Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения
высшего профессионального образования «Уфимский государственный нефтяной
технический университет» в г. Салавате
КУРС ЛЕКЦИИ ПО РАЗДЕЛУ МАТЕМАТИКИ
«Дифференциальные уравнения»
Составитель: Хазиев Ф.М.
Салават 2012
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Определения
Определение 1. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную , искомую функцию и её производные и записывается
Если искомая функция есть функция одной независимой переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным. Если же независимых переменных две или больше, то уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.
Определение 2. Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.
Например:
Определение 3. Решением дифференциального уравнения называется всякая функция , которая, будучи подставлена в уравнение, превращает его в тождество.
Дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид . Если это уравнение можно разрешить относительно , то его можно записать в виде . Для такого уравнения справедлива теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения:
Т е о р е м а. Если в уравнении функция и её частная производная по непрерывны в некоторой области на плоскости , содержащей некоторую точку , то существует единственное решение этого уравнения удовлетворяющее условию: при
Условие, что при , называется начальным условием и записывается или .
Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция которая зависит от одного произвольного постоянного и удовлетворяет условиям:
- она удовлетворяет дифференциальному уравнению при любом конкретном значении постоянного ;
- каково бы ни было начальное условие , можно найти такое значение , что функция удовлетворяет данному начальному условию.
Частным решением называется любая функция , которая получается из общего решения если в последнем произвольному постоянному придать определённое значение .
Уравнения с разделёнными и разделяющимися переменными
Рассмотрим дифференциальное уравнение вида
где правая часть есть произведение функции, зависящей только от , на функцию, зависящую только от , преобразуем его следующим образом
Последнее равенство можно рассматривать как равенство двух дифференциалов, а неопределённые интегралы от них будут отличаться постоянным слагаемым. Интегрируя, получим
Дифференциальное уравнение типа
называют уравнением с разделёнными переменными. Общий интеграл его равен
.
Уравнение вида
называется уравнением с разделяющимися переменными. Оно может быть приведено к уравнению с разделёнными переменными путём деления обеих его частей на выражение :
,
или
Однородные уравнения первого порядка
Прежде чем перейти к рассмотрению вопроса о решении однородных уравнений первого порядка познакомимся с понятием однородных функции.
Определение 1. Функция называется однородной функцией -го измерения относительно переменных и , если при любом справедливо тождество
.
Так, например, функция однородная функция первого измерения, т.к. ;
функция однородная функция нулевого измерения, т.к. ;
функция не однородная функция, т.к. однородная функция первого измерения, а однородная функция четвёртого измерения.
Определение 2. Уравнение первого порядка называется однородным относительно и , если функция есть однородная функция нулевого измерения относительно и .
Однородные уравнения первого порядка приводятся к уравнениям с разделяющимися переменными с помощью подстановки
Уравнение вида будет однородным тогда и только тогда, когда функции и будут однородными функциями одного и того же измерения.
Например, однородное уравнение;
не однородное уравнение.
Замечание: Уравнения вида при приводятся к однородным подстановкой где точка пересечения прямых и Таким образом, для определения и необходимо решить систему уравнений:
Если же , то подстановка позволяет разделить переменные.
Пример 1. Решить уравнение .
Вычислим определитель . Найдем точку пересечения прямых :
Произведем в исходном уравнении замену переменных: , тогда
Уравнение преобразуется к виду . Это однородное уравнение, которое решается с помощью подстановки .
Зная, что , получим или Из замены имеем , тогда
или .
Линейные уравнения первого порядка
Определение. Линейным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и её производной.
Линейное уравнение первого порядка имеет вид:
(1)
где заданные непрерывные функции от или постоянные числа.
Решение линейного уравнения будем искать в виде произведения двух функции от :
(2)
где . Дифференцируя обе части последнего выражения, получим:
(3)
Значения подставим в данное уравнение (1)
или
Выберем функцию такой, чтобы
, (4)
тогда . (5)
Решив сначала уравнение (4) и затем уравнение (5), найдём значения и . Подставив значения и в (2) найдём решение уравнения (1).
Замечание: Уравнение вида , (6)
где и , называется уравнением Бернулли.
Уравнение Бернулли приводится к линейному следующим преобразованием: разделим все члены уравнения на
(7)
и произведём замену . (8)
Тогда . (9)
Подставив значения (8) и (9) в (7), получим или
(10)
Решив линейное уравнение (10) и учитывая, что , найдём решение уравнения (6).
Заметим, что уравнение (6) часто можно решить как и линейное уравнение с помощью подстановки .
Уравнение в полных дифференциалах
Определение. Уравнение
называется уравнением в полных дифференциалах, если и - непрерывные, дифференцируемые функции, для которых выполняется соотношение
Левая часть такого уравнения есть полный дифференциал некоторой функции . Если это уравнение переписать в виде , то его общее решение определяется равенством Функция может быть найдена по формуле
.
Дифференциальные уравнения высших порядков
Дифференциальное уравнение го порядка имеет вид:
или, если его можно разрешить относительно ой производной,
Для этих уравнений имеет место теорема о существовании и единственности решения:
Если в уравнении функция и её частные производные по аргументам непрерывны в некоторой области, содержащей значения то существует и притом единственное решение уравнения, удовлетворяющее условиям
Эти условия называются начальными условиями.
Общим решением дифференциального уравнения го порядка называется функция зависящая от произвольных постоянных и такая, что:
постоянные можно подобрать так, что функция будет удовлетворять этим условиям.
Всякая функция, получающаяся из общего решения при конкретных значениях постоянных , называется частным решением.
Уравнения вида
Простейшим уравнением го порядка является уравнение вида . Такие уравнения решаются путём интегрирования левой и правой части раз.
. . . . . . . . . . .
Пример 2. Решить уравнение
.
Уравнения второго порядка, приводящиеся к уравнениям первого порядка
Пример 3. Решить уравнение
Это уравнение не содержит явным образом искомую функцию . Выполним подстановку , тогда . Значения и подставим в уравнение: . В результате получим линейное уравнение первого порядка, которое решается с помощью подстановки : или . Функцию выберем такой, чтобы , , , , тогда , откуда или . Следовательно, , , .
Пример 4. Решить уравнение
Уравнение не содержит явным образом независимую переменную , следовательно, после подстановки в уравнение, получим или , , , . Зная, что , имеем , , , , .
Линейные однородные уравнения. Определения и общие свойства
Определение. Дифференциальное уравнение го порядка называется линейным, если оно первой степени относительно искомой функции и её производных и имеет вид , где и - заданные функции от или постоянные.
Если то уравнение называется неоднородным, если же то уравнение называется линейным однородным уравнением.
Определим некоторые основные свойства линейных однородных уравнений, ограничиваясь уравнениями второго порядка:
Определение. Два решения уравнения и называются линейно независимыми на отрезке , если их отношение на этом отрезке не является постоянным, т.е. если .
Определение: Если и функции от , то определитель называется определителем Вронского.
Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Пусть дано однородное уравнение второго порядка
, (1)
где и - постоянные числа.
Согласно свойству (4) для определения общего решения уравнения надо найти два линейно независимых частных решения. Будем искать частные решения в виде
, где .
Тогда .
Подставим полученные выражения в данное уравнение
,
откуда, т.к. , (2)
Уравнение (2) называется характеристическим уравнением уравнения (1). Решение уравнения (2) имеет вид:
Возможны следующие случаи:
Рассмотрим каждый случай отдельно:
В этом случае , причём т.к. , следовательно, общее решение по свойству (4) имеет вид
Одно частное решение можно искать в виде , но второе уже искать в таком же виде нельзя, т.к. они окажутся линейно зависимыми. Второе частное решение будем искать в виде , где . Тогда и
. Подставим значения в уравнение (1):
.
Т.к. корень характеристического уравнения, то , кроме того , т.к. корни равны между собой. Следовательно, , откуда . Решая последнее уравнение получим . Полагая получим . Следовательно, второе частное решение можно искать в виде . Заметим, что . По свойству (4) имеем , т.е.
В этом случае . . Следовательно,
.
Обозначим и , тогда по свойству (4) общее решение:
Линейные однородные уравнения го порядка с постоянными коэффициентами
Рассмотрим линейное однородное уравнение го порядка:
Для этого уравнения справедлива следующая теорема:
Если функции являются линейно независимыми решениями данного уравнения, то его общее решение суть
где произвольные постоянные.
Если коэффициенты данного уравнения постоянны, то общее решение находится так же, как и в случае уравнения второго порядка:
4. Найдя линейно независимых частных решений , строим общее решение данного линейного уравнения
Описанные выше шаги можно объединить в таблицу:
Характер корня
характеристического Частные решения уравнения
уравнения
1. простой
вещественный
корень
2. вещественный
корень
кратности
3. простые
комплексные
сопряжённые корни
4. комплексные
сопряжённые корни
кратности
Неоднородные линейные уравнения второго порядка
Неоднородное линейное уравнение второго порядка имеет вид
Общее решение данного уравнения определяется как сумма какого-нибудь частного решения этого уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения
Так как общее решение однородного уравнения мы уже умеем находить, то основная задача при интегрировании неоднородного уравнения состоит в нахождении какого-нибудь его частного решения .
Укажем общий метод нахождения частных решений неоднородного уравнения, который называется методом вариации произвольных постоянных.
Общее решение однородного уравнения имеет вид . Будем искать частное решение неоднородного уравнения в такой же форме, предполагая и как некоторые пока неизвестные функции от , т.е.
, (1)
где .
Продифференцируем равенство (1): (2)
Подберём и так, чтобы выполнялось равенство , тогда
(3)
(4)
Подставляя (1), (3) и (4) в уравнение , получим
или
Т.к. и - решения однородного уравнения , то и , следовательно . Таким образом, выражение (1) будет решением неоднородного уравнения в том случае, если и удовлетворяют системе уравнений:
(5)
Так как определителем этой системы является определитель Вронского для линейно независимых решений и уравнения , то он не равен нулю; следовательно, решая систему, мы найдём и как определённые функции от : . Интегрируя, получим , .
Подставив значения и в выражение (1), найдём общее решение неоднородного уравнения.
Решение уравнения , где правая часть есть сумма двух функций и , можно представить в виде суммы , где и есть соответственно решения уравнений
Неоднородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Неоднородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеют вид:
, (1)
где и - действительные числа.
В предыдущей теме мы ознакомились с общим методом нахождения решения неоднородного уравнения. В случае уравнения с постоянными коэффициентами частное решение иногда бывает возможно найти проще, не прибегая к методу вариации произвольных постоянных. Рассмотрим несколько таких возможностей для данного уравнения (1).
(2)
Возможны следующие случаи:
В этом случае частное решение следует искать в виде
(3)
Найдём производные до второго порядка и подставим в уравнение (1):
или
(4)
многочлен степени , многочлен степени , многочлен степени . Таким образом, слева и справа от знака равенства стоят многочлены ой степени. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получим систему уравнений для определения неизвестных коэффициентов .
В этом случае, т.к. корень характеристического уравнения, то и слева в равенстве (4) будет стоять многочлен ой степени, а справа ой степени. Следовательно, ни при каких равенство (4) не было бы тождеством. Поэтому в рассматриваемом случае частное решение нужно брать в виде многочлена степени, но без свободного члена, т.к. свободный член этого многочлена исчезнет при определении производной:
(5)
Тогда в равенстве (4) кроме того, что , ещё и . Следовательно, в левой части равенства (4) остаётся многочлен ой степени. Для того, чтобы в результате подстановки получить многочлен степени , следует частное решение искать в виде произведения показательной функции на многочлен ой степени . При этом свободный член и член первой степени этого многочлена исчезнут при дифференцировании:
(6)
, (7)
где и - многочлены от , то форма частного решения определяется так:
то
(8)
где и - многочлены, степень которых равна наивысшей степени многочленов и ;
то
. (9)
Замечание. Указанные формы частных решений (8) и (9) сохраняются и в том случае, когда в правой части уравнения (1) один из многочленов и тождественно равен нулю, т.е. когда правая часть имеет вид или
Неоднородные линейные уравнения высших порядков
Пусть дано неоднородное линейное уравнение
(1)
где непрерывные функции от или постоянные числа. Пусть нам известно общее решение
(2)
соответствующего однородного уравнения
(3)
Для уравнения (1) справедливо утверждение: «Если общее решение однородного уравнения (3), а частное решение неоднородного уравнения (1), то есть общее решение неоднородного уравнения».
Как и в случае уравнения второго порядка, частное решение уравнения (1) можно находить по способу вариации произвольных постоянных, считая в выражении (2) функциями от .
(4)
В случае неоднородного уравнения высшего порядка с постоянными коэффициентами частные решения иногда находятся проще, а именно:
Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
Рассмотрим систему уравнений первого порядка
( 1 )
гдеискомые функции, аргумент.
Такая система, когда в левой части уравнений стоят производные первого порядка, а правые части не содержат производных, называется нормальной.
Решить систему – значит определить функции , удовлетворяющие системе уравнений (1) и данным начальным условиям:
( 2 )
Интегрирование системы (1) производится следующим образом.
Дифференцируем по первое из уравнений (1):
Заменяя производные их выражениями из уравнений (1), будем иметь уравнение
.
Дифференцируя полученное уравнение и поступая аналогично предыдущему, получим:
.
Продолжая далее, таким же образом получим, наконец, уравнение
.
Итак, получим следующую систему:
( 3 )
Из первых уравнений определим выразив их через и производные :
( 4 )
Подставляя эти выражения в последнее из уравнений (3), получим уравнение порядка для определения :
. ( 5 )
Решая уравнение (5), определим :
( 6 )
Дифференцируя выражение (6) раз, найдём производные
как функции от . Подставляя эти функции в (4), получим :
( 7 )
Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Пусть дана система дифференциальных уравнений
( 1 )
где постоянные, аргумент, искомые функции, . Система (1) называется системой линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Эту систему можно решать путём сведения к одному уравнению го порядка, которое в данном случае будет линейным. Но можно решать систему (1) и другим методом, не сводя к уравнению го порядка. Этот метод даёт возможность более наглядно анализировать характер решений.
Будем искать решение системы в виде:
( 2 )
Надо определить постоянные и так, чтобы функции удовлетворяли системе уравнений (1), т.е.
Сократив на , перенеся все члены в одну сторону и собрав коэффициенты при , получим систему уравнений
( 3 )
Выберем и такими, чтобы удовлетворялась система (3). Эта система есть система линейных однородных алгебраических уравнений относительно . Из курса линейной алгебры следует, что она будет иметь нетривиальное решение, если
( 4 )
Это уравнение называется характеристическим уравнением для системы (1), его корни называются корнями характеристического уравнения.
В качестве примера рассмотрим случай, когда корни характеристического уравнения - действительные и различные.
Для каждого корня напишем систему уравнений (3) и определим коэффициенты
.
Можно показать, что один из них произвольный, его можно считать равным единице. Таким образом, получаем:
для корня решение системы (1)
для корня решение системы (1)
для корня решение системы (1)
.
Путём непосредственной подстановки в уравнения можно убедиться, что система функций
( 5 )
где произвольные постоянные, тоже является решением системы дифференциальных уравнений (1). Это есть общее решение системы (1)
Использованная литература:
Пискунов Н.С., Дифференциальное и интегральное исчисления: для ВТУЗов, т.1,2. –М.: «Наука», 1970. -576 с.
Фролов С.В., Курс высшей математики: учебное пособие для студентов вузов. т.1,2. –М.: Высшая школа, 1973. -400 с.
Глаголев Ф.Ф., Солнцева Т.В., Курс высшей математики. –М.: Высшая школа, 1971. -654с.
Запорожец Г.И., Руководство к решению задач по математическому анализу –М.: Высшая школа, 1964. -479 с.
Данко П.Е. , Попов А.Г., Высшая математика в упражнениях и задачах: учебное пособие для студентов втузов, ч. 2. –М.: Высшая школа, 1974. -416 с.
Задачи и упражнения по математическому анализу для ВТУЗов под редакцией Б.П.Демидовича. –М: Наука, 1970. -472с.
Берман Г.Н., Сборник задач по курсу математического анализа. –М: «Наука».1985. – 383 с.
Дюбюк П.Е. и др., Сборник задач по курсу высшей математики. –М: «Высшая школа». 1965. – 591 с.