Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
27
Придніпровська державна академія будівництва та архітектури
АНАЛІЗ НА ОСНОВІ МЕТОДА СКІНЧЕННИХ ЕЛЕМЕНТІВ ОСЕСИМЕТРИЧНОГО ДЕФОРМУВАННЯ ТОНКИХ ПРУЖНИХ КОНІЧНИХ ОБОЛОНОК І ПЛАСТИН
Спеціальність 05.23.17 –Будівельна механіка
АВТОРЕФЕРАТ
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата технічних наук
Робота виконана в Придніпровській державній академії будівництва та архітектури (ПДАБтаА), Міністерства освіти і науки України.
Науковий керівник:
доктор технічних наук, професор Красовський Василь Леонідович, Придніпровська державна академія будівництва та архітектури, завідуючий кафедрою будівельної механіки та опору матеріалів.
Офіційні опоненти:
доктор технічних наук, професор Грищак Віктор Захарович, Запорізький державний університет, професор кафедри прикладної математики, проректор з науково-дослідної роботи та міжнародного співробітництва;
кандидат технічних наук, професор Дем’яненко Анатолій Григорович, Дніпропетровський державний аграрний університет, професор кафедри теоретичної механіки та опору матеріалів.
Провідна установа:
Дніпропетровський національний університет, кафедра обчислювальної механіки та міцності конструкцій, Міністерство освіти і науки України (м. Дніпропетровськ).
Захист відбудеться 17 червня 2004 р. о 13 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 08.085.02 при Придніпровській державній академії будівництва та архітектури за адресою: 49600, м. Дніпропетровськ, вул. Чернишевського, 24-а.
З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці Придніпровської державної академії будівництва та архітектури за адресою: 49600, м. Дніпропетровськ, вул. Чернишевського, 24-а.
Автореферат розісланий 14 травня 2004р.
Вчений секретар
спеціалізованої вченої ради
д.т.н., професор Кваша Е.М.
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми. У практиці сучасного будівництва та машинобудування в якості відповідальних силових елементів різних конструкцій широко використовуються пружні тонкі круглі пластини та конічні оболонки. Це елементи перекритть, покрівель і фундаментів будівель циліндричної форми, днища та покрівлі циліндричних резервуарів, елементи різноманітних посудин, бункерів і т. ін.
Для розглядуваних тонких пластин та оболонок, поведінка яких описується в рамках лінійної теорії, основні властивості їх напружено-деформованого стану (НДС) під дією різноманітних навантажень вивчено досить докладно. Є відповідні аналітичні розв'язання, які дозволяють визначити практично усі компоненти їх НДС. Для аналогічних пластин і оболонок, розташованих на малозв'язних основах, деякі питання, зв'язані з визначенням усіх компонентів НДС, належним чином не вивчені, тому що для їх визначення використовуються наближені методи. У той же час, точність визначення НДС безпосередньо впливає на матеріалоємність конструкцій, їх довговічність та економічність.
У нелінійній постановці для гнучких круглих пластин і конічних оболонок задачі їх деформування вивчено недостатньо, що обумовлено складністю або й неможливістю отримання більш-менш точних аналітичних розв'язань, придатних для практичного використання. Для дуже обмеженої кількості пластин та оболонок без основи такі розв'язання є тільки для деяких простих випадків навантажень. В більш складних випадках, наприклад, при наявності основи, а тим більше неоднорідностей в навантаженні чи основі, аналітичні розв'язання, які забезпечують достатню точність визначення усіх необхідних компонентів НДС, відсутні. При розв'язанні подібних задач має сенс використовувати числові методи. Найбільш розробленим та ефективним для розв'язання задач такого класу є метод скінченних елементів (МСЕ).
Дана робота присвячена розробці осесиметричних скінченних елементів на пружній основі та аналізу за допомогою МСЕ нелінійного та лінійного осесиметричного деформування тонких круглих пластин і конічних оболонок, як розташованих на однорідних і неоднорідних основах, так і без основи. Розглянуто складні та прості випадки навантажень при різних закріпленнях пластин та оболонок. Сказане й обумовлює актуальність обраної теми роботи.
Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертація узагальнює результати досліджень автора у галузі пластин та оболонок, які виконувались на кафедрі будівельної механіки та опору матеріалів ПДАБтаА у 1999-2004 рр. Дослідження проводились у рамках фундаментальних і прикладних держбюджетних (Програми Міністерства освіти і науки України за напрямком 04 "Екологічно чиста енергетика та ресурсозберігаючі технології", номери держ. реєстрації 01100U003689, 1999-2001 рр.; 0102U002364, 2002 і 2003 рр.; 0102U006356, 2002 і 2003 рр.) та госпдоговірної („Аналіз напружено-деформованого стану пластини складної структури”, ПДАБтаА, № 529, 2003 р.) науково-дослідних робіт. В усіх роботах здобувач виступав у якості виконавця: приймав участь у доборі та аналізі літературних джерел, розробляв скінченні елементи, складав програми для розрахунків на ЕОМ та виконував розрахунки.
Мета і задачі дослідження. Головною метою роботи є розробка осесиметричних скінченних елементів на пружній основі та аналіз на їх основі задач нелінійного та лінійного осесиметричного деформування тонких пружних круглих пластин і конічних оболонок, як розташованих на основі, так і без основи.
Задачі дослідження:
Об'єкт дослідження - тонкі круглі пластини і конічні оболонки постійної та змінної товщини на пружній основі та без основи.
Предмет дослідження - процес геометрично нелінійного та лінійного деформування тонких пружних конічних оболонок і круглих пластин, як розташованих на пружній основі, так і без основи.
Теорії і методи дослідження: геометрично нелінійна та лінійна технічні теорії оболонок і пластин; метод скінченних елементів; метод Ньютона; метод послідовних наближень.
Наукова новизна отриманих результатів.
Практичне значення отриманих результатів полягає у наступному:
Особистий внесок здобувача. Уся робота здобувачем виконана самостійно, за винятком загальної постановки проблеми та заключного аналізу отриманих результатів
Апробація результатів дисертації. Основні положення та результати дисертації доповідалися, обговорювалися та отримали схвалення на 10-му Українсько-Польському семінарі "Theoretical Foundation of Civil Engineering" (Варшава, Польща, 2002), на другій Всеукраїнській науково-практичній конференції "Україна наукова 2002" (Дніпропетровськ, Україна, 2002), на 5-тій Міжнародній науково-практичній конференції "Наука і освіта 2002" (Дніпропетровськ, Україна, 2002), на 11-му Українсько-Польському семінарі "Theoretical Foundation of Civil Engineering" (Дніпропетровськ, Україна, 2003), на конференції "Стародубівські читання 2003" (Дніпропетровськ, Україна, 2003), на форумі "Інформаційні технології у ХХІ столітті" (Дніпропетровськ, Україна, 2004), на Міжвузівському семінарі "Нелінійні проблеми механіки" (Дніпропетровськ, Україна, 2004), на засіданнях кафедри будівельної механіки та опору матеріалів ПДАБтаА (Дніпропетровськ, Україна, 2000-2004).
Публікації. За результатами дисертації опубліковано 8 друкованих праць, у тому числі статей у фахових виданнях - 6, тез конференцій - 2.
Структура та обсяг роботи. Дисертація складається з вступу, 5 розділів, висновків, списку використаних літературних джерел з 167 найменувань та додатка, у якому наведено документи, що підтверджують упровадження результатів роботи. Загальний обсяг роботи становить 137 сторінок (134 сторінки основного тексту). В дисертації наведено 46 рисунків і 36 таблиць.
Автор вважає своїм приємним обов'язком подякувати к.ф.-м.н., доц. Олександра Олександровича Бобильова за змістовні лекції з методу скінченних елементів, консультації та увагу до цієї роботи.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
У вступі обґрунтовано вибір теми роботи та її актуальність, сформульовано мету та задачі дослідження, перелічено методи, які використовувались при розв'язанні різноманітних задач деформування тонких круглих пластин і конічних оболонок, як розташованих на пружній основі, так і без основи. Відзначено наукову новизну, теоретичну та практичну значимість отриманих результатів.
У першому розділі дано коротку характеристику сучасного стану проблеми, що розглядається в дисертації. Обґрунтовано доцільність досліджень, проведених у даній роботі.
У другому розділі отримано скінченні елементи, які дозволяють описати осесиметричне нелінійне та лінійне деформування тонких конічних оболонок, кільцевих і круглих пластин, як розташованих на однорідній чи неоднорідній пружній малозв'язній основі, так і без основи.
Основним є скінченний елемент у вигляді зрізаної конічної оболонки на пружній основі (рис.1). З нього, як окремий випадок, шляхом відповідного спрощення матриць отримуються елементи для оболонок і пластин без основи. В’язь між елементами та основою може бути як однобічною, так і двобічною.
|
Рис.1. Схема конічного скінченного елемента |
Основними невідомими є переміщення точки серединної поверхні u і w, відповідно спрямовані по дотичній та нормалі до поверхні оболонки. Кут нахилу твірної до основи |
конуса - φ; радіус i-го вузлового кола - Ri; радіус нижньої основи конічної оболонки –R; радіус кола, паралельного основі конуса, - r (0 r R); s=r / cosφ; довжина скінченного конічного елемента - l.
Використання такого елемента дозволяє значно зменшити порядок матриць, точно описати геометрію, умови закріплення оболонки, радіальні неоднорідності у навантаженнях та основі, а також суттєво зменшити похибки, які виникають з-за округлення чисел при розв’язанні великих систем рівнянь.
Пружна основа складається з малозв’язного ґрунту, поведінка якого задовільно описується у рамках моделі Вінклера. Інтенсивність зовнішніх сил p=p(s), які діють на елемент в околі розглядуваної точки, складається з інтенсивності заданого навантаження q=q(s) та реактивного тиску основи p*=p*(s)=k*w*, де k* –коефіцієнт постелі основи; w* –переміщення поверхні основи, яке дорівнює переміщенню серединної поверхні елемента w в розглядуваній точці, якщо контакт між елементом і основою не порушено. Таким чином p=q - p*.
Згідно з геометрично нелінійною технічною теорією пружних оболонок, деформації та переміщення зв’язані виразами
, , , . (1)
Вважається, що матеріал елемента має ізотропні властивості, тому вирази для визначення погонних нормальних зусиль (N, N) та згинаючих моментів (M, M), відповідно в меридіональному та коловому напрямках, мають вигляд
, , , . (2)
Тут , Е –відповідно коефіцієнт Пуассона та модуль пружності матеріалу елемента; h –товщина, а D=Eh/[12(1-ν)] –циліндрична жорсткість елемента.
Переміщення усієї системи визначаються скінченним числом вузлових параметрів {δ}. В кожному з двох вузлів елемента (i, j) задаються його меридіональне (ui, uj) та поперечне (wi, wj) лінійні переміщення, а також кут повороту (βi, βj). В локальній системі координат переміщення будь-якої точки в межах елемента визначаються таким чином
. (3)
Матриця [N] має вигляд
, (4)
де Ni(L), Nj(L), Mi(L), Mj(L) –базисні функції, що належать до класу поліномів Ерміта:
, , , . (5)
Тут - безрозмірна координата (0 L 1); .
Виходячи з принципу віртуальних робіт, повинна виконуватись рівність
, (6)
де {ψ} –сума зовнішніх та внутрішніх узагальнених сил; матриця складається з матриць та ; - матриця, яка містить лінійні компоненти деформацій; - матриця, яка містить нелінійні компоненти деформацій; {σ} - вектор напружень; - вектор зовнішніх узагальнених сил; - вектор вузлових сил, обумовлений навантаженнями, незалежними від переміщень; - вектор вузлових сил, обумовлений навантаженнями, що залежать від переміщень (реактивний тиск основи). Таким чином
, , (7)
. (8)
Тут {q} –вектор інтенсивностей розподілених навантажень; і - коефіцієнти постелі основи у вузлах i, j. Вираз (8) відповідає лінійній залежності розподілення коефіцієнта постелі основи в межах елемента.
Система нелінійних алгебраїчних рівнянь (6) розв'язується за методом Ньютона.
У випадку лінійного деформування при нульовому наближенні вектор приймається рівним нулю й на основі рівнянь (6) знаходиться відповідний розв'язок задачі.
При розгляданні конічних оболонок для пошуку розв’язань, які відповідають закритичному деформованому стану оболонки, в якості нульового наближення використовується вектор
, (9)
де {δ}A –вектор переміщень, отриманий для стану оболонки, який відповідає точці, що розташована на діаграмі "навантаження –прогин вершини оболонки" лівіше розв'язання, що відшукується; {δ}B - вектор переміщень, отриманий для стану оболонки, який відповідає точці на діаграмі, що розташована правіше розв'язання, що відшукується; kA, kB –коефіцієнти, які обираються у кожному окремому випадку, в залежності від того, на якій гілці діаграми необхідно знайти розв’язання.
Кільцевий та центральний круглий скінченні елементи для тонких пластин отримуються при спрощенні виразів для елемента у вигляді конічної оболонки (φ=0). Крім того, центральний круглий елемент потребує додаткового розгляду. При r=0 повинна виконуватись умова: u=0 і dw/dr=0. Для ненульових коефіцієнтів матриці жорсткості при малих деформаціях вирази, що знаходяться під знаком інтегралу, мають таку структуру, що при використанні числового інтегрування, вони дорівнюють нескінченності. Точне аналітичне інтегрування дозволяє при розкриванні невизначеності 0·∞ відійти від нескінченності при визначенні згаданих коефіцієнтів. В подальшому при розгляданні пластин використано загальновизнані для них позначення нормальних зусиль (Nr=N, N=N) та згинаючих моментів (Мr=М, М=М), відповідно в радіальному та коловому напрямках.
У розділі також наведено коефіцієнти матриць жорсткості, отримані при точному аналітичному інтегруванні, для елементів у вигляді зрізаної конічної оболонки та круглої пластини на пружній основі. Для елементів без основи або при порушенні контакту між ними та основою (випадок однобічної в'язі) використовуються ті ж коефіцієнти матриць, але при цьому в них коефіцієнт постелі основи треба покласти рівним нулю.
У випадку однобічної в'язі між розглядуваною конструкцією та пружною основою задача розв'язується за допомогою методу послідовних наближень. У якості першого наближення приймається розв'язання, отримане при двобічній в'язі. В наступних наближеннях у вузлах, де спостерігається розтяг основи, основа повинна виключатися з роботи. Процес повторюється до тих пір, доки у двох послідовних наближеннях зони контакту основи та конструкції не будуть рівними між собою.
У третьому розділі проведено тестування отриманих скінченних елементів шляхом розв'язання відомих задач, котрі мають точне аналітичне або числове розв'язання, отримане іншим методом, а також порівнянням з експериментальними даними. Розрахунки проводились при різній кількості скінченних елементів. Цілком зрозуміло, що необхідна кількість розглядуваних скінченних елементів при розв'язанні кожної задачі повинна встановлюватись індивідуально, бо вона суттєво залежить від обраної моделі, яка описує поведінку конструкції, умов закріплення та виду навантаження, а також від того, які фактори необхідно визначити та дослідити в результаті розрахунку. Для розглянутих пластин надано деякі рекомендації по необхідній кількості елементів.
Результати розрахунків МСЕ різних жорстких круглих і кільцевих пластин постійної та змінної товщини під дією різноманітних навантажень порівнювалися з результатами, отриманими з відомих точних аналітичних розв'язань лінійних задач згину, наведених у роботах В.Л. Бідермана, Д.В. Вайнберга та Є.Д. Вайнберга, О.І. Теребушка, С.П. Тимошенка та С. Войновського-Кригера. Для перевірки правильності врахування основи проведено ряд розрахунків круглих пластин, розташованих на основі Вінклера. Результати розрахунків МСЕ порівнювалися з результатами, наведеними в роботах С.П. Тимошенка та С. Войновського-Кригера, М.І. Горбунова-Посадова (розрахунок Ф. Шлейхера). Для різних гнучких круглих пластин результати розрахунків МСЕ порівнювалися з наступними результатами: а) отриманими при використанні наближених аналітичних розв'язань, наведених у роботах А.С. Вольміра, С.П. Тимошенка та С. Войновського-Кригера; б) отриманими Ч. Бертом і Д. Мартіндейлом при уточненні наближеного розв'язання С.П. Тимошенка; в) отриманими на основі таблиць М.С. Корнішина та Ф.С. Ісанбаєвої, створених за допомогою методу скінченних різниць (МСР); г) експериментів Ю.Г. Конопльова та А. Макферсона, В. Рамберга, С Леві. Так, Ч. Берт і Д. Мартіндейл навели приклади розрахунку жорстко защемленої круглої пластини з R=2,54 м; h=1,27 см; E=203 ГПа та =0,3. На пластину діє рівномірно розподілене навантаження інтенсивності Qпр=qR/(Eh). Для центра пластини визначалися прогини (w) та нормальні напруження від згину на нижній поверхні пластини (σr). Деякі результати розрахунків наведено в таблиці 1.
Таблиця 1
Прогини та нормальні напруження
|
Джерело |
Qпр=5,517 |
Qпр=114,7 |
||
|
w, мм |
σr, МПа |
w, мм |
σr, МПа |
|
|
Ч. Берт, Д. Мартіндейл |
9,235 |
,721 |
,39 |
,58 |
|
МСЕ |
,242 |
9,723 |
,59 |
,95 |
В таблиці 2 наведено результати розрахунку МСЕ та МСР (за даними М.С. Корнішина та Ф.С. Ісанбаєвої) жорстко защемленої круглої пластини з R=1 м, h=4 мм, E=200 ГПа та =0,3 (рис.2). На
|
Рис.2. Схема навантаження |
пластину одночасно діють рівномірно розподілені навантаження інтенсивностей q=563,2 Па та q*=57,02 Н/м. Радіус кола, що обмежує зону дії навантажень, - b*=0,5625 м. |
Таблиця 2
Прогини, згинаючі моменти та нормальні зусилля
|
Метод |
В центрі пластини |
В защемленні |
|
w, мм |
Mr=Mθ, Н.м/м |
Nr=Nθ, кН/м |
Mr , Н.м/м |
Mθ, Н.м/м |
Nr , кН/м |
Nθ , кН/м |
|
|
МСР |
,232 |
,87 |
,666 |
-21,25 |
-6,374 |
,750 |
,125 |
|
МСЕ |
3,254 |
,99 |
,743 |
-21,26 |
-6,377 |
,793 |
,138 |
На рис.3 безперервною лінією наведено експериментальні дані, отримані Ю.Г. Конопльовим при випробуванні шарнірно закріпленої круглої пластини, а чорними кружечками –результати розрахунку МСЕ. Матеріал пластини –дюралюміній Д-16АТ ГОСТ 4977-52 з Е=71·ГПа та =0,31.
|
Рис.3. Епюра прогинів пластини |
Пластину з h=1,9 мм і R=110 мм завантажено силою F=100 Н, рівномірно розподіленою по колу радіуса b*=55 мм. |
|
Рис.4. Залежності прогину центра пластини від величини навантаження |
На рис.4 лініями наведено експериментальні прогини центрів трьох круглих пластин wпр=w/h під дією рівномірно розподіленого навантаження інтенсивності Qпр=qR/(Eh), отримані А. Макферсоном, В. Рамбергом і С. Леві, а чорними кружечками та трикутничками - дані, отримані МСЕ. Пластини жорстко защемлені. Матеріал пластин E та F мав ν=0,29, а пластини L - ν=0,31. |
Проведено розрахунок сталевої (E=200 ГПа, =0,3) тонкої конічної оболонки з жорсткою вставкою (рис.5), поведінка якої задовільно описується лінійною теорією.
|
Рис.5. Схема оболонки |
Оболонка защемлена по контуру та навантажена внутрішнім тиском інтенсивності q=0,1 МПа. Результати розрахунків наведено на рис.6. |
Рис.6. Епюри нормальних зусиль і згинаючих моментів
На рис.6 безперервними лініями показано нормальні зусилля та згинаючі моменти (N, M) в меридіональному, а пунктирними лініями - нормальні зусилля та згинаючі моменти (N, M) в окружному напрямку, отримані МСЕ в роботі І.Ф. Образцова, Л.М. Савельєва та Х.С. Хазанова (використовувались ізопараметричні скінченні елементи першого порядку). Білими та чорними кружечками позначено результати розрахунку МСЕ, основаному на елементах, наведених в дисертації. Чорними та білими трикутничками позначено результати, отримані С.В. Бояршиновим з аналітичних розв'язань. Для зручності зображення згинаючий момент М наведено з протилежним знаком.
Для конічної панелі під рівномірним зовнішнім тиском побудовано діаграму рівноважних форм. Поведінка панелі описувалася у рамках геометрично нелінійної теорії. Характер залежностей "навантаження –прогин вершини панелі", наведених в роботі А.С. Вольміра, отриманих при наближеному аналітичному розв'язанні задачі, та за допомогою МСЕ, виявилися подібними.
У четвертому розділі розглянуто круглі жорсткі та гнучкі пластини, розташовані на малозв'язних основах двох типів: перший - основа працює тільки на стиск і контакт між пластиною та основою може порушитись (випадок однобічної в’язі), другий –основа однаково працює як на стиск, так і на розтяг (випадок двобічної в’язі). Досліджено вплив на НДС пластин величин та видів навантажень, умов закріплень і характеристик основи: наявності пустот, змінності коефіцієнта постелі, виду в’язі між пластиною та основою.
Для жорсткої пластини розрахунки виконано на дію навантаження, рівномірно розподіленого по всій поверхні пластини. В усіх випадках в основі не виникали зусилля розтягу. Для пластини, вільно опертої на жорсткий контур, розглянуто випадки, коли коефіцієнт постелі основи в межах пластини постійний або змінний. Неоднорідності, зв'язані зі зменшенням коефіцієнта постелі під частиною пластини, призвели до збільшення прогинів та згинаючих моментів. Для цих випадків більш небезпечним є зменшення коефіцієнта постелі під центром пластини. При розгляданні пластини, вільно лежачої на основі зі змінним коефіцієнтом постелі, у випадках коли основа, в цілому, більш піддатлива, переміщення збільшились, а усі згинаючі моменти зменшились за абсолютним значенням. Для розглянутих випадків більш небезпечним є збільшення коефіцієнта постелі під центром пластини. Для жорстко защемленої пластини збільшення коефіцієнта постелі призвело до зменшення прогинів і абсолютних значень згинаючих моментів, навіть якщо цей коефіцієнт змінний. При цьому, більш небезпечним є зменшення коефіцієнта постелі основи під центром пластини. Також розглянуто два випадки пустот в основі: під центром защемленої пластини та на віддалі від центру. Поява пустот призвела до збільшення прогинів пластини та до збільшення за абсолютним значенням усіх згинаючих моментів. Більш небезпечним виявився випадок, коли пустота віддалена від центру.
Для гнучких пластин варіювалися властивості основи, вид і величина навантаження.
Для випадків, коли в основі не виникають зусилля розтягу, розглянуто гнучкі пластини жорстко защемлені та вільно лежачі на основі. Для жорстко защемленої пластини, розташованої на основі з постійним коефіцієнтом постелі, при навантажені по всій поверхні рівномірно розподіленим тиском різної інтенсивності зі збільшенням тиску або зменшенням коефіцієнта постелі прогини, нормальні зусилля та згинаючі моменти за абсолютним значенням збільшились. Найбільші прогини виникають не в центрі пластини, а в точках, розташованих на колах радіусу r=0,64 –,69 м. Причому, зі зменшенням коефіцієнта постелі r зменшується. Найбільші за абсолютним значенням згинаючі моменти виникають в защемленні, а нормальні зусилля –в центрі пластини. Додатний екстремум для радіальних згинаючих моментів розташовано на колі радіусу r=0,82 – 0,85 м і для колових - r=0,84 – 0,85 м. Зі збільшенням навантаження на пластину, вільно лежачу на основі зі змінним коефіцієнтом постелі, усі величини прогинів, нормальних зусиль і згинаючих моментів збільшились за абсолютним значенням. При збільшенні коефіцієнта постелі переміщення зменшились, а згинаючі моменти та нормальні зусилля збільшились. Виходячи з умови міцності, більш небезпечним є зменшення коефіцієнта постелі під центром пластини, а за переміщеннями більш небезпечне зменшення коефіцієнта постелі на контурі пластини.
Для гнучкої пластини (h=4 мм, R=1 м, =0,3 та Е=200 ГПа), що вільно лежить на основі з постійним коефіцієнтом постелі k*=50 МН/м, розглянуто два випадки навантажень, при яких контакт між пластиною та основою може порушитись. Наведено результати розрахунків для однобічної та двобічної в'язі між пластиною та основою.
|
Рис.7. Схема навантаження пластини для випадку 1 |
Випадок 1: на пластину діє рівномірно розподілене по контуру навантаження інтенсивності q*=1 кН/м (рис.7). Результати розрахунків наведено на рис.8 –, а, б. |
а) однобічна в'язь б) двобічна в'язь
Рис.8. Переміщення пластини для випадку 1
а) однобічна в'язь б) двобічна в'язь
Рис.9. Згинаючі моменти в пластині для випадку 1
а) однобічна в'язь б) двобічна в'язь
Рис.10. Нормальні зусилля в пластині для випадку 1
У першому випадку необхідно враховувати вид в'язі між пластиною та основою, тому що вона суттєво впливає на величини усіх компонентів НДС пластини, а також на характер взаємодії пластини з основою. При однобічній в'язі більша частина пластини не прилягає до основи.
Випадок 2: на пластину одночасно діють три рівномірно розподілених навантаження (рис.11). Навантаження інтенсивностей q* =1 кН/м і М*=0,1 кН·м/м прикладені на контурі пластини, а
|
Рис.11. Схема навантаження пластини для випадку 2 |
навантаження інтенсивності q=5 кПа рівномірно розподілене по всій поверхні пластини. На рис.12,а,б наведено епюри переміщень пластини. |
а) однобічна в'язь б) двобічна в'язь
Рис.12. Переміщення пластини для випадку 2
У другому випадку вид в’язі не чинить такого суттєвого впливу, як у першому випадку, на НДС пластини. Як при однобічній, так і при двобічній в'язі тільки невелика частина пластини має від'ємні переміщення і границі зон, де відбувається це явище, практично співпадають. При однобічній в’язі екстремальні значення переміщень, згинаючих моментів і радіальних нормальних зусиль за абсолютною величиною мало відрізняються від відповідних значень при двобічній в’язі. Окружні ж нормальні зусилля відрізняються на величину до 10 %.
У п'ятому розділі досліджено поведінку конічних оболонок, як розташованих на пружній малозв'язній основі, так і без основи. У якості замикаючого елемента (вставки) у вершині оболонок використано пластину. Поведінку оболонок розглянуто у рамках геометрично нелінійної теорії. Наведено випадки, коли контакт між оболонками та основою не порушується і в основі не виникають зусилля розтягу.
Насамперед проведено аналіз деформування конічної оболонки з h=4 мм, R=1 м φ=2º, Е=200ГПа і ν=0,3 під рівномірним зовнішнім тиском (рис. 13).
|
Рис.13. Схема оболонки |
На рис.14 зображено діаграму "навантаження –прогин центра замикаючого елемента" для цієї оболонки. На діаграмі навантаження та переміщення наведено у безрозмірних величинах: Qпр=qR/(Eh) і wпр=wо/h, де wо –прогин центра вставки. З діаграми видно, що оболонка втрачає стійкість. Характерні стани оболонки на діаграмі позначено точками A, B, C, D та E. |
Процес пошуку розв'язань, які відповідають спадній та висхідній ділянкам діаграми між
|
Рис.14. Діаграма "навантаження –прогин" |
точками A та E, будувався за допомогою методу Ньютона при відповідному виборі початкового наближення. Початковий стан серединної поверхні оболонки та її деформовані стани при різних значеннях зовнішнього тиску, які відповідають точкам A, B, C, D та E, зображено на рис. 15. |
Рис.15. Деформовані стани оболонки
На рис.16 - 19 наведено епюри нормальних зусиль N, N та згинаючих моментів M, M для різних станів оболонки, які відповідають точкам A, B, C, D та E.
|
Рис.16. Нормальні зусилля N |
Рис. 17.Нормальні зусилля N |
|
Рис.18. Згинаючі моменти M |
Рис.19. Згинаючі моменти M |
З наведених даних видно, що при переході з стану A в стан E, через стани B, C і D, спостерігається тенденція до зростання за абсолютними значеннями максимальних прогинів. При цьому переході положення максимального прогину зміщується до вершини оболонки. Та ж тенденція спостерігається й для максимальних за абсолютними значеннями нормальних зусиль і згинаючих моментів.
В дисертації наведено значення найбільших прогинів, найбільших за абсолютними значеннями нормальних зусиль та згинаючих моментів, а також координати перерізів, у яких виникають згадані величини.
Для тієї ж оболонки, але розташованої на пружній основі з постійним коефіцієнтом постелі k*=50 МН/м, розглянуто процес деформування при зовнішньому тиску. Побудовано діаграму "навантаження –прогин центра замикаючого елемента" (рис.20). Для розглянутої оболонки, розташованої на основі, на відміну від оболонки без основи (рис.14), на діаграмі немає граничної точки. Тобто відсутня втрата стійкості у вигляді проклацування оболонки до нового стійкого стану. Діаграма на рис.20 має тільки точку перегину.
|
Рис.20. Діаграма "навантаження –прогин" |
Для цієї ж оболонки проведено розрахунки при рівномірному фіксованому тиску q=10 кПа. Досліджено вплив на НДС зміни коефіцієнта постелі. У випадку постійного коефіцієнта постелі його збільшення призвело до зменшення переміщень і абсолютних значень нормальних зусиль та згинаючих моментів в оболонці. При цьому, чим більший цей коефіцієнт, тим ближче |
до нижньої кромки оболонки розташовуються максимуми переміщень та зусиль. При змінному коефіцієнті постелі немає єдиної закономірності у зміні величин переміщень та зусиль.
Також проведено розрахунок днища сталевого вертикального циліндричного резервуару для зберігання нафтопродуктів об’ємом 10000 м. При проектуванні днище, як правило, не розраховують і товщини листів приймають конструктивно. Розрахункову схему днища наведено на рис.21. Матеріал днища - сталь з Е=200ГПа та ν=0,3. Матеріал основи - пісок середньої крупності з коефіцієнтом постелі k*=50 МН/м. Вершина оболонки представлена у вигляді круглої
|
Рис.21. Розрахункова схема днища вертикального циліндричного резервуару об'ємом 10000 м |
пластини радіусу 0,3 м. Величини навантажень М* і Р* визначені за наближеною методикою, яка використовується для розрахунку з’єднання днища зі стінкою. При |
цьому, товщина вертикальної стінки резервуару - 14 мм. Розглянуто два найбільш типових випадки навантаження при осесиметричній деформації. Випадок 1: діє тільки вертикальне рівномірно розподілене навантаження інтенсивності q*=15,04 кН/м, утворене вагою стінки та покрівлі; випадок 2: діють рівномірно розподілені навантаження: а) від ваги стінки та покрівлі інтенсивності q*=15,04 кН/м; б) згинаючий момент інтенсивності M*=1,820 кН·м/м та сила інтенсивності P*=25,72 кН/м, які враховують сумісну роботу стінки резервуару та його днища; в) гідростатичний тиск, який змінюється в радіальному напрямку за лінійним законом: від 106,6 кПа в центрі до 110 кПа в місці примикання стінки до днища (резервуар заповнено водою на висоту 11 м від нижньої відмітки стінки). Розрахунки показали, що небезпечним є другий випадок. Як і слід було вважати, найбільші зусилля виникають в районі кріплення стінки з днищем. Більша частина днища з товщиною 6 мм знаходиться в напруженому стані, близькому до безмоментного. Також визначались еквівалентні напруження за IV теорією міцності. Найбільші еквівалентні напруження виникають в місці стику стінки з днищем: у першому випадку це 1,97 МПа, у другому - 131,6 МПа. У другому випадку в центрі днища еквівалентні напруження складають 11,3 МПа, в районі стику основних листів днища (h=6 мм) з листами окрайків (h=8 мм) найбільші еквівалентні напруження складають: для листів з h=6 мм - 47,81 МПа та для листів з h=8 мм - 27,01 МПа. Наведені результати розрахунків днища є наближеними, тому що дійсну картину НДС днища можна отримати тільки при розгляданні сумісної роботи покрівлі, стінки та днища резервуару. Однак отримані результати свідчать про те, що в днищі є великий запас міцності.
ВИСНОВКИ
Основні наукові та практичні результати, отримані на основі проведених досліджень, полягають у наступному:
СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ РОБІТ
За результатами дисертації опубліковано 8 робіт, а саме:
а) статті:
б) тези доповідей на конференціях:
Запорожець О.В. Аналіз на основі метода скінченних елементів осесиметричного деформування тонких пружних конічних оболонок і пластин. - Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 05.23.17 - Будівельна механіка. - Придніпровська державна академія будівництва та архітектури (ПДАБтаА), Дніпропетровськ, 2004 р.
Роботу присвячено розробці осесиметричного оболонкового скінченного елемента на пружній малозв'язаній основі та дослідженню на його базі осесиметричного лінійного та нелінійного деформування тонких круглих пластин і конічних оболонок, як розташованих на пружній основі, так і без основи. Поведінку основи описано у рамках моделі Вінклера. Запропоновано осесиметричний оболонковий скінченний елемент у вигляді зрізаного конуса, розташованого на основі, з якого, як окремий випадок, отримано скінченні елементи для пластин: кільцевий та круглий. У роботі наведено коефіцієнти матриць жорсткості, необхідні для розв'язання геометрично нелінійної задачі. Усі коефіцієнти отримано при аналітичному інтегруванні. Використання таких елементів дозволило виключити похибки, що виникають при розбитті оболонок і пластин на трикутні та чотирикутні елементи. При цьому суттєво зменшується необхідна кількість елементів, і, як наслідок, зменшується час розрахунків та похибки, які виникають при розв'язанні великих систем нелінійних рівнянь. Розв’язання системи нелінійних рівнянь знаходилось за допомогою методу Ньютона. При тестуванні отриманих елементів результати порівнювались з результатами, отриманими за допомогою відомих аналітичних та числових розв'язань для лінійних і нелінійних задач деформування пластин та оболонок, а також з експериментальними даними. В роботі розглянуто тонкі гнучкі та жорсткі круглі пластини, а також конічні оболонки при різних закріпленнях для складних і простих випадків навантажень. Розглянуто випадки, коли пластини та оболонки розташовані на однорідних і неоднорідних основах. Проаналізовано вплив характеристик основи: величини коефіцієнта постелі основи, закону його зміни вздовж конструкції, наявності пустот в основі. Для круглих пластин, розташованих на пружній основі, розглянуто випадки двобічної та однобічної в'язі між ними та основою. Проведено аналіз впливу в'язі на напружено-деформований стан (НДС) пластини при різних навантаженнях. Вивчено НДС пологих конічних оболонок при різних навантаженнях і умовах закріплення на докритичних та закритичних стадіях деформування, а також виявлено вплив на НДС характеристик основи. Приведено розрахунок днища реального сталевого вертикального циліндричного резервуару для нафтопродуктів об'ємом 10000 м, яке представляє собою конічну оболонку змінної товщини, розташовану на пружній малозв'язній піщаній основі. Розрахунок показав, що більша частина днища має великий запас міцності.
Ключові слова: пружні конічні оболонки та круглі пластини, скінченні елементи, нелінійне осесиметричне деформування, малозв'язна основа, неоднорідності, двобічна та однобічна в'язь.
Запорожец Е.В. Анализ на основе метода конечных элементов осесимметричного деформирования тонких упругих конических оболочек и пластин. - Рукопись.
Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 05.23.17 - Строительная механика. - Приднепровская государственная академия строительства и архитектуры (ПГАСиА), Днепропетровск, 2004 г.
Работа посвящена разработке осесимметричного оболочечного конечного элемента на упругом малосвязном основании и исследованию на его базе осесимметричного линейного и нелинейного деформирования тонких круглых пластин и конических оболочек, как расположенных на упругом основании, так и без основания. Поведение основания описано в рамках модели Винклера.
Предложен осесимметричный оболочечный конечный элемент в виде усеченного конуса, расположенного на основании. Из этого элемента, как частный случай, получены элементы для пластины: кольцевой и центральный круглый. Эти конечные элементы позволяют: а) рассмотреть тонкие конические оболочки, круглые и кольцевые пластины постоянной и переменной толщины при различных нагрузках и условиях закрепления, как расположенные на упругом однородном и неоднородном основании, так и без основания; б) учесть основание не увеличивая количества неизвестных перемещений; в) рассмотреть как двустороннюю, так и одностороннюю связь между оболочками, пластинами и основанием; г) точно описать в радиальном (меридиональном) направлении геометрию и условия закрепления круглых, кольцевых пластин и конических оболочек, неоднородности нагрузок и оснований; д) не применять разбиение на конечные элементы в окружном направлении. Все это позволило значительно уменьшить требуемое количество элементов, порядок матриц, а, следовательно, и погрешности, возникающие из-за округления чисел при решении больших систем нелинейных уравнений. В работе приведены коэффициенты матриц жесткости, необходимые для решения геометрически нелинейной задачи. Все коэффициенты получены при аналитическом интегрировании, что также способствует уменьшению времени расчетов и уменьшению требуемого количества конечных элементов. Решение системы уравнений находилось с помощью метода Ньютона.
При тестировании полученных элементов результаты расчетов сравнивались с результатами, полученными из известных аналитических и различных численных решений для линейных и нелинейных задач деформирования пластин и оболочек, а также с экспериментальными данными.
В работе рассмотрены тонкие круглые пластины и конические оболочки постоянной и переменной толщины при различных закреплениях для сложных и простых случаев нагружения. Рассмотрены случаи, когда пластины и оболочки расположены на однородных и неоднородных основаниях. Проанализировано влияние характеристик основания: величины коэффициента постели основания, закона его изменения вдоль конструкции, наличия пустот в основании. Для круглых пластин, расположенных на упругом основании, рассмотрены случаи двусторонней и односторонней связи между ними и основанием. Проведен анализ влияния связи на напряженно-деформированное состояние (НДС) пластины при разных нагрузках. Изучено НДС пологих конических оболочек при разных нагрузках и условиях закрепления на докритических и закритических стадиях деформирования. Выявлено влияние на НДС оболочки характеристик основания. Приведен расчет днища стального вертикального цилиндрического резервуара для нефтепродуктов объемом 10000 м. Днище представляет собою коническую оболочку переменной толщины, расположенную на упругом малосвязном песчаном основании. Расчет показал, что большая часть днища имеет большой запас прочности.
Ключевые слова: упругие конические оболочки и круглые пластины, конечные элементы, нелинейное осесимметричное деформирование, малосвязное основание, неоднородности, двусторонняя и односторонняя связь.
Zaporozhets O.V. The analysis of a symmetric deformation of thin elastic conical shells and plates by using finite element method. - Manuscript.
Thesis for the degree of Ph. D. by speciality 05.23.17 - Structural mechanics. - Prydneprovska State Academy of Civil Engineering and Architecture, Dnipropetrovsk, 2004.
The thesis is devoted to development of axial-symmetric shell finite element located on elastic poorly-connected foundation. On a basis of this element one investigated the axial-symmetric (linear and non-linear) deformation of thin round plates and conical shells located on elastic foundation and shells with no foundation. The foundation behavior is described by using the model with one modulus of a subgrade reaction. The symmetric conical shell finite element located on a foundation was obtained. Ring or round plate finite elements are the cases of a conical shell finite element. Coefficients of the stiffness matrixes necessary for a solving of geometrically nonlinear problem are cited in the thesis. All coefficients are obtained by analytical integration. The use of such elements let one to evade geometry errors (these errors occur when symmetric structure is described with the triangular or quadrangular elements). Such way let to decrease the necessary quantity of elements and as consequence, the calculation time, the solution errors and convergence errors are decreased. The solution of nonlinear equation set was obtained by Newton method. The calculation results were compared to results obtained from known analytical and numerical solutions for linear and nonlinear problems of plate (shell) deformation, and also to experimental data. Thin round plates and conical shells at various boundary conditions for complicated or simple loading were considered in the thesis. The cases when plate or shell has a homogeneous and inhomogeneous foundation were considered. The foundation characteristics were analyzed. These characteristics are magnitudes of subgrade reaction modulus, a modulus change law along the structure, a presence of the emptiness in the foundation influence. For round plates located on an elastic foundation, the cases of two-way and one-way connection between them and the foundation were considered. The analysis of the connection influence on deflected mode of the plate by different loadings was carried out. Deflected mode of the shallow conical shells was studied for different loadings and boundary conditions on prebuckling or postbuckling phase of deformation. The foundation characteristic influence on the deflected mode was studied. The calculation of the steel oil storage tank bottom (volume 10000 m) was carried out. This bottom is a conical shell with a variable thickness, what is located an elastic poorly-connected sand foundation. The calculation showed, that the greater part of the bottom has great margin of safety.
Keywords: elastic thin conical shells and round plates, deformation, poorly-connected foundation, imperfections, finite elements, two-way and one-way connection.