Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
ис. 2.5. Поиск минимума методом покоординатного спуска
а)
б)
Лабораторная работа №2
Поисковая оптимизация теплообменного аппарата типа
«труба в трубе»
Целью работы является углубление знаний студентов о процессах теплообмена, происходящих в теплообменных аппаратах.
Основной задачей, решаемой при этом, является изучение влияния размеров проходных сечений для теплоносителей на площадь поверхности теплообмена, мощности, затрачиваемой на прокачивание теплоносителей, значение коэффициентов теплоотдачи, теплопередачи и т. д. в ходе оптимизационного проектирования теплообменника рассматриваемого типа.
При конструировании теплообменного оборудования часто стремятся получить аппарат наименьших размеров и металлоемкости. Этого можно добиться, если обеспечить достаточно большие скорости течения теплоносителей и, тем самым, высокую интенсивность теплопередачи. Однако, изменение габаритов может привести к увеличению затрат энергии на прокачивание теплоносителей, что, в свою очередь, ведет к росту эксплуатационных расходов, к интенсивному засорению каналов и т. п.
Проектирование абстрактного оптимального теплообменного аппарата в общем случае не имеет смысла. Понятие «оптимальный теплообменный аппарат» может быть использовано только для определенных (граничных) условий эксплуатации, для которых он проектируется. То есть граничные условия (исходные данные) являются теми пределами, в которых решается задача оптимизации.
При решении задачи оптимизации определяется экстремум (минимум или максимум) некой функции, которая называется целевой функцией. Целевая функция может зависеть от n-го количества аргументов (критериев).
y = f(x1, x2, …, xi, …, xn). (2.1)
Аргументы могут быть самыми различными и иметь различную размерность. В частности, применительно к теплообменным аппаратам (ТА), это могут быть площадь поверхности теплообмена, мощность, затрачиваемая на прокачивание теплоносителей, скорость коррозии конструкционных материалов, капитальные и эксплуатационные затраты и т. д.
Вид функциональной зависимости также может быть различным.
С целью учета влияния каждого из аргументов на значение целевой функции вводятся весовые коэффициенты или коэффициенты весомости – ai. Например:
y = a1 x1 + a2 x2 + … + ai xi + … + an xn. (2.2)
Очевидно, что увеличение значения любого из весовых коэффициентов увеличивает «весомость» его произведения на аргумент и, в свою очередь, влияние данного аргумента на значение целевой функции в целом. Значения весовых коэффициентов определяют концепцию расчета целевой функции, т. е. ставят ее в зависимость от того или иного аргумента. Весовые коэффициенты – размерные величины.
Как указывалось выше, задача оптимизации теплообменного аппарата является многокритериальной, причем отдельные требования могут противоречить одно другому. Одним из возможных способов реализации такого рода задач является построение единой целевой функции путем суммирования частных критериев с весовыми коэффициентами. В данной работе целевую функцию вводят следующим образом, м2:
Z = F + СP min. (2.3)
Здесь F − площадь поверхности теплообмена м2; P − суммарные затраты мощности на прокачивание теплоносителей, Вт; C − весовой коэффициент (коэффициент весомости), м/Вт.
Таким образом, значение C определяет "весомость" второго слагаемого в (2.3) при расчете значения целевой функции. Z является функцией двух переменных величин – внутреннего диаметра внутренней трубы (d1), и эквивалентного диаметра кольцевого сечения (d2экв) – см. рис. 2.1. Однако в явном виде она представляет сложное математическое выражение и поэтому представлена в виде зависимости расчетных величин – площади поверхности теплообмена (F) и суммарной мощности, затрачиваемой на прокачивание обоих теплоносителей (P), которые, в свою очередь, являются функциями d1 и d2экв.
Граничными условиями для расчета оптимального теплообменника типа "труба в трубе" служат − виды теплоносителей, их расходы, физические параметры, значения весового коэффициента − эти данные приводятся в вариантах заданий (приложение 2).
Поскольку при проектировании любого ТА его габаритные размеры
ограничены, необходимо стремится получить теплообменник, имеющий минимальное значение площади теплообмена, соответствующей условиям его эксплуатации.
Если проектируется стационарная установка и большое значение придается уменьшению затрат на прокачивание теплоносителей, то необходимо выбрать коэффициент С бóльшим. Напротив, выбор малых значений С означает, что основное внимание уделяется уменьшению габаритных размеров и металлоемкости теплообменника (судовые энергетические установки). Таким образом, значение коэффициента С определяет основной замысел, концепцию расчета проектируемого аппарата.
|
Рис. 2.1. Расчетная схема теплообменного аппарата типа «труба в трубе» а – общий вид; б – поперечное сечение |
Предположим, что решение о выборе С принимается на более высоком уровне, а именно на уровне проектирования этой системы в целом (энергетической или технологической), в которую как элемент входит конструируемый теплообменник. При определении С исходят из стоимости оценок первоначальных капиталовложений (включая насосное оборудование) и амортизационных отчислений, а также эксплуатационных расходов, связанных с затратами энергии на прокачивание теплоносителей и т.д.
При выборе коэффициента С можно принять ориентировочно, что для оптимального по суммарным затратам теплообменника имеет место соотношение P/F = 0,001 ÷ 0,01.
В работе значение С задается. Целью работы является проектирование оптимального теплообменника типа «труба в трубе». Варьируя площадями проходных сечений для теплоносителей (задаваясь значениями d1 и d2экв), необходимо обеспечить минимум целевой функции Z. Это означает, что ищется некоторое компромиссное решение: теплообменник должен быть компактным и в то же время не требовать слишком больших затрат на прокачивание теплоносителей.
Поиск оптимального варианта осуществляется путем экспериментирования с математической моделью теплообменника. Работа ведется в диалоговом режиме с использованием ПК.
Задаются преподавателем и считаются фиксированными следующие характеристики теплообменника типа «труба в трубе» (его расчетная схема представлена на рис. 2.1): вид теплоносителей в трубе и кольцевом канале; G1, G2 − расходы теплоносителей, кг/с; t1 и t1 − температуры теплоносителя внутри трубы соответственно на входе в теплообменник и на выходе из него; t2 − температура теплоносителя на входе в кольцевой канал, С; − толщина стенки внутренней трубы, м.
Предполагается, что используется противоточная схема движения теплоносителей.
В процессе начального диалога с программой определяются следующие величины: тепловая производительность теплообменника Q, Вт, и температура t2, С, второго теплоносителя при выходе из кольцевого канала: t − среднелогарифмический температурный напор, К; Ср1, Ср2 − удельные массовые изобарные теплоемкости теплоносителей, Дж/(кгК); 1, 2 − плотности теплоносителей, кг/м3; 1, 2 − коэффициенты теплопроводности теплоносителей, Вт/(мК); Рr1, Рr2 – числа Прандтля теплоносителей.
Физические параметры теплоносителя вводятся вручную. Их значения берутся из справочной таблицы (приложение 3) в зависимости от значений определяющих температур теплоносителей (t1 или t2), рассчитываемых в ходе выполнения программы.
Все перечисленные выше величины остаются далее фиксированными при вариантных расчетах.
Задача оптимизации формулируется следующим образом. Целевая функция: Z = F + С P min;
Варьируемые проектные параметры − d1 и d2экв.
На заключительной стадии работы необходимо исследовать поведение значение величин площади поверхности теплопередачи F и затрат мощности на прокачивание теплоносителей Р вблизи оптимума. Для этого проводятся расчеты по плану, показанному на рис. 2.2.
|
Рис. 2.2. План вычислений в окрестностях оптимума |
Чтобы получить достаточно быстро действительно оптимальный результат, необходимо вести поиск, четко осознавая последствия варьирования проектных параметров. Необходимо внимательно изучить в связи с этим функциональную диаграмму (алгоритм расчета целевой функции) на рис. 2.3.
|
Рис. 2.3. Функциональная диаграмма |
При записи расчетных соотношений предполагается, что процессы теплообмена в аппарате не сопровождаются фазовыми переходами. Принимается, что оптимизационные расчеты проводятся на этапе начального проектирования, в связи с чем выбираются наиболее простые формулы, пренебрегаются поправки на изменения физических параметров, на наличие начальных участков и т.п.
Основными соотношениями для расчета теплообменников являются: уравнение теплового баланса, Вт
Q = G1Ср1(t1 - t1) = G2Ср2( t2 - t2), (2.4)
где G1, G2 – расходы, соответственно, теплоотдающего (1) и тепловоспринимающего (2) теплоносителей, кг/с;
Ср1, Ср2 – средние массовые изобарные теплоемкости теплоносителей, Дж/(кгК);
t1, t2 – температуры теплоносителей на входе в ТА, С;
t1, t2 – температуры теплоносителей на выходе из ТА, С;
уравнение теплопередачи, Вт
Q = ktсрF, (2.5)
где k – коэффициент теплопередачи, Вт/(м2К);
tср – среднелогарифмический температурный напор, К;
F – площадь поверхности теплообмена, м2;
уравнение затрат мощности на прокачивание теплоносителей, Вт
, (2.6)
где − коэффициент гидравлического сопротивления;
1, 2 , − плотности теплоносителей, кг/м;
W1, W2 − скорости движения теплоносителей, м/с.
l − длина теплообменника, м ;
d1 − внутренний размер внутренней трубы, м ;
d2экв − эквивалентный диаметр кольцевого сечения, м.
Значение эквивалентного диаметра определяется по формуле
d2экв = dкольц нар – dкольц.вн, где dкольц нар – наружный диаметр внутренней трубы, м; dкольц.вн – внутренний, диаметр наружной трубы, м (см. рис. 2.1);
, (2.7)
где 1, 2 − коэффициенты теплоотдачи, Вт/(м2К);
− толщина стенки внутренней трубы, м;
− коэффициент теплопроводности материала трубы, Вт/(мК);
, (2.8)
где tб, tм – наибольшая и наименьшая разности между температурами теплоносителей, ºС.
Программа предусматривает противоточную схему движения теплоносителей (рис. 2.4);
F = dрасчl (2.9)
. (2.10)
|
Рис. 2.4. Схема изменения температур теплоносителей |
Здесь использовались приближенные формулы для расчета теплопередачи через тонкостенную цилиндрическую трубу.
Варьируемыми геометрическими характеристиками теплообменника
типа "труба в трубе" являются внутренний диаметр внутренней трубы (d1) и эквивалентный диаметр кольцевого канала (d2экв).
Скорости течения теплоносителей определяются из уравнений расхода
(2.11)
(2.12)
Коэффициенты теплоотдачи и сопротивления трения в трубе и кольцевом канале рассчитываются по следующим формулам:
при Re 10000 (турбулентный режим)
; (2.13)
при Re 2300 (ламинарный режим)
для внутренней трубы
Nuл = 4; = 64/Re; (2.14)
для кольцевого канала
Nuл = 4,34 + 0,78dкольц.нар/dкольц.вн; (2.15)
при 2300 Re 10000 (переходный режим)
, (2.16)
где − коэффициент перемежаемости.
Коэффициент перемежаемости рассчитывается по формуле:
а значения Nu и при ламинарном и турбулентном режимах определяются по приведенным выше формулам.
Каждый этап расчета заканчивается поиском значения целевой функции по (2.3).
Уравнение (2.3) является уравнением поверхности в системе координат d1, d2экв, Z.
В рассматриваемой задаче для нахождения оптимального варианта конструкции теплообменника варьируются два параметра d1 и d2экв (в программе соответственно d1 и d2). В связи с этим говорят о двумерной задаче оптимизации. Простейшим методом решения многомерных задач такого типа является метод покоординатного спуска. Его идея заключается в последовательном циклическом применении одномерного поиска для каждого варьируемого параметра. Например, возможна следующая последовательность расчета (см. рис. 2.5): поиск начинается с базовой точки с координатами d1 = 0,08 м; d2 = 0,03 м. Сначала осуществляется спуск вдоль координаты d2 при фиксированном значении координаты d1 = 0,08 м и в точке d2 = 0,06 м было достигнуто наименьшее значение целевой функции Z = 212. После достижения минимума целевой функции в выбранном направлении производится поиск вдоль оси d1 при фиксированном значении d2 = 0,06 м и т. п.
Эти операции повторяются до тех пор, пока любое перемещение из некоторой точки не будет приводить к увеличению целевой функции (возможен только «подъем вверх»). Если необходимо получить более точный результат, эту точку выбирают в качестве базовой и проводят поиск с меньшим шагом.
Следует учитывать, что метод покоординатного спуска оказывается неработоспособным при «овражном» рельефе целевой функции. В этом
случае оптимум может быть найден при помощи более сложных алгоритмов. Один из них – симплексный – может быть легко реализован «вручную» с помощью диалоговой системы, используемой в данной лабораторной работе. Порядок работы с программой излагается в электронном приложении к работе.