17431
Работа добавлена на сайт samzan.net:
Пусть дано дифференциальное уравнение второго порядка
F(x, у, у', у")=0.
Двухточечная краевая задача для уравнения ставится следующим образом: найти функцию у = у(х), которая внутри отрезка удовлетво ряет уравнению, а на концах отрезка — краевым условиям:
1[y(a),y(a)]=0, 2[y(b),y(b)]=0
Рассмотрим случай, когда уравнение и граничные условия ли нейны. Такая краевая задача называется линейной краевой задачей. В этом случае дифференциальное уравнение и краевые условия записываются так:
y(x)+p(x) y+q(x) y=f(x)
a0 y(a)+a1y(a)=A
b0 y(b)+b1y(b)=B
yгде р(х),q(x),f(х) — известные непрерывные на отрезке [а, b] функции,a0 ,a1 ,b0 ,b1 ,A,B — заданные постоянные, причем | |a0|+| a1| 0 и |b0|+|b1|0. Если a1= b1=0, то такое условие называется условием первого рода. Если a0= b0=0, то такое условие называется условием второго рода. Иначе эти условия называются смешанными.
Если А=B=0, то краевые условия называются однородными. Задача заключается в том, чтобы найти функцию y(x), удовлетворяющую как дифференциальному уравнению, так и граничным условиям. Краевая задача может не иметь решений, может иметь единственное решение, иметь много решений(или даже бесконечно много).
1) Рассмотрим краевую задачу y+y=0, y(0)=y()=0. Она имеет бесконечно много решений вида y=c sin(x).
2)Краевая задача y+y=0, y(0)=y(b)=1, где 0<b< имеет одно решение: y=sin(x)/sin(b).
3)Краевая задача y+y=0, y(0)=y()=1 не имеет решений.
В дальнейшем будем считать, что решение краевой задачи существует и единственно. Ме тоды приближенного решения поставленных краевых задач можно разбить на две группы: разностные методы и аналитические методы.
Метод конечных разностей для линейных дифференциальных
уравнений второго порядка
Пусть х0 = а, xN = b, xi = x0 + i h (i=1, 2, . . ., N — 1) — система равноотстоящих узлов с некоторым шагом h=(b-a)/N и pi=p(xi), qi=q(xi),fi=f(xi).Обозначим получаемые в результате расчета приближенные значе ния искомой функции у(х) и ее производных у' (х), у" (х) в узлах xi через yi , y'i , уi соответственно. Это будут неизвестные, их будет N+1.
Заменим приближенно в каждом внутреннем узле производные у'(xi),
у"(хi) конечно-разностными отношениями:
у'(xi)=(yi+1-yi-1)/(2h), у''(xi)=(yi+1-2yi +yi-1)/h2 . Точность аппроксимации первой и второй производной этими конечно-разностными отношениями равна O(h2). Если заменинить приближенно в каждом внутреннем узле производные у'(xi) = (yi+1-yi)/h , то точность аппроксимации в этом случае уменьшается и равна O(h). Если а1 0 или b10, то аппроксимация граничных условий в точках x=a или x=b возможна только через конечные разности первого порядка:
у'(a) = (y1-y0)/h, у'(b) = (yN-yN-1)/h. Точность аппроксимации в этом случае равна O(h). Если же а1 = 0 и b1=0 (краевые условия первого рода), то пошгрешность аппросимации этих условий равна нулю! Таким образом, дифференциальное уравнение можно аппроксимировать конечно- разностными отношениями с точностью до O(h2). Таких уравнений будет N-1(столько же, сколько внутренних узлов). Оставшиеся 2 уравнения получим из граничных условий. Таким образом, запишем N+1 уравнений во внутрених точках отрезка:
y+p(x) y+q(x) y=f(x)
(yi+1-2yi +yi-1)/h2+pi(yi+1-yi-1)/(2h)+qiyi=fi
(1+h pi/2) yi+1+ (h2 qi -2) yi + (1-h pi/2) yi-1=h2 fi при i=1,N-1
Для краевых условий a0 y(a)+a1y(a)=A,b0 y(b)+b1y(b)=B уравнения будут записаны так:
a0 y0+a1(y1-y0)/h=A или a1y1+ (a0h-a1) y0=Ah
b0 yN+b1(yN-yN-1)/h=B или – b1yN-1 +(hb0 –b1 )yN =Bh
Полученная система относительно переменной y(x) называется трехдиагоннальной. Каждое уравнение системы содержит не более трех отличных от нуля коэффициентов. Она решается методом прогонки.
Метод прогонки
Рассмотрим трехдиагональную систему:
ci yi-1 + ai yi +bi yi+1 =di
Здесь i=0,N, а ci , ai ,bi ,di –заданные числа, причем с0 =bN=0, так что y-1 в первое уравнение и yN+1 в последнее уравнение не входят. Таким образом, в первое и последнее уравнение состоит только из двух неизвестных, остальные из трех. Требуется определить yi . Будем искать решение в виде реккурентной процедуры
yi =pi yi+1 + qi , где pi и qi некоторые числа, пока неизвестные. Из первого уравнения системы a0 y0 +b0 y1 =d0 получаем :
y0 = -b0 / a0 y1 +d0/ a0 . Таким образом p0 = - b0 / a0 , q0 =d0 /a0 .
Исключим теперь из ci yi-1 + ai yi +bi yi+1 =di неизвестное yi-1 . Для этого подставим yi-1 =pi-1 yi + qi-1 .
Получим:
ci(pi-1 yi + qi-1) + ai yi +bi yi+1 =di , (cipi-1 + ai ) yi + bi yi+1 = di - ci qi-1 .
Отсюда: yi = - bi yi+1 /(cipi-1 + ai )+ (di - ci qi-1)/ (cipi-1 + ai ).
Таким образом, получены рекуррентные формулы для pi и qi:
pi = - bi /(cipi-1 + ai ),
qi =(di - ci qi-1)/ (cipi-1 + ai ) .
Рассмотрим последнее уравнение (n-е) системы:
cN yN-1 + aN yN =dN.
Подставим в него yN-1 =pN-1 yN +qN-1 .
Получим: cN (pN-1 yN +qN) + aN yN =dN ,
yN (cN pN-1 + aN)= dN - cN qN-1 или
yN= (dN - cN qN-1 )/ (cN pN-1 + aN) , что совпадает со значением qN.
Следовательно, yN=qN .
Алгоритм решение трехдиагональной системы из n+1 уравнений можно описать как итерационный процесс:
вычисляем p0 = - b0 / a0 , q0 =d0 /a0 ,
затем вычисляем числа pi = - bi /(cipi-1 + ai ), qi =(di - ci qi-1)/ (cipi-1 + ai), при i=1,n-1 и qn= (dn - cn qn-1 )/ (cn pn-1 + an) - прямой ход метода прогонки завершен.
Теперь полагаем yn=qn, и по уже полученным числам pi ,qi можно вычислить yi =pi yi+1 + qi для i=n-1,0 обратный ход метода прогонки.
Формирование СЛАУ при решения краевой задачи. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
Для формирования системы необходимо ввести координаты начала и конца отрезка [a,b], в которых заданы краевые условия, а также число делений этого отрезка N. Точек, в которых будет разыскиваться решение краевой задачи, будет N+1. Также необходимо задать коэффициенты в линейных краевых условиях
a0 y(a)+a1y(a)=A
b0 y(b)+b1y(b)=B
Обозначим a0 ,a1,A b0 ,b1 ,B через a0,a1,ca, b0,b1,cb. Также необходимо задать информацию об функциях p(x) ,q(x) ,f(x). Тогда
заполнение массивов mc,ma,mb,md, содержащие коэффициенты c,a,b,d реализуется следующими операторами:
h:=(b-a)/n;
for i:=1 to n-1 do
begin
x:=a+h*i;
mb[i]:=1+h/2*p(x);
ma[i]:=q(x)*h*h-2;
mc[i]:=1-h/2*p(x);
md[i]:=f(x)*h*h;
end;
mc[0]:=0;
ma[0]:=-a1+h*a0;
mb[0]:=a1;
md[0]:=ca*h;
mc[n]:=-b1;
ma[n]:=b1+h*b0;
mb[n]:=0;
md[n]:=cb*h;
Для решения краевой задачи необходимо задать: a,b,N, a0,a1,ca, b0,b1,сb,eps,nn. Здесь N число одинаковых отрезков, на которые разбивается первоначальный отрезок [a,b] ,eps – точность решения задачи. Если решается краевая задача с условиями первого рода
(a1=0,b1=0),то eps=10-8, если решается краевая задача, в которой a1 0 или b1 0, то eps=10-5. Переменная nn задает максимальную размерность массивов. Решения производится сначала для N+1 точек,затем уточняется для 2N+1 точек. Если точность eps не достигнута, то N удваивается. Процесс решения происходит до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность, либо нельзя будет удвоить N из-за нехватки памяти. Для уточнения решения применяется прием Рунге_Ромберга: сначала решим краевую задачу с шагом h, затем с шагом h/2. Вид линейной комбинация таких решений зависит от вида краевого условия: если условие первого рода(y(a)=A, y(b)=B), то yt=yh/2+(yh/2-yh)/3, иначе yt=yh/2+(yh/2-yh)/1. Это связано с точность аппроксимации граничных условий в первом случае равна нулю и точность решения краевой задачи в этом случае определяется погрешностью аппроксимации уравнений, это величина O(h2). Для всех остальных случаев точность решения краевой задачи определяется погрешностью аппроксимации граничных условий, это величина O(h). Для тестирования программы решалась две краевые задачи для линейного уравнения с постоянными коэффициентами:
y(x)-3 y(x)+2 y(x)=0
1) y(0)=1
y(1)=e
2) y(0)+y(0)=2
y(1)+y(1)=2e
В этом случае p(x)=-3, q(x)=2, f(x)=0. Найдем точные решения обеих краевых задач. Это необходимо только для проверки программы. Для нахождения общего решения уравнения составим характеристическое уравнение:
T2-3T+2=0, его корни T1=1, T2=2. Таким образом, общее решение линейного дифференциального уравнения:
y(x)=C1ex+C2e2x
Для решения первой краевой задачи решим систему:
C1+C2=1
C1e+ C1e2=e
Она имеет решение C2=0, C1=1, точное решение первой краевой равно: y(x)=ex.
Теперь решим систему для второй краевой задачи и определим значения постоянных C1 и C2 , при которых общее решение удовлетворяет краевым условиям:
C1+C2+C1+2C2=2
C1e+ C2e2+ C1e+ 2C1e2=2e
Отсюда C2=0, C1=1. Следовательно, точное решение этой краевой задачи y(x)=ex.
Блок – схема основной программы приведена ниже. Все массивы начинаются с нуля. В процедуре FORSYS формируется трехдиагональная система, процедура RESSYS решает эту систему методом прогонки. Используются два решения – с шагом h(массив y1) и с шагом h/2(массив y2). Решения одной точке - элементы массивов y1[i] и y2[2*i]. В них сравнивается точность решения. Размерность y1 равна N/2, размерность y2 – N. В зависимости от типа краевых условий меняется вид поправки по правилу Рунге-Ромберга. Если точность решения не достигнута и можно уменьшить шаг, то переходим к два раза меньшей сетке(y1=y2). Если точность решения достигнута, или нет больше памяти, выводим результаты решения. Это массив yt, имеющий размерность N/2. Это более точное решение, чем y2 и тем более чем y1, так как это решение было уточнено по правилу Рунге-Ромберга. Критическим в решении этих краевых задач оказался параметр nn- максимальная размерность массивов. Задавалась точность 10-8, nn=1500.
При этих условиях вторую краевую задачу удалось решить с точностью приблизительно до 10—4. Без использования правила Рунге-Ромберга точность решения приблизительно 10—3. Для первой краевой задачи точность решения приблизительно 10—8, без использоввания правила Рунге-Ромберга точность решения изменилась незначительно. Под точностью решения понималась максимальная по модулю (или средняя) разность между приближенным и точным решением. При точности 10-3 достаточно было N=10 для первой краевой задачи и N=640 для второй краевой задачи. Такие результаты объясняются тем, что наличие производных в краевых условиях приводит к загрублению аппроксимации задачи. В этом случае при использоввании правила Рунге-Ромберга точность решения резко возрастает.
Решение краевых задач для уравнений с частными производными
Напомним, что уравнения частных производных это уравнения, содержащие неизвестную функцию под знаком частной производной. Краевые задачи ставятся для уравнений эллиптического типа. Наиболее простыми и распространенными из таких уравнений являются:
a) - уравнение Лапласа(частный случай уравнения Пуассона).
б) - уравнение Пуассона. Здесь уравнения Лапласа или Пуассона заданы в области G, ограниченной контуром Г.
Область может быть ограниченной или не ограниченной. Для областей простой формы(круг,шар, цилиндр.полуплоскость) применяется аналитические методы решения краевых задач.
Наиболее часто встречающимися краевыми задачами являются:
1)Задача Дирихле(первая краевая задача) – найти функцию U(x,y), удовлетворяющую в области G уравнению Лапласа или Пуассона, а на контуре Г – заданному условию U(x,y)Г=f(x,y), где f(x,y) – непрерывная на Г заданная функция. В качестве G может быть прямоугольник, круг, или вообще произвольная область.
2)Задача Неймана(вторая краевая задача) - найти функцию U(x,y), удовлетворяющую в области G уравнению Лапласа или Пуассона, а на контуре Г – заданному условию:
, где p(x,y) – непрерывная на Г заданная функция. Это обозначает , что нормальная производная на контуре Г от неизвестной функции U(x,y) принимает заданное значение.
3)Смешанная краевая задача(третья краевая задача) - найти функцию U(x,y), удовлетворяющую в области G уравнению Лапласа или Пуассона, а на контуре Г – заданному условию:
, где r(x,y) – непрерывная на Г заданная функция. Третья краевая задача является линейной комбинацией первой и второй краевой задачи. Задачи различаются как внутренние(область G ограниченна), так и внешние. Например, если задано граничное условие первого рода на окружности радиуса R и ищется решение уравнения Лапласа ВНУТРИ круга, то это внутренняя краевая задача, если ищется решение уравнения Лапласа ВНЕ круга – то это внешняя краевая задача.
Теорема. Для внутренней задачи Дирихле решение всегда существует и единственно. Оно однозначно определяется краевыми условиями.
Следует заметить, что не любая краевая задача для уравнений Лапласа или Пуассона может быть практически решена. Задачу называют корректно поставленной, если малым изменениям краевых условий соответствует малое изменение решения. Точнее, пусть заданны область G и дифференциальное уравнение в частных производных относительно неизвестной функции U(x,y), а также краевое условие d(x,y) на границе области Г. Будем изменять краевое условие на небольшую величину. В результате решение дифференциального уравнения также изменится. Задача называется корректно поставленной, если для любого >0 можно указать такое число >0, такое, что при изменении краевых условий задачи функции d(x,y) на величину меньшую по модулю чем , решение U(x,y) меняется меньше чем на . Примером некорректно поставленной задачи может служить уравнение Лапласа, заданное в полуплоскости y>0:
с условиями при y=0:
U(x,0)=0, Uy(x,0)=1/n cos(nx).
Единственным решением этой задачи будет функция:
U(x,y)=1/n2 cos(nx) (eny+e-ny)/2. Хотя при достаточно больших n U(x,0)< , Uy(x,0) < , тем не менее решение задачи не стремится к нулю, даже более того, оно не ограниченно при любом >0. Оно стремится к бесконечности при каждом фиксированном y>0. Действительно, если y>0, x=0 то U(0,y)=1/n2 (eny+e-ny)/2 будет стремится к бесконечности(неопределенность раскроем по правилу Лопиталя). Однако при U(x,0)=0, Uy(x,0)=0 единственным решением краевой задачи будет U(x,y)=0. Такую задачу невозможно решить обычными методами- любая малая погрешность в исходных данных приводит к большой погрешности в решении. Это пример некорректно поставленной задачи. Такие задачи решаются методами регуляризации.В подавляющем большинстве мы имеем дело с корректно поставленными задачами. К числу таких принадлежит и внутреняя задача Дирихле(первая краевая задача). Пусть задано уравнение Лапласа в прямоугольной области размером a на b, причем стороны прямоугольника параллельны осям, нижняя левая вершина прямоугольника совпадает с началом координат. Пусть также заданы краевые условия на всех четырех сторонах прямоугольника U(x,0)=g1(x), U(a,y)=g2(y), U(x,b)=g3(x), U(0,y)=g4(y). Зададим в области прямоугольную сетку из точек, равномерную по каждой из осей, hx – шаг по оси х, hy - шаг по оси y.
Для ее решения будем аппроксимировать частные производные конечно- разностными отношениями:
Здесь hx – шаг по оси х, hy - шаг по оси y. Тогда уравнение Лапласа можно аппроксимировать следующим образом:
2. темами на примере простых квантовых систем.
3. Степень выраженности личностных характеристик у женщин-сотрудников ОВД МВД России
4. Євроінтеграційна стратегія України і проблема її реалізації в глобальних умовах
5. Книги спасения
6. вариант автоматизации для предприятия наиболее выгоден и даст наибольший эффект следует рассмотреть ряд фа1
7. Кризисы в социальноэкономическом развитии Кризис как фундаментальное противоречие между функционирова
8. на тему- Учет затрат на производство и исчисление себестоимости продукции птицеводства
9. Грузия
10. Тема- Паренхиматозные дистрофии- диспротеинозы липидозы гликогенозы
11. Расчеты аккредитивами
12. тема стратификации требуется для того чтобы заполнить все статусы образующие социальную структуру и выраб
13. либо физических пределов ушли в небытие
14. Разработка бизнес-плана
15. Курсовая работа- Харчова цінність та оцінка якості зерна
16. Тема курсовой работы Анализ барьерной ставки доходности корпорации
17. Радостью Уважаемые коллеги Городской Центр развития семьи Радость Приморский край г Владивосток пр
18. Статья- Анализ и оценка качества некоторых молокосодержащих продуктов
19. Тема 1. Отношение мирчеловек как проблема философии
20. ния Увлечения Умения Домашний адрес И