Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Міністерство освіти і науки України
Запорізький педагогічний коледж
Л.М. Голець
О.О. Кислякова
І.А. Ляшенко
О.Г. Онуфрієнко
Електронний посібник
«Основи початкового курсу математики»
Запоріжжя
2010
Основи початкового курсу математики. Навчально-методичний посібник / Укл. Л.М.Голець, О.О.Кислякова, І.А.Ляшенко, О.Г.Онуфрієнко – Запоріжжя, 2010. – 165 с.
Навчально-методичний посібник з дисципліни «Основи початкового курсу математики» підготовлено відповідно до державних вимог і стандартів. Поряд з теоретичним матеріалом він містить достатню кількість вправ, розв’язання яких допоможе майбутнім вчителям оволодіти професійними навичками.
Посібник призначений для студентів педагогічних навчальних закладів.
Л.М. Голець, викладач
О.О. Кислякова, викладач
І.А. Ляшенко, викладач
О.Г. Онуфрієнко, викладач
РЕЦЕНЗЕНТ: методист кафедри педагогіки та психології Запорізького обласного інституту післядипломної педагогічної освіти Г.О. Анісімова
З М І С Т
Передмова……………………………………………………………………………………….4
Розділ І ВИСЛОВЛЕННЯ І ОПЕРАЦІЇ НАД НИМИ. ПРЕДИКАТИ………………………5
§1. Елементи математичної логіки…………………………………………………...5
§2. Структура і види теорем………………………………………………………….11
§3. Математичні поняття та їх означення…………………………………………...14
Питання для самоконтролю…………………………………………………………………...19
Система вправ…………………………………………………………………………………..20
Розділ ІІ Множини, операції над ними. Відношення………………………………………..22
§4. Множини і операції над ними…………………………………………………...22
§5. Відношення і відповідність……………………………………………………...29
Питання для самоконтролю…………………………………………………………………....40
Система вправ…………………………………………………………………………………..41
Розділ ІІІ Цілі невід’ємні числа. Подільність цілих невід’ємних чисел…………………...43
§6. Теоретико-множинний підхід до побудови арифметики цілих невід’ємних чисел………………………………………………………………………………43
§7. Десяткова система числення……………………………………………………74
§8. Подільність цілих невід’ємних чисел…………………………………………..79
§9. Позиційні і непозиційні системи числення…………………………………….85
Питання для самоконтролю…………………………………………………………………....88
Система вправ…………………………………………………………………………………..90
Розділ ІV Раціональні і дійсні числа………………………………………………………….93
§10. Раціональні числа. Дії над ними та їх властивості…………………………..93
§11. Дійсні числа та дії над ними…………………………………………………108
Питання для самоконтролю…………………………………………………………………..114
Система вправ…………………………………………………………………………………115
Розділ V Рівності і нерівності, рівняння. Функції………………………………………… 117
§12. Математичні вирази. Рівності і нерівності…………………………………117
§13. Рівняння та їх властивості. Нерівності, що містять змінну……………......121
§14. Функції, графіки та їх властивості…………………………………………..125
Питання для самоконтролю…………………………………………………………………..133
Система вправ…………………………………………………………………………………133
Розділ VІ Величини та їх властивості……………………………………………………….135
§15. Поняття величини та її вимірювання………………………………………135
§16. Довжина відрізка, її властивості і вимірювання…………………………...137
§17. Площа фігури, її властивості і вимірювання……………………………….139
§18. Об’єм тіла, його властивості і вимірювання……………………………….142
§19. Маса тіла і її вимірювання…………………………………………………..142
§20. Час та його вимірювання……………………………………………………144
§21. Вартість та залежність між величинами: ціна, кількість, вартість……….148
Питання для самоконтролю………………………………………………………………….151
Система вправ………………………………………………………………………………...152
Розділ VІІ Геометричні фігури і операції над ними………………………………………..154
§22. Означення геометричних фігур. Операції над геометричними фігурами..154
Питання для самоконтролю………………………………………………………………..…163
Система вправ…………………………………………………………………………………164
У системі загальної середньої освіти одне із основних місць займає початкова школа, де закладається фундамент розумових, моральних та емоційно-вольових якостей особистості. Курс математики початкових класів є основою для осмисленого засвоєння системи математичних знань, формування умінь і навичок і отримання математичної освіти вцілому. Підготовка майбутнього вчителя початкових класів до успішного розв’язання цих завдань покладається, насамперед, на навчальну дисципліну «Основи початкового курсу математики».
Викладення матеріалу тісно пов’язано з програмою навчальної дисципліни «Методика навчання математики». В даному посібнику розкривається теоретичний і практичний зміст питань, що є основою початкового курсу математики. У посібнику розглянуто: множини, відповідності, відношення, математичні твердження та їх структуру, алгоритми, цілі невід’ємні числа, розширення поняття про числа, рівняння, нерівності, функції, елементи геометрії, величини та вимірювання їх. У посібнику вміщено способи доведення тверджень і зразки розв’язування вправ. Після кожного розділу пропонуються питання для самоконтролю, а також система вправ для самостійного розв’язання. Частина їх має творчий характер, що сприятиме розвитку логічного мислення і математичних здібностей студентів.
План
1. Вступ
Логіка – наука про форми і закони мислення. Формальна логіка як наука сформувалася ще в IV ст. до н.е. у працях грецького філософа Аристотеля. В середині IX ст. формальну логіку вперше математизовано англійським математиком Джорджем Булем на основі так званої алгебри множин, яку ще називають за його іменем «булевою алгеброю».
Будь-яке міркування складається з ланцюга речень – висловлень, які вип ливають одне з одного за певними правилами. Вміння міркувати, правильно обґрунтовувати свої висновки необхідні людям будь-якої професії. Вже в по чаткових класах в учнів формують вміння логічно мислити, а саме: порівню вати, класифікувати об’єкти за певними ознаками, аналізувати, узагальнюва ти, проводити аналогію, обґрунтовувати найпростіші судження. Отже, вчи тель початкової школи повинен бути знайомий з логікою, тобто з наукою про закони і форми мислення, про загальні схеми правильних дедуктивних мірку вань.
2. Висловлення. Прості і складені висловлення
Кожне математичне речення характеризується змістом і логічною структурою. В математиці виділяють елементарні (прості) речення та складені. Наприклад: «Число 12 ділиться на 3» - просте речення ; «Число 42 - парне і ділиться на 3» - складене. Складені речення утворюються з елементар них та з логічних зв’язок . Логічні зв’язки - це слова : «і», «або», «не», «як що, то», «тоді і тільки тоді» та інші.
Визначити логічну структуру математичного речення означає встановити :
з яких елементарних речень складене дане речення;
за допомогою яких логічних зв’язок воно утворене.
Речення позначаються великими буквами латинського алфавіту: А, В, С і т.д.
Логічна структура речень може мати такий вигляд: «А і В», «не А», «якщо А, то В», «А або В», «А тоді і тільки тоді, коли В».
Наприклад: речення – «Число 36 ділиться на 4 і 9» має логічну структуру – «А і В», де А – «Число 36 ділиться на 4», В – «Число 36 ділиться на 9», логічна зв’язка «і».
Висловлення - це речення, відносно якого має смисл питання, істинне воно, чи хибне.
Висловлення – це обов’язково стверджувальне речення . Наприклад: «3 + 2 = 5»; «7 < 8»; «Н2 S04 – кислота»; «Будь-який прямокутник є чотирикутником» і т.д. Висловлення, як і речення, позначаються великими літерами латинського алфавіту: А, В, С,....
Всі висловлення можна поділити на два класи: клас істинних і клас хиб них висловлень. Отже, кожному висловленню можна поставити у відповід ність одне з двох значень: І (істинне), або X (хибне), які називаються значеннями істинності.
Наприклад: висловлення «Число 125 ділиться на 5» – істинне, значення його істинності – І, а висловлення «5 < 3» - хибне, його значення істинності –X».
Висловлення поділяють на прості (елементарні) та складені. Значення істинності простих висловлень визначають за змістом, спираючись на відомі знання. Щоб встановити значення істинності складених висловлень, треба знати їх логічну структуру та смисл операцій над висловленнями.
3. Розглянемо операції, за допомогою яких із двох або більше простих вис ловлень можна будувати складені, та правила встановлення їх значень істин ності.
Кон’юнкцією двох висловлень А і В називається складене висловлення (читається А і В), яке істинне тоді і тільки тоді, коли істинні обидва висловлення А і В, що його утворюють, і хибне в усіх інших випадках.
Кон’юнкцію двох висловлень дістають з двох простих, об’єднавши їх словом «і». Наприклад: «Середня лінія трикутника паралельна його основі і дорів нює її половині»; «24 - парне число і ділиться на 6».
Кон’юнкцію у математичній логіці називають логічним добутком. Значення істинності кон’юнкції висловлень можна подати за допомогою таблиці :
|
А |
В |
|
|
І |
І |
І |
|
І |
X |
X |
|
X |
І |
X |
|
X |
X |
X |
Наприклад, висловлення: «Число 15 - парне і ділиться на 3» має логічну структуру , де А - просте висловлення: «Число 15 – парне»; В – «Число 15 ділиться на 3». Значення істинності висловлення = X, бо А – Х, В – І.
Диз’юнкцією двох висловлень називається складене висловлення (читається А або В), яке хибне тоді і тільки тоді, коли хибні обидва висловлення А і В, і істинне, якщо хоч би одне із них істинне.
Диз’юнкцію двох висловлень дістають, об’єднавши їх словом «або». Наприклад: «Рівняння х2-4=0 має корінь 2 або -2»; «Я поїду до Києва автобусом або поїздом».
Значення істинності операції диз’юнкції двох висловлень можна подати за допомогою таблиці:
|
А |
в |
|
|
І |
І |
І |
|
І |
X |
І |
|
X |
І |
І |
|
X |
X |
X |
Наприклад: висловлення «5 > 2» має логічну структуру , що є диз’юнкцією двох висловлень; А: «5 більше 2», В: «5 дорівнює 2»; значення істинності його – І, бо А – X, В – І, а тому за означенням диз’юнкції –І.
Заперечення висловлення А є таке висловлення , яке істинне тоді і тільки тоді, коли А - хибне, і хибне, якщо А - істинне.
Наприклад, дано висловлення: А – «Десна - притока Дніпра», тоді висловлення – «Десна не є притокою Дніпра» або «Неправильно, що Десна є притокою Дніпра» - є запереченням даного висловлення.
Таблиця істинності для заперечення висловлення А має вигляд:
|
А |
|
|
І |
X |
|
X |
І |
Наприклад:
А – «Число 3 є дільником числа 39» - істинне висловлення, тобто А = І, тоді його заперечення – «Число 3 не є дільником числа 39» за означенням – хибне висловлення : – X.
Імплікацією висловлень А і В називається висловлення «якщо А, то В», позначається так: А=> В, яке хибне тоді і тільки тоді, коли А - істинне, а В - хибне.
Наприклад, висловлення: «Якщо два кути вертикальні, то вони рівні»; «Якщо 25 < 42. то 42 > 25» є імплікаціями. Вони мають логічну структуру «А => В». Знак " =>" - це знак відношення слідування.
У шкільному курсі математики доводиться дуже часто мати справу з імплікаціями. Так, наприклад, кожна теорема є імплікацією висловлень. В імплікації: «А => В», висловлення А називається умовою або посилкою, а висловлення В - висновком або наслідком. Таким чином, імплікація буде хибним висловленням лише тоді, коли з правильної посилки дістанемо неправильний висновок.
Таблиця істинності для імплікації має такий вигляд :
|
А |
В |
А=> В |
|
І |
І |
І |
|
І |
X |
X |
|
X |
І |
І |
|
X |
X |
І |
Запис А => В читають по-різному: «з А слідує В»; «В слідує з А»; «якщо А, то В», «є А, отже, є і В».Наприклад, висловлення «Якщо число а ділиться на 9, то воно ділиться на 3» можна прочитати і так: «3 того, що число а ділиться на 9, слідує, що воно ділиться і на 3» або «Число а ділиться на 3 слідує з того, що воно ділиться на 9», «Число а ділиться на 9, отже, воно ділиться і на 3».
Якщо з висловлення А слідує висловлення В, то кажуть, що В - необхідна умова для А, А- достатня умова для В.
А => В
В - необхідна умова для А
А - достатня умова для В
Якщо з висловлення А слідує висловлення В, а із висловлення В слідує висловлення А, то кажуть, що висловлення А і В рівносильні.
Висловлення «А рівносильне В» записують за допомогою знаку "<=>". Запис «А <=> В» читають так: «А рівносильне В», «А тоді і тільки тоді, коли В». Якщо висловлення А і В рівносильні, то кажуть, що А необхідна і достатня умова для В і навпаки. Таку операцію називають еквіваленцією.
Еквіваленцією двох висловлень А і В називається таке висловлення А<=>В, яке істинне тоді і тільки тоді, коли обидва висловлення А і В мають однакові значення істинності.
|
А |
В |
|
|
І |
І |
І |
|
І |
Х |
Х |
|
Х |
І |
Х |
|
Х |
Х |
І |
Наприклад: висловлення – «Число х ділиться на 3 тоді і тільки тоді, коли сума цифр цього числа ділиться на 3» - є еквіваленцією. Воно має логічну структуру А <=> В, де А - це висловлення : «Число х ділиться на 3», а В - це висловлення: «Сума цифр числа х ділиться на 3». Істинність цього тверджен ня доводиться.
В математиці часто розглядають речення, які містять одну або декілька змінних. Наприклад: х > 3; х2 + 5х + 6 = 0; х + у = 7. Відносно цих речень не має смислу питання: істинні вони чи хибні, бо при одних значеннях змінної вони перетворюються в істинні висловлення, а при інших у хибні. Речення такого виду називаються предикатами або висловлювальними формами. Слово «предикат» у перекладі з латинської мови означає «присудок». Позначимо дані речення - h(х), f(х). Це висловлювальні форми від однієї змінної, або одномісна висловлювальна форма. Предикат «х = у» - є двомісним предикатом : р (х; у).
Висловлювальною формою або предикатом називається речення, яке містить одну або декілька змінних і яке перетворюється у висловлення при підстановці замість змінних конкретних значень.
Прикладами предикатів в шкільному курсі математики є: рівняння з однією або декількома змінними, нерівності зі змінними, системи рівнянь або нерівностей тощо. Найпоширеніші з предикатів в математиці мають свої позначення. Наприклад: «х дорівнює у» позначається «х = у»; «х менше або дорівнює у» позначається «х ≤ у»; «х паралельно у» позначається «х || у».
Відносно висловлювальної форми виникає питання: при яких значеннях змінної ця форма перетворюється в істинне або хибне висловлення. Якщо це рівняння, нерівність, система рівнянь чи нерівностей, то для відповіді на це питання їх треба розв’язати, тобто знайти їх множини розв’язків.
Наприклад: знайти множину істинності предикатів: 2х = 10; х = 25; >3.
Для відповіді на це запитання необхідно розв’язати дані рівняння, нерівність та вказати при яких значеннях х вони перетворюються у правильні числові рівності або правильну числову нерівність, тобто у істинні висловлення. Множинами істинності даних предикатів є множини їх розв’язків.
Часто у висловленнях використовуються слова «всі», «деякі», «будь-які», «існує», «хоч би один», «кожен», «знайдеться» тощо.
Наприклад: «Всі числа 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 – одноцифрові», «Деякі з одноцифрових чисел діляться на 3», «Існують рівносторонні трикутники» тощо. Відносно цих речень можна сказати, що вони істинні або хибні, а тому ці речення є висловленнями. Якщо ж з даних речень забрати слова «всі», «деякі», «існують», то вони перетворюються у предикати.
Слова «всі», «деякі» тощо називаються кванторами. Слово «квантор» латин ського походження і означає «скільки», тобто квантор показує, про скільки об’єктів (про всі чи про деякі) іде мова у даному реченні.
Розрізняють квантори загальності та існування. Квантори загальності позначають знаком (перевернута перша буква англійського слова All - всі), а квантори існування знаком (перевернута перша буква англійського слова Exists – існує).
|
Квантори загальності ( ) |
Квантори існування ( ) |
|
всі |
існує |
|
кожен |
хоч би один |
|
будь-який |
деякі |
|
довільний |
знайдеться |
Форму висловлення з предикатом мають багато математичних речень, наприклад, «всі ромби є паралелограмами»; «деякі непарні числа діляться на 5»; «сума кутів будь-якого трикутника дорівнює 180°».
Правила встановлення значень істинності висловлень, що містять квантори, подані у таблиці:
|
Висловлення з квантором |
А |
А |
|
І |
шляхом доведення |
навести приклад |
|
X |
навести контрприклад |
шляхом доведення |
Для побудови заперечення висловлень, що містять квантори існує два способи:
1. Перед даним висловленням ставляться слова «неправильно, що».
2. Квантор загальності (існування) замінюється квантором існування (загаль ності), а речення, яке стоїть після квантора, замінюється його запереченням.
Наприклад: побудувати заперечення двома способами висловлення «Будь-яке натуральне число ділиться на 5».
1 спосіб: «Неправильно, що будь-яке натуральне число ділиться на 5».
2 спосіб: «Існує натуральне число, яке не ділиться на 5».
План
1. Структура теореми
Теорема – це твердження, істинність якого доводять. Теорема містить умову і висновок.
АВ
А – умова, В – висновок.
Можна сказати, що теорема – це висловлення про те, що з властивості А слідує властивість В. Істинність цього висловлення встановлюється шляхом доведення.
Не кожна ознака А, необхідна для В, є і достатньою, так само як і не кожна достатня ознака є необхідною. Наприклад, щоб число ділилось на 3, достатньо, щоб воно ділилось на 9, але це не є необхідною умовою, наприклад 63, але 6 не 9 (знак «» – знак подільності). Щоб число ділилось на 6, необхідно, щоб воно ділилось на 2, але цього не достатньо, необхідно також щоб воно ділилось і на 3. Отже, щоб число ділилось на 6, необхідно і достатньо, щоб воно ділилось і на 2, і на 3. За допомогою складеного висловлення символічно це можна записати так:
а 6 (а 2) (а 3).
Інакше а ділиться на 6 тоді і тільки тоді, коли а 2 і а 3.
Якщо і умова теореми, і її висновок є простими висловленнями, то теорема називається простою.
Якщо умова або висновок теореми, або і те, і друге – складені висловлення, то теорему називають складеною. Попередня теорема, що виражає ознаку подільності на 6, є складеною. Її можна записати у вигляді А В С. Тут умова є кон’юнкцією двох висловлень А і В, а висновок – висловлення С.
Приклад аналогічної структури теореми: «Якщо дві прямі площини перпендикулярні до третьої прямої, то вони паралельні між собою»
або (ас) ( в с) а ║в.
Приклад теореми, в якій і умова, і висновок є кон’юнкціями: «В паралелограмі протилежні сторони попарно рівні». Інакше: «Якщо чотирикутник – паралелограм (тобто протилежні сторони попарно паралельні), то його протилежні сторони попарно рівні».
Тобто (а║с) (b║d) ( a = c) (b = d)
До сталих компонентів структури теореми належать такі:
1 2 3
5 4
6
Структурна сталість компонентів 1, 2, 3 зумовлена тим, що питання про істинність теореми всіма розв’язується однозначно, набір же логічних операцій (4), послідовності їх використання можуть бути різними. Тут великі можливості для творчої розумової діяльності, для формування інтелектуальних умінь в процесі доведення теорем.
2. Види теорем
Розрізняють пряму, обернену, протилежну і обернену до протилежної теореми.
1. АВ – пряма теорема,
2. ВА – обернена теорема,
3. - протилежна теорема,
4. - обернена до протилежної теорема.
Пряма і обернена до протилежної теореми є рівносильними.
Приклад: «Якщо кути вертикальні, то вони рівні» – пряма теорема.
А: «кути вертикальні», В: «кути рівні».
АВ – пряма теорема.
Обернена: ВА: «Якщо кути рівні, то вони вертикальні».
Протилежна: : «Якщо кути не вертикальні, то вони не рівні».
Обернена до протилежної: : «Якщо кути не рівні, то вони не вертикальні».
Існує зв'язок між названими видами теорем. Встановлено, що теореми АВ і рівносильні, тобто АВ . Отриману рівносильність називають законом контрапозиції.
3. Найпростіші схеми правильних міркувань
У математиці існує ряд загальних методів доведення теорем. Розглянемо деякі з них.
Дедуктивне доведення. Це основний метод математичних доведень. Кожен його крок ґрунтується на певному логічному законі, аксіомі або даних теорем, і все доведення є ланцюжок логічних умовиводів. При такому доведенні з правильних умов теореми ми з необхідністю дістаємо правильний висновок.
Наприклад, теорема: «Якщо число ділиться на 2 і на 3, то, оскільки воно ділиться на 2 і не ділиться на 6, воно не ділиться на 3».
Введемо позначення: А- «число ділиться на 2», В – «число ділиться на 3», С – «число ділиться на 6».
Доведення цієї теореми запишемо за допомогою послідовних дедуктивних умовиводів.
На третьому кроці використано теорему: якщо число ділиться на кожне з двох взаємно простих чисел, то воно ділиться і на їхній добуток.
Повна індукція. Термін «індукція» походить від латинського induktio – наведення. У математиці використовуються повна й неповна індукції.
Доведення методом повної індукції полягає в розгляді всіх окремих випадків (чисел, фігур тощо), при яких теорема правильна. Кількість таких випадків повинна бути скінченною і невеликою за кількістю.
Теорема: Значення виразу с = а2 + b2, (а, bZ) є число, що при діленні на 4 не має остачі 3.
Доведення теореми проведемо, розглядаючи три випадки: 1) обидва числа парні; 2) обидва числа непарні; 3) одне число парне, друге – непарне.
Нехай а, b – парні, тобто а = 2m, b = 2n, m, n Z. Дістанемо
с = (2m)2 + (2n)2 = 4m2 + 4n2 = 4∙ (m2 + n2), тобто с 4, остача 0.
Нехай а, b – непарні числа, тобто а = 2m + 1, b = 2n + 1, m, n Z. Маємо
с = (2m + 1)2 + (2n + 1)2 = 4m2 + 4m + 1 + 4n2 + 4n + 1= 4 (m2 + n2 + m + n) + 2,
а це означає, що при ділені с на 4 дістанемо остачу 2 , а не 3.
Випадок 3) спробуйте розглянути самостійно.
Непрямі доведення.
Зведення до абсурду. Цей метод полягає в тому, що в теоремі АВ припускають, що правильним буде . Якщо в результаті цього припущення приходять до неправильного висновку, абсурду, то роблять висновок, що наслідок В теореми АВ правильний.
Цим способом доводять, наприклад, таку теорему: Якщо дві різні прямі а і b паралельні третій прямій с, то вони паралельні між собою.
Припустимо , тобто а і b не паралельні. Тоді вони перетинаються в якійсь точці К, яка не належить с. Дістанемо, що через точку К поза прямою с можна провести дві прямі а і b, які паралельні с, а це суперечить аксіомі паралельності, тобто є хибним твердженням. Отже, правильним твердженням є В.
Метод від супротивного. Цей спосіб ґрунтується на законі контрапозиції АВ = .
Теорема: Довести, що коли аb– непарне число, то обидва множники а і b – непарні цілі числа.
Позначимо А: «добуток аb– непарне число», Т: «а – непарне число», S: «b – непарне число». Тоді теорема скорочено запишеться так:
A ST, або АВ, де В «ST».
Припустимо, що = = , тобто один із множників а або b є парним числом. Нехай, наприклад, а – парне, тобто а = 2m, mZ. Тоді ab = 2mb – парне число, тоді дістали . Таким чином довели теорему , а цим самим і дану теорему АВ.
Поширеним прикладом неправильних міркувань є непродумане використання неповної індукції, коли загальний висновок зроблено на основі окремих спостережень, експериментів, розгляду скінченної кількості їх. Використання неповної індукції може привести як до правильних, так і неправильних висновків. Так, побудувавши кілька графіків лінійних рівнянь з двома змінними в прямокутній системі координат і побачивши, що вони є прямими лініями, робимо висновок, що графік кожного лінійного рівняння з двома змінними є пряма лінія. Цей умовивід – правильний. Прикладом, коли неповна індукція приводить до хибного результату є теорема Ферма. Ще у XVII ст. математик П. Ферма (1601 – 1665) помітив, що числа виду Fn =22n+1 при n = 0, 1, 2, 3, 4 – прості: F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537.
Ферма висловив припущення, що при будь-якому n N числа такого виду є простими (їх стали називати простими числами Ферма). Ця гіпотеза була висловлена на основі кількох обчислювальних експериментів. У 1732 р. видатний математик Л. Ейлер (1707 – 1783) показав, що при n = 5
F5 = 4294967297 = 641 ∙ 6700417, тобто F5 не є простим числом. Цей контрприклад спростував гіпотезу Ферма.
План
1. Поняття як форма мислення. Особливості математичних понять
Поняття відображають найсуттєвіші, найістотніші ознаки речей і явищ об’єктивної дійсності. Вироблення поняття є новою якістю в процесі пізнання світу. Пізнання реальної дійсності відбувається двома способами: за допомогою чуттєвого пізнання - відчуттів, сприймань, уявлень або за допомогою мислення. Однією з форм мислення є поняття. При утворенні понять користуються аналізом, синтезом, порівнянням, узагальненням, абстрагуванням.
Джерелом вироблення понять є навколишнє середовище, де спостерігають різні форми, кількості, відношення.
Математика, як і інші науки, вивчає світ, який нас оточує, але вивчає особливо, зосереджуючи увагу на істотних ознаках об’єктів, відмежовуючись, абстрагуючись від другорядних. Наприклад, геометрія вивчає форму предметів, абстрагуючись від їх кольору, маси, густини тощо. Навіть слово «предмет» заміняють словом «геометрична фігура». Також результатом абстракції є і такі математичні поняття, як «число», «величина», «площина», «рівняння», «функція» тощо. Отже, поняття відображають ознаки об’єктів і явищ об’єктивної дійсності, але в той же час математичні об’єкти реально не існують. Всі вони створені розумом людини в процесі історичного розвитку суспільства і існують лише в мисленні людини, а також у тих знаках, символах, які утворюють математичну мову.
2.Зміст і обсяг поняття, відношення між ними
Будь-який математичний об'єкт володіє певними ознаками, серед яких є істотні і неістотні.
Істотні — це такі ознаки, які виділяють його з інших об’єктів; без них даний об’єкт не існує.
Наприклад: для поняття «квадрат» істотними є такі ознаки: квадрат має 4 сторони, 4 кути; всі кути квадрата прямі, діагоналі рівні; діагоналі є бісектрисами кутів, вони взаємно перпендикулярні тощо. Для поняття «просте число» істотними ознаками є: бути натуральним числом, яке не дорівнює одиниці; мати тільки два дільника.
Неістотними є ознаки, які не впливають на існування об’єкта. Неістотними для поняття «квадрат» ознаками є його розташування на площині, його колір, матеріал з якого виготовлений тощо. Неістотним для поняття «натуральне число» є кількість цифр у його запису.
У кожному понятті розрізняють обсяг, зміст і термін (назва).
Обсягом поняття називають множину об’єктів, яка відображає певне поняття.
Наприклад, обсягом поняття «просте число» є сукупність всіх простих чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13...; обсягом поняття «квадрат» є сукупність всіх квадратів. Обсяг поняття формується за допомогою класифікації.
Зміст поняття — це сукупність істотних властивостей (ознак), які належать цьому поняттю.
Наприклад, у зміст поняття «ромб» входять такі істотні ознаки: «ромб – це паралелограм», «діагоналі ромба діляться в точці перетину навпіл», «діагоналі ромба є бісектрисами кутів» тощо.
Між змістом і обсягом поняття існує співвідношення, яке називається «законом оберненого відношення»: із збільшенням змісту поняття зменшується його обсяг і навпаки.
Наприклад, візьмемо поняття «ромб» і збільшимо його зміст, додавши ознаку «всі кути прямі». В результаті є нове поняття – «квадрат», обсяг якого вже менший від обсягу поняття «ромб».
Кожне поняття має свою назву (термін). Терміни записують за допомогою одного або кількох слів, наприклад, «коло», «частка», «натуральне число», «найменше спільне кратне» тощо. Деякі терміни позначають символами, наприклад, < , >, %, + ,, , - , 1, та ін.
Таким чином, кожне поняття характеризується терміном, обсягом, змістом.
Зміст поняття розкривається за допомогою означення.
Означення - це речення, в якому розкривається зміст даного поняття, тобто формулюються його істотні ознаки.
Правильне означення поняття повинно містити мінімальну кількість ознак, тобто лише необхідні і достатні, які б виділяли його з іншого, ширшого за обсягом. Ніяких зайвих ознак, які можна довести на основі інших, в означенні не повинно бути.
Взагалі, означення — це логічна операція, яка розкриває зміст поняття. Розглянемо найпоширеніші способи означення понять.
Способи означення понять бувають явні і неявні.
Явний спосіб означення понять – це означення через рід і видову відмінність.
Нехай обсяг поняття А є частиною обсягу поняття В, тобто всі істотні ознаки поняття А входять до істотних ознак поняття В. Тоді поняття А називають видовим відносно поняття В, а поняття В називають родовим відносно поняття А. Явні означення мають форму рівності, співпадання двох понять: означуваного і визначального.
А = В + С,
де А - поняття, якому дається означення, В – родове поняття,
С – видова відмінність, В + С - визначальне поняття.
Означення понять за такою формою називають означенням через рід і видову відмінність.
Наприклад.
Означення паралелепіпеда. Паралелепіпедом називається призма, основа якої паралелограм. (А — паралелепіпед, В – призма, С - основа є паралелограм).
Означення квадрата. Квадратом називається прямокутник, у якого всі сторони рівні. (А - квадрат, В - прямокутник, С - всі сторони рівні).
Щоб дістати означення поняття через близький рід і видову відмінність, треба виділити суттєві (видові) ознаки, які відрізняють вид, що містить означуване поняття від усіх інших видів цього роду.
Неявні способи означень понять:
В контекстуальних означеннях зміст нового поняття розкривається через уривок тексту, через контекст, через аналіз конкретної ситуації, яка описує смисл поняття, яке вводиться.
Наприклад, означення рівняння в початковій школі.
Остенсивні означення вводяться через демонстрацію, через показ об’єктів. Наприклад, означення поняття рівності, нерівності в початковій школі.
2 • 7 > 2 + 6 9 – 6 = 6 – 3
65 - 5 < 65 + 5 24 2 = 47 + 1
24 + 6 > 24 + 3 18 – 8 = 6 + 4
Це нерівності. Це рівності.
В початковій школі частіше при введенні понять застосовуються остенсивні і контекстуальні способи означення понять.
Генетичний спосіб означення понять це такий спосіб, коли зміст поняття розкривається за допомогою утворення тих об’єктів, які описуються означуваним поняттям.
Наприклад, означення кола: колом називається крива лінія, утворена в результаті руху на площині точки, яка зберігає однакову відстань від фіксованої точки - центра кола.
Це означення дає відомий спосіб побудови кола на площині.
Генетичні означення мають такі поняття, як «лінійний кут», «многогранний кут», «конічна поверхня» тощо.
Ці означення мають вигляд певних формул. Наприклад, = 1, 0! = 1.
Ці означення складаються з двох частин:
1) безпосередньо називаються об’єкти , які належать даному поняттю;
2) формулюються правила, як з одних таких об’єктів дістати інші об’єкти цього ж поняття. Наприклад, означення арифметичної прогресії: арифметичною прогресією називається така числова послідовність, кожен член якої починаючи з другого дорівнює попередньому доданому з одним і тим же числом.
4. Вимоги до логічно правильних означень понять
Розглянемо правила означень понять, які даються через рід і видову відмінність (саме такі означення переважають в шкільному курсі математики).
Це означає, що сукупності об’єктів, що охоплюються ними повинні співпадати.
Іноді одному і тому ж поняттю даються різні означення. В такому разі вони повинні бути рівносильні, тобто з властивостей, які включені в одне означення, повинні випливати властивості, які покладені в основу іншого означення.
Наприклад: «Квадратом називається ромб, у якого всі кути прямі».
«Квадратом називається прямокутник, у якого всі сторони рівні».
Наприклад: «Прямокутним трикутником називається трикутник, у якого всі кути прямі». Такого трикутника не існує. Отже, даному означенню реально нічого не відповідає, а тому це означення логічно правильним бути не може.
5. Приклади математичних понять, які розглядаються в початковому курсі математики
Початковий курс математики насичений різними математичними поняттями. Починаючи з першого класу і до четвертого учні знайомляться з такими поняттями, як цифра, число, доданок, сума, зменшуване, від’ємник, різниця, множник, добуток, ділене, дільник, частка, дріб, відрізок, трикутник, многокутник, квадрат, прямокутник, коло, круг, довжина відрізка, периметр, площа, куб, маса, ємність, час, вираз, рівняння, нерівність, рівність і багато інших.
Вчитель початкових класів повинен слідкувати за правильним визначенням понять, які формує в учнів.
( - х)3 ≤ 0; - 5 ≥ - 1 і зробити висновок про їх істинність.
А) «Ми підемо в кіно або в театр»;
Б) «Ввечері я буду читати книжку і дивитися телепередачу»;
В) «Додаткове заняття проведемо або в понеділок, або у вівторок, або у суботу».
А) XYZ Y ;
Б) XYZ .
А) «Якщо ціле число n ділиться на 6, то воно ділиться на 2 і на 3; ціле число n не ділиться на 2, отже, воно не ділиться на 6»;
Б) «Або А істинне, або В істинне» еквівалентне висловленню «Неправильно, що А хибне і В хибне»;
В) «Якщо з А слідує В, то з А і С слідує В і С»;
Г) «(А або В) і С еквівалентне (А або С) і (В або С)»;
Д) «Неправильно, що А і істинне, і хибне одночасно».
А) «Я сьогодні буду розв’язувати задачі або піду в похід на лижах. Я сьогодні не буду розв’язувати задачі. Отже, я сьогодні піду в похід на лижах.»;
Б) «Якщо Сашко настирливий, то він розв’яже цю задачу. Якщо у Сашка болить голова, то він не розв’яже цієї задачі. Отже, якщо у Сашка болить голова, то він не настирливий.»;
В) «Якщо викладач добре читає лекції, то студенти поважають викладача. Якщо студенти не поважають викладача, то він приймає екзамен не строго. Отже, якщо викладач приймає екзамен строго, то він добре читає лекції.»
А) «Квадрат є прямокутником»
Б) «Деякі непарні числа діляться на 13».
А) (В) ,
_ ______
Б) А=>(ВА).
А) теорему Піфагора (пряму і обернену);
Б) теорему про можливість описати коло навколо трикутника;
В) теорему про можливість вписати коло в чотирикутник;
Г) третю ознаку рівності трикутників (за трьома сторонами).
А) «У трикутнику сума кутів дорівнює 180°»;
Б) «Діагоналі прямокутника рівні».
А) радіусом кола називається відстань від центра кола до будь-якої її точки;
Б) вписаним кутом називається кут, вершина якого лежить на колі. Наведіть контрприклади, які спростовують таке означення.
План
Одним із початкових понять, які вивчаються у математиці, є поняття множини. Це поняття можна уявити собі, абстрагуючись від конкретних множин навколишнього світу. Табун коней, караван верблюдів, колона машин – це все приклади конкретних множин. Синонімами поняття «множина» є поняття «сукупність», «клас», «збірка» тощо. Предмети, об’єкти, які містить множина, називають її елементами. Наприклад, дочка, мати є елементами множини сім’я.
Множини позначають великими буквами латинського алфавіту А, В, С, D,…, а елементи множин – малими буквами цього алфавіту – а, b, с, d,... Про елементи даної множини говорять, що вони належать цій множині, і символічно записують так: а Є А. Читають: «елемент а належить множині А» або «множина А містить елемент а».
Означення: Множина, що не містить жодного елемента, називається порожньою множиною. Позначається символом Ø.
Приклад 1: Множина трикутників з двома прямими кутами - порожня.
Приклад 2: Множина коренів рівняння на множині дійсних чисел – порожня.
Задати множини можна двома способами. Найбільш поширеним способом є спосіб переліку їх елементів. Запис А = {a, b, c} означає, що множина А містить три елементи а, b і с, а множина М = {a, b, c, …} крім цих трьох елементів має безліч інших. Другий спосіб: задання множини за допомогою характеристичної властивості (словесно чи символічно). Наприклад, множину натуральних чисел, які діляться на 3, можна записати:
А = {x | xЄN, x3}. Проте цю множину простіше задати так: {3,6,9,12, …, 3k, …}, тобто переліком елементів.
Означення: Підмножиною множини А називається така множина В, кожен елемент якої належить А. Позначається В А.
Будь-яка множина має дві невласні підмножини – саму себе і порожню множину: Ø А і А А.
Означення: Дві множини А і В називаються рівними тоді і тільки тоді, коли вони містять ті самі елементи, тобто коли кожен елемент множини А є також елементом множини В і навпаки. Позначається А=В.
Наприклад, множини А={2, 4, 6} i B={4, 2, 6} рівні між собою, бо містять однакові елементи.
Множини і операції над ними зручно ілюструвати наочно за допомогою кругів Ейлера (або діаграм Ейлера – Венна). Проілюструємо за допомогою кругів Ейлера відношення включення для множин А, В і С, якщо: А – множина трикутників, В – множина рівнобедрених трикутників і С – множина рівносторонніх трикутників.
А
С В
Означення: Множини, елементами яких є числа, називаються числовими множинами.
Для запису деяких стандартних числових множин користуються загальноприйнятими позначеннями:
N = {1, 2, 3, 4, 5, …} – множина натуральних чисел;
N0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5 …} – множина цілих невід’ємних чисел;
Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …} – множина цілих чисел;
Q – множина раціональних чисел;
R – множина дійсних чисел.
Згадаємо відомі зі школи способи запису числових проміжків. Запис виду А = [-1, 6) означає, що множина А складається з дійсних чисел, які більше або дорівнюють -1, але менші за 6. Запис: В = (-∞,18] означає, що елементами множини В є дійсні числа, що менші або дорівнюють 18 (читають «від мінус нескінченності до 18 включно»).
У ряді задач теоретичного і практичного змісту виникає потреба виконувати над множинами певні операції.
Означення: Перерізом двох множин А і В називається множина, яка містить усі ті і тільки ті елементи, які належать кожній із цих множин.
Позначають переріз множин за допомогою знака ∩. Отже, якщо
а є А∩В, то а є А і а є В; тобто А∩В = {x | x є A і х є В}.
Якщо перерізом множин А і В є порожня множина, тобто А∩В = Ø, то вважають, що множини не перетинаються. Якщо ж множина А є підмножиною множини В, то А∩В = А.
Наприклад: Якщо множина А – це дільники числа 18, В – дільники 24, то А∩В = {1, 2, 3, 6}.
Переріз зручно проілюструвати за допомогою кругів Ейлера:
А∩В А∩В = ø
А В А В
Означення: Об’єднанням двох множин А і В називається множина, яка містить усі ті і тільки ті елементи, які належать хоча б одній із множин А або В. Об’єднання множин позначають знаком U :
А U B = {x| x ЄА або х Є В}.
Наприклад: A = {a, b, c, d}, B = {k, m, n}
A U B = {a, b, c, d, k, m, n}.
А U B А U B
Означення: Якщо множина В є підмножиною множини А, то доповненням множини В до множини А називається така множина А\В, що містить ті і тільки ті елементи множини А, які не належать множині В.
Тобто: А\В = {x | х є А і х В}.
А\В
Наприклад: А = {a, b, c, d, e, f}, B = {a, b, d, f}. Тоді А\В = {c, e}.
Оскільки операції перерізу, об’єднання та доповнення відповідають діям множення, додавання і віднімання, то для них виконуються всі закони цих дій, тобто переставний, сполучний та розподільний.
б) АUB = BUA.
2.Сполучний: а) (А∩В)∩C = A∩(B∩C);
б) (АUB)UC = AU(BUC).
Доведемо рівність б). Для того щоб множини (АUB)UC і AU(BUC) були рівні, необхідно і достатньо, щоб будь-який елемент х, що належить першій множині, належав також і другій, і навпаки.
1) Нехай х належить першій множині, тобто х(АUB)UC. Тоді хАUB, або хС (за означенням об’єднання множин). Звичайно, може бути і одночасно хАUB і хС, але для доведення це неістотно.
А) Якщо хАUB, то знову за означенням об’єднання множин або хА і тоді х AU(BUC), або хВ і тоді х BUC, а отже , і х AU(BUC);
Б) Якщо хС, то хВUС, тому х AU(BUC).
Таким чином, довели, що будь-який елемент першої множини (лівої частини рівності) належить і другій множині (правій чистині рівності). Аналогічно виконується друга частина доведення.
2) Нехай, навпаки, будь-який елемент х належить другій множині, тобто х AU(BUC). Доведемо, що тоді х(АUB)UC.
Якщо х AU(BUC), то або хА, тоді хАUB, а отже і х (AUB)UC; або х BUC, але тоді або хB, а отже, і хAUB, тому х(АUB)UC, або хС, але тоді х(АUB)UC.
Тотожність доведено.
3. Розподільний: a) (AUB)∩C = (A∩C) U (B∩С);
б) А∩(В\С) = (А∩В)\ (А∩С);
в) (А∩В)UC = (AUC)∩(BUC).
Означення: Декартовим добутком множин А і В називається множина, елементами якої є всі упорядковані пари (а, b) такі, що а є А, b є В.
Позначається декартів добуток А×В (але не А∙В або АВ).
Нехай А ={a1, a2, a3} i B = {b1, b2}. Знайдемо А×В і В×А.
А×В = {(a1, b1), (a1, b2), (a2, b1), (a2, b2),(a3, b1), (a3, b2)},
B×A = {(b1, a1), (b1, a2), (b1, a3), (b2, a1), (b2, a2), (b2, a3)}.
Із означення видно, що декартів добуток не має переставної властивості: А×В ≠ В×А
Переставна властивість декартового добутку двох різних множин має місце лише тоді, коли одна з них порожня: А×Ø = Ø×А = Ø
Декартів добуток двох рівних множин називають декартовим квадратом: А×А = А2, трьох множин – декартовим кубом і т. д.
Якщо множини А і В мають елементами числа, то декартів добуток зручно показувати в декартовій прямокутній системі координат. Відомо, що пара чисел (a, b) на координатній площині визначає точку М, абсциса якої a, а ордината b.
Зобразимо добуток А×В, якщо А = {2, 4, 5}, B = {1, 3}. Це будуть точки з координатами (2, 1), (2, 3), (4, 1), (4, 3), (5, 1), (5, 3).
у
3- • • •
1- • • •
х
0 2 4 5
Нехай А є множина дійсних чисел відрізка [3, 5], a множина В – множина дійсних чисел. Тоді декартів добуток А×В геометрично зобразиться смугою, обмеженою прямими, паралельними осі Оу: х = 3 і х = 5, а добуток В×А – смугою, обмеженою прямими, паралельними осі Ох: у = 3 і у = 5.
у у
у = 5
у = 3
0 х 0 х
3 5
Проілюструвати декартів добуток можна також таблицею. Розглянемо це на конкретному прикладі.
А = {К, З, Л} – множина міст: Київ, Запоріжжя, Львів. З кожного міста щодня відправляється по одному поїзду в Москву та Харків. Щоб дізнатися, скільки поїздів відправляється щодня у Москву та Харків зручно скласти таблицю. Позначимо множину міст Москва та Харків через В = {М, Х}
|
В А |
М |
Х |
|
К |
КМ |
КХ |
|
З |
ЗМ |
ЗХ |
|
Л |
ЛМ |
ЛХ |
Поняття декартового добутку можна поширити і на випадок трьох, чотирьох і взагалі n множин.
Означення: Декартовим добутком множин А1, А2 , ..., Аn називається множина А1× А2× ...×Аn, елементами якої є всі упорядковані n-ки такі, що перша компонента кожної з них належить А1, друга – А2, третя – А3 і т.д.
На розглянутих раніше прикладах неважко було помітити, що кількість елементів декартового добутку множин, взятих у довільному порядку, дорівнює добутку чисел, що виражають кількість елементів даних множин.
Властивості декартового добутку:
6. Поняття розбиття множини на підмножини, що попарно не перетинаються. Класифікація понять. Приклади класифікацій
Суть будь-якої класифікації (понять, відношень і т.ін.) зводиться до того, що елементи однієї (універсальної) множини за певними характеристичними ознаками розбиваються на дві або кілька непорожніх підмножин так, щоб кожен елемент даної множини входив в одну і тільки одну з підмножин, тобто щоб ці підмножини попарно не перетинались, інакше, щоб переріз кожної пари з них був порожньою множиною.
Яскравим прикладом класифікації понять є класифікація чисел: множина комплексних чисел поділяється на дві підмножини, що не перетинаються, - множину дійсних чисел і множину уявних чисел. Множина дійсних чисел поділяється на дві підмножини, що не перетинаються, - множину раціональних і множину ірраціональних чисел.
Нехай універсальною множиною є множина натуральних чисел. Візьмемо за основу класифікації властивість, пов’язану з кількістю дільників числа. Тоді множину натуральних чисел розбивають на три підмножини, що попарно не перетинаються:
1) множину натуральних чисел, які мають тільки два дільники: одиницю і самі себе – прості числа Р N;
2) множину натуральних чисел, які мають більше двох дільників (крім 1 і самого себе мають ще якийсь дільник) – складені числа С N;
3) одноелементну множину {1}. Число 1 не належить ні до простих чисел, ні до складених, бо має лише один дільник – само себе {1} N.
Ці три підмножини попарно не перетинаються.
Розглянемо ще приклад класифікації геометричних понять. Нехай універсальною множиною є множина трикутників А. Залежно від рівності сторін множину трикутників поділяють на дві підмножини, перерізом яких є порожня множина: множина В трикутників, у яких є принаймні по дві рівні сторони – рівнобедрені трикутники; множина С різносторонніх трикутників. В свою чергу. Множина В рівнобедрених трикутників поділяється на дві підмножини, що не перетинаються: множина трикутників, у яких тільки дві сторони рівні, це рівнобедрені, але не рівносторонні; множина К трикутників, у яких всі три сторони рівні – рівносторонні.
Для того щоб не допустити при класифікації помилок, які призводять до неправильного розв’язання задач, зокрема рівнянь та нерівностей, слід пам’ятати дві умови:
Кількість елементів універсальної множини при розбитті її на підмножини повинна дорівнювати сумі кількостей елементів усіх підмножин:
n(U) = n(A1) + n(A2) + … + n(Ak)
Так, наприклад, не можна класифікувати функції на парні і непарні, як це роблять часто учні за аналогією з поділом натуральних чисел, бо окрім парних і непарних функцій є ще функції, які не належать ні до парних, ні до непарних.
План
У математиці вивчають не тільки об’єкти, але і зв’язки, відношення між ними.
Наприклад. Відношення у множині чисел: «більше», «більше на», «більше в», «менше»; у множині прямих: «паралельність», «перпендикулярність»; у множині фігур: «рівність», «подібність».
Відношення між двома об’єктами називається бінарним. Ми будемо розглядати тільки бінарні відношення або просто відношення.
Перед нами постає завдання: маючи уявлення про конкретні відношення між числами, геометричними фігурами, множинами та іншими об’єктами, встановити, що спільне є у цих відношень, яким чином можна класифікувати таку велику кількість різноманітних відношень. Знання цього матеріалу потрібно вчителю початкових класів для того, щоб, вивчаючи конкретні відношення в початковій школі, розуміти їх спільність, взаємозв’язки, роль у засвоєнні тих чи інших понять.
Візьмемо множину Х = {2,3,4} і розглянемо деякі відношення між її елементами:
«більше»: «3>2», «4>2», «4>3», маємо пари (3;2), (4;2), (4;3);
«більше на 1»: «3>2 на 1», «4>3 на 1», маємо пари (3;2), (4;3).
Бачимо, що для кожного відношення маємо множину впорядкованих пар. Для відношення «більше» це множина {(3;2), (4;2), (4;3)}, для відношення «більше на 1» - {(3;2), (4;3)}. Ці множини є підмножинами декартового добутку Х×Х = {(2;3), (2;4), (2;2), (3;2), (3;3), (3;4), (4;2), (4;3), (4;4)}.
Означення. Відношенням між елементами множини Х або відношенням, визначеним у множині Х, називають будь-яку підмножину декартового добутку Х×Х, або декартового квадрата Х2.
Відношення позначають великими буквами латинського алфавіту: P, Q, R, S і т.д. Якщо елемент х знаходиться у відношенні R з елементом у, то пишуть так: хRу.
Відношення можна позначати графічно. Для цього в математиці існує поняття графа.
Означення. Графом (від грец. «графо» - пишу) називається креслення, яке складається з точок, що позначають елементи множини, та стрілок, які з’єднують відповідні точки, вказуючи на певне відношення між елементами даної множини.
Наприклад. У множині Х = {2,4,6,8} задано відношення Р: «х < у». Тоді його можна записати Р = {(2;4), (2;6), (2;8), (4;6), (4;8), (6;8)}, або подати за допомогою графа.
Стрілки графа можуть починатися і закінчуватися в одній і тій же вершині, вони називаються петлями. Якщо дві різні точки графа з’єднуються стрілками, напрями яких протилежні, то для спрощення дві стрілки замінюють однією і називають її подвійною.
Наприклад. У множині Х = {2,4,68,12} задано відношення R: «кратне». Тоді його можна записати R = {(2;2), (4;2), (4;4), (6;2), (6;6), (8;2), (8;4), (8;8), (12;2), (12;4), (12;6), (12;12)}, або подати за допомогою графа.
За означенням відношенням між елементами множини Х є будь-яка підмножина декартового добутку Х×Х, тобто множина, елементами якої є упорядковані пари. Тому способи задання відношень такі ж, як і способи задання множин.
1. Відношення у множині можна задати шляхом перелічування всіх пар елементів множини, що знаходяться у цьому відношенні.
Форми запису при цьому можуть бути різними.
Наприклад. Деяке відношення R на множині Х = {3,4,5,6,8} можна задати, записавши множину пар: {(4;3), (5;3), (5;4), (6;3), (6;4), (6;5), (8;3), (8;4), (8;5), (8;6)}.
Те ж відношення можна задати за допомогою графа.
2. Відношення у множині можна задати, вказавши характеристичну властивість всіх пар елементів, що знаходяться у цьому відношенні.
Форми запису також можуть бути різними.
Для попереднього прикладу: відношення R: «число х більше, ніж число у», або коротко R: «більше», або у вигляді нерівності R: «х>у».
У математиці вивчають різноманітні відношення між двома об’єктами. Кожне з них розглядається у деякій множині Х і є множиною пар. Таких відношень дуже багато. Чи можна їх класифікувати? Так. Для цього потрібно виділити у відношеннях найбільш характерні їх властивості. Розглянемо деякі з них.
Означення. Відношення R у множині Х називається рефлексивним, якщо кожен елемент множини Х є у відношенні R сам до себе.
R рефлексивне у Х хRх для будь-якого х Є Х.
Приклади рефлексивних відношень: «паралельність прямих», «рівність», «кратність». Якщо відношення рефлексивне, то в кожній вершині графа є петля.
Відношення «більше», «менше», «перпендикулярності» не є рефлексивними.
Означення. Відношення R у множині Х називається антирефлексивним, якщо кожен елемент множини Х не є у відношенні R сам до себе.
R антирефлексивне у Х для будь-якого х Є Х.
Приклади антирефлексивних відношень: «більше». «менше» у числових множинах, «перпендикулярність» - у множині прямих на площині. Якщо відношення антирефлексивне, то в кожній вершині графа відсутня петля.
Означення. Відношення R у множині Х називається симетричним, якщо з того, що елемент х є у відношенні R до елемента у, випливає, що елемент у є у відношенні R до елемента х.
R симетричне у Х хRу уRх.
Приклади симетричних відношень: «паралельність», «перпендикулярність», «рівність». Якщо відношення симетричне, то на графі подвійна стрілка.
Відношення «більше». «менше». «довше» не є симетричними.
Означення. Відношення R у множині Х називається антисиметричним, якщо з того, що елемент х не є у відношенні R до елемента у і х≠у, не випливає, що елемент у є у відношенні R до елемента х.
R антисиметричне у Х хRу і х≠у .
Приклади антисиметричних відношень: «більше», «менше», «подільності». Якщо відношення антисиметричне, то на графі стрілка в один бік.
Означення. Відношення R у множині Х називається транзитивним, якщо з того, що елемент х є у відношенні R до елемента у, а елемент у є у відношенні R до елемента z, то елемент х також перебуває у відношенні R до елемента z.
R транзитивне у Х хRу і уRх хRz.
Приклади транзитивних відношень: «паралельність», «рівність», «подібність», «кратність».
Як бачимо, різні за змістом відношення можуть мати спільні властивості. Це дає можливість виділяти відношення з певними наборами властивостей. Найважливішими з них є відношення еквівалентності і порядку.
Означення. Відношенняу множині називається відношенням еквівалентності, якщо воно рефлексивне, симетричне і транзитивне.
Виконаємо таке завдання: побудуємо графи заданих відношень.
1) граф відношення «бути паралельним», за умови, що а || b || с, k || d || e, f || h.
Які властивості має дане відношення?
Властивості рефлективності, симетричності і транзитивності.
2) граф відношення «бути рівними» на множині відрізків, якщо a = b = c, d = e, відрізок h не дорівнює жодному з даних відрізків.
Це відношення також має властивості рефлективності, симетричності і транзитивності.
3) На множині А = {1/2,1/3,1/4,2/4,2/6,3/6} встановлено відношення «бути рівним». Побудуємо граф даного відношення.
Усі ці відношення мають властивості рефлективності, симетричності і транзитивності.
Приклади відношень еквівалентності: відношення рівності на довільній множині; відношення паралельності прямих на площині; відношення подібності на множині усіх трикутників; відношення рівносильності на множині рівнянь; відношення «навчатися в одній групі» на множині студентів коледжу.
Дане відношення розбило задані множини на підмножини:
1) {a, b, c}, {d, e}, {f, h} – підмножини паралельних між собою прямих;
2) {a, b, c}, {e, d}, {h}; - підмножини рівних між собою відрізків;
3) {1/2, 2/4, 3/6}, {1/3, 2/6}, {1/4} підмножини рівних між собою дробів.
Ці множини не перетинаються, а їх об’єднання співпадає з множиною X.
Отже, якщо у множині Х задано відношення еквівалентності, то воно розбиває цю множину на підмножини, які попарно не перетинаються (класи еквівалентності).
І навпаки: якщо дане відношення, задане на множині Х, визначило розбиття цієї множини на класи, то це відношення є відношенням еквівалентності.
Отже, за допомогою відношення еквівалентності виконується досить поширена операція – розбиття непорожньої множини на підмножини, які називають класами еквівалентності, при якому:
Граф відношення еквівалентності є об’єднанням кількох повних графів. Навпаки, якщо граф деякого відношення на множині розпадається на кілька повних графів, то воно є відношенням еквівалентності. Відношення еквівалентності наочно зображується системою повних графів, побудованих на класах еквівалентності. Повним називається граф, в якого всі точки сполучено стрілками і всі вершини мають петлі.
Всі елементи одного класу еквівалентності мають однакові властивості, що дає можливість вивчати властивості одного елемента і поширювати їх на всі елементи класу.
Одним із досить важливих понять науки і практики є поняття порядку, яке є узагальненням таких понять, як «старшинство», «підпорядкованість», «наслідування», «наступність», «важливість», «менше», «більше», «не перевищує» тощо.
Як слово «порядок» використовується в повсякденному житті?
Приклад: викликається 5 студентів різного зросту. Завдання: стати так, щоб на даній множині студентів встановити відношення порядку: «бути вищим».
Які властивості має дане відношення?
Означення. Відношення R на множині Х, називається відношенням порядку, якщо воно транзитивне і антисиметричне.
Виділяють певні види відношень порядку. Відношення порядку на множині називається:
Множина із заданим на ній відношенням порядку називається впорядкованою множиною. Залежно від видів відношення порядку розрізняють і види впорядкованих множин.
Одна і та сама множина може бути по різному впорядкована. Наприклад, множину натуральних чисел можна впорядкувати за допомогою таких відношень:
Геометрично відношення порядку між елементами скінченних множин, як і будь-яке відношення, можна зобразити за допомогою графа.
Крім відношень у множині доволі часто розглядають відношення між елементами двох множин. Такі відношення називають відповідностями.
Наприклад, нумерація класів в школі: 1а, 1б, 1в, 2а, 2б, 2в і т.п. - це встановлення відповідності між множиною чисел 1,2,3,4 і множиною букв а,б,в. При вимірюванні довжини відрізків встановлюється відповідність між множиною відрізків і множиною дійсних чисел.
Досить поширеною є гра: один із гравців називає місто, а другий повинен швидко назвати місто, назва якого починається з останньої букви попереднього міста і т.д. Гра закінчується, якщо один із гравців не може швидко згадати місто з відповідною назвою.
Нехай, наприклад, перший і другий гравці послідовно назвали такі міста: Запоріжжя, Ялта, Алчевськ, Кіровоград, Донецьк, Київ, Вінниця. Названі міста утворюють дві множини:
А ={Запоріжжя,Алчевськ,Донецьк,Вінниця};
В = {Ялта, Кіровоград, Київ}.
Зобразимо залежність між даними множинами схематично, або за допомогою графа. Множини А і В позначимо різними кругами.
На даних прикладах видно, що відповідність встановлюється між елементами двох множин. Такі відповідності називаються бінарними відповідностями.
Означення. Відповідністю між елементами двох множин (бінарною відповідністю) називається підмножина декартового добутку Х×У.
Множина Х називається множиною відправлення, а множина Y – множиною прибуття відповідності. Разом їх називають базовими множинами відповідності.
Ми означили, що відповідності – це відношення між елементами двох множин. Тому способи задання відповідностей аналогічні до способів задання відношень.
1 спосіб: перелічування пар елементів.
Наочно це можна зобразити графом, таблицею, графіком (для числових множин);
2 спосіб: характеристичною властивістю пар.
Відповідність між елементами двох множин можна зобразити за допомогою графіка на координатній площині. Для цього на координатній площині позначають всі пари чисел, які знаходяться в даній відповідності. Одержана фігура і буде графіком відповідності.
Справедливе і обернене твердження: будь-яка підмножина точок координатної площини є графіком деякої відповідності.
Побудуємо графіки відповідності «більше» між елементами різних множин (відповідність задана за допомогою характеристичної властивості).
А={3,5,7,9}, В= {4,6}.
Тоді R ={(5;4), (7;4), (7;6), (9;4), (9;6)} (відповідність задана перелом пар).
Елементи множини А позначимо на осі ОХ, а елементи множини В – на осі ОУ. Кожну із одержаних пар – точкою в системі координат. Одержимо графік відповідності «більше» між елементами множин А і В.
2) А=R, В={4,6}
Множина А нескінченна, в неї входять всі числа, а множина В містить лише два елемента. Між елементами даних множин задано відповідність «більше». З’ясуємо, які числа з множини А більші від числа 4. Всі числа, більші числа 4, розміщені на осі ОХ вправо від точки 4.Отже, всі точки, абсциси яких належать проміжку (4,), а ординати дорівнюють 4, утворюють промінь. Цей промінь не має початку, оскільки точка (4,4) графіку даної відповідності не належить.
Аналогічно, всі точки, яких абсциса вибирається з проміжку (6,), а ордината дорівнює 6, утворюють також промінь без початку (6;6).
3) А=R, B=R.
Побудуємо графік відповідності «більше» у випадку, коли множини А і В – нескінчені.
Всі точки, для яких абсциса дорівнює ординаті, лежать на бісектрисі першого і третього координатних кутів. Всі точки, для яких абсциса більша ординати, розміщені під бісектрисою першого і третього координатних кутів.
Отже, графіком відповідності «більше» на множині Х дійсних чисел буде півплощина, розміщена під бісектрисою першого і третього координатних кутів, а сама бісектриса півплощині не належить.
Розглянемо приклад задання відповідності за допомогою таблиць.
Нехай задано дві множини: А = {2,3,6,12} і В = {2,3,4}. Між елементами даних множин встановлено відношення подільності R: числа з множини А діляться на числа з множини В. Математично це можна записати так: , R ={(2;2), (3;3), (6;2), (6;3), (12;2), (12;3), (12;4)}.
Випишемо по вертикалі всі елементи множини А, а по горизонталі – множини В. Якщо пара , де , то на перетині відповідного рядка і стовпця записуємо 1, якщо ні – записуємо 0. Одиниця і нуль тут визначають істинність висловлень про належність пар даній відповідності. Так, у рядку, де міститься елемент 6, є дві одиниці і один нуль. Це означає, що висловлення або , або істинні, а висловлення , - хибне. Таку прямокутну таблицю з нулів і одиниць називають матрицею даної відповідності.
|
А В |
2 |
3 |
4 |
|
2 |
1 |
0 |
0 |
|
3 |
0 |
1 |
0 |
|
6 |
1 |
1 |
0 |
|
12 |
1 |
1 |
1 |
За допомогою таблиць і графів можна задавати лише скінченні відповідності з порівняно невеликою кількістю елементів. Для нескінченних відповідностей такими способами можна ілюструвати лише деякі їхні скінченні частини.
Нехай дано множини: А={1,3,5,7}, В={2,6}. R – відповідність «більше» між елементами даних множин.
Тоді R = {(3;2), (5;2), (7;2), (7;6)}
Побудуємо граф відповідності R.
Замінимо стрілки графа на обернені. Одержимо граф відповідності – «менше». = {(2;3), (2;5), (2;7), (6;7)}.
Означення. Нехай R – відповідність між елементами множин А і В. Відповідність між елементами множин В і А називається оберненою даній, якщо ух тоді і тільки тоді, коли хRу.
Відповідності R і називаються взаємно оберненими.
Побудуємо графіки даних відповідностей в одній системі координат.
Графіки прямої і оберненої відповідностей симетричні відносно бісектриси І та III координатних кутів.
У початковому навчанні математиці оберненим відповідностям приділяється значна увага. Учні повинні чітко усвідомити, що, якщо 5>3, то 3<5; якщо відрізок АВ коротший, ніж відрізок СD, то відрізок СD довший, ніж відрізок АВ. Особлива роль знання взаємозв’язків під час розв’язування текстових задач з відношеннями, заданими в непрямій формі.
Означення. Взаємно однозначними відповідностями називаються відповідності, якщо кожному елементу множини Х відповідає єдиний елемент множини Y, і кожний елемент множини Y відповідає єдиному елементу множини Х.
У початковій школі поняття взаємно однозначної відповідності використовується неявно: на даному понятті будується лічба предметів та їх порівняння.
Наприклад. Як пояснити дітям, що 4 = 4 ?
Для пояснення беруть чотири червоних квадрата та чотири зелених трикутника і кожному червоному квадрату ставлять у відповідність зелений трикутник, тобто встановлюють взаємно однозначну відповідність між множинами червоних квадратів та зелених трикутників. Так як кожному червоному квадрату можна поставити у відповідність зелений трикутник і навпаки, то говорять, що 4=4.
Як пояснити дітям, що 3<4 ?
Для цього беруть також три червоних квадрата (множина А) і чотири зелених трикутника (множина В) і встановлюють взаємно однозначну відповідність між множиною, в якій 3 елемента і трьохелементною підмножиною множини, що містить 4 елемента.
В першому прикладі кожному елементу множини А (множини червоних квадратів) відповідає єдиний елемент множини В (множини зелених трикутників) і кожний елемент множини В (множини зелених трикутників) відповідає єдиному елементу множини А (множини червоних квадратів), тоді дана відповідність взаємно однозначна.
В другому прикладі кожному елементу множини А (множини червоних квадратів) відповідає єдиний елемент множини В (множини зелених трикутників), але не всім елементам множини В (множини зелених трикутників) відповідає єдиний елемент множини А (множини червоних квадратів), тоді дана відповідність не взаємно однозначна.
Якщо відповідності взаємно однозначні, то кількості елементів відповідних множин рівні.
В теорії множин існує поняття рівнопотужних множин. Уточнимо дане поняття.
Означення. Множини Х і Y називаються рівнопотужними, якщо вони або порожні, або між ними встановлено взаємно однозначну відповідність.
Позначається рівнопотужність множин:
Якщо множина Х рівнопотужна множині Y, то записують так:
Рівнопотужність множин має свої характерні властивості:
1) Рефлективність: Будь яка множина рівнопотужна сама собі.
2) Симетричність:
3) Транзитивність:
Так як відношення рівнопотужності має властивості рефлективності, симетричності і транзитивності, то воно є відношенням еквівалентності.
Рівнопотужні множини можуть бути як скінченними так і нескінченними. Якщо множини скінченні і рівнопотужні, то вони мають однакову кількість елементів. Якщо множини Х та Y скінченні і множина Х рівнопотужна множині Y, то .
Якщо множини нескінченні і рівнопотужні, то частина множини може бути рівнопотужною всій множині.
Наприклад. 1) Множина А = {1,2,3,4}, множина букв у слові «урок», множина, що містить чотири геометричні фігури – все це рівнопотужні множини. Вони містять однакову кількість елементів.
2) Множина натуральних чисел і її підмножина – множина непарних натуральних чисел. Поставимо у відповідність кожному натуральному числу n непарне число 2n – 1. Ця відповідність взаємно однозначна: кожному натуральному числу відповідає єдине непарне число і кожне непарне число відповідає єдиному натуральному числу. Отже, , тобто множина натуральних чисел і множина непарних натуральних чисел, яка є підмножиною множини натуральних чисел, рівнопотужні.
Довгий час вважали, що всі нескінченні множини рівнопотужні між собою. В 70-80-х роках XIX ст. видатний німецький математик Г.Кантор (1845-1918) встановив, що серед нескінченних множин є безліч нерівнопотужних між собою множин і що всі нескінченні множини також можна розбити на класи рівнопотужних множин.
Найменша нескінченна потужність – це потужність множини натуральних чисел.
Будь-яка множина називається зчисленною, якщо вона рівнопотужна множині натуральних чисел.
Наприклад: множина усіх квадратів натуральних чисел називається зчисленною, бо вона рівнопотужна множині натуральних чисел. Множина усіх натуральних чисел, кратних k, множина цілих чисел, множина раціональних чисел також зчисленні. Між ними і множиною натуральних чисел можна встановити взаємно однозначну відповідність.
Г.Кантор довів, що множина дійсних чисел на відрізку не рівнопотужна множині натуральних чисел N і має більшу потужність, ніж потужність множини N.
Користуючись поняттям рівнопотужності множин, можна уточнити поняття скінченної і нескінченної множин.
Означення. Множина А називається скінченною, якщо в ній жодним способом не можна виділити правильної частини В, рівнопотужної всій множині А. Якщо в А можна виділити рівнопотужну їй правильну частину В, то тоді А називається нескінченною множиною.
Це означення розкриває найхарактернішу відмінність між скінченними й нескінченними множинами. Не слід ототожнювати нескінченну множину і скінченну множину, яка містить дуже багато елементів.
1. За якою характеристичною ознакою утворено такі множини:
А) А = {5, 10, 15, 20, …, 5к, …};
Б) В = {…, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, ...};
В) М = {а, 2а, 4а, 8а, … };
Г) К = { O, ∆, , , □}.
2. Записати різними способами такі множини:
А) множину дійсних чисел, квадрати яких більше за 2;
Б) множину дійсних чисел, менших за -5;
В) множину парних чисел, більших за 100;
Г) множину цілих степенів числа 10.
3. Записати множину А розв’язків рівняння = 7 і множину В розв’язків рівняння х2 - 49 = 0. що можна сказати про ці множини. Записати відповідь за допомогою знака рівності і за допомогою знака включення.
4. Підібрати життєві приклади таких множин А1, А2, А3, щоб А3 А2 А1. Записати це за допомогою фігурних дужок.
5. Які із множин рівні між собою: А – множина прямокутників з рівними сторонами; В – множина ромбів з прямими кутами; С – множина прямокутників із взаємно перпендикулярними діагоналями; К – множина квадратів; Е – множина паралелограмів з рівними діагоналями?
6. Знайти А∩В, АВ, А\ B, B\ A, якщо:
А) А – множина правильних многокутників, В –множина чотирикутників;
Б) А – множина раціональних чисел, В – множина дійсних чисел.
Записати та показати за допомогою кругів Ейлера.
7. Дано: А = {2, 3, 4, 5}, В = {5, 10, 15, 20}, С = {20, 30, 40}. Знайти АВ, АС, ВС, А∩В, А∩ С, В∩ С, А ∩В∩ С, АВС, А\ В, А\ С, В \ С, В \ А, С \ А, С\ В.
8. Навести приклади класифікацій таких множин:
А) множина студентів вашого коледжу;
Б) множина слів у словнику;
В) Множини задач, що розв’язуються у початкових класах.
9. Знайти декартів добуток множин А×В і В×А, якщо А = {5, 7, 9} і В = {2, 4, 6, 8}. Сформулюйте цю задачу у вигляді задачі на відшукання певних двоцифрових чисел. Записати ці числа.
10. Довести істинність рівностей:
А) (АВ) × С = А×С В×С;
Б) (А∩В) × С = А×С ∩ В×С;
В) (А\ B) × C = А×С \ В×С.
11. Зобразити в прямокутній системі координат множини А×В, якщо
А = {a/ -5≤ а ≤ 4} і a Z; В = {b/ 2≤b≤6} і b Z; при тій самій умові, але a N і b N; a R і b R.
12. Дано множини Х = {зелений, жовтий, червоний, синій} і У = {лист, прапор, галстук}. Знайти і зобразити відповідність між цими множинами. Побудувати граф оберненого відношення.
13. Побудувати графік і граф прямого і оберненого відношення між парними числами множини Х = {-6, -4, -2, 0, 2, 4} і їх модулями.
14. Навести приклади задач із підручників початкових класів, у яких розглядаються відношення «більше в … разів», «важче», «старше», «молодше». Які властивості мають ці відношення?
15. Побудувати граф відношення «х > у» на множині М = {2, -2, 5, 8, -23, 32} і простежити за графом властивості цього відношення.
16. Навести приклади задач із підручників початкових класів, у яких учням доводиться упорядковувати множини. Назвіть відношення, за допомогою яких відбувається це упорядкування.
17. На множині людей задано відношення: «бути братом», «бути старшим за віком», «бути вищим зростом», «жити в тому самому будинку». Які з цих відношень є відношення сторогого порядку?
Тема. Поняття натурального числа. Назви натуральних чисел. Символи для їх запису. Число нуль. Порівняння чисел.
Множина цілих невід’ємних чисел, її властивості; упорядкованість, нескінченність, дискретність.
План
Поняття натурального числа є одним із основних понять математики. Виникло воно із практичних потреб людства. Складалось поступово у процесі розв’язання спочатку практичних задач, а потім і теоретичних. Головною причиною, яка привела людину до створення натурального числа, була необхідність порівнювати скінченні множини між собою. У своєму розвитку поняття числа пройшло декілька етапів:
З часом люди навчились називати числа, позначати їх на письмі, виконувати з ними дії. Пізніше числа стали самостійними об’єктами. Наука, яка стала вивчати числа, дії над ними, отримала назву «арифметика».
Арифметика виникла в країнах Стародавнього Сходу: Вавилоні, Єгипті, Китаї, Індії; пізніше математичні знання отримали розвиток в Стародавній Греції. В середні віки великий вклад у розвиток арифметики внесли вчені Індії, країн арабського світу, Середньої Азії, а починаючи з XIII ст. - європейські вчені.
Означення. Натуральні числа – це числа, які застосовують при лічбі предметів. Натуральні числа є порядкові і кількісні.
Вказуючи при лічбі на кожен елемент деякої множини, називають порядкові натуральні числа (перший, другий і т. д.). Наприклад: перелічуючи елементи множини називаємо слова «перший», «другий», «третій», «четвертий», тобто використали порядкові натуральні числа. Перелічивши елементи множини, вони дають кількісну характеристику цієї множини. У нашому прикладі ми говоримо, що їх у множині А «чотири», тобто даємо кількісну характеристику множини А і використовуємо при цьому кількісне натуральне число. Іншими словами, ми використали множину чисел , яку називають відрізком натурального ряду.
Означення. Відрізком натурального ряду називається множина натуральних чисел, яка не перевищує натурального числа а. Позначається Ма. Будь-який відрізок Ма при а >1 містить 1.
Наприклад : N4 є множина натуральних чисел 1, 2, 3, 4; тобто N4 .
Лічба елементів множини А - це встановлення взаємнооднозначної відповідності між елементами множини А і відрізком натурального ряду чисел Nа.
Число а називають числом елементів у множині А. Позначається: п(А)=а. Це число для даної множини єдине і є кількісним натуральним числом. Отже, при перелічуванні елементів множини використовуються порядкові натуральні числа, які виражаються числівниками «перший», «другий», «третій» і т. д. (тобто відповідають на питання, який при лічбі); для встановлення кількості елементів множини (тобто для відповіді на питання «скільки»), використовуються кількісні натуральні числа, які виражаються числівниками «один», «два», «три» і т.д.
Таким чином, кількісні і порядкові натуральні числа знаходяться в тісному взаємозв’язку. Тісний зв’язок порядкового і кількісного натурального чисел знайшов своє відображення в початковому навчанні математики. Так при вивченні чисел першого десятка відповідь на питання: «Скільки предме тів в даній групі?» - дається кількісним натуральним числом, а на питання: «Який при лічбі буде даний предмет?» - відповідь дається порядковим натуральним числом.
При лічбі дотримуються певних правил:
Розкриємо зміст кількісного натурального числа з теоретико-множинних позицій, використовуючи поняття рівнопотужних множин.
Відберемо в один клас всі скінченні множини, які рівнопотужні деякій скінченній множині А; в другий клас множини, рівнопотужні іншій скінченній множині - В і т. д. В силу того, що відношення рівнопотужності є відношенням еквівалентності, всі скінченні множини будуть розподілені за класами еквівалентності. Всі множини одного класу мають спільну властивість, а саме - в них однакова потужність (тобто однакова кількість елементів - що і є кількісним натуральним числом).
Означення. Кількісним натуральним числом називається загальна властивість класу скінченних рівнопотужних множин.
Кожному класу відповідає одне і тільки одне натуральне число.
Кожному натуральному числу відповідає тільки один клас рівнопотужних множин.
Кожній скінченній множині відповідає одне і тільки одне натуральне число а = n (А), але кожному натуральному числу відповідають різні скінченні множини одного класу еквівалентності.
Наприклад: числу 3 відповідають множина сторін трикутника, множина його вершин, множина кутів, множина букв у слові «мир» і т. д.
Теоретико-множинний смисл числа нуль: Нуль - це загальна властивість класу порожніх множин. 0 = п (0)
В початковому курсі математики при розкритті поняття числа в темі: «Числа першого десятка» кількісне натуральне число розглядається як загальна властивість класу скінченних рівнопотужних множин.
Означення 1. Числа а і b називаються рівними, якщо вони визначаються рівнопотужними множинами.
Тобто , якщо а =п(А), b= n(В) і А~ В, то a = b.
Означення 2. Число а менше числа b, якщо множина А рівнопотужна власній підмножині множини В, де а = п(А), b = п (В).
a < b AВ1 і B1 В, B В1, В1.
Означення 3. Число а менше числа b тоді і тільки, коли відрізок натурального ряду Na власною підмножиною відрізка Nb цього ряду.
a < b Na Nb , Na Nb
Означення 4. Число а менше числа b тоді і тільки тоді, коли існує таке натуральне число с, що а + с = b .
1. Множина цілих невід’ємних чисел впорядкована. Наприклад, вона впорядковується відношенням «менше», яке є транзитивним і антисиметричним.
Для будь - яких цілих невід’ємних чисел а і b може виконуватись одне з трьох відношень: а < b, а = b, а > b.
Можна розташувати числа так, щоб для будь-яких двох чисел спочатку йшло число менше, тоді отримаємо ряд цілих невід’ємних чисел: 0,1, 2, З, 4,...
2. Множина цілих невід’ємних чисел нескінченна. Для кожного цілого невід’ємного числа а можна вказати число, яке слідує безпосередньо за ним. Це число а + 1.
3. Множина цілих невід’ємних чисел дискретна. Це означає, що не можна вказати таке натуральне число, яке знаходиться між цілими невід’ємних числами а і а + 1. Самі ці числа називаються сусідніми.
При вивченні чисел першого десятка в 1 класі з’ясовується утворення кожного числа натурального ряду (прилічуванням і відлічуванням одиниці). При цьому використовуються поняття «слідує», «передує», «попереднє число», «наступне число», тобто створюються умови, щоб учні зрозуміли властивості чисел натурального ряду:
будь-яке число натурального ряду може бути отримане додаванням одиниці до того числа, яке при лічбі називається перед ним;
будь-яке число натурального ряду на 1 більше, ніж попереднє.
Тема. Додавання цілих невід’ємних чисел
План
Розглянемо дві задачі.
1) «На тарілці лежать 3 груші і 5 яблук. Скільки всього фруктів на тарілці?»
Задача розв’язується виразом на додавання 3 + 5 = 8, бо мова йде про об’єднання двох множин: множини груш (число елементів – 3) та множини яблук (число елементів – 5). Ці множини не перетинаються. Щоб знайти, скільки всього фруктів на тарілці, треба об'єднати множини груш та яблук і полічити, скільки всього елементів у цьому об’єднанні. Число елементів об’єднання даних множин дорівнює 8; тобто 8 фруктів на тарілці.
2) «Знайти кількість елементів в об’єднанні множин A = {k, l, m, n} та B = {n, o, p}».
Розв’язання. Кількість елементів множини A: n (A) = 4, а кількість елементів множини B: n (B) = 3. За означенням AB = {k, l, m, n, o, p} n(AB) = 6. Але n (AB) ≠ 4 + 3. Чому? Тому, що АВ = {n} і, отже,
n (A) + n (B) ≠ n (AB).
Звідси, суму цілих невід’ємних чисел визначають через об’єднання двох множин, що не перетинаються.
Означення. Сумою двох цілих невід’ємних чисел а і b називається число елементів в об’єднанні множин А і В, які не перетинаються і таких, що n (А) = а, п (В) = b, тобто а + b = п (АВ), де а = п (А), b = п (В), АВ = .
Сума не залежить від вибору двох множин, що не перетинаються, але таких, що n (A) = a і n (B) = b.
Приклади:
1) A = {a, b}, B = {c, d} AB = {a, b, c, d} і АВ = , отже, n (AB) = n (A) + n (B) = 2 + 2 = 4, де n (A) = 2, n (B) = 2.
2) A = {Δ, Δ}, B = {Ο, Ο} AB = {Δ, Δ, Ο, Ο} і АВ = , отже, n (AB) = n (A) + n (B) = 2 + 2 = 4, де n (A) = 2, n (B) = 2.
Дія, за допомогою якої знаходять суму, називається додаванням. Числа, які додаються, називаються доданками.
У початковому курсі математики додавання цілих невід’ємних чисел вводиться на основі виконання практичних вправ, пов’язаних з об’єднанням двох множин предметів (без використання відповідної символіки та термінології). Основним засобом розкриття теоретико-множинного смислу додавання є розв’язування простих текстових задач.
Теорема: «Сума цілих невід’ємних чисел завжди існує і вона єдина».
(Доведення теореми випливає з теореми про існування і єдиність операції об'єднання множин).
Іншими словами, які б не було взято два цілих невід’ємних числа а і b, завжди можна знайти їх суму – ціле невід’ємне число с, яке і буде єдиним для заданих чисел а і b.
Нехай сума двох доданків визначена і визначена сума п доданків. Тоді сума, що складається з n+1 доданка, тобто сума а1 + а2 + ... + ап + ап+1 дорівнює (а1 + а2 + ... + ап) + ап+1, тому
а1 + а2 + ... + ап + ап+1 = (а1 + а2 + ... + ап) + ап+1.
Приклад: .
Доведення. Нехай а – кількість елементів множини A, b – кількість елементів множини B, тобто n(A) = а, n(B) = b і АВ = . Тоді за означенням суми цілих невід’ємних чисел а + b = n (AB). А так як AB = BA (за комутативним законом об’єднання множин), то n (AB) = n (BA) за означенням суми n (BA) = b + а а+b = b+а для будь-яких цілих невід’ємних чисел.
Доведення. Нехай а – кількість елементів множини A, b – кількість елементів множини B, с – кількість елементів множини С, тобто n (A) = а, n (B) = в, n (С) = с, АВ = , BС = . Тоді за означенням суми двох цілих невід’ємних чисел (а + b) + с = n (AB) + n (C) = n ((AB)C). Так як за асоціативним законом об’єднання множин (AB)С = =A(BC), то n ((AB)С) = n (A(BC)) за означенням суми двох чисел n (A(BC)) = n (A) + n (BC) = а + (b + с) (а + b) + + с = а + (b + с).
Наслідки із комутативного та асоціативного законів додавання:
1) (а + b) + с = (а + с) + b = а + (b + с);
2) а + (b + с) = (а + b) + с=:(а + с) + b.
Додати число до суми або суму до числа можна двома способами: обчислити суму і до результату додати дане число або додати це число до одного з доданків, а до результату додати другий доданок.
(а + b) + (с + d) = (а + с) + (b + d) = (а + d) + (b + с).
Для того щоб додати суму до суми, можна до одного з доданків першої суми додати один із доданків другої, а до другого доданку першої суми – інший доданок другої суми і одержані результати додати.
Ці правила легко поширити на будь-яку кількість доданків і об’єднати їх одним правилом: якщо при додаванні маємо дужки, то їх можна опустити і об’єднати між собою доданки в будь-якій послідовності так, щоб обчислення виконувати найзручнішим способом.
Із законами дії додавання учні початкових класів знайомляться поступово: спочатку вивчають переставну властивість додавання (1 клас), яка використовується при складанні таблиць додавання одноцифрових чисел, а далі для розкриття прийомів додавання та раціоналізації обчислень. В 4 класі при узагальненні і систематизації знань про дію додавання закони – переставний і сполучний формулюються та записуються у буквеному вигляді.
Тема. Віднімання цілих невід’ємних чисел
План
Розглянемо задачу: «В гаражі стояло 9 машин. 3 машини від’їхали. Скільки машин залишилось у гаражі ?». Ця задача розв’язується виразом на віднімання: 9 − 3 = 6 (машин). Розв’язання цієї задачі пов’язано з виділенням з множини машин, які стояли у гаражі (число елементів її – 9) підмножини машин, які від’їхали (число елементів підмножини – 3) і знаходженням числа елементів у доповненні цієї підмножини, тобто множини машин, які залишились (число елементів доповнення – 6) до даної множини.
Означення. Різницею цілих невід'ємних чисел а і b називається число елементів в доповненні множини В до множини А, де n (А) = а, n (В) = b, BA, тобто а − b = n (A\B), де n (А) = а, n (В) = b, BA.
Різниця а – b не залежить від вибору множин, але таких, що n(А) = а, n (В) = b і BA.
Приклади:
1) A = {a, b, c, d}, B = {c, d}, тобто BA, n (A) = 4, n (B) = 2 A\B = {a, b}, n (A\B) = 2 4 – 2 = 2.
2) A = {Δ, Δ, Δ, Ο}, B = {Ο}, тобто BA, n (A) = 5, n (B) = 1
A\B = { Δ, Δ, Δ }, n (A\B) = 4 5 – 1 = 4.
Дія, за допомогою якої знаходять різницю, називається відніманням. Компоненти дії віднімання – зменшуване (а) і від’ємник (b).
У початковому курсі математики ознайомлення з дією віднімання відбувається на основі практичних вправ, які пов’язані з вилученням підмножини елементів даної множини і утворенням нової множини, що є доповненням даної підмножини (без використання відповідної символіки та термінології). Основним засобом розкриття теоретико-множинного смислу віднімання є розв’язування простих текстових задач.
Існує тісний зв’язок між додаванням і відніманням, тому правильність віднімання перевіряють додаванням.
Нехай дано цілі невід’ємні числа а і b такі, що а = n (A), b = n (B), BA і n (A\B) = а − b. За допомогою кругів Ейлера множини A, B і A\B зображуються так:
Так як A = B(A\B), то n (A) = n (B(A\B)). Так як B(A\B) = , то n (A) = n (B(A\B)) = n (B) + n (A\B) = b + (а – b) = а різниця а – b – це таке число, яке в сумі з b дає число а. Тому маємо друге означення різниці: різницею цілих невід'ємних чисел а і b називається таке ціле невід’ємне число с, яке в сумі з числом в дає число а, тобто
а − b = c а = b + с.
Дія віднімання є оберненою до дії додавання. Дії додавання і віднімання є діями І ступеня. Друге означення різниці встановлює зв’язок між цими діями і є основою правила знаходження невідомого доданка за відомою сумою і другим доданком.
Теорема про існування різниці цілих невід’ємних чисел: «Різниця цілих невід’ємних чисел а і b існує тоді і тільки тоді, коли b ≤ а».
Доведення.
1) Якщо а = b, то а – b = 0, тобто різниця а – b існує.
2) Якщо b < а, то за означенням відношення «менше» існує таке натуральне число с, що а = b + с. Тоді за означенням різниці с = а – b, тобто різниця а–b існує.
3) Якщо різниця а – b існує, то за означенням різниці існує таке ціле невід’ємне число с, що а = b + с. Якщо с = 0, то а = b; якщо с > 0, то b < а за означенням відношення «менше». Отже, b ≤ а.
Теорема про єдиність різниці цілих невід’ємних чисел: «Якщо різниця цілих невід’ємних чисел існує, то вона єдина».
Доведення. Нехай існують два значення різниці а – b: а – b = с1 та а – b = с2. Тоді за означенням різниці маємо а = b + с1 та а = b + с2. Звідси маємо в + с1 = b + с2, тому с1 = с2.
Правило віднімання числа від суми: «Щоб відняти число від суми, достатньо відняти його від одного з доданків та до отриманого результату додати інший доданок».
Дане правило сформулюємо символічно.
Якщо а, b, с – цілі невід’ємні числа, то:
1) при а ≥ с маємо, що (а + b) – с = (а – с) + b;
2) при b ≥ с маємо, що (а + b) – с = а + (b – с);
3) при а ≥ с та b ≥ с можемо використати будь-яку з даних рівностей.
Доведення (для випадку 1).
Нехай а ≥ с, тоді різниця а – с існує. Позначимо її буквою р, тобто а – с = р. Звідси а = р + с. Підставимо суму р + с замість а у вираз (а + b) – с та виконаємо перетворення: (а + b) – с = (р + с + b) – с = р + b. Але так як р = а – с, то (а + b) – с = = (а – с) + b, що й треба було довести.
Доведення для випадків 2 і 3 аналогічне.
Покажемо графічне зображення доведення даного правила за допомогою кругів Ейлера. Розглянемо три скінчені множини A, B та C такі, що n (A) =а, n (В) = b, n (С) = с, AB = та CA. Тоді (а + b ) – с – це кількість елементів множини (АВ)\С, а число (а – с) + b – це кількість елементів множини (А\С)В. На кругах Ейлера множина (АВ)\С зображена заштрихованою областю. Але множина (А\С)В зображується такою ж самою областю. Тому (АВ)\С = (А\С)В для даних множин А, В і С. Отже, n ((АВ)\С) = n ((А\С)В) та (а + b) – с = (а – с) + b.
Аналогічно можна показати графічне зображення для випадків 2 і 3.
Правило віднімання суми від числа: «Щоб від даного числа відняти суму, достатньо відняти від нього послідовно кожен доданок», тобто якщо а, b, с – цілі невід’ємні числа, то при а ≥ b + с маємо
а – (b + с) = (а – b) – с = (а – с) – в.
Доведення даного правила та його теоретико-множинне тлумачення за допомогою кругів Ейлера є аналогічними.
Дані правила в початковій школі розглядаються на конкретних прикладах при визначенні раціонального способу обчислення. Правило віднімання суми від числа є основою прийому віднімання по частинам:
12 – 5 = 12 – (2 + 3) = (12 – 2) – 3 = 10 – 3 = 7.
Також ці правила застосовуються при розв’язуванні задач різними способами. Наприклад задачу «На столі лежали 15 маленьких та 7 великих трикутників. Для аплікації використали 5 трикутників. Скільки трикутників залишилось?» можна розв’язати трьома способами:
1 спосіб: 1) 15 + 7 = 22 (тр.)
2) 22 – 5 = 17 (тр.)
2 спосіб: 1) 15 – 5 = 10 (тр.)
2) 10 + 7 = 17 (тр.)
3 спосіб: 1) 7 – 5 = 2 (тр.)
2) 15 + 2 = 17 (тр.).
При розв’язуванні задач та в практичній діяльності буває необхідно не тільки визначити, що число а більше (або менше) числа b, але й дізнатися на скільки число а більше (або менше) числа b.
Встановимо теоретико-множинний смисл відношень «більше на» та «менше на». Нехай а і b – цілі невід’ємні числа такі, що а = n (А), b = n (В), причому а < b. Це означає, що у множині В можна виділити власну підмножину В1, яка рівнопотужна множині А, та множина В\В1 не є порожньою. Нехай n (В\В1) = с, причому с ≠ 0. Тоді у множині В стільки ж елементів, що і у множині А, та ще с елементів. У цьому випадку кажуть, що число а менше числа b на с або число b більше числа а на с.
Так як с = n (В\В1), де В1 – підмножина множини В, то с = а–b.
Отже, щоб дізнатися, на скільки одне число більше або менше другого, треба від більшого числа відняти менше.
Відношення «більше на», «менше на» зустрічаються в простих текстових задачах з відношенням: це задачі на різницеве порівняння чисел, задачі на збільшення (зменшення) числа на декілька одиниць.
Задача 1: «На городі посадили 4 кущі малини та 9 кущів порічок. На скільки більше посадили кущів порічок?».
Згідно з правилом відповідь на питання задачі знаходимо за допомогою виразу на віднімання 9 – 4 = 5. Та чи можна від 9 кущів порічок відняти 4 кущі малини? Але в даному випадку від 9 кущів порічок віднімають 4 кущі порічок. Тож покажемо це, позначивши кущі малини кругами, а кущі порічок квадратами.
D
Z
Z1
Щоб дати відповідь на питання задачі, виділимо у множині кущів порічок підмножину Z1, рівнопотужну множині кущів малини. Тоді кущі порічок, що залишилися, утворюють доповнення множини Z1 до множини Z та їх кількість дорівнює різниці чисел 9 і 4.
Задача 2: «На городі посадили 4 кущі малини, а кущів порічок на 5 більше. Скільки посадили кущів порічок?».
В цій задачі маємо дві множини: D – множина кущів малини, Z – множина кущів порічок. Відомо, що n (D) = 4, а кількість елементів множини Z треба знайти за умови, що в ній на 5 елементів більше, ніж у D. Тому n (Z) – n (D) = 5, звідки n (Z) = 5 + n (D) = 5 + 4 = 9.
Це також можна пояснити, спираючись на попереднє графічне зображення даних множин. Так як у множині Z на 5 елементів більше, ніж у множині D, а це означає, що у Z стільки ж елементів, скільки у D, та ще 5 елементів. Іншими словами, множину Z можна розглядати як об’єднання двох множин Z1 і Z2 таких, що Z1~D та n (Z2) = 5. Так як множини Z1 і Z2 не мають спільних елементів, то n (Z) = n (Z1Z2) = n (Z1) + n (Z2) = 4 + 5 = 9.
Задача 3: «На городі посадили 9 кущів порічок, а малини на 3 кущі менше. Скільки кущів малини посадили?».
В цій задачі також маємо дві множини: множину кущів порічок (Z) та множину кущів малини (D), причому n (Z) = 9, а кількість елементів множини D треба знайти за умови, що в ній на 3 елемента менше, ніж у Z. Тому n (Z) – n (D) = = 3, звідки n (D) = n (Z) – 3 = 9 – 3 = 6.
Використовуючи наступне графічне зображення, розв’язання задачі здійснюється так: оскільки кущів малини на 3 менше, ніж кущів порічок, то кущів порічок на 3 більше, тому, видаливши із множини Z підмножину з трьох елементів, отримаємо множину, рівнопотужну множині D, тобто n (D) = 9 – 3 = 6.
Z
D
Тема. Текстова задача. Способи розв’язування текстових задач. Прийоми пошуку плану розв’язування текстових задач, способи запису і перевірки. Прості текстові задачі на додавання і віднімання
У початковому навчанні математики значну роль відіграють текстові задачі.
Під математичною задачею розуміють будь-яку вимогу обчислити, побудувати, довести що-небудь, що стосується кількісних відношень і просторових форм, створених людським розумом на основі знань про навколишній світ.
Арифметичною задачею називають вимогу знайти числове значення деякої величини, якщо дано числове значення інших величин і існує залежність, яка пов’язує ці величини як між собою, так і з шуканою.
У системі навчання учнів початкових класів загальноосвітньої школи переважають арифметичні задачі. Задачі на побудову, найпростіші доведення, а також завдання логічного порядку займають порівняно незначне місце. Задачі з одного боку становлять специфічний розділ програми, матеріал якого учні мають засвоїти, а з другого – виступають як дидактичний засіб навчання, виховання і розвитку школярів. Отже, задачі мають такі функції, як:
У початкових класах, в основному, розглядають так звані сюжетні задачі, в яких описується кількісний бік якихось явищ, а знаходження невідомого зводиться до виконання певних арифметичних дій. В умові сюжетних задач подаються значення величин і деякі залежності (відношення) між цими значеннями, причому ці залежності мають певні числові характеристики.
Сюжетну задачу, для розв’язання якої треба виконати одну арифметичну дію, називають простою.
Сюжетну задачу називають складеною, якщо для її розв’язання виконують дві або більше арифметичних дій.
Структура текстової задачі:
Вимоги до елементів задачі:
Якщо завдання не відповідає якійсь з вимог до задач, його не вважають задачею. Наприклад:
1) Іван Царевич зірвав з першої яблуні 8 чарівних яблук, а з другої – 10. Скільки чарівних яблук зірвав Іван Царевич з третьої яблуні?
2) Мама купила 5 книжок. 2 книжки з’їли за обідом. Скільки книжок залишилося?
3) На дереві сиділо 8 риб, прилетіло ще 4. Скільки риб стало на дереві?
4) Скільки коштують 2 ляльки?
Етапи роботи над текстовою задачею:
1. Ознайомлення зі змістом задачі (читання вчителем, читання 1 учнем вголос, читання хором, самостійне читання учнями).
2. Бесіда за змістом задачі:
– Про що йдеться мова в задачі? (...)
– Що відомо? (...)
– Яке питання в задачі? (...)
3. Складання інтерпретації до задачі (порядкової, табличної, схематичної)
4. Повторення задачі вцілому.
5. Пошук розв’язання задачі.
6. Запис розв’язання і відповіді.
7. Творча робота над задачею.
Способи розв’язування текстових задач
Щоб розв’язати задачу, необхідно виконати вимогу задачі (дати відповідь на питання задачі) через логічно правильну послідовність дій та операцій над числами, величинами і залежностями, що задані в умові задачі
Способами розв’язування задач є:
При арифметичному способі відповідь на питання задачі знаходять в результаті виконання арифметичних дій над числами. Різні арифметичні способи розв’язання однієї і тієї ж задачі відрізняються відношеннями між відомими в задачі, відношеннями між відомими і шуканими величинами, послідовністю використання цих відношень при виборі виконання арифметичних дій.
Приклад. З одного куща смородини зібрали 18 кг ягід, а з другого – 12 кг. Усі ягоди розклали в ящики, по 6 кг у кожний. Скільки ящиків використали?
1 спосіб.
1) 18 + 12 = 30 (кг) – всього ягід;
2) 30 : 6 = 5 (ящ.)
2 спосіб.
1) 18 : 6 = 3 (ящ.) – для ягід з першого куща;
2) 12 : 6 = 2 (ящ.) – для ягід з другого куща;
3) 3 + 2 = 5 (ящ.)
При алгебраїчному способі відповідь на питання задачі знаходять в результаті складання та розв’язування рівняння.
Приклад. Катер пройшов відстань між пристанями за течією річки за 2 год, а назад – за 3 год. Знайдіть власну швидкість катера, якщо швидкість течії річки 2км / год.
Розв’язання. Нехай власна швидкість катера х км / год. Тоді
(х + 2) км / год – його швидкість за течією,
(х – 2) км / год – швидкість катера проти течії,
(х + 2) · 2 км – катер пройшов за течією,
(х – 2) · 3 км – катер пройшов проти течії.
Так як відстані (х – 2) · 3км та (х + 2) · 2км рівні, то маємо наступне рівняння: (х – 2) · 3 = (х + 2) · 2
3х – 6 = 2х + 4
х = 10
Отже, власна швидкість човна – 10км / год.
Для розв’язання наступної задачі розглянемо використання графічного і практичного способів.
Задача. У гаражі стояло 9 машин, із них 2 мікроавтобуси, 3 легкові, а решта – вантажні. Скільки вантажівок стояло у гаражі?
Графічний спосіб. Цей спосіб дає можливість відповісти на питання задачі, не виконуючи арифметичних дій. Для цього накреслимо відрізок довжиною 9 клітинок, так як загальна кількість машин – 9. Позначимо м – мікроавтобуси, л – легкові машини, в – вантажівки. Тоді
Отже, 4 вантажівки стояло у гаражі.
Практичний спосіб. Позначимо кожну машину квадратом. Тому намалюємо 9 квадратів, залишивши ті ж самі позначення: м, л та в.
Для відповіді на запитання також не треба виконувати арифметичні дій, бо кількість вантажівок можна одержати, порахувавши відповідні квадрати (їх 4).
Прийоми пошуку розв’язування текстових задач.
Для простих текстових задач існує певна система запитань при пошуці її розв’язання.
Приклад. На галявині росло 12 грибів. З них 5 білих, решта – лисички. Скільки лисичок росло на галявині?
Пошук розв’язання задачі:
– Чи можемо зразу дати відповідь на питання задачі?
– Так.
– Якою дією?
– Відніманням.
– Чому?
– Бо це задача на знаходження невідомого доданка.
– Який вираз складемо?
– 12 – 5.
Для складених текстових задач існують два методи проведення пошуку розв’язання:
Приклад 1. Столяр виготовляє за день 6 стільців, а його помічник на 4 стільці менше. Скільки всього стільців виготовляють робітники за 1 день?
Пошук розв’язання задачі (аналітичним методом):
– Чи можемо зразу дати відповідь на питання задачі?
– Ні.
– Чому?
– Бо невідомо, скільки стільців окремо виготовляє помічник столяра за 1 день.
– А чи можемо ми це знайти?
– Так.
– З яких даних?
– 6 та 4 стільців.
– Якою дією?
– Відніманням.
– Чому?
– Бо це задача на зменшення числа на кілька одиниць (у прямій формі).
– А тепер можемо дати відповідь на питання задачі?
– Так.
– З яких даних?
– З результату 1 дії та 6 стільців.
– Якою дією?
– Додаванням.
– Чому?
– Бо це задача на знаходження суми.
– Отже, на скільки дій задача?
– На дві.
–Яка 1 дія?
– Віднімання.
– Що нею дізнаємося?
– Скільки стільців виготовляє помічник столяра за день.
–Яка 2 дія?
– Додавання.
– Що нею дізнаємося?
– Скільки стільців виготовляють робітники разом за день.
Приклад 2. Для офісу придбали шафу, стіл і диван. Шафа коштує 850 грн, стіл на 130 грн дешевший за шафу, а диван – на 110 грн дорожчий, ніж шафа і стіл разом. Скільки гривень коштує диван?
Пошук розв’язання задачі (синтетичним методом):
– Знаючи, що шафа коштує 850 грн, а стіл на 130 грн дешевший від неї, що ми можемо знайти?
– Ціну стола.
– Якою дією?
– Відніманням.
– Чому?
– Бо це задача на зменшення числа на кілька одиниць (у прямій формі).
– Знаючи, що шафа коштує 850 грн і дізнавшись ціну стола, що ми можемо знайти?
– Загальну вартість шафи і стола.
– Якою дією?
– Додаванням.
– Чому?
– Бо це задача на знаходження суми.
– Дізнавшись загальну вартість шафи і стола і знаючи, що диван на 110 грн дорожчий, ніж шафа і стіл разом, що ми можемо знайти?
– Ціну дивану.
– Якою дією?
– Додаванням.
– Чому?
– Бо це задача на збільшення числа на кілька одиниць (у прямій формі).
– Отже, на скільки дій задача?
– На три.
– Яка 1 дія?
– Віднімання.
– Що нею дізнаємося?
– Ціну стола.
– Яка 2 дія?
– Додавання.
– Що нею дізнаємося?
– Загальну вартість шафи і стола.
– Яка 3 дія?
– Додавання.
– Що нею дізнаємося?
– Ціну дивану.
Способи запису і перевірки розв’язання задач
Текстові задачі в початковому курсі математики розв’язують окремими діями (без пояснення, з поясненням, за письмовим планом); способом складання виразу (без пояснення, з поясненням, готовий вираз); деякі прості задачі – способом складання рівнянь.
Існують певні вимоги до оформлення письмового розв’язання задач. Запис розв’язання простої задачі виконують у вигляді прикладу, відповідь якого містить певні найменування, про які йдеться мова в задачі. Назви предметів записують однією буквою з крапкою в дужках після числа: 12 – 8 = 4 (в.). Пізніше у відповіді до задачі назви предметів пишуть повністю (4 відра). Слова, що починаються на голосний, скорочуються, як правило, до наступного голосного (яблуко – ябл., ялина – ял.). У короткому записі задачі назви предметних дій (купили, продали, тощо) краще записувати повним словом. Якщо предмети, про які йдеться в задачі, відрізняються певною ознакою, то в короткому записі слід вказувати як ознаку, так і предмет.
Для одного і того самого виду задач не обов’язково застосовувати єдину форму короткого запису. Наприклад:
У бідоні міститься 9л молока, а в каструлі – на 6л менше. Скільки літрів молока у бідоні і в каструлі разом?
Розв’язання задачі записують:
9 + (9 – 6) = 12 (л).
Відповідь: разом 12л молока.
Перевірка – це завершальний етап розв’язування задачі, що дає можливість встановлення правильності або хибності виконаних обчислень. Існує декілька прийомів перевірки розв’язання задач.
1) Прикидка. Сутність цього прийому полягає у прогнозуванні правильності отриманого результату з деяким степенем точності. Застосування прикидки дає точну відповідь на питання „Чи правильно розв’язана задача?”тільки тоді, коли отриманий результат не відповідає прогнозованому. Розглянемо міркування при використанні даного прийому при перевірці розв’язання наступної задачі:
«В одному сувої 5 м тканини, а в другому – 7м такої самої тканини. Скільки коштує кожен сувій, якщо за обидва заплатили 360 грн?»
Спочатку на основі аналізу змісту задачі встановлюємо, що вартість кожного сувою тканини менша за 360 грн та другий сувій дорожчий за перший. Виконавши дії 5 + 7 = 12 (м), 360 : 12 = 30 (грн), 30 · 5 = 150 (грн), 30 · 7 = 210 (грн), встановлюємо, що насправді кожен сувій коштує менше, ніж 360 грн, а другий – дорожчий за перший. Отже, отримані результати відповідають прогнозованим, а тому задача розв’язана правильно.
Припустимо, що в результаті розв’язання цієї задачі отримали, що вартість першого сувою 250 грн, а другого – 210 грн. Порівнюючи ці результати з прогнозованими маємо, що кожен сувій дешевший за 360 грн, але другий – дешевший першого, хоча має бути дорожчим. Отже, при розв’язання було допущено помилку та отримано неправильний результат. Для виявлення помилки спочатку перевіряють арифметичні обчислення. Якщо при обчисленнях не було допущено помилку, то необхідно знову виконати розв’язання задачі з метою перевірки правильності вибору арифметичних дій на основі аналізу змісту задачі та відношень між даними величинами і шуканими.
2) Співвіднесення отриманого результату та умови задачі. Сутність цього прийому полягає в тому, що знайдений результат вводиться у текст задачі та на основі міркувань встановлюється можливість виникнення протиріччя.
Нехай при розв’язанні задачі: «Для висадження привезли 600 лип та 400 дубів. Їх висадили в ряди порівну, причому отримали, що кількість рядів з липами на 5 більша, ніж з дубами. Скільки рядів лип та дубів висадили окремо?» отримали, що висадили 15 рядів з липами та 10 рядів з дубами.
Підставивши отримані результати в умову задачі, маємо: «Для висадження привезли 600 лип та 400 дубів. Їх висадили в ряди порівну, причому отримали, що кількість рядів з липами на 5 більша, ніж з дубами. Тому з липами висадили 15 рядів, а з дубами – 10».
Перевіримо наявність можливого протиріччя. В умові маємо: «Отримали, що кількість рядів з липами на 5 більша, ніж з дубами». Порівняємо отримані кількості рядів з липами та дубами: 15 більше 10 на 5, отже, дане відношення виконується. Перевіримо інше відношення – однакову кількість дерев різних видів у кожному ряді, виконавши дії: 600 : 15 = 40 (д.), 400 : 10 = 40 (д.). Отже, це відношення також виконується, тому протиріччя немає, а задача розв’язана правильно.
3) Розв’язування задачі різними способами. Нехай при розв’язанні задачі деяким способом отримані певні результати. Тоді, якщо при розв’язанні задачі іншим способом отримано ті ж результати, то задача була розв’язана правильно.
Прості текстові задачі, які розв’язуються дією додавання
Вчителю початкової школи необхідно мати знання про прості текстові задачі, які розв’язуються дією додавання. До них належать:
1. Задачі, які розкривають конкретний смисл дії додавання – на знаходження суми;
2. Задачі з відношенням:
а) на збільшення числа на декілька одиниць (у прямій формі);
б) на збільшення числа на декілька одиниць (у непрямій формі);
3. Задачі на знаходження невідомого компонента: знаходження невідомого зменшуваного.
Види простих задач, які розв’язуються дією віднімання
Вчителю початкової школи необхідно мати знання про прості текстові задачі, які розв’язуються дією віднімання. До них належать:
1. Задачі на розкриття конкретного смислу дії віднімання – знаходження остачі;
2. Задачі з відношенням:
а) на зменшення числа на декілька одиниць (у прямій формі);
б) на зменшення числа на декілька одиниць (у непрямій формі);
в) на різницеве порівняння чисел;
3. Задачі на знаходження невідомих компонентів дій додавання та віднімання:
а) знаходження невідомого першого або другого доданку;
б) знаходження невідомого від’ємника.
Прості задачі на додавання і віднімання
І. Задачі на розкриття конкретного змісту арифметичної дії:
1) На одній полиці лежить 4 яблука, а на другій – 2 яблука. Скільки всього яблук лежить на обох полицях?
І – 4 ябл.
? ябл. або
ІІ – 2 ябл.
4 + 2 = 6 (ябл.)
2) У дівчинки Олі було 3 іграшки. На день народження їй подарували 6 іграшок. Скільки іграшок стало у дівчинки?
Б. – 3 ігр.
П. – 6 ігр. або
С. – ? ігр.
3 + 6 = 9 (ігр.)
На галявині росло 6 квіток. 3 квітки дівчинка зірвала та подарувала подрузі. Скільки квіток залишилося на галявині?
Р. – 6 кв.
П. – 3 кв. або
З. – ? кв.
6 – 3 = 3 (кв.)
ІІ. Задачі на збільшення, зменшення числа на декілька одиниць у прямій і непрямій форм
В магазині на верхній полиці лежало 7 капелюхів, а на нижній – на 1 капелюх більше. Скільки капелюхів лежало на нижній полиці?
В. – 7 к. або
Н. – ?, на 1 к. б.
7 + 1 = 8 (к.)
У змаганнях з бігу приймало участь 8 хлопчиків, а дівчат – на 4 менше. Скільки дівчат змагалось з бігу?
Х. – 8
або
Д. – ?, на 4 м.
8 – 4 = 4 (д.)
У зоопарку проживає 2 вовків, а це на 3 менше, ніж лисиць. Скільки лисиць проживає у зоопарку?
В. – 2, на 3 м.
або
Л. – ?
2 + 3 = 5 (л.)
У хлопчика було 7 іграшкових автомобілів, а це на 2 більше, ніж іграшкових літаків. Скільки літаків було у хлопчика?
Авт. – 7, на 2 б.
або
Л. – ?
7 – 2 = 5 (л.)
ІІІ. Задачі на різницеве порівняння (з питаннями «На скільки більше...?», «На скільки менше...?»):
1) В одному будинку 4 поверхи, а в другому – 9. На скільки поверхів менше у першому будинку, ніж у другому?
на ? п. м. або
І – 4 п.
ІІ – 9 п.
9 – 4 = 5 (п.)
2) На столі лежить 5 червоних і 3 зелених трикутників. На скільки червоних трикутників більше, ніж зелених?
Ч. – 5 тр.
на ? тр. б. або
З. – 3 тр.
5 – 3 = 2 (тр.)
ІV. На знаходження невідомого компонента арифметичної дії:
1) На столі лежало 10 овочів, серед яких було 4 морквини та декілька помідорів. Скільки помідорів лежало на столі?
М. – 4
10 ов. або
П – ?
10 – 4 = 6 (п.)
2) Біля школи росло декілька дерев. Після того як посадили 5 дерев, всього їх стало 9. Скільки дерев росло біля школи спочатку?
Р. – ? д.
П. – 5 д. або
С. – 9 д.
9 – 5 = 4 (д.)
На стоянці зранку стояли машини. Після того як у рейс виїхало 7 машин, на стоянці залишилося 2 машини. Скільки машин стояло на стоянці зранку?
С – ? м.
В. – 7м. або
З. – 2м.
7 + 2 = 9 (м.)
У вазі стояло 7 троянд. Для букетів використали декілька троянд і залишилася у вазі 1 троянда. Скільки троянд використали для букетів?
С. – 7 тр.
В. – ? тр. або
З. – 1 тр.
7 – 1 = 6 (тр.)
Тема. Множення цілих невід’ємних чисел
План
1. Визначення добутку двох цілих невід’ємних чисел як числа елементів декартового добутку двох скінченних множин
До означення добутку цілих невід’ємних чисел можна підійти через поняття декартового добутку множин. Нехай . Тоді складається з пар: , , ,
, , .
, , тоді . Отже, у випадку скінченних множин А і В маємо: .
Означення. Добутком цілих невід’ємних чисел а і b називається число елементів декартового добутку множини, що має а елементів, на множину, що має b елементів.
2. Визначення добутку цілих невід’ємних чисел через суму. Операція множення цілих невід’ємних чисел
Розглянемо інший підхід до означення добутку цілих невід’ємних чисел, в основі якого лежить поняття суми.
Означення. Добутком цілих невід’ємних чисел а і b називається таке ціле невід’ємне число , яке задовольняє такі вимоги:
1) , якщо ;
2) , якщо ;
3) , якщо .
Теоретико-множинний смисл цього означення наступний. Якщо множини містять по а елементів кожна і ніякі дві з них не перетинаються, то їх об’єднання містить елементів. Отже, добуток - це число елементів в об’єднанні b множин, які попарно не перетинаються, кожна з яких містить по а елементів. Рівності і приймаються за умовою, адже не можна сказати «а взяти доданком 1 раз» або «нуль раз».
Так, тільки на конкретних множинах вводять за діючими підручниками поняття добутку у другому класі. Перед учнями ставлять, наприклад, задачу: «У кожній парі по 2 вишні. Скільки всього вишень у шести парах?».
Записавши результат за допомогою суми (в.), з’ясовують, що такий запис суми дуже громіздкий і обчислення виконувати довго і незручно навіть при такій, порівняно невеликій, кількості доданків. А що коли б потрібно було визначити кількість вишень у 25 парах або 40? Тому умовились додавання однакових доданків вважати окремою дією – множенням – і записувати коротше: .
Після цього поступово складають таблицю множення (тобто множення одноцифрових чисел), яку діти заучують.
Дією, за допомогою якої знаходять добуток двох чисел а і b називають множенням, числа, які перемножують, - множниками, зокрема, число а називають множеним, а число b – множником, добутком називають вираз і результат множення.
3. Визначення добутку декількох множників
Розглянемо, як визначити добуток декількох множників.
Нехай добуток двох множників означено і означено добуток п множників. Тоді добуток, що складається з множника, тобто добуток , дорівнює .
Наприклад, щоб знайти добуток .
Закони існування і єдності добутку двох цілих невід’ємних чисел: добуток цілих невід’ємних чисел а і b існує, він єдиний.
Доведення ґрунтується на основі означення добутку двох цілих невід’ємних чисел через суму. Розглянемо три випадки:
1) Якщо , то
Сума b доданків існує, вона єдина. Отже, добуток існує, він єдиний.
2) Якщо , то . Існує єдине число а. Отже, добуток існує, він єдиний.
3) Якщо , то . Існує єдине число 0. Отже, добуток існує, він єдиний.
5.Закони множення: комутативний, асоціативний, дистрибутивний
Комутативний, або переставний закон множення
Добуток двох цілих невід’ємних чисел а і b не зміниться, якщо поміняти їх місцями, тобто .
Доведення.
Нехай , . За означенням добутку , . Між парами виду і парами виду існує взаємно однозначна відповідність, тобто . Отже, .
Асоціативний, або сполучний закон множення.
Добуток трьох цілих невід’ємних чисел не зміниться, якщо будь-які два послідовні множники замінити їхнім добутком, тобто .
Доведення.
Нехай , , .
За означенням добутку , . Між елементами і має місце взаємно однозначна відповідність, тобто . Отже, .
Дистрибутивний, або розподільний закон множення.
Для будь-яких цілих невід’ємних чисел виконується рівність , тобто, щоб помножити суму на число, досить помножити на це число кожен доданок і результати додати.
Доведення.
Використовуємо рівність для множин: , де Ø.
Нехай , , .
За означенням добутку , . Отже, .
З рівності випливає дистрибутивний закон множення відносно різниці: .
Розподільні закони встановлюють зв'язок множення з додаванням і відніманням. Читати їх треба як зліва направо, так і справа наліво. На основі цих законів розкривають дужки і виносять спільні множники за дужки.
У початковій школі переставний закон використовується для складання таблиці множення, що дає змогу вдвоє зменшити кількість добутків одноцифрових чисел, які треба учням запам’ятати.
Обґрунтовують цей закон учням на конкретних доцільно підібраних задачах та за допомогою наочної ілюстрації.
Сполучний закон розглядається на конкретних задачах через розв’язання їх двома способами. Цей закон із комутативним законом множення широко використовують для раціональності обчислень. Наприклад:
, .
Наслідок з переставного і сполучного законів множення: в добутку кількох множників їх можна переставляти і брати в дужки будь-яким чином. Наприклад: .
Розподільний закон множення обґрунтовується на конкретних задачах, які розв’язуються двома способами. Цей закон використовується для раціональності обчислень. Наприклад,
Тема. Ділення на множині цілих невід’ємних чисел
План
Розглянемо задачі, які розв’язують учні початкової школи вже в 2 класі.
1. 10 яблук розклали на дві тарілки порівну. По скільки яблук буде в кожній тарілці?
2. Скільки треба тарілок, щоб розкласти на них 10 яблук по 2 яблука на кожну тарілку?
В обох задачах розглядається множина, що складається з десяти елементів, вона розбивається на еквівалентні підмножини, що попарно не перетинаються.
У першій задачі відома кількість цих підмножин, їх дві. Потрібно знайти кількість елементів в кожній підмножині. Задача розв’язується дією ділення:
(яблук)
і такі задачі називають «задачами на ділення на рівні частини».
У другій задачі відома кількість елементів в кожній підмножині. Потрібно знайти кількість цих підмножин. Задача розв’язується дією ділення:
(тарілок)
і такі задачі називають «задачами на ділення на вміщення».
З теоретико-множинної точки зору обидві задачі приводять до подання скінченної множини А у вигляді об’єднання еквівалентних між собою (без спільних елементів) її підмножин. Перехід до чисельної характеристики такої задачі приводить до розгляду дії ділення на множині цілих невід’ємних чисел.
Означення. Нехай і множина А розбита на еквівалентні множини без спільних елементів. Тоді, якщо b – число підмножин у розбитті множини А, то часткою чисел а і b називається число елементів кожної підмножини; якщо b – число елементів кожної підмножини в розбитті множини А, то часткою чисел а і b називається число підмножин у цьому розбитті.
Дія, за допомогою якої знаходиться частка , називається діленням. Числа при діленні називаються: а – ділене, b – дільник.
2. Зв’язок ділення з множенням
Перша задача зводиться до знаходження в однакових доданків, сума яких дорівнює а:
, або
Друга задача зводиться до знаходження числа доданків, кожен з яких дорівнює b і сума яких а:
, або
Як бачимо, в обох випадках задача зводиться до знаходження невідомого множника за відомим добутком і другим множником. Отже, ділення є дія, обернена до множення. Внаслідок її виконання знаходять частку чисел а і b.
Означення. Розділити ціле невід’ємне число а на натуральне число b означає знайти таке число с, що .
З цього означення випливає, що ділене дорівнює частці, помноженій на дільник: . З означення частки та дії ділення випливає рівність .
3. Існування частки, її єдиність
Чи завжди існує частка натуральних чисел а і b? Відповідь на це запитання дає наступна теорема:
Теорема. Для того, щоб існувала частка двох натуральних чисел а і b, необхідно, щоб .
Доведення. Нехай частка натуральних чисел а і b існує, тобто існує таке натуральне число с, що . Для будь-якого натурального числа с правильне твердження . Помножимо обидві частини цієї нерівності на натуральне число b, отримаємо . Оскільки , то . Теорему доведено.
Чому дорівнює частка і натурального числа b? За означенням це таке число а, яке задовольняє умові . Так як , то рівність виконується, якщо . Отже, , якщо .
Теорема. Якщо частка натуральних чисел існує, то вона єдина.
Доведення (методом від супротивного). Припустимо, що існують дві частки і , тобто і . Нехай, наприклад, . Проте це суперечить властивості монотонності дії множення натуральних чисел. Отже, наше припущення, що існують два різних числа і , які є частками від ділення а на b, неправильне. Теорему доведено.
Із означення випливає, що:
а) частка від ділення натурального числа а на 1 дорівнює числу а, тобто ;
б) частка від ділення натурального числа а самого на себе дорівнює 1, тобто .
4. Правила ділення
На основі означення дії ділення та законів множення натуральних чисел неважко встановити правила ділення суми, різниці, добутку й частки на число та ділення числа на добуток і на частку.
1. Правило ділення суми на число.
Щоб поділити суму на число, досить поділити на це число кожний доданок і добуті результати додати: .
Доведення. Якщо рівність правильна, то за означенням дії ділення має бути:
(за розподільним законом множення);
(за властивістю ділення як дії, оберненої множенню).
Це правило можна поширити на будь-яке число доданків:
.
Правило ділення суми на число дуже важливе: воно є теоретичною основою алгоритму ділення багатоцифрових чисел.
У початкових класах його розкривають на конкретних задачах.
Задача. В одному сувої 12 м тканини, а в другому 15 м. з цієї тканини пошили плаття, витрачаючи на кожне по 3 м. Скільки платтів пошили?
Розв’язують задачу двома способами, дістаючи при цьому різні, але еквівалентні між собою числові формули розв’язку:
1-й спосіб 2-й спосіб
Висновок. .
2. Правило ділення різниці на число.
Щоб поділити різницю на число, досить поділити на це число зменшуване і від’ємник і від першого результату відняти другий: .
Пропонуємо довести це правило самостійно.
3. Правило ділення добутку на число.
Щоб поділити добуток на число, досить поділити на це число один із множників і результат помножити на другий множник: .
Доведемо, наприклад, що . Якщо ця рівність правильна, то за означенням ділення .
4. Правило ділення числа на добуток.
Щоб поділити деяке число на добуток, досить поділити це число на один із множників і знайдену частку поділити на другий множник: .
На цьому правилі ґрунтується послідовне ділення при усних обчисленнях: .
5. Правило ділення частки на число.
Щоб поділити частку на число, досить поділити на це число ділене, а знайдений результат поділити на дільник або помножити дільник на це число, а потім ділене поділити на одержаний добуток.
Наприклад. 1. .
2. .
6. Правило ділення числа на частку.
Щоб поділити деяке число а на частку від ділення двох чисел, досить поділити це число на ділене і результат помножити на дільник: .
Доведення. За означенням ділення:
.
5. Неможливість ділення на нуль
Розглянемо можливі два випадки.
1. Нехай .
Припустимо, що частка існує. За означенням частки через добуток , , тобто (за означенням добутку). Проте це суперечить умові про те, що . Отже, наше припущення, що частка існує, неправильне. Тому ділення на 0 в цьому випадку неможливе.
Припустимо, що частка існує. За означенням частки через добуток , . З цього випливає, що будь-яке число с задовольняє умову , тобто частка визначена не однозначно. Це суперечить теоремі про єдиність частки. Отже, наше припущення, що частка існує, неправильне. Тому ділення на 0 і в цьому випадку неможливе.
Висновок: Ділення на нуль – неможливе.
6. Ділення цілого невід’ємного числа на натуральне з остачею
Як відомо, деяке ціле число а може бути чи не бути кратним натуральному числу b. Якщо а кратне b, то . Якщо а не кратне b, то це означає, що при діленні а на b з’являється відмінна від нуля і менша від дільника остача, тобто , де .
Наприклад. . Маємо (остача 3), або .
Означення. Говорять, що ціле невід’ємне число а ділиться на натуральне число b з остачею, якщо існують такі цілі невід’ємні числа і , що , де .
Існування та єдиність неповної частки () і () встановлюється такою теоремою.
Теорема. Для будь-яких цілого і невід’ємного числа а і натурального числа b існує і причому єдина пара цілих невід’ємних чисел і , що , де .
Доведення.
Доведемо, що пара чисел і єдина для даних чисел а і b. Справді, існує ще пара чисел , таких, що , де . Тоді за транзитивною властивістю рівності маємо . Нехай для визначеності . Тоді . З того, що і випливає . Отже, і тому , де . Тому , звідки .
Теорему доведено.
Теорему про ділення з остачею застосовують в арифметиці і в багатьох інших розділах математики. На ній ґрунтується подання натуральних чисел системними числами, перехід від однієї позиційної системи числення до іншої, алгоритм Евкліда, а також техніка ділення натуральних чисел «кутом».
Ділення з остачею розглядається ще в початкових класах. Наприклад, (1 остача). Тоді .
Підкреслюється, що обов’язково остача повинна бути меншою від дільника.
Важливість ділення з остачею в тому, що воно лежить в основі алгоритму ділення багатоцифрових чисел.
Тема. Прості задачі на множення та ділення
І. Задачі на розкриття конкретного змісту арифметичної дії:
В трьох однакових коробках лежало по 6 олівців. Скільки всього лежало олівців?
по 6 ол. – 3 к.
? ол.
6 + 6 + 6 = 6 · 3 = 18 (ол.)
1) ділення на рівні частини:
Вчителька поділила 8 зошитів порівну між 4 учнями. Скільки зошитів одержав кожний учень?
по ? з. – 4 уч.
8 з.
8 : 4 = 2 (з.)
2) ділення на вміщення:
Маша розклала 8 кружечків в рядочки по 2 круга в кожному. Скільки рядочків отримала дівчинка?
по 2 кр. – ? р.
8 кр.
8 : 2 = 4 (р.)
ІІ. Задачі на збільшення, зменшення числа в кілька разів у прямій та непрямій формі:
В перший корзині лежить 4 яблука, а в другій – в 3 рази більше. Скільки яблук лежить в другій корзині?
І. – 4 ябл.
ІІ. – ? ябл., в 3 рази б.
4 · 3 = 12 (ябл.)
В Оленки було 5 іграшок, а це в 2 рази менше, ніж у Миколи. Скільки іграшок у Миколи?
Ол. – 5 ігр., в 2 р. м. або Ол. – 5 ігр.
М. – ? ігр. М. - ?, в 2 рази б.
5 · 2 = 10 (ігр.)
На клумбі виросло 9 білих троянд, а червоних – в 3 рази менше. Скільки червоних троянд виросло на клумбі?
Б. – 9 тр.
Ч. – ? тр., в 3 р. м.
9 : 3 = 3 (тр.)
В перший рядок поклали 8 квадратиків. Їх в 2 рази більше, ніж трикутників в другому ряду. Скільки поклали трикутників в другому ряду?
К. – 8 шт., в 2 р. б. або К. – 8 шт.
Т. – ? шт. Т. – ? шт., в 2 р. м.
8 : 2 = 4 (тр.)
ІІІ. Задачі на кратне порівняння (з питаннями «У скільки разів більше...?», «У скільки разів менше...?»)
1) У Мишка було 18 іграшкових автомобілів та 3 іграшкових літака. У скільки разів більше у хлопчика автомобілів, ніж літаків?
Авт. – 18 шт.
у ? р. б.
Л. – 3 шт.
18 : 3 = 6 (р.)
2) Бабусі 54 роки, а її онучці 9 років. У скільки разів онучка молодша від бабусі?
Б. – 54 р.
у ? р. м.
В. – 9 р.
54 : 9 = 6 (р.)
ІV. Задачі на знаходження числа за однією його частиною та знаходження частини числа:
1) знаходження числа за однією його частиною:
У Маринки половина стрічки має довжину 9 см. Яка довжина всієї стрічки?
9 · 2 = 18 (см)
2) знаходження частини числа:
Було 24 горіхи. Третю частину їх витратили. Скільки горіхів витратили?
24 : 3 = 8 (г.)
V. Задачі на знаходження невідомого компонента арифметичної дії:
1) знаходження невідомого множника:
Невідоме число збільшили у 3 рази і дістали 21. Яке невідоме число?
21 : 3 = 7
Число 8 помножили на невідоме число і отримали в результаті число 56. Знайти невідоме число.
56 : 8 = 7
2) знаходження діленого:
Невідоме число поділили на 5 і отримали 4. Знайти невідоме число.
4 · 5 = 20
3) знаходження дільника:
Число 27 зменшили в декілька разів і отримали 3. У скільки разів зменшили дане число?
27 : 3 = 9 (р.)
План
1. Десяткова система числення
Означення. Нумерацією або системою числення називається сукупність правил і знаків або слів, за допомогою яких можна записати письмово або назвати усно будь-яке натуральне число.
У десятковій системі числення для запису будь-якого числа використовують десять цифр: 0, 1, 2, ... , 9. За основу лічби взято число десять. Будь-яка скінчена послідовність цифр означає деяке число, причому значення цифри залежить від того, яку позицію (місце) вона займає в запису числа; в запису числа кожна цифра означає відповідну кількість розрядних одиниць. Перші десять одиниць називаються одиницями першого розряду, десять одиниць першого розряду становлять одну одиницю другого розряду – десяток; десять одиниць другого розряду – сотню, десять сотень – одну одиницю четвертого розряду – тисячу і т. д. Кожні три послідовні розряди, починаючи з першого, утворюють клас. Три розряди класу називаються одиницями, десятками і сотнями цього класу. За допомогою усної десяткової нумерації називають будь-яке натуральне число. Виходячи з позиційного принципу десяткової нумерації, кожне натуральне число можна подати у вигляді суми добутків чисел, які зображуються цифрами, на відповідні степені числа 10.
Наприклад, 2017 = 2 ∙ 103 + 0 ·102 + 1 · 10 + 7.
Взагалі десятковим записом натурального числа m називається його подання у вигляді m = an · 10n + … + a1 · 10 + a0 або скорочено
m = an an-1 … a1 a0
Назви класів і розрядів наведено у таблиці
|
№ класу |
Назва класу |
№ розряду |
Назва розряду |
|
I |
Одиниці |
1 2 3 |
Одиниці Десятки Сотні |
|
II |
Тисячі |
4 5 6 |
Одиниці тисяч Десятки тисяч Сотні тисяч |
|
III |
Мільйони |
7 8 9 |
Одиниці мільйонів Десятки мільйонів Сотні мільйонів |
|
IV |
Мільярди (більйони) |
10 11 12 |
Одиниці мільярдів Десятки мільярдів Сотні мільярдів |
Порівняння чисел у десятковій системі числення:
amam-1… a1a0 = bmbm-1 … b1b0, якщо am = bm, …, a0 = b0.
2. Додавання і віднімання багатоцифрових чисел в десятковій системі числення багатоцифрових чисел
Алгоритм додавання цілих невід’ємних чисел
у десятковій системі числення
Якщо числа а і в одноцифрові, то для обчислення суми цих чисел досить порахувати число елементів двох множин, які не перетинаються і які мають відповідно а і в елементів. Усі можливі суми, які дістають при додаванні одноцифрових чисел, утворюють таблицю додавання одноцифрових чисел. Її запам’ятовують і щоразу використовують при додаванні таких чисел.
При додаванні багатоцифрових чисел використовують правило додавання одноцифрових чисел. Такі числа подають ( або уявляють) у вигляді сум степенів числа 10 з коефіцієнтами, якими є цифри даних чисел. Наприклад: 1917 + 1991 = (1·103 + 9·102 + 1·10 + 7) + (1·103 + 9·102 + 9·10+ 1). Згрупуємо коефіцієнти відносно однакових степенів числа 10 і додамо їх, згідно з таблицею додавання одноцифрових чисел. Якщо сума коефіцієнтів менша за 10, то записують її в тому ж розряді; якщо сума більше від 10, то число її одиниць записують в тому ж розряді, а число десятків додають до вищого розряду.
Так, 1917 + 1991 = (1+1) ·103 + (9 + 9) ·102 + (1 + 9) · 10 + (7 +1) = 3908.
Для того щоб відповідні одиниці розрядів відразу згрупувати, треба числа записати стовпцем і виконати додавання цифр відповідних розрядів:
+ 1 9 1 7
1 9 9 1
3 9 0 8
У загальному вигляді алгоритм додавання багатоцифрових чисел такий:
1) другий доданок записують під першим так, щоб відповідні розряди знаходились один під одним;
2) додають цифри розряду одиниць; якщо сума менша 10, її записують у розряд одиниць результату і переходять до додавання цифр наступного розряду;
3) якщо сума цифр одиниць більша або дорівнює 10, то число її одиниць записують у розряд одиниць результату і додають одиницю до цифри десятків першого доданку, після чого переходять до додавання в розряді десятків;
4) аналогічні дії повторюють відносно десятків чисел, потім сотень і т.д.
Віднімання цілих невід’ємних чисел
у десятковій системі числення
Віднімання числа b від числа а, які є в таблиці додавання, зводиться до знаходження такого числа с, щоб а = b + с. Віднімання інших чисел виконують стовпчиком, застосовуючи таблицю додавання одноцифрових чисел. Теоретичні основи цього алгоритму такі. Нехай від числа 453 треба відняти 231. Запишемо ці числа у вигляді степенів 10 і використаємо закони арифметичних операцій, а також таблицю додавання одноцифрових чисел. Тоді 453 – 231 = (4 – 2) · 102 + (5 – 3) · 10 + (3 – 1) = 222.
Як бачимо, віднімання таких чисел зводиться до віднімання одноцифрових чисел у відповідних розрядах за допомогою таблиці додавання. Якщо в деякому розряді зменшуваного одноцифрове число менше від числа в тому ж розряді від’ємника, то до цього числа додають 10, зменшивши на одну одиницю цифру вищого розряду. Після чого віднімають число відповідного розряду від’ємника. Наприклад, нехай від 451 треба відняти число 243.
Маємо 451 – 243 = (4 – 2) · 102 + (5 – 4) · 10 + (1 – 3) = (4 – 2) · 102 + (4 – - 4) · 10 + (11 – 3) = 208.
Для виконання віднімання стовпчиком підписують під зменшувальним від’ємник так, щоб відповідні розряди знаходились один під одним, і виконують віднімання, згідно з розглянутими випадками:
_453 _451
222 208
Таким чином, віднімання чисел зводиться до порозрядного віднімання одиниць, десятків, сотень і т. д., якщо цифри зменшувального більші за відповідні цифри від’ємника. Якщо в якомусь розряді зменшувального цифра менша від цифри відповідного розряду від’ємника, то беруть одиницю наступного вищого розряду, роздроблюють її в одиниці даного розряду, додають ці одиниці до одиниць даного розряду і віднімають відповідні одиниці розряду від’ємника.
3. Множення і ділення багатоцифрових чисел в десятковій системі числення багатоцифрових чисел
Теоретичне обґрунтування алгоритму множення в десятковій системі числення має багато спільного з теоретичним обґрунтуванням алгоритму додавання, тому що використовується десятковий склад числа і основні закони даної арифметичної дії.
Для виконання множення одноцифрових чисел складають таблицю множення (як суми однакових доданків) і запам’ятовують її. Множення багатоцифрових чисел на одноцифрове зводиться до використання таблиці множення, розподільного закону множення відносно додавання і правил додавання чисел. Наприклад,
453 · 4 = ( 4· 102 + 5 · 10 + 3) · 4 = (4 · 102) · 4 + (5 · 10) · 4 + 3 · 4.
Користуючись переставним і сполучним законами множення, дістаємо:
(4 · 4) · 102 + (5 · 4) · 10 + (3 · 4) = 16 · 102 + 20 · 10 + 12 = 1812.
Як бачимо, множення багатоцифрового числа на одноцифрове зводиться до множення одноцифрових чисел і додавання, взагалі кажучи, багатоцифрових чисел. Множення числа на степінь 10k зводиться до приписування до множеного k нулів. Множення числа на багатоцифрове число зводиться до використання правила множення на одноцифрове число і степені числа 10. Для цього множник подають у вигляді суми степенів числа 10 з коефіцієнтами, що є цифрами числа. Наприклад,
453 · 132 = 453 · (1 · 102 + 3 · 10 + 2) = (453 · 1) · 102 + (453 · 3) · 10 + (453 · 2).
Результат множення можна дістати, якщо подати множення у такій формі:
453
× 132
906
+1359
453___
59796
Алгоритм множення числа х = an an-1 … a1 a0 на число у = bm bm-1 …b1b0 такий:
Ділення чисел – операція, обернена до операції множення. Вона полягає у знаходженні за відомим добутком двох множників і одним із множників другого (невідомого) множника. Тому при діленні одноцифрових і двоцифрових чисел на одноцифрове використовується таблиця множення одноцифрових чисел. При цьому можуть бути такі випадки:
Отже, взагалі процес ділення цілого невід’ємного числа а на натуральне число в є дія ділення з остачею, яка полягає у знаходженні таких цілих невід’ємних чисел q і r , що а = bq + r, де 0 ≤ r < b. Оскільки
bq ≤ a < b (q + 1), то процес ділення числа а на число в полягає спочатку у знаходженні такого цілого числа q, яке б задовольняло цю рівність. Тоді остача r = а – b q. Наприклад, для виконання ділення 637 на 25 треба знайти такі цілі невід’ємні числа q і r, щоб 637 = 25 ∙ q + r. Подвійна нерівність
25q ≤ 637 < 25(q+1) дає змогу встановити число цифр у неповній частці q. Справді, оскільки 25 ∙ 10 < 637 < 25 · 100, то частка q – двоцифрове число. Для знаходження цифри її десятків помножимо послідовно дільник 25 на 10, 20, ... Оскільки 25 ∙ 20 < 637 <25 ∙ 30, то цифра десятків неповної частки дорівнює 2, а сама частка 20 < q < 30, тобто q = 20 + q1, де q1 – число одиниць. Через те що 25 ∙ (20 + q1) ≤ 637 < 25 ∙ (20 + q1 +1), маємо
500 + 25q1 ≤ 637 < 500 + 25(q1 +1), або 25q1 ≤ 137 < 25(q1 +1).
Число q1 – одноцифрове. Його можна знайти, послідовно помножаючи 25 на 1, 2, 3, ... Дістанемо: 25 · 5 = 125, а 25 ∙ 6 = 150. Тому число одиниць частки дорівнює 5. Отже, неповна частка q = 25, a остача r = 637 – 635 = 12 і
637 = 25 · 25 + 12. Викладені міркування лежать в основі ділення «кутом»:
_ 637 25
50 25
_ 137
125
12
Загальний алгоритм ділення цілого невід’ємного числа а на натуральне число b такий:
У числі а зліва відокремлюють стільки розрядів, скільки їх має число b чи на один розряд більше, а число с1, ними утворене, дорівнювало б чи було б більше від числа b; далі підбирають серед чисел 1, 2, ... , 9 такий множник q1, що bq1 ≤ c1, число bq1 підписують під числом c1 і віднімають.
Дістають r1 = с1 – bq1. Це число записують під числом bq1; потім справа до r1 приписують цифри першого з невикористаних розрядів діленого а і порівнюють здобуте число з числом b; якщо воно не менше b, то повторюють вище розглянутий процес, якщо ж воно менше b, то приписують до нього ще стільки розрядів, щоб воно було не менше числа b, і знову застосовують розглянутий вище процес.
План
1. Відношення подільності на множині натуральних чисел, його властивості
Спостереження за виконанням арифметичних операцій над цілими невід’ємними числами привели ще стародавніх математиків до висновку: прямі операції (додавання, множення) над такими числами виконуються завжди, а обернені (віднімання і ділення) – ні. Тому важливо знати, при яких умовах виконуються обернені операції. Для віднімання достатньо впевнитися в тому, що зменшуване не менше за від’ємник. Для ділення такої простої ознаки немає. В результаті пошуків ще стародавніх математиків були знайдені ознаки подільності цілих невід’ємних чисел. Але спочатку введемо поняття відношення подільності на множині цілих невід’ємних чисел.
Означення. Говорять, що ціле невід’ємне число а ділиться на натуральне число b, якщо існує таке ціле невід’ємне число q, що а = bq.
Говорять «число а кратне числу b». Відношення подільності числа a на число b символічно позначають а b. Відношення подільності не означає операції, тому не можна писати а b = q. Наприклад, число а = 24 ділиться на число b = 6, бо існує таке число q = 4, що 24 = 6∙4.
Чисел, кратних даному числу – нескінченна множина. Наприклад, усі парні числа кратні числу 2. Їх можна знайти за формулою х = 2∙q, де q набуває значення 0, 1, 2, 3, ... .
Число 1 ділиться тільки само на себе; числа 2, 3, 5, 7, ... діляться самі на себе і на одиницю; числа 4, 6, 8, 9, ... мають більше двох дільників. Ці спостереження привели математиків до введення понять простого і складеного числа.
Означення. Натуральне число, яке має лише два дільники, називається простим.
Отже, числа 2, 3, 5, 7 – прості числа.
Означення. Натуральне число, яке має більше двох дільників, називається складеним.
Такими числами є 4, 6, 8, 9. Так число 6 має дільники 1, 2, 3, 6. Оскільки число 1 має тільки один дільник, то його не відносять ні до простих, ні до складених.
Властивості відношення подільності:
Оскільки для будь-якого невід’ємного числа а виконується рівність а = а ∙ 1, тобто будь-яке ціле невід’ємне число ділиться само на себе (аа), то відношення подільності на цій множині чисел – рефлексивне.
Для невід’ємних цілих чисел а і b, для яких виконуються відношення а b і b а, маємо, що а = b, тобто відношення подільності невід’ємних чисел антисиметричне.
(а b)q (a = b∙q) (ba) q1 (b = cq1). Тому а = b q = cqq1 = cq2.
Отже, ас.
Отже, відношення подільності на множині N0 цілих невід’ємних чисел має властивості рефлективності, антисиметричності і транзитивності, тобто є відношенням нестрогого порядку, причому часткового порядку, бо не кожна пара цілих невід’ємних чисел знаходиться у відношенні подільності. Наприклад, і .
2. Теореми про подільність суми, різниці, добутку
Теорема про подільність суми. Якщо кожний доданок ділиться на натуральне число n, то й їхня сума теж ділиться на це число.
Доведення: Нехай аn і bn. Тоді за означенням подільності а= n q1 і b = n q2, а тому а + b = n q1 + n q2 = n (q1 + q2). Отже, (а + b) n. Теорему доведено.
Аналогічно доводиться теорема для будь-якого числа доданків.
Теорема про подільність різниці: Якщо а і b діляться на n і а ≥ b, то теж ділиться на n.
Теорема про подільність добутку: Якщо один з множників ділиться на натуральне число n, то й добуток ділиться на це число.
Доведення: Нехай множник а добутку аb ділиться на число n, тобто а = nq. Тоді аb = (nq)b = n (qb). Отже, аbn. Теорему доведено.
Аналогічно доводиться твердження для більшого числа множників.
Наслідок: Якщо в добутку аb множник а ділиться на m, а множник b ділиться на n, то добуток аb ділиться на mn.
Наприклад, 24∙36 ділиться на 108, бо 108 = 12∙9.
3. Ознаки подільності на 2 і 5, 4 і 25, 3 і 9, на складені числа
Ознаки подільності на 2, 3, 4, 5, 9 чисел, записаних у десятковій системі числення, відомі з математики середньої школи. Обґрунтуємо ці ознаки, спираючись на введене означення відношення подільності та його властивості.
Теорема про подільність на 2 і 5: Для того щоб число ділилося на 2 (на 5), необхідно й достатньо, щоб на 2 (на 5) ділилось число його одиниць.
Доведення: Запишемо число а = аnan-1…a0 у вигляді суми розрядних одиниць, яку розіб’ємо на два доданки: а = (аn10n + … + a110) + a0. Як бачимо, перший доданок ділиться і на 2, і на 5. Отже, щоб сума ділилась на 2 або на 5, необхідно і достатньо, щоб і другий доданок а0 ділився відповідно на 2 або на 5. Теорему доведено.
Наслідок 1: Для того, щоб число а ділилось на 2, необхідно і достатньо, щоб воно закінчувалось однією з цифр 0, 2, 4, 6, 8.
Наслідок 2: Для того, щоб число а ділилось на 5, необхідно і достатньо, щоб воно закінчувалось цифрою 0 або 5.
Теорема про подільність на 4 і 25: Для того щоб число ділилось на 4 (на 25), необхідно і достатньо, щоб на 4 (на 25) ділилося число, утворене його двома останніми цифрами.
Доведення: Число а = аnan-1…a0 запишемо у вигляді суми двох доданків: а = (an10n + … +a2102) + (a110 + a0). Перший доданок ділиться як на 4, так і на 25. Отже, число а як сума двох доданків ділиться на 4 (на 25) тоді і тільки тоді, коли на 4 (на 25) ділиться число а1а0 = а110 + а0, утворене двома останніми цифрами числа а. Теорему доведено.
Теорема про подільність на 3 і на 9: Для того щоб число а ділилось на 3 або на 9, необхідно і достатньо, щоб на 3 або на 9 ділилась сума цифр цього числа.
Доведення: Запишемо число а у вигляді: а = an10n + … + a110 + a0.
Оскільки 10 = 9 + 1, 102 = 99 + 1, ... , 10n = +1,
то an ( 99..9 + 1) + … +a1 (9 + 1) + a0 = (an99..9 + … + a19) + (an + … + a1 + a0).
Перші доданки суми діляться як на 3, так і на 9. Отже, для того щоб число а ділилось на 3 або на 9, необхідно і достатньо, щоб сума одноцифрових чисел, виражених його цифрами (сума цифр) an+ … + a1 + a0, ділилась на 3 або на 9. Теорему доведено.
Доведені вище ознаки подільності дають змогу визначити подільність чисел на 2, 3, 4, 5, 9 і 25 . Природно виникає питання, чи існують ознаки подільності на 6, 12, 30 і взагалі на будь-яке складене число.
Ознака подільності на 6: Для того, щоб число а ділилося на 6, необхідно й достатньо, щоб воно ділилося на 2 і на 3.
Доведення: Необхідність. Нехай а 6. Тоді оскільки а6 і 62, то а 2. Через те що а6 і 63, то а3 (за властивістю транзитивності).
Достатність: Якщо а 2 і а3, то а – спільне кратне чисел 2 і 3, а будь-яке кратне чисел ділиться на їхнє НСК. Отже, аК (2, 3). Оскільки Д(2, 3) = 1, то К (2, 3) = 2∙3 = 6. Таким чином, а6. Теорему доведено.
Теорема про подільність на складені числа: Для того, щоб натуральне число ділилось на складене число n = bc, де НСД (b,c) = 1, необхідно і достатньо, щоб воно ділилося на b і с.
Доведення цієї теореми аналогічне доведенню ознаки подільності на 6.
Зауважимо, що дану теорему можна застосовувати багаторазово.
Так, щоб число ділилося на 60, необхідно і достатньо, щоб воно ділилося на 4 і на 15. У свою чергу, щоб число ділилися на 15, необхідно і достатньо, щоб воно ділилося на 3 і на 5. Отже, для того, щоб число ділилося на 60, необхідно і достатньо, щоб воно ділилося на 4, на 3 і на 5.
4. Найбільший спільний дільник і найменше спільне кратне натуральних чисел, способи їх знаходження
Означення: Спільним дільником натуральних чисел а і b називається натуральне число, яке є дільником кожного з даних чисел.
Означення: Найбільшим спільним дільником натуральних чисел а і b називається найбільше число з усіх спільних дільників даних чисел і позначається НСД (а, b) або Д (а, b).
Візьмемо два числа 12 і 18. Дільники числа 12 є : 1, 2, 3, 4, 6, 12, а числа 18 – 1, 2, 3, 6, 9, 18. Спільні дільники чисел 12 і 18: 1, 2, 3, 6. Серед них найбільшим спільним дільником є число 6.
Найбільший спільний дільник має такі найпростіші властивості:
1. Для будь-яких натуральних чисел а і b існує єдиний НСД. Справді, множина спільних дільників чисел а і b не порожня, бо вона має принаймні число 1, крім того вона скінченна. Тому серед її елементів знайдеться єдине число, яке є НСД (а, b).
2. НСД (а, b) не перевищує меншого з даних чисел, тобто якщо а < b , то НСД (а, b) ≤ а.
3. НСД (а, b) ділиться на будь-який їхній спільний дільник. Справді, нехай НСД (а, b) = d а d1 – будь-який їхній спільний дільник. Тоді а=dq, d=dq1, де числа q і q1 мають спільним дільником тільки 1. Отже, спільний дільник d1 чисел а і b є дільником їхнього найбільшого спільного дільника d.
4. Якщо аb, то НСД (а, b) = b.
Означення: Якщо НСД(а1,а2,…, аk)=1, то числа а1,а2,…, аk називаються взаємно простими. Якщо, крім того, кожна пара цих чисел взаємно проста, то числа а1,а2,…, аk називаються попарно взаємно простими.
Так числа 4, 6, 7 – взаємно прості, НСД(4,6,7) =1. Проте вони не є попарно взаємно простими, НСД(4,6) = 2.
Означення: Спільним кратним натуральних чисел а і b називається натуральне число, кратне кожному з даних чисел.
Означення: Найменшим спільним кратним натуральних чисел а і b називається найменше число з усіх спільних кратних даних чисел. Найменше спільне кратне позначається НСК (а, b) або К (а, b).
Візьмемо числа 12 і 18. Кратними числа 12 є: 12, 24, 36, …, а кратними числа 18 – 18, 36, 54, … Числа 12 і 18 мають спільні кратні 36, 72, …Серед них найменше – 36. Отже НСК(12, 18) = 36.
Найменше спільне кратне має такі найпростіші властивості:
1. Для будь-яких натуральних чисел а і b існує єдине НСК.
2. Найменше спільне кратне чисел а і b не менше більшого з даних чисел, тобто якщо а> b, то НСК(а, b) ≥ а.
3. Кожне спільне кратне даних чисел а і b ділиться на найменше спільне кратне цих чисел.
4. Якщо аb, то НСД (а, b) = а .
Теорема: НСД(а,b) є найменшим спільним кратним усіх спільних дільників чисел а і b.
Способи знаходження найбільшого спільного дільника і найменшого спільного кратного
І спосіб обчислення НСК і НСД за канонічним розкладом чисел
Знайдемо НСК і НСД чисел 360 і 525. Ці числа можна подати у канонічному вигляді: 360 = 23 ∙ 32 ∙ 5; 525 = 3 ∙ 52 ∙ 7. У розклад на прості множники НСД цих чисел повинні ввійти всі спільні прості множники, причому кожний з них треба взяти з найменшим показником, з яким він входить в канонічні розклади даних чисел. Отже НСД(360, 525) = 3 ∙ 5 = 15.
У розлад на прості множники НСК (360, 525) повинні ввійти всі прості множники, які входять принаймні в один розклад, причому кожний з них треба взяти з найбільшим показником. НСК(360, 525) = 23 ∙ 32 ∙ 52 ∙ 7 = 12 600.
Теорема: НСК (а, b) ∙ НСД (а, b) = а ∙ b.
Наслідок: Якщо НСК (а, b) = 1, то НСК (а, b) = а ∙ b .
ІІ спосіб обчислення НСК і НСД за алгоритмом Евкліда
Лема 1: Якщо а ділиться на b, то НСД (а, b) = b.
Лема 2: Якщо а = bq+ r, де а, b, r – натуральні числа, то НСД (а, b) = НСД (b, r).
Розглянемо алгоритм Евкліда для знаходження НСД довільних натуральних чисел а і b. Нехай а ≥ b. Якщо а b,то за лемою 1 НСД ((а, b) = b. Якщо а = bq+ r, де r ≠ 0, то за лемою 2 задача знаходження НСД зводиться до обчислення НСД чисел b, r, де r < b. Якщо br, то НСД (b, r)=r, а отже, і НСД(а, b) = r. Якщо при діленні b на r матимемо остачу 0 < r1 < r, то b = rq1+r1, і тому НСД (а, b) = НСД (b,r) = НСД (r,r1). Продовжуючи описаний процес, діставатимемо все менші і менші остачі: r, r1, …, rm. Зрештою дістанемо остачу, яка ділить попередню остачу. Згідно з лемою 2, ця, відмінна від нуля, остача і є НСД (а, b). Таким чином НСД двох натуральних чисел дорівнює останній, відмінній від нуля остачі в алгоритмі Евкліда для цих чисел.
Алгоритм Евкліда як спосіб послідовного ділення зручно записувати у вигляді многократного ділення кутом.
Знайдемо НСД(90, 35).
_ 90 35 Таким чином,
70 2 90 = 35 ∙ 2 = 20
_35 20
20 1 35 = 20 ∙ 1 + 15
_ 20 15
15 1 20 = 15 ∙ 1 + 5
_ 15 5
15 3 15 = 5 ∙ 3 + 0
0
Отже, остання відмінна від нуля остача дорівнює 5, тому НСД(90, 35) = 5.
Після обчислення за допомогою алгоритму Евкліда НСД двох чисел можна знайти НСК, використовуючи залежність між НСД і НСК. Так, НСК (90, 35) = 90 ∙ 35 : 5 = 630.
План
1. Позиційні і непозиційні системи числення
Ідея нескінченності натурального ряду чисел освоювалось дуже повільно через відсутність протягом тривалого історичного періоду зручної системи числення. Перші системи числення були дуже недосконалими: для зображення кожного числа використовували окремий знак – ієрогліф. Пізніше ієрогліфи стали використовувати лише для позначення так званих вузлових чисел, решту чисел зображали за допомогою їх за принципом додавання або віднімання.
Зміст стародавньої єгипетської ієрогліфічної системи можна побачити у таблиці
|
I |
||||
|
1 |
10 |
100 |
1000 |
10000 |
Стародавні єгиптяни лічили десятками. Але спеціальні знаки у них були лише для розрядів: одиниць, десятків, сотень і т. д. Числа від 1 до 10 записувались за допомогою паличок.
Наприклад, число 122 мало вид ς ∩∩I I .
У римський системі числення записували вузлові числа так: 1 - I, 5 – V, 10 – Х, 50 – L, 100 – C, 500 – D, 1000 – M. Решту чисел записували за принципом додавання або віднімання.
Наприклад, 256 – CCLVI, 399 – CCCXCIX.
Частково використовували і принцип множення: число 5 зображували символом руки, а 10 –як дві п’ятірки, тільки одна перевернута. Число 100 зображували буквою С, або (centum – сто), а 50 –L, як половину 100 (нижню половину).
Римською нумерацією користуємося і тепер. Ця система є непозиційною.
Непозиційними були також алфавітні системи: давньогрецька і старослов’янська. В цих системах перші 9 букв означали одиниці, наступні 9 – десятки, ще наступні – сотні.
У слов’янській нумерації було два способи лічби великих чисел: «мале словенське числення» і «велике словенське числення». У малому численні: 104 – тьма, 105 – легіон, 106 – леодр. У великому: тьма (@) – 106, легіон – 1012 – тьма тем, леодр – легіон легіонів – 1024, леодр леодрів – 1048 – ворон.
Перша позиційна система числення виникла понад 2000 років до н.е. в стародавньому Вавилоні. Це була шістдесяткова позиційна нумерація. Проте принцип позиційного значення цифр тут ще не використовувався скрізь. Для запису чисел використовували положення клину : ▼- 1 і 60, ◄ - 10. Інші числа зображувались за допомогою цих знаків і дій додавання.
Сучасна позиційна система числення була винайдена в Індії у V-VI ст. Через арабів вона поширилася в IX ст. в Середню Азію, а пізніше – і в Західну Європу. Великим досягненням індійської математики було введення нуля для позначення відсутності одиниць розряду в числі. Після цього десяткова система числення стала повністю оформленою. Запровадження десяткової системи числення на Русі було зупинено монгольським ігом. Тільки у XVIII ст. індійська система числення витіснила слов’янську нумерацію.
У сучасному житті використовують також інші системи числення. В астрономії з давніх-давен застосовується шістдесяткова система числення. Основою цієї системи є число 60. Так, 60сек = 1 мінута, або 60// = 1/, 60/ = 1° тощо.
Взагалі, основою числення може бути будь-яке натуральне число р ≥2. Для запису числа в такій системі числення використовується р символів: 0,1, ..., р-1.
Означення: Записом цілого невід’ємного числа х у р-й системі числення називається його подання у вигляді х = аnpn + … + a1p + a0, де an, …, a1, a0 набувають значення 0, 1, ..., р-1, аn ≠ 0 .
Числа 1, p, p2, … , pn називають розрядними одиницями 1-го, 2-го, ... , (n+1)-го розрядів.
2. Дії над числами в позиційних системах числення, відмінних від десяткової
Порівняння чисел, записаних у системі числення з основою р, виконується так само, як і в десятковій системі числення: порівнюються цифри, починаючи зі старших розрядів.
Дії над числами в не десяткових системах числення виконуються за тими ж правилами, що і в десятковій системі числення. Перш за все для додавання і множення одноцифрових чисел складаються відповідні таблиці. Вони використовуються як при відніманні і діленні одноцифрових чисел, так і при діях з багатоцифровими числами.
Таблиця додавання з р = 5
|
+ |
1 2 3 4 |
|
1 2 3 4 |
2 3 4 10 3 4 10 11 4 10 11 12 10 11 12 13 |
Таблиця множення з р = 5
|
× |
1 2 3 4 |
|
1 2 3 4 |
1 2 3 4 2 4 11 13 3 11 14 22 4 13 22 31 |
Виконаємо додавання і віднімання чисел, записаних у п’ятірковій системі числення: + 3421(5) _ 3421(5)
342(5) 342(5)
4313(5) 3024(5)
Виконаємо множення і ділення чисел п’ятіркової системи числення:
×4203(5) _ 221432(5) 28(5)
24(5) 211 4203(5)
32322(5) _104
13411(5) 103
221432(5) _132
132
0
Здійснити перехід від запису числа у десятковій системі числення до запису у не десятковій системі можна за допомогою послідовного ділення. Розглянемо це на конкретному прикладі:
869 = х(4) 869 4
868 217 4 Отже, 869 = 31211(4)
1 216 54 4
I р. 1 52 13 4
II p. 2 12 3
III p. 1 V р.
IV p.
Розглянемо обернену задачу до попередньої: 31211(4) = х(10)
31211(4) = 3∙44 + 1∙43 + 2∙42 + 1∙4 + 1 = 3∙256 + 1∙64 + 2∙16 + 1∙4 + 1 = 768 + 64 + + 32 + 4 + 1 = 869.
1. Два гуртки – зоологічний та ботанічний – об’єднались в один гурток юних натуралістів. Множина учнів, що займались у зоологічному гуртку: А = {Соколова, Волкова, Білова, Андрєєв, Іванов, Михайлова}. Множина учнів, які займались у ботанічному гуртку: В = {Іванов, Михайлова, Орлова, Єрмакова}.
а) Напишіть множину членів гуртка юних натуралістів;
б) Знайдіть кількість елементів множин А, В, АВ;
в) Чи є правильною рівність n(A) + n(B) = n(АВ)?
2. У першому класі учні знайомляться із записами: 1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, 3+2=5. Які теоретико-множинні поняття при цьому неявно використовуються?
3. Замість зірочки (*) поставте знак =, < або > , що отримати істинне висловлення:
а) 4968 + 7369 * 4968 + 7370;
б) 2819 + 6785 * 2820 + 6734;
в) 71598 + 39 * 71600 + 36.
4. Які умови повинні виконуватись для множин А і В, щоб були істинними висловлення:
а) n(A) + n(B) > n(АВ);
б) n(A) + n(B) = n(A);
в) n(A) + n(B) = n(В).
5. Дано множини B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} і D = {0, 2}.
а) Знайдіть: n(B), n(D), n(B\D), n(B) – n(D);
б) Чи є істинним висловлення n(B) – n(D) = n(B\D);
в) У якому відношенні повинні знаходитись множини А і В, щоб n(A) – n(B) = n(A\B)?
6. Чи може різниця двох цілих невід’ємних чисел:
а) дорівнювати від’ємнику;
б) дорівнювати зменшуваному?
7. Виконати дії раціональним способом, пояснити застосовані властивості: а) 17527 – (2080 + 4527), в) (5762 + 416) + 1238,
б) (527 +658) + (342 + 173), г) (6902+899) – 349.
8. Запишіть суму у вигляді добутку:
а) 5607 + 5607 + 5607 + 5607 + 5607;
б) (34 + 78) + (34 + 78) + (34 + 78) + (34 + 78);
в) х + х + х + х + х + х + х + х + х + х;
г) (у +7) + (у +7) + (у +7) + (у +7) + (у +7) + (у +7).
9. Запишіть у вигляді суми:
а) 384 ∙ 9; в) 0 ∙ 8; д) (а + 7) ∙ 4; ж) 52;
б) 1 ∙ 10; г) а ∙ 5; е) (с + b) ∙ 7; з) а2.
10. Обчисліть раціональним способом, використовуючи комутативний закон множення:
а) 5 ∙ 3764 ∙ 2; в) 8 ∙ 5379 ∙ 125;
б) 4 ∙ 6978 ∙ 25; г) 4 ∙ 375 ∙ 250.
11. Обчисліть частку двома способами:
а) (390 + 39) : 13; в) (64 ∙ 32) : 8;
б) (270 + 37) : 37; г) 1470 : ( 147 : 3).
Підкресліть раціональний спосіб. Відповідь обґрунтуйте.
2. Скласти усі види простих задач, які б розв’язувались наступною дією: а) 8 + 5; б) 17 – 9; в) 7 ∙ 4; г) 24 : 8.
13. Скласти задачу на ділення на рівні частини і переробити її так, щоб дістати ще дві задачі: на ділення на вміщення і на зменшення числа у кілька разів.
14. Знайти НСК і НСД чисел: а) 1320 і 385, б) 1820 і 858.
15. Виконати дії з докладним коментуванням:
а) 645 б) 364 в) _928 г) 14724 36
+189 × 73 459
16. Які з висловлень істинні, а які хибні? Поясніть чому.
а) 273 кратне числу 5;
б) 273 не кратне числу 5;
в) 3 є дільником числа 273;
г) Не правильно, що 3 є дільником числа 273.
17. Доведіть, що при будь-якому невід’ємному значенні n число n3 – n ділиться на 3.
18. Довести, що з трьох послідовних натуральних чисел одне і тільки одне з них ділиться на 3.
19. Запишіть числа 2453, 13728, 110012 у вигляді суми степенів основи системи числення.
20. Які з чисел записані правильно, а як і ні: 31145, 37568, 1212112, 121013?
21. Перевести число з десяткової системи числення в іншу і виконати перевірку: а) 21410 = ... 7 ; б) 30510 = ... 8.
22. Які цифри повинні стояти замість зірочок (числа записані в десятковій системі числення)?
а) +*246 б) _ *3*8
3*1* 123*
23. Прочитайте і запишіть в десятковій системі числення наступні числа: III, IV, VIII, IX, XL, L, CM, C, M, XXXIX, CCCXXXVIII.
24. Запишіть в римській нумерації числа: 38, 41, 102, 1979, 2009.
25. При діленні цілого невід’ємного числа а на натуральне число b дістанемо неповну частку q і невід’ємну остачу r . Знайти:
а) q і r , якщо а = 112, b = 36,
б) b і q, якщо а = 100, r = 6,
в) b і r , якщо а = 351, q = 14.
План
Порівняння двох відрізків і дії над ними не завжди можна виконувати безпосередньо. Наприклад, один відрізок прямої з’єднує Москву і Київ, а другий Одесу і Мінськ. Як можна порівняти ці відрізки між собою? Як знайти їх суму, різницю?
Для цього потрібно виміряти ці відрізки, тобто знайти довжину кожного з них або відстань між їх кінцями.
Виміряти якусь величину — це означає порівняти її з іншою величиною такого ж роду, прийнятою за одиницю виміру.
Вимірювання величин, зокрема таких, як довжина, площа, об’єм, маса, час, виникло з практичних потреб людини в давні часи.
Для того, щоб уявити собі процес вимірювання, виберемо будь-який відрізок за одиничний, а за одиницю виміру довжини візьмемо довжину е цього відрізка. Тоді, щоб виміряти відрізок а, більший за одиничний, послідовно відкладатимемо одиничний відрізок на відрізку а (від його початку). Може бути два випадки:
1) одиничний відрізок вкладається в а всього n разів, де n — натуральне число. Тоді число n називають мірою відрізка а при оди ниці виміру е і записують: а = nе.
2) одиничний відрізок е не вкладається ціле число разів у відріз ку а, тобто не існує такого натурального числа n, щоб а = ne.
При цьому може трапитись, що, поділивши одиничний відрізок на п рівних частин, дістанемо нову одиницю виміру е1 = , яка вкладається у відрізку а ціле число разів, наприклад т разів, тобто а=т ·е1 = т ·
Цілком зрозуміло, що і при вимірюванні дрібнішими одиницями довжина не кожного відрізка виражатиметься натуральним числом. Звідси видно, що вимірювання довжин відрізків разом із діленням відрізка (або натурального числа, що є кількісною характеристикою певної скінченної множини) на рівні частини приводить до необхід ності розширення множини цілих невід’ємних чисел введенням дро бових чисел.
Означення. Символ , де т і п натуральні числа, називають дробом, т – чисельник дробу і п – знаменник.
Дріб означає, що одна п-на частина одиниці виміру е міститься т разів у відрізку а, тобто одиничний відрізок розділили на п рівних частин і взяти т таких частин. Це записується так: а = е,
Дріб є мірою довжини відрізка а при одиниці довжини е.
Повернемось до випадку 2) а = е, це не єдиний розв’язок, бо якщо поділимо е на 6 рівних частин, то отримаємо а = е і т.д.
Тобто, довжина відрізка а може бути виражена нескінченною множиною дробів: , , , …
Означення. Дроби, які виражають довжину одного і того ж відрізка при одиниці довжини е, називаються рівними.
Якщо дроби і рівні, то записують =.
Необхідна і достатня умова рівності дробів
Два дроби і рівні тоді і тільки тоді, коли виконується умова mq=np, тобто = mq=np
Доведення.
а) Доведемо, що = mq=np
Для будь-якого натурального числа q =, а для будь-якого натурального числа п =. Тоді з рівності дробів і випливає =. Оскільки знаменники цих дробів рівні, то і чисельники їх будуть рівні: mq=np.
б) Доведемо тепер, навпаки, що mq=np=. Розділимо обидві частини mq=np на натуральне число nq, тоді отримаємо . Але , . Тоді, =.
Рівні дроби вважають різними записами одного і того ж числа, а саме число називають додатним раціональним числом.
Дріб – це лише форма зображення числа. Дробове число можна зобразити (записати) різними рівними дробами:
Дроби , … зображають зовсім інші числа: і ін.
Для будь-якого додатного раціонального числа існує один і тільки один нескоротний дріб, що є записом цього числа.
Множина додатних раціональних чисел – це множина натуральних чисел в об’єднанні з множиною дробових чисел. Множину додатних раціональних чисел позначають Q+. Множина натуральних чисел є підмножиною множини додатних чисел, тобто NQ+.
Дріб, чисельник якого менший від знаменника, називається правильним; дріб, чисельник якого більший або дорівнює знаменнику, називається неправильним. Наприклад, – правильні; – неправильні дроби.
Дріб , чисельник і знаменник якого є числа взаємно прості, тобто D(т;п)=1, називається нескоротним дробом.
Основна властивість дробу: Якщо чисельник і знаменник дробу помножити на те саме натуральне число, то дістанемо дріб, що дорівнює даному: , де k – натуральне число.
Застосування основної властивості дробу:
Наприклад.
1. Скоротити дріб .
1-ий спосіб: чисельник і знаменник дробу ділити послідовно на спільні прості дільники: , (2; 9) = 1
2-ий спосіб: знайти НСД чисельника і знаменника та поділити чисельник і знаменник відразу на їх НСД.
НСД (18; 81) = = 9
, (2; 9) = 1.
2. Звести до найменшого спільного знаменника дроби:
а)
Знаменники цих дробів попарно взаємно прості. Тому НСК (3; 7; 10; 11) = =3 · 7 · 10 · 11 = 2310
Тоді
б)
64:8 і 64:32, тому НСК (8; 32; 64) = 64.
Тоді
в)
Маємо скоротні дроби, перед зведенням їх до найменшого спільного знаменника потрібно ці дроби скоротити.
Скоротимо ці дроби:
НСК (5; 6; 30) = 30
Отже,
г) і
15 = 3 · 5, 35 = 5 · 7
НСК (15; 35) = 3 · 5 · 7 = 105.
Тоді
Побудова:
1) обираємо одиницю довжини е
2) ділимо відрізок е на 4 рівні частини
3) відкладаємо на промені Ох 13 відрізків, кожний з яких дорівнює четвертій частині відрізка е.
Отримаємо відрізок ОА, довжина якого виражена числом
Поняття дробу вводять в початкових класах. За програмою з математики в 2 класі передбачено ознайомлення з частинами числа: половиною, третиною, чвертю, п’ятою частиною. В 3 класі учні розуміють сутність поняття частина числа; знаходять половину, третину, четверту на інші частини від числа, число за його частиною. В 4 класі розділ «Дроби». Тут за одиницю беруть відрізок, круг, прямокутник, зокрема квадрат, смужки та ін. Наприклад, круг ділять на 8 рівних частин і виділяють частину круга, Вводять поняття чисельника і знаменника дробу: число під рискою означає, на скільки рівних частин поділено ціле, його називають знаменником дробу. Число над рискою означає, скільки взято рівних частин. Це число називають чисельником дробу.
Учні записують і читають дроби; знаходять дріб від числа та число за його дробом; порівнюють дроби з однаковими знаменниками.
3. Визначення арифметичних дій над додатними раціональними числами
Додавання невід’ємних раціональних чисел
1. Означення дії додавання дробових чисел. Нехай маємо два раціональних числа r1 і r2, виражені дробами з різними чисельни ками і однаковими знаменниками:
і
Їх можна розглядати як міри довжин двох відрізків b і с при одній одиниці вимірювання, або як числові характеристики мно жини , що містить а1 n-х часток деякого одиничного елемента, і множини , що містить а2 таких самих n-х часток.
Додаючи ці два відрізки або об’єднуючи ці дві множини, дістаємо відрізок b+c або нову множину n-х часток деякого одиничного елемента. Ця нова множина буде містити елементів, тобто n-х часток, отже, вона характеризуватиметься дробовим числом яке природно назвати сумою чисел і , тобто
Аналогічні міркування можна провести і на випадок кількох, наприклад k, доданків.
Означення. Сумою двох (або кількох) дробових чисел з однакови ми знаменниками є дробове число, чисельником якого є сума їх чисель ників, а знаменником — їх спільний знаменник:
Означення. Сумою невід’ємних раціональних чисел і називається число тобто:
Візьмемо два будь-які натуральні числа а і с та зобразимо їх у вигляді дробів із знаменниками 1, тоді, за означенням додаванні дробів, матимемо
Зобразимо тепер а і с у вигляді дробів із знаменниками b і d і застосуємо правило додавання дробів з різними знаменниками:
Звідси видно, що означення суми раціональних невід’ємних чисел є узагальненням означення суми натуральних чисел.
Наприклад. 5 + 3 = 8;
Мішані числа
Означення. Сума натурального і дробового чисел, записаних поряд без знака додавання, називається мішаним числом.
Наприклад. – мішане число.
Для того, щоб подати неправильний дріб, більший від одиниці, у вигляді мішаного числа, треба чисельник дробу поділити на знаменник; в частці дістанемо число цілих одиниць, а в остачі — число відповідних часток одиниці.
Наприклад. – мішане число.
І навпаки, щоб подати мішане число у вигляді неправильного дробу, треба цілу частину помножити на знаменник дробової частини і додати чисельник, одержаний результат взяти чисельником і підпи сати знаменник дробової частини.
Наприклад.
Віднімання невід’ємних раціональних чисел
Як і для натуральних чисел, віднімання невід’ємних раціональ них чисел – дія, обернена додаванню.
Означення. Відняти від раціонального числа число , або знайти різницю означає знайти таке число щоб задовольнялась умова
Множення невід’ємних раціональних чисел
Як відомо, множення цілого невід’ємного числа на натуральне число, більше за 1, зводиться, за означенням, до додавання рівних доданків:
при п = 1 а · 1 = а; при п = 0 а · 0 = 0.
Ці означення поширюють і на випадок множення дробового чис ла на натуральне число п.
Означення. Добутком дробового числа на натуральне число п > 1 називається сума п доданків, кожний з яких є .
Отже,
Наприклад.
Означення. Добутком невід’ємних раціональних чисел, поданих у вигляді дробів і , називається число, зображене дробом, чисельником якого є добуток чисельників даних дробів, а знаменником — добуток знаменників:
Це означення поширюється і на випадок, коли один чи обидва співмножники є цілі числа, зокрема нуль або 1. Тоді:
Означення. Два числа, добуток яких дорівнює 1, називаються взаємно оберненими.
Число 1 обернене самому собі, бо 1 · 1 = 1.
Натуральне число п має обернене число бо Отже, п і - пара взаємно обернених чисел.
Число має обернене , бо Отже, і - пара взаємно обернених чисел.
Нуль не має оберненого числа, бо не існує такого числа, яке б при множенні на нуль дало 1.
Ділення невід’ємного раціонального числа на додатне
Правило. Щоб поділити одне число, виражене дробом, на друге, треба чисельник першого дробу помножити на знаменник другого дробу і добутий результат взяти чисельником, а знаменник першого дробу помножити на чисельник другого дробу і одержаний результат взяти знаменником частки, або інакше, треба помножити на число, обернене дільнику:
Наприклад.
Це правило поширюється і на випадок ділення на натуральне число:
Можна довести, що при діленні частка буде більша від діленого, якщо дільник правильний дріб; частка менша від діленого, якщо дільник більший від одиниці; частка дорівнює діленому, якщо діль ник дорівнює одиниці. Тобто:
Приклади.
1)
2)
Основна властивість частки.
Якщо ділене і дільник помножити або поділити на те саме, відмінне від нуля і виражене дробом число, то значення частки не зміниться, тобто
, де
1) Щоб поділити суму (різницю) двох дробових чисел на третє дробове число, досить поділити на це число кожний доданок (змен шуване і від’ємник) і знайдені частки додати (відняти), тобто
Наприклад.
2) Щоб поділити на дробове число добуток двох дробових чисел, досить поділити на це число один із співмножників і частку помно жити на другий співмножник:
Наприклад.
3) Щоб поділити дробове число на добуток двох дробових чисел, досить поділити його послідовно на кожний із співмножників, тобто
4) Щоб поділити дробове число на частку від ділення двох дробо вих чисел, досить поділити це число на ділене і помножити на дільник, тобто
Наприклад.
1) Закон існування і єдиності суми.
З означення дробу і означення дії додавання невід’ємних раціональних чисел та закону існування суми і добутку натуральних чисел випливає, що дія додавання дробових чисел завжди здійсненна, тобто, що сума невід’ємних раціональних чисел завжди існує і є число невід’ємне і раціональне.
Наприклад. 1)
2)
У цих прикладах знайдено суму, користуючись означенням. Проте дроби і можна замінити еквівалентними їм дробами із спільним знаменником по-різному. Чи не зміниться від цього їх сума? Наприклад, дроби і простіше додати, звівши до найменшого спільного знаменника:
2) Переставний закон:
Доведення.
Беручи до уваги переставний закон додавання і множення натураль них чисел, легко зробити висновок про тотожність цих виразів.
3) Сполучний закон:
Доведення.
Ці вирази тотожно рівні. Оскільки всі перетворення еквівалент ні, то і вихідна рівність є тотожністю.
Дія множення в множині невід’ємних раціональних чисел має ті самі властивості, що й множення натуральних чисел:
1) Існування і єдиність добутку: які б не були невід’ємні раціональні числа , , завжди існує невід’ємне раціональне число · , що є їх добутком, і до того ж єдине.
2) Комутативний (переставний) закон: від зміни місць співмножників значення добутку не змінюється:
Доведення. Виконаємо дії у правій і лівій частинах рівності:
Оскільки для множення цілих невід’ємних чисел має місце комутативний закон, можна зробити висновок, що ці дроби рівні.
3) Асоціативний (сполучний) закон: окремі співмножни ки можна сполучати в будь-які групи, а потім перемножати. Від цього значення добутку не зміниться:
4) Монотонність множення:
5) Дистрибутивний (розподільний) закон відносно до давання і віднімання:
Приклади :
1)
2)
5. Упорядкованість множини додатних раціональних чисел
Якщо раціональні числа представлені рівними дробами, то вони рівні.
Наприклад, а = , b = , то а = b тому, що = .
Як визначити, яке число більше чи менше ?
Означення: Нехай а і b – додатні раціональні числа. Тоді а < b, якщо існує таке додатне раціональне число с, що а + с =b.
Для того, щоб різниця додатних раціональних чисел а і b існувала, необхідно і достатньо, щоб b<a.
Відношення «менше» володіє властивостями антисиметричності і транзитивності, тобто є відношенням порядку на множині додатних раціональних чисел, а сама ця множина є упорядкованою множиною.
В множині додатних раціональних чисел:
1) немає найменшого числа;
2) між будь-якими двома різними додатними раціональними числами існує нескінченно багато чисел цієї множини.
6. Запис додатних раціональних чисел у вигляді десяткових дробів
Означення. Десятковим дробом називається дріб, знаменником якого є , де п Є N, і який записано в позиційній десятковій системі числення так: записано чисельник і в ньому справа наліво відділено п цифр (десяткових знаків).
Наприклад.
Якщо число цифр чисельника не більше від показника п (тобто не більше, ніж кількість нулів у степені десяти, що є знаменни ком), то зліва дописують необхідну кількість нулів.
Наприклад. і т. д.
Зазвичай, десяткові дроби значно більше застосовують при об численні, ніж звичайні. Це пояснюється ще й тим, що в основу мет ричної системи мір також взято число 10, а тому при практичних вимірюваннях здебільшого дістаємо десяткові дроби. Через те тепер у школі після першого ознайомлення із звичайними дробами спочат ку вивчають дії над десятковими дробами, а потім над зви чайними.
Основна властивість десяткового дробу:
дописування нулів справа дробової частини запису десяткового дробу не змінює його значення.
Наприклад, 0,3 = 0,30 = 0,300 = ..., що випливає з основної властивості звичайних дробів:
Будь-яке натуральне число атат-1... можна подати у вигляді десяткового дробу атат-1... , 0 ...0.
При перенесенні у десятковому дробові коми на і цифр праворуч значення дробу збільшується в разів, а ліворуч — зменшується в разів. Це випливає з самого означення десяткового дробу.
Правило. Щоб даний десятковий дріб помножити або поділити на , треба перенести кому на і цифр відповідно вправо або вліво.
Оскільки у дробовій частині запису десяткових дробів можна справа дописувати нулі, від чого значення дробу не змінюється, то в загальному вигляді два десяткових дроби можна записати так, що вони матимуть однакову кількість цифр після коми, тобто бу дуть зведені до спільного знаменника.
Наприклад, щоб порівняти десяткові дроби 12,34 і 6,36472, пер ший дріб можна записати так: 12,34000, і тоді порівняння десяткових дробів можна звести до порівняння їх чисельників. Проте практич но для порівняння десяткових дробів дописувати нулі немає потре би. Досить порівняти цілі частини; той дріб виражає більше число, у якого ціла частина більша. Якщо цілі частини рівні, той дріб ви ражає більше число, у якого більше десятих часток, і т. д.
Правило. Десяткові дроби слід додавати, як натуральні числа, не звертаючи уваги на коми, тільки всі розряди слід підписувати під відповідними їм розрядами, і в одержаній сумі відокремити спра ва стільки десяткових знаків, скільки їх має доданок з найбільшою кількістю десяткових знаків.
Примітка. Тут сказано «з найбільшою кількістю десяткових знаків», а не «стільки десяткових знаків, скільки їх має кожний доданок» тому, що практич но нулі у десятковій частині не дописують, а просто їх мають на увазі.
Наприклад. + 23,516
982,8
1006,316
Закони додавання, доведені для звичайних дробів, мають місце і для десяткових дробів, оскільки десяткові дроби є окремим випад ком звичайних.
Віднімання виконується аналогічно:
Наприклад. 415,634
¯ 12,78
402,854
Правило. Десяткові дроби слід перемножати, як натуральні числа, не звертаючи уваги на коми, а потім відокремити в добутку стільки десяткових знаків, скільки їх у множеному і множнику разом.
Наприклад. 12,36
Х 1,214
+ 4944
1236
2472
1236____
15,00504
Для десяткових дробів зберігаються перевірені уже для звичай них дробів закони множення.
Як показано вище, в результаті виконання дій додавання, відні мання і множення над десятковими дробами завжди дістаємо десят кові дроби.
Розглянемо ділення десяткового дробу на десятковий дріб.
Наприклад,
1)
2)
Як уже зазначалось, будь-яке ціле число можна записати у ви гляді десяткового дробу, з нулями після коми.
Наприклад, 5 = 5,000...
Виникає запитання: чи будь-яке дробове число можна зобразити у вигляді десяткового дробу? Щоб дати відповідь на це запитання, проаналізуємо, за якою ознакою приклади записано у правій і у лівій колонках?
Відповідні дробові числа правої і лівої колонок мають однакові чисельники, проте залежно від знаменників або процес ділення чисельника на знаменник закінчується і в результаті дістаємо скінченний десятковий дріб (зліва), або не закінчується і дістаємо нескін ченний десятковий дріб (справа), причому обов’язково періодич ний — у ньому одна або кілька цифр періодично повторюються. При уважному аналізі можна помітити, чим відрізняються знамен ники дробів правої і лівої колонок.
Теорема 1. Для того щоб звичайний нескоротний дріб можна було перетворити у десятковий, необхідно й достатньо, щоб канонічний розклад його знаменника не містив жодних простих множників, крім 2 і 5.
Наслідок. Будь-який нескоротний дріб, канонічний розклад зна менника якого не містить ніяких множників, крім 2 і 5, можна по дати у вигляді десяткового дробу, причому двома способами:
1) діленням його чисельника на знаменник;
2) домноженням чисельника і знаменника дробу на відповідний степінь 2 або 5.
Приклади.
1) або
2) або
3) або
Теорема 2. Якщо нескоротний дріб — не перетворюється у скінченний десятковий, то його можна записати у вигляді нескінченного десяткового періодичного дробу (такий десятковий запис дробу, у якому, починаючи з деякого місця, одна і та сама цифра або су купність цифр без кінця повторюються в певному порядку).
Сукупність цифр, які повторюються, називається періодом. У пе ріоді буде не більше ніж п — 1 цифра. Наприклад,
Розрізняють чисті і мішані періодичні десяткові дроби.
Чистим періодичним десятковим дробом називається періодичний десятковий дріб, у якого період починається безпосеред ньо після коми: 0,333..., 0,232323...
Мішаним періодичним десятковим дробом називається періодичний десятковий дріб, у якого період починається не відразу після коми: 0,08333..., 17,12777... При цьому число, що стоїть між комою і початком періоду, називається доперіодичною частиною.
Періодичні десяткові дроби записують компактніше, беручи пе ріод у дужки:
0,232323…= 0,(23) – нуль цілих і 23 в періоді;
0,08333… = 0,08(3) – нуль цілих, нуль вісім до періоду і 3 в періоді.
Чистий періодичний десятковий дріб дорівнює звичайному дробові, чисельник якого є число, що стоїть у періоді, а знаменник число, записане стількома дев’ятками, скільки цифр у періоді.
Приклади. 1) 2)
Мішаний періодичний десятковий дріб дорівнює звичайному дробові, чисельником якого є різниця між числом, що стоїть до періоду і в періоді, і числом, що стоїть до періоду, а зна менником — число, записане стількома дев’ятками, скільки цифр у періоді, і з стількома нулями на кінці, скільки цифр між комою і періодом.
Приклади. 1.
Перевірка.
2.
Практично досить часто використовують десяткові дроби із сталим знаменником 100. Такі дроби легко порівнювати між со бою, бо не треба попередньо зводити їх до спільного знаменника. Ці дроби, як відомо, називають процентами.
Процент — одна сота частина числа або одиниці (назва похо дить від двох латинських слів «рrо сеntum» — «від ста» — заста ріла назва «відсоток»).
План
1. Несумірні відрізки і ірраціональні числа. Невід’ємні дійсні числа
Нехай маємо деякий відрізок а і певну одиницю виміру е.
Як зазначалося, може бути 2 випадки:
1) одиничний відрізок е вкладається ціле число, наприклад п разів, у відрізку а, і тоді вважають, що довжина відрізка а дорівнює пе: а = пе;
2) одиничний відрізок е не вкладається у відрізку а ціле число разів, тобто після п відкладань залишиться деякий відрізок – остача r < e. Тоді можна записати, що , де r < e.
Природно поставити запитання, яку нову, меншу за е, але пов’язану з е, одиницю виміру слід узяти, щоб вкладалася ціле число разів у відрізку а? Чи завжди має розв’язок ця задача?
Якщо відрізок а сумірний з е, то а виражається через е раціональним числом , тобто спільною мірою відрізків а і е буде відрізок .
Якщо відрізки а і е не матимуть спільної міри, то довжину а не можна виразити через е ніяким раціональним числом. У зв’язку з цим множину раціональних чисел розширено введенням нових чисел, які назвали ірраціональними (не раціональними).
Слово «ratio» латинською мовою означає «відношення», тобто будь-яке раціональне число можна зобразити у вигляді відношення двох цілих чисел: де g ≠ 0. Ірраціональне число не можна зобразити у вигляді відношення двох цілих чисел.
Існування несумірних відрізків виявили ще піфагорійці (VI ст. до н.е.), але вони не ввели ірраціональних чисел для їх вимірювання, бо вважали, що довжина – величина неперервна, а число – дискретна (розривна). У відкритті несумірних відрізків вони вбачали «велику таємницю», розголошення якої переслідувалось і «каралося богом».
У «Началах» Евкліда також ірраціональні числа фактично не використовувались. Вперше свідомо почали оперувати ірраціональними числами індійські та китайські математики, переносячи на них усі правила дій над коренями, що являють собою раціональні числа.
Означення. Ірраціональними числами називають числа, які можна зобразити нескінченними десятковими неперіодичними дробами.
Внаслідок розширення множини невід’ємних раціональних чисел введенням ірраціональних (додатних) чисел стала завжди можливою задача вимірювання відрізків: тепер кожній точці числового променя можна поставити у відповідність тільки одне дійсне число (раціональне чи ірраціональне), і навпаки. Саме в цьому і полягає ідея неперервності числового променя і множини невід’ємних дійсних чисел. Між множиною невід’ємних дійсних чисел і множиною точок числового променя існує взаємно однозначна відповідність.
Два ірраціональних числа вважають рівними, якщо вони виражають довжини рівних між собою відрізків.
У множині дійсних невід’ємних чисел зберігаються основні властивості відношень «рівно», «більше», «менше», які було встановлено для невід’ємних раціональних чисел.
2. Арифметичні дії над дійсними невід’ємними числами. Їхні властивості
Відомо, що арифметичні дії над періодичними десятковими дробами трактуються як дії над відповідними їм звичайними дробами. Тому всі властивості арифметичних дій, розглянуті для звичайних дробів, мають місце і для нескінченних періодичних десяткових дробів.
Виконати арифметичну дію над періодичними десятковими дробами можна двома способами:
Наприклад. Знайти суму 3,(2) + 4,3(42).
а)
б)+3,2 2 2 2 2 2 2…
4,2 4 2 4 2 4 2…
7,5 6 4 6 4 6 4… = 7,5 (64).
Означення. Сумою (добутком) двох ірраціональних чисел α і ß називається число, яке більше за суму (добуток) будь-яких їх наближених значень, взятих з недостачею, але менше за суму (добуток) будь-яких їх наближених значень, взятих з надлишком.
Нехай тоді згідно з означенням:
Такий спосіб обчислення забезпечує відповідну точність, проте він досить громіздкий, оскільки доводиться вести подвійні обчислення. На практиці, якщо не потрібна велика тонічність, можна обмежуватись обчисленнями над відповідними десятковими наближеннями, але принаймні прикидкою оцінювати при цьому похибку і враховувати її.
Дії віднімання і ділення дійсних чисел, як і для раціональних чисел, означаються як дії, обернені відповідно додаванню і множенню.
Чи може бути раціональним числом добуток двох ірраціональних чисел? сума двох ірраціональних чисел?
Відповідь на ці запитання дають такі приклади:
1) – раціональне число;
2) – раціональне число.
У множині дійсних невід’ємних чисел зберігаються основні закони і властивості арифметичних дій, які було встановлено для невід’ємних раціональних чисел:
1. Існування і єдиність суми і добутку.
2. Комутативність додавання і множення.
3. Асоціативність додавання і множення.
4. Дистрибутивність множення відносно суми.
5. Закони монотонності додавання і множення.
Проте ірраціональні числа мають і свої особливості. Наприклад, не має смислу говорити, у скільки разів більше за або у скільки разів неправильно вважати дробовим числом або правильним дробом, це числа ірраціональні.
Натуральні числа виникли на початку розвитку людства у зв’язку з лічбою предметів. Потреба вимірювання величин, а також вимога виконання обернених операцій, зокрема ділення, добування кореня і логарифмування, привели до введення дробових та ірраціональних чисел.
Як і коли виникли від’ємні числа?
Поняття про від’ємні числа виникло значно пізніше, ніж поняття дробових і ірраціональних чисел. Введення від’ємних чисел було новим етапом розширення поняття числа, викликаним практичною необхідністю; по-перше, потребою вимірювання напрямлених величин і величин, які можна розуміти в двох протилежних значеннях (температура – тепло і холод; час – майбутній і минулий; економія матеріалів і перевитрата і т.ін.); по-друге, потребою в розв’язуванні практичних задач, що приводять до віднімання від меншого числа більшого. Обидві ці задачі тісно пов’язані між собою.
Вперше від’ємні числа почали використовувати в Китаї в І ст. до н.е. у зв’язку з розв’язуванням рівнянь. Оскільки в ті часи знаків «плюс» і «мінус» ще не було, то на відміну від додатних чисел китайці зображали від’ємні числа іншим кольором. Додатними числами позначали майно, наявні гроші, прибуток. Їм раділи і зображали їх червоним кольором (китайці їх називали «чен»). Від’ємними числами позначали борг, збиток і зображали їх чорним кольором («фу»).
Індійські математики Брахмагупта (VII ст.) і Бхаскара (XII ст.) дали такі правила дій над від’ємними і додатними числами: «Сума майна і майна є майно». «Сума двох боргів є борг». «Сума майна і боргу дорівнює різниці». «Сума майна і рівного йому боргу дорівнює нулю». «Добуток боргу на борг є майно» і т.ін.
Проте важко було уявити, як це з «боргів» (перемноження за схемою ) може вийти «майно»? Тому довго від’ємні числа не визнавали справжніми, вважали їх недійсними, абсурдними, фіктивними. Бхаскара писав, що люди не схвалюють від’ємних чисел.
У Європі вперше від’ємні числа почав використовувати італійський математик Л.Фібоначчі (XII – XIII ст.). Німецький математик М.Штіфель (XVI ст.) назвав їх «числами, меншими ніж ніщо» (меншими від нуля). Людям важко було миритися з тим, що існує величина, «менша ніж ніщо». Сам Штіфель писав, що нуль знаходиться між істинними і абсурдними числами. Тільки після того, як у XVІI ст. французький математик Рене Декарт у відомій книзі «Геометрія» зобразив на числовій прямій додатні числа праворуч від нуля, від’ємні числа – ліворуч, їх почали визнавати дійсними числами.
Від’ємне число можна розглядати як різницю між меншим дійсним числом і більшим, якщо ця різниця виражає значення величини, протилежне значенню, що виражається дійсним числом (тепло і холод, борг і наявні гроші, прибуток і збиток, вправо і вліво тощо).
Від’ємні числа слід розглядати в тісному взаємозв’язку з додатними числами, причому не тільки в протиставленні їх додатним числам, а й в діалектичній єдності з ними.
Нова розширена множина містить у собі відомі вже невід’ємні числа як свою підмножину. Множина від’ємних чисел не містить у собі множини чисел додатних, як це було з множиною дробів, яка містила в собі числа натуральні. Навпаки, тут кожному додатному дійсному числу ставиться у відповідність протилежне йому від’ємне число. При цьому число нуль набуває нового смислу як число, яке «розділяє» додатні і від’ємні числа і належить ні до тих, на до інших. Разом же всі додатні, від’ємні числа і нуль об’єднуються в одну множину – множину дійсних чисел R. Саме в цьому і виявляється діалектична єдність додатних і від’ємних чисел.
Звертаємо увагу на недопустимість ототожнення смислу виразів виду «нуль карбованців» і «нуль градусів». Вираз «температура 0°» зовсім не означає відсутність температури (хоч іноді у повсякденному житті при вимірюванні температури людського тіла і говорять «немає температури» замість «температура нормальна»),
Невід’ємні числа – це числа нової природи, вони мають свої особливості і тому на них не можуть бути механічно перенесені всі властивості додатних чисел, зокрема означення і закони дій.
Поняття «правильний дріб» має смисл лише для додатних дробів.
Особливість частки від ділення двох раціональних чисел, із яких хоча б одне від’ємне, пов’язана з неможливістю кратного порівняння цих чисел, яка зумовлюється тим, що напрямлені величини (вектори) можна порівнювати в кратному відношенні лише за модулем (довжиною).
Оскільки від’ємні числа є числами нової природи, введення їх потребує перегляду існуючих означень прямих дій, розширення їх у випадку, коли для нових чисел вони не мають попереднього смислу.
Кожному додатному числу на числовій прямій відповідає так саме за величиною число, але із знаком мінус. Такі пари дійсних чисел називаються протилежними числами.
Наприклад, +1 і –1; +2,5 і –2,5; +3,(8) і –3,(8), і – і т.ін.
Тільки нуль без пари: він не належить ні до додатних, ні до від’ємних чисел: –0= +0 = 0. Як відомо знак «+» перед додатними числами, як правило, не ставиться.
Із двох від’ємних чисел те більше, модуль якого менший.
Означення. Сумою двох дійсних чисел одного знака називається сума їх модулів, взята з тим самим знаком, який мають доданки.
Сумою двох дійсних чисел, взятих з різними знаками, називається різниця між більшим і меншим модулем даних чисел, взята із знаком числа, модуль якого більший.
Наслідки.
1. Сума двох протилежних дійсних чисел дорівнює нулю:
2. Сума двох дійсних чисел, одне з яких дорівнює нулю, дорівнює другому доданку:
Введене означення суми дійсних чисел узагальнюється на випадок будь-якої кількості доданків.
Безпосередньо із означення дійсного числа та з означення суми дійсних чисел випливають основні властивості дії додавання дійсних чисел, які мали місце на множині дійсних невід’ємних чисел.
Означення дії віднімання дійсних чисел залишається таким самим, як і для дійсних невід’ємних чисел.
Означення. Відняти від дійсного числа а дійсне число b – це означає знайти таке дійсне число х, яке в сумі з b дає а: ,
Правило. Щоб знайти різницю двох дійсних чисел, треба до зменшуваного додати число, протилежне від’ємнику:
Оскільки віднімання дійсних чисел зводиться до додавання, то у множині дійсних чисел додавання і віднімання об’єднують в одну дію, яку називають алгебраїчним додаванням.
Означення. Вираз, що являє собою запис кількох дійсних чисел, послідовно з’єднаних знаками дій додавання і віднімання, називається алгебраїчною сумою дійсних чисел.
Означення. Добутком двох дійсних чисел називається добуток їх модулів, якщо дані числа з однаковими знаками або хоч одне з них нуль, і число, протилежне добутку їх модулів, якщо числа з різними знаками.
Правило. Щоб перемножити кілька дійсних, відмінних від нуля чисел, треба перемножити їх модулі і взяти результат із знаком «плюс», якщо число від’ємних співмножників парне, і із знаком «мінус», якщо число від’ємних співмножників непарне.
Основні закони дії множення зберігаються і на множині всіх дійсних чисел.
Означення. Знайти частку від ділення дійсного числа а на b, це означає знайти таке дійсне число с, щоб задовольнялася умова , де
Правило. Частка від ділення двох дійсних чисел дорівнює частці від ділення модуля діленого на модуль дільника із знаком «плюс», якщо ділене і дільник є числа з однаковими знаками, із знаком «мінус», якщо ділене і дільник числа з різними знаками.
Підкреслюємо, що і у множині дійсних чисел ділення на нуль виключається, оскільки у випадку немає такого дійсного числа с, щоб виконувалася умова ; у випадку будь-яке дійсне число с задовольняє умову .
Частка дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли ділене дорівнює нулю. Звідси випливає, що рівняння виду при не має розв’язку.
Частка , де , завжди існує, і притому єдина. Окремі випадки ділення: , якщо ; ; .
Таким чином, у множині дійсних чисел виконуються всі чотири арифметичні дії (за винятком ділення на нуль).
1) 2)
3) 4)
5) 6)
7)
1) 2)
3) 4)
5) 6)
7) 8)
9)
1) 2) 3)
1) 2) 3) 4) 5)
1) 2) 3)
4) 5)
План
Математична мова будується за певними правилами з математичних знаків, що становлять її алфавіт. Алфавіт математичної мови, мови штучної, яка виникла у зв’язку з необхідністю точних, стислих формулювань математичних законів, правил, доведень, які повинні бути зрозумілі однозначно, включає математичні знаки (символи), які можна поділити на 5 класів:
Є ще багато інших математичних символів. Історично символіка математики створювалась віками завдяки працям видатних вчених. Наприклад: Діофант (ІІІ ст.) ввів позначення змінних величин буквами; прописні букви латинського алфавіту ввів для позначень Р. Декарт (XVII ст.). Знак «дорівнює» (=) вперше ввів Р. Рекорд (XVI ст.), знаки «<», «>» - знаки нерівності, ввів англійський математик Гаріот, хоч самі поняття рівності і нерівності існували з далекої давнини.
Означення. Записи, які конструюються з чисел, знаків дій і дужок, називаються числовими виразами.
Кожне дійсне число є числовим виразом. Такі вирази називають елементарними. Якщо А і В є числові вирази, то А + В, А – В, А ·В, А :В також є числовими виразами.
Наприклад: записи 4 + 6, 45 : 5, 72 – 34, 25 · 4 є числові вирази, які називаються відповідно сума, частка, різниця, добуток.
Якщо в числовому виразі виконати всі зазначені дії, то дістанемо число, яке називається значенням числового виразу.
Так, значення числового виразу 32 + 18 : 3 дорівнює 38.
Не будь-який числовий вираз має значення. Наприклад: вираз не має числового значення, бо ділення на нуль неможливе. Про такі вирази говорять, що вони не мають смислу.
З числовими виразами учні ознайомлюються ще у 1 класі. У 2 класі ці знання систематизуються при вивчені теми «Числові вирази». Учні вчаться читати, записувати, порівнювати вирази, обчислювати їх значення, записувати розв’язання задачі виразом.
Наприклад: називання (читання) і запис деяких виразів подано в таблиці:
|
Сума двадцяти і п’яти |
20 + 5 |
|
Різниця чисел 18 і 9 |
18 – 9 |
|
Добуток трьох чисел, кожне з яких 6 |
6 · 6 · 6 |
|
Частка від ділення суми чисел 24 і 12 на 4 |
(24 + 12) : 4 |
|
Сума числа 16 з часткою чисел 8 і 2 |
16 + 8 : 2 |
|
Зменшуване виражене сумою чисел 39 і 17, від’ємник 16. |
(39 + 17) – 16 |
|
Сума добутків чисел 15 і 2 та чисел 20 і 2 |
15 · 2 + 20 · 2 |
Означення. Якщо записи складаються з чисел, знаків дій і букв, замість яких можна підставляти числа, то вони називаються виразами зі змінною. Буква у виразі, замість якої підставляються числа, називається змінною. Змінну можна позначити будь-якою буквою латинського алфавіту. Записи є виразами зі змінними. Якщо замість букви (змінної) підставляти числа, то будуть отримуватись різні числові вирази. Наприклад, розглянемо вираз зі змінною:
Якщо , то маємо числовий вираз
якщо , то числовий вираз буде
Отже, змінна – це знак (символ), який можна заміняти числами. Числа, які можна підставляти замість змінної, називаються значеннями змінної, а множина таких чисел називається областю визначення даного виразу. Можна підставляти замість змінної тільки такі її значення, при яких отримується числовий вираз, який має смисл. Так у вираз не можна підставити замість х число 3, бо числовий вираз не буде мати смислу. Тобто областю визначення даного виразу є множина .
В початковій школі для позначення змінної використовують крім букв також і знак . Наприклад, пишуть 4 + = 9.
В математиці розглядають вирази, які містять одну, дві, три і т.д. змінні. Наприклад: тощо.
Отже, числові вирази утворюються з чисел, знаків дій та дужок, а у виразах зі змінними є ще і букви. Числові вирази, вирази зі змінною – це математичні слова, з яких утворюються математичні речення.
Якщо взяти два вирази 3(2х – 5) та (6х – 15), то при різних значеннях змінної х з множини значень R відповідні значення даних виразів будуть рівні. Наприклад:
|
х |
3(2х – 5) |
6х – 15 |
|
2 |
-3 |
-3 |
|
5 |
15 |
15 |
|
0 |
-15 |
-15 |
|
0,5 |
-12 |
-12 |
Можна показати, що при будь-яких значеннях х з множини R відповідні значення виразів рівні. Застосуємо розподільний закон множення відносно додавання та розкриємо дужки: 3(2х – 5) = 6х – 5, тобто бачимо, що перший вираз зводиться до другого. В таких випадках кажуть, що вирази тотожно рівні на множині дійсних чисел.
Означення. Два вирази називаються тотожно рівними, якщо при будь-яких значеннях змінної з області визначення виразів їх відповідні значення рівні.
Рівність, яка правильна при будь-яких значеннях змінної, називається тотожністю.
Тотожностями є всі правильні числові рівності. Прикладами тотожностей є закони додавання, множення, правила віднімання, ділення: тощо. Тотожностями є правила дій з нулем і одиницею: тощо. Прикладами тотожностей є відомі формули скороченого множення: тощо.
Означення. Тотожними перетвореннями виразів називається послідовний перехід від одного виразу до іншого, що тотожно дорівнює йому.
Прикладами тотожних перетворень є:
а) розклад многочлена на множники різними способами – це винесення за дужки спільного множника, яке здійснюється на основі розподільного закону множення відносно додавання; групування, яке здійснюється на основі переставного і сполучного законів додавання; застосування формул скороченого множення тощо;
б) зведення подібних;
в) виконання дій з дробами; скорочення дробів або зведення дробів до спільного знаменника тощо.
В початковій школі виконують тотожні перетворення тільки числових виразів. Їх теоретичною основою є застосування законів множення, додавання, різних правил: додавання суми до числа чи числа до суми; віднімання суми від числа чи числа від суми та інших.
Наприклад.
Означення. Два числові вирази а і b, сполучені знаком «=» (дорівнює) називають числовою рівністю і позначають через а = b.
Наприклад. 2 + 5 = 7; 24 : 6 + 1 = 3.
Кожна числова рівність – це висловлення, яке може бути істинним або хибним. Числова рівність є істинною, якщо числові значення виразів,що стоять в лівій і правій частинах, рівні.
Властивості істинних числових рівностей
Відношення «дорівнює» на множині R володіє властивостями:
Отже, це відношення є відношенням еквівалентності.
5) монотонність множення :
(Якщо обидві частини істинної числової рівності помножимо на один і той же числовий вираз, який має смисл, то отримаємо також істинну числову рівність).
Означення. Два числові вирази а і b, сполучені знаками «>» (більше) або «<» (менше) називають числовою нерівністю:
a > b або a < b – числові нерівності.
Наприклад. 45 > 23 + 12; 5 · 7 < 5 · 8; 200 < 300 – 100.
Нерівності – це також висловлення, які можуть бути істинними або хибними.
Властивості істинних числових нерівностей
Відношення «менше» на множині R володіє властивостями:
(Якщо до обох частин істинної числової нерівності додати один і той же числовий вираз, який має смисл, то отримаємо також істинну числову нерівність.)
(Якщо обидві частини істинної числової нерівності помножимо на один і той же числовий вираз, який має смисл і приймає додатні значення, то отримаємо також істинну числову нерівність).
(Якщо обидві частини істинної числової нерівності помножимо на один і той же числовий вираз, який має смисл і приймає від’ємні значення, то, щоб отримати істинну числову нерівність, необхідно знак нерівності змінити на протилежний).
План
Якщо взяти два вирази зі змінними і і з’єднати їх знаком «=», то отримаємо речення . Воно містить змінну х. Якщо замість змінної х підставити певні значення, то речення перетвориться у висловлення, які можуть бути істинними або хибними. Так, якщо х = 4, то висловлення істинне; якщо х = 3, то висловлення хибне. Тому речення є висловлювальна форма.
Означення. Нехай f (х) і g (x) – два вирази зі змінною х і областю визначення X. Тоді висловлювальна форма виду f (х) = g (x) називається рівнянням з однією змінною.
Значення змінної х із множини X, при якому рівняння перетворюється у істинну числову рівність, називається коренем або розв’язком рівняння.
Розв’язати рівняння – значить знайти множину розв’язків (коренів) рівняння.
Щоб розв’язати рівняння, його перетворюють, використовуючи теореми про рівносильність рівнянь або тотожні перетворення виразів.
Означення. Два рівняння, множини розв’язків яких на певній множині М збігаються, називаються рівносильними.
Наприклад, рівняння і рівносильні на множині R, бо множина коренів першого рівняння {1} і множина коренів другого рівняння{1},тобто множини коренів рівні.
Теорема 1. Нехай рівняння f (х) = g (x) задано на множині Х і h (х) – вираз, який визначений на тій же множині Х. Тоді рівняння і дане рівняння f (х) = g (x) рівносильні.
Доведення. Нехай Т1 множина розв’язків рівняння (1), а Т2 множина розв’язків рівняння (2). Покажемо, що множини коренів рівні.
Нехай число а є коренем рівняння (1). Тоді і при підстановці у рівняння (1) обертає його у істинну числову рівність: f (а) = g (а), а вираз h (х) у числовий вираз . Додамо до обох частин рівності f (а) = g (а) вираз . Отримаємо істинну числову рівність , а це означає, що а є коренем рівняння (2). Отже, кожен корінь рівняння (1) є коренем рівняння (2). Аналогічно можна показати, що кожен корінь рівняння (2) є коренем рівняння (1). За доведенням і дані рівняння рівносильні.
Теорема 2. Нехай рівняння f (х) = g (x) задано на множині Х і h (х) – вираз, який визначений на тій же множині Х і який не перетворюється на нуль ні при яких значеннях х із множини Х. Тоді рівняння і дане рівняння рівносильні.
Доведення аналогічне до доведення першої теореми.
При розв’язуванні рівнянь частіше використовуються не самі теореми, а наслідки з них.
Наслідки з теорем про рівносильність рівнянь
До теореми 1
1. Якщо до обох частин рівняння додати одне й те саме число, то дістанемо рівняння, рівносильне даному.
2. Якщо в рівнянні перенести доданок з однієї частини в другу, змінивши його знак на протилежний, то дістанемо рівняння, рівносильне даному.
До теореми 2
3. Якщо обидві частини рівняння помножити (або поділити) на одне і те саме число, відмінне від нуля, то дістанемо рівняння, рівносильне даному.
Наприклад. Розв’язати рівняння:
1. Зведемо до спільного знаменника вираз у лівій частині рівняння. Це тотожне перетворення виразу. Дістанемо рівняння, рівносильне даному:
;
2. Зведемо подібні доданки. Це тотожне перетворення виразу. Дістанемо рівняння, рівносильне даному:
3. За наслідком (3) з теорем про рівносильність рівнянь помножимо обидві частини рівняння на 6. Дістанемо рівняння, рівносильне даному:
4. За наслідком (1) з теорем про рівносильність рівнянь перенесемо вираз 6х з правої частини рівняння в ліву, а число 16 – з лівої частини рівняння в праву, змінивши їх знаки на протилежні. Дістанемо рівняння, рівносильне даному:
5. Зведемо подібні в лівій частині рівняння. Це тотожне перетворення, тому дістанемо рівняння, рівносильне даному:
6. Поділимо ліву і праву частини рівняння на 9. За наслідком (3) дістанемо рівняння рівносильне даному.
;
Отже, множина розв’язків рівняння складається з одного числа , тобто {}.
В початковому курсі математики розглядаються найпростіші рівняння виду: ; ; ; ; , де а і b – цілі невід’ємні числа, х – змінна та рівняння на дві дії. Поняття рівняння вводиться неявно, через текст, тобто контекстуально. Розв’язуються такі рівняння в початковій школі на основі знань учнів залежностей між компонентами і результатом дій.
Наприклад. Розв’язати рівняння: . Невідоме знаходиться у діленому. Щоб знайти ділене, треба частку помножити на дільник. Дістанемо рівняння: . Невідомий перший доданок; щоб його знайти, треба від суми відняти другий доданок. ; . Отже, розв’язком рівняння є число 32.
Означення. Нехай f (х) і g (x) – два вирази зі змінною х і областю визначення X. Тоді висловлювальні форми виду f (х) > g (x) або f (х) < g (x) називаються нерівностями з однією змінною.
Значення змінної х із множини X, при якому нерівність перетворюється у істинну числову нерівність називається розв’язком нерівності.
Розв’язати нерівність – означає знайти множину розв’язків даної нерівності.
В основі розв’язання нерівностей першого степеня з однією змінною лежать теореми про рівносильність нерівностей.
Означення. Дві нерівності називаються рівносильними, якщо їх множини розв’язків рівні.
Наприклад, нерівності і рівносильні, бо їх множини розв’язків рівні і є числовим проміжком .
Теореми про рівносильність нерівностей схожі з теоремами про рівносильність рівнянь, і доведення їх аналогічне до доведення теореми 1 рівносильності рівнянь.
Теорема 3. Нехай нерівність f (х) > g (x) задана на множині Х і h (х) – вираз, який визначений на тій же множині Х. Тоді нерівність і дана нерівність f (х) > g (x) рівносильні.
Теорема 4. Нехай нерівність f (х) > g (x) задана на множині Х і h (х) – вираз, який визначений на тій же множині Х і для всіх значень х з множини Х . Тоді нерівність і дана нерівність рівносильні на множині Х.
Теорема 5. Нехай нерівність f (х) > g (x) задана на множині Х і h (х) – вираз, який визначений на тій же множині Х і для всіх значень х з множини Х . Тоді нерівність і дана нерівність рівносильні на множині Х.
При розв’язуванні нерівностей з однією змінною першого степеня використовують наслідки з теорем про рівносильність нерівностей.
Наслідки з теорем про рівносильність нерівностей
До теореми 3
1. Якщо до обох частин нерівності додати одне й те саме число, то дістанемо нерівність, рівносильну даній.
2. Якщо в нерівності перенести доданок з однієї частини в другу, змінивши його знак на протилежний, то дістанемо нерівність, рівносильну даній.
До теореми 4
Якщо обидві частини нерівності помножити (або поділити) на одне і те саме додатне число, то дістанемо нерівність, рівносильну даній.
До теореми 5
Якщо обидві частини нерівності помножити (або поділити) на одне і те саме від’ємне число і знак нерівності змінити на протилежний, то дістанемо нерівність, рівносильну даній.
Наприклад.
1. Розв’яжемо нерівність:
а) Перенесемо доданок 2х у ліву частину нерівності, а доданок 5 у праву, змінивши їх знаки на протилежні:
За наслідком 2 з теореми 3 дістанемо нерівність, рівносильну даній.
б) Виконаємо тотожне перетворення – зведемо подібні:
Дістали нерівність, рівносильну попередній, а отже і даній.
в) Поділимо ліву і праву частини нерівності на число 2:
За наслідком з теореми 4 дістанемо нерівність, рівносильну попередній, отже і даній.
Отже, розв’язком нерівності є проміжок
2. Розв’яжемо нерівність:
Розв’язання.
Отже, множиною розв’язків нерівності є проміжок
У початкових класах розглядаються лише найпростіші нерівності. Вони розв’язуються такими способами: методом підбору; на основі залежностей між компонентами та результатом дій; зведенням нерівності до рівності.
Наприклад. При яких значеннях букви а правильна нерівність .
Міркуємо так: зводимо до рівності, рівняння перетворюється у правильну рівність при . Щоб сума була менше 90, потрібно взяти (якщо один доданок сталий, а другий зменшити, то і сума зменшиться).
Отже, на множині цілих невід’ємних чисел множиною розв’язків нерівності є множина .
План
Означення. Якщо кожному елементу х числової множини Х за правилом f відповідає єдине число у, то говорять, що на множині Х задано числову функцію f (х), і пишуть: . При цьому х називають аргументом, а у – значенням функції. Множину Х називають областю визначення функції, а множину значень, які функція набуває, - її множиною значень; останню позначають через f (Х).
Для області визначення і множини значень функції f застосовують також відповідно позначення і .
Функцію f (х) можна вважати заданою, якщо задано її область визначення Х і правило f , за яким для довільного х з області визначення Х можна знайти (обчислити) відповідне йому значення у, у = f (х).
Останнє правило можна задавати по-різному, що й визначає способи задання функції. Найпоширеніші способи задання функцій такі: аналітичний, табличний та графічний.
Аналітичний спосіб означає задання функції формулою, що показує кількість і послідовність операцій над аргументом х, які необхідні для того, щоб дістати значення цієї функції. Якщо при цьому не зазначається область визначення функції, то під останньою розуміють множину допустимих значень аргументу, тобто множину тих значень аргументу, для яких за формулою можна знайти відповідні значення функції.
Табличний спосіб задання функції полягає в написанні таблиці відповідних значень аргументу та функції. Цей спосіб задання функції часто застосовують в експериментальних дослідженнях, а також у математиці: таблиці квадратів і кубів чисел, таблиці значень тригонометричних функцій та ін.
Щоб розглянути графічний спосіб задання функції, розглянемо спочатку поняття графіка функції.
Означення. Графіком функції , називають множину точок координатної площини, де , а
Графічний спосіб задання функції полягає в тому, що вихідною інформацією про цю функцію є її графік. При цьому для довільного значення х з області визначення Х можна знайти відповідне значення у функції. Прикладом графічного способу задання функції є електрокардіограми, за якими медики аналізують роботу серця.
У математиці графічне зображення функцій використовують і тоді, коли функція задана аналітичним чи табличним способом. Якщо треба з’ясувати загальний характер поведінки функції та її особливості на деяких підмножинах області визначення, графік, завдяки його наочності є дуже корисним.
Найчастіше графіком функції є деяка лінія координатної площини. Проте не кожна лінія є графіком функції. Справа в тому, що при заданому значенні аргументу х існує лише одне відповідне йому значення функції у. Тому на кожній прямій, паралельній осі ординат, може лежати не більше однієї точки графіка функції.
Наприклад, лінія, зображена нижче не є графіком функції.
2. Лінійна функція
Означення. Лінійною функцією називають функцію виду , де k і b – деякі числа.
Якщо, зокрема, k = 0, то дістають функцію у = b, яку називають сталою.
Областю визначення лінійної функції є множина R.
Графіком лінійної функції є пряма з кутовим коефіцієнтом k і початковою ординатою b.
На рис. зображено графіки лінійних функцій відповіно для k > 0 і k < 0.
Якщо k > 0, то функція зростаюча, якщо k < 0, то функція спадна.
Наприклад. Задано функцію . Яка це функція? Знайти її область визначення. Чи є вона зростаючою на якій-небудь множині?
Розв’язання. Оскільки , то задану функцію можна записати у вигляді: ; .
Отже, задана функція є лінійною. Її областю визначення як лінійної функції є множина R. Оскільки ця функція спадна на R, то вона не може бути зростаючою на будь-якій множині Р.
3. Пряма пропорційність
Означення. Прямою пропорційністю називають функцію виду , де k – деяке число, що не дорівнює нулю.
Число k у формулі називають коефіцієнтом пропорційності.
Пряма пропорційність – це окремий випадок лінійної функції при , а . Тому справедливі такі твердження:
4. Для прямої пропорційності відношення двох довільних значень аргументу, що існує, дорівнює відношенню відповідних значень функції: .
Для прямої пропорційності з додатним коефіцієнтом із збільшенням (зменшенням) значення аргументу в кілька разів відбувається збільшення (зменшення) значення функції у стільки ж разів.
Наприклад. Точка (2; 4) належить графіку прямої пропорційності. Записати формулу цієї залежності.
Розв’язання. Згідно з означенням прямої пропорційності, шукана формула має вигляд , де k – деяке число, відмінне від нуля. Оскільки точка (2; 4) належить графіку розглядуваної функції, то , звідки .
Отже, шуканою формулою є .
Означення. Оберненою пропорційністю називається функція виду , де k – деяке число, що не дорівнює нулю.
Число k у формулі називають коефіцієнтом оберненої пропорційності.
Областю визначення оберненої пропорційності є множина R \ {0}.
Графіком оберненої пропорційності є гіпербола. На рис. зображено графіки оберненої пропорційності для .
Для оберненої пропорційності відношення двох довільних значень аргументу дорівнює оберненому відношенню відповідних значень функції: .
Для оберненої пропорційності з додатним коефіцієнтом збільшенню (зменшенню) аргументу в кілька разів відповідає зменшення (збільшення) значення функції у стільки ж разів.
Наприклад. Знайти формулу оберненої пропорційності, якщо при значенні аргументу х = 2 функція набуває значення у = – 2.
Розв’язання. За означенням оберненої пропорційності шуканою формулою є , де k – деяке число, відмінне від нуля. Оскільки за умовою х = 2 і у = – 2 задовольняють цю формулу, то маємо . Звідси .
Отже, шуканою формулою є .
Поняття функції є одним із фундаментальних математичних понять. Велика увага його формуванню надається в курсі математики середньої школи.
В початковій школі формуються початкові уявлення про функціональну залежність, хоч можливості досить обмежені, але вчитель повинен їх використовувати.
І етап
Одні з найпростіших видів функціональної залежності є пряма і обернена пропорційності.
Якщо є 3 величини а, b, с і відношення двох дорівнює третій, тобто , причому а (це третя величина) стала, то перші дві величини змінюються прямо пропорційно.
Чим більша кількість, тим більше вартість при однаковій ціні.
Ціна =
Якщо ж одна з трьох величин дорівнює добутку двох інших, тобто , і її значення однакове (стале), то дві інші пов’язані обернено пропорційною залежністю.
Вартість = ціна · кількість
↓ ↓ ↓
стала = k у х
(однакова)
При сталій (однаковій) вартості чим більша кількість, тим менша ціна і навпаки.
У початковій школі учні отримують перші уявлення про ці залежності. І перш за все тому, що вони мають загальноосвітнє значення, зустрічаються в повсякденному житті дітей.
Приклади:
|
№ |
а |
b |
с |
|
1) |
Ціна товару |
Кількість товару |
Вартість товару |
|
2) |
Норма виробітку |
Час роботи |
Загальний виробіток |
|
3) |
Маса 1 предмета |
Кількість предметів |
Загальна маса |
|
4) |
Врожайність |
Площа |
Врожай |
|
5) |
Швидкість |
Час |
Відстань |
|
6) |
Витрати матеріалу на 1 виріб |
Кількість виробів |
Загальні витрати |
|
7) |
Продуктивність праці |
Час |
Загальний виробіток |
|
8) |
Місткість 1 посудини |
Кількість посудин |
Загальна місткість |
|
9) |
Заробіток за 1 годину |
Час |
Загальний заробіток |
З величинами діти знайомляться через задачі.
Спочатку вчаться розв’язувати прості задачі з пропорційними величинами (після ознайомлення з діями ділення і множення).
Перші уявлення – при ознайомленні з конкретним смислом дії множення. Наприклад:
Маса однієї посилки 3кг. Яка маса 6 таких посилок?
Маса порося 18кг. Яка маса 3-х поросят?
Банка вміщує 3л соку. Скільки соку треба, щоб заповнити 4 таких банки?
На дитяче пальто витрачають 2м драпу. Скільки таких пальт можна пошити з 6м драпу?
Перші задачі спочатку можна коротко записати «традиційно».
1 пос. – 3 кг
6 пос. – ?
А далі показати інший варіант в таблиці.
|
Маса 1 посилки |
Кількість посилок |
Загальна маса посилок |
|
3кг |
6 |
? |
Якщо важко вибрати дію, ілюструємо кресленням:
Далі звертається увага на зв'язок між величинами; як знаходити масу 1 предмета, кількість, загальну масу і т.д. Тобто встановлюється залежність між величинами і формулюються висновки.
Корисні вправи:
|
Ціна |
Кількість |
Вартість |
|
2 |
6 |
? |
|
3 |
? |
18 |
|
? |
4 |
20 |
і з іншими величинами.
|
Ціна |
Кількість |
Вартість |
|
5 |
10 |
? |
|
5 |
15 |
? |
|
5 |
20 |
? |
|
5 |
30 |
? |
Аналогічно:
однакова кількість (4; 4; 4; 4)
однакова вартість (40; 40; 40; 40).
Кожний рядок – окрема задача.
Встановлюємо, про які величини йдеться в задачі. Які величини відомі?
Яку треба знайти? Як?
Далі аналізуємо:
У цій роботі потрібна система.
ІІ етап
Задачі на знаходження четвертого пропорційного.
Наприклад. Маса 6 однакових посилок 18 кг. Яка маса чотирьох таких самих посилок?
Умову доцільно подати в таблиці (складати разом).
(про одну – 2 даних
про другу – 1 дане
третя – однакова)
|
Маса 1 посилки |
Кількість |
Загальна маса |
|
Однакова |
6 4 |
18 кг ? |
Задачі на четверте пропорційне називають задачами на потрійне правило.
Є три величини: відомо 2 значення – однієї;
1 значення другої величини, а друге – треба знайти;
значення третьої величини – стале.
Потрійне правило прийшло в Європу з Індії через посередництво Хорезмі і Леонардо Фібоначчі, а з Європи до нас.
Його довго вважали самим корисним в комерції і життєвій праці.
Це «ключ купців» - так його називали.
При вивченні арифметики (до ІХ ст.) його заучували догматично: «перемнож 2 останні, діли на першу».
На знаходження трьох величин за даним сюжетом можна скласти 12 задач на знаходження четвертого пропорційного.
|
Ціна а |
Кількість b |
Вартість с |
|
|
Пряме зведення до 1 |
Однакова |
- ? |
|
|
Однакова |
- ? |
||
|
Обернене зведення до 1 |
Однакова |
- ? |
|
|
Однакова |
- ? |
Аналогічно 4 задачі при однаковій кількості. Це 8 задач з прямою пропорційності.
Ще 4 задачі при однаковій вартості.
Три прийоми розв’язування задач на знаходження четвертого пропорційного:
1. Спосіб прямого зведення до 1
2. Спосіб оберненого зведення до 1
3. Спосіб відношення
Всі вони вивчаються в початковій школі.
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) .
2. Знайдіть область визначення виразу:
1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) .
3. Спростіть вираз:
1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) .
4. Знайдіть значення виразу раціональним способом:
1) ; 2) ;
3) ; 4) .
5. Розв’яжіть рівняння використовуючи теореми про рівносильність рівнянь та наслідки з них:
1) ; 2) ;
3) .
6. Розв’яжіть рівняння, використовуючи залежність між компонентами і результатами дій:
1) ; 2) ;
3) ; 4) .
7. Розв’яжіть нерівності, використовуючи теореми про рівносильність нерівностей та наслідки з них:
1) ;
2) ;
3) .
8. Підберіть з підручників математики початкової школи завдання на обчислення значень числових виразів, виразів зі змінною.
9. У підручниках початкової школи знайдіть вправи на розв’язання нерівностей.
10. Використовуючи підручники Математика 3 клас, 4 клас знайдіть вправи на розв’язання найпростіших рівнянь і рівнянь на дві дії та способи їх розв’язування.
11. Використовуючи підручники Математика 3 клас, 4 клас знайдіть текстові задачі, які формують уявлення про функціональну залежність (пряму пропорційність, обернену пропорційність, лінійну функцію).
Розділ VI
З поняттям величин доводиться часто мати справу в курсі математики, фізики, хімії тощо. Довжина відрізка, площа фігури, об’єм геометричного тіла, маса фізичного тіла, його температура, міцність мінералу, час, вартість, швидкість та прискорення тіла – все це величини різних родів.
Що ж таке величина?
Поняття величини є одним з основних понять, яке використовується у різних науках і навчальних предметах. Загальне поняття величини не підлягає строгому означенню, але величину можна уявити як особливу властивість реальних об’єктів або явищ.
Величини можуть бути:
Величини мають певні властивості:
- будь-які дві величини одного роду можна порівнювати: вони або рівні, або одна менше іншої, тобто для них має місце відношення «дорівнює», «менше» або «більше» і для будь-яких величин а і b характерне одне і тільки одне відношення:
а = b, а < b, а > b;
- величини одного роду можна додавати, в результаті додавання отримується величина того ж самого роду, тобто для будь-яких двох величин а і b однозначно визначена величина а+b, яку називають сумою величин а і b;
- величину можна множити на дійсне число, в результаті отримується величина того ж роду, тобто для будь-якої величини а і будь-якого невід’ємного дійсного числа х однозначно визначена величина b = х · а, яку називають добутком величини а на число х;
- величини одного роду можна віднімати, тобто визначати різницю величин через суму: різницею величин а і b називають таку величину с, що а = b + с;
- величини одного роду можна ділити, тобто визначати частку через добуток величини на число: часткою величин а і b називається таке невід’ємне дійсне число х, що а = х · b або х називають відношенням величин а і b і позначають х = .
Поняття вимірювання величин. Основні властивості числових значень додатніх скалярних величин
Безпосередньо порівнюючи величини, можна встановити їх рівність або нерівність. Але щоб отримати більш точний результат порівняння (дізнатись на скільки більше або на скільки менше) необхідно виміряти величини.
Виміряти якусь величину – означає порівняти її з іншою величиною цього самого роду, прийнятою за одиницю. Процес порівняння для різних величин різний, але в результаті вимірювання величина отримує певне числове значення при взятій одиниці.
Якщо дана величина а та вибрана одиниця величини е, то в результаті вимірювання величини а знайдеться таке дійсне число х, що а = х · е. Це число х називають числовим значенням величини а при одиниці величини е і позначають: х = mе(а). За означенням будь-яку величину можна представити як добуток деякого числа та одиниці цієї величини. Наприклад,
15дм = 15 · 1дм; 152т = 152 · 1т; 1723м2 = 1723 · 1м2.
Вимірювання величин дозволяє звести їх порівняння до порівняння чисел, операцій над величинами – до відповідних операцій над числами, що базуються на основних властивостях числових значень додатних скалярних величин:
- якщо величини а і b виміряли за допомогою одиниці величини е, то відношення між а і b будуть такими ж, як і відношення між їх числовими значеннями, і навпаки: а = b mе (а) = mе (b),
а < b mе (а) < mе(b),
а > b mе (а) > mе (b);
- якщо величини а і b виміряли за допомогою одиниці величини e, то для того, щоб знайти числове значення суми а + b, достатньо додати числові значення величин а і b: а + b = с mе (а + b) = mе (а) + mе (b);
- якщо величини а і b такі, що b = х · а, де х – додатне дійсне число, величину а виміряли за допомогою одиниці величини e, то для того, щоб знайти числове значення величини b при одиниці e, достатньо число х помножити на число mе (а): b = х · а b = х · mе (а).
Приклади:
b = 5 · а = 5 · (32 м2) = (5 · 32) м2 = 160 м2.
Величини, що вивчаються в курсі математики І – ІV класів
Згідно з вимогами Державного стандарту повної початкової освіти та Програми з математики 1 – 4 класів учні початкової школи ознайомлюються з такими величинами, як довжина, маса, місткість, час, площа, швидкість, вартість. Всі ці величини вивчаються в тісному зв’язку з формуванням поняття натурального числа, з вивченням арифметичних дій над числами, з формуванням поняття геометричної фігури. Молодші школярі набувають деяких практичних навичок вимірювання величин, вчаться використовувати співвідношення між величинами під час розв’язування задач.
Властивість предметів мати протяжність називається довжиною. А також довжиною відрізка називається додатна величина, яка визначається для кожного відрізка так, що:
1) рівні відрізки мають рівні довжини;
2) якщо відрізок складається із кінченої кількості відрізків, то його довжина дорівнює сумі довжин цих відрізків.
Розглянемо процес вимірювання довжин відрізків. З множини відрізків вибирають будь-який відрізок e і приймають його за одиницю довжини. На відрізку а від одного його кінця відкладають послідовно відрізки, що дорівнюють e до тих пір, поки це можливо. Якщо відрізки, що дорівнюють e, відкладаються n раз і кінець останнього співпав з кінцем відрізка а, то кажуть, що значення довжини відрізка а – це натуральне число n і пишуть: а = nе.
Якщо ж відрізки, що дорівнюють e відклалися n раз і ще залишилась остача, яка менша e, то на ній відкладають відрізки, що дорівнюють
e1 = e.
Якщо вони відклалися точно n1 раз, тоді а = n,n1е і значення довжини відрізка а – це скінчений десятковий дріб.
Якщо відрізок e1 відклали n1 раз і залишилась остача, яка менша e1, то на ній відкладають відрізки, що дорівнюють
е2 = e.
Якщо цей процес продовжувати далі, то отримаємо, що значення довжини відрізка а – це нескінченний десятковий дріб.
Отже, при вибраній одиниці довжина будь – якого відрізка виражена додатнім дійсним числом.
Правильне і обернене твердження:
якщо дано додатне число n,n1n2…, то при побудові відрізка його числове значення довжини буде рівне дробу n,n1n2...
Отже, маємо основну властивість довжин відрізків:
при вибраній одиниці довжини довжина будь-якого відрізка виражена додатнім дійсним числом і, навпаки, для кожного додатного дійсного числа існує відрізок, довжина якого виражена цим числом.
Зауважимо, що коли в результаті вимірювання маємо нескінчений десятковий дріб, то значення довжини відрізка вважається наближеним.
Сформулюємо інші властивості довжин відрізків:
1. Якщо два відрізка рівні, то числові значення їх довжин теж рівні і, навпаки, якщо числові значення довжин двох відрізків рівні, то і рівні самі відрізки, тобто
а = b me (a) = me (b).
2. Якщо даний відрізок – це сума декількох відрізків, то числове значення його довжини дорівнює сумі числових значень довжин відрізків-доданків і, навпаки, якщо числове значення довжини відрізка дорівнює сумі числових значень декількох відрізків, то і сам відрізок дорівнює сумі цих відрізків, тобто
с = а + b me (с) = me (a) + me (b).
3. Якщо довжини відрізків а і b такі, що b = х · а, де х – додатне дійсне число і довжина відрізка а виміряна за допомогою одиниці е, то для того, щоб знайти числове значення довжини відрізка b при одиниці е, достатньо число х помножити на числове значення довжини відрізка а при одиниці е, тобто
b = х · а me (b) = х · me (а).
4. При зміні одиниці довжини числове значення довжини збільшиться (або зменшиться) в стільки ж разів, в скільки збільшиться (або зменшиться) нова одиниця відносно старої.
З даних властивостей маємо:
5. а < b mе (а) < mе (b),
а > b mе (а) > mе (b);
6. с = а − b me (с) = me (a) − me (b);
7. х = а : b х = me (a) : me (b).
Розглянуті властивості дозволяють порівнювати довжини відрізків та дії над ними зводити до порівняння та дій над відповідними числовими значеннями довжин цих відрізків.
Приклади:
1) 15м < 15, 1м, бо 15 < 15, 1;
2) 6, 5см + 4, 8см = (6, 5 + 4, 8) см = 11, 3см;
3) 14 · 2 дм = (14 · 2) дм = 28дм.
Найдавніші одиниці довжини ототожнювались з назвами частин людського тіла. Наприклад: ширина чотирьох пальців – долоня, довжина ліктя – лікоть, довжина ступні – фут, довжина суглоба великого пальця – дюйм, довжина фаланги вказівного пальця – вершок.
У XV – XVI ст. у ряді країн були одиниці, пов’язані між собою. У Росії одиницями довжини були миля, верства, сажень і аршин:
1миля = 7 верств,
1 верства = 500 сажнів,
1 сажень = 3 аршина.
У метричних одиницях 1 аршин ≈ 71,12см.
Основою для міжнародної системи мір стала нова система одиниць вимірювання величин, створена у Франції у 18 столітті. За основну одиницю довжини в цій системі мір було взято метр – одна сорокамільйонна частина довжини земного меридіана, який проходить через Париж. Тому було виготовлено платиновий еталон метра – лінійку з нанесеними штрихами на її кінцях, що зберігається в Національному архіві Франції та має назву «архівного метра».
Метрична система мір не одразу дістала визнання: у 1875 р. нею користувались 17 держав, а зараз – 60. У Росії ця система почала використовуватись з 1899 р., а в Україні – з 1925 р.
При сучасних вимірюваннях довжин використовують такі одиниці як міліметр (мм), сантиметр (см), дециметр (дм), метр (м), кілометр (км), між якими існують відповідні співвідношення:
1м = 100см 1км = 1000м
1м = 10дм 1 дм = 10см
1м = 1000мм 1см = 10мм
Задача вимірювання площі – одна з найдавніших задач практики. Люди у давнину вимірювали площі земельних ділянок, з кожної одиниці площі вони платили податки. У стародавньому Єгипті після весняного розливу Нілу і спаду води потрібно було відновлювати межі ділянок, а для цього необхідно було вміти вимірювати їх площі. В стародавні часи одиницями площі були: колодязь – площа, яку можна полити з одного колодязя, соха або плуг – середня площа, що оброблена за день сохою чи плугом. (Слово «геометрія» – грецьке, у перекладі означає «землемірство»).
Площею фігури називається додатна величина, яка визначена для кожної фігури так, що:
1) рівні фігури мають рівні площі;
2) якщо фігура складається із скінченої кількості фігур, то її площа дорівнює сумі їх площ.
Якщо порівняти дане означення з означенням довжини відрізка, то маємо, що для площі характерні ті ж самі властивості, що і для довжини, але задані вони на різних множинах: довжина – на множині відрізків, а площа – на множині плоских фігур.
За одиницю площі приймають площу квадрата, довжина сторони якого дорівнює одній лінійній одиниці: 1 м2 (площа квадрата із стороною 1 м), 1 см2, 1 мм2.
Якщо довжину лінійної одиниці позначено через е, то відповідну їй одиницю площі зручно позначити через е2.
Вимірювання площі полягає в кратному порівнянні площі даної фігури F з площею одиничного квадрата е2. Результатом порівняння буде число n таке, що
Sф = n ∙ e2 => me (F) = n, де n – числове значення площі.
Властивості площі:
1. Якщо фігури рівні, то рівні і числові значення їх площ (при однаковій одиниці площі).
Фігури, площі яких рівні, називаються рівновеликими.
2. Якщо фігура F складається з фігур F1, F2, ..., Fn, то числове значення площі фігури F дорівнює сумі числових значень площ фігур F1, F2, …, Fn (при однаковій одиниці площі).
3. При заміні одиниці площі числове значення площі збільшується (зменшується) у стільки ж разів, у скільки ж нова одиниця менша (більша) від старої.
Щоб на практиці вимірювати площу використовують палетку – сітку квадратів на прозорому матеріалі. Для вимірювання палетку накладають на фігуру, площу якої знаходять. Якщо виміри прямокутника – цілі числа, палетка накладається так, щоб її лінії сумістились із сторонами прямокутника. Далі підраховують число квадратів, що вміщуються в прямокутнику.
Якщо фігура складніша, то є два способи визначення площі за допомогою палетки.
І спосіб. Спочатку порахувати кількість цілих квадратів, що знаходяться у середині фігури F. Їх кількість m. А потім порахувати кількість нецілих квадратів, тобто число n. Тоді площа фігури F буде обчислена за формулою:
S (F) ≈ (m + n : 2) ∙ е 2.
ІІ спосіб. Також полічити кількість цілих квадратів у середині фігури, їх m. Потім полічити найбільшу кількість квадратів, що містять у собі фігуру, нехай їх k, тоді
m ∙ е 2 < S (F) < k ∙ е 2.
Тобто значення S буде десь посередині між числами m i k. Тому треба знайти середнє арифметичне
S ≈ ∙ е 2.
В обох способах значення площі будуть співпадати: k = m + n
S ≈ () ∙ е 2 = ∙ е 2 = (m + ) ∙ е 2.
У підручниках з математики початкових класів за допомогою палетки учні знаходять площі різних фігур. Наприклад:
У даній таблиці подано одиниці вимірювання площі, які застосовуються найчастіше:
|
1мм2 – площа квадрата, сторона якого 1мм |
|
1см2 – площа квадрата, сторона якого 1см |
|
1дм2 – площа квадрата, сторона якого 1дм |
|
1м2 – площа квадрата, сторона якого 1м |
|
Ар (а) – площа квадрата, сторона якого 10м (сотка) |
|
Гектар (га) – площа квадрата, сторона якого 100м |
|
1км2 – площа квадрата, сторона якого 1км |
Між одиницями площі існують наступні співвідношення:
1см2 = 100мм2 1 дм2 = 100см2
1м2 = 100дм2 1 а = 100м2
1га = 10000м2 1 км2 = 1000000м2
За Програмою початкових класів у 4 класі учні знайомляться з правилом обчислення площі прямокутника:
щоб обчислити площу прямокутника, треба визначити його довжину і ширину та знайти добуток цих чисел.
Приклади:
1) 4 · 2 = 8 (см 2) 2) 3 · 6 = 18 (см 2)
Теорія вимірювання об’ємів ґрунтується на аксіомах, подібних аксіомам площі, та на поняттях рівновеликості і рівноскладеності просторових фігур.
З геометричної точки зору:
кожному многограннику можна поставити у відповідність додатну скалярну величину, що називається об’ємом так, що:
1) рівні многогранники мають рівні об’єми;
2) об’єм многогранника, що є об’єднанням двох многогранників, які не мають внутрішніх спільних точок, дорівнює сумі об’ємів цих многогранників;
3) числове значення об’єму куба з довжиною ребра, що дорівнює одиниці довжини е, дорівнює одиниці об’єму е3.
З фізичної точки зору об’єм – це здатність тіла займати якийсь простір.
Для величини об’єму виконуються всі вище зазначені властивості величин (об’єми можна додавати, віднімати і в результаті отримувати об’єм, можна множити на число, ділити на число і ділити на об’єм).
У стародавні часи об’єми рідких тіл вимірювалися такими одиницями, як бочка – 40 відер, відро – 10 штоф, штоф – 2 пляшки, пляшка – 2 сороковки, сороковка – 2,5 сотки, сотка – 2 шкалики.
Міжнародна система одиниць для вимірювання об’ємів пропонує такі одиниці: кубічний метр (м3), кубічний дециметр (дм3), кубічний сантиметр (см3), кубічний міліметр (мм3), літр (л), гектолітр (гл), мілілітр (мл). В цій системі літр розглядається як особлива назва кубічного дециметра, тобто
1 л = 1 дм3.
За Програмою початкової школи з математики у 1 класі розв’язують задачі на обчислення об’ємів рідини у літрах.
З математичної точки зору маса тіла – це така додатна величина, яка має властивості:
1) маса однакова у тіл, які врівноважують один одного на терезах;
2) маса додається, коли тіла з’єднуються разом; маса декількох тіл, взятих разом, дорівнює сумі їх мас.
З курсу фізики відомо, що кожне тіло має властивість зберігати свій механічний стан доти, поки якась сила не виведе його з цього стану (І закон Ньютона). Ця властивість як міра інерції тіла називається його масою (інертність – це стан спокою). Саме цією властивістю пояснюється те, що наприклад, зрушити з місця порожній візок легше, ніж навантажений, легше підняти маленьку кулю, ніж велику з того самого матеріалу.
За ІІ законом Ньютона маса тіла пов’язана з такими величинами, як сила F і прискорення а, яке дістає тіло маси m під дією даної сили, тобто
F = m∙a.
На підставі цього закону можна встановити і інші залежності:
= або = ,
тобто маси двох тіл обернено пропорційні прискоренням або миттєвим швидкостям, які вони дістають в результаті взаємодії.
Перше уявлення про те, що тіла мають різну масу, діти дістають з досвіду у ранньому віці, беручи в руки предмети різного розміру і різної маси. Щоб допомогти учням початкових класів виділити масу серед інших властивостей тіл, доцільно пропонувати їм оцінити «на руку», який з предметів (одного розміру, але з різних матеріалів) має більшу масу, наприклад куб або брусок металевий і дерев’яний, гумовий м’яч і металева або дерев’яна куля Потім, навпаки, запропонувати різні предмети за розміром, але однакової маси – спочатку масою 1 кілограм (1 клас). Пізніше (3 клас) учні ознайомлюються з новими одиницями маси – тонною, грамом, центнером. В процесі розв’язування практичних задач учні засвоюють співвідношення між одиницями маси:
1кг = 1000г 1 ц = 100кг
1 т = 10ц 1 т = 1000кг
В історії людства у зв’язку з розвитком обміну продуктами виникла потреба вимірювати масу тіла. Який народ і коли саме винайшов терези – невідомо. До нас дійшло зображення важільних терезів у древніх пам’ятниках Єгипту ІІ тис. до н. е. Мірою маси були гран (маса зерна) та карат (маса насіння одного з видів бобів). Одиниця маси гран використовується донині в аптекарській справі, а карат – при вимірюванні маси дорогоцінних металів і каменів (1 карат ≈ 0, 2г). Пізніше за одиницю маси почали брати масу води, що наповнює певний посуд. Російською одиницею маси була гривня, яку пізніше почали називати фунтом. Одиницею маси також був пуд – 40 фунтів і золотник.
В Міжнародній системі одиниць 1грам – це маса одного кубічного сантиметра чистої дистильованої води при 40 С, 1кілограм – це маса одного кубічного дециметра води або 1літра, 1т – маса одного кубічного метра води. В Національному архіві Франції зберігається «архівний кілограм» – циліндрична платинова гиря.
Основною одиницею вимірювання маси є грам, коротке позначення – г. При значенні інших одиниць маси використовуються префікси мілі і кіло.
1г = 1000мг чи 1мг = 0,001г, 1кг = 1000г чи 1г = 0,001кг,
1кг = 1000000мг чи 1 мг = 0,000001кг.
Великі за масою величини вимірюють у тоннах (т) і центнерах (ц):
1т = 10ц = 1000кг = 1000000г чи 1ц = 0,1т, 1кг = 0,001т, 1г = 0,000001т,
1ц = 100кг = 100 000г чи 1кг = 0,01ц, 1г = 0,00001ц.
Час – це більш складна для сприймання величина, бо її не можна побачити як довжину або площу, не можна відчути як масу.
Час – це те, що відокремлює одну подію від іншої.
В математиці і фізиці час розглядають як скалярну величину, тому можуть виконувати всі властивості і дії над часом: додавати, віднімати, множити на число, ділити на число.
За одиницю вимірювання часу взято такий процес, що регулярно повторюється. Це є секунда, доба, рік, тощо.
Всі події у житті відбуваються у часі. З вимірюванням часу пов’язана більшість хімічних, фізичних і технічних процесів. Якщо міри довжини, маси, площі, об’єму тривалий час були різними у різних народів і лише поступово були замінені єдиними мірами метричної системи, то для вимірювання часу здавна встановилась одна одиниця міри – доба. Але спочатку день і ніч здавались людині чимось протилежними і вони лічили окремо дні і ночі, а потім об’єднали їх в добу. Доба – це час, протягом якого земна куля обертається навколо своєї осі.
Також для вимірювання часу люди використовували фази Місяця. Оскільки кожна фаза займає приблизно 7 діб, то це дало людині нову міру часу – тиждень. Древні вавілоняни обожнювали небесні світила Сонце, Місяць і планети – Венеру, Марс, Меркурій, Юпітер, Сатурн. Кожному з них вони присвятили один день тижня. У Франції, Англії і тепер дні тижня мають назви планет: неділя – день Сонця, і т.д.
Число 7 у давнину мало магічний смисл: мешканці Афін кожен рік богу Мінотавру посилали дань – 7 юнаків або 7 дівчат, визнавали 7 чудес світу, вважали, що Рим побудований на 7 горбах.
Проміжок часу від молодого Місяця до іншого молодого Місяця назвали місяцем. Спочатку одиниці часу «рік» не було (він дуже великий), але потім він з’явився, бо ним почали позначати час, протягом якого Земля робить повний оберт навколо Сонця – 365 діб 5 годин 48 хвилин 46 секунд.
У різних народів рік починався у різні пори року: у римлян – з березня, у єгиптян – то влітку, то взимку, то навесні.
Доба – позасистемна одиниця вимірювання часу, приблизно рівна періоду обертання Землі навколо своєї осі. Доба дорівнює 24 годинам (або 1440 хвилинам, або 86400 секундам).
На малюнку можна побачити порівняння тривалості зоряної (2) і сонячної (3) доби при збігу напрямків орбітального й власного обертання.
Розрізняються сонячну добу і зоряну добу.
Сонячна доба — це проміжок часу між двома послідовними нижніми кульмінаціями середнього сонця (це фіктивна точка, що рівномірно рухається вздовж небесного екватора), вона триває 24 години.
Зоряна доба — проміжок часу між двома послідовними кульмінаціями зірки (найвищим положенням її над горизонтом) через меридіан точки спостереження. За зоряну добу Земля робить повний оберт навколо своєї осі. Вона дорівнює 23 год 56 хв 4 с. Вони не рівні через те, що завдяки обертанню Землі навколо Сонця для спостерігача, що перебуває на Землі, Сонце зміщується на тлі нерухомих зірок.
Секунда — одиниця виміру часу в Міжнародній системі одиниць. Еталон секунди визначається, як 9 192 631 770 періодів випромінювання атома цезію-133 при переході між двома рівнями основного стану, розщепленими в магнітному полі ядра, при сталій довжині хвилі, нульовій температурі й відсутності зовнішнього магнітного поля. Секунда дорівнює 1/60 хвилини, 1/3600 години, або 1/86400 доби. Визначення секунди через тривалість доби незадовільне для наукових цілей, бо довжина дня не постійна, а змінна. Тому виникла потреба в перевизначені еталону часу. В 1956 році фахівці надали секунді значення 1/31 556 925,9747 тривалості тропічного року (тобто часу, потрібного видимому з Землі Сонцю, щоб повернутися на таке саме положення відносно інших космічних світил) для 1900 року. У 1967 році було встановлено новий еталон, що опирається на спектроскопію.
Виміряти проміжок часу можливо лише порівнявши його з тривалістю іншої події, яка вважається регулярною. Так, можливо сказати, що місяць січень триває 31 день. У цьому випадку період часу між початком і кінцем місяця порівнюється з регулярною подією – сходом Сонця.
Прилади, призначені для вимірювання коротких проміжків часу, називаються годинниками і хронометрами. Уже в давнину були відомі сонячні годинники. Проте потреби дедалі точнішого визначення проміжків часу потребувало розробки нових приладів, в основі яких лежали б коротші процеси з коротшими періодами. В епоху Відродження таким базовим процесом для вимірювання часу стали коливання маятника. Коливання маятника і інші типи механічних коливань, лежать в основі більшості механічних годинників. Електронні теж використовують коливні процеси, але вони можуть мати немеханічну природу.
Юліанський календар введено, починаючи із 1 січня 45 р. до н. е. Юлієм Цезарем у кінці 46 р. до н. е. Спираючись на поради грецького астронома Созігена (Sosigenes) та з метою добитися того, щоб певні астрономічні події на зразок весняного та осіннього рівнодення відбувалися щороку в певний цілком визначений день, Цезар узгодив тривалість року із сонячним календарем, тобто встановив її рівною 365 дням із чвертю дня. Чверті дня враховувалися наступним чином: кожного четвертого року до календаря додавався ще один день і тривалість місяця лютого ставала не 29, а 30 днів. Свого часу Гай Юлій Цезар пожартував: «Римляни завжди перемагають, але ніколи не знають коли це трапилося». Ім’я Цезаря вшановано у латинській назві сьомого місяця (тодішнього п’ятого) — Julius. Пізніше Октавіан Август виправив конструкцію високосного року і восьмий місяць на його честь був названий Augustus. А щоб не осоромитися перед імператором – попередником, місяць серпень Augustus також отримав 31-й день, який взяли з кінця року — 29/30 лютого. Таким чином лютий вкоротився й став тривати 28 днів звичайного року й 29 високосного. Але юліанський рік тривалістю в 365 днів і 6 годин довший за істинний сонячний рік (365 днів 5 годин 49 хвилин і 46 секунд) на 14 хвилин 11 секунд. Різниця складає близько 0, 0078 дня за рік або близько одного дня за 128 років. За півтора тисячоліття календар знову відставав на десять днів. Що й стало причиною введення в 1582 році Григоріанського календаря.
Григоріанський календар – календар, введений у вжиток 4 жовтня 1582 року Папою Римським Григорієм XIII. Реформа календаря мала за мету ліквідувати помилку в обчисленні дат: з моменту введення юліанського календаря до XVI століття «набігла» різниця в 10 днів порівняно з астрономічною датою. Згідно з нововведенням папи, одразу ж після 4 жовтня 1582 року настало 15 жовтня. Цього дня в Італії, Франції, Іспанії, Португалії та Польщі прийнято григоріанський календар — попередні десять днів були вилучені з календаря. 1583 року Григорій XIII направив Константинопольському патріарху Ієремії ІІ пропозицію перейти на новий календар. Наприкінці 1583 року на соборі в Константинополі пропозиція була відкинута, як невідповідна канонічним правилам святкування Великодня.
В Українській народній республіці григоріанський календар введено з 16 лютого 1918 року і цей день став вважатися як 1 березня 1918 року. Закон про це було ухвалено 12 лютого 1918 року (за старим стилем) на засіданні Малої ради в Коростені.
У Росії григоріанський календар введено 1918 року декретом Раднаркому, згідно з яким після 31 січня 1918 року слідувало 14 лютого 1918 року. Російська православна церква і деякі інші православні церкви не прийняли григоріанський календар, тож і далі користуються юліанським календарем.
У повсякденному житті використовуються наступні одиниці вимірювання часу, між якими існують певні співвідношення:
1 хв = 60 с 1 год = 60 хв
1 год = 3600 с 1 доба = 24 год
1 місяць = 30 або 31 доба (у лютому 28 або 29 діб)
1 звичайний рік = 365 діб
1 високосний рік = 366 діб
1 століття = 100 років
Розв’язування задач на обчислення тривалості подій
Існують 3 види задач на обчислення тривалості подій:
Перерва розпочалася о 12 год 10 хв і закінчилася о 12 год 40 хв. Скільки часу тривала перерва?
12 год 40 хв – 12 год 10 хв = 30 хв
1) Перерва розпочалася о 10 год 25 хв і тривала 20 хв. Коли закінчилася перерва?
10 год 25 хв + 20 хв = 10 год 45 хв
2) Екскурсія розпочалася о 9 год 15 хв і тривала 2 год 50 хв. Коли закінчилася екскурсія?
9 год 15хв
+ 2 год 50 хв
11 год 65 хв
12 год 05 хв
Перерва тривала 40 хв і закінчилася о 13 год 50 хв. Коли розпочалася перерва?
13 год 50 хв – 40 хв = 13 год 10 хв
Наведені приклади задач охоплюють події, що сталися протягом доби. При розв’язуванні схожих задач треба не забувати враховувати те, що добу ділять на дві половини, і виконувати відповідні перетворювання. Наприклад, якщо сонце зійшло о 6 год 25 хв ранку, а зайшло о 6 год 20 хв вечора, то від початку доби до його заходу минуло 12 год + 6 год 20 хв, тобто 18 год 20 хв. Отже, тривалість дня за умовою цієї задачі становить:
_ 18 год 20 хв
6 год 24 хв
11 год 56 хв
Щоб уникнути помилок при обчисленні поданого виразу, необхідно пам’ятати, що 1 год = 60 хв (а не 10), а тому від 80 хв будемо віднімати 24 хв.
Серед задач на обчислення тривалості подій є такі, зміст який містить час протягом кількох років або століть.
Приклад.
«Велика Вітчизняна війна почалася 22 червня 1941 р., а закінчилася 9 травня 1945р. Скільки часу тривала Велика Вітчизняна війна?»
При розв’язанні цієї задачі перетворюємо календарні дати (22 червня 1941 р. та 9 травня 1945р.) в арифметичні. Для цього визначаємо скільки повних років, місяців і днів минуло від початку нашої ери до початку події та її кінця, і від другого числа (відрізка часу) віднімаємо перше (відрізок часу):
_ 1944 р. 4 міс. 8 діб
1940 р. 5 міс. 21 доба
3 р. 10 міс. 17 діб
Безперервний рух товарів і послуг, який відбувається в економіці, опосередковується відповідним рухом грошей. Грошовий обіг – це сукупність усіх грошових платежів та розрахунків, що обслуговують відносини еквівалентного обміну.
Грошовий обіг з’явився одночасно з виникненням грошей, тобто у період розпаду первіснообщинного ладу. В умовах рабовласницького та феодального устроїв розширенню грошового обігу перешкоджали панування натурального господарства та обмеженість товарних зв’язків. Значного розвитку грошовий обіг набув при капіталізмі, коли сформувалися національні та світові товарні ринки (XVI – XVII ст.), хоча окремі їх елементи з’явилися значно раніше.
Грошова одиниця встановлюється законодавством кожної країни з урахуванням історичних особливостей її розвитку та національних традицій. Так, назва грошової одиниці CША – долар – походить від слова «талер» – назва старовинної срібної монети, яку в Середньовіччі карбували в Чехії. Іспанські срібні долари поряд із англійськими фунтами стерлінгів до кінця 18 ст. обслуговували грошовий обіг США. Назва англійської валюти – фунт стерлінгів – первісно відповідала ваговому вмісту грошової одиниці, тобто фунт стерлінгів містив фунт срібла. Назва грошової одиниці України – гривня. Таку назву мала грошова одиниця Київської Русі – високо розвинутої держави Європи.
Гривня —грошово-лічильна одиниця Київської Русі. В XI ст. в обігу були срібні гривні. В XVII ст. гривня важила 160—197 г срібла. Векша — грошова одиниця Київської Русі (ІХ – ХІІІ ст.). Дорівнювала 1/4 — 1/6 куни, 1/2 — 1/3 резани. Еквівалентом векши було 0,33 г срібла. Куна — срібна грошова одиниця Київської Русі. Назва походить від шкірки куниці, яка виконувала роль грошової одиниці. 1 К. = 2 г = 2 резанам = 4 - 6 векшам.
Гроші, як міра вартості, однорідні і використовуються в якості масштабу для виміру відносних вартостей товарів. Подібно до того, як ми вимірюємо відстань у милях або кілометрах, аналогічно ми вимірюємо вартість товарів у грошовому виразі, надаючи їм форму ціни. Виражаючи ціни в грошових одиницях (доларах, марках, гривнах) можна визначати та порівнювати вартості різноманітних товарів.
Ціна – кількість грошей, які сплачуються за одиницю товару; виражена в грошах вартість одиниці товару.
Вартість – кількість грошей, які сплачуються за декілька одиниць товару; виражена в грошах вартість всієї покупки.
В поданій таблиці показано грошові одиниці, які діють на Україні.
|
Розмінні та обігові монети (1 гривня), які зараз у обігу. |
||||||||||
|
Зображення |
Номінал |
Параметри |
Опис |
Дата |
||||||
|
Реверс |
Аверс |
Діаметр |
Товщина |
Маса |
Матеріал |
Гурт |
Аверс |
Реверс |
||
|
1 копійка |
16 мм |
1,2 мм |
1,5 г |
Нержавіюча сталь |
Гладкий |
Герб України |
Номінал |
1992 |
||
|
2 копійки |
17,3 мм |
1,2 мм |
0,64 або 1,8 г |
Алюміній або нержавіюча сталь |
||||||
|
5 копійок |
24 мм |
1,5 мм |
4,3 г |
Нержавіюча сталь |
Рубчастий |
|||||
|
10 копійок |
16,3 мм |
1,25 мм |
1,7 г |
Латунь або алюмінієва бронза |
Рубчастий |
Герб України |
Номінал |
1992 |
||
|
25 копійок |
20,8 мм |
1,35 мм |
2,9 г |
Рубчастий із гладкими областями |
||||||
|
50 копійок |
23 мм |
1,55 мм |
4,2 г |
|||||||
|
1 гривня |
26 мм |
1,85 мм |
7,1 або 6,9 г |
Напис: «ОДНА ГРИВНЯ», рік карбування. |
|
Випуск 2003—2007 років |
||||||||
|
Зображення |
Номінал |
Розміри |
Основний |
Опис |
Дата |
|||
|
Аверс |
Реверс |
Аверс |
Реверс |
Першо-го друку |
випуску |
|||
|
1 |
118 × 63 |
Сіро-зелений |
Володимир Великий |
Місто Володимира (Київ) |
2004 |
1 грудня 2004 |
||
|
Жовто-синій |
2006 |
22 травня 2006 |
||||||
|
2 |
Жовто-коричневий |
Ярослав Мудрий |
Київський Софійський собор |
2004 |
28 вересня 2004 |
|||
|
5 |
Синій |
Богдан Хмельницький |
Іллінська церква у селі Суботів |
14 червня 2004 |
||||
|
10 |
124 × 66 |
Червоний |
Іван Мазепа |
Панорама Києво-Печерської Лаври |
1 листопада 2004 |
|||
|
20 |
130 × 69 |
Зелений |
Іван Франко |
Львівський оперний театр |
2003 |
1 грудня 2003 |
||
|
50 |
136 × 72 |
Фіолетовий |
Михайло Грушевський |
Будинок Центральної Ради у Київі |
2004 |
29 березня 2004 |
||
|
100 |
142 × 75 |
Жовто-зелений |
Тарас Шевченко |
Дніпро та сліпий бандурист з хлопчиком-поводирем |
2005 |
20 лютого 2006 |
||
|
200 |
148 × 75 |
Рожевий |
Леся Українка |
Замок Любарта в Луцьку |
2007 |
28 травня 2007 |
||
|
500 |
154 × 75 |
Персиковий |
Григорій Сковорода |
Києво-Могилянська академія |
2006 |
У початкових класах учні знайомляться з ціною товару, його кількістю та вартістю покупки, а також засвоюють відповідні правила їх знаходження:
За Програмою початкової школи учні знайомляться з копійкою (1 клас), гривнею (2 клас).
При розв’язуванні текстових задач з одиницями вартості учням слід засвоїти залежності між ціною, кількістю і вартістю.
1. Обчисліть:
64м 03см – 19м 88cм 235 т 924кг : 52
8км 65м – 3км 78м 5 грн 42 к. · 50
73т 850кг + 25т 320кг 256 грн 5 к. : 15 к.
280км 896м : 44м 14 ц 25кг · 18
50 хв 45 с + 15 хв 37 с 34 т 89кг · 7
5 діб 6 год – 2 доби 18 год 582 грн 5 к. : 5
25 грн 5 к. · 24 4 год 58хв + 2 год 17хв
12кг 265г : 55г 40хв 2с – 34хв 25с
2. Назвіть числа, які рівні між собою:
110 т 20 ц 2кг 6500см
32м 8см 2600г 2600м
65м 2кг 600г 3208см
2002кг 110000кг 2км 600м
3. Вставте найменування, щоб рівності були правильні:
7м – 6...= 6м 4дм 3 т 320кг – 5...= 3 т 31кг
7м – 6...= 6м 94см 3 т 320кг + 5...= 3 т 820кг
4. Запишіть у метрах: 10км 80м; 6км 55м; 257 дм;
у сантиметрах: 4м 36см; 8м 2см; 5 дм 8см;
у міліметрах: 3 дм 7см; 3см 7мм; 2м 6см;
у кілограмах: 3 т 80кг; 20000г; 9 ц 15кг;
у грамах: 7кг; 12кг 60г; 2 ц 4кг;
у центнерах: 3 т 6 ц; 3800кг; 320 т 400кг;
у копійках: 3 грн; 25 грн 9 к.; 140 грн 70 к.;
у секундах: 2 хв; 30 хв 12 с; 1 год 10 с;
у хвилинах: 4 год; 300 с; 8 год 24 хв;
у годинах: 3 доби; 180 хв; 10 діб 360 хв.
5. Порівняйте:
1м 7 дм і 17 дм 7 дм 4см і 4 дм 7см
3км 40м і 340м 4км 3м і 3003м
7 т 5 ц і 7 т 500кг 45 ц і 4 т
30км 100м і 31000м 8м 6 дм і 7м 95см
80 см2 і 8 дм2 8м2 і 8000см2
6. Зменшіть у 5 разів числа:
6 грн 50 к.; 2кг 250г; 7 т 105кг; 1080см; 9 год 15 хв; 24 год 5 хв.
План
Слово «точка» від латинського слова «punqo», що означає «доторкаюсь».
Слово «лінія» є перекладом від латинського слова «linea», що означає «льон», «льняна нитка», іноді це слово розуміють як «пряма лінія», і звідси походить слово «лінійка».
Точка – поняття, що не має означення. Уявлення про точку дає слід на аркуші паперу, зроблений добре загостреним олівцем, ручкою або крейдою на дошці.
•А •В Позначаються точки великими латинськими
буквами: А,В,С...
•С
Пряма - поняття, що не визначається. Уявлення про пряму дають такі речі: туго натягнута нитка; промінь світла, який проходить крізь вузький отвір.
Позначається маленькою латинською літерою або двома великими латинськими буквами.
а А • • В
Пряма нескінчена.
На малюнку точки і прямі наносяться добре загостреним олівцем. Для побудови прямих користуються лінійкою.
Властивості:
1.1. Через одну точку можна провести безліч прямих.
•
1.2. Через будь – які дві точки можна провести пряму і тільки одну.
А В а ۪ ۪
1.3. Яка б не була пряма, існують точки , що належать цій прямій і точки, що не належать їй.
А •
а В
•
В є а , А а.
1.4. З трьох точок на прямій одна і тільки одна лежить між двома іншими.
А • В • С •
1.5. Дві різні прямі або перетинаються в одній точці, або не перетинаються.
2. Відрізок
Означення. Відрізок – частина прямої, обмежена двома точками, включаючи ці точки.
Відрізок позначається точками, що є його кінцями.
Позначення відрізка двома буквами, які відповідають його кінцям, запровадили ще стародавні греки.
А• •В
.
Рівні відрізки — відрізки, які співпадають при накладанні.
М
А• • •В
Середина відрізка – точка, яка ділить відрізок навпіл.
М – середина відрізка АВ, АМ = МВ.
Властивості:
2.1. Кожний відрізок має певну довжину, більшу від нуля.
А • •В
а АВ = а, а > 0
2.2 Відстань між різними точками - довжина відріз ка з кінцями в даних точках.
2.3. Відстань між точками, що співпадають, дорів нює 0.
2.4. Довжина відрізка дорівнює сумі довжин частин, на які він розбивається будь-якою його точкою.
А ۪ ۪ ۪ С АС = АВ + ВС
В
2.5. Рівні відрізки мають рівні довжини. Якщо відрізки мають рівні довжини, то вони рівні.
2.6. Для будь-яких трьох точок відстань між дво ма з них не більша суми двох інших відста ней.
B
АС А• B • •C АС ≤ АВ + ВС
3. Кут
3.1. Півпряма А ۪_________________
Означення: Частина прямої а, яка складається з усіх її точок, називається півпрямою або променем.
3.2. Означеня кута
Кут — фігура, утворена двома променями, які виходять з однієї точки (вершини).
Кут позначають його вершиною або сторонами, або записують три точки: вершину і дві точки, що лежать на сторонах кута. Слово «кут» іноді замінюють знаком
ВАС = А = 1
Рівні кути — кути, які співпадають при накладанні. ВАN = CAN
Одиниці вимірювання кутів:
Градус — величина (градусна міра) кута, яка дорівнює частині розгорнутого кута.
Хвилина - частина градуса.
Секунда —частина хвилини.
1° = 60´, 1´ = 60´´, 1´ = 1°
Властивості вимірювання кутів:
2.Кожний кут має певну градусну міру, більшу від нуля
3.Градусна міра кута дорівнює сумі гра дусних мір кутів, на які він розбивається будь-яким променем, що проходить між його сторонами.
4. Від будь-якого променя в дану півплощину можна відкласти кут з даною градусною мірою, меншою за 180°, і тільки один.
1. Якщо два кути мають рівні градусні мі ри, то вони рівні. Рівні кути мають рівні градусні міри
Види кутів
Кут називається розгорнутим, якщо його градусна міра дорівнює 1800.
Кут називається гострим, якщо його градусна міра менше, ніж 900.
Кут називається прямим, якщо його градусна міра 900.
Кут називається тупим, якщо його градусна міра більше 900, але менше 1800.
Бісектриса – промінь, який виходить із вершини кута й ділить його навпіл.
AN – бісектриса ВАС, BAN = CAN
4. Трикутники
Означення: Трикутником називається фігура, що складається з трьох точок, що не лежать на одній прямій, і трьох відрізків, що сполучають ці точки попарно. Точки називаються вершинами, а відрізки – сторонами трикутника.
Вершини трикутника позначають великими латинськими літерами А, В, С, кути при відповідних вершинах грецькими літерами α, β, γ, а довжини протилежних сторін – маленькими латинськими літерами а, b, с.
Сума внутрішніх кутів трикутника – 180°. α+β+γ = 180°
Зовнішній кут трикутника (кут, суміжний до внутрішнього кута) завжди дорівнює сумі двох інших внутрішніх кутів трикутника.
Сума довжин двох будь-яких сторін трикутника завжди перевищує довжину третьої сторони. Це є нерівність трикутника або аксіома трикутника.
Трикутники можна класифікувати в залежності від відносної довжини його сторін:
|
Рівносторонній |
Рівнобедрений |
Різносторонній |
Також трикутники можна класифікувати відповідно до їх внутрішніх кутів:
|
Прямокутний |
Тупокутний |
Гострокутний |
5. Коло, круг
Коло — множина точок пло щини, відстань яких від даної точки (центра кола) дорівнює даній відстані (радіусу кола).
Радіус кола — відстань від центра кола до точки кола (відрізок, що з’єднує центр кола з точкою кола). ОD — радіус.
Хорда кола — відрізок, що з'єднує дві точки кола. AВ — хорда.
Діаметр кола — хорда, яка проходить через центр кола. CD - діаметр, CD = 2OD.
Круг — множина точок пло щини, відстань яких від да ної точки (центра круга) не перевищує даної відстані (ра діуса круга).
Радіус, хорда, діаметр кола, яке обмежує да ний круг, називають радіусом круга, хордою круга, діаметром круга.
6.Многокутники
Чотирикутник – це частина площини, обмежена замкненою ламаною, яка містить чотири ланки. Вона складається з чотирьох вершин (точок) і чотирьох сторін (відрізків), що послідовно їх сполучають. При цьому жодні три з даних точок не повинні лежати на одній прямій. Вершини називаються сусідніми, якщо вони є кінцями однієї з його сторін. Несусідні вершини називаються протилежними. Відрізки, що сполучають протилежні вершини чотирикутника, називаються діагоналями.
Сума кутів чотирикутника дорівнює 360°. A + В + С + D = 360°.
Кожна сторона чотирикутника менша за суму усіх його інших сторін.
АВ < АD + ВС + СВ.
Паралелограм - це чотирикутник, протилежні сторони якого попарно паралельні.
Існує декілька окремих видів паралелограмів:
Прямокутник – паралелограм, всі кути якого прямі;
Ромб – паралелограм, всі чотири сторони якого рівні;
Квадрат – рівносторонній прямокутник або прямокутний ромб.
Властивості паралелограма:
Властивості квадрата:
Властивості ромба:
7. Многогранники і тіла обертання
Означення. п-кутна призма – многогранник, дві грані якого п-кутники, що лежать у різних площинах і суміщаються паралельним перенесенням, а інші п граней – паралелограми.
n-кутники називають основами призми, а паралелограми – бічни ми гранями призми.
Сторони основ називають ребрами основ, інші ребра називають біч ними ребрами.
Висота призми – відстань між площинами її основ.
Діагональ призми – відрізок, який сполучає дві вершини, що не належать одній грані.
Означення. Паралелепіпед – призма, основа якої паралелограм. АВСDА1В1С1D1 – паралелепіпед.
Протилежні грані паралелепіпеда – грані паралелепіпеда, які не мають спільних вершин
Означення. n-кутна піраміда – многогранник, у якого одна грань – довільний n-кутник, а останні n граней – трикутники, що мають спільну вер шину, n-кутник називають основою, трикутники – бічними граня ми, а спільну вершину бічних граней – вершиною піраміди.
SA1A2A3A4– піраміда, A1A2A3A4 – основа; SA1A2, SA2A3, SA3A4, SA1A4 – бічні грані; S – вершина піраміди. Висота – перпендикуляр, опущений з вершини піраміди
на площину основи.
Означення. Циліндром називається тіло, що складається з двох кругів, які не лежать в одній площині і суміщаються паралельним перенесенням, і всіх відрізків, що сполучають відповідні точки цих кругів. Круги називаються основами циліндра, а відрізки, що сполучають точки кіл кругів, – твірними циліндра. Відстань між площинами основ називається висотою циліндра.
Означення. Конусом називається тіло, яке складається з круга – основи конуса, точки, яка не лежить у площині цього круга – вершини конуса і всіх відрізків, що сполучають вершину конуса з точками кола основи. Відрізки, що сполучають вершину конуса з точками кола основи, називаються твірними конуса.
Висота - перпендикуляр, опущений з вершини конуса на
площину основи.
Означення. Кулею називається тіло, що складається з усіх точок простору, які знаходяться від даної точки на відстані, не більшій за дану. Ця точка називається центром кулі, а дана відстань радіусом кулі.
Куля є тілом обертання. Вона утворюється під час обертання півкруга навколо його діаметра як осі.
Межа кулі називається кульовою поверхнею або сферою.
Джерела інформації
PAGE 92
EMBED CorelDRAW.Graphic.12
Висновок
Умова
Роз’яснювальна
(вихідна) частина
Квантори загальності та існування - EMBED Equation.3
Набір логіко-математичних операцій над об’єктами 1, 2, 3
Логічні операції
А
вАВВВВВ
Натуральні числа
Прості числа
1
Складені числа
Трикутники
Різносторонні
Рівнобедрені
Рівносторонні
Рівнобедрені,
нерівносторонні
2
4
8
6
3
4
8
6
5
А
В
Запоріжжя
Алчевськ
Донецьк
Вінниця
Ялта
Кіровоград
Київ
х
у
6
4
4
6
х
у
А
В
А
В
1
3
5
7
2
6
1
3
5
7
2
6
R
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
х
у
0
0
у
х
EMBED Equation.3
0
у
х
EMBED Equation.3
0
у
х
k > 0
0
у
х
k < 0
0
у
х
k > 0
0
у
х
k < 0
3
3
3
3
3
3
А
В
С