Модуль Элементарные фции

Работа добавлена на сайт samzan.net:

Билет №1.Числовые множества. Модуль. Элементарные ф-ции. Графики. Преобразование графиков.

(Числовое) множество - совокупность (набор) некоторых элементов ( то есть чисел).

N - множество натуральных чисел (1,2,3..)

Z - множество целых чисел (...-2,-1.0,1,2..)

Q - множество рациональных чисел P=m/n где m принадл. Z, n принадл. N

R - множество действительных чисел (вся числовая прямая).

Модуль(Абсолютная величина) числа - неотрицательное число, есть расстояние между числом и началом координат. Обозначается: .

Элементарные ф-ции - ф-ции, которые можно получить с помощью конечного числа арифметических действий и композиций из следующих основных элементарных функций:

алгебраические:
степенная;
рациональная.
трансцендентные:
показательная и логарифмическая;
тригонометрические и обратные тригонометрические.

Каждую элементарную ф-цию можно задать формулой, т.е. набором конечного числа символов, соответствующих используемым операциям. Все элем. ф-ции непрерывны на своей области определения.

Произвольные многочлены, рациональные функции, показательные функции, логарифмы, тригонометрические функции (прямые и обратные) непрерывны везде в своей области определения.

График ф-ции - понятие, которое даёт представление о геометрическом образе ф-ции. Это геометрическое место точек плоскости, абсциссы (x) и ординаты (y) которых связаны указанной функцией: точка располагается (или находится) на графике функции тогда и только тогда, когда .

[Элементарные] преобразования графиков функций - термин, используемый для обозначения линейных преобразований функции или её аргумента вида . Применяется также для обозначений операций с использованием модуля.

Общ. вид ф-ции	Преобразования
	Параллельный перенос графика вдоль оси абсцисс на единиц вправо, если ; влево, если .
	Параллельный перенос графика вдоль оси ординат на единиц вверх, если , вниз, если .
	Симметричное отражение графика относительно оси ординат.
	Симметричное отражение графика относительно оси абсцисс.
	При — сжатие графика к оси ординат в раз, при — растяжение графика от оси ординат в раз.
	При — растяжение графика от оси абсцисс в раз, при — cжатие графика к оси абсцисс в раз.
	При — график остаётся без изменений, при — график симметрично отражается относ. оси абсцисс.
	При - график остаётся без изменений, при - график симметрично отражается относ. оси ординат.

Билет №2. Числовые последовательности. Определение предела числовой последовательности.

Последовательность - числовая функция fn, заданная на множестве натуральных чисел N.

Обозначается через an, (an), {an}.
Если n - натуральное число, а an - значение последовательности в тоске n, то n - номер числа a, а само число an - общий или n-ый член последовательности.

График - изолированное множество точек плоскости.

Способы задания числовых последовательностей:

1) формулой n-го члена. 1, 4, 9, 16, 25, 36, ... …
2) описания членов
2, 4, 6, 8, 10, ... ...
1, 3, 5, 7, 9, ... ...
3) рекуррентным 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... an = an-1 + an-2 , …

Пример. Последовательность Фибоначчи. Проблема с кроликами: человек пару кроликов в загон, окруженный стеной. Сколько пар кроликов за год может произвести на свет эта пара, если известно, что каждый месяц, начиная со 2го, каждая пара кроликов производит на свет 1 пару?

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

(Ряд, каждый член в котором - сумма двух предыдущих.)

Число А называется пределом числовой последовательности {an}, если для любого, сколь угодно малого положительного числа ε > 0, найдется такое число N (зависящее от ε, N=Nԑ), что для всех членов последовательности с номерами n>N верно неравенство .

Если это выполняется, то пишут или при n∞

Последовательность может быть сходящаяся/расходящаяся.

Используя логические символы определение

Смысл: для достаточно больших n члены последовательности {an} как угодно мало отличаются от числа a (по абсолютной величине меньше, чем на число ԑ, каким бы малым оно ни было).

(Пример.:
С ростом номера n число an становится все ближе к 1. )

Билет №3. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства.

Свойства бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей

Сумма 2х бесконечно малых последовательностей также бесконечно малая последовательность.
Разность 2х бесконечно малых последовательностей также бесконечно малая последовательность.
Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность.
Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
Любая бесконечно малая последовательность ограничена.
Если стационарная последовательность является бесконечно малой, то все её элементы, начиная с некоторого, равны нулю.
Если вся бесконечно малая посл-ность состоит из одинаковых элементов, то эти элементы - нули.
Если некоторая бесконечно большая последовательность не содержит нулевых членов, то существует обратная последовательность , которая является бесконечно малой. Если же всё же содержит нулевые элементы, то последовательность всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера, и всё равно будет бесконечно малой.
Если f(x) бесконечно малая последовательность, не содержащая нулевых членов, то сущ. обратная последовательность, которая является бесконечно большой. Если же всё же содержит нулевые элементы, то последовательность всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера, и всё равно будет бесконечно большой.

Теорема о переходе к пределу в неравенства:
Если или на и существуют и, то .

Теорема о 2х полицейских:
Т: Пусть даны 3 последовательности: {Xn}, {Yn}, {Zn}.
Причем Xn<=Yn<=Zn. При этом существует limXn=a=limZn (при n→∞),
тогда limYn=a (при n→∞)

Доказательство:

1) Докажем, что Zn-Xn – бесконечно малая последовательность (бм)

Zn-Xn=Zn - a +a - Xn (Zn – a есть бм, + a – Xn – есть бм) => б.малая!

2) Докажем: Yn – Xn – бесконечно малая

0≤ Yn - Xn≤ Zn – Xn (а это бесконечно малая посл.) для любого E>0 существует N для каждого из которых n>N

|Zn – Xn| < E => |Yn – Xn| < E

Zn – Xn<E => Yn – Xn<E

3) Докажем: Yn – a – б.мал.

Yn - a = (Yn – Xn /есть б.мал.) + (Xn – a/ есть б.мал) – сумма б.малых есть б.малая.

Билет №4. Свойства пределов числовой последовательности .

Предел числовой последовательности - такое число, что для всякой сколь угодно малой величины существует номер, начиная с которого удаление членов последовательности от данной точки становится меньше заранее заданной величины.

Аддитивность. Предел суммы числовых посл-стей есть сумма их пределов, если каждый из них сущ-ет.

Однородность. Константу можно выносить из-под знака предела.

Предел произведения числовых

посл-стей факторизуется на произведение пределов, если каждый из них сущ-ет.

Предел отношения числовых последовательностей есть отношение их пределов, если эти пределы существуют и последовательность-делитель не является бесконечно малой.

Если все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, не превышают некоторого числа, то и предел этой последовательности также не превышает этого числа.

Если некоторое число не превышает все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, то оно также не превышает и предела этой последовательности.

Если некоторое число строго превышает все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, то предел этой последовательности не превышает этого числа.

Если все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, строго превышают некоторое число, то это число не превышает предела этой последовательности.

Если, начиная с некоторого номера, все элементы одной сходящейся последовательности не превышают соответствующих элементов другой сходящейся последовательности, то и предел первой последовательности не превышает предела второй.

Для числовых последовательностей справедлива теорема о двух милиционерах.

Сходящаяся числовая последовательность имеет только 1 предел.

Замкнутость. Если все элементы сходящейся числовой последовательности лежат на некотором отрезке, то на этом же отрезке лежит и её предел.

Предел последовательности из одного и того же числа равен этому числу.

Замена или удаление конечного числа элементов в сходящейся числовой последовательности не влияет на её предел.
У возрастающей ограниченной сверху последовательности есть предел. То же верно для убывающей ограниченной снизу последовательности.
Если у последовательности существует предел, то последовательность средних арифметических имеет тот же предел.
Если у последовательности чисел существует предел , и если задана функция , определенная для каждого и непрерывная в точке , то

Билет №5. Пределы ф-ций. Свойства пределов ф-ций.

Значение a называется пределом функции f(x) в точке , если для любого 0

выполняется неравенство .

Значение a называется пределом функции в точке , если для любой последовательности точек , стремящейся к , но не содержащей в качестве 1го из своих элементов (то есть в проколотой окрестности ), последовательность значений функции стремится к а.

Значение называется пределом функции в точке , если для любого наперёд взятого положительного числа найдётся отвечающее ему положительное число такое, что для всех аргументов , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .

Односторонний предел числовой ф-ции в точке - это специфический предел, подразумевающий, что аргумент ф-ции приближается к указанной точке с слева или справа. Числовая ф-ция имеет предел в точке <=> она имеет в этой точке совпадающие левый и правый пределы. Пусть даны ф-ции и .

Одна и та же функция в одной и той же точке может иметь только один предел
Сходящаяся функция локально сохраняет знак. Более обще,

где — проколотая окрестность точки .

В частности, функция, сходящаяся к положительному (отрицательному) пределу, остаётся положительной (отрицательной) в некоторой окрестности предельной точки:
Сходящаяся функция локально ограничена в окрестности предельной точки:
Отделимость от нуля функций, имеющих предел, отличный от нуля.
Операция взятия предела сохраняет нестрогие неравенства.
Правило двух милиционеров
Предел суммы равен сумме пределов:
Предел разности равен разности пределов:
Предел произведения равен произведению пределов:
Предел частного равен частному пределов.

Билет №6. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Сравнение БМ.

Бесконечно малая - числовая функция, которая стремится к нулю.

Последовательность называется бесконечно малой, если .

Например, последовательность чисел — бесконечно малая.

Ф-ция называется бесконечно малой в окрестности точки , если .

Ф-ция называется бесконечно малой на бесконечности, если либо .

Также бесконечно малой является ф-ция, представляющая собой разность ф-ции и её предела, то есть если , то , .

Бесконечно большая - числовая функция, которая стремится к бесконечности определённого знака. Во всех приведённых ниже формулах бесконечность справа от равенства подразумевается определённого знака (+/-). То есть, напр., ф-ция , неограниченная с обеих сторон, не является бесконечно большой при .

Последовательность называется бесконечно большой, если .

Ф-ция называется ББ в окрестности точки , если .

Ф-ция называется ББ на бесконечности, если либо .

Сравнение бесконечно малых

Допустим, у нас есть бесконечно малые при одном и том же величины и (либо, что не важно для определения, бесконечно малые последовательности).

Если , то — бесконечно малая высшего порядка малости, чем . Обозначают или β≺α.
Если , то — бесконечно малая низшего порядка малости, чем . Соответственно или α≺β.
Если (предел конечен и не равен 0), то и являются бесконечно малыми величинами одного порядка малости. Это обозначается как α≍β или как одновременное выполнение отношений и .
Если (предел конечен и не равен 0), то бесконечно малая величина имеет -й порядок малости относительно бесконечно малой .

Для вычисления подобных пределов удобно использовать правило Лопиталя.

Билет №7. 2 замечательных предела.

Замечательные пределы - термин, использующийся в математическом аналие для обозначения известных математических тождеств со взятием предела.

Первый замечательный предел:

Доказательство

Рассмотрим односторонние пределы и и докажем, что они равны 1.

Пусть . Отложим этот угол на единичной окружности ().

K - точка пересечения луча с окружностью, а точка L - с касательной к единичной окружности в точке (1;0). Точка H - проекция точки K на OX.

Очевидно, что (1)

(где — площадь сектора )

(из : )

Подставляя в (1), получим:

Так как при :

Умножаем на :

Перейдём к пределу:

Найдём левый односторонний предел:

Правый и левый 1-сторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1.

Следствия

Второй замечательный предел:

Доказательство для натуральных значений x

Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем 2ой замечательный предел для вещественных x, то есть докажем, что . Рассмотрим 2 случая:

1. Пусть . Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами: , где — это целая часть x.

Отсюда следует: , поэтому.

Если , то . Поэтому, согласно пределу , имеем:.

По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов .

2. Пусть . Сделаем подстановку , тогда.

Из 2х этих случаев вытекает, что для вещественного x.

Следствия

для ,

Билет №8. Понятие непрерывной функции.

Непрерывная функция - ф-ция без «скачков», то есть такая, у которой малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения функции.

ε-δ определение Пусть и .

Функция непрерывна в точке Xo, если для любого существует такое,

что для любого
Функция непрерывна на множестве , если она непрерывна в каждой точке данного множества. Другими словами, функция непрерывна в точке , предельной для множества , если имеет предел в точке , и этот предел совпадает со значением функции . Функция непрерывна в точке, если её колебание в данной точке равно нулю.

Все элементарные функции непрерывны на своей области определения.

Билет №9. Разрывы функций.

Понятие устранимого разрыва :

Теорема: предел функции в точке существует тогда и только тогда, когда существуют односторонние пределы.

Lim f(x)= a <-> Lim f(x) =a = Lim f(x) _ X X 0 + O X X 0 – O

Точка X 0 - точка разрыва,если в ней ф-ция неопределенна или не является непрерывной.

Устранимый разрыв - разрыв, при котором ф-ция определяется так, что она становится непрерывной.

Lim f(x) =a = Lim f(x)

X X 0 - O X X 0 + O

Если предел ф-ции существует, но он не совпадает со значением ф-ции в данной точке: Lim f(x) ≠f(a) , тогда точка называется точкой устранимого разрыва функции. x a

Точки разрыва первого и второго рода

Если ф-ция имеет разрыв в данной точке (то есть предел функции в данной точке отсутствует или не совпадает со значением ф-ции в данной точке), то для числовых функций возникает 2 возможных варианта, связанных с существованием у числовых ф-ций односторонних пределов:

если оба односторонних предела существуют и конечны, то такую точку называют точкой разрыва первого рода. Точки устранимого разрыва являются точками разрыва первого рода;
если хотя бы один из односторонних пределов не существует или не является конечной величиной, то такую точку называют точкой разрыва второго рода.

Билет №10. Непрерывность сложной функции. Использование непрерывности ф-ции для вычисления пределов.

Пусть и .

Функция непрерывна в точке , если для любого существует такое, что для любого

Функция непрерывна на множестве , если она непрерывна в каждой точке данного множества.

В этом случае говорят, что функция класса и пишут: или, подробнее, .

Определение непрерывности фактически повторяет определение предела ф-ции в данной точке. Другими словами, ф-ция непрерывна в точке , предельной для множества , если имеет предел в точке , и этот предел совпадает со значением ф-ции .
Функция непрерывна в точке, если её колебание в данной точке равно нулю.

Билет №11. Функции, непрерывные на отрезке. Их свойства. Примеры.

Ф-цию y = f(x) называют непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна во всех внутренних точках этого отрезка, а на его концах, т.е. в точках a и b, непрерывна соответственно справа и слева.

Свойства:(наибольшее и наименьшее значения)

Теорема 1. Функция, непрерывная на отрезке [a, b], хотя бы в одной точке этого отрезка принимает наибольшее значение и хотя бы в одной – наименьшее.

Теорема утверждает, что если ф-ция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то найдётся хотя бы 1 точка x1 (принадл.) [a, b] такая, что значение ф-ции f(x) в этой точке будет самым большим из всех ее значений на этом отрезке: f(x1) ≥ f(x). Аналогично найдётся такая точка x2, в кот. значение ф-ции будет самым маленьким из всех знач. на отрезке: f(x1) ≤ f(x).

Ясно, что таких точек может быть и несколько, например, на рисунке показано, что ф-ция f(x) принимает наименьшее значение в двух точках x2 и x2'.

Замечание. Утверждение теоремы можно стать неверным, если рассмотреть значение ф-ции на интервале (a, b). Следствие. Если ф-ция f(x) непрерывна на [a, b], то она ограничена на этом отрезке.

Теорема 2 (об ограниченности непрерывной ф-ции). Если ф-ция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она ограничена на этом отрезке, т.е. существует такое число C>0, что "x О [a,b] выполняется неравенство |f(x)| ≤ C.

Теорема 3. Пусть ф-ция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков, тогда внутри отрезка [a, b] найдется, по крайней мере, 1 точка x = C, в которой ф-ция обращается в ноль: f(C) = 0, где a < C< b

Эта теорема имеет простой геометрический смысл: если точки графика непрерывной функции y = f(x), соответствующие концам отрезка [a, b] лежат по разные стороны от оси Ox, то этот график хотя бы в одной точке отрезка пересекает ось Ox. Разрывные функции этим свойством могут не обладать.

Теорема 4. (теорема о промежуточных значениях). Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и f(a) = A, f(b) = B. Тогда для любого числа C, заключённого между A и B, найдётся внутри этого отрезка такая точка C [a, b], что f(c) = C.

Эта теорема геометрически очевидна. Рассмотрим график функции y = f(x). Пусть f(a) = A, f(b) = B. Тогда любая прямая y = C, где C – любое число, заключённое между A и B, пересечёт график функции, по крайней мере, в одной точке. Абсцисса точки пересечения и будет тем значением x = C, при котором f(c) = C.

Следствие. Если функция y = f(x) непрерывна на некотором интервале и принимает наибольшее и наименьшее значения, то на этом интервале она принимает, по крайней мере, один раз любое значение, заключённое между её наименьшим и наибольшим значениями.

Теорема Коши о нулях непрерывной ф-ции. Только на 1ом из отрезков – [a3; b3] – имеется нуль ф-ции, так как на этом отрезке ф-ция непрерывна и принимает значения разных знаков на концах.

Теорема Коши. Если ф-ция f (x) непрерывна на отрезке [a; b] и принимает на его концах значения разных знаков, то на отрезке [a; b] имеется хотя бы 1 нуль ф-ции f. При этом, если ф-ция строго монотонна на этом отрезке, то она принимает значение 0 лишь 1 раз.

Билет № 12.Понятие производной функции. Свойства производной.

Производная (функции в точке) определяется как предел отношения приращения ф-ции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Ф-цию, имеющую конечную производную (в точке), называют дифференцируемой (в точке).

Процесс вычисления производной называется дифференцированием. Обратный процесс - нахождение первообразной - интегрирование.

Пусть y=f(x) определена в О(x0) и пусть x0+Δx ∈ O(x0)
Δf = f(x0+Δx) - f(x0) – приращение функции в точке х0, соответствующее приращению Δх.

Говорят также, что производная - это скорость изменения функции.

Следующие свойства производной служат дополнением к правилам дифференцирования:

если ф-ция дифференцируема на интервале , то она непрерывна на интервале . Обратное, вообще говоря, неверно (например, функция на );
если ф-ция имеет локальный максимум/минимум при значении аргумента, равном , то (это так называемая лемма Ферма);
производная данной ф-ции единственна, но у разных ф-ций могут быть одинаковые производные.

Билет № 13 .Геометрический смысл производной.

С геометрической точки зрения дифференциал – это приращение касательной, отвечающее данному приращению аргумента.

Если функция имеет конечную производную в точке то в окрестности её можно приблизить линейной функцией

Ф-ция называется касательной к в точке Число является угловым коэффициентом или тангенсом угла наклона касательной прямой.

Скорость изменения функции

Пусть - закон прямолинейного движения. Тогда выражает мгновенную скорость движения в момент времени Вторая производная выражает мгновенное ускорение в момент времени

Вообще производная функции в т. выражает скорость изменения ф-ции в т. , то есть скорость протекания процесса, описанного зависимостью

Билет № 14. Уравнение касательной к графику.

Определение: при данном Δх прямая, соединяющая точки (х0;f(x0)) и (х0+Δх;f(x0+Δx)), называется секущей при данном приращении Δх.

Пусть дана функция f, которая в некоторой точке x0 имеет конечную производную f (x0). Тогда прямая, проходящая через точку (x0; f (x0)),имеющая угловой коэффициент f ’(x0), называется касательной.

Касательная прямая - прямая, проходящая через точку кривой и совпадающая с ней в этой точке с точностью до первого порядка.

Определение: касательной к графику функции в данной точке называется предельное положение секущей при Δх→0, если такое существует.

Билет №15. Связь понятий. Дифференцируемость ф-ции в точке и ее непрерывность.

Теорема: если ф-ция дифференцируема в точке , то она непрерывна данной точке (если ф-ция имеет производную, то она непрерывна).

Непрерывность означает f(x0)=lim f(x) x 0. Это тоже, что f 0.

!!!непрерывная ф-ция не обязана быть дифференцируемой.

Пример: y=|x| непрерывна в т. х=0, но не дифференцируема.

Определение Ф-ция y=f(x) называется дифференцируемой в точке x0, если ее приращение Δy в т. x0 может быть представлено в виде: Δy=A·Δx+α(Δx)·Δx, где A - некоторое число, независящее от Δx, а α(Δx)-- бесконечно малая ф-ция от переменной Δx, т.е. limΔx→0α(Δx)=0.

Теорема. Для того, чтобы ф-ция y=f(x) была дифференцируема в т. x0, необходимо и достаточно, чтобы она в этой точке имела конечную производную.
Необходимость. Предположим: ф-ция дифференцируема в точке x0, т.е. Δy=A·Δx+α(Δx)·Δx. Разделив обе части данного равенства на Δx, получим: ΔxΔy=A+α(Δx).
Из определения производной ф-ции в точке: y/(x0)=limΔx→0ΔxΔy=limΔx→0(A+α(Δx))=A.

Т.е. получили, что существует конечная производная ф-ции в точке x0 и y/(x0)=A.
Достаточность. Пусть существует конечная производная y/(x0)∈R . Покажем дифференцируемость ф-ции. y/(x0)=limΔx→0ΔxΔy.

Если ф-ция f(x) имеет конечный предел b при Δx→0 , то ее можно представить: f(x)=b+α(x) (α(x)→0) . Исходя из этого: ΔxΔy=y/(x0)+α(Δx), где limΔx→0α(Δx)=0, Δy=y/(x0)·Δx+α(Δx)·Δx→ A=y/(x0) . Теорема доказана.

Здесь односторонние приделы не совпадают, значит предел не существует.

Замечание: 1)понятие производной и понятие дифференцируемая вводится также и для ф-ции нескольких переменных. В случае нескольких переменных эти понятия не совпадают.

2) существует ф-ция в каждой точке непрерывная и не в 1ой точке, не имеющая производной.

Производная стремится к бесконечности, когда касательная более перпендикулярна к оси Х.

Билет №16.Дифференциал ф-ции. Произв. суммы, произведения и отношения 2х ф-ций.

Дифференциал - главная линейная часть приращения ф-ции. Если ф-ция y = f (x) 1го переменного х имеет при х = х0 производную, то приращение Δy = f (x0 + Δx) - f (x0) ф-ции f (x) можно представить в виде Δy = f' (x0) Δx + R,

где член R бесконечно мал по сравнению с Δх. Первый член dy = f' (x0) Δх

называется дифференциалом функции f (x) в точке x0. Из этой формулы видно, что дифференциал dy линейно зависит от приращения независимого переменного Δx, а равенство

Δy = dy + R показывает, в каком смысле Д. dy является главной частью приращения Δy.

1.Дифференциалом ф-ции называется произведение производной на приращение независимой переменной dy=f'(x)*Δx

Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной =>

dy=f'(x)*dx или f'(x)=dy/dx

Также знак дифференциала используется в обозначении Лейбница для производной . Это обозначение мотивировано тем, что для дифференциалов ф-ции и тождественной ф-ции верно соотношени

2.Дифференциал функции равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику в точке (х;у) при изменении x на велечину Δx=dx

Правила дифференцирования.

Билет № 17. Производная сложной функции. Пусть y = f(u), а u= u(x). Получаем ф-цию y, зависящую от аргумента x: y = f(u(x)). Последняя ф-ция называется ф-цией от ф-ции или сложной ф-цией.

Областью определения ф-ции y = f(u(x)) является либо вся область определения ф-ции u=u(x) либо та ее часть, в которой определяются значения u, не выходящие из области определения ф-ции y= f(u).

Теорема. Если ф-ция u= u(x) имеет в некоторой точке x0 производную и принимает в этой точке значение u0 = u(x0), а ф-ция y= f(u) имеет в точке u производную y'u= f '(u0), то сложная ф-ция y = f(u(x)) в указанной точке x0 тоже имеет производную, которая равна y'x= f '(u0)·u '(x0), где вместо u должно быть подставлено выражение u= u(x).

Таким образом, производная сложной ф-ции равна произведению производной данной ф-ции по промежуточному аргументу u на производную промежуточного аргумента по x.

Итак, чтобы продифференцировать сложную ф-цию y = f(u(x)), нужно взять производную от "внешней" ф-ции f, рассматривая ее аргумент просто как переменную, и умножить на производную от "внутренней" ф-ции по независимой переменной.

Если ф-цию y=f(x) можно представить в виде y=f(u), u=u(v), v=v(x), то нахождение производной y'x осуществляется последовательным применением предыдущей теоремы.

По доказанному правилу имеем y'x = y'u·u'x. Применяя эту же теорему для u'x получаем , т.е.

y'x = y'x · u'x· v 'x = f'u (u)·u'v (v)·v'x (x).

Примеры: :

Билет № 18. Обратная функция и ее производная.

Функция является обратной к ф-ции , если выполнены следующие тождества:

для всех

Чтобы найти обратную ф-цию, нужно решить уравнение относительно . Если оно имеет более чем 1 корень, то ф-ции обратной к не существует. Таким образом, функция обратима на интервале тогда и только тогда, когда на этом интервале она обратима однозначно.

Для непрерывной ф-ции выразить из уравнения возможно в том и только том случае, когда ф-ция монотонна. Тем не менее, непрерывную ф-цию всегда можно обратить на промежутках её монотонности. Например, является обратной ф-цией к на , хотя на промежутке обратная функция другая: .

Пусть - дифференцируемая ф-ция от аргумента x в некотором интервале . Если в уравнении y считать аргументом, а x - ф-цией, то возникает новая ф-ция , где - ф-ция обратная данной.

Теорема о дифференцировании обратной функции

Для дифференцируемой ф-ции с производной, отличной от нуля, производная обратной ф-ции равна обратной величине производной данной ф-ции

Для арксинуса:

Для арктангенса:

Билет 19. Теорема Лагранжа

Пусть ф-ция дифференцируема в открытом промежутке и сохраняет непрерывность на концах этого промежутка. Тогда существует такая точка , что

Следствие 1. В частном случае, когда , из теоремы Лагранжа вытекает, что существует точка , в которой производная ф-ции равна нулю: . Это означает, что теорема Лагранжа является обобщением теоремы Ролля.

Следствие 2. Если во всех точках некоторого промежутка , то в этом промежутке. Действительно, пусть и – произвольные точки промежутка и . Применяя т. Лагранжа к промежутку , получим

Билет №20. Правило Лопиталя.

Теорема Лопиталя - метод нахождения пределов ф-ций, раскрывающий неопределённости вида и . Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения ф-ций равен пределу отношения их производных.

Теорема Лопиталя:

либо ;
и дифференцируемы в проколотой окрестности ;
в проколотой окрестности ;
существует ,

тогда существует .

Пределы также могут быть односторонними.

Билет №21. Производные высшего порядка. Формула Лейбница.

Пусть y = f(x) является дифференцируемой ф-цией. Тогда производная также представляет собой

ф-цию от x. Если и она является дифференцируемой ф-цией, то мы можем найти 2ую производную ф-ции f, которая обозначается в виде f''=(f')'=(dy/dx)=d/dx(dy/dx)=d2y/dx2

Аналогично, если f '' существует и дифференцируема, мы можем вычислить 3ю производную ф-ции f: f'''=(f'')'=d3y/dx3

Производные более высокого порядка (если существуют), определяются как f''''=(f''')'=d4y/dx4

Для нахождения производных высшего порядка можно использовать следующие формул

Ф-ла Лейбница для -ой производной произведения 2 ф-ций - обобщение правила дифференцирования произведения (и отношения) 2х функций на случай -кратного дифференцирования.

Пусть функции и — раз дифференцируемые функции, тогда где — биномиальные коэфф.

(пример) В случае , например, имеем:

При получается известное правило производной произведения:

Билет №22. Формулы Тейлора и Маклорена.

Ряд Тейлора - разложение функции в бесконечную сумму степенных ф-ций.

Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.

Пусть функция имеет производную в некоторой окрестности точки ,
Пусть
Пусть - произвольное положительное число,

тогда: точка при или при :

Для произвольной функции , не являющейся многочленом, формула Тейлора в окрестности некоторой точки принимает вид:

- остаточный член в асимптотической форме (в форме Пеано, в локальной форме)

Остаточный член - разность между заданной ф-цией и ф-цией ее аппроксимирующей. Тем самым оценка остаточного члена является оценкой точности рассматриваемой аппроксимации.

Полученное выражение называется формулой Маклорена для многочлена степени .

Можно разложить многочлен по степеням разности , где - любое число. В этом случае будем иметь:

Это выражение называется формулой Тейлора для многочлена в окрестности точки .

Билет №23. нахождение асимптот графика функции.

Асимптота – прямая, к которой приближаются точки графика функции при бесконечном удалении их от начала координат.

Асимптота может быть вертикальной или наклонной.

Вертикальная А. имеет уравнение x=b , причем f(x)→+∞ (-∞) при x→a (односторонне).

Пусть функция f (x) определена для всех x. Если существуют такие числа k и b, что f(x)-kx-b = 0 при х, то прямая y = kx + b называется наклонной асимптотой графика функции f (x).

k = lim f(x)/x при x→+∞ (x→-∞)

b = lim (f(x)-kx) при x→+∞ (x→-∞)

Пример разных асимптот на разных бесконечностях:

x→+∞ k = lim = lim = 1 b=0

x→-∞ k = lim = lim = -1 b=0

Билет №24. Локальный экстремум. Исследование ф-ции на экстремум. Наибольшее и наименьшее значения ф-ции на промежутке.

Экстремум - максимальное или минимальное значение ф-ции на заданном множестве. Точка, в кот. достигается экстремум, называется точкой экстремума. Если достигается минимум - точка min, если максимум - точка max. Также выделают понятие локальный экстремум (минимум/максимум).

Пусть дана функция и - внутренняя точка области определения Тогда

называется точкой локального максимума функции если существует проколотая окрестность такая, что
называется точкой локального минимума функции если существует проколотая окрестность такая, что

Необходимые условия сущ.:

Из леммы Ферма вытекает следующее:

Пусть точка является точкой экстремума функции , определенной в некоторой окрестности точки .

Тогда либо производная не существует, либо .

Достаточные условия существования локальных экстремумов

Пусть функция непрерывна в и существуют конечные или бесконечные односторонние производные . Тогда при условии

является точкой строгого локального максимума. А если

то является точкой строгого локального минимума.

Заметим, что при этом функция не дифференцируема в точке Пусть функция непрерывна и дважды дифференцируема в точке . Тогда при условии и является точкой локального максимума. А если и

то является точкой локального минимума.

Пусть функция дифференцируема раз в точке и , а .
Если чётно и , то - точка локального максимума. Если чётно и , то - точка локального минимума. Если нечётно, то экстремума нет.

Билет №25. Исследование функции на выпуклость.

Производная второго порядка

Если функция дифференцируема, то ее производную называют второй производной от f и обозначают :

2ая производная от параметрической ф-ции x = x (t) и y = y (t) задается формулой:

2ую производную иногда обозначают:

2ая производная определяет скорость изменения скорости или ускорение.

Дважды дифференцируемая на [a; b] ф-ция f (x) выпукла вверх, если для любого

Дважды дифференцируемая на [a; b] ф-ция f (x) выпукла вниз, если для любого

Билет №26. План исследования функции и построение ее графика.

Найти область определения функции x∈(-∞;1) ∪(1; +∞)

Определить, является ли функция четной, нечетной или общего вида (Не обладает четностью)
Определить нули и промежутки знакопостоянства функции

- + + x

0 1

4) Выяснить поведение ф-ции на границе области определения, т.е. найти односторонние пределы в точках, не принадлежащих к области определения

x→1+0 x→1-0

5)Выяснить поведение функции на бесконечности

x→+∞ x→-∞

6)Найти наклонные асимптоты - по отдельности для x→+∞ и x→-∞, или убедиться в их отсутствии y=kx+b

x→+∞ x→-∞

x→-∞ x→-∞

y=x+2

7)Найти первую производную, определить критические точки и промежутки знакопостоянства первой производной. Определить промежутки возрастания и убывания функции, а также точки экстремума.

Билет №27. Предельные величины в экономике.

Неоклассическое направление исследует поведение т.н. экономического человека (потребителя, предпринимателя, наёмного работника), который стремится максимизировать доход и минимизировать затраты. Основные категории анализа - предельные величины (т.н. Маржинализм).

Предельный доход (marginal revenue - MR), также маржинальный доход, предельная выручка — дополнительный доход, получаемый от продажи дополнительной единицы товара. Предельный доход также характеризуется как доход, полученный от реализации после возмещения переменных затрат. Предельный доход является источником образования прибыли и покрытия постоянных затрат. Предельный доход является промежуточным показателем изменения прибыли и формально высчитывается как производная функции прибыли П(х)

Предельные издержки (marginal cost - MC) - показатель предельного анализа производственной деятельности, дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции. Для каждого уровня производства существует особое, отличное от других значение предельных издержек.

Математически они выступают как частные производные функции издержек С(x) по данному виду деятельности:.

Маржинальная прибыль — прирост общей суммы прибыли, полученной фирмой от продажи дополнительной единицы продукции[1].

Общая выручка (total revenue, TR) - цена(P) за ед. товара, помноженная на кол-во проданного товара(Q). TR = P*Q
Общие издержки (total cost, TC) - затраты фирмы на производство всей продукции.
Прибыль фирмы (profit) - разница между общей выручкой и общими затратами. П = TR - TC.
Дополнительная выручка (marginal revenue, MR) - выручка от производства 1 дополнительной ед. продукции. Т.е. если фирма производит 10 ед. продукции( Q=10), то добав. выручка считается как увеличение общей выручки (TR) от производства 11-й ед. продукции. MR=TR(11)-TR(10).
Дополнительные издержки (marginal cost, MC): величина, на которую изменяются общие издержки при выпуске дополнительной ед. продукции называется marginal cost, или добавочные(дополнительные) издержки.

На основании соотношения MC и MR фирма, ставящая цель увеличить прибыль, регулирует количество выпускаемой продукции.

Пока MR(добавочная выручка) больше MC (добавочных издержек), фирма увеличивает производство, так как еë прибыль растет от выпуска дополнительной единицы продукции.
При MR = MC фирме стоит остановиться в наращивании объемов выпуска.
При MR < MC фирме стоит пересмотреть свою политику по кол-ву выпуска продукции, но это не всегда значит, что ей стоит немедленно уменьшать количество производимой продукции.

Билет №28. Эластичность спроса.

Эластичность - мера чувствительности 1ой, показывающая, на сколько % изменится 1ый показатель при изменении 2ого на 1 %.

(Точечной) эластичностью (коэффициентом эластичности) переменной y к x называется величина:

Данное значение определяет эластичность в конкретной точке. Эластичность постоянна только в рамках логарифмической (или степенной) модели зависимости. Во многих случаях (в том числе и для линейной модели зависимости) эластичность в разных точках отличается. Поэтому рассчитывают также среднюю (дуговую) эластичность как отношение процентных изменений y и x.

Иногда вместо и используют среднюю точку в интервале изменения их значений.

где Преимуществом последнего способа является симметричность относительно знака изменения фактора.

Эластичность спроса позволяет измерить степень реакции покупателя на изменение цен, уровня доходов или др.факторов. Рассчитывается через коэффициент эластичности. Различают эластичность спроса по цене, по доходу, перекрёстную эластичность по цене 2-х товаров.

Эластичность спроса по цене показывает, на сколько процентов изменится величина спроса при изменении цены на 1 %.

Точечная эластичность спроса по цене рассчитывается по следующей формуле:
где верхний индекс означает что это эластичность спроса, а нижний индекс говорит о том, что это эластичность спроса по цене (Demand - спрос и Price - цена). То есть эластичность спроса по цене показывает степень изменения спроса в ответ на изменение цены на товар. Значение обычно получается отрицательным, поскольку, как следует из закона спроса, с ростом цены спрос на товар убывает.

Эластичность спроса по доходу показывает, на сколько % изменится величина спроса при изменении дохода на 1 %. Измерив эластичность спроса по доходу, можно определить, относится ли данный товар к категории нормальных или малоценных. Основная масса потребляемых товаров относится к категории нормальных. Есть товары, спрос на которые обратно пропорционален доходам потребителей. Эластичность спроса по доходу может быть выражена следующим образом:
где верхний индекс означает, что это эластичность спроса, а нижний индекс говорит о том, что это эластичность спроса по доходу (Demand - спрос и Income - доход). То есть эластичность спроса по доходу показывает степень изменения спроса в ответ на изменение доходов потребителей. В зависимости от св-в благ эластичность спроса по доходу может быть различной.

Перекрёстная эластичность спроса(cross elasticity of demand) - отношение процентного изменения спроса на 1 товар к процентному изменению цены на какой-либо др. товар. Положительное значение величины означает, что товары являются взаимозаменяемыми (субститутами), отрицательное значение показывает, что они взаимодополняющие (комплементы).где верхний индекс означает, что это эластичность спроса, а нижний индекс говорит о том, что это перекрёстная эластичность спроса, где под и подразумеваются два товара. То есть перекрёстная эластичность спроса показывает степень изменения спроса на 1 товар () в ответ на изменение цены др.товара ().

Билет №29. Оптимизационные задачи в экономике.

Участие в процессах обращения множества покупателей и продавцов предполагает необходимость учета таких факторов как конкуренция, законы спроса и предложения, а также то, что большинство условий здесь также имеет вероятностный характер.
основными оптимизационными задачами(вопросами) в экономике являются вопрос максимизации прибыли и вопрос минимизации издержек(затрат).

1) Максимизация прибыли считается возможной в совершенной рыночной конкуренции при условии, что маржинальная(предельная) прибыль фирмы будет равно нулю, то есть производная от ф-ции прибыли будет нулевой: П(х)`= (R(x) - C(x))`= R(x)` - C(x)`=0. Соответственно необходимое условие максимизации прибыли : R(x)` = C(x)` - маржинальная(предельная) выручка равна маржинальным(предельным) затратам.

Достаточным же условием считается: П(х)``<0

2) Минимизация издержек ( или правильнее говорит минимизация СРЕДНИХ издержек) AC(x)=C(x)/x считается возможной AC`(x)=0. Тогда AC`(x)=(C`(x)*x - C C`(x)*x - C(x ^2=0. Отсюда C`(x)*x - C(x)=0,

C`(x)*x = C(x) => C`(x) = C(x)/x = AC(x)

Соответственно, минимизации средних затрат(издержек) необходимым и достаточным условием является равенство предельных(маржинальных) издержек(затрат)и средних издержек(затрат).

1. Лекція 3. Джерела конституційного права України 2 год План.
2. Анализ риска - основа для решения проблем безопасности населения и окружающей среды
3. Введение9
4. Реферат на тему БРОНХООБСТРУКТИВНЫЙ СИНДРОМ Выполнила МЕДОЕВА З.
5. Найти более точное определение цели международных договоров являющихся источниками МЧП показать свое п
6. В течение более чем двухтысячелетнего периода идет не только развитие представлений о душе
7. реферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата філологічних наук Дніпроп
8. возраст нерест Виды пищи
9. Работа с графическим пакетом Corel Draw и создание тестовой программы в среде Visual Basic
10. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ КОД 1
11. на тему- Энергосбережение в Германии Исполнили- Москва оглавлен
12. Морские ежи
13. Тема классного часа- Москва и москвичи Задачи- 1
14. Языковая готовность к школе детей с общим недоразвитием речи
15. Введение Восстановление общественных связей в данный момент становятся актуальной проблемой общества
16. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии проявлять к ней устойчивый интерес
17. ВАРИАНТ 1 1 Модель развития науки согласно которой научные революции являются закономерным и необходи
18. дартмурского маньяка Джерома Монка терроризировавшего провинциальный городок
19. ВВЕДЕНИЕ Традиционной и наиболее развитой формой международных экономических отношений является мировая
20. Влияние никотина на организм подростк

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе