Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
17. Геометрия Лобачевского.
V постулат: Пусть прямая с пересекает прямые a и b так, что внутренние односторонние углы в сумме образуют угол, меньший 1800. Тогда прямые a, b пересекаются, причем точка пересечения находится с той стороны от с, где расположены указанные углы.
Абсолютная геометрия – совокупность всех геометрических фактов, которые можно вывести без опоры на V постулат.
Евклидова геометрия – абсолютная геометрия и V постулат.
Геометрия Лобачевского – абсолютная геометрия и V постулат.
Некоторые факты абсолютной геометрии:
1. Аксиома Паша. Если прямая а, лежащая в плоскости АВС, не проходит ни через одну из вершин треугольника АВС и пересекает отрезок АВ, то она непременно пересекает один из отрезков: ВС или АС
2. Аксиома Архимеда. Каковы бы ни были два отрезка а и b, существует такое натуральное число п, что па>b.
3. Аксиома Дедекинда. Если все точки прямой (или отрез ка) разбиты на два класса так, что 1) ни один из классов не пуст, 2) каждая точка принадлежит одному и только одному из этих, двух классов, 3) каждая точка первого класса лежит по одну и ту же сторону от каждой точки второго класса, то на прямой (или на отрезке) существует одна и только одна та кая пограничная точка 8, по одну сторону которой лежат все точки первого класса, а по другую сторону — все точки второго класса. Сама точка 8 принадлежит либо первому, либо второму классу.
Некоторые утверждения, равносильные V постулату:
аксиома Лобачевского (Лобачевский заменяет V постулат): Пусть даны прямая а и точка А а. Тогда в плоскости (А, а) существует не менее двух прямых, проходящих через точку А и не пересекающих прямую а.
Основные факты геометрии Лобачевского:
Теорема 1. Во всяком треугольнике АВС сумма внутрен них углов меньше 2d.
Теорема 2. Сумма углов треугольника непостоянна, т. е. не одна и та же для всех треугольников.
Теорема 3. Если три угла треуголь ника АВС соответственно конгруэнтны трем углам треугольника А'В'С', то эти треугольники конгруэнтны.
Теорема 4. Пусть прямые а и а' лежат в одной плоскости и не пересекаются, А, В, С а| μ(АВС); А', В' — ортогональ ные проекции точек А и В соответственно на прямую а'. Тогда А'АС<В'ВС .
Теорема 5. Пусть на плоскости даны прямая а и точка А а. Существует бесконечное множество прямых этой пло скости, проходящих через точку А и не пересекающих прямую а.
Параллельные прямые в геометрии Лобачевского: Прямая b параллельна прямой а в точке Вb, если:
Основная теорема.
Теорема 2. 1. Пусть в плоскости даны прямая а и не лежащая на ней точка А. Тогда в пучке прямых с центром в точке А существуют две пограничные прямые, разделяющие все пря мые пучка на два класса: на класс прямых, пересекающих а, и класс прямых, не пересека ющих а. Эти граничные прямые сами не пересекают а.
Свойства параллельных Лобачевского:
Теорема 3. 1. Если прямая ВВ' || А А' в точке М, то ВВ' || А А' в любой своей точке N
Теорема 3. 2. Если ВВ' || АА', то и обратно: АА' || ВВ'.
Теорема 3. 3. Если АА' || СС' и ВВ' || СС', то АА' ||ВВ'.
Теорема 3. 4. Если прямая СС' лежит между двумя прямы ми АА' и ВВ', параллельными в некотором направлении, не пере секая их, то СС' параллельна обеим этим прямым в том же направлении.
Теорема 3. 5. Если две прямые при пересечении с третьей образуют равные соответственные углы, или равные накрест лежащие углы, или внутренние односторонние углы, в сумме со ставляющие 2d, то эти прямые расходятся.
Следствие. Сумма внутренних односторонних углов при двух параллельных, пересекаемых третьей прямой, не равна 2d, она меньше 2d для углов, расположенных от третьей прямой в сто рону параллельности. Соответственные углы при параллельных и накрест лежащие углы не равны.
PAGE 1