Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
7
Лабораторная работа №7
Определение моментов инерции тел
методом крутильных колебаний
Цель работы:
Теоретическое введение
Уравнение динамики вращательного движения тел вокруг неподвижной оси выражается формулой
, (1)
где М –момент действующих на тело сил, взятых относительно оси вращения; I –момент инерции тела относительно той же оси; - угловое ускорение тела.
Моментом инерции материальной точки относительно некоторой оси называется величина, равная произведению массы точки на квадрат ее расстояния от оси:
. (2)
Для протяженных тел момент инерции определяется как сумма моментов инерции отдельных материальных точек (элементарных масс Δmi), на которые можно разбить тело
. (3)
В предельном случае, когда число элементарных масс стремится к бесконечности, сумма переходит в интеграл
, (4)
где ρ –плотность, V –объем тела; ρdV –масса бесконечно малого элемента объема dV твердого тела.
Как видно из определения, момент инерции тела есть величина аддитивная; момент инерции тела равен сумме моментов инерции его частей; момент инерции системы тел равен сумме моментов отдельных тел.
Используя формулу (4), можно вывести формулы для моментов инерции часто встречающихся твердых тел правильной геометрической формы массой m.
Момент инерции тонкостенногого цилиндра (обруча) радиуса R относительно оси симметрии:
. (5)
Момент инерции сплошного цилиндра (диска) относительно оси симметрии:
. (6)
Момент инерции шара относительно оси, проходящей через центр шара:
. (7)
Момент инерции однородного стержня относительно оси, перпендикулярной к стержню и проходящей через его середину:
. (8)
Одно и то же тело относительно различных осей обладает различными моментами инерции. Если известен момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс, то момент инерции относительно любой другой оси, параллельной данной, вычисляется по формуле (теорема Штейнера):
, (9)
где I0 –момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс; а –расстояние между осями.
Имеется много способов экспериментального определения моментов инерции тел. В настоящей работе используется метод крутильных (вращательных) колебаний.
Описание установки и метода
Установка (рисунок 1) представляет собой крутильный маятник и состоит из рамки 1, подвешенной на упругих нитях подвеса 2. В рамку зажимают тело 3, момент инерции которого относительно оси, проходящей через нити подвеса, необходимо определить.
Маятник способен совершать крутильные колебания, число и полное время которых регистрируются автоматически. Для маятника можно записать основное уравнение динамики вращательного движения тела вокруг неподвижной оси:
, (10)
где - момент инерции маятника, равный сумме моментов инерции рамки IP и исследуемого тела IT; φ –угол поворота рамки; r, L - радиус и длина нити подвеса; G –модуль сдвига материала нити подвеса.
Введя постоянную , характеризующую жесткость растяжек данной установки при кручении, уравнение (10) можно записать в виде:
. (11)
Это уравнение является дифференциальным уравнением гармонических колебаний с циклической частотой и периодом
. (12)
На измерении периода крутильных колебаний маятника основан метод определения момента инерции исследуемого тела. Вначале определяют период колебаний маятника без исследуемого тела (то есть пустой рамки):
. (13)
Затем закрепляют в рамке маятника исследуемое тело и находят вновь период колебаний:
. (14)
Решая систему уравнений (13) и (14) относительно IT, получают
. (15)
В работе непосредственно измеряют время t определенного числа n полных колебаний маятника. Период колебаний равен:
. (16)
Для того, чтобы пользоваться формулой (15), необходимо знать коэффициент k жесткости нитей подвеса при кручении. Он может быть задан преподавателем, либо найден экспериментально.
Для экспериментального определения коэффициента k пользуются телом, момент инерции которого можно рассчитать по известной формуле, например, телом цилиндрической формы, для которого
, (17)
где М –масса цилиндра; R –его радиус.
Подставляя (17) в формулу (15), получим, что коэффициент k равен:
(18)
где T, T0 – период колебаний маятника без цилиндра и с ним.
Для исследуемого тела моменты инерции Ix, Iy, Iz, Iu будут определяться относительно осей ОХ, ОY, ОZ и относительно диагональной оси Ou (рисунок 2).
Момент инерции Iu , определенный экспериментально, необходимо сравнить с его значением, рассчитанным теоретически.
Момент инерции прямоугольного параллелепипеда относительно диагональной оси Ou связан с моментами инерции тела относительно главных осей ОХ, ОY, ОZ соотношением
, (19)
где Ix, Iy, Iz –моменты инерции тела относительно главных осей ОХ, ОY, ОZ; Iu –момент инерции тела относительно диагональной оси, проходящей через центр масс; cos α, cos β, cosγ –направляющие косинусы (косинусы углов между главными осями ОХ, ОY, ОZ и осью Ou)
; ; . (20)
Здесь a, b и c –линейные размеры тела.
Порядок выполнения работы
1. Для исследуемого тела задать оси (ОХ, ОY, OZ, Ou), относительно которых будут определены моменты инерции. Начертить схему осей (рисунок 2).
2. Измерить массу M и радиус R цилиндрического тела.
3. Измерить время t0 10-15 колебаний крутильного маятника (без исследуемого тела). Измерения провести 3-5 раз. Данные занести в таблицу 1.
Таблица 1 - Определение коэффициента жесткости k растяжек при кручении
|
Пустая рамка |
Рамка с цилиндром |
|
n |
t1, c |
t2, c |
t3, c |
<t>, c |
T0 = <t>/n, c |
n |
t1, c |
t2, c |
t3, c |
<t>, c |
T = <t>/n, c |
4. Вставить в рамку цилиндрическое тело и измерить время t 10-15 колебаний маятника с цилиндром. Измерения проделать 3-5 раз. Данные занести в таблицу 1.
5. Заменить цилиндрическое тело исследуемым, так чтобы одна из заданных осей совпала с осью маятника. Измерить время t 10-15 колебаний маятника с исследуемым телом. Измерения провести 3-5 раз. Данные занести в таблицу 2.
Таблица 2 – Измерение моментов инерции тела
|
Ось вращения |
n |
t1, c |
t2, c |
t3, c |
<t>, c |
T = <t>/n, c |
IТ, кг · м2 |
ΔIТ, кг · м2 |
|
ОХ |
||||||||
|
OY |
||||||||
|
OZ |
||||||||
|
Ou |
6. Изменяя положение тела в рамке в соответствии со схемой выбранных осей вращения, провести по п. 5 измерения времени колебаний для каждого положения тела в рамке. Результаты занести в таблицу 2.
Обработка результатов измерений
, (21)
где Δπ = 0,002, ΔM = 1 г, ΔR = 1 мм, ΔТ = ΔТ0 = 0,01 с.
. (22)
Результаты занести в таблицу 2.
Для этого следует:
Контрольные вопросы
. Трофимова, Т.И. Курс физики: учеб. пособие для инженер.-техн. специальностей вузов / Т. И. Трофимова. - 13-е изд., стер. - М.: Академия, 2007. - §§ 16, 18, 140.
. Детлаф, А.А. Курс физики: учеб. пособие для втузов / А. А. Детлаф, Б. М. Яворский. - 7-е изд., стер. - М.: Академия, 2008. - §§ 4.3, 27.1.
. Савельев, И.В. Курс общей физики: учеб. пособие для вузов по техн. (550000) и технол. (650000) направлениям: в 3 т. Т. 1: Механика; Молекулярная физика / И. В. Савельев. - 9-е изд., стер. - СПб.: Лань, 2007. - §§ 31, 32.
. Грабовский, Р.И. Курс физики: учеб. пособие для вузов по естественнонауч., техн. и с.-х. направлениям и специальностям / Р. И. Грабовский. - 10-е изд., стер. - СПб.: Лань, 2007. - §§ 21, 23, 27.