Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Сложение перпендикулярных колебаний. Фигуры Лисажу.
Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.
1) Рассмотрим движение точки М1, участвующей
одновременно в 2-х взаимно перпендикулярных колебаниях, частоты которых ω
1 и ω2 равны (ω1 = ω2 =
ω), амплитуды соответственно а и в.
Колебательный процесс в этом случае описывается системой уравнений:
где φ – угол сдвига фаз.
Для определения уравнения траектории движения точки из системы уравнений
исключим время. Из первого уравнения
Второе уравнение перепишем в виде:
Подставив вместо sin ωt и cos ωt их значения
будем иметь уравнение движения
Исследуем некоторые частные случаи.
а) при равенстве частот имеет место еще и равенство фаз, т.е. φ = 0.
Уравнение траектории имеет вид
Уравнение прямой, проходящей через начало координат под углом ά:
Смещение от начала координат определяется уравнением
Т.к. уравнение слагаемых колебаний имеет вид
Таким образом результирующее движение является гармоническим колебанием.
б) составляющая колебания отличается по фазе на π/2 . Уравнение траектории
имеет вид:
отсюда
- эллипс с плоскостями a и b.
При равенстве амплитуд траектории представляют собой окружность.
2) При сложении взаимно перпендикулярных колебаний, частоты которых кратны между
собой, например ω1 : ω2 = 1/2 , 2/3 и
т.д. = m/n ,
где m и n – целые числа, колеблющееся тело описывает сложные
кривые (наз. Фигурами Лисажу), форма которых определяется отношением частот
складываемых колебаний, их амплитудой и разностью фаз между ними
ω1 : ω2 = 2 : 1
ω1 : ω
2 = 3 : 2
Δφ = 0 Δφ = π / 2
Δφ = 0 Δφ = π / 4
Рассмотрим некоторые частные случаи решений уравнения (2.3.2).
1. Начальные фазы колебаний одинаковы:
т.е.
Тогда уравнение (2.3.2) примет вид:
или ;
отсюда получим уравнение результирующего колебания:
|
|
(2.4.1) |
|
Это уравнение прямой, проходящей через начало координат (рис. 2.7, а). Следовательно, в результате сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний с одинаковыми начальными фазами будут происходить колебания вдоль прямой, проходящей через начало координат.
|
а |
б |
в |
|
Рис. 2.7 |
Такие колебания называются линейно поляризованными.
2. Начальная разность фаз равна π. Тогда , следовательно
;
.
Уравнение колебания в этом случае
|
|
(2.4.2) |
|
То есть точка тоже будет колебаться вдоль прямой, проходящей через начало координат, но прямая лежит в других четвертях по сравнению с первым случаем (рис. 2.7, б).
Амплитуда результирующего колебания в обоих случаях равна:
|
|
. |
(2.4.3) |
|
3. Начальная разность фаз равна π/2. Проанализируем уравнение (2.3.2), учитывая, что .
|
|
. |
(2.4.4) |
|
Это уравнение эллипса с полуосями А1 и А2 (рис. 2.7, в). Случай эллиптически поляризованных колебаний.
При получим уравнение окружности (циркулярно-поляризованные колебания).
4. Все остальные разности фаз дают эллипсы с различным углом наклона относительно осей координат.
Необходимо отметить, что все рассматриваемые случаи, все кривые – это эллипсы (даже прямая – частный случай эллипса).
Фигуры, получаемые при сложении взаимно перпендикулярных колебаний разных частот, называются фигурами Лиссажу (Ж. Лиссажу (1822–1880) – французский физик). В простейших случаях можно сравнить частоты по виду фигур.
В приведенных выше примерах рассматривались простейшие случаи, когда Если , то в результате будут получаться уже не эллипсы, а более сложные фигуры Лиссажу. В табл. 1 приведены несколько фигур Лиссажу для разных соотношений частот колебаний и заданной разности фаз .