал считать русский математик, и аргументация к тому, что следствия из евклидовой теории параллельных совпадают с результатами самых точных измерений. Ведь “за пределами видимого мира, либо в тесной сфере молекулярных притяжений” (12) может быть действительной совсем иная геометрия. Поэтому по-прежнему оставались две возможности – гипотеза прямого и гипотеза острого угла. Хотя, может быть, Лобачевский и более, чем кто-либо, ясно сознавал, что они обе произвольны и необоснованны. Пойти дальше Саккери и Ламберта гениальный русский математик смог лишь после одного неожиданного открытия.
Впервые новая теория параллельных была публично изложена Лобачевским 11 февраля 1826 года в докладе, прочитанном на заседании физико-математического отделения Казанского университета. Текст доклада до нас не дошёл, но известно, что все его основные идеи вошли в первое сочинение Лобачевского по геометрии, напечатанное при его жизни - “О началах геометрии” (1830). В этой работе, как Саккери и Ламберт, Лобачевский рассматривает следствия гипотезы острого угла. Но в основном лишь постольку, поскольку это необходимо ему для обоснования удивительного открытия: геометрия, возникающая при принятии гипотезы острого угла, заключает в себя собственно евклидову геометрию как частный случай! “Другое предположение и одно, которое до сих пор допускали Геометры, - пишет Лобачевский, - заключается также в этом общем (гипотезе острого угла – М.В.), с тем ограничением, что линии должно рассматривать бесконечно малыми ...” (14, с. 199). Поэтому геометрия Евклида является предельным случаем новой геометрической системы. Итак, работа в рамках обоснования евклидовой геометрии привела к результату, который прямо показывает на то, что мы вышли за рамки этой геометрии. Мы работаем уже в какой-то иной математической программе. Таким образом, существовала некоторая поворотная точка, после которой стало абсолютно ясно, что, развивая гипотезу острого, угла мы имеем дело уже не со странными разрозненными фактами, а с фрагментами иной геометрии. После этого почти с необходимостью должно было произойти, говоря языком психологии, переключение гештальта. Должен был сработать механизм рефлексивно-симметричных преобразований.
Для того, чтобы рассмотреть этот вопрос подробнее, обратимся ещё к одной работе Лобачевского. Речь идёт о небольшой работе “Геометрические исследования по теории параллельных линий” (1840). В ней в наиболее ясной и логически совершенной форме гениальным русским математиком были изложены идеи новой геометрии. По выражению В.Ф. Кагана, она является “одним из наиболее блестящих перлов математической литературы” (7, с. 277). Именно по ней Гаусс, а вслед за ним и другие западные математики познакомились с творчеством Лобачевского.
По содержанию “Геометрические исследования ...” можно разбить на три основные части. В первой части (главы I-V) Лобачевский даёт перечень некоторых положений абсолютной геометрии, которые он будет в дальнейшем использовать. После этого он встаёт на точку зрения гипотезы острого угла и выводит из неё ряд следствий. Во второй части (главы VI-VIII) он после необходимых подготовительных предложений вводит понятия о предельной линии и предельной поверхности и доказывает теорему, что геометрия предельной поверхности формально совпадает с евклидовой планиметрией. Наконец, в третьей части (главы IX-XI) Лобачевский излагает неевклидову тригонометрию. Неевклидова тригонометрия завершает синтетическое развёртывание новой геометрической системы. “После этого, - пишет Лобачевский, - всё прочее в геометрии будет уже аналитикой” (14, с. 260). Таким образом, переход от первой части, развивающей новую геометрию до уровня Саккери и Ламберта, к третьей части, в которой выводятся ключевые формулы неевклидовой тригонометрии, предполагает вторую часть, в которой впервые появляются геометрические образы, которых не существует в евклидовой геометрии – предельные линии и поверхности. Именно с этими образами связано то “возрождение евклидовой планиметрии в недрах неевклидовой геометрии, к которому с различных точек зрения пришли все (курсив мой – М.В.) творцы неевклидовой геометрии” и которое “составляет наиболее важный момент в её развитии” (2, с.405).
Нам сложно по изданным геометрическим работам Лобачевского в точности судить о том, как он пришёл к открытию предельных поверхностей. А каких-либо набросков его геометрической системы, могущих осветить интересующий нас вопрос, по-видимому, не сохранилось. Зато до нас дошли многочисленные рукописные тетради Бойяи (см.1, с. 120 - 121). Из них видно, что ещё в 1820 году он пришел к мысли рассматривать круг с бесконечно большим радиусом и поставил теорию параллельных линий в связь с вопросом, является ли этот круг (т.е. предел, к которому стремятся круги при увеличении радиуса до бесконечности) прямой или же иной линией. Видимо он считал, что какая-то из этих альтернатив ведёт к опровержению гипотезы острого угла. Должно было пройти три года, прежде чем эта гениальная мысль позволила ему начать обработку “неевклидовой геометрии” и ещё два года для того, чтобы закончить её. Как и Бойяи, Лобачевский, по всей видимости, пришёл к идее предельной линии и предельной поверхности, пытаясь отыскать те следствия гипотезы острого угла, которые могли бы её опровергнуть. Попробуем на интуитивном уровне реконструировать возможный ход рассуждений.
Возьмём некоторую совокупность параллельных прямых линий собственно евклидовой геометрии. Проведём линию, к которой все эти параллельные будут расположены под прямым углом (ортогонально). Эта линия будет называться ортогональной траекторией пучка параллельных прямых. Очевидно, что ортогональной траекторией пучка параллельных прямых в евклидовой плоскости является прямая линия. Это логическое следствие пятого постулата Евклида. Действительно, проведём прямую линию ортогонально одной из линий пучка параллельных, тогда, в силу пятого постулата, она будет ортогональна всем этим линиям. А так как к одной точке нельзя опустить два различных перпендикуляра, то прямая линия будет единственной ортогональной траекторией пучка параллельных прямых. Если П – постулат о параллельных, а А – утверждение об ортогональности прямой линии пучку параллельных прямых, то в собственно евклидовой геометрии истинна следующая формула: П > А. Но что будет ортогональной траекторией пучка параллельных прямых при принятии гипотезы острого угла (т.е. при ¬П )? В этом случае параллельные прямые неограниченно сближаются. Поэтому их можно представить, как сходящиеся в бесконечно удалённой точке. Тогда пучок таких параллельных можно рассматривать как радиусы окружности с бесконечно удалённым центром. Несомненно этот образ посещал Бойяи в 1820 году. Но обратимся снова к собственно евклидовой геометрии. Рассмотрим в ней окружность и пучок прямых линий, проходящих через её центр. Эти прямые будут ортогональны окружности. Она будет для них ортогональной траекторией. Будем теперь рассматривать окружность всё большего и большего радиуса. При радиусе окружности, стремящемся к бесконечности, любая конечная её дуга будет сколь угодно близко приближаться к соответствующему отрезку прямой линии, т.е. дуги как бы “выпрямляются”, их кривизна может быть сделана меньше любой заданной величины. В этом смысле говорят, что в евклидовой плоскости с увеличением радиуса окружность неограниченно приближается к прямой линии. Такая прямая будет называться предельной линией. Поэтому предельной линией называют и ортогональную траекторию пучка параллельных прямых неевклидовой геометрии. Но будет ли она прямой линией и здесь? Положительный ответ на этот вопрос приводит к опровержению гипотезы острого угла. Действительно, в этом случае было бы справедливо, что ¬П > А. Но из А следует П. Если пучок параллельных линий в евклидовой плоскости ортогонален некоторой прямой, то любая прямая, которая не была бы ей ортогональна, в то же время не будет параллельна ни одной линии из этого пучка. Она пересечёт его, что эквивалентно пятому постулату Евклида. Тогда получается, что ¬П > А > П. И цель многовековых усилий достигнута.
Если это и был замысел Бойяи, то он потерпел крушение. Предельной линией пучка параллельных прямых в случае принятия гипотезы острого угла является не прямая линия, но некоторая кривая – орицикл, как её называет Лобачевский. Но здесь основателей неевклидовой геометрии и ждало неожиданное открытие. Если предельную линию – орицикл вращать вокруг одной из её осей, то получается своеобразная поверхность, которую Лобачевский называет предельной сферой или просто предельной поверхностью. Оказалось, что в пространстве Лобачевского предельная поверхность несёт на себе двумерную евклидову геометрию! Когда мы отказываемся от евклидовой геометрии на плоскости, она не прекращает своего существования. И хотя она не выполняется на гиперболической плоскости (плоскости пространства Лобачевского), но она переходит на другую поверхность – на предельную поверхность. Сумма углов треугольника на предельной поверхности всегда равна двум прямым. На ней будет справедливо каждое предложение евклидовой планиметрии, если под прямой разуметь предельную линию.
Итак, на некотором частном фрагменте геометрии, возникающей при принятии гипотезы острого угла, справедлив пятый постулат Евклида! Отсюда и вытекает, что новая геометрическая система является более общей, по сравнению с собственно евклидовой геометрией, и включает её в себя, как частный случай. Так впервые был осуществлён радикальный выход из евклидовой программы развития геометрии. До этого тень александрийского математика неотступно висела почти над каждым творческим усилием европейских геометров. После этого стало почти неизбежным переосмысление всего геометрического материала, полученного с помощью вывода следствий из гипотезы острого угла. Стало почти неизбежным переключение гештальта и рефлексивно-симметричные преобразования. Но замечательно и то, что открытие предельных поверхностей придало не только психологическую уверенность первооткрывателям новой геометрии, но и ключ к её дальнейшему развитию.
Вместе с восстановлением евклидовой геометрии в неевклидовом пространстве сохраняются и все средства евклидовой планиметрии и прежде всего её тригонометрия. С древности существовал известный приём для построения тригонометрии сферы. В евклидовом пространстве мы, исходя от плоскости, надлежащей проекцией её на сферу, получаем сферическую тригонометрию. Подобным образом действует в нашем случае и Лобачевский. Проектируя “предельные треугольники” на плоскость, он приходит к тригонометрии прямолинейного треугольника в гиперболической плоскости. Именно после этого “всё прочее в геометрии стало уже аналитикой”. Располагая тригонометрией гиперболической плоскости, Лобачевский получил возможность построить в своей “воображаемой геометрии” аналитическую геометрию, дифференциальную геометрию, вести интегральные вычисления – довести созданную им геометрию до тех высот, до которых в течении трёх тысячелетий поднималась классическая геометрия Евклида (2, с. 276 - 277).
Если учесть, что Гаусс в его письме отцу Иоанна Бойяи Вольфангу Бойяи от 6 марта 1832 года прямо пишет о том, что он уже давно не просто пришёл к тем же результатам, что и его сын, но и тем же самым путём (1, с. 121), то можно со всей ответственностью утверждать, что существовала вполне однозначная, жёсткая логика открытия гиперболической геометрии, хотя это и не была логика математического вывода.
Литература
Вопросы для понимания
Данный раздел содержит статью известного американского физика-теоретика ХХ века, лауреата нобелевской премии Евгения Вигнера. Он говорит о чрезвычайной эффективности математики в естественных науках как о чем-то загадочном, не поддающемся рациональному объяснению. Для обоснования этого тезиса он кратко отвечает на вопросы, что такое математика, что такое физика, каким образом математика входит в физические теории и, наконец, почему успехи математики в физике кажутся нам столь непостижимыми. При этом математика определяется Вигнером как наука о хитроумных операциях, производимых по специально разработанным правилам над специально придуманными понятиями. В конце статьи Вигнер пишет: «Математический язык удивительно хорошо приспособлен для формулировки физических законов. Это чудесный дар, который мы не понимаем и которого не заслуживаем. Нам остается лишь благодарить за него судьбу и надеяться, что и в своих будущих исследованиях мы сможем по-прежнему пользоваться им» (стр. 197 ИЗМЕНИТЬ).
Е. Вигнер
НЕПОСТИЖИМАЯ ЭФФЕКТИВНОСТЬ МАТЕМАТИКИ В ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУКАХ
Вигнер Е. Этюды о симметрии. М., 1971. Стр. 182-198.
«...по-видимому, здесь есть какая-то тай на, которую нам еще предстоит рас крыть».
Ч. С. Пирс
Рассказывают такую историю. Встретились, как-то раз два приятеля, знавшие друг друга еще со студенческой скамьи, и разговорились о том, кто чем занимается. Один из приятелей стал статистиком и работал в области прогнозирования изме нения численности народонаселения. Оттиск одной из своих работ статистик показал бывшему соученику. Начиналась ра бота, как обычно, с гауссова распределения. Статистик растол ковал своему приятелю смысл используемых в работе обозначе ний для истинных показателей народонаселения, для средних и т. д. Приятель был немного недоверчив и отнюдь не был уве рен в том, что статистик его не разыгрывает.
— Откуда тебе известно, что все обстоит именно так, а не иначе? — спросил он. — А это что за символ?
— Ах, это, — ответил статистик. — Это число π.
— А что оно означает?
— Отношение длины окружности к ее диаметру.
— Ну, знаешь, говори, да не заговаривайся, — обиделся приятель статистика. — Какое отношение имеет численность на родонаселения к длине окружности?
Наивность восприятия друга нашего статистика вызывает у нас улыбку. Тем не менее, когда я слушал эту историю, меня не покидало смутное беспокойство, ибо реакция приятеля была не чем иным, как проявлением здравого смысла. Еще большее замешательство я испытал через несколько дней, когда один из моих студентов выразил удивление по поводу того, что для проверки своих теорий мы отбираем лишь крайне незначитель ное число данных (2).
«Представим себе,— сказал студент,— что мы хотим создать теорию, пригодную для описания явлений, которыми мы до сих пор пренебрегали, и непригодную для описания явлений, кото рые казались нам имеющими первостепенное значение. Можем ли мы заранее утверждать, что построить такую теорию, имеющую мало общего с существующей ныне, но тем не менее позволяю щую объяснять столь же широкий круг явлений, нельзя?» Я вы нужден был признать, что особенно убедительных доводов, ис ключающих возможность существования такой теории, нет.
Две рассказанные истории служат иллюстрациями двух главных тем моего доклада. Первой — о том, что между мате матическими понятиями подчас возникают совершенно неожи данные связи и что именно эти связи позволяют нам удивитель но точно и адекватно описывать различные явления природы. Второй — о том, что в силу последнего обстоятельства (по скольку мы не понимаем причин, делающих математические понятия столь эффективными) мы не можем утверждать, яв ляется ли теория, сформулированная на языке этих понятий, единственно возможной. Мы находимся в положении, несколько аналогичном положению человека, держащего в руках связку ключей и пытающегося открыть одну за другой несколько две рей. Рано или поздно ему всегда удается подобрать ключ к оче редной двери, но сомнения относительно взаимно однозначного соответствия между ключами и дверями у него остаются.
Большая часть того, что будет здесь сказано, не отличается новизной; в той или иной форме аналогичные идеи, по-види мому, приходили в голову многим ученым. Моя основная цель заключается в том, чтобы рассмотреть эти идеи с нескольких сторон. Во-первых, обратить внимание на чрезвычайную эффек тивность математики в естественных науках как на нечто зага дочное, не поддающееся рациональному объяснению. Во-вторых, показать, что именно эта сверхъестественная эффективность математических понятий поднимает вопрос о единственности физических теорий. Для обоснования тезиса о непостижимо важной роли, которую математика играет в физике, я поста раюсь кратко ответить на вопросы: что такое математика и что такое физика? Затем мы рассмотрим, каким образом матема тика входит в физические теории и, наконец,— почему успехи математики в физике кажутся нам столь непостижимыми. Го раздо меньше будет сказано по второму тезису о единственно сти физических теорий. Обстоятельный ответ на этот вопрос по требовал бы огромной работы как в области теории, так и в области эксперимента; к этой работе мы по существу до сих пор .еще и не приступали.
ЧТО ТАКОЕ МАТЕМАТИКА?
Кто-то сказал, что философия — это злоупотребление спе циально разработанной терминологией (3). Следуя духу этого высказывания, я мог бы определить математику как науку о хитроумных операциях, производимых по специально разработан ным правилам над специально придуманными понятиями. Особенно важная роль при этом, разумеется, отводится приду мыванию новых понятий. Запас интересных теорем в матема тике быстро иссяк бы, если бы их приходилось формулировать лишь с помощью тех понятий, которые содержатся в формули ровках аксиом. Но это еще не все. Понятия элементарной математики, и в частности элементарной геометрии, были, бес спорно, сформулированы для описания объектов, заимствован ных непосредственно из реального мира. Аналогичное утвер ждение относительно более сложных математических понятий, в том числе понятий, играющих важную роль в физике, по-ви димому, неверно. Например, правила действий над парами чи сел были, очевидно, специально придуманы так, чтобы мы могли получать результаты, совпадающие с результатами дей ствий над дробями. С правилами же этих действий мы знако мились, ничего не зная о «парах чисел». Правила действий, производимых над последовательностями, т. е. над иррацио нальными числами, также относятся к категории правил, кото рые были сформулированы так, что воспроизводили правила действий над уже известными нам величинами. Более тонкие математические понятия — комплексные числа, алгебры, линей ные операторы, борелевские множества и т. д. (этот список можно было бы продолжать почти до бесконечности) — были задуманы как подходящие объекты, с помощью которых мате матик мог продемонстрировать гибкость своего ума, способность воспринимать формальную красоту. Действительно, определение этих понятий и ясное понимание того, в каких интересных и тонких рассуждениях их можно было бы использовать, служит первым свидетельством остроумия придумавшего их матема тика. О глубине идеи, заложенной в формулировке нового ма тематического понятия, можно судить лишь впоследствии по тому, насколько искусно удается использовать это понятие. Ве ликий математик полностью владеет всем арсеналом допусти мых приемов мышления и, действуя подчас весьма рискованно, балансирует на самой грани допустимого. Уже одно то, что его безрассудство не завело его в пучину противоречий, само по себе чудо. Трудно поверить, что дарвиновский процесс есте ственного отбора довел наше мышление до такой степени совер шенства, которой оно, судя по всему, обладает. Однако это не наша тема. Основная мысль, к которой нам еще предстоит вер нуться, состоит в другом: не вводя других понятий, кроме со держащихся в аксиомах, математик смог бы сформулировать лишь весьма ограниченное число интересных теорем, и новые понятия он вводит именно так, чтобы над ними можно было производить хитроумные логические операции, которые импонируют нашему чувству прекрасного сами по себе и по получае мым с их помощью результатам, обладающим большой просто той и общностью (4).
Особенно яркой иллюстрацией сказанного служат комплекс ные числа. Ничто в имеющемся у нас опыте, очевидно, не наво дит на мысль о введении этих величин. Если же мы спросим у математика о причинах его интереса к комплексным числам, то он с негодованием укажет на многочисленные изящные теоре мы в теории уравнений, степенных рядов и аналитических функ ций в целом, обязанных своим появлением на свет введению комплексных чисел. Математик отнюдь не склонен отказываться от наиболее прекрасных творений своего гения (4).
ЧТО ТАКОЕ ФИЗИКА?
Физик видит свою задачу в открытии законов неодушевлен ной природы. Чтобы смысл этого утверждения стал ясным, не обходимо проанализировать понятие «закон природы».
Окружающий нас мир поразительно сложен, и самая очевид ная истина заключается в том, что мы не в состоянии предска зать его будущее. В известном анекдоте лишь оптимист считает будущее неопределенным, тем не менее в данном случае опти мист прав: будущее непредсказуемо. Как заметил однажды Шредингер, «чудо, что, несмотря на поразительную сложность мира, мы можем обнаруживать в его явлениях определенные закономерности» (5).
Одна из таких закономерностей, открытая Галилеем, состоит в том, что два камня, брошенные в один и тот же момент вре мени с одной и той же высоты, упадут на землю одновременно. Именно о таких закономерностях и идет речь в законах при роды. Галилеева закономерность стала прототипом широкого класса закономерностей. Удивительной же ее следует считать по двум причинам.
Во-первых, удивительно, что эта закономерность наблю дается не только в Пизе и не только во времена Галилея, но и в любом другом месте земного шара; она была и будет верной всегда. Это свойство закономерности есть не что иное, как из вестное свойство инвариантности. Некоторое время назад [7] я уже имел случай заметить, что без принципов инвариантности, аналогичных тем, которые вытекают из приведенного выше обобщения замеченного Галилеем опытного факта, физика не могла бы существовать.
Вторая удивительная особенность закономерности, открытой Галилеем, состоит в том, что она не зависит от многих условий, от которых в принципе могла бы зависеть. Закономерность на блюдается безотносительно к тому, идет ли дождь или нет, проводится ли эксперимент в закрытой комнате или камень бросают с Пизанской падающей башни и кто бросает камень — мужчина или женщина. Закономерность остается верной, если двое разных людей одновременно бросают с одинаковой высоты два камня. Существует, очевидно, бесчисленное множество дру гих условий, не существенных для выполнимости открытой Га лилеем закономерности. Несущественность столь многих обстоя тельств, которые могли бы играть роль в наблюдаемом явлении, мы также называем инвариантностью [7]. Однако эта инвариант ность носит несколько иной характер, чем предыдущая, по скольку ее нельзя сформулировать в качестве общего принципа. Исследование условий, влияющих и, наоборот, не влияющих на свободное падение тел, явилось частью первых эксперимен тальных исследований поля силы тяжести. Лишь искусство и изобретательность экспериментатора позволяют ему выбирать явления, зависящие от сравнительно узкого круга достаточно легко реализуемых и воспроизводимых условий (7). В рассмат риваемом нами примере наиболее важным шагом послужило то обстоятельство, что Галилей ограничил свои наблюдения сравнительно тяжелыми телами. И вновь мы должны признать, что, не будь явлений, зависящих лишь от небольшого, легко обозримого числа условий, физика не могла бы существовать.
Хотя обе названные выше особенности замеченной Галилеем закономерности и представляются весьма важными с точки зрения философа, они не были особенно удивительными для Галилея и не содержат в себе никакого закона природы. Закон природы содержится в утверждении: время, в течение которого тяжелое тело падает с заданной высоты, не зависит от разме ров, материала и формы падающего тела. В рамках ньютонов ского второго «закона» это утверждение эквивалентно утвер ждению о том, что сила тяжести, действующая на падающее тело, пропорциональна его массе, но не зависит от его разме ров, материала и формы.
Проведенный выше анализ преследовал одну цель — напо мнить, что существование «законов природы» не столь уж естественно и самоочевидно и что способность человека тем не ме нее открывать законы природы еще более удивительна (8). Автор уже имел возможность некоторое время тому назад [11] (9) обра тить внимание читателей на иерархию «законов природы» — по следовательность слоев, каждый из которых содержит более ши рокие и общие законы природы, чем предыдущий, а открытие его означает более глубокое по сравнению с уже известными слоями проникновение в строение Вселенной. Однако в инте ресующем нас случае наиболее важным является то, что все эти законы природы вместе со всеми, пусть даже самыми да лекими следствиями из них, охватывают лишь незначительную часть наших знаний о неодушевленном мире. Все законы при роды — это условные утверждения, позволяющие предсказывать какие-то события в будущем на основе того, что известно в дан ный момент, причем для предсказания будущего некоторые аспекты состояния мира в данный момент (практически подав ляющее большинство условий, определяющих это состояние) несущественны. Несущественность здесь понимается в смысле второй особенности, упоминавшейся при анализе открытой Га лилеем закономерности (10).
Законы природы хранят молчание относительно всего, что касается состояния мира в данный момент, например существо вания Земли, на которой мы живем и на которой Галилей про водил свои эксперименты, существования Солнца и всего, что нас окружает. Отсюда следует, что законы природы можно ис пользовать для предсказания будущего лишь в исключительных обстоятельствах, а именно лишь тогда, когда известны все су щественные (для предсказания будущего) условия, определяю щие состояние мира в данный момент. Отсюда же следует, что создание машин, функционирование которых физик может пред видеть заранее, является наиболее эффектным его достижением. В этих машинах физик создает ситуацию, при которой все су щественные параметры известны и поведение машины предска зуемо. Примерами таких машин могут служить радары и ядер ные реакторы.
Глинная цель, которую мы преследовали до сих пор, — по казать, что все законы природы представляют собой некие условные утверждения и охватывают лишь очень небольшую часть наших знаний об окружающем мире. Так, классическая механика - наиболее известный прототип физической теории — позволяет указывать по известным координатам и скоростям любых тел вторые производные от координат этих тел по вре мени, но ничего не говорит о существовании самих тел и зна чениях их координат и скоростей в данный момент времени. Истины ради следует упомянуть и о том, что, как стало известно лет тридцать назад, даже условные утверждения, в форме кото рых мы выражаем законы природы, не являются абсолютно точными, поскольку представляют собой лишь вероятностные законы. Опираясь на них и используя то, что нам известно о состоянии неодушевленного мира в данный момент, мы мо жем лишь заключать более или менее разумные пари о его бу дущих свойствах. Вероятностный характер законов природы не позволяет нам высказывать никаких категорических утвержде ний, даже если ограничиться категорическими утверждениями, содержание которых обусловлено состоянием мира в данный момент. Вероятностный характер «законов природы» прояв ляется и в случае машин, и его нетрудно обнаружить, по край ней мере в ядерных реакторах, работающих в режиме очень малой мощности. Тем не менее область знаний, охватываемая законами природы, подвержена дополнительным ограничениям, вытекающим из вероятностного характера этих законов (11) (в дальнейшем эти ограничения не будут играть для нас ника кой роли).
РОЛЬ МАТЕМАТИКИ В ФИЗИЧЕСКИХ ТЕОРИЯХ
Освежив в памяти наиболее существенные черты математи ки и физики, мы можем теперь лучше разобраться в той роли, которую математика играет в физических теориях.
В своей повседневной работе физик использует математику для получения результатов, вытекающих из законов природы, и для проверки применимости условных утверждений этих законов к наиболее часто встречающимся или интересующим его кон кретным обстоятельствам. Чтобы это было возможным, законы природы должны формулироваться на математическом языке. Однако получение результатов на основе уже существующих теорий — отнюдь не самая важная роль математики в физике. Исполняя эту функцию, математика, или, точнее, прикладная математика, является не столько хозяином положения, сколько средством для достижения определенной цели.
Математике, однако, отводится в физике и другая, более «суверенная» роль. Суть ее содержится в утверждении, сделан ном нами при обсуждении роли прикладной математики: чтобы стать объектом применения прикладной математики, законы природы должны формулироваться на языке математики. Утвер ждение о том, что природа выражает свои законы на языке математики, по существу было высказано 300 лет назад (12). В наши дни оно верно более чем когда-либо. Чтобы продемон стрировать всю важность использования математических поня тий при формулировке законов физики, достаточно вспомнить, например, аксиомы квантовой механики, сформулированные в явном виде великим математиком фон Нейманом [14] и в не явном виде великим физиком Дираком [13]. В основу квантовой механики положены два понятия: понятие состояний и понятие наблюдаемых. Состояния — это векторы в гильбертовом про странстве; наблюдаемые — самосопряженные операторы, действующие на векторы состояния: Возможные значения наблю даемых определяются собственными значениями этих операто ров и т. д., но мы предпочитаем остановиться на этом и не перечислять математических понятий, развитых в теории линей ных операторов.
Разумеется, для формулировки законов природы физики от бирают лишь некоторые математические понятия, используя, таким образом, лишь небольшую долю всех имеющихся в ма тематике понятий. Правда, понятия выбираются из длинного списка математических понятий не произвольно: во многих, если не в большинстве, случаях необходимые понятия были незави симо развиты физиками, и лишь впоследствии было установ лено их тождество с понятиями, уже известными математикам. Однако утверждать, как это нередко приходится слышать, будто так происходит потому, что математики используют лишь про стейшие из возможных понятий, а последние встречаются в лю бом формализме, было бы неверно. Как мы уже видели, матема тические понятия вводятся не из-за их логической простоты (даже последовательности пар чисел — понятия далеко не про стые), а потому, что они особенно легко поддаются тонким логи ческим операциям и облегчают проведение глубоких и блестя щих рассуждений. Не следует забывать, что гильбертово про странство квантовой механики — это комплексное гильбертово пространство с эрмитовым скалярным произведением. Для не подготовленного ума понятие комплексного числа далеко не естественно, не просто и никак не следует из физических на блюдений. Тем не менее использование комплексных чисел в квантовой механике отнюдь не является вычислительным трю ком прикладной математики, а становится почти необходимым при формулировке законов квантовой механики. Кроме того, по-видимому, не только комплексным числам, но и так называе мым аналитическим функциям суждено сыграть решающую роль в формулировке квантовой теории. Я имею в виду быстро развивающуюся теорию дисперсных соотношений.
Невольно создается впечатление, что чудо, с которым мы сталкиваемся здесь, не менее удивительно, чем чудо, состоящее в способности человеческого разума нанизывать один за другим тысячи аргументов, не впадая при этом в противоречие, или два других чуда — существование законов природы и человеческого разума, способного раскрыть их. Из всего, что мне известно, больше всего похоже на объяснение плодотворности использова ния математических понятий в физике замечание Эйнштейна: «Мы с готовностью воспринимаем лишь те физические теории, которые обладают изяществом». Может показаться спорным, что понятия математики, постижение которых требует напря женной работы мысли, обладают изяществом. Замечание Эйн штейна в лучшем случае отражает определенные особенности теории, в которую мы готовы поверить, и не затрагивает вну тренней непротиворечивости теории. Рассмотрению последней проблемы посвящается следующий раздел нашего доклада.
ТАК ЛИ УЖ УДИВИТЕЛЕН УСПЕХ ФИЗИЧЕСКИХ ТЕОРИЙ?
Почему физик использует математику для формулировки своих законов природы? Это можно объяснить тем, что физик довольно безответственно относится к своим действиям. В результате, когда он обнаруживает связь между двумя величи нами, напоминающую какую-нибудь связь, хорошо известную в математике, он тотчас же делает вывод, что обнаруженная им связь и есть именно та связь, поскольку никакие другие связи того же типа ему неизвестны. В своем докладе я вовсе не собираюсь опровергать выдвигаемое против физика обвинение в том, что он ведет себя несколько безответственно. В какой-то мере этот упрек справедлив. Важно заметить, однако, что математическая формулировка полученных физиком зачастую не слишком точных экспериментальных данных приводит в огромном числе случаев к удивительно точному описанию широкого класса явлений. Это свидетельствует о том, что математический язык служит не только средством общения, но и является единственным языком, на котором мы можем говорить. Правильно будет сказать, что математический язык отвечает существу дела. Рассмотрим несколько примеров.
Первый пример встречается особенно часто — это движение планет. Законы свободного падения были надежно установлены в результате экспериментов, проведенных главным образом в Италии. Эти эксперименты не могли быть очень точными в том смысле, как мы понимаем точность сегодня, отчасти из-за сопротивления воздуха, отчасти из-за того, что во времена Галилея еще не умели измерять короткие промежутки времени. Тем не менее не удивительно, что в результате этих исследований итальянские физики узнали о том, как движутся тела сквозь атмосферу. Затем Ньютон сопоставил закон свободного падения тел с движением Луны, заметив, что параболическая траекто рия падающего камня на Земле и круговая орбита Луны на небе, являются частными случаями одного и того же математи ческого объекта — эллипса. Ньютон постулировал свой закон всемирного тяготения, опираясь на единственное и в те времена весьма грубое численное совпадение. С философской точки зре ния сформулированный Ньютоном закон тяготения противоре чил и духу того времени и самому Ньютону. С точки зрения экс перимента закон всемирного тяготения был основан на весьма отрывочных наблюдениях. Математический язык, на котором этот закон был сформулирован, использует понятие второй производной, а те из нас, кто хоть раз пытался провести соприка сающуюся окружность к какой-нибудь кривой, знают, что поня тие второй производной не слишком наглядно. Закон всемирного тяготения, который Ньютон, не желая того, установил и кото рый он мог проверить лишь с точностью около 4%, при проверке оказался правильным с точностью до 0,0001% и настолько тесно ассоциировался с представлением об абсолютной точности, что физики лишь недавно осмелились вновь заняться исследованием пределов его точности [15]. На пример с законом Ньютона ссылались и ссылаются многие авторы. Мы не могли не привести его первым как фундаментальный пример закона, формулируемого с помощью простых с точки зрения математика понятий и обладающего точностью, лежащей далеко за пределами всякого разумного ожидания. Воспользуемся этим примером для того, чтобы еще раз сформулировать наш основной тезис: во-первых, закон всемирного тяготения (отчасти потому, что в его форму лировку входит понятие второй производной) прост лишь для математика, но отнюдь не для обыкновенного здравомыслящего человека и даже не для первокурсника, если тот не обладает математическими способностями; во-вторых, закон всемирного тяготения — это условный закон с весьма ограниченной сферой применимости. Он ничего не говорит ни о Земле, притягиваю щей те камни, которые бросал Галилей, ни о круговой форме лунной орбиты, ни о планетах солнечной системы. Объяснение всех этих начальных условий остается на долю геолога и астро нома, и задача, стоящая перед ними, отнюдь не легка.
Вторым примером служит обычная элементарная квантовая механика. Последняя берет свое начало с того момента, когда Макс Борн заметил, что некоторые правила вычислений, разра ботанные Гейзенбергом, формально совпадают с давно извест ными математикам правилами действий над матрицами. Борн, Иордан и Гейзенберг предложили заменить матрицами пере менные, отвечающие координатам и скоростям в уравнениях классической механики [16, 17]. Они применили правила матрич ной механики к решению нескольких сильно идеализированных проблем и пришли к весьма удовлетворительным результатам, однако в те времена не было разумных оснований надеяться, что построенная ими матричная механика окажется верной и при более реальных условиях. Сами авторы надеялись, что предложенная ими «механика в основном окажется верной». Первым, кто несколькими месяцами позже применил матричную механику к решению реальной задачи — атому водорода, — был Паули. Полученные им результаты оказались в хорошем согла сии с экспериментом. Такое положение дел вызывало удовлетво рение, но было еще объяснимым, поскольку при выводе своих правил Гейзенберг исходил из проблем, в число которых вхо дила старая теория атома водорода. Чудо произошло лишь то гда, когда матричную механику или математически эквива лентную ей теорию применили к задачам, для которых правила Гейзенберга не имели смысла. При выводе правил Гейзенберг предполагал, что классические уравнения движения допускают решения, обладающие определенными свойствами периодичности. Уравнения же движения двух электронов в атоме гелия (или еще большего числа электронов в более тяжелых атомах) не об ладают этими свойствами, и правила Гейзенберга в этих случаях неприменимы. Тем не менее основное состояние гелия, вычислен ное несколько месяцев спустя Киношитой в Корнелльском уни верситете и Бэзли в Бюро стандартов, в пределах точности наблю дений, составлявшей около 0,0000001, находилось в согласии с экспериментальными данными. В этом случае мы поистине из влекли из уравнений нечто такое, что в них не закладывали.
Аналогичная ситуация возникла и при изучении качествен ных особенностей «сложных спектров», т. е. спектров тяжелых атомов. Я вспоминаю один разговор с Иорданом, который ска зал следующее: «Когда были получены качественные закономер ности спектров, последняя возможность изменить основы ма тричной механики состояла в том, чтобы обнаружить противо речие между правилами, выведенными из квантовой механики, и правилами, установленными в результате экспериментальных исследований». Иначе говоря, Иордан понимал, насколько бес помощными мы оказались бы (по крайней мере временно), если бы в теории атома гелия неожиданно возникло противоре чие. Теорию атома гелия в то время разрабатывали Келлнер и Хилераас. Используемый ими математический формализм был слишком ясен и незыблем, и, не произойди упомянутое выше чудо с гелием, кризис был бы неизбежен. Разумеется, физика сумела бы так или иначе преодолеть этот кризис. Верно и другое: физика в том виде, как мы знаем ее сегодня, не могла бы существовать, если бы постоянно не повторялись чудеса, по добные чуду с атомом гелия, которое, по-видимому, следует считать наиболее удивительным, но далеко не единственным событием во всей истории развития элементарной квантовой механики. Перечень таких чудес можно было бы неограниченно продолжать. Квантовая механика достигла многих почти столь же удивительных успехов, и это вселяет в нас уверенность в том, что она, как мы говорим, верна.
В качестве последнего примера рассмотрим квантовую элек тродинамику, или теорию лэмбовского сдвига. В то время как ньютоновская теория тяготения еще обладала наглядными связями с опытом, в формулировку матричной механики опыт вхо дит лишь в утонченной и сублимированной форме правил Гейзенберга. Квантовая теория лэмбовского сдвига, основные идеи которой выдвинул Бете, была разработана Швингером. Это чисто математическая теория, и единственный вклад эксперимента в нее состоял в доказательстве существования пред сказываемого ею измеримого эффекта. Согласие с вычислениями оказалось лучше 0,001.
Предыдущие три примера (число их можно было бы увели чить почти до бесконечности) призваны были продемонстриро вать эффективность и точность математической формулировки законов природы с помощью специально отобранных «удобных в обращении» понятий; выяснилось, что «законы природы» об ладают почти фантастической точностью, но строго ограниченной сферой применимости. Я предлагаю назвать закономерность, подмеченную на этих примерах, эмпирическим законом эпистемологии. Вместе с принципами инвариантности физических теорий эмпирический закон эпистемологии служит прочным основанием этих теорий. Не будь принципов инвариантности, физические теории нельзя было бы подкреплять экспериментом. Не будь эмпирического закона эпистемологии, нам не хватило бы мужества и уверенности — эмоциональных предпосылок, без которых нельзя было бы успешно исследовать «законы природы». Сакс, с которым я обсуждал эмпирический закон эпистемологии, назвал его догматом веры физика-теоретика и был, несомненно, прав. Однако то, что он назвал нашим догматом веры, подкрепляется примерами из практики, куда более многочисленными, чем три примера, приведенные в нашем докладе.
ЕДИНСТВЕННОСТЬ ФИЗИЧЕСКИХ ТЕОРИЙ
Эмпирическая природа сделанных выше замечаний представляется мне самоочевидной. Они явно не принадлежат к числу «логически необходимых», и, чтобы доказать это, вовсе не нужно указывать на то, что они применимы лишь к очень незначительной части наших знаний о неодушевленном мире. Было бы нелепо считать, будто существование простых с точки зрения математика выражений для второй производной от координат по времени самоочевидно, в то время как аналогичных выражений для самой координаты или скорости не существует. Тем большее удивление вызывает та готовность, с которой чудесный дар, содержащийся в эмпирическом законе эпистемологии, был воспринят как нечто само собой разумеющееся. Способность человеческого разума нанизывать, оставаясь «правым» (т. е. не впадая в противоречие), цепочки из 1000 и более аргументов — дар, не менее удивительный.
Каждый эмпирический закон обладает тем неприятным свойством, что пределы его применимости неизвестны. Мы уже убедились в том, что закономерности в явлениях окружающего нас мира допускают формулировку с помощью математических по нятий, обладающую сверхъестественной точностью. С другой стороны, в окружающем нас мире имеются и такие явления, рассматривая которые, мы не уверены, что между ними существуют какие-либо точные закономерности. Такие явления мы называем начальными условиями. Вопрос, который возникает в этой связи, состоит в следующем: не сольются ли различные закономерности, т. е. различные законы природы, которые будут открыты, в единое непротиворечивое целое или, по крайней мере, не обнаружат ли они асимптотическую тенденцию к такому слиянию? В противном случае мы всегда могли бы указать законы природы, не имеющие между собой ничего общего. Именно так, по крайней мере, обстоит дело с законами наследственности и законами физики. Может случиться даже так, что следствия из некоторых законов природы будут противоречить друг другу, но мы не захотим отказаться ни от одного из законов, поскольку каждый из них в своей области достаточно убедителен. Обнаружив противоречие между отдельными законами природы, мы можем покориться такой ситуации и потерять интерес к разрешению конфликта между различными теориями. Мы можем разочароваться в поисках «абсолютной истины», т. е. непротиворечивой картины, образующейся при слиянии в единое целое маленьких картинок, отражающих различные аспекты природы.
Обе альтернативы полезно проиллюстрировать на примере. В современной физике существуют две теории, обладающие огромной мощью и представляющие большой интерес: квантовая теория и теория относительности. Своими корнями названные теории уходят во взаимно исключающие группы явлений. Теория относительности применима к макроскопическим телам, например к звездам. Первичным в теории относительности считается явление совпадения, т. е. в конечном счете столкновения частиц. Сталкиваясь, частицы определяют или, по крайней мере, должны были бы определять (если бы они были бесконечно малыми) точку в пространстве-времени. Квантовая теория своими корнями уходит в мир микроскопических явлений, и с ее точки зрения явление совпадения или столкновения, даже если оно происходит между частицами, не обладающими пространственной протяженностью, нельзя считать первичным и четко локализованным в пространстве-времени. Обе теории — квантовая теория и теория относительности — оперируют различными математиче скими понятиями: первая — понятием четырехмерного риманова пространства, вторая — понятием бесконечномерного гильбертова пространства. До сих пор все попытки объединить обе теории оканчивались неудачей, т. е. не удавалось найти математическую формулировку теории, по отношению к которой квантовая теория и теория относительности играли бы роль приближений. Все физики считают, что объединение обеих теорий принципиально возможно и нам удастся в конце концов достичь его. Однако нельзя исключать и другую возможность — что нам не удастся построить теорию, объединяющую квантовую механику и теорию относительности. Приведенный пример показывает, что ни одну из названных возможностей — объединение двух теорий и конфликт между ними — нельзя отбрасывать заранее.
Чтобы получить хотя бы намек, какую же из двух альтернатив нам следует, в конце концов, ожидать, притворимся чуточку более невежественными, чем мы являемся в действительности, и опустимся на более низкий уровень знания. Если, оставаясь на этом уровне знания, мы будем в состоянии обнаружить возможность слияния наших теорий, то можно с уверенностью сказать, что и на истинном уровне наших знаний такое слияние также окажется возможным. С другой стороны, обнаружив конфликт на более низком уровне знаний, мы не сможем исключить возможность существования непримиримо конфликтующих теорий и после возвращения на истинный уровень наших знаний. Уровень знания и степень нашего интеллектуального развития изменяются непрерывно, и маловероятно, чтобы сравнительно слабая вариация этой непрерывной функции изменяла имею щуюся в нашем распоряжении картину мира, внезапно превра щая ее из несогласованной в последовательную (13).
Высказанной только что точке зрения противоречит тот факт, что некоторые теории, ошибочность которых нам заведомо известна, позволяют получать удивительно точные результаты. Если бы мы знали немного меньше, то круг явлений, объясняемых этими «ложными» теориями, казался бы нам достаточно большим для того, чтобы уверовать в их «правильность». Однако эти теории мы считаем «ошибочными» именно потому, что, как показывает более тщательный анализ, они противоречат более широкой картине, и, если таких теорий обнаружено достаточно много, они непременно вступают в конфликт друг с другом. Не исключена и другая возможность: теории, которые мы, опираясь на достаточно большое, по нашему мнению, число подтверждающих фактов, считаем «верными», на самом деле являются «ошибочными» потому, что противоречат более широкой, вполне допустимой, но пока еще не открытой теории. Если бы дело обстояло именно так, мы должны были бы ожидать конфликта между нашими теориями, когда число их превысит определенный уровень и они будут охватывать достаточно широкий круг явлений. В отличие от уже упоминавшегося догмата веры физика-теоретика эту мысль следовало бы назвать «кошмаром» теоретика.
Рассмотрим несколько примеров «ошибочных» теорий, дающих, вопреки своей ошибочности, удивительно точное описание различных групп явлений. Если не быть чересчур придирчивым, то некоторые подробности, относящиеся к этим примерам, можно опустить. Успех первых основополагающих идей Бора в теории строения атома был весьма ограниченным, как, впрочем, и успех эпициклов Птолемея. Теперь мы находимся в более выгодном положении и можем точно указать все явления, которые допускают описание в рамках этих примитивных теорий. Мы не можем утверждать ничего подобного о так называемой теории свободных электронов, которая дает удивительно точную картину свойств большинства, если не всех, металлов, полупроводников и изоляторов. В частности, теория свободных электро нов объясняет тот факт (который так и не удалось объяснить на основе «настоящей теории»), что удельное сопротивление изоляторов может в 1026 превосходить удельное сопротивление ме таллов. Более того, не существует экспериментальных данных, которые бы убедительно показали, что сопротивление конечно при условиях, когда, согласно теории свободных электронов, оно должно было бы обращаться в бесконечность. Тем не менее мы убеждены, что эта теория представляет собой лишь грубое приближение и при описании явлений, происходящих в твердых те лах, ее должна была бы заменить более точная картина.
Достигнутые к настоящему времени успехи позволяют считать, что ситуация с теорией свободных электронов несколько тревожна, но отнюдь не свидетельствует о каких-то непреодолимых противоречиях. Теория свободных элементов заставляет нас сомневаться в другом: насколько мы можем доверять численному совпадению между теорией и экспериментом как показателю правильности теории. К такого рода сомнениям мы привыкли.
Гораздо больше трудностей и сомнений возникло бы, если бы в один прекрасный день нам удалось построить теорию сознания или разработать теоретическую биологию, столь же непротиворечивую и убедительную, как и существующие ныне теории неодушевленного мира. Если говорить о биологии, то законы наследственности Менделя и последующее развитие генетики вполне можно считать зачатками такой теории. Более того, не исключено, что кому-нибудь удастся обнаружить некий абстрактный аргумент, свидетельствующий о конфликте между такой теорией и общепринятыми основами физики. Аргумент этот может быть столь абстрактным, что упомянутый конфликт нельзя будет разрешить в пользу одной из теорий с помощью эксперимента. Такая ситуация сильно пошатнула бы нашу веру в суще ствующие теории и в реальность создаваемых нами понятий. Мы испытали бы чувство глубокого разочарования в поисках того, что я назвал «абсолютной истиной». Причина, по которой подобную ситуацию нельзя считать заранее исключенной, состоит в том, что нам в принципе неизвестно, почему наши теории «работают» так хорошо. Их точность может еще не свидетельствовать об их правильности и непротиворечивости. Автор данного доклада убежден, что нечто подобное возникает при попытке сравнить современные законы наследственности с физическими законами.
Я хотел бы закончить более радостной нотой. Математиче ский язык удивительно хорошо приспособлен для формулировки физических законов. Это чудесный дар, который мы не понимаем и которого не заслуживаем. Нам остается лишь благодарить за него судьбу и надеяться, что и в своих будущих исследованиях мы сможем по-прежнему пользоваться им. Мы думаем, что сфера его применимости (хорошо это или плохо) будет непрерывно возрастать, принося нам не только радость, но и новые голово ломные проблемы.
Я хотел бы поблагодарить Поляни, который давно уже оказывает глубокое влияние на мою точку зрения в связи с пробле мами эпистемологии, и Баргмана за дружескую критику, способствовавшую достижению ясности. Я очень признателен также Шимони, просмотревшему рукопись данного доклада и обратившему мое внимание на статьи Пирса,
ЛИTEPATУPA
1. Dubislav W., Die Philosophic der Mathematik in der Gegenwart, Junker und Dunnhaupt Verlag, Berlin, 1932.
2. Polanyi M., Personal Knowledge, University of Chicago Press, Chicago, 1958, p. 188.
3. Hilbert D., Abhandl. Math. Sem., Univ. Hamburg, 157 (1922).
4. Hilbert D., Gesammelte Werke, Springer Verlag, Berlin, 1935.
5. Schrodinger E., Uber Indeterminismus in der Physik, J. A. Barth, Leipzig, 1932.
6. Dubislav W., Naturphilosophie, Junker und Dunnhaupt, Verlag, Berlin, 1933, Kap. 4.
7. Wigner E., Proc. Amer. Phil. Soc., 93, 521 (1949). (Статья первая данной книги.)
8. Deutsch M., Daedalus, 87, 86 (1958).
9. Peirce C. S., Essays in Philosophy of Science, The Liberal Arts Press, New York, 1957, p. 237.
10. Schrodinger E., What is Life?, Cambridge University Press, Cambridge, 1945, p. 31. (Имеется перевод: Шредингер Э. Что такое жизнь с точки зрения физики?, ИЛ, 1947.)
11. Wigner E., Proc. Amer. Phil. Soc., 94, 422 (1950). (Статья 12 данной книги.)
12. Margenau H., The Nature of Physical Reality, McGraw-Hill, New York, 1950, ch. 8.
13. Dirac P. A. M., Quantum Mechanics, 3rd Ed., Clarendon Press, Oxford, 1947. (Имеется перевод: Дирак П.А.М., Принципы квантовой механики, Физматгиз, М.. 1960)
14. von Neumann J., Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik, Springer Verlag, Berlin, 1932. (Имеется перевод: Иоганн фон Нейман, Математические основы квантовой механики, изд-во «Наука», М., 1964.)
15. Dicke R. H,, Amer. Sci., 25 (1959).
16. Born M., Jordan P., Zs. Phys., 34, 858 (1925).
17. Born M., Heisenberg W., Jordan P., Zs. Phys., 35, 557 (1926).
Примечания
1. Доклад прочитан 11 мая 1969 г. в Нью-Йоркском университете на Курантовских математических лекциях. Опубликован в журнале: Соmm. Риге аnd Арpl. Маth„ 13, 1 (1960).
2. Речь идет о замечании Вернера, в то время студента Принстонского университета,
3. Приведенное замечание принадлежит Дубиславу [1].
4. Поляни [2] (на стр. 188) говорит следующее: «Все упомянутые выше трудности проистекают единственно из нашего нежелания понять, что мате матику как науку нельзя определить, не признав ее наиболее очевидного свой ства — того, что она интересна».
5. В этой связи читателю будет небезынтересно ознакомиться с весьма красочными замечаниями Гильберта об интуиционизме, который пытается «подорвать и обезобразить математику» (см. [3, 4]).
6. См. работу Шредингера [5], а также работу Дубислава [6].
7. В этой связи см. также яркий очерк Дейча [8]. Шимони обратил мое внимание на аналогичную мысль у Пирса [9].
8. Шредингер [10] говорит, что второе чудо также может выходить за рамки человеческого понимания.
9. См. также работу Маргенау [12].
10. Автор считает излишним напоминать о том, что приведенная выше фор мулировка закона Галилея не исчерпывает полностью содержания выполнен ных Галилеем наблюдений но выяснению законов свободного падения тел.
11. См., например, работу Шредингера [5],
12. Его приписывают Галилею.
13. Эту мысль я написал после больших колебаний. Я убежден, что в эпистемологических дискуссиях полезно отказаться от представления об исклю чительно высоком положении уровня человеческого интеллекта на абсолютной шкале. В ряде случаев полезно рассматривать достижения, доступные и при уровне развития, свойственном отдельным видам животных. Я полностью от даю себе отчет в том, что идеи, приведенные в тексте доклада, очерчены слишком бегло и не подвергались достаточно критическому обсуждению, что бы их можно было считать надежными.
Вопросы для понимания
О каких двух альтернативных отношениях между теориями в физике говорит Вигнер?
Возникновение математики
Основная проблема статьи Дж. Нидама - почему современная наука, какой мы ее знаем с семнадцатого столетия, с Галилея, не развилась ни в китайской, ни в индийской цивилизации, а возникла именно в Евро пе. Наряду с этим обсуждается вопрос - почему между I ве ком до н. э. и XV веком н. э. китайская цивилизация была более высокой, чем западная, с точки зрения эф фективности приложения человеческих знаний к нуждам человеческой практики. Ответы на эти вопросы автор ищет, прежде всего, в социальных, духовных и экономических структурах Западной и Восточной цивилизаций. Он хочет уйти от таких объяснений причин возникновения «греческого чуда», как а) чистая случайность и б) расизм (представление о том, что определенная группа народов, в данном случае «европейская раса», обладает каким-то врожденным превосходством, выделена среди всех других групп народов). Он подчеркивает дух активизма древних греков, с одной стороны, и – принцип невмешательства, «ву вей», характерный для Китая. Народный герой греков – мореплаватель, тогда как в Китае – специалист-гидролог. Китаец – это, прежде всего крестьянин, а не скотовод или мореплаватель. Крестьянин, если он сделал все, что положено, вынужден ждать урожая, тогда как скотоводство и мореплавание развивают склонности к командованию и подчинению. «Принцип невмешатель ства трудно было бы согласовать со специфически западным «вмешательством», которое естественно для народа пастухов и мореплавателей. Принцип невмеша тельства мешал меркантильному образу мышления за нять ведущее место в цивилизации. Именно поэтому он не был в состоянии объединить технику высокого мастерства с учеными методами математического и логиче ского мышления. Этап научного развития от Леонардо да Винчи до Галилея не был пройден естествознанием Китая, его, возможно, и нельзя было пройти. В средне вековом Китае систематическое экспериментирование ве лось в больших масштабах, чем в древней Греции или в средневековой Европе, но, пока существовал «бюро кратический феодализм», математика не могла объеди ниться с эмпирическими наблюдениями природы, а экс перимент — дать нечто фундаментально новое. Дело в том, что эксперимент требует слишком активного вме шательства, и, хотя к такому вмешательству приходи лось терпимо относиться в ремесле и торговле более терпимо даже, чем в Европе, получить философскую сан кцию в Китае активному вмешательству было, видимо, труднее» (стр. наст издания).
Нидам подробно характеризует бюрократический феодализм, сложившийся в Китае, и его отличия от экономического и государственного устройства средневековой Европы и высказывает надежду, что когда-нибудь доступные анализу различия между социально-экономическими формациями Китая и Западной Европы объяснят и превосходство китайской науки и техники в средние века и возникновение современной науки только в Европе.
Общество и наука на Востоке и на Западе
Когда в 1938 году у меня возникла мысль написать систематический, убедительный и объективный труд по истории научной мысли и техники в областях, находив шихся под влиянием китайской культуры (1), я считал, что основной проблемой будет вопрос о том, почему современная наука, какой мы ее знаем с семнадцатого столетия, с Галилея, не развилась ни в китайской, ни в индийской цивилизации, а возникла именно в Евро пе. Но годы шли, и по мере того, как обнаруживались новые факты о китайской науке и о китайском общест ве (2), я начал уяснять, что есть еще и второй вопрос не меньшей важности: вопрос о том, почему между I ве ком до н. э. и XV веком н. э. китайская цивилизация была более высокой, чем западная, с точки зрения эф фективности приложения человеческих знаний к нуждам человеческой практики.
Ответы на эти вопросы, мне кажется, нужно искать, прежде всего, в социальных, духовных и экономических структурах различных цивилизаций. Сравнение Китая и Европы особенно поучительно и наглядно потому, что здесь исключен климатический фактор; в широком смыс ле климатические условия области влияния китайской культуры близки к климатическим условиям Европы. О Китае никто не мог бы сказать, как это иногда де лают в отношении Индии, что чересчур жаркий климат препятствует развитию современной науки (3). Хотя при родные, географические и климатические условия, бес спорно, играют большую роль в формировании специ фических черт культуры, я не склонен считать, что именно это является определяющим для индийской культуры. В случае с Китаем такая гипотеза вообще не имела бы почвы.
С самого начала я весьма скептически относился к ценности «физио-антропологических» или «расово-духовных» факторов любого сорта, которые находят под держку у достаточно широкого круга людей. Все то, что я узнал за последние тридцать лет, с момента моих первых личных контактов с китайскими друзьями и коллегами, только укрепило меня в этом скептицизме. Китайцы оказались именно такими, какими их увидел много столетий назад Джованни из Монтекорвино, di nostra qualita, то есть такими же, как мы. Я считаю, что огромные исторические различия между культурами мо гут найти объяснения только в рамках социологических исследований и что когда-нибудь проблема будет реше на именно на этом пути. Чем более глубоко я погру жаюсь в детали исторических достижений китайской науки и техники до того времени, когда наука и техни ка Китая, как и другие этнические потоки культуры, стали вливаться, в море современной науки, тем больше я убеждаюсь в том, что причины именно европейского происхождения науки можно искать в особенностях со циальных и экономических условий, которые преоблада ли в Европе в эпоху Ренессанса. Эти «причины не имеют отношения ни к складу китайского разума, ни к специ фике китайской духовной и философской традиции. Во многих отношениях как раз эти стороны китайской культуры ближе к современной науке, чем мировоззрен ческие нормы христианства. Подобная точка зрения мо жет считаться марксистской или любой другой, но для меня она убеждение, основанное на опыте жизни и ис следований.
Учитывая сказанное, мы, как историки науки, обя заны рассмотреть некоторые существенные особенности военно-аристократического феодализма Европы, в нед рах которого мог бы зародиться торговый и промышленный капитализм вместе с Ренессансом и Реформацией, и рассмотреть такие особенности других видов фео дализма (если таковые действительно обнаруживаются), которые были бы характерны для средневековой Азии. С точки зрения науки нам, если мы хотим решить проблему, во всяком случае, нужно иметь нечто особенное, нечто отличающееся от условий в Европе. Именно по этому я никогда не симпатизировал тому частному те чению марксистской мысли, которое ищет жестких и универсальных формул для всех этапов общественного развития, через которые «должны пройти» все цивили зации.
Уже самый ранний из этих этапов, первобытный ком мунизм, порождает множество споров. За некоторыми заметными исключениями (Гордон Чайлд, например), западные антропологи и археологи отвергают, как пра вило, концепцию первобытного коммунизма. Вместе с тем мне всегда казалось весьма существенным для ис следования и разумным считать, что до появления клас совой дифференциации существовала какая-то исходная нерасчлененная форма общества, и по ходу изучения древнего китайского общества я обнаруживаю, что чер ты такого нерасчлененного общества просматриваются время от времени через многовековой туман. Нет ка ких-либо фундаментальных трудностей и на другом конце исторической цепи, на этапе перехода от феода лизма к капитализму, хотя, конечно, переход этот неве роятно сложен в деталях и требует еще большой иссле довательской работы. Остается, в частности, ускользаю щим от наблюдения сам механизм связи между соци ально-экономическими изменениями и подъемом современной науки, которую можно было бы определить как успешное приложение математизированных гипотез к систематическому экспериментальному исследованию природы. Независимо от теоретических склонностей и предубеждений все современные историки с необходи мостью вынуждены признавать, что подъем современной науки происходил pari passu, из одного корня с Ренес сансом, Реформацией и подъемом капитализма (4), что существует интимнейшая связь между социально-эконо мическими изменениями, с одной стороны, и успехами «новой или экспериментальной» науки — с другой, хотя эти тонкие отношения весьма сложно поймать сачком определений. Об этом можно бы говорить весьма много, например о жизненно важной для науки роли «высокого ремесленного мастерства», его объединения с учеными-схоластами того периода (5), но настоящая статья не место для такого разговора; мы ищем нечто другое. Пока для нас существенно одно — возникновение и раз витие науки произошло в Европе, а в других районах этого не случилось.
При сравнении состояний Европы и Китая наиболее важными и вместе с тем наиболее темными проблемами являются следующие: а) насколько и в каком именно отношении китайский средневековый феодализм (если этот термин применим для Китая) отличался от евро пейского феодализма; б) прошел ли Китай (или соот ветственно Индия) через «рабовладельческий строй» того типа, который имел место в Греции классического периода и в Риме. Вопрос, конечно, не столько в том, существовал ли институт рабства, это совсем другая проблема, а в том, основывалось ли общество на этом институте рабства.
В молодости, когда я еще работал в биохимии, на меня большое впечатление произвела книга Карла Виттфогеля «Экономика и общество Китая», которую он на писал в тот период, когда был еще более или менее ортодоксальным марксистом в догитлеровской Герма нии (6). Виттфогеля особенно интересовало развитие кон цепции «азиатского бюрократизма» или, как его теперь называют китайские историки, «бюрократического фео дализма». Концепция взята из работ Маркса и Энгель са, которые основывали ее на свидетельствах XVII века, собранных французом Франсуа Бернье, врачом могольского императора Индии Ауренгзеба (7). Маркс и Энгельс говорили об «азиатском способе производства». Как в различных контекстах они определяли этот термин и как его должно определять в наше время — это сегодня является предметом оживленной дискуссии почти во всех странах. В широком смысле речь идет о возникно вении бюрократического в своем существе государствен ного аппарата, которым управляла ненаследственная элита. Государственный аппарат опирался на большое число сравнительно автономных крестьянских общин, сохранивших черты рядовой организации с незначитель ной или вовсе отсутствующей дифференциацией труда между сельским хозяйством и ремеслом. Форма эксплуатации состояла главным образом в сборе налогов для централизованного государственного аппарата, то есть для императорского двора и многочисленных представителей государственной бюрократии. Необходимость государственного аппарата оправдывалась двойной его функцией: с одной стороны, государство обороняло весь район (сначала древнее «феодальное» государство, а позднее всю Китайскую империю), а с другой — государство организовывало общественные работы и руководило ими. Без риска впасть в противоречие можно сказать, что во всей китайской истории организационная функция была важнее военной, и как раз эту особенность Китая сумел подметить Виттфогель. Топографическая специфика страны и потребности сельского хозяйства с самого начала вынуждали вести гидрологические работы в крупных масштабах, чтобы, во-первых, регулировать большие реки для зашиты от наводнений и тому подобных неприятностей, во-вторых, использовать воду для ирригации, особенно в районах заливного выращивания риса, и, наконец, для создания разветвленной сети каналов, по которым можно было бы доставлять налог в виде зерна на сборные пункты, а оттуда — в столицу. Во все времена величайшим национальным героем Китая оставался специалист-гидролог. Все эти потребности, кроме налоговой эксплуатации, вынуждали использовать подневольный труд, и можно сказать, что единственной повинностью автономной крестьянской общины по отношению к государственному аппарату была выплата налога и питание занятого на общественных работах населения, когда общинам приходилось выделять людей на эти работы2. Кроме этого, государственная бюрократия брала на себя функцию общей организации производства, то есть отвечала за широкую сельскохозяйственную политику, что теперь дает повод оправдывать существование государственного аппарата в обществах этого типа как «высшее экономическое командование». Среди прославленных в древности великих государственных деятелей только в Китае мы обнаруживаем руководителей инженерных и сельскохозяйственных работ, таких, как Шу Кун, Шу Ту, Шу Нун. Не следует также забывать и о том, что «национализация» производства соли и железа (единственные продукты, которые приходилось перевозить, так как они производились не везде) была предложена в V веке до н. э. и практически проведена в жизнь во II веке до н. э. Еще во времена Ханьской династии существовало государственное производство алкогольных напитков, и есть много других примеров государственных монопольных производств при следующих династиях.
Если внимательнее приглядеться к деталям, то проясняются и некоторые новые аспекты. Выясняется, например, что продукт крестьянского труда был не в личной, а в общинной собственности, что теоретически вся земля империи принадлежала императору и только ему одному. Сначала существовало что-то близкое к фамильной собственности на землю, но этот институт не развился в Китае ,в формы, сравнимые с феодальным поместным владением Запада: китайское общество не сохранило систему первородства. перехода собственности к старшему сыну. Поэтому все земельное имущество должно было дробиться на участки всякий раз, когда менялся глава семьи. И еще, в китайском обществе совершенно отсутствует идея_ города-государства. Города строились преднамеренно, как узловые пункты единой административной сети, хотя впоследствии, несомненно, некоторые из них стихийно вырастали в торговые центры. Каждый город был укрепленной крепостью, которой владел принц или сам император, представленный гражданским губернатором и его военным советником. Поскольку экономическая функция в китайском обществе всегда была значительно важнее военной, не приходится удивляться тому, что гражданский губернатор был обычно более уважаемым лицом, чем военный совет ник — начальник гарнизона. И наконец, рабы, вообще говоря, не использовались в сельскохозяйственных рабо тах и лишь ограниченно использовались в ремесле. На протяжении многих веков рабство носило в основном домашний, можно даже сказать «патриархальный» ха рактер.
В более поздних и высокоразвитых формах, каким мы его застаем в Танский и Сунский периоды, «азиат ский способ производства» складывается в социальную систему, которая хотя и была «феодальной» в том смыс ле, что большая часть богатства приобреталась в ре зультате эксплуатации крестьянства (11), но вместе с тем носила ярко выраженный бюрократический, а не воен но-аристократический характер. Нельзя недооценивать силу гражданской традиции в китайской истории. Импе раторская власть осуществлялась не через иерархию имеющих поместья баронов, а через развитую и гибкую сеть гражданских служб, которая известна на Западе как «мандаринат» — институт, не использующий наслед ственную передачу имущества и власти. Мандаринат обновлялся с каждым новым поколением, и после три дцати лет изучения китайской культуры я могу сказать только одно: именно этот институт в значительно боль шей степени, чем другие, помогает понять суть и смысл китайского общества. Я считаю, что как раз мандаринат делает в принципе возможным анализ того, почему «бюрократический феодализм» в Азии сначала способ ствовал росту знания о природе и применению этого знания на пользу людям, а затем стал препятствовать подъему капитализма и современной науки, тогда как европейская форма феодализма действовала как раз наоборот, если иметь в виду разложение феодализма и становление нового, основанного на товарном производ стве общества. Товарный способ производства, как ос нова государственности, никогда не мог бы возникнуть в китайской цивилизации, поскольку основные концепции мандарината исключали не только Принцип наслед ственного аристократического феодализма, но и систему ценностей богатого купечества. Накопление капитала в китайском обществе могло, конечно, иметь место, но использование капитала в промышленных частных пред приятиях постоянно подавлялось ученой бюрократией, поскольку это была единственная форма социальной ак тивности, которая могла бы угрожать их привилегиям. Поэтому купеческие гильдии Китая никогда не достига ли статуса и силы купеческих гильдий в городах-госу дарствах европейской цивилизации.
Множество фактов позволяет утверждать, что соци ально-экономическая система средневекового Китая была во многих отношениях более рациональна, чем та же система средневековой Европы. Еще во II веке до н. э. возникла вместе с древней традиционной «рекомен дацией выдающихся талантов» система государственных экзаменов на занятие должностей. Экзамены привели к тому, что более двух тысячелетий мандаринат поглощал все лучшие умы нации, причем такой нации, которая занимает половину континента. Это совершенно непохо же на европейскую ситуацию, где лучшие умы не имели особой склонности появляться на свет в семьях фео далов, и того менее — в узкой группе старших сыновей феодалов. Конечно, некоторые черты бюрократизма были и в средневековом европейском обществе, такие, как институт округов, где можно было дослужиться до генерал-губернаторского чина, а также широко распро страненный обычай использовать епископов и духовных лиц в качестве администраторов от имени короля, но все это не идет ни в какое сравнение с тем постоянным выкачиванием административных талантов, которое было реализовано в китайской системе.
Более того, дело не ограничивалось простым выдви жением административных талантов на соответствую щие бюрократические посты. Конфуцианское учение пользовалось в Китае таким влиянием, что представи тели других групп населения в значительной мере осознавали b признавали свою меньшую значимость в об щем порядке вещей. Когда я недавно рассказывал об этом в университетской среде, мне задали интересней ший вопрос: «Как могло случиться, что на протяжении всей китайской истории военные мирились с тезисом о собственной неполноценности по сравнению с граждан скими властями?» Ведь, в конце концов, «власть меча» была непререкаемым аргументом в других цивилизаци ях. Ответ, видимо, следует искать в том, что имперские дары распределялись бюрократией (13), что в Китае развит культ буквы (14), что в Китае с древних времен широ ко распространено убеждение: меч может завоевать, но удержать завоеванное может только разум. Есть любо пытная легенда о первом императоре династии Хань, который проявлял пренебрежение к дворцовому ритуа лу, разработанному придворными философами, пока один из философов не заявил: «Можно завоевать импе рию верхом на коне, но управлять империей с седла нельзя». После этого император восстановил вce обря ды и церемонии пышного придворного этикета (15). В древ ние времена выдающийся деятель Китая мог быть одно временно и гражданским чиновником и военным. Но важно то, что военные чувствовали и признавали свою неполноценность; многие из них были неудачниками из среды гражданских чиновников. Конечно, и в Китае сила становилась верховным авторитетом и высшей санкцией, как и во всех обществах, но все дело в том, о какой силе идет речь, о моральной или о чисто физи ческой? Китайцы всегда считали, что только моральная сила способна к длительному действию, и то, что завое вано силой физической, удержать может лишь сила мо ральная.
Одним из существенных факторов китайской жизни была высокая культура устной и письменной речи (16). Доказано, что в древнем Китае прогресс наступательно го оружия — арбалет — зашел много дальше, чем про гресс в защитной броне. Древность знает множество случаев, когда вооруженный арбалетом простолюдин или крестьянин убивал феодала — ситуация, мало похожая на европейскую, где рыцарь в тяжелом вооружении поль зовался в средние века всеми преимуществами неуязви мого человека. Возможно, что как раз сравнительная беззащитность человека заставила конфуцианство под черкивать роль убеждения. Китайцы — это наши виги, которым «нужна не сила, а доказательства». Китайско го крестьянина, например, трудно было силой заставить подняться на защиту границ государства по той простой причине, что он мог бы для начала пристрелить своего принца. Но когда философам, патриоты они или софи сты, удавалось убедить крестьянина в том, что воевать за империю необходимо, тогда крестьянин шел в поход. Отсюда постоянное присутствие в классических и исто рических китайских текстах того, что можно было бы назвать «пропагандой» (не обязательно в плохом смыс ле) и что создает своего рода «персональное уравнение» («personal equation»), для которого историк должен дать свое собственное решение. В самом этом факте нет ничего специфически китайского, предубеждения и предвзято сти— общемировое явление, которое можно обнаружить и у Иосифа Флавия и у Гиббона, но синологу всегда приходится держаться настороже: пропагандистские ак центы указывают, как правило, на уязвимые места ци вилизованного гражданина.
В этой связи интересен еще один довод, а именно тат факт, что китаец есть прежде, всего крестьянин, а не скотовод или мореплаватель (17). Скотоводство и море плавание развивают склонности к командованию и подчинению. Ковбои или пастухи гоняют своих животных, капитаны отдают приказы команде, и пренебрежение к приказу может стоить жизни любому на корабле. Но крестьянин, если он сделал все, что положено, вынужден ждать урожая. Одна из притч китайской философской литературы высмеивает человека из царства Сун, который проявлял нетерпение и недовольство, глядя, как медленно pacтyт злаки, и принялся тянуть растения, чтобы заставить их вырасти скорее (18). Сила всегда при знавалась малоперспективным образом действий, поэто му именно гражданское убеждение, а не военная мощь, считалось нормальным путем ведения дел. Все сказан ное о положении солдата по отношению к позиции гра жданского чиновника имеет силу и для противопостав ления: гражданский чиновник — купец. Богатство само по себе ценилось мало. Оно не имело моральной силы. Оно могло дать удобства, но не мудрость, поэтому бо гатство в Китае сравнительно мало способствовало росту престижа. Единственной мечтой любого купече ского сына было стать ученым, пройти имперские экза мены и высоко подняться по бюрократической лестнице. В течение многих поколений это стремление приводило в действие всю бюрократическую систему. Я не уверен, что в наше время это стремление исчезло. Оно, видимо, живет, хотя и в новой, более высокой форме. В конце концов партийный работник, положение которого не зависит от случайностей рождения, как и в древности, равно презирает и аристократическую утонченность и меркантилизм. В каком-то смысле социализм, как дух неугнетенной справедливости, был заключен в бутылке средневекового китайского бюрократизма (19). Древние ки тайские традиции было бы легче согласовать с будущим научным миром международного братства, чем тради ции Европы.
Между 1920 и 1932 годами в Советском Союзе вели широкую дискуссию о том, что понимал Маркс под «азиатским способом производства», но на Западе почти не знают об этой дискуссии, поскольку ее материалы никогда не переводились. Если сохранилась хоть одна копия русских отчетов, то было бы крайне желательно издать материалы дискуссии на западных языках. У нас не было возможности изучить результаты дискус сии, но победу, видимо, одержали те, кто возражал про тив каких-либо отклонений от принятой последователь ности: первобытный коммунизм — рабовладельческое общество — феодализм — капитализм — социализм. Атмо сфера догматизма, которая преобладала в социальных науках под влиянием культа личности, несомненно, сыграла некоторую роль и в этой дискуссии (20). Сейчас появилось новое поколение авторов, которые выражают беспокойство английских марксистов по поводу того, что «феодализм» становится бессодержательным терми ном (21). «Очевидно, — говорят они, — что социально-эконо мическая формация, имеющая равную силу и для Руанда-Урунди и для Франции 1788 года, для Китая 1900 года и для норманнской Англии, рискует потерять ка кое-либо специфическое содержание и стать бесполезной в научном анализе». Подразделения действительно не обходимы. Примечательная черта этих новых работ в том, что их авторы, видимо, мало знают о взглядах Маркса и Энгельса. «Азиатский способ,— говорит один из них,— устаревший термин, который давно уже вышел из употребления» (22). И вместе с тем тот же автор весьма дельно ставит и анализирует проблему задержанного развития ряда азиатских и африканских государств и рекомендует «реабилитировать «азиатский способ» Маркса или даже несколько «способов», с тем чтобы стало возможным различение по региональным особен ностям». Он же рекомендует термин «протофеодальный» для обозначения исходной простой формации, которая затем развивается различными путями.
Когда в современной марксистской литературе упо минают Виттфогеля, то всегда это делается с антипа тией. Происходит это потому, что в гитлеровский пе риод Виттфогель эмигрировал в США, где работает до сих пор, и многие годы был активным участником ин теллектуальной холодной войны. Те авторы, которые рассматривают его недавнюю книгу «Восточный деспо тизм» (23) как пропагандистский выпад против прошлого и настоящего России и Китая, во многом, безусловно, правы. Виттфогель сейчас занят тем, что стремится все злоупотребления власти, идет ли речь о тоталитарном или любом другом режиме, приписать принципу бюро кратизма. Но сам факт, что он стал противником идей, которые разделяются мною и многими другими, не ме няет того обстоятельства, что именно Виттфогель выдви нул когда-то эти идеи и блестяще обосновал их. Поэто му я восхищаюсь его первой книгой и отвергаю по следнюю. Виттфогель во многом, вероятно, утрирует и упрощает, но я все же не думаю, что его теория «гид равлического общества» («hudraulic society») ошибочна в своем существе. Я тоже считаю, что огромный размах общественных работ (регулирование стока рек, иррига ция, строительство каналов) имел в китайской истории и ту социальную функцию, что по ходу строительства нарушались границы отдельных феодальных и дофео дальных владений. Это неизбежно приводило к coсpeдоточению власти в центре, то есть к возникновению над раздробленной массой «родовых» деревенских кланов (24) единого бюрократического аппарата. Я считаю, что ме лиорация играла важную роль в становлении китайско го феодализма именно как феодализма «бюрократиче ского». Конечно, с точки зрения историка науки и техни ки не имеет особого значения, в каких именно деталях китайский феодализм отличался от европейского. Важно лишь, чтобы отличие было достаточно большим (я убежден, что таким оно и было), чтобы объяснить полное подавление капитализма и науки в Китае и успешное их развитие на Западе.
Что же до бюрократии как таковой, то просто неум но раскладывать все социальное зло у ее порога. На против, в течение столетий бюрократия была великим инструментом социальной организации людей. Более того, и в будущих столетиях бюрократия никуда от нас не уйдет, если человечество намеренно сохраниться. Фундаментальная проблема состоит не в уничтожении, a в гуманизации бюрократий, с тем чтобы использовать лишь нужную часть ее организующей силы на благо людям. Но так или иначе бюрократия всегда будет су ществовать. Современные общества основаны на науке и технике, и чем больше будет устанавливаться эта взаимная связь, тем более организованной и совершен ной будет бюрократия. Неправомерно сравнивать бюро кратическую систему, развившуюся на базе подъема науки, с любой предшествующей бюрократической систе мой, которая когда-либо существовала. Современная наука дает нам большой арсенал средств от телефона до вычислительной машины, которые теперь и только теперь могут помочь процессу гуманизации бюрократии. В своей целевой части этот процесс во многом может ориентироваться на то, что существенными сторонами входит в конфуцианство, даосизм, раннее христианство, а также и в марксизм.
Термин «восточный деспотизм» напоминает спекуля тивные построения французских физиократов восемна дцатого столетия, на которых большое впечатление про извела социально-экономическая структура Китая, ка кой она представлялась в то время (25). Эта структура была для физиократов, конечно, «просвещенным деспо тизмом», который им очень нравился, а не угрюмым и ужасающим плодом воображения Виттфогеля. Послед нюю книгу Виттфогеля синологи всего мира приняли с неодобрением, поскольку в ней во многих случаях тен денциозно подобраны факты. Нельзя, например, гово рить о том, что в средневековом Китае не было просве щенного общественного мнения. Напротив, ученая про слойка и ученая бюрократия создавали весьма широкое и действенное общественное мнение. Бывали случаи, когда император мог сколько угодно приказывать, а бюрократия не подчинялась (26). Теоретически император мог считаться абсолютным правителем, но на практике его власть была ограничена традициями и обычаями, которые век за веком находились под воздействием конфуцианской интерпретации исторических текстов. Китай всегда был «однопартийным» государством, и правящей партией в стране была более двух тысячеле тий конфуцианская партия. По моему мнению, термин «восточный деспотизм» в устах Виттфогеля не более оправдан и правомерен, чем тот же термин в устах французских физиократов; я никогда не пользуюсь этим термином. Вместе с тем есть много марксистских тер минов, старых и новых, которые я также затрудняюсь принять. В некоторых работах, например, «идеальная государственная структура» противопоставляется «ре альному субстрату» независимых крестьянских дере вень. Такое противопоставление не кажется мне оправ данным, поскольку работа государственного аппарата в своей области столь же реальна, как и работа крестья нина на поле. Не нравится мне и термин «автономный», когда его прилагают к крестьянской общине; он, как мне представляется, верен лишь в ограниченном смыс ле. Истина же состоит в том, что нам крайне нужно создать совершенно новую систему терминов, поскольку здесь мы имеем дело с общественными структурами, которые далеко отходят от известных на Западе форм. При разработке новой системы терминов я бы предло жил использовать китайские корни, а не настаивать на приложении греческих и латинских корней к обществен ным явлениям, которые резко отличаются от известных нам из собственной истории. Для бюрократии мог бы оказаться полезным термин «куанляо». Если бы у нас была более адекватная терминология, мы могли бы проанализировать и некоторые другие проблемы. Я имею в виду тот примечательный факт, что японское общество было Значительно ближе к западноевропей скому социальному стандарту, и как раз оно оказалось более приспособленным к развитию современного капи тализма. Сам этот факт давно уже признан историками, но в недавних исследованиях вскрывается, похоже, кон кретный механизм, благодаря которому японское воен но-аристократическое феодальное общество могло поро дить капитализм, а китайское бюрократическое общест во было не в состоянии это сделать (27).
Теперь я должен сказать нечто, хотя и не очень мно гое, о «рабском обществе». Исходя из моего собствен ного знакомства с китайской археологией и литерату рой, что в данном случае имеет значение, я не склонен считать, что китайское общество, даже в периоды Шен и Чжоу, было основано на рабском труде в том самом смысле, в каком это можно применить к западным ан тичным культурам. Здесь я, к сожалению, расхожусь с некоторыми современными китайскими учеными, на ко торых глубокое впечатление произвела «одноколейная» гипотеза стадийного развития общества, укрепившаяся в марксистской теории за последние двадцать или три дцать лет. Проблема все еще остается весьма спорной и требующей обсуждений; мы не можем сказать, что до стигли определенности хотя бы в одном из ее аспектов. Несколько лет назад в Кембридже был собран симпози ум по рабству в различных цивилизациях. В ходе об суждений всем участникам пришлось согласиться, что реальные формы рабства в китайском обществе весьма отличаются от форм, известных в других странах. Гос подство клана и семейного долга делает сомнительной саму возможность считать кого-нибудь в подобной ци вилизации «свободным» в западном смысле термина. Но, с другой стороны,— и это противоречит убеждению мно гих — трудовое рабство в Китае было весьма редким явлением (28). Фактом остается то, что ни западные синоло ги, ни сами китайские ученые, никто пока еще не знает достаточно полно, каким был статус холопских или полухолопских групп в различные периоды китайской исто рии, а таких резко различающихся групп было много. Здесь еще нужны глубокие исследования, но, как мне кажется, уже теперь ясно, что ни в экономической, ни в политической области трудовое рабство не было основой всего социального механизма китайского общества в том смысле, в каком рабский труд был некогда основой социальности на Западе (29).
Хотя вопрос о рабовладельческом базисе общества имеет некоторое значение лишь в тех пределах, в ко торых он проясняет положение науки и техники в антич ной Греции и Риме, он не так уж важен для проблемы происхождения современной науки на Западе в период позднего Ренессанса, что, собственно, и было первона чально центральным пунктом моих исследований. Но будь такое рабство в Китае, оно наложило бы свой отпечаток на все достижения китайского общества в при ложении знания о природе к человеческим нуждам в течение четырнадцати столетий нашей эры и четырех или пяти столетий до нашей эры. Но ничего этого нет. Разве не удивительно, что Китаю нечего показать, что шло бы в сравнение с галерами рабов в Средиземно морье? Парус (а пользовались им весьма искусно) был универсальным движителем на всех китайских кораблях с древнейших времен. У Китая просто нет свидетельств массового применения рабочей силы, сравнимых, напри мер, с гигантскими стройками древнего Египта. К тому же, и это тоже весьма примечательно, до сих пор не обнаружено ни единого серьезного случая отказа в Ки тае от изобретений из-за страха перед безработицей. Если китайская рабочая сила была действительно такой огромной, какой она кажется большинству, то трудно понять, почему бы ей не проявляться время от времени в концентрированных формах. С другой стороны, для древних времен китайской культуры мы обнаруживаем множество примеров применения орудий, облегчающих человеческий труд, причем возникали эти орудия зна чительно раньше, чем в Европе. Примером может слу жить тачка, которую в Европе не знали до XIII века, а в Китае она известна с III века н. э., причем она опре деленно появилась века на два раньше. Вполне может оказаться, что как бюрократический аппарат объясняет невозможность самозарождения науки современного ти па в китайской культуре, так и отсутствие массового рабского труда может объяснить значительные дости жения китайской культуры в развитии чистого и при кладного знания в первые века нашей эры.
Среди европейских социологов нового поколения в настоящее время делаются серьезные попытки заново проанализировать проблему «азиатского способа про изводства» (30). Частично это можно объяснить важно стью подобных идей для понимания африканских об ществ, которые сейчас возникают под названием слабо развитых стран. Совершенно не ясно, применимы ли к этим обществам те ограниченные категории, которые считаются сегодня традиционными. Но наибольшим сти мулом дискуссии было, пожалуй, опубликование в 1939 году в Москве работы самого Маркса, написанной в 1857—1858 годах и озаглавленной «Докапиталистические формы производства». Эта рукопись — одна из подгото вительных работ к «Капиталу» и включена в его «Основ ные черты критики политической экономии», сборник статей, который опубликован вторым изданием в Герма-
нии в 1952 году (31). К большому несчастью, этот текст Маркса не был известен участникам дискуссии двадцатых-тридцатых годов. Именно этот документ дает глубо кое я систематическое изложение идей «азиатского спо соба производства». Один из важных вопросов заклю чается в том, считали ли Маркс и Энгельс «азиатский способ производства» чем-то качественно отличным от того или иного классически выделенного типа общества в остальных частях мира, или же они считали его только количественной модификацией одного из этих типов. Не совсем ясно, видели ли они в «азиатском способе» пере ходную структуру (которая была бы в определенных ус ловиях способна к долговременной стабилизации) или же рассматривали «бюрократизм» как особый, четвер тый, фундаментальный тип общества. Был ли «азиат ский способ производства» простой вариацией класси ческого рабства или классического феодализма? Неко торые китайские историки со всей определенностью говорят об «азиатском способе» как о специфической раз новидности феодализма. Но Маркс и Энгельс иногда говорят о нем так, как если бы считали «азиатский спо соб производства» чем-то качественно отличным и от рабского и от феодального способа производства. Возни кает также вопрос, насколько концепция «бюрократического феодализма» применима к Америке до появле ния Колумба или для других обществ вроде средневеко вого Цейлона. В последние годы к этой проблеме не раз возвращался Виттфогель, но без значительных результа тов (работ по Цейлону у него нет), а молодые социоло ги исследуют проблему уже в другом плане (32).
Я не сомневаюсь, что работы молодых социологов прольют новый свет на проблему первоначально уско ренного, а затем замедленного развития китайской науки и техники. Этим заняты, в частности, мои француз ские друзья Жан Шено и Андре Одрикот, и то, о чем я буду говорить ниже, основано на ряде их идей. Пред ставляется ясным, что изначальное превосходство китайской науки и техники, которое длилось много столетий, должно находиться в какой-то связи с рациональным, гибким и чувствительным социальным механизмом, ко торый имеет структуру «азиатской бюрократии». Этот тип общества функционирует в основном на «ученом» уровне, то есть ключевые позиции в обществе занимают ученые, а не военные. Центральная власть в таком об ществе во многом полагается на «автоматическое» функ ционирование деревенских обществ и, вообще говоря, стремится сократить до минимума вмешательство госу дарства в дела общин. Выше я уже говорил о фунда ментальных психологических различиях между крестья нином-землепашцем, с одной стороны, и скотоводом или мореплавателем —с другой. Это различие четко выраже но в китайских терминах «вей» и «ву вей». «Вей» озна чает приложение силы или силы воли, уверенность в том, что вещи, животные и даже другие люди сделают то, что им приказано делать. «By вей» выступает противопо ложностью первого: оставляет вещи в покое, позволяет природе идти своим путем, извлекает пользу из природы вещей без их изменения, дает знание о том, как обой тись без вмешательства. Термин «ву вей» — великий ло зунг и неписаное правило даосизма всех столетий (33). Как раз этот принцип невмешательства выражен в знамена тельной фразе, которую довелось слышать Бертрану Рас селу во время поездки в Китай: «Производство без вла дения, действие без самоутверждения, развитие без гос подства» (34). «By вей», отсутствие вмешательства, хорошо согласуется с «самодвижением» крестьян и крестьянских общин. Даже когда древнее «азиатское» общество усту пило место «бюрократическому феодализму», концепция «ву вей» не потеряла силы. Китайская политическая практика и деятельность правительственных органов дол гое время основывались на этом принципе невмешатель ства, который был унаследован от древнего общества, от простой пары противоположностей «деревни — князь». На всем протяжении китайской истории лучшим магист ратом считался тот, который меньше других вмешивался в гражданские дела, и во всей истории главной задачей кланов и родов считалось улаживать свои дела домашним порядком, не прибегая к услугам суда (35). Вполне возможно, что общество такого типа поощряло наблю дательное отношение к природе. Человек в таком обще стве старался бы проникнуть как можно глубже в ме ханику естественного мира и использовать содержащие ся в природе источники энергии, до минимума сводя свое вмешательство в природные механизмы, применяя «дей ствие на расстоянии». Концепции этого в высшей степе ни утонченного способа мысли всегда стремились дости гать результатов экономными средствами, и, естественно, поощряли изучение природы по близким к Бэкону моти вам. Здесь, видимо, и кроется причина таких достиже ний раннего периода, как сейсмограф, литейное произ водство, использование гидроэнергии.
Можно, таким образом, сказать, что эта основанная на невмешательстве концепция человеческой деятельно сти была первоначально благоприятной для развития науки. Например, склонность к «действию на расстоя нии» могла оказать большое влияние на разработку ран них теорий волн, на открытие природы приливов, на зна ние отношений между минеральными частицами и расте ниями в геоботаническом плане, а также на науку о магнетизме. Часто забывают, что одним из существенных обстоятельств зарождения науки во времена Галилея было знание магнитной полярности, склонения и т. п. В отличие от геометрии Евклида и астрономии Птолемея наука о магнетизме попала в Европу извне (36). Никто не упоминал о магнетизме в Европе до конца семнадцатого столетия, и заимствование идей магнетизма из китай ских работ несомненно. Если китайцы независимо от ва вилонян были величайшими естествоиспытателями среди всех древних народов, то причиной этого могло оказать ся как раз стимулирующее действие принципа невмеша тельства, который взлелеян даосистской поэзией, исполь зующей символику воды и вечной женственности (37).
Но если невмешательство, как характерная черта от ношения «деревни — князь», дало несколько концепций, благоприятных для прогресса науки, то в нем содержа лась и исходная ограниченность. Принцип невмешатель ства трудно было бы согласовать со специфически западным «вмешательством», которое естественно для народа пастухов и мореплавателей. Принцип невмеша тельства мешал меркантильному образу мышления за нять ведущее место в цивилизации. Именно поэтому он не был в состоянии объединить технику высокого мастерства с учеными методами математического и логиче ского мышления. Этап научного развития от Леонардо да Винчи до Галилея не был пройден естествознанием Китая, его, возможно, и нельзя было пройти. В средне вековом Китае систематическое экспериментирование ве лось в больших масштабах, чем в древней Греции или в средневековой Европе, но, пока существовал «бюро кратический феодализм», математика не могла объеди ниться с эмпирическими наблюдениями природы, а экс перимент — дать нечто фундаментально новое. Дело в том, что эксперимент требует слишком активного вме шательства, и, хотя к такому вмешательству приходи лось терпимо относиться в ремесле и торговле более терпимо даже, чем в Европе, получить философскую сан кцию в Китае активному вмешательству было, видимо, труднее.
Есть и еще одно обстоятельство, которое в средневе ковом китайском обществе способствовало росту естест вознания на этапе, предшествовавшем Ренессансу. Тра диционное общество в Китае было в высшей степени ог раниченным и взаимосвязанным, причем государство несло ответственность за нормальное функционирование всего социального организма, хотя эта ответственность и выполнялась с минимальным вмешательством. Полез но напомнить, что древнее определение идеального пра вителя предписывало ему просто сидеть лицом на юг и распространять свою добродетель во всех направлениях, с тем чтобы «десять тысяч вещей» автоматически хоро шо самоуправлялись. Как мы уже неоднократно пока зывали, государство оказывало мощную поддержку на учному познанию (38). Хранение записей астрономических наблюдений, полученных за тысячелетия, например, было государственным делом. На средства государства публиковались большие энциклопедии, причем не толь ко литературные, но и медицинские и сельскохозяйствен ные. Удачно проводились выдающиеся для того времени экспедиции. Можно напомнить о геодезической экспе диции VIII века, в которой исследовалась дуга меридиа на от Индокитая до Монголии, или об экспедиции для нанесения на карту неба созвездий Южного полушария, на которой были отмечены звезды до 20° от южного не бесного полюса (39). Все это указывает на организованный и коллективный характер науки в Китае, тогда как в Европе наука была обычно частным делом, поэтому в течение многих столетий она отставала. И все же госу дарственная наука и медицина Китая не смогли, когда пришло время, сделать тот качественный скачок, кото рый произошел в западной науке в шестнадцатом и на чале семнадцатого столетия.
Некоторые ученые Азии с предубеждением и подо зрением относятся к идее «азиатского способа производ ства» и «бюрократического феодализма», поскольку они связывают эту идею со своего рода «застоем», который, по их мнению, пытаются навязать истории их стран. Во имя права азиатских и африканских народов на про гресс они проецируют это чувство недовольства в про шлое, пытаются на примерах собственной истории вос создать то самое движение науки по этапам, которое прошла наука на Западе, на ненавистном Западе, кото рый столько времени душил их. Мне представляется крайне важным рассеять это тягостное недоразумение. Я считаю, что нет никаких причин априорно принимать, что Китай и другие древние цивилизации обязаны были пройти через те самые стадии общественного развития, что и европейский Запад. В самом деле, термин «застой» никак не может оказаться применимым к Китаю, а ес ли такое словоупотребление и имело место на Западе, то происходило это в силу элементарного непонимания. Как я уже писал в другом месте (40), в традиционном китайском обществе наблюдался постоянный общий и научный прогресс, и прогресс этот был насильственным путем прерван, когда в Европе после Ренессанса начал ся экспоненциальный рост науки. Китай можно назвать гомеостатичным, кибернетичным, если хотите, но застой ным он никогда не был. В некоторых случаях со всей убедительностью можно показать, что фундаментальные открытия и изобретения заимствованы Европой у Ки тая. Таковы теория магнетизма, экваториальные небес ные координаты, экваториальная установка инструментов для астрономических наблюдений (41), количественная картография, технология литья металлов (42), детали возвратно-поступательного механизма паровой машины (принцип двойного действия, преобразование вращатель ного движения в поступательное) (43), механические часы (44), стремя и конская сбруя, не говоря уже о порохе и всем, что из этого следует (45). Эти многообразные изобретения и открытия оказали революционизирующее влияние на Ев ропу, но социальный порядок бюрократического феодализма в Китае им пошатнуть не удалось. Природная нестабильность европейского общества может поэтому противопоставляться гомеостатичному равновесию в Ки тае, причем последнее, по моему мнению, говорит о более рациональной организации общества. Нам следо вало бы рассмотреть проблему отношения общественных классов в Китае и в Европе. На Западе классовое раз граничение проявлялось довольно четко, но для Китая эта - более сложная проблема, что связано с ненаследственным характером бюрократии. Анализ классовой структуры Китая — дело будущего.
В последние десятилетия многих начинает интересо вать история науки и техники в великих неевропейских цивилизациях, особенно в Китае и Индии. Интерес проявляют ученые, инженеры, философы, востоковеды, но в гораздо меньшей степени (и это характерно) историей других цивилизаций интересуются историки науки. Воз никает вопрос, почему именно среди историков пробле мы Китая и Индии не пользуются особой популярно стью? Есть естественная трудность: недостаток лингви стической подготовки и плохое знание особенностей соответствующих культур усложняет использование ори гинальных источников. К тому же увлечение событиями XVIII и XIX веков в Европе может целиком захватить человека. Все это так, но есть, мне кажется, и более глубокая причина.
Изучение великих цивилизаций, в которых не разви лись стихийно современная наука и техника, ставит про блему причинного объяснения того, каким способом со временная наука возникла на европейской окраине ста рого мира, причем поднимает эту проблему в самой острой форме. В самом деле, чем большими оказыва ются достижения древних и средневековых цивилизаций, тем менее приятной становится сама проблема. На про тяжении последних тридцати лет историки науки в за падных странах проявляли тенденцию отвергать соци альные теории происхождения современной науки, и это имело кое-какие основания в начале двадцатого столе тия. Форма, в которую такие теории облекались, была, бесспорно, несколько вульгарной (46), из чего, правда, ни как не следует, что эти теории не могли быть разрабо таны более глубоко. Следует считаться и с тем, что эти гипотезы производили впечатление неустановившихся и необоснованных в тот период, когда сама история науки начинала складываться в фактологическую научную дис циплину. Большинство историков всегда готовы согласиться, что наука оказывает влияние на общество, но лишь немногие допускают мысль о том, что общество тоже влияет на науку. Прогресс науки им представляет ся независимым благородным движением в определени ях имманентного развития или автономной филиации идей, теорий, логических и математических методов, пра ктических открытий, которые, подобно факелу, переда ются от одного великого человека к другому. Историки в своем большинстве или «имманентники», или «автоно мисты», которые рассматривают развитие науки по Кеп леру: «Прислал господь человека, и имя ему...» (47)
Изучение других цивилизаций ставит поэтому перед традиционной исторической мыслью ряд серьезных пси хологических трудностей. Наиболее очевидный и естест венный способ объяснения загадки науки представляет ся таким, который вскрыл бы фундаментальные разли чия в социально-экономической структуре и в степени стабильности между Европой и азиатскими цивилиза циями. Эти различия призваны были бы объяснить не только загадку европейского возникновения науки, но и европейского возникновения капитализма вместе с про тестантизмом, национализмом и всем тем, чему нет параллелей в других цивилизациях. Мне кажется, что подобное объяснение можно довести до большой степе ни вероятности. В нем никоим образом нельзя пренебре гать факторами из мира идей (язык и логика, религия и философия, теология, музыка, гуманизм, восприятие времени и движения), но при всем том объяснение дол жно опираться на глубокий анализ определенного об щества, его укладов, мотивов, нужд, трансформаций. С имманентной или автономной точек зрения такое объяснение нежелательно, и историки инстинктивно проти вятся изучению других цивилизаций.
Но если, с одной стороны, отрицается состоятель ность или даже возможность социологического анализа причин «научной революции» позднего Ренессанса, ко торые повели к возникновению современной науки, если социологический подход считают слишком революцион ным анализом «научной революции» и, с другой сто роны, желают в то же самое время объяснить людям, почему европейцы оказались способными сделать то, чего китайцам и индийцам не удалось, то здесь волей-неволей возникает неизбежная дилемма. Одно реше ние — чистая случайность, второе — расизм, каким бы неприятным он ни представлялся. Приписывать проис хождение науки чистому случаю значит прямо зая вить о банкротстве истории как формы просвещения человеческого разума. Подчеркивание географических особенностей и различий климата не дает выхода из ту пика, поскольку сразу же возникают проблемы городов-государств, морской торговли, сельского хозяйства и т. п., то есть те самые конкретные факты, с которыми автономист не желает иметь дела. «Греческое чудо», как и сама «научная революция», обречены в этом слу чае оставаться вечными загадками. Единственной аль тернативой такому объяснению от чистого случая вы ступает доктрина о том, что определенная группа наро дов, в данном случае «европейская раса», обладает каким-то врожденным превосходством, выделена среди всех других групп народов. Нет смысла возражать про тив научного изучения человеческих рас, против естест венной антропологии, сравнительной гематологии и дру гих научных дисциплин. Но доктрина европейского пре восходства не имеет ничего общего с наукой и есть обыкновенный расизм, явление политическое. Боюсь, что европеец-автономист втайне сочувствует формуле: «Лишь мы люди, и мудрость родилась вместе с нами». Но поскольку расизм (в открытой форме, во всяком случае) не пользуется уважением среди мыслящих со отечественников и совершенно неприемлем в международном плане, автономист просто чувствует себя в не приятном положении, и это положение следует ожидать, будет становиться со временем все более неприятным (48). Именно поэтому я радуюсь растущему интересу к про блемам связи науки и общества в последние столетия европейской истории, радуюсь растущему размаху ис следований социальных структур других цивилизаций, а также научным описаниям того, чем они отличаются друг от друга в своей основе.
В целом я считаю, что если и существует какое-либо объяснение загадки науки, то как раз доступные анали зу различия между социально-экономическими форма циями Китая и Западной Европы когда-нибудь объяс нят и превосходство китайской науки и техники в сред ние века и возникновение современной науки только в Европе. Узколобые ортодоксии любого сорта вряд ли способны здесь помочь: идти следует туда, куда ведут факты. И самим активным пропагандистом такого рода социально-исторических исследований является в Анг лии последние сорок лет Бернал. Я счастлив тем, что мне не раз приходилось бывать в его компании и раз говаривать с ним перед второй мировой войной, во вре мя его работы в Кембридже. С глубоким признанием я пользуюсь случаем внести свой личный вклад в этот том — коллективный подарок Берналу от его друзей.
1. В 1953 году начата и до настоящего времени (1964) продол жается публикация семитомного труда «Наука и цивилизация в Китае» («Science, and Civilisation in China», Cambridge Univ. Press), в котором, кроме меня, принимают участие Вань Линь, Лю Гуэй-тянь, Хо Пинь-ю, Кеннет Робинсон и Чао Тянь-цин. В этих книгах читатель может найти детали и документы. Ссылки на кни гу даются сокращением НЦК.
2. В настоящей статье нет ссылок на китайские источники, но я должен сразу сказать, что нет таких слов, которые выразили бы мою признательность многим китайским ученым и филологам за их труды и личную помощь. Здесь я упоминаю лишь некоторых: Хоу Вай-лу, Шу Ши-ляна, Го Мо-жо, Куо Пэн-тао, Ли Шу-хуа, Шин Шень-ханя, Тао Мэн-хоу, Чан Фей-суня, By Сю-шуаня, Вэнь И-до.
3. См. Е. Huntington, Mainsprings of Civilisation, New York, 1959.
4. Для имманентной школы историографии (см. также прим. на стр. 175) камнем преткновения является вопрос об историче ской причинности. Подозревая во всем экономический детерминизм, ученые этой школы настаивают на том, что научная революция, поскольку она есть революция научных идей, не может быть «производна от» каких-то других социальных движений, таких как Реформация или подъем капитализма. Возможно, что для данного момента мне следовало бы принять формулировку типа «неразрыв но связано с…». Имманентники всегда представляются мне разно видностью манихейцев — очень уж им не хочется признавать, что ученые имеют плоть, едят, пьют, вступают в гражданские отноше ния со своими современниками, и практические проблемы совре менников не остаются для них тайной. Еще меньше готовы имманентники признать, что научные вклады не всегда делаются осознанно.
5. На этом особенно настаивал и много труда вложил в эту проблему Эдгар Цильзель. Важность этого фактора признал Кромби, специалист по средним векам, которого вряд ли можно запо дозрить в, марксизме (A. C. С г о m b i e, The Relevance of the Midd le Ages to the Scientific Movement, «Perspectives in Mediaeval History», Chicago, 1963, p. 352). См. также его работу «Количест венные понятия в средневековой физике» (А. С. С г о m b i e, Quan tification in Mediaeval Physics, «Quantification», New York, 1961, p, 13).
6. К. A. W i 11 f о g e 1, Wirtschaft und Gesellschaft Chinas, Lei pzig, 1931. Меня многому научила также прекрасная небольшая работа Г. Вильгельма (сына известного синолога Рихарда Виль гельма) «Общество и государство в Китае» (Н. W i I h e 1 m, Gesellschaft und Staat in China, Peiping, 1944). Весьма огорчительно то, что эта немарксистская работа долгое время была совершенно недоступна для западных ученых и что ее не переводили на ан глийский язык.
7. F. В e r n i e r, The History of the Late Revolution of the Empi re of the Great Mogul, Calcutta, 1909. Первоначально опубликована на французском языке в Париже (1671 год), много раз переизда валась. (См. известное письмо Маркса Энгельсу от 2 июня 1853 года.)
8. Да Юй или Юй Великий — один из легендарных древних правителей, которого считают предшественником известной из истории Китая династии Шан (конец второго тысячелетия до н.э.).
9. Сегодня они не должны выделять людей, но оплачивают стоимость дневного труда, а работы производятся людьми в свободное время {A. L. Strong, Letter from China, 1964, No 15). Этот принцип рационального и максимального использования рабочей силы известен в китайской истории более двух тысячелетий. Конкретные сроки выполнения работ всегда были функцией «высшего экономического командования».
10. См. Н. F, Schurmann, The Economic Structure of the Yuan Dynasty, Cambridge, Mass., 1956, p. 146.
11. Из этого вовсе не следует, что ремесло и торговля были в средние века развиты слабо. Напротив, в XII—XIII веках, особенно в южной части Сунской империи, ремесло и торговля находились в таком расцвете, что удивляться приходится скорее прочности и устойчивости бюрократических государственных форм.
12. Любопытное побочное явление этого можно обнаружить в книге Лю Гуэй-тяня и Нидама «Китай и возникновение экзаменов в медицине» (Lu Gwei-Djen, I. Needham, China and the Origin of (Qualifying) Examinations in Medicine, «Proc. Roy. Soc. Med.», 1963, 56, p. 63).
13. Сюда же следует добавить высокий моральный стандарт кон фуцианства, которое в течение многих веков оказывало сильнейшее влияние на мандаринат.
14. Когда я впервые приехал в Китай, у каждой пагоды можно было еще видеть печи для торжественной кремации любого испи санного листа бумаги,
15. НЦК, т. I, стр. 103.
16. Этот аргумент впервые выдвинул Криль (Н. G. Creel), и, когда я изложу его более полно, он получит название «довод Криля».
17. 1 Впервые эта особенность осознана и отмечена Андре Одрикотом (Andre Haudricourt).
18. ЦНК, т. 2, стр. 576.
19. Конечно, средневековый мандаринат был такой же частью системы эксплуатации, как и феодализм или капитализм на Запа де, но как ненаследственная элита он отличен от аристократизма и меркантилизма Европы.
20. В последние десятилетия советские синологи создали много выдающихся социологических исследований по азиатским культу рам, в которых, однако, концепция «азиатского способа производ ства» не упоминается.
21. См. работу Саймона в: «Marxism Today», 1962, 6.
22. См. там же.
23. К. A. Wittfogel, Oriental Despotism, Yale, 1957. См. мою рецензию («Science and Society», 1959, 23, p. 58). Среди множества критических статей о Виттфогеле можно упомянуть интересную работу Ли: О. Lee, Traditionelle Rechtsgebrauche und der Begriff d. Orientalischen Despotismus, «Zeitschr. f. verg. Rechtswiss» 1964 66, p. 157.
24. Относительно уклада и обычая деревень см. интереснейшие замечания Дедьера в работе «Китайская теория революции» (V. Dedijer, The Chinese Theory of Revolution, в: «The Times» 18 November 1963).
25. См. работу Маверика «Китай — модель Европы». (L. A. Ma verick, China a Model for Europe, Anderson, San Antonio, Te xas, 1946), где дается перевод книги Ф. Кесне «Китайский деспо тизм» (F. Quesnay, Le Despotisme de la Chine, Paris, 1767).
26. Cм. Liu Tzu-Chien, An Early Sung Reformer, Fan Chung-Yen, в: «Chinese Thought and Institutions», Chicago, 1957, p. 105.
27. См., например, недавнюю монографию Якобса «Возникнове ние современного капитализма и восточная Азия» (N. Jacobs, The Origin of Modern Capitalism and Eastern Asia, Hongkong, 1958), которая ценна также списком источников. Автор—социолог веберианского толка, который совершает чудеса ловкости, чтобы обойтись без ссылок на Маркса и Энгельса. Кафедра истории эко номики и науки Гонконгского университета занимает, видимо, изо лированную пагоду из слоновой кости (см. особенно стр. 147).
28. См. Е. G. Pulleyblank, The Origins and Nature of Chat tel-Slavery in China, в: «Journ. Econ. and Soc. Hist. of the Orient”, J958, 1, p. 185.
29. Проблема продолжает оживленно дискутироваться, как это можно видеть, например, по работе Т. Покоры «Существовало ли в Китае рабовладельческое общество?» (Т. Р о k о г a, Existierte in China eine Sklavenhaltergesellschaft? в: «Archiv. Orientalni»; 1963, 31, p. 353) и по работе Вельскопфа «Проблемы периодизации древ ней истории» (Е. W е 1 s k о р f, Probleme der Periodisierung d. alten Geschichte; die Einordnung des alten Orients und Altamericas in die Weltgeschichtliche Entwicklung, в: «Zeitschr. f. Geschichtswiss.», 1957, 5, p. 296). Вельскопф считает, что известный синолог Эркес идет неоправданно далеко в отрицании рабства в древнем Китае, а в более поздних трудах переходит в другую крайность. См. работы Эркера «Проблема рабства в Китае» и «Развитие китайского об щества с древности до настоящего времени» (Е. Е г k e s, Das Pro blem der Sklaverei in China, Akad. Verlag, Berlin, 1952; Е. E r k e r, Die Entwicklung der Chinesischen Gesellschaft von der Urzeit bis zur Gegenwart, Akad. Verlag, Berlin, 1953). Прекрасное со брание материалов о рабстве в период Хань дано в работе Уильбура «Рабство в Китае периода первой Ханьской династии» (С. М. Wilbur, Slavery in China during the Former Han Dy nasty, в: «Fild Museum of Nat. Hist. Pubs.», Anthropol. ser.. 1943, 34, 1—490, Pub., № 525).
30. 1 См. обзор Шено «Азиатский способ производства. Новый этап дискуссии» (J. С h e s n e a u x, Le Mode Production Asiatique; une nouvelle Etape de la Discussion, «Eirene», 1964).
Среди множества работ, посвященных этой дискуссии, следует упомянуть работы Токея «Земельная собственность в эпоху Чжоу» и «К проблеме азиатского способа производства» (F. Tokei, Les Conditions de la Propriete foneiere a L'Epoque des Tcheou в: «Acta Antiqua Acad. Sclent. Hungar», 1958, 6, N 3—4; «Mode de Produc tion Asiatique» в: «Centre d'Etudes et de Rech. Marxistes», Pa ris, 1963). См. также М. Godelier, La Notion de Mode de Pro duction Asiatique, Paris, 1964.
31. К. Marx, Grundrisse der Kritik der Politischen Okonomie, Dietz Verlag, Berlin, 1952.
32. О ситуации на Цейлоне, где объем гидрологических работ был также велик, но мандарината не появилось см. Е. L е а с h, Hydraulic Society in Ceylon в: «Past and Present», 1959, № 15, р . 2.
33. НЦК, т. 2, стр. 564.
34. Тaм же, стр. 164.
35. Об одной из темных сторон этого обычая рассказывает Куо Ю-шоу в очерке биографического характера (К и о Y и - S h о и, La Lune sur le Fleuve Perle, Paris, 1963).
36. Cм. J. N e e d h a m, The Chinese Contribution to the Develop ment of the Mariner's Compass в: «Scientia», 1961. 55, p. 1.
37. НЦК, т. 2, стр. 57.
38. НЦК, тт. 2, 3, 4, 6. См. также J. Needham, Poverties and Triumphs of the Chinese Scientific Tradition, «Scientific Chan ge», London, 1963.
39. См. А. В е е г, Н о Р i n g – Yu, L u G w e i – D j e n , J. N e e d h a m, E. G. Р и 11 е у b 1 a n k, G. J. T h o m p s o n, An Eight-cen tury Meridian Line; I-Hsing's Chain of Gnomons and the Prehistory of the Metric System, в: «Vistas in Astronomy», 1961, 4, p. 3.
40. Cм. J. N e e d h a m, China's Scientific Influence on the World, «The Legacy of China», Qxford, 1964,
41. См. J. N е е d h a m, The Peking Observatory in 1280 and the Development of the Equatorial Mounting, «Vistas in Astronomy», 1955, 1, p. 67.
42. Cм. J. N e e d h a m, The Development of Iron and Steel Tech nology in China, London, '1958.
43. Cм. J. N e e d h a m, Classical Chinese Contributions to Mecha nical Engineering; его же: The Pre-Natal History of the Steam-engine, «Trans. Newcomen Soc.» (in the press).
44. Cм. J. Needham, Wang Ling, D. Price в: «Heavenly Clockwork», Cambridge, 1960.
45. Некоторые из многообразных влияний китайских изобретений и открытий на европейскую науку в период до Ренессанса просле жены в работе Уайта «Средневековая технология и социальные из менения» (L. White, Mediaeval Technology and Social Change, Oxford, 1962).
46. Термин «вульгаризация» прилагают обычно к известному до кладу Б. Гессена на II Международном конгрессе по истории на уки в Лондоне в 1931 году (Б. М. Г е с с е н, Социально-экономи ческие корни механики Ньютона, Государственное технико-теоретическое издательство, М.-Л., 1933). Доклад действительно был выдержан в упрощенно грубоватом, кромвелевском стиле. Но уже через шесть лет Мертон в своей замечательной монографии .«Наука, техника и общество в Англии XVII века» (R. К. М е г t o n, Science, Technology and Society in Seventeenth — Century England, «Osiris», 1938, 4, p. 360—362) дал более обстоятельную и сложную интер претацию того же явления. Многим мы обязаны также работам Цильзеля, часть из них публиковалась в журнале «Journal of the Hist. of Ideas.».
47. Хотя в некоторых вопросах Дж. Агасси явно ошибается, он продолжает развивать свою тему в работе «К историографии на уки» (J. Agassi, Towards a Historiography of Science, Mouton, The Hague, 1963). Историк-«индуктивист», по его словам, занят в основ ном вопросом, кого и за что следует почитать. Не больше нравятся ему и историки-«конвенционалисты». Сама по себе эта критика мало меня трогает, но все же удивительно, что Агасси так мало использует работу Вальтера Пагеля, которая подкрепила бы мно гие его аргументы. В вопросе об автономии науки Агасси занимает особую позицию, причем марксизм он рассматривает как одну из ошибок индуктивистов. Он считает, что борьба школ является ос новной движущей силой научного развития. Судя по его письму из Гонконга, контакты с китайской культурой оказали на него значи тельное влияние.
48. Дирек Прайс, сотрудничество с которым я очень ценю, хорошо знает историю вкладов азиатских стран в европейскую науку, но в своей книге «Наука со времен Вавилона» (D. J. de S. Price, Science since Babylon, Yale, Univ. Press, 1961), он следует наитию Эйнштейна и выступает в пользу случайного стечения обстоя тельств, породивших греческую цивилизацию и науку в эпоху Ре нессанса. Холл в работе «Возвращение к Мертону» (A. R. Hal1, Меrton Revisited, «History of Sciences” 1963, 2, p. 1) еще раз вы ступает с нападками на то, что он называет «экстерналистской» историографией науки, но умалчивает о проблеме азиатского вкла да в науку. Если бы он принял несколько более широкую точку зрения, его рассуждения о европейской ситуации могли бы стать более убедительными. Кромби (в цит. работе) показывает глубокое понимание тех медленных социальных сдвигов, которые дали воз можность идейным движениям позднего средневековья и Ренес санса произвести на свет науку в европейском районе культуры. Но даже он не уделяет достаточного внимания сопутствующим экономическим факторам.
Вопросы для понимания
Различие чистой и прикладной математики
В книге И.И. Блехмана, А.Д. Мышкиса, А.Г. Пановко очень глубоко, скрупулезно и убедительно проанализировано различие чистой и прикладной математики. Очень жаль, что невозможно было поместить здесь всю книгу! В приведенной главе авторы рассматривают различие в чистой и прикладной математике понятия «существования», «числа», проблемы бесконечности, понятия функции, устойчивости относительно параметров, представлений о математической строгости. Авторы убедительно показывают, что прикладная математика вовсе не является «недоматематикой», которая со временем возвысится до нормального матема тического уровня. Специфика математического решения прикладных задач состоит по их мнению в следующем: «прежде всего, здесь принци пиально недостижима доказательность того же уровня, что в чисто математических исследованиях, хотя бы потому, что математическая модель реального объекта может описывать лишь существенные в том или ином смысле черты этого объекта, но никогда не претендует и не должна претендовать на его полное описание. С другой сто роны, к решению прикладных задач предъявляются требования, которые в чисто математических исследованиях считаются второсте пенными: прикладная задача должна быть решена не только пра вильно, но и своевременно, экономно по затрачен ным усилиям, решение должно быть доступным для суще ствующих вычислительных средств и пригодным для фактического использования, точность решения должна со ответствовать задаче и т. п.» В конце параграфа авторы приводят богатую подборку высказываний известных математиков о специфике чистой и прикладной математики.
Блехман И.И., Мышкис А.Д., Пановко Я.Г.
Прикладная математика: предмет, логика, особенности подходов. Киев, 1976. Стр. 26 – 55; 64-67.
6. Что включать в математику? Что такое прикладная математи ка? Вообще, существует ли она? Эти вопросы сейчас вызывают по рой ожесточенную дискуссию. Любопытно, что термин «прикладная математика» стал сейчас чрезвычайно модным (особенно среди не специалистов).
Кажется, что наиболее распространенная точка зрения на понятие «прикладная математика» среди математиков состоит в том, что прикладной математики вообще нет. Впрочем, разные математики вкладывают в эти слова совершенно различное содержание в зависи мости от того, что они, математики, включают в самое математику (1).
Одни считают, что математикой нужно называть лишь чисто де дуктивные построения. Все, что лежит вне таких построений, к математике и к математикам отношения не имеет и не должно назы ваться математикой, даже прикладной (2). Ныне эта точка зрения ред ко высказывается вслух, но «неофициально» она еще довольно рас пространена; между прочим, она представляется «удобной» многим преподавателям математики у нематематиков.
В действительности названная точка зрения, неправомерно и значительно суживающая границы Великой Науки Математики, приносит вред в первую очередь самой математике (и, конечно, делу подготовки молодых математиков). Вот что пишут по этому поводу М. Кац и С. Улам: «Попытки — к сожалению, довольно частые — изолировать «чистую» математику от всей остальной научной дея тельности и заставить ее вариться в собственном соку могут лишь обеднить и математику, и прочие науки» [1, с. 234].
Та же мысль высказывалась Ф. Клейном: «Чисто логические кон цепции должны составить, так сказать, твердый скелет ор ганизма Математики, сообщающий ей устойчивость и достоверность. Но самое жизнь математики, важнейшие наведения и ее продуктивность относятся преимущественно к ее приложе ниям, т. е. к взаимным отношениям ее абстрактных объектов со всеми другими областями. Изгнать приложения из математики — это то же, что искать живое существо с одной только костной основой, без мускулов, нервов и сосудов» [2, с. 44].
Процитируем, наконец, и А. Пуанкаре: «Физика не только дает нам (математикам. — Авт.) повод к решению проблем; она еще по могает найти к этому средства. Это происходит двояким путем. Во-первых, она дает нам предчувствия решения; во-вторых, подска зывает нам ход рассуждений» [3, с. 108] .
Здесь в сущности выражена вторая точка зрения, на наш взгляд гораздо более приемлемая; она заключается в том, что в сферу дей ствия математики вводятся также и практические методы решения задач, приходящих извне математики (приближенные методы, при менение математических машин и т. п.).
Однако еще более нам импонирует самая широкая — третья — точка зрения, согласно которой математика не только охватывает дедуктивные области, но и включает все математические сущнос ти — математические объекты, методы и идеи, встречающиеся как в теоретической математике, так и в приложениях: имеются в виду построение математических моделей, математический эксперимент, индуктивные или другие рациональные (§3) рассуждения математи ческого характера и т. п.
В весьма интересной книге Д. Пойа [4, с. 309] говорится: «Пре делы математики — это вся область доказательных рассуждений, от носящихся к любой науке, достигнувшей того уровня развития, при котором относящиеся к этой науке понятия могут быть выраже ны в абстрактной, логико-математической форме». Хочется добавить, что при этом в понятие доказательности не следует вкладывать уз ко догматическое содержание.
Конечно, приверженцам этой точки зрения, которая представля ется нам наиболее прогрессивной и плодотворной для математики (и, что довольно существенно, также для математиков), приходится поступиться «теоретико-множественным единством» математики, оставив его лишь за неким «ядром» математики.
7. Точки зрения на прикладную математику. Прежде всего с огорчением отметим, что, по мнению некоторых математиков, за ниматься приложениями вообще зазорно. По этому поводу Ф. Клейн писал: «К сожалению... все еще встречаются уни верситетские преподаватели, которые не находят достаточно презрительных слов по адресу всякого занятия приложениями. С высокомерием, которое сказы вается в таких взглядах, должно бороться самым решительным образом. Всякое дельное достижение, относится ли оно к теоретической или к прикладной области, следовало бы ценить одинаково высоко, представляя каждому возможность занима ться теми вещами, к которым он чувствует наибольшую склонность. Тогда каждый проявит себя тем более разносторонним образом, чем большим числом талантов он обладает: величайшие гении, каковы Архимед, Ньютон, Гаусс, всегда охваты вали равномерно и теорию и практику [5, с. 314].
Приведем еще слова Р. Куранта: «На самом деле между «чистой» и «приклад ной» математикой невозможно провести четкую грань. Поэтому-то в математике не должно быть разделения на касту верховных жрецов, поклоняющихся непо грешимой математической красоте и внимающих только своим склонностям, и на работников, обслуживающих их. Подобная «кастовость» — в лучшем случае симптом человеческой ограниченности» [6, с. 27]. На вреде такого снобизма останавливается также Н. Бейли в своей полез ной книге [7, с. 138] в связи с приложениями математики к биологии и медицине.
В. В. Новожилов пишет: «К сожалению, теоретик до сих пор нередко рассмат ривает «прикладника» как математика второго сорта, как ученого, который не способен работать предельно строго, разменивается на частности в ущерб общнос ти. Легко обнаруживая у «прикладников» промахи в строгости рассуждений, тео ретик часто остается равнодушным к их основному достоинству — умению с дос таточной для практических целей точностью решать такие актуальные задачи, которые он сам строгими методами решить не может» [8].
В этих цитатах достаточно ярко освещена психологическая сто рона вопроса. Но независимо от этого нужно подчеркнуть, что ныне все чаще признается объективное существование прикладной мате матики. Однако и за подобным признанием скрываются различные точки зрения.
Так, некоторые считают, что прикладная математика — это «ширпотребная», в дурном смысле, часть математики, существующая в виде логически недоработанного и несовершенного (возможно, из-за низкой математической культуры специалистов в этой области) набора некоторых приемов, рецептов и правил. Указанные недо статки прикладной математики должны быть преодолены, в резуль тате чего эта «недоматематика» возвысится до нормального матема тического уровня. Иногда подобная точка зрения является реакцией на те, отнюдь не редкие, работы, в которых математическое легкомыслие приводит к прямым ошибкам (мы ниже будем подробно говорить о таких ошибках), или, что гораздо хуже, на те работы, в которых математическая малограмотность «компенсируется» ссылка ми на прикладную значимость результатов. К сожалению, эта точка зрения порой проникает и в сознание прикладников, вызывая у них некий комплекс неполно ценности. Это, в свою очередь, приводит к самым нелепым (часто комическим) наукообразным упражнениям.
Думается, что эта наивная, но распространенная точка зрения, если она не является проявлением снобизма, основана на тяжелом непонимании истинной ситуации. В самом деле, как с этой точки зре ния можно объяснить то, что физики, инженеры-теоретики и другие специалисты, среди которых, бесспорно, имеется немало неглупых людей, применяя математику, упорно уклоняются от строго дедук тивного языка? И хотя в институтах их систематически учат этому языку, они (себе во вред?) предпочитают переучиваться, переходя на язык прикладной математики и перестраивая весь образ мате матического мышления. В действительности такая перестройка порой напоминает ломку, так как при этом отбрасываются многие «чистые» определения, теоремы и приемы, на которых категориче ски настаивает чисто дедуктивный образ мышления. По нашему мне нию, такая перестройка вполне естественна и единственное объясне ние ее состоит в том, что она необходима. Ниже мы постараемся до казать, что отсутствие категорического требования о формально логическом совершенстве в приложениях математики неизбежно и представляет собой не признак слабости, а источник особой силы прикладной математики.
Другая точка зрения отождествляет прикладную математику с вычислительной и машинной математикой. Эта точка зрения пред ставляется узкой и создающей одностороннюю ориентацию.
Остановимся теперь на точке зрения, высказанной в нашей статье [9]. Мы исходили из того, что математическое решение прикладных задач обладает серьезной спецификой. Прежде всего, здесь принци пиально недостижима доказательность того же уровня, что в чисто математических исследованиях, хотя бы потому, что математическая модель реального объекта может описывать лишь существенные в том или ином смысле черты этого объекта, но никогда не претендует и не должна претендовать на его полное описание. С другой сто роны, к решению прикладных задач предъявляются требования, которые в чисто математических исследованиях считаются второсте пенными: прикладная задача должна быть решена не только пра вильно, но и своевременно, экономно по затрачен ным усилиям, решение должно быть доступным для суще ствующих вычислительных средств и пригодным для фактического использования, точность решения должна со ответствовать задаче и т. п. В этом же духе пишут И. Бабушка, Э. Витасек и М. Прагер в своей очень интересной книге [10, с. 9]: «...сегодня задача считается решенной только в том случае, если имеется эффективный метод, дающий требуемый результат с достаточ ной точностью за приемлемый отрезок времени». В книге Н. С. Бахвалова [11, с. 14], написанной с глубоким пониманием реальных прикладных ситуаций, го ворится, в частности: «Лучше найти удовлетворительное решение задачи, но в срок, чем получить полное решение задачи к тому времени, когда оно станет бес полезным».
Наилучшее выполнение всех этих порой противоречащих друг другу требований мы условно назвали оптимальностью решения (по отношению к приложениям), хотя и предупредили, что на данном эта пе развития науки единую функцию цели было бы указать затруд нительно. Исходя из этого, было предложено определение прикладной математики как науки об оптимальных, грубо говоря, практически приемлемых методах решения математических задач, возникающих вне математики. Таким образом, прикладная математика — это математика, опосредствованная практикой, это как бы составная дисциплина наподобие биохимии или теплотехники. Развитие этой дисциплины определяется как расширением круга приложений, так и изменением конкретного содержания понятия оптимальности ре шения задачи; в частности, это содержание существенно изменилось под влиянием современных вычислительных средств. Само собой разумеется, что если мы ищем оптимальное решение, то это не зна чит, что мы должны отвергать решения, лишь приблизительно от вечающие требованию оптимальности. Значительная часть реаль ных решений, которыми мы пользуемся, как раз и есть решения, в данное время в какой-то мере удовлетворяющие этому требованию.
По данному поводу можно напомнить известный афоризм: «Чис тая математика делает то, что можно, так, как нужно, а приклад ная — то, что нужно, так, как можно» (3) . Он в целом правильно пе редает тенденции, хотя слово «нужно» здесь употреблено в различных смыслах. Имея в виду только второй смысл, скажем, что ниже де лается попытка показать, что прикладная математика призвана де лать то, что нужно, так, как нужно.
Представляется привлекательной и точка зрения, устно выска занная Л. В. Овсянниковым: прикладная математика — это наука о математических моделях; более подробно можно сказать — о построении, исследовании, интерпретации и оптимизации матема тических моделей. Это определение, выделяющее объект науки, на наш взгляд, отнюдь не противоречит предыдущему, которое имеет более функциональный характер. Таким образом, если проводить аналогию — в целом, довольно далекую — между математикой и языком, то чистая и прикладная математика будут напоминать грам матику и семантику соответственно.
Дискуссии о том, образует ли прикладная математика самостоя тельную науку, представляются несколько схоластическими из-за многозначности выражения «самостоятельная наука». Возможно, что более правильно говорить не о науке, а об определенном ас пекте математики, возникающем при ее приложениях, так ска зать, о результате своеобразного «проецирования» математики на цивилизацию; важно, что при таком проецировании математика при обретает качественно новые черты. Это проецирование, эти черты и определяют прикладную математику.
Поэтому мы будем пользоваться словами прикладная математи ка как рабочим термином, определенным последними из приведен ных выше точек зрения, оставив вопрос о самостоятельности суще ствования прикладной математики как науки философам (4). В отличие от этого, говоря о чистой математике, мы будем, в первую оче редь, иметь в виду «ортодоксальную» математику от Вейерштрасса до Бурбаки, основанную на наивной теории множеств. Подчеркнем, что выделение чистой и прикладной математики никак не имеет абсолютного характера, так как это по существу различные аспекты науки, сохраняющей важнейшие черты единства (прежде всего, в основном предмете изучения — структурах, но и не только в этом). В каждом из этих аспектов воз никают свои глубокие активно взаимодействующие идеи. (Поэтому представля ется неудачным говорить не о «чистой», а о «теоретической» математике.) Однако это взаимодействие далеко от оптимального!
Основное внимание мы уделим более конкретным вопросам: ка ковы характерные черты, возникающие при приложении математи ки; в чем специфика метода рассуждений прикладной математики, в частности, какие рассуждения признаются в ней доказательными, и т. д. Обсуждение этих вопросов может сказаться полезным, даже жизненно актуальным и в исследованиях совершенно конкретного характера.
Приведем в заключение яркие слова Р. Куранта [6, с. 27], гово рящие о различии подхода к проблемам чистой и прикладной мате матики и служащие своеобразным введением к нашему последую щему изложению.
«Одна и та же математическая проблема может быть решена по-разному; приверженец строгого математического подхода (а стремление к таковому времена ми возникает у всякого человека, склонного к научному мышлению) требует бескомпромиссного совершенства. Он не допускает никаких пробелов в логике мыш ления и в решении поставленных задач, а достигнутый результат, по его мнению, должен быть венцом неразрывной цепи безупречных рассуждений. И если сторон ник такого подхода сталкивается с трудностями, которые ему кажутся непреодо лимыми, то он скорее попытается переформулировать задачу или даже поставить другую, родственную ей, трудности которой он может преодолеть («то, что мож но — так как нужно».— Авт.). Существует и другой обходной путь: заново опреде лить то, что считалось «решением проблемы»; в действительности подобная про цедура иногда представляет собой довольно общепринятый предварительный шаг к подлинному решению исходной задачи.
В исследованиях прикладного характера все выглядит по-иному. Прежде всего, поставленную задачу нельзя с такой легкостью видоизменить или обойти. Здесь требуется другое: дать правильный и надежный с общечеловеческой точки зрения ответ. В случае необходимости математик может пойти на компромисс: он должен быть готов внести догадки в цепь рассуждений, а также допустить из вестную погрешность в числовых значениях. Однако даже задачи в основном прак тического направления, например, о течениях с ударными волнами, могут потребовать фундаментального математического исследования, чтобы установить, корректно ли поставлена такая задача. В прикладных исследованиях могут понадобиться и доказательства чисто математических теорем существования, поскольку уверенность в том, что имеется решение, может гарантировать досто верность используемой математической модели. (На самом деле это несколько слож нее и мы будем об этом далее говорить.— Авт.) И, наконец, в прикладной математике доминируют аппроксимации (приближения) — без них невозможно обой тись при переносе реальных физических процессов на математические модели.
Обращение с реальностью, преобразованной в абстрактные математические модели, и оценка точности достигаемых при этом соответствий требуют интуитив ных навыков, совершенствуемых опытом. Часто необходимо как-то преобразовать исходную математическую проблему, которая оказывается слишком сложной для решения современными методами. Это отчасти объясняет характер интеллекту ального риска и удовлетворение, которое испытывают математики, работающие с инженерами и естествоиспытателями над решением реальных задач, возникаю щих всюду, куда проникает человек в своем стремлении к познанию природы и управлению ею».
§ 2. О РАЗЛИЧИИ НЕКОТОРЫХ ПОДХОДОВ В ЧИСТОЙ И ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКЕ
1. Предварительные замечания. Имеется много математических понятий и утверждений, которые в чистой и прикладной математике трактуются одинаково или почти одинаково и потому могут быть более или менее непосредственно перенесены из чистой математики в прикладную — конечно, если они представляют интерес для последней. К их числу относятся разнообразные тождественные преобразования, понимаемые в широком смысле, например к таким преобразованиям можно отнести и формулу Грина; многие другие однозначно понимаемые формулы, например формулы дифференци рования или формула для решения квадратного уравнения; утверждения типа «все решения данного уравнения положительны», «данная задача не может иметь более одного решения» и т. д.
Однако имеются понятия и утверждения, трактовки которых в чистой и в прикладной математике принципиально различаются. Здесь мы остановимся именно на случаях, когда понятия и утверждения чистой математики не приемлемы для прикладной математики и вынуждают последнюю искать свои пути, в свою очередь, не приемлемые с точки зрения чистой математики; сюда же примыкает важный вопрос о понятии строгости.
2. «Существование» в чистой и прикладной математике. В чистой математике (как было сказано в конце п.1.7, здесь имеется в виду ее общепринятый «наивный» уровень) понятию «существование» долгое время вообще не давалось ни определений, ни пояснений; как бы подразумевалось, что его содержание и так каждому ясно. Самими собой понятными считались выражения типа (а) «решение этой задачи существует», или (б) «в множестве М существует по крайней мере один элемент х0, обладающий свойством α». Д. Гильберт разъяснил содержание термина «существование» (в рамках чистой математики). По Гильберту, «существование» тождественно логической непротиворечивости. Тем самым термину было приписано вполне ясное содержание, причем одновременно обнаружилась и определенная бедность этого содержания с прикладной точки зрения. Отметим, что еще Г. Кантор в «Теории множеств» говорил, что под существованием математических объектов можно понимать лишь отсутствие противоречий в понятиях об этих объектах. Потом эту мысль развил А. Пуанкаре: «...слово «существовать» может иметь только один смысл, оно означает именно отсутствие противоречия» (Пуанкаре А. Математика и логика. В кн.: Новые идеи в математике, 10. Пг., 1915, с. 6). Д. Гильберт положил эту трактовку в основу своей системы логики.
Для прикладника математический объект всегда представляет собой схематизацию реального, например физического, объекта. Поэтому голое утверждение о существовании математического объекта, например утверждение «решение данной задачи существует», обычно для прикладной математики совершенно недостаточно. В лучшем случае оно может иметь какое-либо вспомогательное, промежуточное значение, либо может иметь наводящий характер для «подлинного» утверждения о существовании, в котором математический объект фактически конструируется с приемлемой точностью, например, в случае (а) находится решение, а в случае (б) указыва ется элемент х0 (5).
Разумеется, доказательство теоремы о существовании всегда служит вдохновляющим фактором для исследователя в его поисках конструктивного решения (6); отсутствие такого доказательства может вообще удержать наиболее осторожных исследователей пессимистического склада от фактического конструирования решения.
Однако в целом можно сказать, что неконструктивное доказатель ство существования не обладает большой ценностью для прикладни ка, а отсутствие такого доказательства неспособно его обезоружить в поисках фактического решения. Многое зависит от способа доказа тельства теоремы о существовании. Пусть, например, бесконечное множество М достаточно простой структуры служит математиче ской моделью реального (конечного!) объекта R с неопределенно или просто достаточно большим числом элементов. Например, множество натуральных чисел может служить моделью упо рядоченной дискретной реальной совокупности, состоящей из конечного, но неопределенно большого числа элементов. Аналогичная ситуация возникает, когда мы какой-либо реальный объект неопределенно большой или просто доста точно большой протяженности во времени или в пространстве заменяем при иссле довании на объект бесконечной протяженности.
Если утвержде ние «в М существует по крайней мере один элемент х0, обладающий свойством α», доказано с помощью прямого конструирования этого элемента, то обычно бывает сравнительно просто разобраться, что отвечает этому утверждению в R. Но если оно получено путем при ведения к логическому противоречию противоположного утвержде ния («каждый элемент М не обладает свойством α»), то ситуация оказывается более сложной. Так, элемент из R, который должен был бы отвечать х0, может оказаться в той «неопределенной дали», где примененная математическая схематизация теряет свою отчет ливость.
Отметим, что известные возражения интуиционистов против применения закона исключенного третьего (7) к бесконечным множествам (см., например, [12; 13]) имеют основания, по-видимому, до некоторой степени сходные с приведенными. Упрощенно говоря, интуиционисты считают, что математический объект признается су ществующим, только если он фактически указан.
Неконструктивные утверждения о существовании могут получаться также при применении закона исключенного третьего к ко нечным множествам. Правда, если элементов у множества немного - а свойство α, которым должен обладать искомый элемент х0, легко проверяемо, то эффективное построение этого элемента можно осу ществить хотя бы с помощью простого перебора или какого-либо ино го метода, на указание которого может вдохновить чистая теорема существования. Но если названные условия нарушены, то утверж дение становится менее конструктивным, причем такая неконст руктивность может дойти до полной.
Приведем пример. Одним из первых начал применять неэффек тивные доказательства существования для конечных множеств П. Ди рихле на основании выдвинутого им утверждения, которое теперь называется принципом Дирихле. Этот принцип, легко вытекающий из закона исключенного третьего, гласит, что если п предметов разложено по т ящикам, причем п > т, то по крайней мере в одном из ящиков будет более одного предмета. Так, с помощью принципа Дирихле легко доказывается, что в городе с полумиллионным населени ем в любой момент всегда существуют по крайней мере два человека с одинаковым числом волос (для этого надо к одному классу — «ящику» — отнести людей с одинаковым числом волос). Но ведь установ ление этого факта никак не помогает персонифицировать эту пару «равноволосых» людей; более того, по отношению к любому прошед шему моменту такая персонификация вряд ли возможна когда-либо в будущем, хотя теорема о существовании равноволосых пар установлена!
Между прочим, утверждение типа «среди первых 100 натуральных чисел существует число п, обладающее свойством α», уже имеет прикладное содержание, если число 100 в рассматриваемой реальной задаче является на самом деле конечным, т. е. до него можно фактически добраться. Если задача состоит в отыска нии числа, обладающего свойством α, то приведенное утвержде ние содержит не менее «0,01 полного решения», которое можно получить хотя бы с помощью перебора (в реальной возможности такого перебора и состоит «истинная конечность» числа 100 в рассматриваемой ситуации), если не представится ничего лучшего. Впрочем, возможны и реальные задачи, для которых утверждение, приведенное в начале абзаца, служит полным решением.
Итак, мы видим два принципиально различных взгляда на понятие существования математического объекта: в прикладной математике он существует как математическая модель реального объекта, принципиально идентифицируем и конструируем, тогда как в чистой математике он существует как идея, не противоречащая принятой системе аксиом. Интересно отметить, какой метаморфозе подвергается понятие существования, переходя из естественных наук в чистую математику и превращаясь при этом из служебного понятия в объект изучения! Здесь проявляется общий тезис о том, что одни и те же слова могут иметь для различных людей далеко не одинаковый смысл. Различные группы людей как бы говорят на хотя и значительно взаимосвязанных, но не идентичных и порой сильно отличающихся друг от друга языках. Игнорирование этого служит посто янным источником недоразумений.
В заключение приведем две цитаты из книги Р. Куранта и Г. Роббинса [14, с. 136—137 и 139], относящиеся к описанной выше проблеме существования.
«Когда речь идет о доказательстве существования объекта определенного типа, то есть существенное различие между тем, чтобы построить осязаемый пример объекта, и тем, что из несуществования объекта можно вывести противо речивые заключения. В первом случае получается осязаемый объект, во втором ничего, кроме противоречия».
«Вопросы, рассматриваемые в математической логике, в конечном счете упи раются в один основной вопрос: что понимать под существованием в математике? К счастью, существование самой математики не зависит от того, найден ли удовле творительный ответ на этот вопрос. Школа «формалистов», во главе которой стоял великий математик Гильберт, утверждала, что в математике «существование» означает «свободу от противоречия». Если принять эту точку зрения, то очевидной и необходимой задачей является как раз построение системы постулатов, из ко торых всю математику можно было бы вывести путем логической дедукции, и до казательство того, что эти постулаты не могут привести ни к какому противоречию. Недавние результаты Геделя и других как будто бы показывают, что такая программа, по крайней мере, в той форме, в какой она была намечена самим Гильбер том, не может быть осуществлена (8). Весьма многозначительно то обстоятельство, что гильбертова теория формализованного построения математики существенно опирается на интуитивные процедуры. Тем или иным путем, в открытой или скры той форме, даже прикрытая самым безупречным формалистическим, логическим, аксиоматическим одеянием, конструктивная интуиция всегда остается самым жиз ненным элементом в математике».
3. Проблема бесконечности. Мы уже затронули выше эту важ нейшую проблему, которая также по-различному трактуется в при кладной и чистой математике. Реальные объекты всегда конечны, поэтому бесконечный математический объект (бесконечная последо вательность, бесконечный интервал и т. п.) может появиться в результате упрощающей математической схематизации, когда «да лекие» элементы, участки теряют свою индивидуальность, их влия ние сходит на нет (9). Таковы понятия упругого пространства (полу пространства и т. д.) или бесконечно длинной балки на упругом основании в теории упругости, или понятие об установившемся ре жиме вынужденных колебаний (или автоколебаний), на который не влияют начальные условия. Реальное количество элементов или реальный размер интервала, дающие возможность перехода к математи ческой бесконечности, в различных задачах даже при изучении од ного и того же объекта весьма различны; они зависят от «скорости за тухания» влияния далеких элементов и принятой оценки существен ности этого влияния. Поэтому такая бесконечность является, по существу, незавершенной и притом счетной: в дискретном случае количество «конечных» элементов, которые имеют «персональное» значение, может в аналогичных рассмотрениях и даже в процессе одного и того же рассмотрения меняться, бесконечное множество может при этом заменяться на конечное и обратно. Аналогичные метаморфозы в непрерывном случае происходят со временем установ ления, пограничным слоем и т. д.
Другой тип бесконечности в прикладной математике появляется в результате схематизации конечной системы, в которой каждый элемент потерял индивидуальное значение. При такой схематизации дискретность заменяется на непрерывность, суммы — на интегралы и т. п. Интересно, что в некоторых конкретных примерах число элементов в си стеме, обеспечивающее возможность такой упрощающей замены, может оказаться весьма небольшим. В качестве примера сошлемся на задачу о вычислении наиболь шего прогиба круглой пластинки, нагруженной в середине и свободно опертой в n точках на контуре, которые расположены в вершинах правильного n-угольника. Расчеты показывают, что уже при п = 5 эту систему опор можно с достаточной точностью заменить на кольцевую шарнирную опору вдоль всего контура. Таким образом, в рассматриваемой задаче уже 5 ≈ ∞.
Таким образом, результаты, полученные в терминах актуально (завершенно) бесконечных множеств, при переводе на язык приложе ний нуждаются в тщательном анализе.
Имеется еще одно существенное отличие в подходе чистой и при кладной математики к бесконечному: речь идет о понятии бесконеч но малого. Как известно, чистая математика уже давно отвергает концепцию актуальной бесконечно малой, а современные математи ческие курсы для математиков вообще обходятся без упоминания это го понятия. В то же время все дифференциальные законы приклад ных дисциплин выводятся и трактуются на уровне актуальных бес конечно малых, причем стихийно, без явных формулировок вырабо тались навыки действий с такими величинами, например представ ления о том, когда можно, а когда нельзя отбрасывать величины высшего порядка малости и т. п. Например, при рассмотрении криволинейного движения материальной точки для построения вектора скорости можно малый (точнее, актуальный бес конечно малый) участок траектории заменить на малый прямолинейный отрезок, отбросив малые высшего порядка, определяющие искривление этого участка. Однако в динамике при рассмотрении действующих на точку сил уже приходится удерживать малые 2-го порядка, а малый участок траектории можно заменить на дугу окружности. Если же изучается кручение траектории в пространстве, то начинают играть роль даже величины 3-го порядка малости по сравнению с дли ной участка траектории.
Впрочем, отсутствие разверну того исчисления бесконечно малых и сейчас может привести в более сложных ситуациях к недоразумениям и даже к прямым ошибкам.
Иногда думают, что вывод и трактовку дифференциальных за конов можно сделать «вполне строгими» с помощью «строгого» (на ε-уровне) перехода к пределу. На самом деле положение существен но сложнее: такой переход невозможен уже из-за квантовых и моле кулярных свойств, в силу которых рассматривать физические вели чины, уменьшенные сверх некоторых разумных границ, вообще лишено смысла. В связи с этим физики вводят «физически» или «практически» бесконечно малые величины, допустимые при рассмот рении физических дифференциальных законов, впрочем, не давая это му понятию определения на уровне чистой математики. Строгий (в смысле чистой математики) предельный переход производится на самом деле в некоторой математической модели физической карти ны, однако правила построения этой модели не являются в этом же смысле строгими. Иногда просто говорят, что такая модель получает ся в результате осреднения реальной картины по областям физи чески бесконечно малых размеров, но такую оговорку чистая мате матика, конечно, не может признать строгой.
В качестве типичного примера рассмотрим определение плотнос ти в точке неоднородного тела
(1)
где (ΔV) означает малую область, содержащую точку A, a ΔV — объем этой области, а прочие обозначения очевидны. Ясно, что реально (ΔV) не должна безгранично уменьшаться, ее размеры долж ны быть существенно больше межмолекулярных расстояний, хотя и существенно меньше характерных конечных размеров, на кото рых плотность может заметно измениться. Применяя для области таких размеров букву d вместо Δ, приходим к формулам
в которых dm и dV представляют собой физически бесконечно ма лые величины, т. е. величины, удовлетворяющие описанным оцен кам; эти величины можно рассматривать как переменные или как постоянные. Формулу (1) можно понимать в смысле чистой матема тики, если реальное вещество, состоящее из частиц, предварительно заменить с помощью осреднения и «сглаживания» результата на мате матическую сплошную среду.
Физические бесконечно малые, имеющие совершенно иные мас штабы протяженности, возникают при рассмотрении плотности на селения на Земле или плотности распределения звезд во Вселен ной. Конечно, и здесь можно применить осреднение, хотя в первом примере оно выглядело бы несколько странно...
Примененные выше выражения «существенно больше», «суще ственно меньше», «заметное изменение» не имеют точного чисто ма тематического смысла, это типичные рациональные понятия (§ 3). В большинстве теоретических рассуждений эти понятия и не нуж даются в полном уточнении, достаточно иметь уверенность в том, что величина выбирается с необходимым «запасом прочности», который может понадобиться в этих рассуждениях. Во многих случаях пере ход к величинам высшего или низшего порядка означает по тради ции попросту увеличение или уменьшение не менее чем в 10 раз, хотя в ряде случаев такой коэффициент, как бы меняющий качест во величины, имеет существенно иное значение. Какие-либо обосно ванные общие соображения о выборе этого коэффициента пока отсут ствуют и трудно себе представить, на что они могли бы опираться.
Итак, рассуждения, связанные с выводом или интерпретацией дифференциальных законов, имеют всегда не чисто дедуктивный, а рациональный характер.
4. Прикладная математика и число. Даже к такому первичному математическому понятию, как число, чистая и прикладная мате матика относятся по-разному: первая — как к преимущественно ло гическому объекту, а вторая — как к порядковому индексу или к количественной мере реальной дискретной совокупности (натураль ное число) или непрерывной протяженности (вещественное число). Это различие подхода особенно ярко проявляется при рассмотрении весьма, даже в определенном смысле чрезмерно, больших или малых чисел. Проблемы, возникающие при этом, непосредственно связаны с проблемой бесконечности (п. 3) и частично затрагивались выше.
Будем рассматривать сначала натуральные числа, истолковы вая такое число как мощность — количество элементов реального множества. Если первые числа имеют отчетливо выраженную инди видуальность, то по мере увеличения индивидуальность чисел по степенно теряется, конечно, для разных классов задач с разной ско ростью. При этом имеется в виду не формальная, а реальная инди видуальность: например, число 1010 имеет отчетливую формальную индивидуальность, однако трудно представить себе реальную задачу, в которой множество с 1010 элементами отличалось бы от множества с 1010 + 1 элементами. По-видимому, в быту такая по теря индивидуальности постепенно начинается с нескольких десят ков, в более точных научных и технических расчетах — с несколь ких сотен или тысяч, редко дальше; исключение по понятным при чинам составляют некоторые финансовые расчеты. Таким образом, реальное большое число становится как бы представителем семейст ва близких ему чисел (На этом вопросе останавливается П. К. Рашевский в своей очень интересной дискуссионной статье [15]).
Еще большие формально выписанные числа вообще полностью теряют всякий реальный смысл. Рассмотрим, например, число N =. Нетрудно убедиться в том, что никакая реальная совокуп ность не может иметь число элементов, сравнимое с N, т. е. в любой реальной задаче N будет равнозначно бесконечности. По-видимому, можно даже сказать, что в прикладной математике как окон чательный результат является не числом, а символической картин кой, наподобие . Осознание реальной недостижимости формально построенных чрезмерно больших чисел привело в последние годы к возникновению нового течения в математической логике — уль траинтуиционизма (см., например, [16, § 1.2]). Характерно название первой работы в этом направлении Д. ван Данцига: «Является ли конечным числом?» Впрочем, позже мы укажем, что числа вида N могут играть промежуточную роль, подобно мнимым числам, которые порой появляются в промежуточных выкладках, хотя оконча тельные значения физических величин должны быть вещественными.
Конечно, сколько-нибудь точно указать рубеж, отделяющий «ис тинные» числа от чисел, являющихся следствием принятой системы обозначений и имеющих лишь ограниченное промежуточное значение, невозможно. Обычно указывается по этому поводу интервал от 10100 до 10200 (см., например, весьма интересную книгу Э. Бореля [17, гл. VI]). По современным представлениям, наибольшая протя женность во Вселенной имеет порядок 1010 световых лет, т. е. 1028 см. С другой стороны, наименьшие реальные значения длин, вероятнее всего, не менее 10–15— 10–20 см (см., например, [18]). Поэтому зна чение (1028: 10–20)3 = 10144 наверняка значительно превосходит число элементарных частиц во Вселенной. Для любых реальных ус ловий отношение наибольшего реального интервала времени к наи меньшему вряд ли превосходит 1040 В «Арифметике» Л. Магницкого указаны наименования чисел до 1030, ибо «довлеет числа сего к вещам всем мира всего» (довлеет — значит достаточно). С другой стороны, существенно более современный автор Р. Эшби пишет [19]: «Все материальное не может выражаться числом, превышающим 10100».. Однако здесь указаны са мые далекие рубежи, возникающие только в астрофизике; в технике вряд ли могут встретиться отношения реальных величин больше 1020.
Число N, формально определенное выше, на самом деле не сравни мо с реальными числами. В самом деле, по правилам арифметики N : 10100 = . Однако в силу упомянутой выше реальной неопределенности больших чисел можно положить 1010 — 100 = = 1010, откуда N : 10100 = N. Отсюда мы видим, в частности, что применение самых мощных ЭЦВМ нисколько не приближает нас к овладению числом N. А. Н. Колмогоров предлагал [20] подразделять натуральные числа на принципиально различные классы малых, средних и больших чисел (к последним относится и N); при этом проблема, которую нельзя решить с помощью «среднего» перебора, находится «за пределами машины на любой сколь угодно высокой ступе ни развития техники и культуры».
Таким образом, при применении к прикладной математике тео рем существования (см., в частности, п. 1), предельных переходов, оценок, полученных в чистой математике, надо все время иметь в виду осмысленные диапазоны значений рассматриваемых величин. Иногда при этом приходится пересматривать привычные представ ления; например, теоретически , однако lg lg10100 = 2.
Выше уже упоминалось, что формальные чрезмерно большие чис ла могут иметь вспомогательное, промежуточное значение в реальных задачах. Так, известно, что в статистической термодинамике тем пература порции газа вводится с помощью ее энтропии, которая по определению равна логарифму числа квантовых состояний этой пор ции. Простые оценки показывают, что для 1 л кислорода в нормальных условиях это число приближенно равно N1 = , т. е. несравнимо больше введенного выше числа N; другими словами, N1 : N = N1. Конечно, это не противоречит оцен ке «самого большого реального числа», так как множество всех кван товых состояний никак нельзя считать физически реализованным; это множество в принципе ненамного отличается от множества всех натуральных чисел, хотя и создает иллюзию завершенности. Сама энтропия S = ln N1 тоже очень велика, но имеет порядок числа мо лекул в системе; поэтому энтропия в расчете на одну частицу, а также и температура газа имеют уже конечные значения.
Хотя описанный подход к понятию энтропии сейчас является не только возможным, но даже необходимым, трудно отделаться от чувства досады из-за того, что отправной точкой в данном рассужде нии послужило нереализуемое число N1. Быть может, имеются другие подходы, при которых все отправные точки имеют непосредственный физический смысл.
Отметим, что в чистой математике, например в теории чисел, рас смотрение как угодно больших натуральных чисел является доволь но привычным делом. Порой ощущается как бы своеобразная гор дость за возможность конструктивного проникновения в область чисел, недоступных непосредственному воображению, причем к это му проникновению привлекаются ЭЦВМ. Так, с помощью ЭЦВМ доказана простота числа 219937 — 1 — это самое большее из извест ных простых чисел к 1971 году. Еще один пример мы заимствуем из яркой книги [21, с. 123—124]. Дж. Литлвуд в 1914 г. доказал, что существует натуральное М, для которого число простых чисел, не превосходящих М, будет больше , однако доказательство Литлвуда не давало возможности оценить значение М; известно было только, что М > 107. И вот в 1937 г. Скьюис получил «оценку» М < , которая затем была «улучшена» (10) до М < . Можно привести и ряд других аналогичных примеров. Однако думается, что эта конструктивность имеет примерно тот же характер, как, например, в теории трансфинитных чисел; грубо го воря, на основании формальных аналогий как бы условливаются называть некоторые логические следствия из принятой системы аксиом конструктивными, в отличие от прикладной математики, кон структивность в которой должна быть в той или иной степени связана с конструированием или распознаванием и т. п. реального объекта.
Естественно, что те же вопросы возникают при рассмотрении фор мально определенных чрезмерно малых положительных чисел. Так, выражение , полученное в прикладной задаче в качестве окон чательного ответа, равно нулю, причем не приближенно, а точно (11), так как это «число» несравнимо меньше любого реального положи тельного числа. Малые, получающиеся при сравнении реальных ве личин, обратны большим, но реальным числам, о которых говорилось выше. В практических расчетах такие малые часто появляются из-за неадекватного выбора единицы сравнения, например, если выра жать массу электрона в тоннах и т. п. «Истинная» малость, которая еще что-то значит по сравнению с единицей, — грубо говоря, которую еще можно добавлять к единице, — определяется осмысленной относи тельной точностью величин, т. е. в конечном счете уровнем измери тельной техники. Сейчас выше всего — до 10–12 — доходит относи тельная точность измерения времени и длины; точность измерения многих других величин существенно ниже. Этим определяются те малые, указание которых осмысленно в окончательном ответе.
Конечно, в дальнейшем эта точность будет повышена, но отнюдь не беспредельно, так как этому противоречат молекулярные и кван товые свойства, в частности принцип неопределенности; вряд ли эта точность в обозримом будущем превысит 10–20.
Точность промежуточных вычислений, естественно, должна пре вышать точность окончательного ответа, но не так уж значительно; необходимый запас точности в простых случаях можно подсчитать, исходя из правил приближенных Вычислений. При вычислениях на ЭЦВМ нет смысла специально загрублять степень точности про-межуточных вычислений, если она оказывается избыточной. По этому такие вычисления производят с естественной точностью, свой ственной ныне применяемым ЭЦВМ; обычно она близка к 10–10 и для подавляющего большинства вычислений оказывается достаточ ной. В редких случаях применяется удвоенная точность, близкая к 10–20.
Таким образом, не только бесконечные десятичные дроби, фор мально допускаемые чистой математикой, но даже дроби со слишком большим числом значащих цифр лежат за пределами прикладной математики. Заметим в качестве курьеза, что, как отмечено в превосходной книге М. Гарднера «Математические головоломки и развлечения («Мир», М., с. 429), в 1961 г. на машине ИБМ-7090 примерно за 9 ч было вычислено число π с 100625 верными знаками. Мы предлагаем читателю самому решить вопрос о том, какая наивысшая точность π может понадобиться при решении реальных геометрических задач.
Иррациональные числа, такие, как , π и т. п., в прикладной математике определяются отнюдь не своими «полными» десятичными разложениями.
Итак, математический континуум (числовая прямая) при чрез мерном продвижении в область малого становится неадекватным фи зическому (На этом, в частности, останавливается М. Борн в книге «Физика в жизни моего поколения». ИЛ, М., 1963, с. 312). Конечно, это замечание нельзя рассматривать как упрек по адресу теории вещественного числа! Всякая логиче ская схема не вполне адекватна описываемому ею объекту и это в том или ином должно проявиться. Теория вещественного числа логически достаточно проста, основанный на ней математический анализ внутренне согласован и имеет огромное число приложений, следствий, правильно описывающих реальность. Ценность этой тео рии не вызывает сомнений.
Однако здесь, как и при проведенном выше рассмотрении чрез мерно больших чисел, проявляется важная черта, свойственная всякой чисто дедуктивной теории. Содержательная дедуктивная тео рия отталкивается от той или иной реальной структуры и заменяет ее некоторой формальной структурой, которую затем развивает по формально-логическим законам. Так как эти две структуры не вполне эквивалентны, то в дедуктивной теории наряду с выводами, адекват ными реальности, могут появиться своего рода «монстры» — пара зитные результаты, имеющие характер чисто логических следствий и не допускающие реальной интерпретации; при этом на получе ние выводов второго рода могут затрачиваться усилия. И если не привлекать соображений, лежащих за пределами возводимой тео рии, то нет возможности различать эти два типа следствий.
В этом состоит, возможно, основная трудность в развитии чистой математики. В связи со все большей разветвленностью изучаемых логических структур, все больше увеличивается объем, а возмож но, также и доля результатов паразитного характера, которые из-за отсутствия внутреннего критерия паразитности нет возможности отсечь. К тому же такое отсечение всегда сопряжено с некоторым риском: не раз оказывалось, что вопросы, казавшиеся ранее сугубо отвлеченными, в дальнейшем приобретали реальное значение; здесь приходится полагаться на интуицию. В качестве примеров можно сослаться на такие, первоначально чисто абстрактные построения, как комплексные числа, матрицы, неэвклидовы геометрии, гильбер тово пространство. (Впрочем, паразитные следствия могут возникнуть не только в математике. Таковы, например, бесконечно большие ско рости при решении некоторых задач гидромеханики или бесконечно большие напряжения в некоторых задачах теории упругости.) С этой особенностью связана трудность оценки актуальности математиче ских исследований, так как трудно указать иной критерий ценности работы, помимо непротиворечивости. В отличие от чистой мате матики прикладная математика не имеет строго дедуктивного характера, и одним из важнейших ее направлений является пос тоянное уточнение области приложения логических конструкций.
5. Замечание о невозможных событиях. Из п. 4 вытекает суще ственный вывод, относящийся к предсказанию, основанному на подсчетах или оценках вероятностей. Известно, что если формально подсчитанная вероятность некоторого события оказывается положи тельной, хотя бы чрезмерно малой в смысле п. 4, то такое событие часто объявляют хотя и крайне мало вероятным, но все же возмож ным. Думается, что такая терминология противоречит разумному применению слова «возможность»; следуя ей, пришлось бы призна вать возможным всякий вздор, вроде того, что дважды два — пять. Действительно, в качестве прописного примера заведомой исти ны обычно приводится равенство 2 × 2= 4. Однако можно формаль но оценить вероятность того, что на самом деле 2 × 2 = 5, а стан дартное утверждение 2×2 = 4 есть результат постоянно повторяю щейся арифметической ошибки. Примем для этого, что каждый человек при выполнении умножения в пределах первого десятка мо жет с вероятностью 10–6 ошибочно уменьшить ответ на 1, что соот ветствует нескольким ошибкам подобного рода за всю его жизнь. Поэтому, если принять, что за всю историю человечества 1010 лю дей выполняли умножение 2 X 2 по 106 раз за свою жизнь каждый, то вероятность того, что они всякий раз ошибочно, независимо друг
от друга, уменьшали ответ на 1, равна ≈. Этот подсчет можно уточнить, но ясно, что при любом разумном уточнении результат получится формально положительным и, по-видимому, не далеким от приведенного.
В качестве «более вероятного» события укажем на пример в книге Дж. Литлвуда [21, с. 117]. Пусть с чемпионом мира играет в шах маты человек, который совершенно не знает правил игры, но знает только, что, делая очередной ход, он должен либо переставить од ну из своих фигур на какое-либо — безразлично какое — свободное поле, либо перед этим снять какую-нибудь фигуру противника. Ка кова вероятность того, что этот «игрок» не только ни разу не нарушит шахматных правил, но и случайно будет попадать на столь хорошие ходы, что в конце концов победит? По проведенной в книге оценке, она не меньше 10–122.
Думается, что возможными, но крайне мало вероятными следует считать события с вероятностью, скажем, 10–6—10–9; это вероят ность выпадения только гербов при 20—30 бросаниях идеальной монеты. Отметим одно любопытное психологическое обстоятельство. Почему мы при бросании монеты крайне удивляемся, видя, как герб выпал 20 раз подряд, и не удивляемся, видя, что герб и решетка выпали, например, в последовательно сти грггррргрррггргррргр? Ведь вероятности обоих этих событий одинаковы, они равны 2–20. Конечно, если мы заранее предсказываем вторую последовательность, и она реализуется, то это в высшей степени удивительно; но, казалось бы, что вы падение 20 гербов мы не предсказывали заранее? Думается, что здесь дело в под сознательных экстраполяционных навыках: наиболее простые закономерности че редования событий являются в нашем сознании как бы заранее зафиксированными, эталонными. Для случая бросания монеты такими эталонными чередованиями слу жат гггггг..., рррррр..., гргргр... и другие сходные последовательности, которых совсем не так много. Поскольку мы всегда готовы к обнаружению эталона, мы естественно удивляемся, если он появляется, когда интуитивно ощущаемая веро ятность появления весьма мала.
Аналогичная ситуация может возникнуть при обнаружении закономерности на основе единичного испытания, в результате которого произошло (заранее не предсказанное) весьма мало вероятное событие.
По мере уменьшения вероятности эпитеты, характеризующие степень неожиданности, надо усиливать. Что же касается со бытий с вероятностью 10–200 и тем более , лишь формально по ложительной, то их естественно относить к полностью невозможным. Словом, дважды два — всегда четыре, а не умеющий играть в шах маты никогда не выиграет у чемпиона мира (12).
Отметим, что подобной точки зрения на возможность и невозмож ность в конце своей жизни стал придерживаться и Э. Борель [17], изменив свою первоначальную терминологию по этому поводу.
6. О понятии функции. Как известно, в XVIII в., когда возникло это понятие, функция мыслилась заданной обязательно с помощью формулы; говоря на современном языке, допускалось рассмотрение только аналитических выражений. В дальнейшем такой подход ока зался недостаточным, прежде всего, в связи с рассмотрением кусоч но-аналитических (в частности, кусочно-линейных) функций. Эти рассмотрения и общий переход к теоретико-множественным взглядам привели в XIX в. к принятому сейчас в чистой математике определе нию функции как произвольного закона соответствия меж ду независимыми и зависимой переменными. Такой подход ока зался полезным для логического обоснования математики, хотя с точки зрения приложений подобное определение является слишком аморфным, расплывчатым.
Право на существование получили такие функции, как, напри мер, функция Дирихле D(х), равная 0 для иррациональных и 1 для рациональных значений х, а также другие подобные функции, которым трудно придать другой смысл, кроме формально логиче ского. Функция D(х) не только не имеет графика в обычном пони мании, но, что самое трудное, ее значение не может быть определено даже с грубым приближением, если значение х известно с какой угод но высокой точностью. Однако в приложениях функция не есть дез организованная толпа значений, а представляет собой рабочий ор ганизм. Сейчас, когда период увлечения патологическими примера ми в основном прошел, стала особенно ясной роль аналитических функций.
Все же логический анализ понятия функции, проведенный в XIX в., не прошел бесследно и для приложений. Так, функции, заданные несколькими формулами (кусочно-аналитические функции), часто встречаются в приложениях и более не вызывают замешатель ства; простейшим примером может служить единичная функция Хевисайда
которая появляется при описании внезапного включения какого-либо воздействия или перехода из одной среды в другую и т. п. С помощью единичной функции легко записать любую кусочно-ана литическую функцию: например, функцию, равную f1 (х) при х < а и f2 (х) при х > а, можно записать единой формулой:
Место подобных функций стало еще более ясным после введения в XX в. обобщенных функций — импульсной дельта-функции Ди рака δ(х) = е'(х) и связанных с ней функций (см., например, [22, гл. VI]), которые сразу же нашли прочное место в приложениях (более того, они и возникли именно в связи с формулировкой при кладных задач).
Отметим, что в теории случайных процессов типа броуновского движения важную роль играют непрерывные, но нигде не дифферен цируемые и потому не аналитические функции, описывающие тра ектории частиц. Однако эти траектории непредсказуемы и неповто ряемы, и потому такие функции имеют только статистическое, а не индивидуальное значение.
Таким образом, можно сказать, что сейчас в прикладной математи ке такое индивидуальное значение имеют вообще только анали тические, кусочно-аналитические и простые обобщенные функции.
Для XX в. характерен еще один подход к понятию функции, общий как для чистой, так и для прикладной математики, именно как к элементу функционального пространства, например пространства Гильберта, т. е. как к члену функционального коллектива. Такой подход имеет во многих задачах разнообразные теоретические и при кладные преимущества, на которых мы здесь не будем останавли ваться.
7. Устойчивость относительно изменения параметров. Имеет ся еще одно важное обстоятельство, которое может послужить пре пятствием для переноса понятий и методов чистой математики в прикладную. Оно происходит из возможности лишь приближенного задания всех непрерывных параметров, входящих в формулиров ку любой прикладной задачи.
Пусть речь идет, например, о методе решения какой-либо прикладной задачи. Для того чтобы считать этот метод эффективным, необходимо, чтобы он обладал известной универсальностью, точнее, сохранял свою силу при изменении (хотя бы достаточно малом) па раметров задачи: это свойство метода можно назвать устойчивостью (13). Здесь понятие устойчивости трактуется в широком смысле, как свойство сохранения всех существенных черт при малых откло нениях в постановке задачи. В п. II. 2.7 мы еще вернемся к этому об щему понятию.
Однако, как отлично известно читателю, многие методы в алгеб ре, в чистом анализе, в теории аналитических функций нередко опи раются на конкретные арифметические и функциональные соотноше ния типа равенств между участвующими параметрами, т. е. в ука занном смысле неустойчивы. Приведем три примера.
В 1971 г. на одном из вступительных экзаменов в Московский авиационный институт было предложено решить уравнение
которое приводится к полному уравнению 4-й степени. Составите ли задачи предполагали, что экзаменующиеся путем анализа дели телей свободного члена полученного уравнения сначала найдут два целочисленных корня x1,2 = 2, после чего дело сведется к решению квадратного уравнения. Этот ход выкладок, конечно, не универса лен — достаточно заменить коэффициент 20 на 21 или 20,1 и т. д. и описанный прием становится неприменимым. К сожалению, пос леднее обстоятельство школьникам обычно не разъясняется и мно гие из них остаются в ошибочной уверенности, что владеют общим методом решения уравнений четвертой степени. Трудно сказать, чего здесь больше — пользы от знания описанного весьма специаль ного приема или вреда от убеждения в его универсальности.
Вот еще пример того же рода, относящийся к технике интегри рования дифференциальных уравнений. В известном справочнике Э. Камке указан способ решения дифференциального уравнения
основанный на замене 3у = х2, в результате которой по лучается весьма простое уравнение 4 (хи' + и)2 = 1. Но эта подста новка приводит к успеху лишь в случае, когда коэффициенты имеют только выписанные выше значения, и совершенно непригодна при произвольных изменениях этих коэффициентов.
Рассмотрим, наконец, так называемый третий случай интегри руемости системы уравнения вращения твердого тела вокруг не подвижной точки в однородном поле тяготения. Если принять ука занную точку за начало координат, оси которых направлены вдоль главных осей инерции тела, и обозначить через х0, у0, z0 координа ты центра тяжести, а через А, В, С — соответствующие моменты инерции тела, то названному случаю отвечают сугубо специальные соотношения: А = В =2С, z0 = 0, не выделяющие сколь-нибудь интересную или типичную ситуацию. Установленная для этого слу чая интегрируемость уравнения движения с помощью ультраэл липтических функций исчезает при любом нарушении выписанных соотношений. Можно сказать, что используемый здесь метод не устойчив в указанном выше смысле.
В приведенных примерах рассмотрены случаи вырождения, не имеющие ясной мотивировки и, таким образом, приводящие к неце лесообразным специализациям.
Выше речь шла об устойчивости математических методов. Однако столь же содержательным и осмысленным является понятие устойчивости математической модели; коротко говоря, устойчи вой является такая модель, малые изменения параметров которой не вызывают существенных качественных изменений ее свойств (В качественной теории дифференциальных уравнений близкое понятие называется грубостью (структурной устойчивостью)). Эта устойчивость представляет собой одно из важнейших необхо димых условий адекватности математической модели реальной кар тине.
Означает ли сказанное выше, что сугубо специализированный анализ частных и вырожденных случаев вообще не представляет ни какой ценности? Нет, не означает, если не ограничиваться тольк о этим анализом. Дело в том, что анализ специального случая часто несет определенную информацию о всех случаях, достаточно близких к рассмотренному. В частности, такое решение может быть принято за нулевое приближение при решении смежных (в отноше нии параметров) задач методом возмущений.
Так, пусть в алгебраическом уравнении первого примера свобод ный член равен 20,1, а не 20. Тогда мы можем принять, что его корни мало отличаются от корней исходного уравнения; например, ко рень, близкий к значению х = 2, можно найти из соотношения
где Δ — искомая поправка к значению х = 2. Полагая, что Δ мало по сравнению с единицей и удерживая только члены второго поряд ка малости (линейные члены в этом примере взаимно уничтожают ся), найдем Δl,2 = ± i = 0,224 i, т. е. искомая пара корней равна xl,2 = 2 ± 0,224i. При необходимости можно продолжить итерации и найти дальнейшие приближения. (Впрочем, и с учетом этого замечания весь класс смежных уравнений, которые могут быть решены таким путем, представляется практически мало интерес ным.)
Примерно таким же образом обстоит дело и в других вырожден ных случаях. Короче говоря, результаты применения неустойчиво го метода приобретают некоторую ценность, если устойчива мате матическая модель.
В некоторых случаях из разбора вырожденных объектов ока зывается возможно сделать «устойчивые» выводы о невырожденных ситуациях: так, хорошо известно, что из анализа точек покоя на фа зовой плоскости можно сделать вывод о характере всех фазовых траекторий. Кроме того, само собой разумеется, что строгое решение всякой изолированной задачи (даже полученное неустойчивым мето дом) является полезным эталоном для проверки точности каких-либо приближенных, но устойчивых методов решения задач того же класса.
Таким образом, специализации, приводящие к изучению вырож денных случаев, могут быть и целесообразными, приносящими су щественную пользу. В особенности это относится к достаточно широ ким классам практически важных случаев, которые формально сле дует считать вырожденными по самой постановке физической задачи.
Вообще, в рамках какой-либо общей ситуации, включающей про извольные параметры, различают разные степени вырождения; степень вырождения равна количеству независимых числовых ра венств, связывающих эти параметры. Степень вырождения называ ется также коразмерностью вырожденной ситуации, т. е. размер ностью, недостающей до полной. Всякое функциональное равенст во, если есть функциональные параметры, приводит к бесконечной степени вырождения.
В сущности любой, даже весьма широкий класс случаев можно считать вырожденным по отношению к еще более широкому классу.
Так, например, потенциальность системы есть по сравнению с общим случаем признак ее вырожденности (даже коразмерности ∞), так как для потенциальности правые части соответствующей системы дифференциальных уравнений должны удовлетворять опре деленным соотношениям типа равенств. Но дело в том, что рассмат риваемый тип вырожденности физически осмыслен и охватывает широкий класс важных задач. При этом изучаемые методы должны быть устойчивыми относительно малых возмущений в классе потенциальных систем.
Другим примером содержательного анализа может служить слу чай действия периодического возбуждения на механическую систе му. Конечно, это тоже вырожденный случай, так как реальное воз действие на механическую систему не может быть точно периоди ческим как из-за наличия разного рода возмущений, так и из-за ограниченности времени этого воздействия. Тем не менее в подав ляющем большинстве практических случаев оказывается возможным пользоваться результатами исследования, проведенного в предпо ложении точной периодичности воздействия. Эта возможность, кото рая часто принимается без специального анализа, зависит от време ни установления, а также от структуры и величины возможных воз мущений.
Одной из важных задач прикладной математики является широ кий анализ подобных возможностей для разных классов задач.
В этой связи следует признать бесспорную ценность анализа первых двух интегрируемых случаев вращения твердого тела вокруг неподвижной точки:
, (2)
Это также вырожденные случаи (коразмерности 3), но они очень близки многим реальным ситуациям. В первом случае центр тяжести тела совпадает с неподвижной точкой, а во втором случае тело обла дает осевой симметрией и его центр тяжести располагается на одной вертикали с неподвижной точкой. Анализ этих двух случаев вслед ствие адекватности математической модели позволил осуществить ряд полезнейших технических устройств гироскопического типа, в которых, разумеется, не достигается абсолютно точное выполнение условий (2). Можно сказать, что эти вырожденные случаи выделя ются не столько формальным свойством интегрируемости, сколько их подлинной практической важностью.
Эйлерова теория упругой устойчивости также в сущности от носится к вырожденным системам (отсутствие «неидеальностей»), но ее ценность неоспорима. Эти вырожденные случаи позволяют предсказать свойства реальных систем, если «неидеальности» до статочно малы, как это в самом деле часто бывает.
Таким образом, исследование вырожденных случаев становится полноценным в прикладном отношении только при отчетливом по нимании характера вырождения и при наличии соображений, гово рящих о возможности осмысленных «устойчивых» выводов из этого исследования. К сожалению, это требование в ряде работ (особен но, чисто математических) опускается, и есть немало работ, по священных особым случаям высокой степени вырожденности, об щетеоретическое и прикладное значения которых сомнительны.
Заканчивая на этом обсуждение вопроса об устойчивости отно сительно изменения параметров, приведем пример неустойчивости математических понятий.
Пусть, например, речь идет о вынужденных колебаниях системы со слабой нелинейностью. Как известно, в таких задачах большое значение имеет соизмеримость или несоизмеримость частоты воз буждения и частоты свободных малых колебаний. Но свойства со измеримости и несоизмеримости неустойчивы, ибо они могут нару шаться при столь угодно малом изменении параметров системы. Как же быть в реальных условиях? Обычно выводы, полученные для соизмеримых частот, считают верными с определенной точностью и в тех случаях, когда отношение частот (возможно, формально иррациональных) близко к отношению небольших натуральных чи сел (1 : 1, 2: 1, 2 : 3 и т. п.); если же отношение частот равно отно шению больших натуральных чисел, то применяются результаты исследования несоизмеримого случая. Таким образом, логически точное, но неустойчивое понятие соизмеримости, переходя в приклад ную математику, трансформируется в несколько расплывчатое, но устойчивое понятие «практической соизмеримости».
В целом, из сказанного выше следует, что неустойчивость мето дов, моделей и даже самих математических понятий (относительно изменения параметров) требует изменения подходов при решении прикладных задач.
8. О формальных и неформальных понятиях, об интуитивной убедительности. Различие между чистой и прикладной математикой существенно проявляется в требованиях к однозначной определен ности применяемых понятий и утверждений. Одним из основных принципов чистой математики является то, что все свойства любого изучаемого понятия должны вытекать только из его формального определения, они как бы потенциально заключены в этом опреде лении (На этом, в частности, подробно останавливается Г. Штейнгауз в яркой книге [23]. Впрочем, говоря об особенностях математического метода, автор, как это широко распространено, имеет в виду только чистую математику). Соответственно все утверждения должны включать только формально определенные понятия, логические соотношения между которыми полностью предопределяют справедливость или ложность каждого такого утверждения. В частности, в чистой математике все свойства решений задачи потенциально полностью пред определяются ее формулировкой. Любое изменение формулировки означает переход к новой задаче (конечно, в некоторых случаях эта новая задача может оказаться равносильной предыдущей), поэтому исследование задачи не должно привлекать добавочных предположений и других уточнений, которых не было в ее формули ровке.
В отличие от этого, в прикладной математике понятия и утверж дения часто имеют такой же характер, как в нематематических дис циплинах и даже в обыденной жизни. Прежде всего, могут приме няться понятия, вообще не имеющие формального определения или имеющие определение, не обладающее полной логической четкостью; об этом мы подробнее скажем в § 3. Но даже если применяется, каза лось бы, чисто математическое понятие, то за ним все время скрыва ется тот неформальный объект, который оно идеализирует: оно как бы служит меткой этого объекта и потому включает в себя больше, чем содержится в формальном определении понятия. Например, когда в прикладном исследовании говорится «произвольная функ ция», то подразумевается «произвольная функция, встречающаяся в данной области приложений» (этим и объясняются различные под ходы к понятию функции, о которых говорилось в п. 6) и т. п. (14). Это дает возможность в процессе исследования по мере необходимости привлекать дополнительные сведения о рассматриваемых по нятиях (см. п. 3.2в)…
Со сказанным непосредственно связан вопрос об интуитивной убе дительности рассуждения или утверждения. Это, конечно, нефор мальное понятие и как таковое оно безусловно отвергается чистой математикой при окончательном изложении результата. В то же время в прикладной математике именно интуитивная убедительность является важным критерием правильности; мы вернемся к этому вопросу в § 3. В. В. Налимов (в работе Логические основания прикладной математики. Изд-во Московского ун-та, М., 1971, препринт № 24) писал: «Высказывания, сделанные на математическом языке в прикладных задачах, всегда и прежде всего должны обладать интуитивной убе дительностью — это является их обоснованием. Здесь особенно четко проходит линия разграничения между чистой и прикладной математикой». В отличие от этого в строго построенной дисциплине чистой математики «интуиция была и оста ется источником, но не конечным критерием истины» [28, с. 316].
9. О различии тенденций в процессе решения. Следующее раз личие в подходе к решению математической задачи, возникшей из приложений, у чистого математика и у прикладника имеет в зна чительной мере психологический характер. Чистого математика ин тересует обычно математический аппарат, применяемый для решения этой задачи, сам по себе, независимо от ее реальной интерпретации. Он склонен максимально возможно обобщить условие задачи, не обращая внимания на то, имеет ли это обобщение физический смысл. Наиболее привлекательными для чистого математика оказываются трудные в математическом отношении задачи и неожиданные, изящ ные решения, причем соответствующий метод решения может иметь в глазах математика большую ценность, чем сама исходная задача. Поэтому иногда, чтобы получить элегантное решение или просто решение, находящееся на вполне дедуктивном уровне, постановка задачи видоизменяется так, что ее реальный интерес значительно уменьшается или даже полностью пропадает. Довольно типичной яв ляется также такая картина: некоторый вопрос, сугубо промежуточ ный для исходной прикладной задачи, начинает самостоятельно из учаться на дедуктивном уровне, причем направление этого изучения теряет всякую связь с исходной задачей. Часто бывает, например, так. Обнаружено, что для некоторого практически важного события А достаточным (но заведомо не необходимым) является признак В. Этот признак изучается самостоятельно, причем по чисто матема тическим причинам основное внимание привлекают условия С, необходимые (но недостаточные) для В. Далее могут изучаться ус ловия достаточные для С и т. д. Но в каком отношении эти условия находятся к событию A?
Естественно, что тенденции прикладника в решении математи ческой задачи должны быть существенно иные. (Мы пишем «долж ны быть», поскольку прикладники порой становятся на позиции чистых математиков.) Главным для него является реальное следствие из этого решения, формальные обобщения не представляют осо бой ценности. Столкнувшись с трудной математической задачей, прикладник предпочитает не искать элегантное решение («Элегантность — для портных», — сказал по этому поводу А. Эйнштейн (по свидетельству Э. Белла) и не ре шать произвольную формально близкую задачу, а попытаться так видоизменить математическую формулировку исходной задачи, что бы ее решение оказалось возможным и еще лучше — простым (см. п. 12). Проблема различия тенденций отчетливо видна в математической стати стике, где происходит как бы непрерывная конкуренция прикладного и теорети ческого направлений. В. В. Налимов пишет по этому поводу [25, с. 4—5]: «Матема тическая статистика, или, точнее, ее теоретические основы, развиваются, как пра вило, математиками, совсем плохо знающими эксперимент. Их логические концеп ции часто оказываются мало понятными экспериментатору. Сложный, вполне современный математический аппарат, делающий задачи статистики столь привле кательными для математиков, часто только отпугивает экспериментаторов. С по зиций экспериментатора нередко наиболее важными и интересными оказываются те аспекты математической статистики, которые с позиций математика кажутся совсем второстепенными. Математики, занимающиеся разработкой математичес кой статистики, подчас бывают совсем мало озабочены возможностью практическо го применения их идей и методов».
Аналогично высказывается Т. Мак Рей по поводу применения математики к проблемам управления предприятиями [26, с. 28] «Если научное управление уда лится в математическую раковину, оно превратится в отрасль математики, а не управления. В настоящий момент имеется тревожная тенденция в этом направле нии».
10. О математической строгости. Думается, из предыдущего ясно вытекает — это хочется подчеркнуть еще раз,— что нет и не может быть ни абсолютной строгости, ни абсолютной точности. Уровень строгости различен в различных областях знания и вообще челове ческой деятельности; он меняется с развитием этих областей, сти хийно складываясь (в редких случаях более сознательно, например, в математической логике) в связи с их задачами и методами. Это полностью относится и к математике. Общий тезис об относительнос ти знания проявляется не только в изменении областей познанного и непознанного, но также и в изменении характера самого позна ния — в том, что признается познанным, какие средства рассуждения при этом допускаются и т. п. Это общее положение при обретает особенную актуальность при сравнении методов рассуж дения в чистой и прикладной математике.
Формулировка и доказательства Евклида — эти высшие дости жения античной строгости и точности — оказались недостаточны ми в современной чистой математике, хотя уровень их строгости в школьном курсе и сейчас, по-видимому, чрезмерен. Евклид не уточ нял понятие «между», он считал его само собой разумеющимся и всякий раз, когда современный геометр сослался бы на аксиомы порядка, аксиому Паша (15), аксиомы непрерывности, Евклид рас суждал на основании здравого смысла. Это не приводило его к про тиворечиям, и соответствующие логические пробелы, обнаруженные более чем через две тысячи лет, оказались несущественными при построении античной геометрии, равно как несущественны они в школьном курсе математики.
Математику XVIII в. не приходило в голову, что такое, например, утверждение, как теорема Жордана о том, что простая замкнутая линия разбивает плоскость на две части, может требовать доказа тельства. Он свободно обходился без современных уточнений поня тий «линия», «поверхность» и т. п., поскольку наглядное представ ление об этих понятиях было вполне достаточно для решения ставив шихся в то время задач. Вполне достаточно такое наглядное пред ставление и сейчас для прикладной математики, а также для школы (16).
Подобно этому современная чистая математика, основанная на наивной теории множеств, не уточняет важнейшее, центральное для всей этой науки понятие «существует», считает его «само собой разу меющимся»; манипулирует с понятием завершенной бесконечности на основании «здравого смысла» и т. п. Эти логические пробелы ока зались несущественными при построении грандиозного здания чис той математики, они, как это выяснилось эмпирически, не приводят к противоречиям. Привычка к этим пробелам привела к тому, что многие их вообще перестали замечать, что и привело к ложному представлению об абсолютной строгости чистой математики.
По этому поводу И. С. Сокольников [27, с. 13] писал: «Понятие строгости зависит всецело от условностей, диктуемых господствую щим вкусом, которому и дано на определенный хронологический пе риод утверждать меру требовательности в определении степени мате матической строгости. Плодотворные интуитивные концепции пре образуются обычно в строгие формы либо путем четко выраженного соглашения о том, какие понятия следует относить в категорию конце пций, допускающих определение, и какие остаются неопределимыми, либо путем введения в математические теории новых формально логических процессов, по возможности свободных от противоречий».
Добавим, что в одном хронологическом периоде в разных разде лах математики могут быть разные понятия строгости в соответст вии с традициями и целями этих разделов. Так было в период науч ного Возрождения с геометрией и математическим анализом, позже ослабленные требования строгости были в теории вероятностей; сейчас различные уровни строгости имеются в математической ло гике, в основной части чистой математики и, как мы увидим в § 3, в прикладной математике.
Утверждение об абсолютной строгости и точности допускает также следующее курьезное, конечно, не решающее возражение. В п. 4 была оценена вероятность того, что равенство 2×2 = 4 есть результат арифметической ошибки. Тем же способом можно оце нить вероятность и того, что все утверждения чистой математики содержат подобные ошибки; эта вероятность с точки зрения чистой же математики положительна.
Математическая логика находится, конечно, на существенно более высоком уровне строгости, чем основная часть чистой мате матики. Однако и этот уровень не является абсолютным. Более того, чтение вводных глав иных книг по математической логике мо жет произвести впечатление, что интуиция в ней играет большую роль, чем в «наивной» чистой математике; но дело просто в том, что многие вопросы, которые в чистой математике считаются само собой разумеющимися, а на самом деле основаны на интуиции, в матема тической логике специально обсуждаются. Но и в логике многое остается «само собой разумеющимся», хотя грань необъясненного отодвигается вглубь. Так, это относится уже к первым словам курса «рассмотрим», «пусть» и т. п., которые должны быть одинаково по няты всеми читателями, но насколько универсально понятие «по нятности»? Однако эти пробелы не мешают математической логике развиваться и успешно решать естественно возникающие в ней про блемы, многие из которых оказываются существенными для мате матики в целом.
Еще более важно обратить внимание на следующее. Уровень строгости и весь образ мышления математической логики, несомнен но, не пригоден для чистой математики в целом, задачи которой выходят за рамки логики, хотя на некоторые из них достижения ло гики должны существенно повлиять; достаточно вспомнить, напри мер, выдающиеся результаты о неразрешимости, полученные в последнее время. Так, П.С. Новиков доказал невозможность построения алгоритма для решения одной из центральных проблем теории групп – так называемой проблемы тождества слов. С.И. Адян установил неразрешимость классической проблемы о построении алгоритма, позволяющего для любых двух групп, заданных своими образующими и определяющими соотношения между ними, выяснить, изоморфны эти группы или нет. А.А. Марков доказал неразрешимость знаменитой проблемы топологии о построении алгоритма, с помощью которого можно было установить, эквивалентны ли топологически (т.е. гомеоморфны ли) два заданных тела (точнее, полиэдра). Ю.В. Матиясевич сделал то же для десятой проблемы Гильберта о построении алгоритма, позволяющего для любого алгебраического уравнения с любым числом неизвестных и целочисленными коэффициентами выяснить, имеет ли это уравнение, по крайней мере, одно целочисленное решение.
И в то же время припоминается волнение и край нее недоумение слушателей на заседании Московского математиче ского общества во время доклада по математической логике, когда докладчик заявил: «Все функции непрерывны». Позже, когда вы яснилось, что он имел в виду конструктивно определенные функции, которые только и признаются конструктивной логикой, волнение утихло. Подумать только, что стало бы с современной чистой мате матикой, если бы из нее были исключены разрывные функции!
Подобным образом уровень строгости и весь образ мышления чистой математики, как уже не раз говорилось (и не раз будет повто рено в дальнейшем), хотя и применяются в прикладной математике, но не могут ее полностью удовлетворить. Даже когда задача пол ностью сформулирована на чисто математическом языке, проведе ние ее исследования на чисто дедуктивном уровне в подавляющем большинстве случаев противоречит принципу оптимальности, ука занному в п. 1.7, а во многих случаях просто невозможно.
Поэтому математик-прикладник не только имеет право, но обя зан выбирать уровень строгости и образ мышления, адекватный решаемым им задачам и принципу оптимальности. Эти уровень стро гости и образ мышления определяются сочетанием дедуктивных и рациональных рассуждений. К обсуждению последних мы обратим ся в следующем параграфе.
11. Примеры. Первые три примера иллюстрируют различие под ходов к вопросу о существовании в чистой и прикладной математике. Прежде чем перейти к их изложению, отметим следующее. До сих пор говорилось о причинах, которые порой препятствуют непосред ственному применению «чистых» результатов в прикладной матема тике. Вероятно, имеются и другие причины, хотя представляется, что перечисленные пока главнейшие. Вместе с тем во многих слу чаях «чистое» рассуждение удается перестроить так, что оно стано вится приемлемым и для прикладной математики: скажем, бесконеч ную конструкцию заменить на конечную, неэффективное доказа тельство существования — на эффективное, конструктивное (Доказательство существования некоторого объекта естественно называть конструктивным в прикладном отношении, если из него вытекает точная или при ближенная конструкция этого объекта, применимая для некоторого разумного класса реальных примеров). Хотя получающиеся при этом решения могут оказаться далекими от оп тимальных — об этом нередко чистая математика не заботится — но все же это уже решения, которые можно постараться улучшить, а если это не получится, то все-таки это лучше, чем ничего. Если же доказательство превратить в эффективное никак не удается, то все-таки оно может послужить дополнительным стимулом к эф фективному построению решения (как-то приятней строить решение, если доказано его существование), либо усилить уверенность в правильности другой конструкции решения, полученной без «чис того» обоснования (это означает, что «чистое» доказательство может служить од ним из рациональных доводов в защиту правильности решения)…
12. Еще цитаты. В заключение параграфа приведем высказывания различ ных авторов, непосредственно примыкающие к изложенному материалу, в ос новном к материалу пп. 8—10 (и частично к § 3).
X. Розенброк и С. Стори, говоря о математическом решении прикладных задач, в своей полезной книге [28, с. 29—30] пишут: «Инженер или математик прежде всего должен помнить, что он использует математику для описания реального мира. Чистый математик никогда не делает этого, а этому искусству учат редко. Любая последовательность математических символов, которую за писывает математик-прикладник, является в действительности последователь ностью физических утверждений. Если бы утверждение было на английском языке, то автор серьезно рассматривал бы, верно оно или нет. Он должен быть таким же скрупулезным в проверке справедливости утверждения, которое он сделал в математических символах.
Главное в данном случае (и оно же является источником больших трудностей) то, что математик-теоретик начинает с формулировки задачи, которую он потом не подвергает сомнению. Его единственной целью на протяжении последующих манипуляций является обоснование своих аргументов. Ни одну важную задачу в технике нельзя поставить таким образом. Любое формулирование технической задачи является условным, и если некоторое следствие формулировки задачи не верно или неприемлемо, то задача должна быть переформулирована. Если любой промежуточный шаг в математической аргументации отображает физически не верное положение, то результат, полученный с помощью строгих рассуждений из, по-видимому, обоснованной точки зрения, будет, тем не менее, ошибочным.
Математик-прикладник, следовательно, должен учитывать как математичес кую, так и физическую сторону задачи, связывая одну с другой. Каждая возни кающая математическая трудность должна вызывать подозрение — свойственна ли она физике, или вызвана ошибкой в формулировании, или просто является математической трудностью, которую можно избежать другой формулировкой?»
Д. Хорафас [29, с. 13]: «В самом широком плане математику можно разде лить на две области. Ученые, работающие в одной из них, имеют дело с симво лами, их комбинациями и свойствами в формализованном виде. Математики, ве дущие исследования в другой области, интересуются значением символов, т. е. смысловым содержанием теории, связанной с реальным миром». Это и есть схематическое определение чистой и прикладной математики. Мы бы добавили, что при этом здесь дело не в области приложений: прикладная математика изучает мето ды привлечения неформальных соображений к решению формализованных задач, а конкретной областью приложений определяются классы этих задач и этих со ображений. Было бы интересно провести сравнительный в этом отношении ана лиз различных областей приложения математики (механики, физики, химии, тех ники, биологии, экономики и т. д.). При этом выявятся как специфика этих об ластей, так и то общее, что характерно для приложения к ним математики.
М. Кац и С. Улам [1, с. 167—168]: «Некоторые из современников Хевисайда критиковали его за использование формальных приемов без ясного понимания их содержания и смысла. Говорят, что в ответ своим критикам Хевисайд как-то сказал: «Должен ли я отказаться от хорошего обеда лишь потому, что не понимаю процессов пищеварения?» Подобным образом можно было бы критиковать шести классника, который учится пользоваться дробями, не понимая лежащей в основе теории.
Мы остановились на этом потому, что здесь хорошо видна одна из сильных (надо было бы сказать «ведущих» и т. п.— Авт.) тенденций современной математи ки: игнорировать и отвергать все, что не формализовано логически. Именно эта тенденция (начинающая проникать в начальное и среднее обучение) в большой сте пени ответственна за растущее отделение математики от физики. Физик, применя ющий математические методы, вполне может положиться на внутреннюю согла сованность своих построений и, что самое важное, на совпадение полученных ре зультатов с экспериментом. Подобно шестикласснику, он будет рад воспользо ваться рациональными числами, не зная во всех подробностях, как их можно объ единить в формальную систему, и, подобно Хевисайду, будет счастлив жонглировать операторами, не дожидаясь, когда логика даст ему разрешение на это». Кстати, именно Хевисайду удалось найти решения практически важных задач в слу чаях, когда применить логически полностью обоснованную в то время методику оказалось затруднительно. Позже аналогичная история произошла с обобщен ными функциями (п. 6), которые физики ввели и начали использовать раньше, чем математики дали им формально совершенное обоснование.
Г. Ван Трис пишет в предисловии к своей книге [30, с. 11—12]: «Уровень математической строгости книги невысок, хотя в большинстве разделов полученные результаты могут быть доказаны и строго, если мы будем просто более скрупулезны в наших выкладках. Мы намеренно приняли такой подход с тем, чтобы оби лием деталей не обременять существенные идеи и сделать материал удобочитае мым для той инженерной аудитории, которая найдет его полезным. К счастью, почти во всех случаях мы можем удостовериться, что наши выводы являются интуитивно логичными. Следует заметить, что эта способность проверять выводы интуитивно была бы необходима, даже если бы выкладки были весьма строгими, поскольку наша конечная цель — получить ответ, который соответствует некото рой рассматриваемой физической системе. Не представляет труда найти физичес кие задачи, в которых правдоподобная (но неадекватная, см. § II.1.—Авт.) математическая модель и корректные математические методы приводят к не реалистическому решению исходной задачи».
Л. де Бройль [31, с. 326]: «Математический язык является чисто дедуктивным, он позволяет строго выводить следствия из посылок. Эта строгость, являющаяся его силой, является также его слабостью, поскольку она замыкает его в круг, за пределы которого он не может выйти. Математическое рассуждение должно установить следствия, которые уже содержатся в посылках, не будучи еще очевид ными; следовательно, оно не может дать в своих выводах ничего более того, что содержится неявно в исходных гипотезах... Итак, не чистые дедукции, а сме лые индукции и оригинальные представления являются источниками высокого прогресса науки».
X. Розенброк и С. Стори [28, с. 17, 31 и 41]: «Мы не против математической строгости и, признавая, что математика имеет свои собственные внутренние зако ны развития, возражаем против позиции, которая концентрирует внимание на ма тематических тонкостях, возникающих при постановке задачи и несущественных в определенном смысле, и в то же время игнорирует действительные трудности». «Инженер должен не гнаться за строгостью как вещью в себе и избегать большой борьбы за общность и краткость. Слишком, общая формулировка обычно сводит решение к задаче, менее легкой и менее полезной. Краткость (или «элегантность») - это хорошо, однако часто она получается только за счет искусственности». «Инже нер... не позволяет ставить в один ряд все те проблемы, которые представляют какой-либо интерес. Математические выкладки оправдываются в его глазах их практическим успехом таким же образом, как и физические теории, к кото рым эта математика применяется. Вследствие этого различия в подходе аксиома тический метод мало привлекателен для инженера. Он соглашается признать, что 2+2 = 4, потому что это приводит к полезным результатам, и не чувствует необходимости доказывать это утверждение с помощью ряда менее очевидных аксиом. В то же время не возражает против введения новых фактов в задачу по мере решения. Если новый факт верен, то он не может быть источником ошибок в ре зультате».
Аналогичные мысли высказал Н. Бейли [7, с. 144] в связи с приложениями математики к биологии: «Вполне возможно, что для решения уравнений нужны некоторые дополнительные условия или допущения, либо их трудно решить именно в той форме, в какой они представлены. В этом случае математик может ввести дополнительные ограничения или произвести некоторые изменения, поз воляющие решить эти уравнения. Но может оказаться, что произведенные им изменения не соответствуют духу первоначальной биологической задачи, и в ре зультате будет затрачено много сил на сложные, но бесполезные математические расчеты в поисках точного решения ошибочной задачи. Для того чтобы математик узнал, что именно в конечном счете допустимо с точки зрения биологии, он дол жен проявить интерес к самой биологической задаче и познакомиться с ней во всех деталях».
В своей эмоциональной речи на конференции Американской ассоциации эко номистов президент этой ассоциации В. Леонтьев, говоря о резко возросшем увлечении формальными схемами экономики, в частности, сказал [37, с. 101 - 104]: «Некри тическое увлечение математическими формулами часто ведет к тому, что за вну шительным фронтом алгебраических символов скрываются положения легковес ные с точки зрения сущности предмета». Он приводит слова одного из недавних президентов Общества эконометриков: «...есть что-то скандальное в зрелище, ко торое представляет такое большое количество людей, занятых оттачиванием ана лиза экономических ситуаций, относительно которых у них нет никаких основа ний полагать, что они когда-либо будут иметь место в действительности... Это не удовлетворительное состояние дел, в котором есть даже что-то бесчестное». И до бавляет: «Увлеченность воображаемой, а не данной в наблюдениях реальностью привела к искажению неофициальной шкалы ценностей, по которой в наших акаде мических кругах оценивают научные достижения. Эмпирический анализ оцени вается теперь ниже, чем формальное математическое доказательство... И все это происходит, несмотря на то, что в очень многих случаях сложный статистический анализ осуществляется на базе массива данных, точное значение и надежность которых неизвестны автору или, напротив, так хорошо известны, что в самом кон це он предупреждает читателя не принимать всерьез фактическую сторону выво дов данного «упражнения» ... не удивительно, что экономисты младшего поколения, особенно те, которые заняты преподавательской деятельностью и теоретическими исследованиями, по-видимому, вполне удовлетворены нынешним состоянием дел: они могут демонстрировать свою доблесть (и, между прочим, делать карьеру), создавая все более сложные математические модели и изобретая все более изощ ренные методы статистических преобразований, совершенно не принимая участия в эмпирических исследованиях. Время от времени раздаются жалобы на отсутствие необходимых первичных данных, но в них не заметно особой тревоги».
В. В. Налимов [25, с. 195]: «За рубежом нередко кафедры математической статистики занимают ученые, хорошо подготовленные в области математики, но не имеющие вкуса к эксперименту. Им нужно как-то проявить свою деятельность. Нужно давать темы для дипломных и диссертационных работ. Появляются проб лемы, сформулированные в терминах прикладных задач, но в действительности не имеющие прикладного значения. Разработка этих проблем требует высокого математического мастерства и может служить хорошим основанием для поддер жания престижа на высоком уровне. Однако найденные решения не имеют большой ценности с позиций математики, так как они носят очень частный характер. Их пытаются представить как глубокую теоретическую разработку практически важной проблемы. Но на самом деле они не имеют прикладного значения из-за нереалистичности в постановке задачи. Так возникает ненужная теоретизация».
М. Кац и С. Улам [1, с. 210—211 ]: «Никакая из рассматривающихся до сих пор формальных систем не дает адекватного воплощения того представления о бес конечном, которого бессознательно придерживаются математики: можно даже от важиться на гипотезу, что такая формальная система вообще невозможна:». «Работа над основаниями всей математики в целом привела к от рицательному результату, ибо она выявила слабые стороны аксиоматического ме тода. (Мы бы не сказали, что это отрицательный результат.— Авт.) В теории множеств она породила серьезные сомнения в существовании формальных систем, способных дать такое описание, которое отвечало бы представлению математика о множествах». Противопоставляя этому конструктивные результаты работы над основаниями геометрии, Кац и Улам заключают: «Трудно избежать искушения и не сделать из этого вывод, что существует какое-то неопределяемое глубокое различие между проблемой аксиоматизации отдельной ветви математики, обязан ной своим происхождением внешним стимулам, и проблемой аксиоматиза ции внутренних процессов мышления».
С. А. Яновская [35, с. 249]: «...математическая, или логическая, «строгость» с а м а п о с е б е отнюдь не является еще гарантией истинности и надежности науки. Нетрудно привести примеры, где строгая последовательность выводов могла принести — и действительно принесла — только вред прогрессивному развитию науки».
В. В. Налимов [25]: «Если математика в прикладных задачах выступает в роли языка, то математические структуры этого языка естественно рассматривать как грамматику этого языка. Можно задать вопрос — нужно ли хорошо знать грамма тику тому, что хочет воспользоваться языком в чисто прагматических целях? По-видимому, не нужно, во всяком случае, на обыденном языке можно разгова ривать, не зная его грамматики».
Дж. Коул [38, с. 9]: «Настоящая книга написана в основном с точки зрения математика-прикладника: внимание в ней в значительно большей степени уделено выявлению основополагающих идей теории возмущений, чем вопросам математи ческой строгости; при этом использовались самые разнообразные средства. В част ности, для выяснения существа различных вопросов часто приходилось обращаться к физическим рассуждениям. Они обычно помогают правильно поставить задачу и найти нужные приближения».
Примечания
Приведем еще высказывание Ж. Дьедонне по этому поводу: «...в принципе современная математика в основе своей не имеет какой-либо утилитарной цели, а представляет собой интеллек туальную дисциплину, практическая польза которой сводится к нулю ...ма тематик в своих исследованиях никогда не руководствуется мыслью о степени полезности полученных результатов в будущем (что, впрочем, и невозможно пред сказать), скорее он руководствуется желанием проникнуть в понимание матема тического явления, как явления, заканчивающегося на себе самом ... математика — не более чем «роскошь», которую может позволить себе цивилизация» (цитируется по Сойер У. Путь в современную математику. «Мир», М., 1972, с. 18). Грустно, что это говорит человек, являющийся одним из руко водителей группы «Бурбаки», оказывающей значительное влияние на лицо всей современной чистой математики...
3. В связи с этим приведем слова Дж. Диксона: «Если мощные математические методы не позволяют получить результат (иногда это бывает), то все равно нужно продолжать поиск. Имейте в виду, что при инженерном анализе необходим о получить числовой результат любым способом».
4. Дополнительное осложнение возникает в связи с тем, что понятия «приклад ное исследование», «прикладной раздел» и т. п. являются относительными; это порой приводит к различным недоразумениям, например, к тому, что прикладни ками (соответственно теоретиками) называют себя люди, которые друг друга от нюдь таковыми не считают. Целый ряд исследований, книг и т. д. можно назвать как прикладными (если они рассматриваются с еще более абстрактных позиций), так и чисто математическими (скажем, с позиций инженера). Конечно, такая отно сительность понятия «прикладного» имеет место также в физике, механике и дру гих дисциплинах.
5. Н. С. Бахвалов [11, с. 11]: «...есть разница в подходе «чистого» и «приклад ного» математика к решению какой-либо проблемы. На языке первого понятие решить задачу означает доказать существование решения и предложить процесс, сходящийся к решению. (Даже последнее иногда считается необязательным. — Авт.) Сами по себе эти результаты полезны для прикладника, но, кроме этого, ему нужно, чтобы процесс получения приближения не требовал больших затрат, например, времени или памяти ЭВМ. Ему важно не только то, что процесс сходится, но и то, как быстро он сходится».
6. Впрочем, Дон Кихот не очень заботился о предварительном доказатель стве соответствующей теоремы о существовании врагов, а сразу бросался в бой.
7. Этот закон гласит, что для каждого утверждения, осмысленного в рассматриваемой ситуации, верно либо оно само, либо его отрицание. Обозначив буквой p это утверждение, можем написать: верно (p или (не p)). Закон исключенного третьего близок, хоть и не равносилен, закону двойного отрицания: из (не (не p)) вытекает p, а также закону противоречия: неверно (p и (не p)). В дальнейшем, упоминая закон исключенного третьего, мы будем иметь в виду все три закона. Чистая математика (за исключением некоторых ветвей математической логики) пользуется ими без ограничений.
8. К. Гедель доказал, что любая достаточно обширная теория, вытекающая по определенным правилам математической логики из некоторой системы аксиом, всегда неполна; это означает, что в терминах такой теории можно сформулировать предложение, справедливость или ложность которого нельзя доказать в рамках этой теории, т.е. пользуясь только исходными аксиомами. Эту справедливость или ложность можно принять в качестве добавочной аксиомы, присоединив которую к исходным, можно построить более детализованную теорию, которая, однако, будет опять неполной, и т.д. Формальная непротиворечивость достаточно обширной теории также не может быть доказана в рамках этой теории.
9. Отметим, что само по себе рассмотрение непрерывных переменных еще не вводит в прикладную математику бесконечности, так как область изменения таких переменных выступает в приложениях не как набор точек, а как первичный объект (например, интервал времени).
10. Мы не удержались поставить это слово в кавычки, хотя самого Скьюиса они, вероятно, обидели бы.
11. Будучи вырванными из контекста, эти слова могут вызвать негодова ние; мы надеемся, что наши читатели не соблазнятся легкой возможностью высказать тяжелый упрек. Позже мы будем говорить о том, что выражения «точно» и даже «абсолютно точно» сами в определенном смысле имеют отно сительный характер; см., например, рассмотрение равенства 2 × 2 = 4 в п. 4,
Несколько утрируя, можно сказать, что если 2 × 2 = 4, то .
12. Тем, кто возражает: «Но встречаются же крайне маловероятные события: например, на днях я и мой старинный знакомый, которого я не видел 20 лет, неза висимо взяли в театр билеты на соседние места», надо ощутить полную несравни мость вероятностей этого и указанных выше событий. Не следует уподобляться свахе из «Последней жертвы» А. Н. Островского, которая о каждом женихе говорила: «У него миллион», и простодушно пояснила: «Для меня все, что больше тысячи, то миллион».
13. Параметр — это не обязательно скаляр, это может быть вектор или даже элемент функционального пространства. Например, для дифференциального уравнения всю правую часть можно рассматривать как функцио нальный параметр. Поэтому метод, применяемый к реальной задаче, описывае мой указанным дифференциальным уравнением, должен быть устойчивым относи тельно произвольной достаточно малой вариации правой части.
14. В книге [35, с. 52—53] приведен остроумный пример того, как утвержде ние, истинное в смысле формальной логики, в житейском звучании становится ложным, так как в обыденной жизни мы за логическими терминами видим больше, чем содержится в их формальном определении: «Представим себе, что один из наших знакомых на вопрос, когда он уедет из города, ответит, что он собирается сделать это сегодня, завтра или послезавтра. Если мы впоследствии убедимся в том, что еще до нашего вопроса им было уже решено уехать в тот же день, у нас, вероятно, создается впечатление, что мы были намеренно введены в заблуждение и что он солгал нам».
15. Аксиома Паша состоит в том, что если на плоскости прямая не проходит через вершины некоторого треугольника и пересекает какую-либо из его сторон, то она пересечет и какую-либо из других сторон этого треугольника.
16. Яркое описание исторического уточнения понятия многогранника содер жится в книге И. Лакатоса [36]. Сравнивая это уточнение с затачиванием каран даша, автор пишет (с. 73): «Во-первых, ни один карандаш не является абсолютно острым (и если мы переострим его, то он сломается), и, во-вторых, затачивание ка рандаша не является творческой математикой». Отметим одну из высказываемых им точек зрения (с. 76): «Не все предложения будут или истинными, или ложными. Есть и третий класс, который я хотел бы теперь назвать «более или менее строги ми». Говоря подробно об эволюции понятия строгости, автор отмечает (с. 80): «Различные уровни строгости отличаются только местом, где они проводят линию между строгостью анализа доказательства и строгостью доказательства, т. е. местом, где должен остановиться критицизм».
Литература
Вопросы для понимания
1 Открытие иррациональности традиция приписывает пифагорейскому математику первой половины V века до н.э. Гиппасу. Существует несколько реконструкций первоначального доказательства иррациональности. Так, К. фон Фриц полагал, что Гиппас открыл иррациональности при построении додекаэдра (см.[14], с.82). Достаточно убедительной является концепция венгерского историка математики А.Сабо (см.[15]), в которой показывается, что подходы к открытию несоизмеримостей были намечены в процессе решения одной из проблем музыкальной теории пропорций.