Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
2. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ Действительных случайных сигналов.
Цель работы: изучить и численно исследовать спектральные и корреляционные характеристики случайных сигналов;
Теоретическая часть
Сигналом называют процесс изменения во времени физического состояния какого-либо объекта, служащий для отображения, регистрации и передачи сообщений.
Спектральное представление сигнала представляет собой разложение его на сумму (конечную или бесконечную) элементарных гармонических сигналов с различными частотами. Спектральное представление как непериодических детерминированных, так и стационарных случайных, сигналов осуществляется путём разложения их в интеграл Фурье. В частотной области такие процессы характеризуются своим спектром . Процесс и его спектр взаимно связаны парой преобразований Фурье (соответственно прямым и обратным):
, .
Корреляционная функция стационарного случайного процесса есть функция сдвига между аргументами: . Она обладает следующими свойствами:
Стационарный случайный процесс называют эргодическим, если его характеристики (математическое ожидание, дисперсия и корреляционная функция), найденные усреднением множества реализаций, совпадают с соответствующими характеристиками, полученными усреднением по времени одной реализации , которая наблюдалась на интервале достаточно большой длительности.
В качестве оценки корреляционной функции эргодического процесса , представленного своей временной реализацией длины принимают
.
Числовой характеристикой, служащей для оценки скорости изменения реализации случайного процесса, является интервал корреляции :
.
Если известна информация о поведении какой-либо реализации в прошлом, то возможен вероятностный прогноз на время .
Спектральной плотностью (спектром мощности) стационарного случайного процесса называют функцию , которая связана с корреляционной функцией взаимно обратными преобразованиями Фурье:
, .
Спектральная плотность стационарного случайного процесса обладает следующими свойствами:
Для действительных процессов выполняется:
.
Эффективной шириной спектра называется величина . Вне пределов эффективной ширины спектра спектральную плотность мощности считают равной 0.
При численном моделировании (обработке) процессов непрерывный во времени сигнал заменяется дискретным рядом. Когда реализация представлена временным рядом с интервалом дискретизации , длина реализации связана с объёмом выборки равенством . Предполагается, что рассматриваемая реализация имеет периодический характер и период её равен . Непрерывная реализация заменяется временным рядом , где , а непрерывное преобразование Фурье – дискретной последовательностью , . Соответствующая пара преобразований Фурье определяется формулами
, ,
, .
Свойства ДПФ
1. ДПФ — линейно, т.е. сумме сигналов соответствует сумма их спектров.
2. и — периодические функции по модулю
3. — постоянная составляющая
.
4. Для действительных процессов, т.к. спектр симметричен
.
Вычисление спектральной плотности по временной реализации через преобразования Фурье
Пусть имеются реализаций случайного процесса длиной , и для каждой вычислен спектр
,
тогда
.
Периодограммный метод позволяет получать оценку спектральной плотности непосредственно по исходному набору данных. Для того чтобы получить статистически устойчивую спектральную оценку, имеющиеся массив данных необходимо разбить на перекрывающиеся сегменты и в последующем усреднить выборочные спектры, полученные по каждому такому сегменту. Параметры этого усреднения изменяются посредством соответствующего выбора числа отсчетов на сегмент (NSАМР) и число отсчетов, на которое необходимо сдвинуть начало следующего сегмента (NSHIFT). Обычно NSHIFT= NSАМР/2.
При малом значении параметра NSАМР получается больше сегментов, по которым будет производиться усреднение, а следовательно, будут получаться оценки с меньшей дисперсией, но также и с меньшим разрешением. Увеличение параметра NSАМР повышает спектральное разрешение, но, естественно, за счет увеличения дисперсии из-за меньшего числа усредняемых сегментов.
Процедура, которая начинается с использования низкого разрешения и высокой устойчивости, с последующим переходом к периодограммным оценкам с большим разрешением и более низкой устойчивостью называется закрытием (т. е. уменьшением размера) окна. Это название относится к ширине окна, которая устанавливается посредством выбора параметра NSАМР. Закрытие окна достигается за счет уменьшения числа сегментов при одновременном увеличении их длины.
2.2 Порядок выполнения работы
Для КАЖДОГО из исследуемых процессов:
построенных в соответствии с параметрами, указанными в вариантах, проделать следующие процедуры:
2.3 Контрольный пример
Случайный сигнал Нормированная корреляционная функция
Мгновенный спектр сигнала Спектральная плотность, полученная
преобразованием Фурье корреляционной функции
Спектральная плотность, полученная усреднением квадратов модуля спектра
число отсчетов в сегменте 500 число отсчетов в сегменте 100
2.4 Контрольные вопросы
2.5 Варианты
Для построения сигналов использовать свой номер варианта N