Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
§ 3. Полярные координаты
Полярная система координат определяется заданием некоторой точки О, называемой полюсом, луча ОА, исходящего из этой точки, называемого полярной осью, и масштаба для измерения длин. Кроме того, при задании полярной си стемы должно быть сказано, какие поворо ты вокруг точки О считаются положитель ными (на чертежах обычно положительными считаются повороты против часовой стрелки). Черт. 2.
Полярными координатами произвольной точки М (относительно заданной системы) на зываются числа = ОМ и = АОМ (черт. 2). Угол 6 при этом следует понимать так, как принято в тригонометрии. Число называется пер вой координатой, или полярным радиусом, число — второй координатой, или полярным углом точки М ( называют
также амплитудой) *).
Символ М (; ) обозначает, что точка М имеет полярные координа ты и .
Полярный угол имеет бесконечно много возможных значений (отличаю щихся друг от друга на величину вида ± 2n, где п — целое положительное чи сло). Значение полярного угла, удовлетворяющее неравенствам — < < + , называется главным.
В случаях одновременного рассмотрения декартовой и полярной систем координат условимся: 1) пользоваться одним и тем же масштабом, 2) при определении полярных углов считать положительными повороты в том напра влении, в каком следует вращать положительную полуось абсцисс, чтобы кратчайшим путём совместить её с положительной полуосью ординат (таким образом, если оси декартовой системы находятся в обычном расположении, т. е. ось Ох направлена вправо, а ось Оу — вверх, то и отсчёт полярных углов должен быть обычным, т. е. положительными следует считать те углы, которые отсчитываются против часовой стрелки).
*) Здесь ОМ обозначает длину отрезка, понимаемую как в элемен тарной геометрии (т. е. абсолютно, без учёта знака). Употреблять более громоздкий символ | ОМ | в данном случае нет надобности, поскольку точки О и М рассматриваются как произвольные точки плоскости, а не как точки некоторой оси. Подобное упрощение символики в аналогичных слу чаях часто делается и дальше
При этом условии, если полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс, то переход от полярных координат произвольной точки к декартовым координатам той же точки осуществляется по формулам
х = cos ,
у = sin .
В этом же случае формулы
,
являются формулами перехода от декартовых координат к полярным.
При одновременном рассмотрении в дальнейшем двух полярных систем координат условимся считать направление положительных поворотов и масштаб для обеих систем одинаковыми.
26. Построить точки, данные полярными координатами:
A(3; ), B(2; ), С(З; ), D(4; 3), Е(5; 2) и F(1; — 1)
(для точек D, Е и F выполнить построение приближённо, пользуясь транспортиром).
27. Определить полярные координаты точек, симметричных отно сительно полярной оси точкам
M1(3; ), M2 (2;—), M3 (3;—),
M 4(1; 2) и Ms(5; —1),
заданным в полярной системе координат.
28. Определить полярные координаты точек, симметричных отно сительно полюса точкам
M1(1; ), M2 (5;—), M3 (2;—),
M 4(4; ) и Ms(3; —2),
заданным в полярной системе координат.
29. В полярной системе координат даны две вершины
A(3;) и B(5; )
параллелограмма ABCD, точка пересечения диагоналей которого совпадает с полюсом. Определить две другие вершины этого парал лелограмма
30. В полярной системе координат даны точки А( 8; —) и B(6; ). Вычислить полярные координаты середины отрезка, соединяющего точки А и В.
31. В полярной системе координат даны точки
А(3; ), B(2; —), С(1; ), D(5; ), Е(3; 2) и F(2; — 1).
Положительное направление полярной оси изменено на противополож ное. Определить полярные координаты этих точек в новой системе.
32. В полярной системе координат даны точки
M1(3; ), M2 (1; ), M3 (2; 0),
M 4(5; ), Ms(3; —) и M6(1; )
Полярная ось повёрнута так, что в новом положении она проходит через точку М1. Определить координаты заданных точек в новой (полярной) системе.
33. В полярной системе координат даны точки М1 (12; )
и М2 (12; —). Вычислить полярные координаты середины отрезка,
соединяющего точки M1 и М2.
34. В полярной системе координат даны точки M1(1; 1) и М2 (2; 2). Вычислить расстояние d между ними.
35. В полярной системе координат даны точки M1(5; ) и М2 (8; ). Вычислить расстояние d между ними.
36. В полярной системе координат даны две смежные вершины
квадрата М1(12; ) и М2 (3; ). Определить его площадь.
37. В полярной системе координат даны две противоположные вершины квадрата Р(6; —) и Q(4; ) Определить его площадь.
38. В полярной системе координат даны две вершины правиль ного треугольника А(4; —) и В(8; ). Определить его площадь.
39. Одна из вершин треугольника ОАВ находится в полюсе, две другие суть точки А(1, 1) и В(1, 1). Вычислить площадь этого треугольника.
40. Одна из вершин треугольника ОАВ находится в полюсе О, две другие суть точки А (5; ) и В(4; ). Вычислить площадь этого треугольника.
41. Вычислить площадь треугольника, вершины которого А(3; ), В(8; ), С(6; ), заданы в полярных координатах.
42. Полюс полярной системы координат совпадает с началом де картовых прямоугольных координат, а полярная ось совпадает с по ложительной полуосью абсцисс. В полярной системе координат даны точки
M1(6; ), M2 (5; 0), M3 (2; ), M 4(10; ), Ms(8; ) и M6(12; )
Определить декартовы координаты этих точек.
43. Полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс. В декартовой прямоугольной системе координат даны точки M1(0;5), M2 (—3; 0), M3(; 1), M4(—; —), M6 (1; —). Определить полярные коорди наты этих точек.