Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Завдання
з дисципліни «Чисельні методи в інформатиці»
Завдання №1
Розв’язати систему рівнянь
методом Гаусса з точністю до 0.1.
Розв’язання:
Обертаємо у нуль елементи, що знаходяться під головною діагоналлю
Одержимо систему з верхньою трикутною матрицею:
Розв’яжемо її підстановкою, починаючи з останнього рівняння:
Завдання №2
Для рівняння виконати одну ітерацію методом Ньютона з початковим значенням (знайти) та точністю до 0.01 .
Розв’язання:
Метод Ньютона для рівняння реалізується за формулою . У даному випадку:
; ;
;
;
;
;
Завдання №3
Для рівняння виконати одну ітерацію методом хорд (знайти) з початковим відрізком [0,1] та точністю до 0.1.
Розв’язання:
Метод хорд для рівняння реалізується за формулою . У даному випадку:
; ;
; ;
Завдання №4
Для рівняння виконати одну ітерацію методом половинного ділення (знайти) з початковим відрізком [0,1] та точністю до 0.1.
Розв’язання:
Метод половинного ділення для рівняння реалізується за формулою . У даному випадку:
;
; ;
;
Завдання №5
Функцiя y=f(x) задана таблицею з трьох точок
|
x |
0 |
1 |
3 |
|
y |
2 |
0 |
1 |
За iнтерполяцiйною формулою Лагранжа обчислити її значення при x=2 та точністю до 0.01.
Розв’язання:
Для трьох вузлів формула Лагранжа має вигляд:
;
Підставимо табличні значення і значення :
Завдання №6
Функцiя y=f(x) задана таблицею з трьох точок
|
x |
0 |
1 |
3 |
|
y |
2 |
0 |
1 |
Побудувати поліном середньоквадратичного наближення першого степеня та обчислити його значення при x=2 з точністю до 0.01.
Розв’язання:
Поліном середньоквадратичного наближення першого степеня будемо шукати у вигляді:
. Для визначення треба побудувати систему нормальних рівнянь такої структури:
У даному випадку:
.
Отже, . Підставимо :
Завдання №7
Функцiя y=f(x) задана таблицею з п’яти точок
|
x |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
y |
3 |
1 |
0 |
1 |
2 |
Побудувати кусочно-параболічну інтерполюючу функцію та обчислити її значення при x=5 з точністю до 0.1.
Розв’язання:
Для розв’язання задачі згрупуємо табличні точки в часткові відрізки по три точки в кожному. На кожному з часткових відрізків [0,2] , [2,4] за допомогою формули Лагранжа побудуємо інтерполяційний поліном другого степеня.
Для першого відрізка :
На другому відрізку скористаємося цією самою функцією, але як величини тепер будемо використовувати чергові точки таблиці
.
У вираз для другого полінома підставимо :
Для задачі Коші
виконати один крок явним методом Ейлера (знайти по відомому ) з точністю до 0.1.
Розв′язання
Для рівняння явний метод Ейлера реалізується за формулою . У даному випадку:
y1 = y0 + hf( x0 , y0 ) = 1 + 0.1(03+1) = 1.1 .
Завдання №9
Для задачі Коші
виконати один крок неявним методом Ейлера (знайти по відомому ) з точністю до 0.01.
Розв′язання
Для рівняння неявний метод Ейлера реалізується за формулою . У даному випадку:
y1 = y0+ hf( x1 , y1 ) ;
y1 = y0 + 0.1( 0.13 +y1 ) ;
y1 = 1 + 0.14 +0.1y1 ;
0.9y1 =1.0001 ;
y1 = 1.11 .
Завдання №10
Дана крайова задача для ЗДР:
у''-у=2х, у(0)=0, у(1)= -1.
Методом скінчених різниць з кроком h= знайти її розв’язок при х= з точністю до 0.01.
Розв′язання
Вводимо сітку з вузлами . Позначимо . З крайових умов витікає, що .
Для кожного з вузлів замінюємо диференціальне рівняння алгебраїчним:
Одержимо систему двох лінійних алгебраїчних рівнянь відносно , з якої знайдемо шукане .
Завдання №11
Для задачи Коши
виконати один крок величиною h=0.1 явним методом Ейлера (знайти по відомим ) з точністю до 0.1.
Розв′язання
Для системи диференціальних рівнянь явний метод Ейлера реалізується за формулами . У даному випадку:
Завдання №12
Для задачи Коши
виконати один крок величиною h=0.1 неявним методом Ейлера (знайти по відомим ) з точністю до 0.01.
Розв′язання
Для системи диференціальних рівнянь неявний метод Ейлера полягає у формуванні та розв’язуванні на кожному кроці системи алгебраїчних рівнянь
У даному випадку:
Одержали систему лінійних алгебраїчних рівнянь:
Її розв’язок:
Завдання №13
Для крайової задачи
з просторовим кроком h=0.25 та часовим кроком =0.1 знайти по явній різницевій схемі значення розв’язку на першому часовому шарі у точці х=0.5 з точністю до 0.01.
Розв’язання:
Вводимо сітку з вузлами . Позначимо . З початкової умови випливає, що
.
Для знаходження розв’язку на -му часовому шарі по відомим значенням на -му шарі замінюємо у кожному вузлі диференціальне рівняння алгебраїчним по шаблону:
.
У даному випадку:
Функцiя y=f(x) задана таблицею з трьох точок
|
x |
0 |
1 |
3 |
|
y |
2 |
0 |
1 |
За формулою прямокутників з вузлом у лівій точці обчислити з точністю до 0.1.
Розв’язання:
Функцiя y=f(x) задана таблицею з трьох точок
|
x |
0 |
1 |
3 |
|
y |
2 |
0 |
1 |
За формулою трапецій обчислити .
Розв’язання:
Функцiя y=f(x) задана таблицею з трьох точок
|
x |
0 |
1 |
3 |
|
y |
2 |
0 |
1 |
За формулами чисельного диференціювання обчислити лівосторонню та правосторонню перші похідні у точці х=1 з точністю до 0.1.
Розв’язання:
Функцiя y=f(x) задана таблицею з трьох точок
|
x |
0 |
1 |
2 |
|
y |
2 |
0 |
1 |
За формулами чисельного диференціювання обчислити другу похідну у точці х=1 з точністю до 0.1.
Розв’язання:
Завдання №18
Для крайової задачи
з просторовим кроком h=1/3 та часовим кроком =0.1 знайти по неявній різницевій схемі значення розв’язку на першому часовому шарі у точці х=1/3 з точністю до 0.01.
Розв’язання:
Вводимо сітку з вузлами . Для кожного з вузлів замінюємо диференціальне рівняння алгебраїчним по шаблону:
, де .
У даному випадку одержимо систему двох алгебраїчних рівнянь з двома невідомими :
З початкової умови випливає, що .
З крайових умов випливає, що . Тому система має вигляд:
або
Її розв’язок
Завдання №19
Дана система нелінійних алгебраїчних рівнянь
Виконати одну ітерацію методом Ньютона з точністю до 0.01. Початкове наближення: .
Розв’язання:
Метод Ньютона для системи нелінійних алгебраїчних рівнянь вигляду
полягає у розв’язуванні на кожній к-й ітерації системи лінійних алгебраїчних рівнянь наступної структури:
У даному випадку:
і система має структуру
.
Підставимо початкове наближення і одержимо систему
;
Її розв’язок: Δx1 = -0.71, Δx2 = 1.16.
Нове наближення:
Дана система нелінійних алгебраїчних рівнянь
Виконати одну ітерацію методом простої ітерації з точністю до 0.01. Початкове наближення: .
Розв’язання:
Метод простої ітерації для системи нелінійних алгебраїчних рівнянь вигляду
полягає у приведенні її попередньо до вигляду
і виконанні ітерацій
.
У даному випадку:
Підставимо початкове наближення:
Завдання №21
Систему лінійних алгебраїчних рівнянь
розв’язати методом найменших квадратів .
Відповідь: (-0.7, 4.5)
Розв’язання:
Відповідь одержимо, розв’язавши СЛАР виду (A’A)x = (A’b)
=; = ;
=;
Завдання №22
Дослідити вид квадратичної форми F(r) = ( r,Ar ), якщо відома її матриця А.
Відповідь: Квадратична форма додатньо визначена
Розв’язання:
Послідовно обчислюємо головні мінори.
M1=| 6 | = 6; M2= = 26; M3== 294;
Якщо всі головні мінори додатні, то згідно з критерієм Сильвестра квадратична
форма додатньо визначена.
Завдання №23
Швидкість точки змінюється по закону V = 15 + 8*t
Який шлях пройде точка за проміжок часу [ 0; 10 ] .
Відповідь: ( 550 )
Розв’язання:
S==(15t+8)= 550;
Завдання №24
Задані поверхня x2 + y2 +z2 = 169 і точка M0 ( 3, 4, 12 ) .
Записати рівняння нормалі до поверхні в точці M0
Відповідь:
Розв’язання:
Наша поверхня – сфера з радіусом 169.
Точка М0 належить сфері.
Нормаль це лінія яка проходить через початок координат ( 0; 0; 0 )
і точку М0 ( 3; 4; 12 )
Рівняння просторової лінії,
яка проходить через точки ( x1; y1; z1 ) і ( x2; y2; z2 )
; Підставимо числа, одержимо
Завдання №25
Розв’язати задачу лінійного програмування
Z = 40x1 + 36x2 Min
при обмеженнях
x1 8 ;
x2 10 ;
5x1 + 3x2 45 ;
x1 0;
x20 ;
Відповідь: Zmin = 377.6; в точці ( 8; 1.6 )
Розв’язання:
Завдання №26
Знайти похідну функції z = x2 – y2 в точці M( 1; 1 ) в напрямку, який утворює кут = 600 з додатнім напрямком осі Ox.
Відповідь: 1 -
Розв’язання:
GRAD z(x,y) = { ; } = { 2x; -2y };
={ }; =( nx + ny ) = 1 - ;
Завдання №27
Знайти градієнт функції u = x y z в точці M( 1; 2; 3 )
Відповідь: { 6; 3; 2 }
Розв’язання:
GRAD u(x,y,z) = { } = { yz; xz; xy } = { 2*3; 1*3; 1*2 } = { 6; 3; 2 }
Завдання №28
Задано відрізок [ 10; 15 ] . Знайти положення точки Z, яка ділить відрізок у
“ золотому “ відношенні.
Відповідь: ( 11.909830 )
Розв’язання:
Складемо пропорцію = ;
Розкриємо пропорцію 5(Z – 10 ) = ( 15 – Z )2 ; Z2 - 35Z + 275 = 0;
Менший корінь цього рівняння = 11.909830;
Завдання №29
Обчислити значення квадратичної форми F(r) = ( r,Ar )
в точці r = ( 1; -1; 0 ), якщо матриця А задана
Відповідь: ( -1 )
Розв’язання:
Ar = =; ( r,Ar ) =[ 1; -1; 0 ] = -1;
Завдання №30
Дослідити на екстремум функцію 2x2 + 4xy + y2 + 8x при умові x – y = 0 ;
Відповідь: В точці MIN
Розв’язання:
Покладемо x = y; Одержимо :
F = 2x2 + 4x 2 +x2 + 8x; F = 7x2 +8x; F= 14x + 8; F= + 14;
Точка єкстремума ; MIN
Завдання №31
Знайти компонент Fn ряду Фібоначчі при n = 17 ;
Відповідь: ( 1597 )
Розв’язання:
Виходячи з початкового відрізку 1, 1, 2, 3, 5, 8. . . .
в якому число 8 є шостим компонентом,
продовжуємо ряд Фібоначчі по правилу, що наступний член дорівнює сумі двох попередніх,
тоді матимемо
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597
6 10 15 17
Завдання №32
Побудувати формулу для наближеного обчислення коренів
y = ( 1 x 100 ) використовуючи значення
x0 = 1; y0 = 1;
x1 = 25; y1 = 5;
x2 = 100; y2 = 10;
По формулі обчислити .
Відповідь: ( 2.737 )
Розв’язання:
Треба розв’язати завдання 5 для таблиці.
|
x |
1 |
25 |
100 |
|
y |
1 |
5 |
10 |
Завдання №33
Знайти кут між градієнтами функції u = x2 + y2 – z2
в точках A( ; 0; 0 ) і B( 0; ; 0 )
Відповідь: ( )
Розв’язання:
GRAD u(x,y,z) = { 2x; 2y; -2z };
GRAD u(A) = { 2; 0; 0 }; GRAD u(B) = { 0; 2; 0 };
Скалярний добуток градієнтів дорівнює нулю, отже кут між ними дорівнює ;
;
Завдання №34
u = x2 + y2 + z2 – 4x – 8y – 12z + 100
Відповідь: В точці ( 2; 4; 6 ) MIN
Розв’язання:
Екстремальну точку одержимо, розв’язавши СЛАР
Матриця других похідних додатньо визначена.
=
Це означає, що в точці MIN
Завдання №35
Побудувати формулу для наближеного обчислення коренів
y = ( 1 x 27 ) використовуючи значення
x0 = 1; y0 = 1;
x1 = 8; y1 = 2;
x2 = 27; y2 = 3;
По формулі обчислити .
Відповідь: ( 2.2204 )
Розв’язання:
Треба розв’язати завдання 5 для таблиці.
|
x |
1 |
8 |
27 |
|
y |
1 |
2 |
3 |
Завдання №36
Для заданої матриці A побудувати матрицю A-1
A = ; Відповідь A-1 = ;
Розв’язання:
Стовпчики оберненої матриці послідовно обчислюємо, розв’язуючи СЛАР
=; =; =
Завдання №37
Для заданої матриці А обчислити значення її характеристичного полінома
Pn(t) = | A - E | , при = 5 ;
A = ;
Відповідь: ( 66 )
Розв’язання:
===96-30=66
Завдання №38
Обчислити визначник методом Гауса.
Відповідь: ( -10394 )
Розв’язання:
8(-2-1295)+3(0-6)=-10394
Завдання №39
Функція f(x) задана таблицею з п’яти точок.
|
x |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
|
y |
1 |
2 |
2.5 |
2 |
1.5 |
Відповідь: ( 8 )
Розв’язання:
==2(-1+2) + 2.5(0+1) + 2(1-0) + 1.5(2-1) = 8
Завдання №40
Лінійна густина матеріалу стержня змінюється по закону p = 6 + 0.3x кГ/м ,
де x – відстань від одного з кінців стержня.
Обчислити масу стержня довжиною 10 м.
Відповідь: ( 75 кГ )
Розв’язання:
P==(6x+0.3)= 75;