Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Министерство образования и науки Украины
Донецкий Национальный Технический Университет
Кафедра вычислительной
математики и программирования
ЗАДАНИЕ
на курсовую работу по курсу
«Вычислительная техника и алгоритмические языки»
Студентке группы Элтт-12г Шумейко Светланы
ТЕМА КУРСОВОЙ РАБОТЫ
«Решение электротехнических задач
в электронных таблицах и с использованием математических пакетов»
Дата выдачи задания 5.03.2013
Срок сдачи работы ____________
Руководитель Кучер Т.В.
Донецк, 2013
АННОТАЦИЯ
Пояснительная записка представляет собой отчет о выполнении курсовой работы. В ней рассматриваются вопросы по обработке и анализе экспериментальных данных, получению эмпирических формул методом наименьших квадратов (МНК). Расчеты проведены средствами пакета Microsoft Excel.
СОДЕРЖАНИЕ
|
[1] [2] 1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ [2.1] 2.1 Анализ экспериментальной зависимости [2.2] 2.2 Построение эмпирических формул методом наименьших квадратов [2.3] 2.3 Линеаризация экспоненциальной зависимости [2.4] 2.4 Элементы теории корреляции [3] 3 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ С ПОМОЩЬЮ ЭЛЕКТРОННЫХ ТАБЛИЦ [4] MICROSOFT EXCEL [5] 4 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ С ПОМОЩЬЮ SCILAB [6] 5 АНАЛИЗ ПОЛУЧЕНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ
[7] |
Аппроксимация (от латинского "approximate" - "приближаться") - приближенное выражение каких-либо математических объектов (например, чисел или функций) через другие более простые, более удобные в пользовании или просто более известные. В научных исследованиях аппроксимация применяется для описания, анализа, обобщения и дальнейшего использования эмпирических результатов.
Как известно, между величинами может существовать точная (функциональная) связь, когда одному значению аргумента соответствует одно определенное значение, и менее точная (корреляционная) связь, когда одному конкретному значению аргумента соответствует приближенное значение или некоторое множество значений функции, в той или иной степени близких друг к другу. При ведении научных исследований, обработке результатов наблюдения или эксперимента обычно приходиться сталкиваться со вторым вариантом. При изучении количественных зависимостей различных показателей, значения которых определяются эмпирически, как правило, имеется некоторая их вариабельность. Частично она задается неоднородностью самих изучаемых объектов неживой и, особенно, живой природы, частично обуславливается погрешностью наблюдения и количественной обработке материалов. Последнюю составляющую не всегда удается исключить полностью, можно лишь минимизировать ее тщательным выбором адекватного метода исследования и аккуратностью работы. Поэтому при выполнении любой научно-исследовательской работы возникает проблема выявления подлинного характера зависимости изучаемых показателей, этой или иной степени замаскированных неучтенностью вариабельности значений. Для этого и применяется аппроксимация - приближенное описание корреляционной зависимости переменных подходящим уравнением функциональной зависимости, передающим основную тенденцию зависимости (или ее "тренд").
При выборе аппроксимации следует исходить из конкретной задачи исследования. Обычно, чем более простое уравнение используется для аппроксимации, тем более приблизительно получаемое описание зависимости. Поэтому важно считывать, насколько существенны и чем обусловлены отклонения конкретных значений от получаемого тренда. При описании зависимости эмпирически определенных значений можно добиться и гораздо большей точности, используя какое-либо более сложное, много параметрическое уравнение. Однако нет никакого смысла стремиться с максимальной точностью передать случайные отклонения величин в конкретных рядах эмпирических данных. Гораздо важнее уловить общую закономерность, которая в данном случае наиболее логично и с приемлемой точностью выражается именно двухпараметрическим уравнением степенной функции. Таким образом, выбирая метод аппроксимации, исследователь всегда идет на компромисс: решает, в какой степени в данном случае целесообразно и уместно «пожертвовать» деталями и, соответственно, насколько обобщенно следует выразить зависимость сопоставляемых переменных. Наряду с выявлением закономерностей, замаскированных случайными отклонениями эмпирических данных от общей закономерности, аппроксимация позволяет также решать много других важных задач: формализовать найденную зависимость; найти неизвестные значения зависимой переменной путем интерполяции или, если это допустимо, экстраполяции.
1. Используя метод наименьших квадратов функцию , заданную графически, аппроксимировать:
а) степенной зависимостью ;
б) полиномиальным многочленом 3-й степени .
2. Для каждой зависимости вычислить коэффициенты регрессии.
3. Вычислить коэффициенты корреляции.
4. Вычислить среднеквадратичные отклонения и суммарную ошибку.
5. Для каждой зависимости построить линию тренда.
6. Используя статистические функции, вычислить числовые характеристики зависимости y от x.
7. Найти ожидаемое значение токов при напряжениях 0,87U1н, 0,96U1н, 1,22U1н. Номинальный ток статора 60А.
8. Сравнить свои вычисления с результатами, полученными при помощи функции ЛИНЕЙН.
9. Сделать вывод, какая из полученных формул наилучшим образом аппроксимирует функцию .
10. Выполнить необходимые расчеты в электронных таблицах Excel.
2 ОПИСАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
Асинхронной называется такая машина, скорость вращения которой при заданной частоте зависит от нагрузки. В асинхронной машине магнитное поле создается переменным током, подводимым к ней от какого-либо источника переменного тока. Асинхронные машины применяются преимущественно при работе в режиме двигателей.
Коэффициент нагрузки определяет относительную величину нагрузки асинхронного двигателя (АД):
. (2.1)
Если АД работает большей частью при нагрузках, близких к номинальной, то выгодно, чтобы значение Кнг было близко к единице. Если АД работает в основном при малых нагрузках, то выгодно, чтобы значение Кнг было соответственно меньше.
Зависимости тока статора АД АИУМ225М4 от напряжения при различных коэффициентах нагрузки приведены на рисунке 2.1.
Рисунок 2.1 - Зависимости тока статора АД АИУМ225М4 от напряжения при различных коэффициентах нагрузки
Анализ данной зависимости показывает, что при уменьшении напряжения намагничивающий ток уменьшается, а ток статора, равный геометрической сумме приведенного тока ротора и тока холостого хода, в зависимости от загрузки асинхронного двигателя и соотношения между данными параметрами, может увеличиваться или уменьшаться. Ток ротора увеличивается всегда.
Очень часто, особенно при анализе эмпирических данных возникает необходимость найти в явном виде функциональную зависимость между величинами x и y, которые получены в результате измерений.
При аналитическом исследовании взаимосвязи между двумя величинами x и y производят ряд наблюдений и в результате получается таблица значений:
Таблица 2.1 - Функциональная зависимость между x и y
|
x |
|
|
||||
|
y |
|
|
Эта таблица обычно получается как итог каких-либо экспериментов, в которых (независимая величина) задается экспериментатором, а получается в результате опыта. Поэтому эти значения будем называть эмпирическими или опытными значениями.
Между величинами x и y существует функциональная зависимость, но ее аналитический вид обычно неизвестен, поэтому возникает практически важная задача – подобрать зависимости вида:
(2.2)
(где - параметры), значения которой при возможно мало отличались бы от опытных значений .
Обычно указывают класс функций (например, множество линейных, степенных, показательных и т.п.) из которого выбирается функция , и далее определяются наилучшие значения параметров.
Если в эмпирическую формулу (2.2) подставить исходные , то получим теоретические значения , где . Разности называются отклонениями и представляют собой расстояния по вертикали от точек до графика эмпирической функции.
Согласно методу наименьших квадратов наилучшими коэффициентами считаются те, для которых сумма квадратов отклонений найденной эмпирической функции от заданных значений функции
(2.2)
будет минимальной.
Поясним геометрический смысл метода наименьших квадратов.
Каждая пара чисел из исходной таблицы определяет точку на плоскости . Используя формулу (2.2.1) при различных значениях коэффициентов можно построить ряд кривых, которые являются графиками функции (2.2.1). Задача состоит в определении коэффициентов таким образом, чтобы сумма квадратов расстояний по вертикали от точек до графика функции (2.2.1) была наименьшей.
Построение эмпирической формулы состоит из двух этапов: выяснение общего вида этой формулы и определение ее наилучших параметров.
Если неизвестен характер зависимости между данными величинами x и y, то вид эмпирической зависимости является произвольным. Предпочтение отдается простым формулам, обладающим хорошей точностью. Удачный выбор эмпирической формулы в значительной мере зависит от знаний исследователя в предметной области, используя которые он может указать класс функций из теоретических соображений. Большое значение имеет изображение полученных данных в декартовых или в специальных системах координат (полулогарифмической, логарифмической и т.д.). По положению точек можно примерно угадать общий вид зависимости путем установления сходства между построенным графиком и образцами известных кривых.
Определение наилучших коэффициентов входящих в эмпирическую формулу производят хорошо известными аналитическими методами.
Для того, чтобы найти набор коэффициентов , которые доставляют минимум функции S, определяемой формулой (2.2), используем необходимое условие экстремума функции нескольких переменных - равенство нулю частных производных. В результате получим нормальную систему для определения коэффициентов :
(2.2)
Таким образом, нахождение коэффициентов сводится к решению системы (2.2.3).
Эта система упрощается, если эмпирическая формула (2.2) линейна относительно параметров , тогда система (2.2.3) - будет линейной.
Конкретный вид системы (2.2.3) зависит от того, из какого класса эмпирических формул мы ищем зависимость (2.2.1). В случае линейной зависимости система (2.2.3) примет вид:
(2.2)
Эта линейная система может быть решена любым известным методом (методом Гаусса, простых итераций, формулами Крамера).
В случае квадратичной зависимости система (2.2.3) примет вид:
(2.2)
В ряде случаев в качестве эмпирической формулы берут функцию, в которую неопределенные коэффициенты входят нелинейно. При этом иногда задачу удается линеаризовать, т.е. свести к линейной. К числу таких зависимостей относится экспоненциальная зависимость
(2.3)
где и неопределенные коэффициенты.
Линеаризация достигается путем логарифмирования равенства (2.3.1), после чего получаем соотношение:
(2.3)
Обозначим и соответственно через и , тогда зависимость (2.3.1) может быть записана в виде , что позволяет применить формулы (2.2.4) с заменой на и на .
График восстановленной функциональной зависимости по результатам измерений называется кривой регрессии. Для проверки согласия построенной кривой регрессии с результатами эксперимента обычно вводят следующие числовые характеристики: коэффициент корреляции (линейная зависимость), корреляционное отношение и коэффициент детерминированности. При этом результаты обычно группируют и представляют в форме корреляционной таблицы. В каждой клетке этой таблицы приводятся численности тех пар , компоненты которых попадают в соответствующие интервалы группировки по каждой переменной. Предполагая длины интервалов группировки (по каждой переменной) равными между собой, выбирают центры (соответственно ) этих интервалов и числа в качестве основы для расчетов.
Коэффициент корреляции является мерой линейной связи между зависимыми случайными величинами: он показывает, насколько хорошо в среднем может быть представлена одна из величин в виде линейной функции от другой.
Коэффициент корреляции вычисляется по формуле:
, (2.4)
где , и среднее арифметическое значение соответственно по x и y.
Коэффициент корреляции между случайными величинами по абсолютной величине не превосходит 1. Чем ближе к 1, тем теснее линейная связь между x и y.
В случае нелинейной корреляционной связи условные средние значения располагаются около кривой линии. В этом случае в качестве характеристики силы связи рекомендуется использовать корреляционное отношение, интерпретация которого не зависит от вида исследуемой зависимости.
Корреляционное отношение вычисляется по формуле:
, (2.4)
где , а числитель характеризует рассеяние условных средних около безусловного среднего .
Всегда . Равенство соответствует некоррелированным случайным величинам; тогда и только тогда, когда имеется точная функциональная связь между y и x. В случае линейной зависимости y от x корреляционное отношение совпадает с квадратом коэффициента корреляции. Величина используется в качестве индикатора отклонения регрессии от линейной.
3.1 Расчет коэффициентов аппроксимации
Из графической зависимости y=f(x) рисунка 2.1 определим экспериментальные точки и результаты сведем в таблицу 3.1.
Таблица 3.1 – Экспериментальные точки, полученные из графической зависимости
|
β=0.7 |
|
|
0.8 |
0.87 |
|
0.9 |
0.78 |
|
1.0 |
0.75 |
|
1.1 |
0.68 |
|
1.2 |
0.78 |
|
1.3 |
0.99 |
Расчет коэффициентов аппроксимации согласно условию необходимо произвести для графика зависимости тока статора от напряжения при коэффициенте нагрузки β=0.9.
Для проведения расчетов данные целесообразно расположить в виде таблицы 3.2, используя средства табличного процессора Microsoft Excel.
Таблица 3.2 – Исходные данные для расчета в Microsoft Excel
|
X |
0,80 |
0,90 |
1,00 |
1,10 |
1,20 |
1,30 |
|
Y |
1,10 |
0,99 |
0,90 |
0,88 |
0,90 |
1,05 |
График данной экспериментальной зависимости приведен на рисунке 3.1.
Рисунок 3.1 - График экспериментальной зависимости
Выполним расчет коэффициентов регрессии для линейной зависимости с помощью встроенной статистической функции =ЛИНЕЙН(B3:G3;B2:G2), где в ячейки B3:G3 заносим значения , а в ячейки B2:G2 заносим значения .
Полученные коэффициенты регрессии а и b для линейной зависимости составляют -0,15571 ($A$31) и 1,132667 ($B$31) соответственно.
Теоретические значения , полученные по формуле =$A$31*B3+$B$31 сведены в таблицу 3.3.
Таблица 3.3 – Теоретические значения степенной функции
|
Yt |
0,961381 |
0,97851 |
0,992524 |
0,996417 |
0,992524 |
0,969167 |
Коэффициент корреляции получен по формуле =КОРРЕЛ(B3:G3; B2:G2) и составляет -0,3159, суммарная ошибка получена с помощью формулы =СУММКВРАЗН(B3:G3;B34:G34) и составила 0,057745.
Графическое решение задачи показано на рисунке 3.2. Здесь изображены экспериментальные данные и подобранная к ним линия регрессии.
Рисунок 3.2 - Графики экспериментальной зависимости и линии регрессии
Расчет коэффициентов регрессии производим для степенной зависимости с помощью встроенной статистической функции =ЛГРФПРИБЛ(B3:G3;B2:G2), где в ячейки B3:G3 заносим значения , а в ячейки B2:G2 заносим значения .
Полученные коэффициенты регрессии а и b для степенной зависимости составляют 0,811933 ($A$7) и 1,194857 ($B$7) соответственно.
Теоретические значения , полученные по формуле =$A$7*СТЕПЕНЬ(B3;$B$7) сведены в таблицу 3.4.
Таблица 3.4 – Теоретические значения степенной функции
|
Yt |
0,929669 |
0,811933 |
0,696923 |
0,67804 |
0,696923 |
0,860673 |
Коэффициент корреляции получен по формуле =КОРРЕЛ(B3:G3; B2:G2) и составляет -0,36245, суммарная ошибка получена с помощью формулы =СУММКВРАЗН(B3:G3;B11:G11) и составила 0,207584.
Расчет параметров полиномиальной функции выполнен аналогично расчету параметров степенной функции, за исключением подбора коэффициентов корреляции а1 ($L$7), а2 ($M$7) и а3 ($N$7) с помощью решающего блока “Поиск решения”.
Полученный результат приведен в таблице 3.5.
Таблица 3.5 – Результат расчета коэффициентов с помощью решающего блока Microsoft Excel
|
a1 |
a2 |
a3 |
|
2,421847 |
-3,93738 |
2,400122 |
Теоретические значения , полученные по формуле = =$L$7+$M$7*M2^2+$N$7*M2^3 сведены в таблицу 3.6.
Таблица 3.6 – Теоретические значения полиномиальной функции
|
Yt |
1,130785 |
0,982256 |
0,884587 |
0,852177 |
0,899427 |
1,040739 |
Коэффициент корреляции получен по формуле =(1-L17/КВАДРОТКЛ(M3:R3))^0,5 и составляет 0,991538, суммарная ошибка получена с помощью формулы =СУММКВРАЗН(M3:R3;M11:R11) и составила 0,000977.
Построим в двух графических областях экспериментальные точки и графики подобранных функциональных зависимостей (рисунок 3.3 и рисунок 3.4).
Рисунок 3.3 - Графики экспериментальной зависимости и линии регрессии степенной функции
Рисунок 3.4 - Графики экспериментальной зависимости и линии регрессии полиномиальной функции
Найдем ожидаемое значение токов при напряжениях 0,87U1н, 0,96U1н, 1,22U1н. Номинальный ток статора 60А.
Используя формулу для степенной функции =$A$7*СТЕПЕНЬ(B44*$B$3;$B$7) и для полиномиальной =$L$7+$M$7*M44*$M$2^2+$N$7*M44*$M$2^3, определим значения функций (таблица 3.7 и таблица 3.8 соответственно).
Таблица 3.7 – Исходные данные и результат расчета степенной функции
|
U1н |
0,87 |
0,96 |
1,22 |
|
I1н, А |
60 |
||
|
It |
0,787159 |
0,885412 |
1,179006 |
Таблица 3.8 – Исходные данные и результат расчета полиномиальной функции
|
U1н |
0,87 |
0,96 |
1,22 |
|
I1н, А |
60 |
||
|
It |
1,298623 |
1,182427 |
0,846751 |
Ниже приведен результат построения линий тренда по экспериментальным данным в Microsoft Excel (рисунок 3.5). Следует отметить, что при построении степенной линии тренда используется линейная аппроксимация, что вносит погрешность. Таким образом, из построенных зависимостей наиболее точной является полиномиальная линия тренда с четной степенью полинома.
Рисунок 3.5 – Линии тренда
Полученные при построении линии тренда значения коэффициентов для степенной зависимости не совпадает с истинным значением, поскольку при вычислении коэффициентов используются не истинные значения , а преобразованные значения с дальнейшей линеаризацией.
Использование стандартных функций Excel обладает тем преимуществом, что результат пересчитывается автоматически при изменении данных выборки (при условии неизменности k и n). Вместе с тем, использование инструмента РЕГРЕССИЯ надстройки Excel «Анализ данных» позволя ет избежать некоторых дополнительных расчетов, проводимых, в частности, для проверки значимости. Кроме того, этот инструмент позволяет получать и визуально анализировать значения погрешностей.
Таким образом, табличный процессор MS Excel является достаточно удобной средой проведения вычислений, а использование его стандартных функций и инструментов позволяет эффективно реализо вать математическую модель.
ВЫВОДЫ
Сделаем заключение по результатам полученных данных:
1. Анализ результатов расчетов показывает, что полиномиальная аппроксимация наилучшим образом описывает экспериментальные данные, т.к. согласно расчетам в MS Excel коэффициент корреляции в этом случае составил 0,991538; суммарная ошибка - 0,000977. Для степенной аппроксимации эти параметры ниже и составляют -0,36245 и 0,207584 соответственно.
2. Сравнивая результаты, полученные при помощи функции ЛИНЕЙН видим, что они совпадают с вычислениями, проведенными выше. Это указывает на то, что вычисления верны.
3. Полученные при построении линии тренда значения коэффициентов для степенной зависимости не совпадает с истинным значением, поскольку при вычислении коэффициентов используются не истинные значения y, а преобразованные значения ln(y) с дальнейшей линеаризацией.