тематического описания такого движения очень сложна.html

Работа добавлена на сайт samzan.net:

Билет №3

Кинематика жидкости. Методы исследования движения жидкости: метод Лагранжа и Эйлера.

Кинематика – раздел МЖГ в котором изучается движение жидкостей без учета действующих в них сил.

Методы исследования движения жидкости.

Введем понятие жидкой частицы.

Жидкая частица – это малый объем жидкости, который при движении деформируется, но не смешивается с окружающей жидкостью. Течение жидкости можно представить как перемещение множества жидких частиц. Задача математического описания такого движения очень сложна.

Рис.1

Для материальной точки достаточно задать вектор скорости

Для твердого тела достаточно задать скорость полюса и угловой скорости.

В жидкости невозможно выбрать такой полюс, так как нет жесткой связи между частицами. Расстояния между частицами при движении жидкости меняются.

Известны два метода исследования движения жидкости.

Метод Лагранжа.

Зафиксируем координаты каждой жидкой частицы в некоторый начальный момент времени to – a, в, с- и будем следить за перемещение частиц в пространстве, за их траекториями. В этом состоит метод Лагранжа.

Независимыми переменными будут - a, b, с и t. Они называются переменными Лагранжа.

А,to

А,t

траектория

Рис.2

Координаты положения ЖЧ:

или (1)

Мгновенная скорость ЖЧ:

или (2)

Ускорение ЖЧ:

или (3)

Его используют в теоретических исследованиях, а также при разработке численных схем анализа задач МЖГ. Но в инженерной практике метод не находит широкого применения. Причина в том, что уравнения движения жидкости на основе метода Лагранжа громоздки и трудноразрешимы. Мы будем в дальнейшем пользоваться другим методом.

Метод Эйлера.

Этот метод основан на понятии местной скорости или скорости в точке.

Рис.3

Скорость ЖЧ:

или (4)

Мы рассматриваем движение ЖЧ через фиксированные точки пространства.

- скорость ЖЧ в момент времени t, проходящей через точку x,y,z.

x,y,z,t - переменные Эйлера.

Для ЖЧ – t – независимая переменная, а координаты ЖЧ - x(t),y(t),z(t) – зависимые переменные. Поэтому для вычисления ускорения ЖЧ мы должны взять полную производную скорости от времени. По-другому ее называют субстанциональной или индивидуальной производной.

Ускорение ЖЧ:

(5)

По правилу дифференцирования сложной функции:

(6)

Учитывая, что получим:

(7)

Введем оператор Гамильтона (набла) – вектор вида:

(8)

Тогда (7) в векторной форме можно записать:

(9)

где - - число, скалярное произведение векторов и .

Первое слагаемое называется местным или локальным ускорением. Эта величина выражает изменение скорости в данной точке с течением времени.

Второе слагаемое называется конвективным ускорением. Величина показывает изменение скорости в пространстве в данный момент времени.

Если в любой момент времени во всех точках пространства занятого течением, то есть , то такое течение называют установившимся или стационарным.

Если , то течение – неустановившееся или нестационарное.

В природе встречаются два вида течений.

Рис.4

а) ламинарное

б) турбулентное

Ламинарное (от. лат.lamina – пластинка, слой) или слоистое течение. Это упорядоченное течение жидкости, при котором отсутствует турбулентное перемешивание между соседними слоями.

Турбулентное (от. лат.turbulentus – беспорядочный, хаотичный) течение. Это неупорядоченное течение жидкости, при котором ЖЧ участвуют как бы одновременно в двух видах движения: основном движении - ЖЧ движутся по некоторому преимущественному основному направлению – направлению течения, а также в хаотическом (колебательном) движении.

При этом ЖЧ хаотично переходят из слоя в слой. Этот процесс называют турбулентным перемешиванием. Траектории движения ЖЧ имеют при этом сложную извилистую форму.

2 вопрос

Одномерная модель потока вязкой жидкости. Уравнение Бернулли для потока.

Одномерная модель потока вязкой жидкости.

Рис.1

Одномерными называют потоки, в которых скорость, давление и другие параметры зависят от одной координаты.

Примером одномерного потока является течение в элементарной струйке. Из-за малости поперечных сечений струйки скорость и давление в них принимаются постоянными. Тогда, если линию тока, на которой построена струйка, принять в качестве криволинейной координаты l, то скорость и давление - u(l) и p(l).

Одномерных потоков конечных размеров, то есть реальных потоков, не существует. Течение вязкой жидкости вдоль граничные поверхностей приводит к неравномерному распределению скорости по живому сечению.

Живое сечение – это поверхность внутри потока, в каждой точке которой вектор скорости направлен ортогонально.

Рис.2

Однако турбулентный поток в трубе близок к одномерному.

Кроме того, многие даже ламинарные потоки мы можем рассматривать как одномерные. Часто в технических задачах достаточно знать только среднюю по живому сечению скорость.

(1)

Тогда вместо истинного распределения скорости в живом сечении можно рассматривать среднюю по сечению скорость. В случае, если давление по живому распределяется по гидростатическому закону, то распределение давления по живому сечению можно найти, рассматривая давление в любой точке живого сечения, например, в центре масс .

Тогда в любом живом сечении течение будет характеризоваться только средней скоростью и давлением в выбранной точке .

Приходим к одномерной модели реального потока.

Возникает вопрос: какие потоки можно привести таким образом к одномерным?

1) Параллельноструйные потоки.

Поток называется параллельноструйным, если все линии тока являются параллельными прямыми. Примером паралелльноструйного движения является течение жидкости в трубе постоянного сечения, например, в круглой, а также течение между параллельными плоскостями. При параллельноструйном движении живые сечения плоские и одинаковы .

Направим ось l вдоль любой линии тока параллельноструйного потока. Тогда при движении несжимаемой жидкости средняя скорость в любом живом сечении постоянна . Это следует из уравнения неразрывности и Тогда от координаты l зависит только давление .

2) Плавно изменяющиеся потоки.

ПП

Плавно изменяющимся потоком называется поток близкий к параллельноструйному. Такой поток удовлетворяет условиям:

а) радиус кривизны линий тока велик;

б) угол , образованный соседними линиями тока, мал.

Живые сечения в плавно изменяющемся потоке близки к плоским.

В параллельноструйном и плавно изменяющемся потоках давление в живых сечениях распределяется по гидростатическому закону.

(2)

Рис.3

h1 h2 h3

pатм

z1 z2 z3

Заметим, что:

(3)

Раньше мы вывели уравнение Бернулли для струйки потока. Можно распространить это уравнение на поток конечных размеров, рассматривая его как одномерный в определенном выше смысле.

Уравнение Бернулли для установившегося потока вязкой несжимаемой жидкости.

Рис.4

Рассмотрим плавно изменяющийся поток. Пусть S1 и S2 – живые сечения, близкие к плоским. Выделим в потоке струйку. Уравнение Бернулли для струйки имеет вид:

(4)

где - потеря энергии от сечения к сечению .

Умножим уравнение (4) на весовой расход струйки . По уравнению неразрывности этот расход по длине струйки постоянен .

(5)

Выражение - будет иметь смысл механической энергии жидкости, протекающей через i-е сечение струйки в единицу времени.

Проинтегрируем (5) по всему потоку:

(6)

Учитывая (3), получим:

(7)

где - сумма координаты положения и давления в любой точке C живого сечения, например, в центре масс. Далее, индекс C будем опускать. С учетом (7) выражение (6) примет вид:

(8)

Разделим (8) на весовой расход :

(9)

Введем обозначения:

(10)

где - средняя по живому сечению S скорость - ;

(11)

С учетом введенных обозначений уравнение (9) примет вид:

(12)

Полученное соотношение - это уравнение Бернулли для плавно изменяющегося установившегося потока несжимаемой жидкости.

Легко видеть, что уравнение будет справедливо также для любого потока, достаточно сечения 1 и 2 выбрать в районе плавной изменяемости потока.

Безразмерный параметр называется коэффициентом кинетической энергии. или коэффициентом Кориолиса. Он характеризует отношение истинной кинетической энергии в данном живом сечении к кинетической энергии, вычисленной по средней скорости . Всегда: . Его значение зависит от полноты эпюры скорости в живом сечении. При ламинарном течении в круглой трубе , а при турбулентном -

Также как и уравнение Бернулли для струйки уравнение Бернулли для потока можно рассматривать как закон сохранения энергии, примененный к массе жидкости, протекающей через живые сечения 1 и 2

1. Центральное для получ
2. Вариант 44 Выполнила студентка группы ЭТ2206- Трофимов А
3. тематики и кибернетики Волкова И
4. Тема 6 План рахунків бухгалтерського обліку
5. 1 Характеристика технологических процессов и оборудования Известен способ осветления технологической в
6. Контрольная работа- Исполнительное право
7. управление политическими событиями ориентированное на реализацию определенных политических интересов т
8. Зашита авторского права в интернете.html
9. Основы семейного права Украины- понятие и предмет правового регулирования
10. з курсу Фізіологія шкільного віку
11. Открытоугольная глаукома
12. ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
13. РЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата сільськогосподарських наук
14. Социальная сфера
15. Сеть ЭВМ
16. Понятие о культуре
17. Вариант 1 Программа 35
18. отыз жылда ~ылым мен техниканы~ орасан жетістіктерге ~ол жеткізіп жа~а технологияларды~ ~о~ам ~о~ам ~мірін.html
19. тематическая модель1
20. по ст^ 210 УК РФ. Дело рассмотрено в Новосибирском областном суде

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе