первых они позволяют судить об устойчивости замкнутой системы по более простой передаточной функции систем
Работа добавлена на сайт samzan.net:
4. Критерий устойчивости Михайлова.
Частотные критерии устойчивости получили наиболее широкое практическое применение, так как, во-первых, они позволяют судить об устойчивости замкнутой системы по более простой передаточной функции системы W ( s ) ; во-вторых, анализ устойчивости можно выполнять и по экспериментально определенным частотным характеристикам; в-третьих, с помощью частотных характеристик можно судить и о качестве переходных процессов в системе.
А.В. Михайлов первым предложил использовать развитые в радиотехнике Найквистом частотные методы для анализа устойчивости линейных систем регулирования. Сформулированным им в 1938 г. критерий устойчивости назвали его именем. Рассмотрим существо этого критерия.
Пусть характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид
D ( ) = n + a1 n-1 + a2 n-2 + ... + an = 0. (13)
Зная его корни 1 , 2 , ... , n , характеристический многочлен для уравнения (13) запишем в виде
D ( ) = ( - 1 ) ( - 2 ) ... ( - n ). (14)
Im Im
0 Re 0 Re
а) б)
Рис.12. Векторное изображение сомно-жителей характерис-тического уравнения замкнутой системы на плоскости :
а - для двух корней и i ;
б - для четырех корней 1 , ‘1 , 2 , ‘2
Графически каждый комплексный корень можно представить точкой на плоскости. Поэтому, в свою очередь, каждый из сомножителей уравнения (14) можно представить в виде разности двух векторов ( - i ), как это показано на рис.12,а. Положим теперь, что = j ; тогда определяющей является точка на мнимой оси (рис.12,б). При изменении от - до + векторы j - 1 и j - ‘1 комплексных корней и ‘1 повернуться против часовой стрелки, и приращение их аргумента равно + , а векторы j - 2 и j - ‘2 повернутся по часовой стрелке, и приращение их аргумента равно - . Таким образом, приращение аргумента arg( j - i ) для корня характеристического уравнения i , находящегося в левой полуплоскости, составит + , а для корня, находящегося в правой полуплоскости, - . Приращение результирующего аргумента arg D( j ) равно сумме приращений аргументов его отдельных сомножителей. Если сре1ди n корней характеристического уравнения m лежит в правой полуплоскости, то приращение аргумента составит
arg D( j ) = ( n - m ) - m = ( n - 2m ) . (15)
- < < для левой для правой
полуплоскости полуплоскости
Отметим теперь, что действительная часть многочлена
D ( j ) = ( j )n + a1 ( j )n-1 + a2 ( j )n-2 + ... + an (16)
содержит лишь четные степени , а мнимая его часть - только нечетные, поэтому
arg D ( j ) = - arg D ( -j ), (17)
и можно рассматривать изменение частоты только на интервале от 0 до . В этом случае приращение аргумента годографа характеристического многочлена
arg D( j ) = ( n - 2m ) / 2 . (18)
0 <
Если система устойчива, то параметр m = 0, и из условия (18) следует, что приращение аргумента
arg D( j ) = n / 2 . (19)
0 <
На основании полученного выражения сформулируем частотный критерий устойчивости Михайлова: для того чтобы замкнутая система автоматического регулирования была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы годограф характеристического многочлена в замкнутой системе (годограф Михайлова) начинался на положительной части действительной оси и проходил последовательно в положительном направлении, не попадая в начало координат, n квадрантов комплексной плоскости ( здесь n - порядок характеристического уравнения системы).
j V’ j V’
0 U’ 0 U’
а) б)
Рис.13. Примеры годографов Михайлова для различных характеристических уравнений замкнутых систем:
а - устойчивые системы при n = 1 - 6 ; б - неустойчивые системы при n = 4 и различных параметрах
Соответствующие устойчивым системам годографы Михайлова для уравнений различных порядков построены на рис. 13,а. На рис. 13,б построены годографы Михайлова для неустойчивых систем при n = 4.
2. Проект определения конкурентоспособности и предельной цены грузоподъемного оборудования
3. Туризм Швеции
4. Внешнеторговый протекционизм в современных условиях
5. Контрольная работа- Философские основы хозяйства и экономики
6. Что делать, если случилась травма
7. Модернизация макаронного пресса
8. Проектирование баз данных
9. сиріт та дітей позбавлених піклування
10. Почему Н.А.Добролюбов назвал Катерину сильным русским характером
11. Первые конституции азиатских государств
12. Структура мирового хозяйства 2
13. Эталонная модель OSI является многоуровневой
14. Товароведение продовольственных и непродовольственных товаров МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
15. реферату- Інвестиції формування використання ефектиувністьРозділ- Економіка підприємства Інвестиції фо
16. Отношениями с иностранным элементом в международном частном праве называются отношения в которых участву
17. Сентиментализм в творчестве Томаса Грэя
18. 1 Основы профессионального воспитания Воспитание как процесс Структура воспитательного процесса пр
19. это достижение желаемых результатов посредством эффективного использования людских материальных и финанс.html
20. Любительские движения