Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
§ 98. Средний свободный пробег газовых молекул
Для характеристики теплового движения в газах во многих случаях весьма важно знать величину свободного пробега, т. е. среднюю длину пути молекулы между двумя соударениями и среднее число соуда рений, испытываемых одной молекулой в 1 сек.
Чтобы вычислить среднюю длину пути, рассуждаем следующим образом.
Рис. 277. К вычислению средней длины пути молекулы газа.
Движущаяся молекула столкнётся в течение 1 сек. со всеми теми молекулами газа, центры которых расположены внутри цилин дрического объёма, описанного по пути движения молекулы и имею щего радиус, в два раза превышающий радиус молекулы (рис. 277); объём этот равен (2r)2•и; число молекул, центры которых должны находиться в указанном объёме, равно n(2r)2•u, где n — среднее число молекул газа в 1 см3. Таким образом, если бы все остальные молекулы, кроме рассматриваемой, были неподвижны, то среднее число соударений , испытываемых моле кулой в 1 сек., было бы равно,:
= n(2r)2•u.
В действительности среднее число соударений должно быть больше
полученной нами величины, так как вследствие движения окружающих молекул рассматриваемая молекула испытала бы некоторое число со ударений даже в том случае, если бы сама она оставалась в течение данной секунды неподвижной. Точный подсчёт показывает, что полу ченный нами результат должен быть увеличен в 2 раз. Итак,
Сопоставляя эту формулу с предыдущей формулой, находим, что
Если N есть число молекул газа, содержащихся в объёме v, то
очевидно, что п =N/v. Подставляя это выражение для n в предыду щую формулу и обозначая собственный объём молекул через b'
получаем:
(14)
Мы видим, таким образом, что отношение свободного пробега к радиусу молекулы r равно отношению всего объёма, занимаемого газом, к учетверённому собственному объёму его молекул.
Приводимая таблица содержит некоторые числовые данные для да газов, взятых при нормальных условиях.
Некоторые молекулярные характеристики для ряда газов при 0°С и p=1 am
При нормальном давлении и 0°С свободный пробег молекул водо рода составляет примерно одну десятитысячную долю миллиметра. По формуле (14) свободный пробег возрастает пропорционально удель ному объёму, т. е. в случае неизменной температуры обратно про порционально давлению. Стало быть, при давлении в 0,0001 am, т. е. 0,76 мм рт. ст., свободный пробег молекул водорода равен 1 мм, & при давлениях порядка 0,001 мм рт. ст. свободный пробег дости гает величины нескольких сантиметров. Приводим средние величины свободных пробегов молекул воздуха при нормальной температуре и различных давлениях:
Если сопоставлять средние свободные пробеги молекул какого-либо газа при одинаковых давлениях, но разных температурах, то по формуле (14) свободный пробег должен бы возрастать пропорционально температуре (поскольку при р=const пропорционально температуре возрастает удельный объём).
Здесь следует, однако, вспомнить сказанное в § 87 о неко торой условности величины радиуса молекул: чем интенсивнее проис ходит соударение молекул, тем больше сближаются молекулы в момент удара, т. е. тем меньше их «эффективный радиус». Проявление моле кулярных сил притяжения сказывается при соударении молекул в искри влении траекторий молекул (подобно движению кометы, которая, при близившись к Солнцу по одной ветви гиперболы и обогнув Солнце, удаляется по другой ветви гиперболы). Уподобляя молекулы малень ким упругим шарикам и заменяя этим весьма упрощённым предста влением действительную сложную картину притяжения и отталкивания молекул при их соударениях, мы должны считать эффективный радиус молекул несколько убывающим при повышении температуры.
Указанное влияние температуры газа на эффективный радиус мо лекул, как показал Сезерленд в 1893 г., можно определить формулой
Здесь С—некоторая характерная для газа константа. Для воз духа С=119, для кислорода С=138, для водорода С=83, для углекислоты С=240.
В соответствии с формулой Сезерленда, если через 0 обозначить свободный пробег, вычисленный по формуле (14) при наибольшем значении эффективного радиуса молекул r=r0=const, величина свободного пробега при температуре Т будет:
(при v=const, т. е. при неизменной плотности газа).
Таким образом, свободный пробег молекул зависит от температуры двояко: через удельный объём и, как было только что пояснено, через эффективный радиус молекул. В итоге свободный пробег молекул газа при неизменном давлении и при повышении температуры возрастает
быстрее, чем температура; в некоторых интервалах температур он
приближённо пропорционален Т3/2; в этом случае коэффициент само диффузии (D=1/3u), а также и коэффициенты взаимодиффузии будут пропорциональны Т2, как это было указано на § 96.
Очевидно, что вследствие случайности молекулярных столкновений истинные свободные пробеги молекул газа могут быть весьма различ ными— и большими, и меньшими, чем . Клаузиус показал, что
в среднем число частиц n, которым удаётся пролететь без столкно вения путь х, составляет от общего числа частиц n0 долю
При х — по формуле Клаузиуса n/n0=1/e , т. е. около 1/3. Стало
быть, в газе преобладают истинные свободные пробеги меньшие, чем средний пробег ; только примерно 1/3 молекул проходит без соуда рений пути, большие, чем .