либо объекта служащий для отображения регистрации и передачи сообщений.html

Работа добавлена на сайт samzan.net:

2. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ Действительных случайных сигналов.

Цель работы: изучить и численно исследовать спектральные и корреляционные характеристики случайных сигналов;

Теоретическая часть

Сигналом называют процесс изменения во времени физического состояния какого-либо объекта, служащий для отображения, регистрации и передачи сообщений.

Спектральное представление сигнала  представляет собой разложение его на сумму (конечную или бесконечную) элементарных гармонических сигналов с различными частотами. Спектральное представление как непериодических детерминированных, так и стационарных случайных, сигналов осуществляется путём разложения их в интеграл Фурье. В частотной области такие процессы характеризуются своим спектром . Процесс  и его спектр  взаимно связаны парой преобразований Фурье (соответственно прямым и обратным):

,  .

Корреляционная функция стационарного случайного процесса  есть функция сдвига между аргументами: . Она обладает следующими свойствами:

1.  ;
2.  ;
3.  

Стационарный случайный процесс  называют эргодическим, если его характеристики (математическое ожидание, дисперсия и корреляционная функция), найденные усреднением множества реализаций, совпадают с соответствующими характеристиками, полученными усреднением по времени одной реализации , которая наблюдалась на интервале достаточно большой длительности.

В качестве оценки корреляционной функции эргодического процесса , представленного своей временной реализацией  длины  принимают

.

Числовой характеристикой, служащей для оценки скорости изменения реализации случайного процесса, является интервал корреляции :

.

Если известна информация о поведении какой-либо реализации в прошлом, то возможен вероятностный прогноз на время .

Спектральной плотностью (спектром мощности) стационарного случайного процесса  называют функцию , которая связана с корреляционной функцией  взаимно обратными преобразованиями Фурье:

, .

Спектральная плотность стационарного случайного процесса  обладает следующими свойствами:

1.  если процесс  - вещественный, то ;
2.  . Спектральная плотность описывает распределение дисперсий случайного процесса по непрерывно изменяющейся частоте .
3.  .

Для действительных процессов выполняется:

.

Эффективной шириной спектра называется величина . Вне пределов эффективной ширины спектра спектральную плотность мощности считают равной 0.

При численном моделировании (обработке) процессов непрерывный во времени сигнал заменяется дискретным рядом. Когда реализация  представлена временным рядом с интервалом дискретизации , длина реализации  связана с объёмом выборки  равенством . Предполагается, что рассматриваемая реализация имеет периодический характер и период её равен . Непрерывная реализация  заменяется временным рядом , где , а непрерывное преобразование Фурье – дискретной последовательностью , . Соответствующая пара преобразований Фурье определяется формулами

,  ,

,  .

Свойства ДПФ

1. ДПФ — линейно, т.е. сумме сигналов соответствует сумма их спектров.

2.  и  — периодические функции по модулю

3.  — постоянная составляющая

.

4. Для действительных процессов, т.к.  спектр симметричен

.

Вычисление спектральной плотности по временной реализации через преобразования Фурье

Пусть имеются  реализаций случайного процесса длиной , и для каждой вычислен спектр

,

тогда

.

Периодограммный метод позволяет получать оценку спектральной плотности непосредственно по исходному набору данных. Для того чтобы получить статистически устойчивую спектральную оценку, имеющиеся массив данных необходимо разбить на перекрывающиеся сегменты и в последующем усреднить выборочные спектры, полученные по каждому такому сегменту. Параметры этого усреднения изменяются посредством соответствующего выбора числа отсчетов на сегмент (NSАМР) и число отсчетов, на которое необходимо сдвинуть начало следующего сегмента (NSHIFT). Обычно NSHIFT= NSАМР/2.

При малом значении параметра NSАМР получается больше сегментов, по которым будет производиться усреднение, а следовательно, будут получаться оценки с меньшей дисперсией, но также и с меньшим разрешением. Увеличение параметра NSАМР повышает спектральное разрешение, но, естественно, за счет увеличения дисперсии из-за меньшего числа усредняемых сегментов.

Процедура, которая начинается с использования низкого разрешения и высокой устойчивости, с последующим переходом к периодограммным оценкам с большим разрешением и более низкой устойчивостью называется закрытием (т. е. уменьшением размера) окна. Это название относится к ширине окна, которая устанавливается посредством выбора параметра NSАМР. Закрытие окна достигается за счет уменьшения числа сегментов при одновременном увеличении их длины.

2.2 Порядок выполнения работы

Для КАЖДОГО из исследуемых процессов:

1.  гармонический сигнал;
2.  телеграфный сигнал;
3.  процесс авторегрессии 1–го порядка;
4.  зашумленный сигнал: гармонический сигнал + 20* авторегрессия

построенных в соответствии с параметрами, указанными в вариантах, проделать следующие процедуры:

•  Графически показать временную реализацию
•  Построить нормированную корреляционную функцию , используя ее непосредственный расчет по временной реализации сигнала
•  Выполнить прямое преобразование Фурье сигнала. Графически отобразить модуль спектра .
•  Получить спектральную плотность с помощью преобразования Фурье корреляционной функции
•  Периодограммным методом получить спектральную плотность для различного разрешения. Сравнить  со спектральной плотностью, полученной ранее.

2.3 Контрольный пример

     Случайный сигнал      Нормированная корреляционная функция

        

Мгновенный спектр сигнала Спектральная плотность, полученная

   преобразованием Фурье корреляционной функции

Спектральная плотность, полученная усреднением квадратов модуля спектра

число отсчетов в сегменте 500    число отсчетов в сегменте 100

2.4 Контрольные вопросы

1.  Что такое спектральное представление процесса?
2.  Как связаны между собой временная реализация и спектр?
3.  Какими свойствами обладает спектр сигнала?
4.  Как изменится спектр, если сигнал умножить на какое-либо число?
5.  Какие особенности имеют действительная и мнимая компоненты спектра действительного сигнала?
6.  Дайте определение корреляционной функции случайного процесса.
7.  Какие свойства имеет корреляционная функция стационарного процесса?
8.  Дайте определение спектральной плотности (спектра мощности) случайного процесса.
9.  Что характеризует спектр мощности?
10.  Какими свойствами обладает спектральная плотность?
11.  Как определить спектральную плотность по временной реализации?
12.  В чем заключается периодограммный метод построения спектральной плотности?
13.  Как связаны между собой корреляционная функция и спектральная плотность?
14.  Какими свойствами обладает дискретное преобразование Фурье?

2.5 Варианты

Для построения сигналов  использовать свой номер варианта N

1.  Гармонический сигнал: А1=N, A2=2N, w1=N, w2=5N-1
2.  Телеграфный сигнал: l=10/ N;
3.  Процесс авторегрессии: f1=0.N (например, N=9, f1=0.9)
4.  Зашумленный сигнал: суммировать гармонический сигнал и 20-ти кратно увеличенный процесс авторегрессии.

1. Этапы развития географической науки
2. Задание 4 1
3. ЗАДАНИЕ К САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ 1 СТРОЕНИЕ ВЕЩЕСТВА И ХИМИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА ЗАДАНИЕ 1 Дайте ответы на
4. бытового корпуса ресурсный метод наименование работ и затрат наименование объекта
5.  Сущность и перспективы развития глобализации международного бизнеса 1
6. Реконструкция жилого дома
7. . Методологические и организационные основы аудита затрат на производство 1
8. Революция и культура. Революционное искусство Советской России в 1917 - начале 1930-х гг
9. заданием должен решить ряд взаимосвязанных вопросов по организации работы поточной линии по выработке пище
10. Управление маркетингом в компании ООО
11. форма государства
12. Методические рекомендации по техникоэкономическому обоснованию кондиций для подсчета запасов месторожден
13. Завещание Оскара Уайльда это биографический и литературоведческий роман написанный в сложной манере
14. Я знаю что я слишком остро прореагировала но если честно то и он тоже
15. Производственные системы предприятия
16. Будівельні дорожні машини та будівництво Комплект документів на подання заявки на винахід
17. массы применим только там где мы имеем дело с людьми которых в силу либо просто их количества либо равн
18. Бюджетная система Республики Беларусь.html
19. 14 16-30 Великобритания Пр
20. сотрудник Центра европейской социологии Коллеж де Франс и факультета социологии Калифорнийского университ

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе