Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Министерство образования Российской Федерации
ВОРОНЕЖСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине: «Финансовая математика»
|
студент Черных Е.А. курс: 4 факультет: ФК № зач. 01ФФБ12502 |
|
|
доцент Концевая Н.В. |
Дан временной ряд, характеризующий объем кредитования коммерческим банком жилищного строительства (в условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов).
Требуется:
Зависимость между компонентами тренд-сезонного временного ряда мультипликативная. Мультипликативная модель Хольта-Уинтерса с линейным ростом имеет следующий вид:
Yp(t+k) = [ a(t) + k · b(t) ] · F(t+k-L) (1)
где k – период упреждения,
Yp(t)- расчетное значение экономического показателя для t-го периода;
a(t) , b(t) и F(t) коэффициенты модели, они адаптируются, уточняются по мере перехода от членов ряда с номером t-1 к t;
F(t+k-L) – значение коэффициента сезонности того периода, для которого рассчитывается экономический показатель. L – период сезонности (для квартальных данных L=4, для месячных L=12). Таким образом, если по формуле 1 рассчитывается значение экономического показателя, например, за второй квартал, то F(t+k-L) как раз будет коэффициентом сезонности второго квартала предыдущего года.
Уточнение (адаптация к новому значению параметра времени t) коэффициентов модели производится с помощью формул:
a(t) =a1· Y(t) / F(t-L) + (1 - a1) · [ a(t-1)+b(t-1) ] (2)
b(t) =a3· [ a(t) – a(t-1) ] + (1 - a3) · b(t-1) (3)
F(t)=a2·Y(t) / a(t)+(1-a2)·F(t-L) (4)
Параметры сглаживания a1 , a2 и a3 должны подбираться путем перебора с таким расчетом, чтобы расчетные данные наилучшим образом соответствовали фактическим (то есть чтобы обеспечить удовлетворительную адекватность и точность модели). Для поставленной задачи параметры заданы в условии.
Из формул 1 – 4 видно, что для расчета a(1) и b(1) необходимо оценить значения этих коэффициентов для предыдущего период времени (то есть для t=1-1=0). Значения a(0) и b(0) имеют смысл этих же коэффициентов для четвертого квартала года, предшествующего первому году, для которого имеются данные в табл. 1.
Для оценки начальных значений a(0) и b(0) применим линейную модель к первым 8 значениям Y(t) из табл. 1. Линейная модель, имеет вид:
Yp(t) = a(0) + b(0)*t (5)
Метод наименьших квадратов дает возможность определить коэффициенты линейного уравнения a(0) и b(0) по формулам (6-9):
(6)
a(0) = Ycp - b(0)·tср (7)
(8)
(9)
Применяя линейную модель к первым 8 значениям ряда из таблицы 1 (то есть к данным за первые 2 года), находим значения a(0)= 33,893, b(0)= 0,774.
Уравнение (5) с учетом полученных коэффициентов имеет вид: Yp(t)=33,893+0,774·t. Из этого уравнения находим расчетные значения Yp(t) и сопоставляем их с фактическими значениями (см. табл.1). Такое сопоставление позволяет оценить приближенные значения коэффициентов сезонности 1 – 4 кварталов F(-3), F(-2), F(-1) и F(0) для года, предшествующего первому году, по которому имеются данные в табл. 3.1. Эти значения необходимы для расчета коэффициентов сезонности первого года F(1), F(2), F(3), F(4) и других параметров модели Хольта-Уинтерса по формулам 1-4.
Коэффициент сезонности есть отношение фактического значения экономического показателя к рассчитанному по линейной модели. Поэтому в качестве оценки коэффициента сезонности первого квартала F(-3) может служить отношение фактических и расчетных значений Y(t) первого квартала первого года, равное Y(1)/Yp(1) и такое же отношение для первого квартала второго года (то есть за пятый квартал t=5) Y(5)/Yp(5). Для окончательной, более точной оценки этого коэффициента сезонности можно использовать среднее арифметическое значение этих двух величин
F(-3)=[Y(1)/Yp(1)+Y(5)/Yp(5)]/2=[30/34,67+32/37,76]/2= =0,86
Аналогично находим оценки коэффициенты сезонности для второго, третьего и четвертого кварталов:
F(-2) = [ Y(2)/Yp(2) + Y(6)/Yp(6) ] / 2 = 1,08
F(-1) = [ Y(3)/Yp(3) + Y(7)/Yp(7) ] / 2 = 1,27
F(0) = [ Y(4)/Yp(4) + Y(8)/Yp(8) ] / 2 = 0,79
Oценив значения a(0), b(0), а также F(-3), F(-2), F(-1) и F(0), можно перейти к построению адаптивной мультипликативной модели Хольта-Уинтерса с помощью формул (1-4).
Рассчитаем значения Yp(t), a(t), b(t) и F(t) для t=1.
Из уравнение 1, полагая t=0, k=1 находим Yp(1):
Yp(0+1)=Yp(1)=[a(0)+1*b(0)]*F(0+1-4)=[a(0)+1*b(0)]*F(-3)= 29.69
Из уравнение 2-4, полагая t=1 находим:
a(1)=a1*Y(1)/F(-3)+(1-a1)*[a(0)+b(0)]=34,78
b(1)=a3*[a(1)–a(0)]+(1-a3)*b(0)=0,81
F(1)=a2*Y(1)/a(1)+(1-a2)*F(-3)=0,86
Продолжая аналогично для t=2,3,4…,16, построим модель Хольта-Уинтерса (табл.3). Максимальное значение t , для которого можно находить коэффициенты модели, равно количеству имеющихся данных по экономическому показателю Y(t). В нашем примете данные приведены за 4 года, то есть за 16 кварталов. Максимальное значение t равно 16.
Будем считать, что условие точности выполнено, если относительная погрешность (абсолютное значение отклонения abs{E(t)} поделенное на фактическое значение Y(t) и выраженное в процентах 100%*abs{E(t)}/Y(t) ) в среднем не превышает 5%. Суммарное значение относительных погрешностей (см. гр.10 табл.1) составляет 34,90, что дает среднюю величину 34,90/16 = 2,18%.
Следовательно, условие точности выполнено.
t* (a=0.05)N-1=15 = 2,13
Так как |t| < t* условие выполняется, средний уровень Е можно считать нулевым.
Для того, чтобы модель была адекватна исследуемому процессу ряд остатков E(t) должен обладать свойствами:
а) случайности;
б) независимости последовательных уровней;
в) нормальности распределения.
Проверка случайности уровней. Проверку случайности уровней остаточной компоненты (гр. 9 табл. 1) проводим на основе критерия поворотных точек. Для этого каждый уровень ряда E(t) сравниваем с двумя соседними. Если он больше (либо меньше) обоих соседних уровней, то точка считается поворотной и в гр. 11 табл. 1 для этой строки ставится 1, иначе в гр. 11 ставится 0. В первой и последней строке гр. 11 табл. 1 ставится прочерк или иной знак, так как у этого уровня нет двух соседних уровней.
Общее число поворотных точек в нашем примере равно р = 6.
Рассчитаем значение q:
Функция int, означает, что от полученного значения берется только целая часть. При N = 16:
Если количество поворотных точек р больше q, то условие случайности уровней выполнено. В нашем случае р = 6, q = 6, значит условие случайности уровней ряда остатков невыполнено.
Проверка независимости уровней ряда остатков (отсутствия автокорреляции).
Проверку проводим двумя методами:
а) по d-критерию Дарбина-Уотсона;
б) по первому коэффициенту автокорреляции r1.
Проверка по d-критерию Дарбина-Уотсона. Для проверки по d-критерию Дарбина-Уотсона рассчитаем значение d:
d = 4-2.76 = 1.24
Примечание. В случае если полученное значение больше 2, значит имеет место отрицательная автокорреляция. В таком случае величину d уточняют, вычитая полученное значение из 4.
Полученное (или уточненное) значение d сравнивают с табличными значениями d1и d2. Для нашего случая d1=1.08, а d2=1.36.
Если 0<d<d1, то уровни автокоррелированы, то есть зависимы, модель неадекватна;
Если d1<d<d2, то критерий Дарбина –Уотсона не дает ответа на вопрос о независимости уровней ряда остатков. В таком случае необходимо воспользоваться другими критериями (например, проверить независимость уровней по первому коэффициенту автокорреляции).
Если d2<d<2 , то уровни ряда остатков являются независимыми.
В нашем случае имеет место отрицательная автокорреляция.
1,08 < 1,24 < 1,36, область неопределенности. Данный критерий не дает ответ на вопрос о независимости уровней ряда остатков.
Проверка по первому коэффициенту автокорреляции r(1).
Рассчитаем r1 по формуле
Если модуль рассчитанного значения первого коэффициента автокорреляции меньше критического значения | r1 | < rтаб , то уровни ряда остатков независимы. Для нашей задачи критический уровень rтаб = 0,32. Имеем:
| r1 | = 0,4 > rтаб = 0,32 значит уровни зависимы.
Проверка соответствия ряда остатков нормальному распределению определяем по RS – критерию.
Рассчитаем значение RS:
RS = ( Emax – Emin ) / S
где Emax - максимальное значение уровней ряда остатков E(t)
Emin - минимальное значение уровней ряда остатков E(t) (см. гр. 9 табл. 1)
S - среднее квадратическое отклонение
Emax = 2,36 Emin = - 1,63 , Emax – Emin = 2,36-(-1,63) = 3,99
Полученное значение RS сравнивают с табличными значениями, которые зависят от количества точек N и уровня значимости. Для N=16 и 5% уровня значимости значение RS для нормального распределения должно находиться в интервале от 3,00 до 4,21
Так как 3,00 < 3,833 < 4,21, полученное значение RS попало в заданный интервал. Значит, уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению.
Таким образом, условия адекватности и точности выполнены не в полном объеме. Следовательно, говорить об удовлетворительном качестве модели нельзя, но так как по заданию необходимо провести прогноз показателя Yp(t) на 4 квартала вперед, то делать прогноз будем исходя из построенной модели.
Т = 100% - ср = 100 – 2,18 = 97,82 %, что больше 90%
Т.к. ср = 2,18 < 5% - точность высокая.
Составим прогноз на 4 квартала вперед (т.е. на 1 год, с t=17 по t=20). Максимальное значение t, для которого могут быть рассчитаны коэффициенты a(t), b(t) определяется количеством исходных данных и равно 16. Рассчитав значения a(16) и b(16) (см. табл.1), по формуле 1 можно определить прогнозные значения экономического показателя Yp(t). Для t=17 имеем:
Yp(17)=Yp(16+1)=[a(16)+1·b(16)]*F(16-+1-4)=[a(16)+1·b(16)]·F(13)=
= [ 48,02 + 1 * 0,92]· 0,89 = 43,46
Аналогично находим Yp(18), Yp(19) и Yp(20) (см. гр. 8 табл. 1)
Таблица 1 Модель Хольта-Уинтерса
|
t |
Фактические значения yt |
Расчетные значения ŷt= a0 + b0t |
yt/ŷt |
at |
bt |
Ft |
Модель (ŷ) |
Абсол. ошибка Et= yt- ŷt |
Относит. ошибка |
Поворот-ные точки (Р) |
Et2 |
Et-Et-1 |
(Et-Et-1)2 |
Et·Et-1 |
Et-Eср |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
|
-3 |
0,86 |
||||||||||||||
|
-2 |
1,08 |
||||||||||||||
|
-1 |
1,27 |
||||||||||||||
|
0 |
33,89 |
0,77 |
0,79 |
||||||||||||
|
1 |
30 |
34,67 |
0,87 |
34,78 |
0,81 |
0,86 |
29,69 |
0,31 |
1,04% |
- |
0,10 |
|
|
|
0,04 |
|
2 |
38 |
35,44 |
1,07 |
35,45 |
0,77 |
1,08 |
38,47 |
-0,47 |
1,23% |
0 |
0,22 |
-0,78 |
0,61 |
-0,15 |
0,33 |
|
3 |
45 |
36,21 |
1,24 |
35,98 |
0,70 |
1,26 |
46,00 |
-1,00 |
2,22% |
0 |
1,00 |
-0,53 |
0,28 |
0,47 |
1,22 |
|
4 |
30 |
36,99 |
0,81 |
37,04 |
0,80 |
0,80 |
29,06 |
0,94 |
3,13% |
1 |
0,88 |
1,94 |
3,76 |
-0,94 |
0,70 |
|
5 |
32 |
37,76 |
0,85 |
37,65 |
0,75 |
0,85 |
32,55 |
-0,55 |
1,72% |
0 |
0,30 |
-1,49 |
2,22 |
-0,52 |
0,43 |
|
6 |
42 |
38,54 |
1,09 |
38,59 |
0,81 |
1,08 |
41,30 |
0,70 |
1,68% |
1 |
0,50 |
1,25 |
1,57 |
-0,39 |
0,36 |
|
7 |
51 |
39,31 |
1,30 |
39,74 |
0,91 |
1,27 |
49,57 |
1,43 |
2,80% |
0 |
2,03 |
0,72 |
0,52 |
1,00 |
1,74 |
|
8 |
31 |
40,08 |
0,77 |
40,03 |
0,72 |
0,79 |
32,63 |
-1,63 |
5,27% |
1 |
2,67 |
-3,06 |
9,35 |
-2,33 |
3,02 |
|
9 |
36 |
|
|
41,18 |
0,85 |
0,87 |
34,81 |
1,19 |
3,31% |
0 |
1,42 |
2,82 |
7,97 |
-1,94 |
1,18 |
|
10 |
46 |
|
|
42,16 |
0,89 |
1,09 |
45,52 |
0,48 |
1,04% |
0 |
0,23 |
-0,71 |
0,51 |
0,57 |
0,14 |
|
11 |
55 |
|
|
43,09 |
0,90 |
1,28 |
54,82 |
0,18 |
0,33% |
1 |
0,03 |
-0,29 |
0,09 |
0,09 |
0,01 |
|
12 |
34 |
|
|
43,78 |
0,84 |
0,78 |
34,57 |
-0,57 |
1,67% |
0 |
0,32 |
-0,75 |
0,56 |
-0,10 |
0,45 |
|
13 |
41 |
|
|
45,43 |
1,08 |
0,89 |
38,64 |
2,36 |
5,75% |
1 |
5,55 |
2,92 |
8,55 |
-1,34 |
5,07 |
|
14 |
50 |
|
|
46,35 |
1,03 |
1,08 |
50,60 |
-0,60 |
1,20% |
0 |
0,36 |
-2,96 |
8,76 |
-1,42 |
0,50 |
|
15 |
60 |
|
|
47,28 |
1,00 |
1,27 |
60,42 |
-0,42 |
0,69% |
1 |
0,17 |
0,19 |
0,04 |
0,25 |
0,27 |
|
16 |
37 |
|
|
48,02 |
0,92 |
0,77 |
37,68 |
-0,68 |
1,83% |
- |
0,46 |
-0,26 |
0,07 |
0,28 |
0,61 |
|
43,46 |
1,68 |
34,90% |
6 |
16,24 |
44,87 |
-6,47 |
16,07 |
||||||||
|
53,99 |
0,11 |
2,18% |
|||||||||||||
|
64,59 |
Max = 2,36 |
||||||||||||||
|
40,05 |
Min = -1,63 |
На рис. 1. проводится сопоставление фактических и расчетных данных. Здесь же показаны прогнозные значения цены акции на 1 год вперед. Из рисунка видно, что расчетные данных хорошо согласуются с фактическими, что говорит об удовлетворительном качестве прогноза.
Даны цены (максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным пяти дням. Рассчитать:
Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных.
|
Дни |
Цены |
||
|
Макс. |
Мин. |
Закрытия |
|
|
1 |
765 |
685 |
750 |
|
2 |
792 |
703 |
733 |
|
3 |
740 |
706 |
733 |
|
4 |
718 |
641 |
666 |
|
5 |
680 |
600 |
640 |
|
6 |
693 |
638 |
676 |
|
7 |
655 |
500 |
654 |
|
8 |
695 |
630 |
655 |
|
9 |
700 |
640 |
693 |
|
10 |
755 |
686 |
750 |
Вывод: Тренд восходящий
При расчете EMA учитываются все цены предшествующего периода. Последним значениям цены придается большое значение, чем предшествующим. Расчеты проводятся по формуле:
где ;
Сt – цена закрытия t-го дня,
EMAt – значение EMA текущего дня t.
Для определения момента купли и продажи финансового инструмента руководствуются взаимным расположением двух скользящих средних с различными интервалами сглаживания. Если быстрая скользящая средняя (т.е. с меньшим интервалом сглаживания) пересекает снизу вверх медленную (с большим интервалом сглаживания), целесообразно покупать. При обратной ситуации, когда быстрая скользящая средняя пересекает медленную сверху вниз и идет под ней – надо продавать финансовый инструмент. Этот метод дает хорошие результаты только в условиях явно выраженного восходящего или нисходящего тренда. При отсутствии явно выраженного, устойчивого тренда метод подает ложные сигналы, что приводит к потерям.
|
При n = 10 EMA1 750,00 EMA2 746,91 EMA3 744,38 EMA4 730,13 EMA5 713,74 EMA6 706,88 EMA7 697,27 EMA8 689,58 EMA9 690,20 EMA10 701,07 |
При n =5 EMA1 750,00 EMA2 744,33 EMA3 740,56 EMA4 715,70 EMA5 690,47 EMA6 685,65 EMA7 675,10 EMA8 668,40 EMA9 676,60 EMA10 701,07 |
Вывод: исходя из анализа данного показателя сложно сделать вывод покупать или продавать (лучшим вариантом было бы подождать дальнейшего изменения цены, и в зависимости от ее движения делать дальнейшие выводы).
Альтернативой скользящим средним, работающим хорошо только в условиях устойчивого тренда, являются осцилляторы. Подаваемые этими индикаторами сигналы наиболее эффективны при бестрендовом рынке (боковом тренде). Кроме того, в период устойчивого тренда они способны предсказывать разворот тренда.
Момент рассчитывается как разница конечной цены текущего дня Ct и цены n дней тому назад Ct-n
MOMt = Ct – Ct-n
где Ct – цена закрытия t-го дня,
МОМt – значение МОМ текущего дня.
Положительные значения МОМ свидетельствуют об относительном росте цен, отрицательные – о снижении. Движение графика МОМ вверх из зоны отрицательных в зону положительных значений в точке пересечения нулевой линии дает сигнал к покупке (в случае нисходящего тренда ситуация развивается в обратном направлении).
|
МОМ6 |
-74 |
|
МОМ7 |
-79 |
|
МОМ8 |
-78 |
|
МОМ9 |
27 |
|
МОМ10 |
110 |
Вывод: начальные отрицательные значения свидетельствовали о снижении цен, последующие положительные значения – о росте цен. Движение графика МОМ из области отрицательных значений в область положительных (после восьмого дня) дает сигнал к покупке.
Индикатор рассчитывается как отношение конечной цены текущего дня к цене n дней тому назад, выраженное в процентах.
где Ct – цена закрытия t-го дня,
ROCt – значение ROC текущего дня.
ROC является отражением скорости изменения цены, а также указывает направление этого изменения. Правила работы ничем не отличаются от МОМ, но вместо нулевой линии для принятия решения о купле или продаже используется уровень 100%. При пересечении этого уровня снизу вверх надо покупать, а при пересечении сверху вниз – продавать финансовый инструмент.
|
ROC6 |
85,33% |
|
ROC7 |
92,22% |
|
ROC8 |
89,22% |
|
ROC9 |
98,35% |
|
ROC10 |
108,28% |
Вывод: Показатель ROC дает сигнал на покупку после девятого дня.
где AU –сумма приростов конечных цен за n последних дней,
AD – сумма убыли конечных цен за n последних дней.
Значения RSI изменяются от 0 до 100. Этот индикатор может подавать сигналы либо одновременно с разворотом цен, либо с опережением, что является неоценимым достоинством данного индикатора.
Если значение RSI находится в пределах от 80 до 100 (так называемая «зона перекупленности»), значит цены сильно выросли, надо ждать их падения и подготовиться к продаже. Сигналом к продаже служит момент выхода графика RSI из зоны перекуплености.
Если значения RSI находятся в пределах от 0 до 20 (так называемая «зона перепроданности»), значит цены упали слишком низка, надо ждать их роста и подготовиться к покупке. Сигналом к покупке служит момент выхода графика RSI из зоны перепроданности.
Расхождение между направлением движения цен и осциллятора (дивергенция) указывает на близость разворота тренда. Особенно серьезным этот сигнал является, когда осциллятор находится в критической области (перекупленности или перепроданности).
|
RSI5 |
0,00 |
|
RSI6 |
27,91 |
|
RSI7 |
23,84 |
|
RSI8 |
43,53 |
|
RSI9 |
77,32 |
|
RSI10 |
81,36 |
Вывод: Значения RSI после девятого дня перешли в зону перекуплености. Возможно цены в будущем начнут падать, но готовиться к продаже еще рано, следует подождать момента выхода графика RSI из зоны перекуплености.
Если МОМ, ROC и RSI используют только цены закрытия, то стахостические линии строятся с использованием более полной информации. При расчете используются также максимальные и минимальные цены. Как правило, применяются следующие стахостические линии: %К, %D, медленная %D и %R.
где %К – значения индекса текущего дня,
С5 – цена закрытия текущего дня t,
L5 и H5 – минимальная и максимальная цены за 5 предшествующих дней, включая текущий (в качестве интервала может быть выбрано и другое число дней).
|
5 день |
6 день |
7 день |
|||||
|
C max |
C min |
C max |
C min |
C max |
C min |
||
|
792 |
600 |
792 |
600 |
740 |
500 |
||
|
8 день |
9 день |
10 день |
|||||
|
C max |
C min |
C max |
C min |
C max |
C min |
||
|
718 |
500 |
700 |
500 |
755 |
500 |
Индекс текущего момента %К
|
%К5 |
20,83% |
|
%К6 |
39,58% |
|
%К7 |
64,17% |
|
%К8 |
71,10% |
|
%К9 |
96,50% |
|
%К10 |
98,04% |
Индекс %D рассчитывается аналогично индексу %К, с той лишь разницей, что при его построении величины (Сt – L5) и (H5 – C5) сглаживают, беря их трехдневную сумму.
|
%D7 |
41,53% |
|
%D8 |
58,28% |
|
%D9 |
77,26% |
|
%D10 |
88,55% |
Найти:
Решение:
I = P·n·i
n = t/K
P – первоначальная сумма денег,
i – ставка простых процентов,
I – наращенные проценты
n – срок ссуды (измеренный в долях года)
К – число дней в году
t – срок операции (ссуды) в днях
t = 13 + 28 + 11 + 1 = 53
t = 12 + 30 + 12 = 54
Решение:
D = S – P
руб.
D = 1 000 000 – 930232.56 = 69 767.44 руб.
Решение:
D = S·n·d
P = S – D = S – S·n·d = S(1-n·d)
D = Snd = 1 000 000 · 0.15 · 180 / 360 = 75 000 руб.
P = S – D = 1 000 000 – 75 000 = 925 000 руб.
Решение:
S = P (1+i)n
S = 1 000 000 · (1 + 0.15)4 = 1 749 006,25 руб.
Решение:
S = P(1+j/m)N
Число периодов начисления в году m=2
S = 1 000 000 · (1+0,15 / 2)8 = 1 783 477,8 руб.
Решение:
iэ = (1+j/m)m – 1
Эффективная ставка показывает, какая годовая ставка сложных процентов дает тот же финансовый результат, что и m-разовое наращение в год по ставке j/m.
iэ = (1+0,15/2)2 – 1 = 0,156 т.е. 15,6%
Решение:
j = m[( 1+iэ )1/m – 1]
j = 2·[( 1+0.15)1/2 – 1] = 0,1448 т.е. 14,48%
Решение:
руб.
Решение:
P = S(1 - dсл)n
где dсл – сложная годовая учетная ставка
P = 1 000 000 · (1 – 0,15)5 = 443 705,3 руб.
D = S – P = 1 000 000 – 443 705,3 = 556 294,7 руб.
млн.руб.