Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
снови інформатики: лабораторні роботи
Лабораторна робота №4
Системи числення
Мета: Ознайомитись з різними системами числення.
Вимоги до захисту роботи: Виконати завдання лабораторної роботи. Подати звіт у електронному вигляді (формат Word) з протоколом виконання роботи. Знати відповіді на контрольні питання.
Програмне забезпечення: текстовий процесор, Калькулятор.
Теоретичні відомості:
Система числення – це спосіб представлення чисел і відповідних йому правил дій над числами. Різноманітні системи числення, які існували раніше і які використовуються в наш час, можна розділити на непозиційні та позиційні. Знаки, які використовуються для запису чисел, називаються цифрами.
В непозиційних системах числення від положення цифри у запису числа не залежить величина, яку вона позначає.
Прикладом непозиційної системи числення є римська система (римські цифри). В римській системі у якості цифр використовуються латинські літери:
|
I |
V |
X |
L |
C |
D |
M |
|
1 |
5 |
10 |
50 |
100 |
500 |
1000 |
Приклад 1. Число CCXXXII складається з двох сотен, трьох десятків та двох одиниць і дорівнює 232.
В римських числах цифри записуються зліва направо у порядку спадання. У такому випадку їх значення додаються. Якщо ж зліва записана менша цифра, а справа – більша, то їх значення віднімаються.
Приклад 2. VI = 5 + 1 = 6, a IV = 5 – 1 = 4.
Приклад 3. MCMXCVIII = 1000 + (– 100 + 1000) + (-10 + 100) + 5 + 1 + 1 +1 =1998.
В позиційних системах числення величина, яка позначається цифрою у записі числа, залежить від її позиції. Кількість цифр, які використовуються, називається основою позиційної системи числення.
Система числення, яка використовується в сучасній математиці, є позиційною десятковою системою. Її основа дорівнює десяти, тобто запис довільних чисел відбувається за допомогою десяти цифр:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Позиційний характер цієї системи легко зрозуміти на прикладі довільного багатозначного числа. Наприклад у числі 333 перша трійка означає три сотні, друга – три десятки, третя – три одиниці.
Для запису чисел в позиційній системі з основою n потрібно мати алфавіт з n цифр. Зазвичай для цього при n < 10 використовують n перших арабських цифр, а при n > 10 до десяти арабських цифр додають літери. Приклади алфавітів деяких систем:
|
Основа |
Назва |
Алфавіт |
|
n = 2 |
двійкова |
0 1 |
|
n = 3 |
трійкова |
0 1 2 |
|
n = 8 |
вісімкова |
0 1 2 3 4 5 6 7 |
|
n = 16 |
шістнадцяткова |
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F |
Якщо потрібно вказати основу системи, до якої відноситься число, то воно приписується нижнім індексом до цього числа. Наприклад:
1011012, 36718, 3B8F16.
В системі числення з основою q (q-кова система числення) одиницями розрядів є послідовні степені числа q. q одиниць якого-небудь розряду утворюють одиниці наступного розряду. Для запису числа в q-ковій системі числення потрібно q різних знаків (цифр), які відображають числа 0, 1, ..., q-1. Запис числа q в q-ковій системі числення має вид 10.
Розгорнутою формою запису числа називається запис у вигляді
Aq = (an-1qn-1 + an-2qn-2+ ... + a0q0 + a-1q-1 + a-2q-2 + ... + a-mq-m).
Де Aq – саме число, q – основа системи числення, ai – цифри даної системи числення, n – число розрядів цілої частини числа, m – число розрядів дробової частини числа.
Приклад 4. Отримати розгорнуту форму десяткового числа 26,387.
26,38710 = 2 101 + 6 100 + 3 10-1 + 8 10-2 + 7 10-3.
Приклад 5. Отримати розгорнуту форму чисел 15FС16, 101,112.
15FС16 = 1 103 + 5 102 + F 101 + C.
101,112 = 1 1010 + 0 101 + 1 100 + 1 10-1 + 1 10-10.
Зверніть увагу, що в будь-якій системі числення її основа записується як 10.
Якщо всі доданки в розгорнутій формі недесяткового числа представити в десятковій системі і обчислити отриманий вираз по правилам десяткової арифметики, то отримаємо число в десятковій системі, яке дорівнює даному. За цим принципом здійснюється переведення з недесяткової системи в десяткову.
Приклад 6. Всі числа з попереднього прикладу перевести в десяткову систему.
15FС16 = 1 163 + 5 162 + 15 161 + 12 = 4069 + 1280 + 240 + 12 = 562810.
101,112 = 1 22 + 0 21 + 1 20 + 1 2-1 + 1 2-2 = 4 + 1 + ½ + ¼ = 5,7510.
Завдання:
I. Розв’язати наступні задачі за допомогою римської системи числення:
1. Які числа записані за допомогою римських цифр:
MMMD, IV, XIX, MCMXCIVII?
2. Запишіть рік, місяць і число свого дня народження за допомогою римських цифр.
3. Виконайте дії і запишіть результат римськими цифрами:
MCM + VIII;
IC + XIX;
XXII – V;
CV – LII;
XX IV;
XX : V;
II. Розв’язати наступні задачі у позиційних системах числення:
1. Яку кількість означає цифра 8 в десяткових числах 6538, 8356, 84 та 831?
2. Випишіть алфавіти в п’ятірковій, сімковій, дванадцятковій системі числення?
3. Запишіть перші 20 чисел натурального числового ряду в двійковій, п’ятірковій, вісімковій, шістнадцятковій системах числення.
4. Запишіть в розгорнутому вигляді числа:
1) A10 = 125,34; 2) A8 = 125,34; 3) A6 = 125,34; 4) A16 = 125,34;
5. Запишіть в десятковій системі числення числа:
1) A5 = 34,1; 2) A3 = 221; 3) A7 = 120; 4) A16 = E41A,12;
6. Яку мінімальну основу повинна мати система числення, якщо в ній можуть бути записані числа:
1) 10, 21, 201, 1201;
2) 22, 984, 1010, А219.
7. В яких системах числення 10 – число непарне?
8. В яких системах числення правильні рівності:
2 2 = 10, 2 3 = 11, 3 3 = 13
Контрольні запитання:
PAGE 1
Шимон О.М. (ЖДУ, кафедра прикладної математики та інформатики)