Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Под статистической гипотезой понимают всякое высказывание о генеральной совокупности (случайной величине), проверяемое по выборке (по результатам наблюдений).
Не располагая сведениями о всей генеральной совокупности, высказанную гипотезу сопоставляют по определенным правилам, с выборочными сведениями и делают вывод о том, можно принять гипотезу или нет.
Процедура сопоставления высказанной гипотезы с выборочными данными называется проверкой гипотезы.
Рассмотрим этапы проверки гипотезы и используемые при этом понятия.
Этап 1. Располагая выборочными данными и руководствуясь конкретными условиями рассматриваемой задачи, формулируют гипотезу Но, которую называют основной или нулевой, и гипотезу Н1конкурирующую с гипотезой Н0. Термин «конкурирующая» означает, что являются противоположными следующие два события:
по выборке будет принято решение о справедливости для генеральной совокупности гипотезы Н0;
по выборке будет принято решение о справедливости для генеральной совокупности гипотезы Н1.
Гипотезу H1 называют также альтернативной. Например, если нулевая гипотеза такова: математическое ожидание равно 5,- то альтернативная гипотеза может быть следующей: математическое ожидание меньше 5, что записывается следующим образом:
Этап 2. Задаются вероятностью a , которую называют уровнем значимости. Поясним ее смысл.
Решение о том, можно ли считать высказывание Н0 справедливым для генеральной совокупности, принимается по выборочным данным, т. е. по ограниченному ряду наблюдений, следовательно, это решение может быть ошибочным. При этом может иметь место ошибка двух родов:
отвергают гипотезу Но, или, иначе, принимают альтернативную гипотезу H1, тогда как на самом деле гипотеза Н0 верна; это ошибка первого рода;
принимают гипотезу Н0 , тогда как на самом деле высказывание Но неверно, т. е. верной является гипотеза Н1 это ошибка второго рода.
Так вот уровень значимости a—это вероятность ошибки первого рода, т. е.
вероятность того, что будет принята гипотеза Н1 , если на самом деле в генеральной совокупности верна гипотеза Но. Вероятность a задается заранее малым числом, используют некоторые стандартные значения: 0,05; 0,01; 0,005; 0,001. Например, a=0,05 означает следующее: если гипотезу Но проверять по каждой из 100 выборок одинакового объема, то в среднем в 5 случаях из 100 мы совершим ошибку первого рода.
Вероятность ошибки второго рода обозначают b, т. е.
—вероятность того, что будет принята гипотеза Но, если на самом деле верна гипотеза Н1.
Этап 3. Находят величину j такую, что:
ее значения зависят от выборочных данных, т. е. для которой справедливо равенство
- ее значения позволяют судить о «расхождении выборки с гипотезой Н0»;
- и которая, будучи величиной случайной в силу случайности выборки, подчиняется при выполнении гипотезы Но некоторому известному закону распределения.
Величину j называют критерием.
Этап 4. Далее рассуждают так. Так как значения критерия позволяют судить о «расхождении выборки с гипотезой Но», то из области допустимых значений критерия j следует выделить подобласть wтаких значений, которые свидетельствовали бы о существенном расхождении выборки с гипотезой Но и, следовательно, о невозможности принять гипотезу Но.
Подобласть w называют критической областью.
Допустим, что критическая область выделена. Тогда руководствуются следующим правилом: если вычисленное по выборке значение критерия j попадает в критическую область, то гипотеза Но отвергается и принимается гипотеза Н1. При этом следует понимать, что такое решение может оказаться ошибочным:
на самом деле гипотеза Но может быть справедливой. Таким образом, ориентируясь на критическую область, можно совершить ошибку первого рода, вероятность которой задана заранее и равна a. Отсюда вытекает следующее требование к критической области w:
вероятность того, что критерий j примет значение из критической области w , должна быть равна заданному числу a, т. е.
Но критическая область данным равенством определяется неоднозначно. Действительно, представив себе график функции плотности fj (х) критерия j , нетрудно понять, что на оси абсцисс существует бесчисленное множество областей-интервалов таких, что площади построенных на них криволинейных трапеций равны a. Поэтому кроме требования
выдвигается следующее требование: критическая область w должна быть расположена так, чтобы при заданной вероятности a ошибки первого рода вероятность b ошибки второго рода была минимальной.
Возможны три вида расположения критической области (в зависимости от вида нулевой и альтернативной гипотез, вида и распределения критерия j):
правосторонняя критическая область (рис.а) , где критическая точка
определяется из условия:
левосторонняя критическая область(рис.б) , где критическая точка
определяется из условия :
двусторонняя критическая область (рис.в), где критические точки
,
называемые двусторонними, определяются из условий
И называются двусторонними критическими точками.
Этап 5. В формулу критерия
вместо Х1, Хг, …, Хп подставляют конкретные числа, полученные в результате п наблюдений, и подсчитывают числовое значение jчис критерия.
Если jчис попадает в критическую область w, то гипотеза Но отвергается и принимается гипотеза Н1.
Если jчис не попадает в критическую область, гипотеза Но не отвергается.