Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Вопросы по дисциплине «Эконометрика» для студентов III курса, обучающихся по направлению 521600 «Бакалавр экономики»
Классификация эконометрических моделей.
Эконометрические модели делятся на линейные и нелинейные.
Линейная модель парной регрессии имеет вид: у=bх+a+e
b - коэф-т регрессии, показывающий, как изменится у при изменении х на единицу
a - это свободный член, расчетная величина, содержания нет.
e - это остаточная компонента, т. е. случайная величина, независимая, нормально распределенная, мат ожид = 0 и постоянной дисперсией.
Присутствие e в модели свидетельствует о том, что функциональной зависимости м\у у и х нет. На изменение у оказывает влияние не только фактор х, но и какие-то др не учтенные моделью факторы.
Первой задачей регрессионного анализа явл получение значения параметров a и b. Найти эти параметры мы не можем (пришлось бы обследовать ген совокупность), поэтому находим выборочные оценки этих параметров.
ŷ = a + b x
Для нахождения выборочных оценок используем метод НК
решением системы нормальных уравнений будет:
выборочные оценки для ур-я (1)
очевидно, что мин регрессия будет иметь место только в том случае, если . если хi совпадает с в этом случае зависимость отсутствует.
Нелинейная модель. уравнение зависимости между Уи Х может быть представлено степенной функцией У от Х, , показательной , гиперболической и д. р.
Для оценки параметров в этих случаях метод наименьших квадратов можно применять после логарифмирования, либо после введения новой переменной.
Для показательной функции:
ln y=ln a+x ln b
Y α β
Y = α + х β Þ а = еα; b=еβ
Для степенной функции
ln y=ln a+b ln x
Y α X
Y = α + β X
Для гиперболической функции
у=а+b/x
1/х=Х
У=а+bХ
Основные этапы построения эконометрических моделей.
1) Постановочный этап: определяются конечные цели исследования, моделирования, набор участвующих в модели факторов и показателей и их роли.
2) Априорный этап: предмодельный анализ экономической сущности изучаемого явления, формирование и формализация априорной информации и исходных допущений, предположений, гипотез на основе экономической теории.
3) Этап параметризации и спецификации модели: собственно моделирование, то есть выбор вида модели, функции регрессии, в том числе, состава и формы входящих в нее связей между переменными.
4) Информационный этап: наблюдение и сбор необходимой информации, статистических данных, их обработка.
5) Этап идентификации модели: статистическое оценивание неизвестных параметров модели по собранным данным, статистический анализ модели.
6) Этап верификации модели: сопоставление фактических, реальных данных и смоделированных, проверка адекватности модели, оценка ее точности и прогностических свойств.
Специфика Экономических данных.
В эконометрике решаются задачи описания данных, оценивания, проверки гипотез, восстановления зависимостей, классификации объектов и признаков, прогнозирования, принятия статистических решений и др.
При выборе методов анализа конкретных экономических данных следует учитывать, что экономические данные обладают рядом особенностей.
Многие экономические показатели неотрицательны. Значит, их надо описывать неотрицательными случайными величинами.
В экономике доля нечисловых данных существенно выше, чем в технике и, соответственно больше применений для ста тистики объектов нечисловой природы.
Количество изучаемых объектов в экономическом исследовании часто ограничено в принципе, поэтому обоснование вероятностных моделей в ряде случаев затруднено.
Экономические процессы развиваются во времени, поэтому большое место в эконометрике занимают вопросы анализа и про гнозирования временных рядов, в том числе многомерных. При этом следует отметить, что временные ряды качественно отличаются от простых статистических выборок. Эти особенности состоят в следующем:
последовательные по времени уровни временных рядов являются взаимозависимыми, особенно это относится к близко расположенным наблюдениям;в зависимости от момента наблюдения уровни во временных рядах обладают разной информативностью: информационная ценность наблюдений убывает по мере их удаления от текущего момента времени;с увеличением количества уровней временного ряда точность статистических характеристик не будет увеличиваться пропорционально числу наблюдений, а при появлении новых закономерностей развития она может даже уменьшаться.
Зависимые и независимые переменные.
Результирующая (зависимая, эндогенная) переменная Y
Она характеризует результат или эффективность функциониро вания экономической системы. Значения ее формируются в процессе и внутри функционирования этой системы под воздействием ряда других переменных и факторов, часть из которых поддается регистрации, управ лению и планированию. В регрессион ном анализе результирующая переменная играет роль функции, значение которой определяется значениями объясняющих переменных, выполняю щих роль аргументов. По своей природе результирующая переменная все гда случайна (стохастична).
Объясняющие (экзогенные, независимые) переменные X
Это — переменные, которые поддаются регистрации и описывают условия функционирования реальной экономической системы. Они в зна чительной мере определяют значения результирующих переменных. Обычно часть из них поддается регулированию и управлению. Значение этих переменных могут задаваться вне анализируемой системы. Поэтому их называют экзогенными. Еще их называют факторными признаками. В регрессионном анализе это аргументы ре зультирующей функции Y. По своей природе они могут быть как случай ными, так и неслучайными.
Особенности временных рядов.
Во временных рядах последовательные наблюдения, как правило, зависят друг от друга, а в простых статистических последовательностях такая зависимость не наблюдается.
Информационная ценность уровней временного ряда уменьшается по мере их удаления от текущего момента времени.
Точность характеристик временного ряда зависит от числа наблюдений во временном ряду, но эта зависимость не является прямо пропорциональной.
Структура временных рядов.
В общем случае временной ряд можно разделить на составляющие его компоненты:
Под трендом понимается устойчивое систематическое изменение процесса в течении продолжительного периода времени. На финансовых рынках различают тренд трех видов:
Для определения направленности используют слово тенденция. Это более общая характеристика, чем тренд. Тенденция среднего текущего значения является трендом.
Наряду с долговременными тенденциями во временных рядах экономических проессов часто наблюдаются более или менее регулярные колебания. Если такие колебания носят строго периодический характер и завершаются в течение одного года, то их называют сезонными колебаниями. Основной причиной, вызывающей сезонные колебания, является изменение природно-климатических условий в течение года. Сезонность также вызывают праздники, а также так называемые календарные эффекты, т.е. окончания кварталов, полугодий и т.д.
Сезонность оказывает негативное воздействие на экономические процессы, т.к. она приводит к аритмии производственных процессов.
Циклические колебания. Если период колебания составляет несколько лет, либо период колебания меньше года, то говорят о присутствии в процессе циклической компоненты. Для анализа процессов длительных колебаний нужны исходные данные за 100 лет и более.
Случайная компонента образуется из-за воздействия на экономический процесс случайных субъективных факторов. Если из исходного временного ряда правильно выделены систематические компоненты, то оставшаяся часть временного ряда и представляет собой случайные или нерегулярные компоненты. Временной ряд, составленный из значений случайной компоненты должен соответствовать ряду гипотез:
Между компонентами временного ряда могут быть следующие виды взаимосвязей:
Пространственными данными называется совокупность экономической информации, которая характеризует различные объекты, однако полученной за один и тот же период или момент времени.
Пространственные данные являются выборочной совокупностью из некоторой генеральной совокупности. Примером пространственных данных может служить комплекс экономической информации по какому-либо предприятию (численность работников, объём производства, размер основных фондов), объёмах потребления продукции определённого вида, данные о ВВП различных стран в каком-либо конкретном году и т. д.
Временными данными называется совокупность экономической информации, которая характеризует один и тот же объект, но за разные периоды времени.
Отдельно взятый временной ряд можно рассматривать как выборку из бесконечного ряда значений показателей во времени. Примером временных данных могут служить данные о динамике индекса потребительских цен, ежедневные обменные курсы валют.
Отличия временных данных от пространственных данных:
Основные требования, предъявляемые к исходной информации, следующие:
. Важным моментом при исследовании динамики процесса является выбор интервалов между соседними уровнями ряда. Удобнее всего иметь дело с равноотстоящими друг от друга уровнями ряда. При этом, если выбрать слишком большой интервал времени, можно упустить существенные закономерности в динамике показателя. Например, по квартальным данным невозможно судить о месячных сезонных колебаниях. Информация может также оказаться слишком "короткой" для использования некоторых методов анализа и прогнозирования динамики, предъявляющих "жесткие" требования к длине рядов. В то же время, слишком малые интервалы между наблюдениями увеличивают объем вычислений, а также могут приводить к появлению ненужных деталей в динамике процесса, засоряющих общую тенденцию. Вопрос о выборе интервала времени между уровнями ряда должен решаться исходя из целей каждого конкретного исследования.
. Одним из важнейших условий, необходимых для правильного отражения временным рядом реального процесса развития, является сопоставимость уровней ряда. Для несопоставимых величин неправомерно проводить исследование динамики. Появление несопоставимых уровней может быть вызвано разными причинами: изменением методики расчета показателя, изменением классификаций, терминологии и т.д. Например, уровни временного ряда, характеризующие количество малых предприятий, могут оказаться несопоставимыми из-за изменения самого понятия "малое предприятие". В большинстве случаев удается устранить несопоставимость, вызванную указанными причинами, путем пересчета более ранних значений показателей с помощью формальных методов. Хотя далеко не всегда проведение такой обработки обеспечивает требуемую точность, что может привести к снижению ценности исходной информации, а, следовательно, и к затруднению дальнейшего анализа.
. Для успешного изучения динамики процесса важно, чтобы информация была полной, временной ряд имел достаточную длину. Например, при изучении сезонных колебаний на базе месячных или квартальных данных желательно иметь информацию не менее, чем за 3 года.
Применение определенного математического аппарата также накладывает ограничение на допустимую длину временных рядов. Например, для использования регрессионного анализа требуется иметь временные ряды, длина которых в несколько раз превосходит количество независимых переменных.
. Временные ряды не должны иметь пропущенные наблюдения. Пропуски могут объясняться как недостатками при сборе информации, так и происходившими изменениями в системе отчетности, в системе фиксирования данных. Например, изменяется круг основных видов промышленной продукции, данные о производстве которых собираются на базе срочной отчетности. Решение об исключении какого-то показателя может быть отменено через некоторое время, в связи с тем, что становится очевидной его важность для аналитических исследований. В этом случае для использования этого временного ряда в дальнейшем анализе необходимо восстановить пропущенные уровни одним из известных способов восстановления пропусков (выбор метода зависит от специфики конкретного временного ряда).
. Если в систему показателей включен новый признак, учет которого не проводился ранее, то необходимо подождать, пока ряд достигнет требуемой длины или попытаться восстановить прежние значения косвенными методами (через другие показатели), если такой путь представляется возможным.
. Уровни временных рядов могут содержать аномальные значения или выбросы". Часто появление таких значений может быть вызвано ошибками при сборе, записи и передаче информации. Возможными источниками появления ошибочных значений являются: сдвиг запятой при перенесении информации из документа, занесение данных в другую графу и т.д. Выявление, исключение таких значений, замена их истинными или расчетными является необходимым этапом первичной обработки данных, т.к.
Тенденция исходного ряда динамики может быть трех видов: тенденция среднего уровня, дисперсии и автокорреляции.
Тенденция среднего уровня может быть выражена с помощью графического метода. Аналитически тенденция выражается с помощью некоторой математической функции f(t), вокруг которой варьируют эмпирические значения исходного временного ряда изучаемого социально-экономического явления. При этом теоретические значения, то есть значения, полученные по трендовым моделям в отдельные моменты времени, являются математическими ожиданиями временного ряда.
Тенденция дисперсии представляет собой тенденцию изменения отклонений эмпирических значений уровней временного ряда от теоретических, полученных по уравнению тренда.
Тенденция автокорреляции выражает тенденцию изменения корреляционной связи между отдельными, последовательными уровнями временного ряда.
Выбор метода выявления основной тенденции развития зависит от технических возможностей счета и от умения применять соответствующие методы, а также от задач, стоящих перед исследованием. Если надо дать общую картину развития, его грубую модель, основанную на механическом повторении одних и тех же действий по увеличению интервала времени, то можно ограничится методом скользящей средней. Если же исследование требует подробного аналитического выражения движения во времени, то метод скользящей средней будет недостаточным. Надо использовать метод конечных разностей или метод наименьших квадратов.
Все методы выявления основной тенденции развития определяются на основе изучения фактического развития динамики. Они не отрываются от наблюдаемого статистикой эмпирического материала.
Методы выявления основной тенденции развития имеют разное логическое содержание и поэтому применяются ко временным рядам для разных целей. Основная их цель, как уже говорилось, заключается в том, чтобы вскрывать общие закономерности развития, затушеванные отдельными, иногда случайными обстоятельствами. Однако каждый из них имеет свои особенности.
Метод скользящих средних используется в том случае, когда необходимо представить общую картину развития, основанную на механическом повторении одних и тех же действий по увеличению интервала времени.
Метод скользящих средних дает оценку среднего уровня за некоторый период времени, чем больше интервал времени, к которому относится средняя, тем более плавным будет сглаживаемый уровень, но тем менее точно будет описана тенденция исходного ряда динамики.
Под аномальным уровнем понимается отдельное значение уровня временного ряда, которое не отвечает потенциальным возможностям исследуемой экономической системы и которое, оставаясь в качестве уровня ряда, оказывает существенное влияние на значения основных характеристик временного ряда, в том числе на соответствующую трендовую модель. Причинами аномальных наблюдений могут быть ошибки технического порядка, или ошибки, первого рода: ошибки при агрегировании и дезагрегировании показателей, при передаче информации и другие технические причины.
Для выявления аномальных уровней временных рядов используются методы, рассчитанные для статистических совокупностей.
Метод Ирвина, например, предполагает использование следующей формулы:
Дан временной ряд:
y = 50,56,46,48,49,46,48,47,47,49
где среднеквадратическое отклонение σy рассчитывается в свою очередь с использованием формул:
среднее арифметическое:
Найдем среднее арифметическое у = 48,6
Среднее квадратическое отклонение σy = 2,92.
Значения λ в зависимости от t == 1, 2 … 10 представлены в таблице:
|
t |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
λ |
- |
2,06 |
3,44 |
0,69 |
0,34 |
1,03 |
0,69 |
0,34 |
0,00 |
0,69 |
Как видно из таблицы, аномальные значения наблюдаются при t = 2, 3.
Под сезонными колебаниями понимают регулярные, периодические наступления внутригодовых подъемов и спадов производства, грузооборота и товарооборота и т. д., связанных со сменой времени года, а под сезонностью — ограниченность годового периода работ под влиянием того же природного фактора.
Задачи, которые возникают при исследовании сезонных временных рядов:
1) определение наличия во временном ряду тренда и определение степени его гладкости;
2) выявление наличия во временном ряду сезонных колебаний;
3) фильтрация компонент ряда;
4) анализ динамики сезонной волны;
5) исследование факторов, определяющих сезонные колебания;
6) прогнозирование тренд-сезонных процессов.
Рассматривается тренд-сезонный временной ряд {Yt}, порождаемый аддитивным случайным процессом: Yt = Ut+Vt+εt , где Ut - тренд; Vt - сезонная компонента; εt - случайная компонента; Т - число уровней наблюдения.
Проблема анализа сезонности заключается в исследовании собственно сезонных колебаний и в изучении того внешнего циклического механизма, который их вызывает. Для исследования сезонных колебаний вне связи с причинами, их порождающими, очевидно, необходимо отфильтровать из временного ряда {Yt} сезонную компоненту Vt и затем уже анализировать ее динамику. Большинство методов фильтрации построено таким образом, что предварительно выделяется тренд, а затем уже сезонная компонента. Тренд в чистом виде необходим и для анализа динамики сезонной волны.
Экстраполяционный метод основан на прямом использовании линейной и экспоненциальной функций, т.е. данных о среднегодовых абсолютных изменениях численности населения за период или о среднегодовых темпах роста или прироста.
Социально-экономическое прогнозирование – это процесс разработки экономических и социальных прогнозов, основанный на научных методах познания экономических и социальных явлениях и использования всей совокупности методов, способов и средств экономической прогностики.
Под методами прогнозирования следует понимать совокупность приемов и способов мышления, позволяющих на основе ретроспективных данных внешних и внутренних связей объекта прогнозирования, а также их измерений в рамках рассматриваемого явления или процесса вывести суждения определенного и достоверного относительно будущего состояния и развития объекта.
В числе общих методов можно выделить следующие:
а. исторический метод заключается в рассмотрении каждого явления во взаимосвязи его исторических форм;
б. комплексный метод заключается в рассмотрении явлений в их взаимозависимости, используя для этого методы исследования не только данной, но и других наук, изучающих эти явления;
в. системный метод предполагает исследование количественных и качественных закономерностей протекания вероятностных процессов в сложных экономических системах;
г. структурный метод позволяет установить причины исследуемого явления, объяснить его структуру;
д. системно-структурный метод предполагает, с одной стороны, рассмотрение системы в качестве динамически развивающегося целого, а с другой – расчленение системы на составляющие структурные элементы и рассмотрение их во взаимодействии.
Трендовая модель считается адекватной, если правильно отражает систематические компоненты временного ряда. Это требование эквиваленто требованию, чтобы остаточная компонента удовлетворяла свойствам случайной компоненты временного ряда:
1. Проверка случайности колебаний уровней остаточной последовательности можно проводить с помощью критерия пиков. Общее число поворотных точек для остаточной последовательности обозначим через p. В случайно выборке:
- математическое ожидание числа точек поворота
- дисперсия.
Критерием случайности с 5%-ным уровнем значимости является выполнение неравенства:
Если это неравенство не выполняется, трендовая модель считается неадекватной.
2. Проверка соответствия распределения случайной компоненты нормальному закону распределения.
О
дин из методов основан на RS-критерии. Этот критерий численно равен отношению размаха вариации случайной величины R к стандартному отклонению S.
Рассчетное значение RS-критерия сравнивается с табличными (критическими) нижней и верхней границами данного отношения, и если это отношение не попадает в интервал между критическими границами, то гипотеза о нормальности распределения отвергается. В противном случае принимается.
Для уровня значимости 0,05: n=10 (2,67;3,685). n=20 (3,18;4,49). n=30 (3,47;4,89).
3. Проверка равенства математического ожидания случайной компоненты нулю. Осуществляется на основе t-критерия Стьюдента. Расчетное значение задается формулой
, где - ср. арифм. значение уровней ряда; - стандартное (среднеквадратическое) отклонение для этой последовательности. Если рассчетное значение t меньше табличного значения t? статистики Стьюдента с заданным уровнем значимости ? и числом степеней свободы n-1, то гипотеза о равенстве нулю математического ожидания принимается. Если наоборот – отвергается модель считается неадекватной.
4. Проверка независимости значений уровней случайной компоненты.
Проверка отсутствия существенной автокорреляции в остаточной компоненте по критерию Дарбина-Уотсона. Рассчет ное значение этого критерия определяется по формуле
Для адекватных моделей имеет смысл ставить задачу оценки точности. Точность модели характеризуется величиной отклонения выхода модели от реального значения моделируемой переменной.
В качестве статистических показателей точности применяются: среднее квадратическое отклонение, средняя относительная ошибка аппроксимации, коэффициент сходимости, коэффициент детермизации. n-количество уровней ряда, k-число определяемых параметров модели, yt-оценка уровней ряда по модели, yср – среднее арифмитическое значение уровней ряда.
При экстраполяционном прогнозировании экономической динамики на основе временных рядов с использованием трендовых моделей выполняются следующие основные этапы:
1) предварительный анализ данных;
2) формирование набора моделей (например, набора кривых роста), называемых функциями-кандидатами;
3) численное оценивание параметров моделей;
4) определение адекватности моделей;
5) оценка точности адекватных моделей;
6) выбор лучшей модели;
7) получение точечного и интервального прогнозов;
8) верификация прогноза.
Прогноз на основании трендовых моделей (кривых роста) содержит два элемента: точечный и интервальный прогнозы. Точечный прогноз - это прогноз, которым называется единственное значение прогнозируемого показателя. Это значение определяется подстановкой в уравнение выбранной кривой роста величины времени t, соответствующей периоду упреждения. Такой прогноз называется точечным, так как на графике его можно изобразить в виде точки.
Линейная регрессия — используемая в статистике регрессионная модель зависимости одной (объясняемой, зависимой) переменной y от другой или нескольких других переменных (факторов, регрессоров, независимых переменных) x с линейной функцией зависимости.
Регрессионная модель
где — параметры модели, — случайная ошибка модели, называется линейной регрессией, если функция регрессии имеет вид
где — параметры (коэффициенты) регрессии, — регрессоры (факторы модели), k — количество факторов модели.
Коэффициенты линейной регрессии показывают скорость изменения зависимой переменной по данному фактору, при фиксированных остальных факторах (в линейной модели эта скорость постоянна):
В основе метода наименьших квадратов (МНК) лежит поиск таких значений коэффициентов регрессии, при которых сумма квадратов отклонений теоретического распределения от эмпирического была бы наименьшей.
Иными словами, из всего множества линий, линия регрессии на графике выбирается так, чтобы сумма квадратов расстояний по вертикали между точками и этой линией была бы минимальной:
следовательно
Целью процедур линейной регрессии является подгонка прямой линии по точкам. А именно, построить линию регрессии так, чтобы минимизировать квадраты отклонений этой линии от наблюдаемых точек. Поэтому на эту общую процедуру иногда ссылаются как на оценивание по методу наименьших квадратов. Прямая линия на плоскости (в пространстве двух измерений) задается уравнением Y=ax+b
Матричная форма функционала F метода наименьших квадратов:
где
– случайный вектор-столбец значений результативной переменной размерности (n*1);
– матрица значений факторной переменной размерности (n*(m+1)). Первый столбец является единичным, потому что в модели регрессии коэффициент β0 умножается на единицу
В процессе минимизации функции (1) неизвестными являются только значения коэффициентов β0…βm, потому что значения результативной и факторных переменных известны из наблюдений. Для определения минимума функции (1) необходимо вычислить частные производные этой функции по каждому из оцениваемых параметров и приравнять их к нулю. Результатом данной процедуры будет стационарная система уравнений для функции (1):
где
– вектор-столбец неизвестных коэффициентов модели регрессии размерности((m+1)*1);
Общий вид стационарной системы уравнений для функции:
Решением стационарной системы уравнений будут МНК-оценки неизвестных параметров линейной модели множественной регрессии:
Оценим с помощью метода наименьших квадратов неизвестные параметры линейной модели двухфакторной регрессии:
yi=β0+β1x1i+β2x2i+εi, где
Чтобы рассчитать оценки неизвестных коэффициентов β0,β1 и β2 данной двухфакторной модели регрессии, необходимо минимизировать функционал F вида:
Для определения экстремума функции нескольких переменных, частные производные по этим переменным приравниваются к нулю. Результатом данной процедуры будет стационарная система уравнений для модели множественной линейной регрессии с двумя переменными:
В результате элементарных преобразований данной стационарной системы уравнений получим систему нормальных уравнений:
Данная система называется системой нормальных уравнений относительно коэффициентов для модели регрессии yi=β0+β1x1i+β2x2i+εi.
Полученная система нормальных уравнений является квадратной, т. к. количество уравнений равняется количеству неизвестных переменных, поэтому коэффициенты можно рассчитать с помощью метода Крамера или метода Гаусса.
Рассмотрим подробнее метод Крамера решения квадратных систем нормальных уравнений.
Единственное решение квадратной системы линейных уравнений определяется по формуле:
где Δ – основной определитель квадратной системы линейных уравнений;
Δj – определитель, полученный из основного определителя путём замены j-го столбца на столбец свободных ленов.
При использовании метода Крамера возможно возникновение следующих ситуаций:
1) если основной определитель системы Δ равен нулю и все определители Δj также равны нулю, то данная система имеет бесконечное множество решений;
2) если основной определитель системы Δ равен нулю и хотя бы один из определителей Δjтакже равен нулю, то система решений не имеет.
Оценка значимости уравнения регрессии в целом производится на основе F-критерия Фишера, при этом выдвигается нулевая гипотеза, что коэффициент регрессии b=0, и, следовательно фактор x не оказывает влияния на результат y.
Непосредственно расчету F-критерий Фишера предшествует дисперсионный анализ.
Согласно основной идее дисперсионного анализа, общая сумма квадратов отклонений переменной y от среднего значения раскладывается на две части – «объясненную» и «необъясненную»:
, где
– общая сумма квадратов отклонений;
– сумма квадратов отклонений, объясненная регрессией (или факторная сумма квадратов отклонений);
– остаточная сумма квадратов отклонений, характеризующая влияние неучтенных в модели факторов.
Определение дисперсии на одну степень свободы приводит дисперсии к сравнимому виду. Сопоставляя факторную и остаточную дисперсии в расчете на одну степень свободы, получим величину F-критерия Фишера:
Фактическое значение F-критерия Фишера сравнивается с табличным значением Fтабл(a;k1,k2) при уровне значимости a и степенях свободы k1=m и k2=n-m-1. При этом, если фактическое значение F-критерия больше табличного, то гипотеза H0 отклоняется, делается вывод о существенности связи между x и y, признается статистическая значимость уравнения в целом.
Для парной линейной регрессииm=1, поэтому
.Величина F-критерия связана с коэффициентом детерминации , и ее можно рассчитать по следующей формуле:
Интервалы прогноза по линейному уравнению регрессии
В прогнозных расчетах по уравнению регрессии определяется предсказываемое (ур) значение как точечный прогноз уi при xp=xi, т. е. путем подстановки в уравнение регрессии соответствующего значения х. Однако точечный прогноз явно не реален. Поэтому он дополняется расчетом стандартной ошибки и соответственно интервальной оценкой прогнозного значения (у*).
Подставим в уравнение регрессии выражение параметра
Тогда уравнение регрессии примет вид:
Отсюда вытекает что стандартная ошибка зависит от ошибки Н среднего и ошибки коэффициента регрессииb.
После преобразований получим следующее выражение для расчета стандартной ошибки предсказываемого по линии регрессии значения:
Данная формула стандартной ошибки предсказываемого среднего значения у при заданном значении х характеризует ошибку положения линии регрессии. Как видно из формулы, величина стандартной ошибки достигает минимума при и возрастает по мере того, как удаляется от среднего в любом направлении.
Иными словами, можно ожидать наилучшие результаты прогноза, если xнаходится в центре области наблюдения. Если же значение xнаходится за пределами наблюдаемых значений, то результаты прогноза ухудшаются.
На графике доверительные границы для ух представляют собой гиперболы, расположенные по обе стороны от линии регрессии.
При нелинейной зависимости признаков, приводимой к линейному виду, параметры множественной регрессии также определяются по МНК с той лишь разницей, что он используется не к исходной информации, а к преобразованным данным. Так, рассматривая степенную функцию
,
мы преобразовываем ее в линейный вид:
,
где переменные выражены в логарифмах.
Далее обработка МНК та же: строится система нормальных уравнений и определяются неизвестные параметры. Потенцируя значение , находим параметр a и соответственно общий вид уравнения степенной функции.
Вообще говоря, нелинейная регрессия по включенным переменным не таит каких-либо сложностей в оценке ее параметров. Эта оценка определяется, как и в линейной регрессии, МНК. Так, в двухфакторном уравнении нелинейной регрессии
может быть проведена линеаризация, введением в него новых переменных . В результате получается четырехфактороное уравнение линейной регрессии
.
Совокупность точек оптимума потребителя, построенных для изменяющегося дохода и неизменных цен называетсякривой доход-потребление.
Данная кривая позволяет построить графическое изображение зависимости реального потребления (спроса) от дохода потребителя.
Впервые зависимости данного типа были рассмотрены и практически использованы немецким статистиком XIX в. Христианом Энгелем, и поэтому называются кривыми Энгеля. Для построения кривой Энгеля отложим по вертикальной оси доход потребителя (R), а по горизонтальной — объем потребления одного из товаров за данный период
Форма кривых Энгеля позволяет классифицировать изучаемые товары на нормальные (с выделением в этой группе предметов первой необходимости и предметов роскоши) и на относительно худшие. Если полученная кривая имеет положительный наклон, то товар относится к группе нормальных. Это означает, что с ростом дохода потребление такого товара увеличивается. Если же кривая Энгеля имеет отрицательный наклон, то товар относится к относительно худшим, и с ростом доходов объем его потребления сокращается.
Аналогичным образом можно проанализировать влияние изменения цен на оптимальный выбор потребителя, предположив неизменность дохода и цены одного из товаров.
В первую очередь, отметим, что для линейных моделей МНК-оценки являются линейными оценками, как это следует из вышеприведённой формулы. Для несмещенности МНК-оценок необходимо и достаточно выполнения важнейшего условия регрессионного анализа: условное по факторам математическое ожидание случайной ошибки должно быть равно нулю. Данное условие, в частности, выполнено, если
Первое условие можно считать выполненным всегда для моделей с константой, так как константа берёт на себя ненулевое математическое ожидание ошибок (поэтому модели с константой в общем случае предпочтительнее).
Второе условие — условие экзогенности факторов — принципиальное. Если это свойство не выполнено, то можно считать, что практически любые оценки будут крайне неудовлетворительными: они не будут даже состоятельными (то есть даже очень большой объём данных не позволяет получить качественные оценки в этом случае).
Для того, чтобы кроме состоятельности и несмещенности, оценки (обычного) МНК были ещё и эффективными (наилучшими в классе линейных несмещенных оценок) необходимо выполнение дополнительных свойств случайной ошибки:
Данные предположения можно сформулировать для ковариационной матрицы вектора случайных ошибок
Методы отбора факторов при построение множественной регрессии:
1. метод исключения факторов
2. метод включения факторов.
Эти методы базируются на исп-ии корреляц и частных корреляц матриц. Правило включения в модель факторов: число факторов должно быть как минимум в шесть раз меньше объема выборки, по к-ой строится регрессия; коэфф парной корреляц между факторными признаками должен быть не больше 0,8. Требования к исходной статистической инф-ии для построения мод множественной регрессии: данные должны быть достоверны, однородны и соот-ть нормальному закону распределения. Для проверки однородности рассчитыв-ся коэфф вариации. Допустимым яв-ся менее 33%, в этом случае совок-ть данных яв-ся однородной.
Под мультиколлинеарностью понимается высокая взаимная коррелированность объясняющих переменных, которая приводит к линейной зависимости нормальных уравнений.
Мультиколлинеарность может возникать в силу разных причин. На пример, несколько независимых переменных могут иметь общий вре менной тренд, относительно которого они совершают малые колебания.
Существует несколько способов для определения наличия или отсутствия мультиколлинеарности.
Один из подходов заключается в анализе матрицы коэффициентов парной корреляции. Считают явление мультиколлинеарности в исходных данных установленным, если коэффициент парной корреляции между двумя переменными больше 0,8.
Другой подход состоит в исследовании матрицы Х'Х. Если определитель матрицы Х'Х близок к нулю, то это свидетельствует о наличии мультиколлинеарности.
Подходы к отбору факторов на основе показателей корреляции могут быть разные.
Наиболее широкое применение получили следующие методы построения уравнения множественной регрессии:
а)методИсключения;
б)методВключения;
в)шаговый регрессионный анализ.
Каждый из этих методов по-своему решает проблему отбора факторов, давая в целом близкие результаты - отсев факторов из полного его набора (метод исключения), дополнительное введение фактора (метод включения), исключение ранее введенного фактора (шаговый регрессионный анализ).
В процедуре отсева факторов наиболее широко используется матрица частных коэффициентов корреляции.
При отборе факторов рекомендуется, кроме всего прочего, пользоваться следующим правилом: число включаемых факторов должно быть в 6-7 раз меньше объема совокупности, по которой строится регрессия.
Включение в уравнение множественной регрессии того иного набора факторов связано прежде всего с представлением исследователя о природе взаимосвязи моделируемого показателя с другими экономическими явлениями.
Факторы, включаемые множественную регрессию, должны отвечать следующим требованиям:
Наиболее приемлемым способом отбора факторных признаков является шаговая регрессия (шаговый регрессионный анализ). Сущность метода шаговой регрессии заключается в последовательном включении факторов в уравнение регрессии и последующей проверке их значимости. Факторы поочередно вводятся в уравнение так называемым "прямым методом". При проверке значимости введенного фактора определяется, насколько уменьшается сумма квадратов остатков и увеличивается величина множественного коэффициента корреляции . одновременно используется и обратный метод, т. е. , исключение факторов, ставших незначимыми на основе t-критерия Стьюдента. Фактор является незначимым, если его включение в уравнение регрессии только изменяет значение коэффициентов регрессии, не уменьшая суммы квадратов остатков и не увеличивая их значения.
Коэффициент множественной корреляции (R) характеризует тесноту связи между результативным показателем и набором фактор ных показателей:
где σ2 — общая дисперсия эмпирического ряда, характеризующая общую вариацию результативного показателя (у) за счет факторов;
σост2 — остаточная дисперсия в ряду у, отражающая влияния всех факто ров, кроме х;
у — среднее значение результативного показателя, вычисленное по ис ходным наблюдениям;
s — среднее значение результативного показателя, вычисленное по уравнению регрессии.
Коэффициент детерминации ()— это квадрат множественного коэффициента корреляции. Он показывает, какая доля дисперсии результативного признака объясняется влиянием независимых переменных.
Формула для вычисления коэффициента детерминации:
где — выборочные данные, а — соответствующие им значения модели.
КРИТЕРИЙ ФИШЕРА-показатель достоверности влияния изучаемых факторов на полученный результат. Определяется отношением факториальной вариансы к вариансе ошибок:
где F — показатель достоверности;
|| — факториальная варианса;
— варианса ошибок.
Критерий t Стьюдента направлен на оценку различий величин средних и двух выборок X и Y, которые распределены по нормальному закону.
В общем случае формула для расчета по t - критерию Стьюдента такова:
, где
С использованием теоремы о разложении дисперсий рассчитываются следующие показатели качества линейной модели множественной регрессии:
1) множественный коэффициент корреляции между зависимой переменной у и несколькими независимыми переменнымихi:
Данный коэффициент характеризует степень тесноты связи между зависимой и независимыми переменными. Свойства множественного коэффициента корреляции аналогичны свойствам линейнойго парного коэффициента корреляции.
2) теоретический коэффициент детерминации рассчитывается как квадрат множественного коэффициента корреляции:
Данный коэффициент характеризует в процентном отношении вариацию зависимой переменной, объяснённой вариацией независимых переменных;
3) показатель
характеризует в процентном отношении ту долю вариации зависимой переменной, которая не учитывается а построенной модели регрессии;
4) среднеквадратическая ошибка модели регрессии (Mean square error – MSE):
где h– это количество параметров, входящих в модель регрессии.
Если показатель среднеквадратической ошибки окажется меньше показателя среднеквадратического отклонения наблюдаемых значений зависимой переменной от модельных значений ?(у), то модель регрессии можно считать качественной.
Показатель среднеквадратического отклонения наблюдаемых значений зависимой переменной от модельных значений рассчитывается по формуле:
5) показатель средней ошибки аппроксимации рассчитывается по формуле:
Если величина данного показателя составляет менее 6-7%, то качество построенной модели регрессии считается хорошим. Максимально допустимым значением показателя средней ошибки аппроксимации считается 12-15 %.
Фиктивная переменная — это индикаторная пе ременная, отражающая качественную характеристику. Это могут быть разного рода атрибутивные призна ки, такие, например, как профессия, пол, образование, климати ческие условия, принадлежность к определенному региону. Что бы ввести такие переменные в регрессионную модель, им должны быть присвоены те или иные цифровые метки, т. е. каче ственные переменные преобразованы в количественные.
Основные характеристики производственной функции Кобба-Дугласа, ее определение, оценка параметров и применение в эмпирических исследованиях. Двухфакторная производственная функция как модель экономического роста, учитывающая число факторов производства.
Полученная регрессионная модель характеризуется:
1. высоким качеством оценивания: с позиции стандартной ошибки оценки свободного члена, равной 1,45%, стандартной ошибки оценки рассеяния наблюдаемых значений относительно линии регрессии, равной 6,15%;
2. значимостью и надежностью: с позиции целесообразности включения в регрессионную модель соответствующих факторов, характеризующихся коэффициентом детерминации R2 = 99,9%, и F – критерием Фишера, при анализе которого ;
3. адекватностью и точностью, с точки зрения прогнозирования, определяющихся на основе соответствия прогнозного значения доверительным границам.
ЛИТЕРАТУРА