Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
МОСКОВСКИЙ ГОРОДСКОЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра: «Алгебры и геометрии
и методики их преподавания»
Дипломная работа по теме:
«Организация факультатива по геометрии
в 9 классе,
по проблеме V постулата Евклида»
Студента 5 курса 1 группы
Резникова А. Г.
Руководитель:
проф. Атанасян С. Л.
Москва 2003
СОДЕРЖАНИЕ:
ГЛАВА I
13 § 5. Доказательства эквивалентности некоторых предложений
пятому постулату Евклида 44
а) Аксиома Плейфера 44
б) Постулат Валлиса 45
в) Постулат Фаркаша Бояи 47
14. §6 Создание неевклидовой геометрии 49
ГЛАВА II
Методические особенности факультативного курса
« V постулат Евклида и попытки его доказательства»
ВВЕДЕНИЕ
Истоки геометрии, как и других наук, лежат в практической деятельности людей. Термин «геометрия» в переводе с греческого означает «землемерие». Некоторые правила измерения простейших фигур были известны в Древнем Египте и Вавилоне.
Геометрия, часть математики, наука, которая изучает пространственные отношения и формы тел. Первое построение геометрии, как системы теорем, последовательно выводится из немногочисленных определений, основных понятий и истин, принимаемых без доказательства, то есть аксиом, было дано в Древней Греции. Геометрические построения, приемы, позволяющие по точкам, прямым и окружностям на плоскости построить с помощью заданных средств другие элементы, связанные с данными некоторыми условиями. Традиционно в качестве инструментов построения используются циркуль и линейка, которые служат основными инструментами в чертежной практике.
В школе на уроках геометрии изучаются свойства фигур различной сложности: треугольники, трапеция, прямоугольники, призмы, сферы, пирамиды и так далее, которые должны быть точно охарактеризованы. Это делается в точно указываемых определениях. Выводы элементарной геометрии находят широкое применение при решении разнообразных практических задач. Знания геометрии необходимы всем, кому приходится исследовать свойства различных фигур и тел.
В школьной программе занятиям по темам: «Параллельность прямых» отводится определенное количество времени, которого явно не хватает для изучения и развития навыков решения задач у учащихся. В этой связи, предлагается в 9-ом классе провести факультативные занятия, в задачу которых входит расширение школьных знаний по геометрии, развитие интереса к этой науке и активное использование теоретических знаний к решению задач. Темой факультативных занятий являются разделы: «Сумма углов треугольника», «Параллельность прямых», «Аксиомы параллельности», которые охватывают практически весь геометрический материал 7-9 классов. Основой для проведения занятий является один из основных школьных учебников: учебник Атанасяна Л. С. «Геометрия, 7-9 класс».
Целью дипломной работы является разработка факультативного курса «V постулат Евклида и попытки его доказательства» для учащихся 9 классов, отвечающего общим критериям организации и проведения факультативных курсов.
Для ее достижения были поставлены следующие задачи исследования:
В ходе работы применялись различные методы исследования:
Изучение предполагаемых вопросов на факультативных занятиях по теме «V постулат Евклида и попытки его доказательства» способствует воспитанию устойчивого интереса к математике, дает представление о развитие геометрии. При изучении предполагаемого материала осуществляется повторение и углубление уже имеющихся знаний и овладение новыми.
Дипломная работа имеет следующую структуру:
Во введении обоснована актуальность исследования, даются его основные характеристики.
Первая глава представляет собой фактологическую часть - теоретический материал по теме. Рассматривается история возникновения проблемы V постулата Евклида, попытки его доказательств и взаимодействия с аксиомами параллельности основных фактов планиметрии. Также она содержит математические доказательства основных фактов изложенных в теоретической части, которые будут браться в качестве доказательств непосредственно на факультативных занятиях курса. В следствие чего, в методической разработке будут оформлены ссылки на I главу.
Во второй главе рассматриваются вопросы методики проведения факультативного курса, сформулирована цель проведения факультатива, предложено тематическое планирование факультативных занятий, имеются краткие содержания каждого занятия с указанием изучаемого материала, форм работы и возможных домашних заданий.
В заключение работы приведены основные выводы и результаты проведенного исследования.
§1
ПСИХОЛОГО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ ФАКУЛЬТАТИВА
Психология изучает процесс развития психических функций и личности на протяжении всей жизни человека. В психологии прослеживается процесс развития каждой психической функции и изменение межфункциональных связей на разных возрастных этапах.
Подростковый возраст связан с перестройкой организма ребенка. Границы этого периода варьируются, одни дети вступают в подростковый возраст раньше, другие - позже. В подростковом возрасте развивается теоретическое мышление. Подросток умеет строить гипотезы и проверять их, оперировать ими, решая интеллектуальные задачи. Он способен на системный поиск решений, сталкиваясь с новой задачей, он старается отыскать разные возможные подходы к ее решению, проверяя логическую эффективность каждого из них. Это умение развивается в процессе школьного обучения, при овладении знаковыми системами, принятыми в математике, физике и химии. Подростки экспериментировать, творить, создавать новое и оригинальное. Развиваются такие операции, как классификация, аналогия, обобщение и другие. Скачок в овладении этими умственными операциями наблюдается при переходе из VIII в IX класс.
Особенности теоретического мышления позволяют подросткам анализировать абстрактные идеи, искать ошибки и логические противоречия в суждениях. Приобретается взрослая логика мышления. В это же время происходит дальнейшая интеллектуализация психических функций, таких как восприятие и память. На уроках геометрии и черчения развивается восприятие: появляются умения видеть сечения объемных фигур, читать чертеж и так далее. Для развития памяти важно то, что усложнение и значительное увеличение объема изучаемого материала приводит к окончательному отказу от дословного заучивания с помощью повторений. В процессе понимания учащиеся трансформируют текст и, запоминая его, воспроизводят основной смысл прочитанного. С общим интеллектуальным развитием связано развитие воображения. Сближение воображения с теоретическим мышлением дает импульс к творчеству: подростки начинают писать стихи, занимаются разными видами конструирования и т.п.
Подростковый возраст - трудный период полового созревания и психологического взросления ребенка. В самосознании происходят значительные изменения: появляется чувство взрослости. Укрепляется интерес к учебным предметам, начинает развиваться умение грамотно аргументировать суждения, доказывать истинность или ложность отдельных положений.
Развивающееся мировоззрение подростка накладывает отпечаток на характер познавательной деятельности юношей и девушек – они начинают интересоваться вопросами истории развития науки, следят за новыми открытиями, применением результатов научного исследования в практике. Задача педагога воспитывать и поощрять у подростков желание познавать и объяснять окружающие явления, прилагать усилия для того, чтобы научные знания, которые приобретает школьник, становились бы его убеждениями, формировали бы его научное мировоззрение. Немаловажное значение в подростковом возрасте имеет развитие личности. Положение ее в коллективе, практический опыт общественной жизни, вступление в производственный коллектив, предъявляют школьникам высокие требования, под влиянием которых формируется его личность.
Возрастные особенности морального развития подростка характеризуются следующим: с одной стороны его поведение во многом носит импульсивный характер, диктуется непосредственными побуждениями. Но с другой стороны, приближенность к старшему школьному возрасту (возможность окончания школы и уход в профессиональное учебное заведение) накладывает свой отпечаток на школьника и на его поведение. В какой-то степени их поведение определяется и моральными представлениями и понятиями, их системой взглядов на жизнь. Прививаются зачатки формирования, способности выбора правильной линии поведения в различных ситуациях.
Анализ психолого-педагогической литературы, посвященной исследованию возрастных и индивидуальных особенностей развития подростков, показывает, что они определяются, прежде всего, возможным изменением социальной ситуации. Часть девятиклассников стоит на пороге вступления в новую жизнь пределами школы. Перед ними возникает необходимость самоопределения, выбора будущей профессии, будущего жизненного пути как задачи первостепенной важности. Характерно стремление не ошибиться в выборе профессии – это становиться психологическим центром развития такого школьника. Для него характерно стремление найти свое место в будущей самостоятельной жизни, стать полноценным членом общества. У школьников создается своеобразная внутренняя позиция, которая заключается в том, что школьники - это люди, обращенные в будущее, и все настоящее выступает для них в свете этой направленности их личности.
Еще одна особенность учебной деятельности девятиклассника проявляется в ее активизации и до известной степени самостоятельности. Подросток, вообще, хочет знать, что представляет собой то или иное явление, возникает желание разобраться в различных точках зрения. Вызывает интерес задания, в которых учитель предлагает выбрать ученику самому одну из точек зрения, аргументировав сделанный выбор.
Факультативный курс разработан для учащихся 9 классов, проявляющих интерес к математике. При отборе содержания учитывалось то, что занятия должны содержать в себе активную деятельность учащихся. Большое внимание уделяется фактам истории развития геометрии.
Если касаться педагогических аспектов организации факультатива, нельзя не сказать о следующем: проблема развития интересов и способностей учащихся привлекала большое внимание руководителей народного образования, исследователей и научных работников па протяжении существования средней школы. Поэтому в системе образования достаточно хорошо развернута сеть внешкольных учреждений, активно реализуются различные формы внеклассной работы. Используя их, значительная часть учащихся средних школ получает возможность дополнительно к знаниям и умениям, предусмотренным обязательным учебным планом уделять дополнительное внимание интересным для себя фактам.
Школа должна развивать разносторонние способности и интересы школьников, вырабатывать у них потребность к овладению научными знаниями и непрерывному их пополнению, стремление к самостоятельному творческому мышлению и к труду. В реализации этих задач, важную роль играют факультативные занятия по выбору учащихся.
Интересуясь тем или иным предметом, школьники выделяют, по их мнению, самое нужное для будущей профессии, и ставят цель глубоко изучить и познать именно эти вопросы, подчас неоправданно, исключая из своего поля зрения другие, не менее важные, считая их не существенными и не имеющими значения для познания существа, избранной области знания. Поэтому одной из важнейших задач учителя является: формирование у учащихся правильных представлений о задачах обучения, о той роли, которую играет тот или иной раздел обучения. Основываясь на интересе учащихся к отдельным разделам предмета, развить этот интерес до интереса ко всему предмету, ко всему процессу обучения.
Факультативы играют большую роль в ориентации школьников на профессии, связанные с изучаемыми ими по выбору учебными предметами. Факультативы психологически и практически содействуют выбору учащимися будущей профессии. От 30 до 90 % учащихся классов с углубленным изучением отдельных предметов выбирают после окончания школы дальнейшее обучение и работу по соответствующим специальностям. Введение факультативного предмета воздействует на развитие умственных способностей, содействует повышению успеваемости по другим предметам.
Воспитательное влияние факультативных предметов не ограничивается сферой умственных способностей и интересов. Предоставление возможности выбора само собой уже имеет большую воспитательную ценность. Тем более, что наша школьная жизнь, как правило, довольно точно регламентирована и дает учащимся мало возможностей в свободном выборе.
Воспитательная ценность факультативов особенно велика в связи с возможностью выбора учащимися направлений углубленной учебной работы. Они проявляются и в улучшение взаимоотношений учащихся в классном и школьном коллективах. Если мы исходим из того, что социальные контакты возникают на основе обмена интеллектуальными ценностями, то возникает вопрос: какой ценной информацией могут обмениваться учащиеся в процессе обучения, что они могут дать другим учащимся и что они хотят получить. Можно легко представить, что большую роль в этом процессе играет различная информированность и происходящий на основе этого обмен информацией, а также взаимная помощь, необходимость которой вытекает из различия умений и способностей.
В педагогических исследованиях, посвященных изучению факультативной формы обучения, среди особенностей факультативных занятий выделяется добровольность выбора учащимися факультативного курса. Факультативные занятия не являются обязательными. Ученик сам выбирает, какой факультатив он будет посещать, руководствуясь при этом своими устремлениями, интересами и це лями.
Данные психолого-педагогических исследований показывают, что при выборе факультативного курса, подавляющее число учащихся ставят на первое место по значимости мотив, связанный с наличием интереса к предмету, в данном случае любовью к математике, желанием узнать о ней больше.
Факультативный курс «Проблема V постулата Евклида» ориентирован на школьников, собирающихся продолжить обучение в старших классах школы, добровольно и самостоятельно выбравших углубленное изучение геометрии.
С учетом всех выше указанных возрастных особенностей подростков
14-15 лет, психологических и педагогических особенностей организации факультативов, тема «Проблема V постулата Евклида» адекватна для факультативных занятий, так как развивает мышление, воображение, логику и прививает практические навыки учащихся.
§2 УЧЕНИЕ О ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ЛИНИЯХ ДО ОТКРЫТИЯ НЕЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ
Обоснование геометрии в «Началах» Евклида
Вообще неевклидова геометрия, открытая Н. И. Лобачевским, могла возникнуть, исходя лишь из задачи обоснования геометрии. Эта задача в свою очередь в древности представляла лишь проявление в области геометрии общих воззрений, полу чивших отчетливое выражение в школе Платона. Согласно тенденциям Платона всякая научная дисциплина должна развиваться из небольшого числа исходных положений, составляющих ее основу. Не входя в критический анализ этих тенденций, можно сказать, что в области геометрии, в силу особенностей математических наук вообще и гео метрии в частности, уже в древности удалось подойти к осуществлению этих тенденций ближе, чем в других науках. Более того, по-видимому, и самые эти воззрения Платона сложились отчасти под влиянием попыток систе матического изложения геометрии, которые в эпоху Пла тона уже имели место: оформлявшиеся попытки построить систематическое изложение начал геометрии влияли на об щие воззрения философов, а тенденции философов, сло жившиеся и получившие определенное выражение в школе Платона, укрепляли позиции геометров, занимавшихся обо снованием геометрии. Из известных нам авторов до Платона составлением начал геометрии занимался Гиппократ Хиосский, живший во второй половине V в. до н. э.; в эпоху Платона этим занимались Лев и Евдокс; в самой Академии Платона было в ходу сочинение Тедия. Ни одно из сочи нений этих авторов по геометрии до нас не дошло; все они были забыты, когда появилось замечательное сочине ние, содержавшее изложение основ геометрии - «Начала» Евклида.
К сожалению, сведения, которыми мы располагаем отно сительно Евклида, очень скудны. Время расцвета его дея тельности относится к эпохе, когда лучшие представители греческой науки были сосредоточены в Александрии. По-видимому, в конце IV или в начале III в. до н. э. Евклид основал в Александрии математическую школу, для которой собственно и было составлено его руковод ство. Евклид писал, таким образом, в эпоху, когда взгляды Платона уже утвердились, когда Аристотель уже создал общую схему логического вывода («Органон»). Согласно этой схеме наглядные методы восточных народов должны были уступить в геометрии место формально-логическим умозаключениям. В изве стном диалоге Платона «Федон» один из участников диа лога, Симмиас, наиболее отражающий воззрения самого Платона, говорит: «Я знаю, что те, которые ведут дока зательство, исходя от очевидности, поступают тщетно»; это изречение систематически приводят позднейшие гре ческие геометры и философы. Стремление освободить изложение геометрии от всяких наглядных выводов соста вляло основную тенденцию геометров школы Платона, в том числе и Евклида.
Исходными положениями, на которых Евклид строит систему геометрии, служат определения, аксиомы и посту латы. Каждая книга начинается определением тех терминов, которые в ней появляются; первой книге предшествуют еще аксиомы и постулаты. Как число, так и точное выражение аксиом и постулатов различны в различных дошедших до нас списках «Начал», даже в основных; в некоторых списках те и другие соединены в одну группу аксиом.
Поэтому не так просто себе уяснить, какое раз личие греческие авторы, в частности Евклид, делали между аксиомами и постулатами. Пространные рассуждения Прокла не проливают на этот вопрос достаточно света. Наиболее установившееся воззрение заключается в том, что аксиомы представляют собой общие достояния ума, необходимые для ведения рассуждений во всякой науке (особенно в арифметике и естествознании); постулаты же представляют собой геометрические «требования», признав которые, приступающий к чтению «Начал» выну жден признать все последующие выводы. Однако нет уверенности, что именно такова была точка зрения Евклида.
Лучшие современные знатоки Евклида Гейберг и Менге, выпустившие в Германии полное собрание сочинений Евклида на греческом и латинском языках, и Гис, выпу стивший «Начала» на английском языке в трех томах с обстоятельными комментариями, сходятся на следующем списке аксиом и постулатов:
Постулаты:
I. Нужно потребовать, чтобы от каждой точки ко всякой другой точке можно было провести пря мую линию.
II. И чтобы каждую ограниченную прямую можно было продолжить неопределенно.
III. И чтобы из любого центра можно было описать окружность любым радиусом.
IV. И чтобы все прямые углы были равны.
V. И чтобы всякий раз, как прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними внутрен ние односторонние углы, сумма которых мень ше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых.
Аксиомы:
I. Равные порознь третьему, равны между собой.
II. И если к равным придадим равные, то получим равные.
III. И если от равных отнимем равные, то получим равные.
IV. И если к неравным прибавим равные, то полу чим неравные.
V. И если удвоим равные, то получим равные.
VI. И половины равных равны между собой.
VII. И совмещающиеся равны.
VIII. И целое больше части.
IX. И две прямые не могут заключать пространства.
В тех изданиях, которые объединяют постулаты и аксиомы, V постулат фигурирует в качестве XI (иногда в качестве XII, даже XIII) аксиомы; поэтому в литературе постулат о параллельных линиях часто фигурирует под названием XI аксиомы.
Не входя ни в общий разбор аксиом и постулатов, ни в подробное изложение содержания «Начал», ограни чимся только замечанием, что первая книга явно делится на две части. Первую часть составляют первые 28 предложений, которые содержат учение об углах и треугольниках, а также решение основных задач на по строение (свойства смежных и вертикальных углов, усло вия равенства треугольников, соотношения между сторо нами и углами одного и двух треугольников, теорема о внешнем угле треугольника, свойства перпендикуляра и наклонных, построения перпендикуляра по различным заданиям, деление отрезка и угла на две равные части). При этом нужно заметить, что так называемое предложе ние о внешнем угле треугольника (предложение 16 первой книги «Начал») устанавливает только, что внешний угол треугольника больше каждого из внутренних углов, с ним не смежных.
Особенность этой первой части книги заключается в том, что доказательства нигде не опираются на V постулат; Факты и предложения, в ней содержащиеся следуя Яношу Больаи, часто называют (может быть, не вполне удачно) абсолютной геометрией, понимая под этим ту часть геометрии, которая не зависит or постулата о параллельных линиях. В этом понимании слова, абсолютной геометрии принадлежат не только пер вые 28 предложений первой книги, но и ряд предложений третьей книги (учение об окружности—соотношения между величинами дуг и стягивающих их хорд, между величинами хорд и их расстояниями от центра, свой ства касательной к окружности), а также ряд стерео метрических предложений, содержащихся в одиннадцатой книге.
Постулат о параллельных линиях
Таким образом, V постулат Евклида (постулат о парал лельных линиях) существенно отличается от остальных. В то время как к остальным постулатам Евклид прибегает в первых же своих предложениях, V постулат получает первое применение лишь в двадцать девятом предложении; более того, он как бы делит геометрию на две существенно различные части: первая часть—так называемая абсолют ная геометрия—от V постулата не зависит, вторая часть— собственно евклидова геометрия—вся основана на этом постулате в том смысле, что ни oдно предложение этой части не поддается доказательству, не опирающемуся на этот постулат. Собственно евклидова геометрия содержит большую часть предложений геометрии—теорему о сумме углов треугольника, о пропорциональных линиях и о по добии фигур и, следовательно, всю метрику, основанную на учении о подобии и, в частности, всю тригонометрию. Другой стороны, самое содержание V постулата сложнее остальных: оно содержит уже более сложный комплекс понятий, необходимых для его усвоения.
Вследствие этого очень рано появились попытки исклю чить V постулат из числа предложений, принимаемых без доказательства, и логически вывести его из остальных постулатов и аксиом. Этим занимались главным образом комментаторы Евклида.
ПЯТЫЙ ПОСТУЛАТ ЕВКЛИДА
Чтобы характеристику «Начал» Евклида считать более полной, необходимо подробнее остановиться ещё на этом особенно важном вопросе, сыгравшем выдающуюся роль в истории развития идей, связанных с обосно ванием геометрии. Именно он и является основным вопросом изучения данной работы. Имеется в виду, то особое положение, которое занимает в системе постулатов Евклида 5-й постулат, или, по другим изданиям, 11-я аксиома Евклида.
Пятый постулат органически связан с теорией параллельных. Основываясь на теореме о том, что внешний угол тре угольника больше каждого из внутренних углов, с ним не смежных (предложение 16 книги I), Евклид в предложениях 27 и 28 книги I доказывает известную теорему:
Если при пересечении двух прямых, лежащих в одной плос кости, третьей прямой имеет место одно из соотношений:
а) соответственные углы. равны между собой,
б) внутренние накрест лежащие углы равны между собой,
в) внешние накрест лежащие углы равны между собой,
г) два внутренних односторонних угла в сумме составляют 2d,
д) два внешних односторонних угла в сумме составляют 2d, то данные две прямые параллельны.
Таким образом, каждое из указанных 5 соотношений является достаточным для параллельности данных двух прямых. Естественно возникает вопрос: будет ли справедлива обратная теорема: «если две данные прямые параллельны, то имеют место указанные 5 соотношений»? Иначе говоря, будет ли каждое из 5 соотношений не только достаточным, но и не обходимым условием параллельности дан ных прямых? Чертёж как будто подсказывает, что обратная теорема также будет справедлива. И вот оказывается, что доказа тельство этого обратного предложения наталкивается на непреодо лимые трудности. Несомненно, что такое доказательство усердно искали уже до Евклида, но усилия оставались безуспешными. В связи с этим Евклид вынужден был принять обратное предложе ние в качестве постулата, фактически же он в качестве постулата принял равносильное предложение, а именно пред ложение, противоположное изложенной выше прямой теореме. В самом деле, предложение, противоположное прямой теореме о параллельных в отношении свойства г) гласит: «Если при пересечении двух прямых, лежащих в одной пло скости, третьей прямой сумма внутренних односторонних углов не равна 2d, то данные две прямые пересекаются».
Мы получили перефразировку 5-го постулата Евклида.
Пятый постулат занимает в системе постулатов «Начал» особое положение в силу следующих соображений.
Прежде всего, обращает на себя внимание то обстоятельство, что утверждение о пересечении двух прямых, содержащееся в 5-м постулате, не имеет столь простого и очевидного характера, какой имеют прочие постулаты. Действительно, если упомянутые две прямые расположены близко друг к другу и сумма внутренних односторонних углов значительно отличается от 2d, то наше про странственное воображение легко соглашается с утверждением 5-го постулата о пересечении этих прямых. Но представим себе, что эти две прямые чрезвычайно удалены Друг от друга, а сумма внутренних углов меньше 2d на столь малый угол (скажем, на со тую долю секунды), что для нашего глаза он будет неощутим. Тогда очевидность этого постулата делается весьма сомнительной, ибо нашему пространственному представлению отчётливо доступна весьма ограниченная часть пространства, здесь же мы имеем дело с фактом, который предъявляет нашему воображению непосиль ное требование.
Во-вторых, формулировка 5-го постулата, в отличие от прочих постулатов Евклида, носит довольно сложный и громоздкий харак тер.
В силу этих причин с давних времён уже стремились заменить 5-и постулат каким-либо другим предложением, ему равносильным, но более очевидным и простым по формулировке. Таким именно предложением, которое вместо 5-го постулата кладётся в основу теории параллельных в современной школьной практике, является аксиома параллельных, введённая в 1795 г. англий ским учёным Джоном Плейфером:
Через точку, лежащую вне прямой, проходит только одна прямая, параллельная этой прямой.
Позже будет показано, что если принять в качестве основного предложения 5-й постулат Евклида, то аксиома параллельных Плейфера может быть доказана. Обратно, приняв без доказатель ства аксиому Плейфера в качестве основы, можно доказать как теорему 5-й постулат. Это значит, что оба предложения равносильны и могут заменить друг друга в ка честве предпосылок геометрии.
Отметим, наконец, третью особенность, характеризующую осо бое положение 5-го постулата в системе изложения Евклида. Она заключается в весьма своеобразном использовании Евклидом этого постулата. В то время как все остальные постулаты используются Евклидом с самого начала, при изложении первых же теорем, 5-й постулат применяется впервые лишь в доказательстве 29-го предложения (обратного прямой теореме о параллельных), и боль шинство следующих предложений доказывается или при его помо щи, или при помощи теорем, основанных на применении 5-го постулата. Таким образом, применение 5-го постулата в «Нача лах» Евклида резко разграничивает геометрические предложения на две категории: на предложения, доказываемые без помощи 5-го постулата и, следовательно, от него независящие, и на предложе ния, которые не могут быть доказаны без 5-го постулата. Как уже отмечалось, совокупность предложений первой категории называет ся абсолютной геометрией; предложения же второй категории образуют так называемую собственно ев клидову геометрию. В результате такого использова ния 5-го постулата Евклидом создаётся впечатление, что он стре мится сначала изложить по возможности всё то, что допускает доказательство без применения 5-го постулата, и отодвинуть это применение как можно дальше, и только тогда, когда уже без этого постулата нельзя никак обойтись, Евклид вводит его в действие.
Благодаря такому позднему применению 5-го постулата неко торые вопросы рассматриваются Евклидом дважды: без помощи 5-го постулата, а затем с использованием его. Например, в 16-м предложении I книги доказывается, что внешний угол треуголь ника больше внутреннего, с ним не смежного, а в 17-м, что сум ма двух внутренних углов треугольника меньше двух прямых уг лов. Эти предложения не зависят от 5-го постулата. Затем Евклид возвращается к этому вопросу и в 32-м предложении, уже на ос нове 5-го постулата, доказывает, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, с ним не смежных, и что сумма всех трёх внутренних углов треугольника равна 2d.
Изложенные особенности 5-го постулата имели большое значе ние для последующего развития геометрии. Исследователи, жившие после Евклида, и комментаторы «Начал» стали рассматривать 5-й постулат в силу его особенностей как предложение, которое не следует помещать среди постулатов, а необходимо доказать как теорему. Были убеждены в его доказуемости. Так, любопытно отметить, что комментатор «Начал» Прокл (410—485 гг. н. э.) выдви гал следующий довод в пользу доказуемости 5-го постулата: «Разве может быть постулатом обращение доказанной теоремы?»
Преклоняясь перед строгостью «Начал» и авторитетом Евкли да, стали видеть в 5-м постулате чуть ли не единственное «тёмное пятно» евклидовой системы, не замечая её действительных «пятен», т. е. недостатков. Поэтому усилия многих поколений математиков были направлены главным обра зом на то, чтобы устранить это «пятно», доказать 5-й постулат при помощи остальных постулатов и тем самым свести его в разряд теорем. Эти усилия продолжались в течение двух тысячелетий и в конце концов в XIX столетии привели к построению неевкли довых геометрий. Как мы далее увидим, это означало, что 5-й по стулат не зависит от остальных аксиом Евклида и не может быть доказан с их помощью. Поместив его в числе постулатов, Евклид был полностью прав.
Что касается действительных недостатков «Начал», то справед ливость требует ещё раз указать, что эти недостатки в великом творении Евклида в основном были замечены критической мыслью лишь в XIX веке, что критическая переработка оснований гео метрии является одной из самых глубоких и трудных математических проблем ма тематической мысли и одним из самых значительных её достиже ний. Поэтому, отмечая то, что, с современной нам точки зрения, недостаёт у Евклида, мы не можем поставить ему этого в вину, если учтём состояние науки в его время. Наоборот, мы должны при знать это произведение древности замечательным по своей проду манности, выдержанности и строгости для той эпохи.
§ 3. ПОПЫТКИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ПЯТОГО ПОСТУЛАТА ЕВКЛИДА
Изложенные выше особенности 5-го постулата Евклида, как уже говорилось, постоянно обращали на себя внимание математи ков последующих веков. Если при этом учесть, что вплоть до кон ца XIX в. царила та точка зрения, что безусловным и неотъемле мым признаком аксиом и постулатов является их непосредствен ная очевидность, то станут понятными упорное стремление и не прекращавшиеся в течение двух тысячелетий попытки доказать 5-й постулат, т. е. свести его в разряд теорем. Таким образом, наряду с тремя знаменитыми задачами древности (квадратуры круга, три секции угла, удвоения куба) возникла не менее знаменитая про блема доказательства 5-го постулата. Попытки доказать 5-й посту лат наталкивались на огромные трудности, причём эти трудности были особого порядка, ибо были связаны с нашими основными понятиями и пространственными представлениями, с основами са мой геометрической науки, они требовали особой проницатель ности и силы отвлечённой логической мысли, особенно глубокого проникновения в структуру геометрической системы. За разреше ние этой проблемы брались математики самых различных рангов, но все попытки оказались тщетными.
Известно, например, что великий французский математик Лагранж, занимаясь проблемой доказательства 5-го постулата, напи сал в конце своей жизни мемуар о параллельных линиях. Во время чтения этого мемуара в Академии наук он вдруг остановился и ска зал «Я должен ещё подумать об этом». Так, не закончив доклада, он собрал свои записи и больше никогда не упоминал об этом мемуаре.
«Трудно себе представить, сколько усилий было для этого затрачено. Люди ставили себе это задачей жизни, тратили на это многие годы, доходили до мистического агностицизма, а иногда даже до потери рассудка» (В. Ф. Каган, Лобачевский, изд. АН СССР, 1944, стр. 127). Насколько велик труд, затрачен ный на исследования, связанные с проблемой доказательства 5-го постулата, можно судить по тому, что известно около 250 серьёзных сочинений, посвящённых теории параллельности и не достигших поставленной цели).
Наиболее интересные попытки доказательства 5-го постулата заслуживают хотя бы краткого знакомства с ними.
Комметарии Прокла
Прежде всего следует упомянуть одного из древнегреческих комментаторов «Начал»—Прокла (410—485 гг. н. э.). В своих комментариях на I книгу «Начал» Евклида он не только сам пы тается доказать 5-й постулат, но и сообщает весьма ценные све дения о таких попытках, сделанных до него.
Так, Прокл сообщает, что живший в I в. до н. э. Посидоний предлагал называть параллельными две прямые, лежащие в од ной плоскости и равноотстоящие друг от друга. Между тем Евклид определял параллельные как две прямые, лежащие в одной плоскости, которые нигде не пересекаются.
На основе своего определения парал лельности Посидонию удаётся доказать 5-й постулат, но при этом он фактиче ски своим определением параллельных вводит новый постулат, заключающий ся в том, что геометрическое место точек, равноотстоя щих от данной прямой с
одной её стороны, есть прямая. Таким обра зом, успех Посидонием достигается заменой одного постулата другим. С другой стороны, если принять 5-й постулат Евкли да, то легко показать, что линия, все точки которой одинако во удалены от данной прямой, есть прямая и притом парал лельная данной. Следовательно, оба эти предложения равно сильны.
Сам Прокл даёт доказательство 5-го постулата, исходя из того предположения, принимаемого им за очевидное, что расстояние от точки, лежащей на одной стороне острого угла, до другой его стороны при удалении этой точки от вершины угла может быть сделано сколь угодно большим. Это предложение, кстати сказать, может быть доказано без помощи 5-го постулата и принадлежит абсолютной геометрии. На основании этого предположения Прокл доказывает, что если прямая - пересекает одну из параллельных прямых, то она пересечёт и другую.
При этом он рассуждает так: пусть АВ и СD—две параллель ные прямые и ЕG пересекает прямую АВ в точке F (рис. 3). Тогда на основании указанного выше предположения точка луча FG по мере её удаления от F будет безгранично удаляться от прямой АВ, но так как расстояние между параллель ными АВ и СD конечно, то ЕG обязательно пересечёт CD. Отсюда немедленно вытекает, что через точку F проходит только одна прямая АВ, параллельная СD (предложение Плейфера), что в свою очередь приводит к справедливости 5-го постулата. Но это достигнуто только потому, что Прокл пользуется предпосылкой, что расстояние между параллельными конечно. Однако это есть новый постулат, равносильный 5-му постулату, ибо, наоборот, из 5-го постулата следует, что параллельные равноотстоят друг от друга, а значит, расстояние между ними конечно.
Доказательство Нассир-Эддина
С падением античной культуры в Европе наступает эпоха мрач ного средневековья, приведшая почти к полному забвению блестя щих достижений древности. Частичным сохранением этих дости жений и возможностью их использования для дальнейшего разви тия европейской культуры мы обязаны народам Ближнего Востока: арабам, таджикам, азербайджанцам.
Роль учёных средневекового Ближнего Востока сводилась не только к комментированию произведений древних. Среди них были выдающиеся
Рис. 4. Рис. 5.
математики, внёсшие большой вклад в дальней шее развитие математической науки. Крупными геометрами были, например. Омар Хайям (1040—1123) и азербайджан ский учёный Нассир-Эддин Туси (1201—1274), занимавшиеся ком ментированием Евклида и давшие свои доказательства 5-го посту лата.
Эти доказательства являются довольно сложными и длинными, но они замечательны тем, что содержат идеи, предвосхитившие идеи позднейших выдающихся исследователей — Саккери и Лежандра.
Нассир-Эддин, например, исходит из следующего предполо жения: Если из двух прямых r и s (рис. 4) одна перпендикулярна, а другая наклонна к отрезку АВ, то отрезки перпендикуляров, опущенных из точек прямой s на r, будут меньше АВ с той стороны, где АВ образует с s острый угол, и больше АВ с той стороны, где АВ образует с s тупой угол.
Отсюда следует теорема: Если отрезки АВ и А'В', расположенные по одну сторону от ВВ', равны, между собой и перпендикулярны отрезку ВВ', то пря мая АА' перпендикулярна к АВ и отрезок АА' равен ВВ' (рис. 5).
Доказательство:
Допустим, что А не прямой; если предположить, что он острый, то на основании вышеуказанной предпосылки Нассир-Эддина имели бы А'В'<АВ, в предположении же, что А тупой, имели бы А'В'>АВ; то и другое проти воречит условию, что А'В'=АВ. Следовательно, А прямой. Аналогично по кажем, что -А' также прямой. Проведём теперь диагональ АВ'. Полученные треугольники АВВ' и АА'В' равны, как имеющие совпадающие гипотенузы и равные катеты АВ и А'В'. Отсюда АА'=ВВ' *).
Доказав, таким образом, существование прямоугольника, т. е. четырёх угольника с равными противоположными сторонами и четырьмя прямыми углами, Нассир-Эддин получает возможность доказать, что сумма углов треугольника равна 2d. Действительно, сумма углов прямоугольника равна 4d, следовательно, сумма углов прямоугольного треугольника равна 2d, а тогда и сумма углов всякого треугольника равна 2d, ибо его можно проведением одной из высот разложить на два прямоугольных треугольника.
Доказательство 5-го постулата Евклида проводится далее для частного случая, когда прямая пересекается перпендикуляром и наклонной.
Пусть АВ и СD—две прямые, пересекаемые прямой АС, причём СDАС, АВ—наклонная. (рис.6) Отложим на АВ отрезок АН и проведём НН'AС.
Рис. 6. Рис. 7.
Если Н' совпадает с С или упадёт по другую сторону С, то АВ и СD пере секутся (мы имеем здесь доказательство того, что при наличия-предпосылки Нассир-Эддина для четырёхугольника Саккери имеет место гипоте за прямого угла «Если прямая пересекает сторо ну треугольника, не проходя ни через одну из его вершин, то она пересекает одну из двух других сторон треугольника») Если же Н' лежит между А и С, то проведём АLАС, причём АL=НН'. Соединяя точки Н и L прямой, получим (на основании доказанной выше теоремы) прямоугольник, у которого НL=АН'. Отложим далее НК=АН и проведём КК'АС. Легко показать, что КК'>НН'. Отложим К'L=НН' и соединим прямой точки Н и L'. Опять по вышедоказанному получим прямо угольник К'L'НН'; и точки L', Н и L расположены на одной прямой. Отсюда следует, что АНL=HL'К. по гипотенузе и острому углу (L'НК=АНL, как вертикальные). Поэтому L'Н=НL, а значит, К'Н'=Н'А. Далее откла дываем отрезок КМ=НК и аналогично доказываем, что М'К'=К'Н' =Н'А. Продолжая этот процесс, мы (на основании постулата Архимеда) получим, на конец, столь большой отрезок АО', кратный отрезку АН', что точка О' ока жется вне отрезка АС по другую сторону точки С. Тогда перпендикуляр СD не может встретиться с O'O, ибо O'OАС. Следовательно, СD встретив гипо тенузу ОА прямоугольного треугольника АОО'.
Рассмотрим теперь общий случай (рис. 7). Пусть АВ и СD пересекаются прямой ЕF и DЕF+ВFЕ<2d. Пусть ЕFВ—острый угол. Проведём
EGА В.
Так как сумма углов треугольника равна 2й, то FЕG+GFЕ=d, следо вательно, DEG — острый, а значит, АB и СD пересекаются, как перпендикуляр и наклонная к ЕG.
Итак, Нассир-Эддин доказал 5-й постулат Евклида, пользуясь своим предположением. Последнее, однако, является равносиль ным 5-му постулату и может быть доказано, если 5-й постулат принять в качестве исходной предпосылки. Исследования Нас сир-Эддина, между прочим, отчётливо выдвинули вопрос о связи суммы углов треугольника с 5-м постулатом Евклида.
Доказательство Джона Валлиса
С пробуждением Европы к новому культурному развитию в период Возрождения наряду с усвоением сохранившихся сочи нений древности и изучением «Начал» Евклида начинается прогресс европейской математической науки, приведший в XVI—XVII вв. к созданию алгебраической символики, анали тической геометрии, дифференциального и интегрального исчис ления. Распространение и изучение «Начал» Евклида вновь при вели к возникновению многочисленных поисков доказательства 5-го постулата. Из этих попыток следует особенно указать на доказательство Джона Валлиса (1616—1703), профессора Окс фордского университета.
В своём доказательстве Валлис сознательно вводит постулат:
«Для каждого треугольника существует подобный ему треуголь ник при любом отношении подобия». Валлис, таким образом, заме няет 5-й постулат другим постулатом, в котором используется наглядное представление о форме фигуры, независимой от её раз меров, после чего ему действительно удаётся доказать 5-й по стулат. Но дело в том, что постулат Валлиса также является равносильным 5-му постулату и может быть доказан на основе последнего; это утверждение будет нами доказано ниже.
Доказательство Фаркаша Бояи
Наконец, отметим доказательство венгерского математика Фаркаша Бояи (1775—1856), отца знаменитого Яноша Бояи, одного из создателей неевклидовой геометрии. В одном из своих сочинений, опубликованном в 1833 г., уже после открытия не евклидовой геометрии, Фаркаш Бояи выдвигает постулат: «Три точки, не лежащие на одной прямой, всегда принадлежат неко торой окружности». На основе этого постулата он легко дока зывает 5-й постулат Евклида. Однако постулат Бояи также является следствием 5-го постулата и, следовательно, равноси лен ему.
Общая характеристика доказательств пятого постулата
Все рассмотренные выше попытки доказательства 5-го посту лата носят некоторые общие характерные черты.
Во-первых, авторы всех этих доказательств исходили из уве ренности о единственной возможности и абсолютной истинности 5-го постулата и не мыслили себе другой возможности; автори тет Евклида был для них незыблемым.
Во-вторых, все они считали, что предложения, принятые в качестве аксиом, обязательно должны быть непосредственно очевидными, и поэтому были убеждены в доказуемости 5-го постулата при помощи остальных постулатов. На этом пути их всегда подстерегала опасность впасть в ошибку «порочного» кру га. Они иногда сознательно, а большей частью незаметно для себя, вводили в рассуждение «очевидное» предположение, фак тически равносильное 5-му постулату, и считали, что достигли, наконец, желанного результата. Но затем при тщатель ном исследовании неизменно оказывалось, что найденное доказа тельство ошибочно, так как использованная в нём предпосылка сама является следствием 5-го постулата, и, следовательно, их усилия не достигли цели. В самом деле, в чём заключается правильная постановка проблемы доказательства 5-го постулата? Она состоит в том, чтобы доказать 5-й постулат, осно вываясь исключительно на остальных посту латах и аксиомах Евклида (лежащих в основе абсолютной геометрии) не вводя для этой цели новых специальных постулатов. Как раз против этого требования и грешат все рассмотренные выше попытки доказа тельства 5-го постулата.
Таким образом, мы приходим к третьей характерной черте всех доказательств 5-го постулата: все они отражают от сутствие правильной постановки самой проблемы доказательства 5-го постулата. Что же мешало этой правильной постановке? Дело в том, что она требовала знания полного списка аксиом, на которых покоится геометрия Евклида, между тем основным недостатком «Начал» как раз и является неполнота списка аксиом. Это обстоятельство и явилось препятствием на пути к правильному разрешению вопроса о доказуемости 5-го постулата. Мысль об этом существенном пробеле в основаниях геометрии никому не приходила в голову, и разработка полной системы аксиом геометрии явилась делом лишь конца XIX и начала XX в.
Однако, несмотря на безрезультатность и тщетность всех по пыток доказательства 5-го постулата, они всё же не были бес полезны. Наоборот, они сыграли весьма положительную роль в развитии геометрии, ибо в результате этих многовековых поис ков бы ли выяснены логические зависимости меж ду некоторыми важными геометрическими предложениями и, в частности, были открыты пред ложения эквивалентные 5-му постулату. Всё это подготовляло почву для правильного решения проблемы параллель ных и содействовало дальнейшему более глубокому анализу оснований геометрии.
Эквивалентность предложений
Итак, многие доказательства 5-го постулата Евклида страдают общим пороком, состоящим в том, что в рассуждение большей частью молчаливо и незаметно вводили допущение, эквивалентное этому постулату.
Уточним понятие эквивалентности аксиом. Пусть, некоторая дедуктивная теория основана на системе аксиом {A1, A2,…, An} и пусть М и N—две новые аксиомы, связанные между собой так, что если мы к данной основной системе аксиом добавим одну из аксиом М или N, то из системы аксиом {A1, A2,…, An, M} можно вывести N как теорему, а из системы аксиом {A1, A2,…, An, N} можно вывести М как теорему; тогда говорят, что предложения М и N эквивалентны, друг другу относительно основной системы аксиом {A1, A2,…, An}.
Рассмотрим теперь этот вопрос применительно к проблеме 5-го постулата. Откладывая пока точное определение полноты системы аксиом геометрии, скажем лишь, что полнота системы аксиом обеспечивает возможность доказать все теоремы геомет рии без обращения к опыту и очевидности, исключительно логи ческим путём. В качестве полной системы аксиом геометрии Евклида можно принять систему аксиом Гильберта.
И вот если мы в качестве основной системы аксиом возьмём систему аксиом Гильберта, выбросив из неё только аксиому параллельности, т. е. оставим лишь аксиомы абсолютной геометрии, то относительно этой системы будут равносильны друг другу и 5-му постулату Евклида, например, следующие предложения:
1. Через каждую точку, лежащую вне прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной (аксиома Плейфера).
2. Две параллельные при пересечении их третьей прямой образуют равные соответственные углы.
3. Сумма внутренних односторонних углов, образованных двумя параллельными при пересечении их третьей прямой, равна 2d (Птолемей).
4. Если какая-нибудь прямая пересекает одну из двух парал лельных, то она пересекает и другую (Прокл).
5. Расстояние между двумя параллельными конечно (Прокл).
6. Геометрическое место точек, расположенных по одну сто рону прямой на одном и том же расстоянии от неё, есть прямая (Посидоний).
7. Сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым (Нассир-Эддин, Саккери, Лежандр).
8. Существуют подобные треугольники (Валлис).
9. Через всякую точку, лежащую внутри угла, можно про вести прямую, пересекающую обе стороны угла (Лежандр).
10. Через три точки, не лежащие на одной прямой, всегда можно провести окружность (Ф. Бояи).
11. Если из двух прямых r и s одна перпендикулярна, а дру гая наклонна к секущей АВ, то отрезки перпендикуляров, опу щенных из точек s на r, меньше АВ с той стороны, с которой АВ образует с секущей s острый угол (Нассир-Эддин).
12. Существует треугольник с произвольно большой пло щадью.
13. Высоты треугольника всегда пересекаются.
14. Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
15. Сторона вписанного в круг правильного шестиугольника равна радиусу этого круга.
Любое из этих предложений можно положить в основу теории параллельных вместо 5-го постулата, тогда последний может быть доказан как теорема, а вместе с ним могут быть выведены все зависящие от него теоремы геометрии Евклида. Эквивалентность некоторых из этих предложений 5-му постулату будет доказана далее.
§ 4. ИССЛЕДОВАНИЯ САККЕРИ, ЛАМБЕРТА И ЛЕЖАНДРА
В XVIII столетии произошло существенное продвижение в постановке вопроса о методах доказательства 5-го постулата. Этот прогресс связан с именами трёх человек: итальянского учё ного иезуита Джироламо Саккери, немецкого учёного Иоганна Генриха Ламберта и французского учёного Андриана Мари Лежандра. Основная идея их исследований заключалась в попыт ках доказать 5-й постулат методом от противного. Эта идея ока залась столь плодотворной, что непосредственно подвела к окон чательному решению проблемы 5-го постулата в XIX столетии.
Исследования Саккери (1667—1733)
В своей книге «Евклид, очищенный от всяких пятен, или опыт, устанавливающий самые первые принципы универсальной геометрии», изданной в 1733 г., Саккери в качестве исходной фи гуры берёт четырёхугольник с двумя пря мыми углами и двумя равными боковыми сторонами, называемый ныне в честь авто ра четырёхугольником Саккери.
Рис. 8
Возьмём произвольный отрезок АВ (рис. 8) и по одну сторону от него проведём отрезки АD и ВС, равные меж ду собой и перпендикулярные к АВ. Соединив точки С и D прямой, получим четырёхугольник с двумя пря мыми углами A и В и равными боковыми сторонами. Саккери преж де всего ставит вопрос, что можно сказать относительно углов С и D, если основываться на всех аксиомах и постулатах Евкли да, за исключением 5-го постулата. Он доказывает, что независи мо от этого постулата можно утверждать, что С=D.
Приведём это доказательство Саккери, но уточним его, пользуясь так называемой аксиомой Паша. Последняя фор мулируется так: Если прямая пересекает сторону треугольника и не проходит ни через одну из его вершин, то она пересекает одну и только одну из двух других сторон треугольника.
Восставим в середине О отрезка АВ перпендикуляр OO'. Прямая OO' пересекает сторону АВ треугольника AВС и не про ходит через его вершины. Следовательно, по аксиоме Паша она пересечёт либо сторону ВС, либо сторону АС. Но OO' и ВС не пересекаются, как перпендикуляры к AВ. Значит, OO' пересе чёт сторону AС в некоторой точке Е. Опять видим, что прямая OO' пересекает сторону AС треугольника ACD и не проходит ни через одну из его вершин. Следовательно, OO' пересечёт по аксиоме Паша сторону ОС в некоторой точке О', так как сто рону АD, перпендикулярную к AВ, она пересечь не может. Соединим О' с A и В. Тогда AОО'=ВОО' по двум катетам, следовательно, AО'=ВО' и ОAО'=ОВО', а значит, DАО'=СВО', как углы, дополняющие первые до прямого угла. Рассматривая теперь ADO' и BCO', убеждаемся, что они равны по двум сторонам и углу, заключённому между ними, от куда следует, что С=D и, сверх того, что DO'=O'С, т. е. что О' есть сере дина стороны DС.
Рис. 9
Рассмотрим теперь четырёхугольник, у которого AD<ВС (рис. 9).Отложим BE=AD. Тогда на основании предыдущего АDЕ=ВЕD. Но ВЕD внешний к треугольнику DЕС, следова тельно, ВЕD>С, отсюда D>С.
Легко от противного доказать и обратные предложения.
Всё сказанное приводит к следующей лемме Саккери, кото рая относится к абсолютной геометрии.
Лемма. Если в четырёхугольнике с прямыми углами А и В стороны АD и ВС равны, то угол С равен углу D; если же стороны АD и ВС не равны, то из двух углов С и D тот больше, который прилежит к меньшей стороне, имеют место и обрат ные предложения.
Рассмотрим теперь первый случай, когда АD=ВС и, следо вательно, C=D. Что в таком случае можно утверждать о величине углов С и D? Исходная точка зрения Саккери такова: мы можем относительно углов С и D строить три предпо ложения: 1) либо оба они острые, 2) либо оба они прямые,
3) либо оба они тупые. Эти предложения будем называть соответ ственно гипотезами острого, прямого, тупого угла.
Что касается гипотезы прямого угла, то она, как доказал Саккери (см. также доказательство Нассир-Эддина), равносильна постулату Евклида. Следовательно, если удастся доказать, что гипотезы острого и тупого угла приводят к противоречию с Другими аксиомами и постулатами Евклида или ранее доказан ными теоремами, то тем самым будет доказана справедливость гипотезы прямого угла, а вместе с тем и 5-го постулата. Эту задачу и ставит себе Саккери, и если бы ему это удалось, то получилось бы безупречное доказательство от противного 5-го постулата Евклида.
Рассмотрим несколько простейших теорем, доказанных Саккери в предполо жении справедливости той или иной гипотезы.
Саккери желает, прежде всего доказать, что если одна из гипотез верна для какого-нибудь одного четырёхугольника Сак кери, то этаже гипотеза будет справедлива и для всех четырёхугольников того же типа. Для этого он доказывает пред ложение:
В случае справедливости гипотезы прямого угла АВ=СD, при гипотезе острого угла АВ<СD, при гипоте зе тупого угла АВ>СD, и обратно.
Рис. 10. Рис. 11.
Действительно, в случае гипотезы прямого угла С=D=d. Применяя лемму Саккери к основанию АD, имеем в предположении, что АВСD, также C=B=d, что противоречит условию.
В случае гипотезы острого угла имеем C=D<d.
Проведём OO'AB, где О середина АВ (рис. 10). Мы уже видели, что О' есть середина DС. Из равенства треугольников ОАD и ОВС (по двум катетам) следует OD=ОС. Отсюда имеем равенство треугольников ODO' и ОСО (по трём сторонам). Следовательно, OO'D=OO'С. т. е. OO'DС. Так как D<А=d, то по лемме Саккери применительно к основанию OO' имеем АO<DO', а значит, AВ<СD.
Аналогично, при условии, что С=D>d, покажем, что АВ>СD.
Методом от противного легко доказать обратное предложение: если АВВС, то имеет место соответственно гипотеза острого, прямого, тупого угла.
Пользуясь этим предложением, Саккери далее доказывает теорему, сфор мулированную выше, о том, что если одна из гипотез верна в одном случае, то она же верна и во всех других случаях.
После этого Саккери доказывает весьма важное предложение: Сумма уг лов треугольника меньше, равна или больше 2d в зависимости от того, имеет ли место гипотеза острого, прямого или тупого угла.
Приведём доказательство этой теоремы (рис. 11). Пусть АВСD—четырёх угольник Саккери с основанием АВ. В случае гипотезы прямого угла АВС= =АСD, ибо ВС=АD, АВ=СD. Следовательно, 2=3. Отсюда 1 + 2 + 4=1+3+4=2d.
В случае гипотезы острого угла АВ<СD, а потому 2<3, ибо АВС и ADС имеют две равные стороны (АС общая, АD=ВС). но третьи их стороны не равны. Но 1+3+4= 2d. следовательно, 1+2+4< 2d. В случае гипотезы тупого угла АВ>DС, а потому 2>3. Следовательно, 1+2+4>2d.
Таким образом, теорема доказана для всех прямоугольных тре угольников, после чего её легко распространить на произвольный треуголь ник, разлагая его высотой на два прямоугольных треугольника.
'Затем доказывается от противного обратная теорема: Если сумма углов треугольника равна, меньше или больше 2d, то имеет место соответственно гипотеза прямого, острого, тупого угла.
Таким образом, Саккери доказал эквивалентность предложе ния о сумме внутренних углов треугольника соответствую щей гипотезе об углах четырёхугольника Саккери.
Далее Саккери проводит рассуждения, которые, с одной стороны, приводят К доказательству 5-го постулата Евклида при условии справедливости гипотезы прямого угла, а с другой стороны, — к устранению гипотезы тупого угла.
Устранив гипотезу тупого угла, Саккери все дальнейшие свои усилия на правляет на устранение гипотезы острого угла. На этом пути он открывает много интересных теорем, связанных с допущением гипотезы острого угла и па радоксальных с точки зрения обычной геометрии. Так, Саккери доказывает, что в случае гипотезы острого угла су ществуют такие перпендикуляр и на клонная к одной и той же прямой, которые не пересекаются.
Рис. 12
Пусть АВС—треугольник, у которого С— пря мой угол (рис. 12). Построим прямую ВD так, чтобы АВD был равен углу ВАС. Так как мы допус тили справедливость гипотезы острого угла, то сум ма углов треугольника АВС меньше 2d, а потому в силу того, что угол С прямой, -САВ+СВА<d, вместе с чем DВА+АВС=DВС<d. Таким образом, АС является перпендикуляром, а ВD — наклонной к ВС, и всё же эти прямые не пересекаются, ибо, допустив противное, мы получим треугольник, для которого САВ являлся бы внешним и в то же время он равнялся бы внутреннему углу DВА, что невозможно.
Развивая дальнейшие следствия из гипотезы острого угла, Саккери, в частности, приходит к построению, которое положил в основу своей геометрической системы Лобачевский. Саккери показал, что в случае гипотезы острого угла в множестве прямых, проходящих через точку A (рис.13), лежащую вне прямой а, имеются две прямые p, q асимптотические к а, обе они раз деляют пучок A на две части, из которых одна состоит из прямых, пересекающих а, а другая—из пря мых, имеющих с а общий перпен дикуляр.
Рис. 13.
Саккери показал также, что в случае гипотезы острого угла перпендикуляр к стороне острого угла сначала пересекает вто рую сторону, а потом, по мере удаления от вершины (рис. 14), перестаёт её пересекать; при этом существует предельный пер вый не пересекающий перпендикуляр.
Саккери открыл тот факт, что в случае гипотезы острого угла геометрическое место точек, равноудалённых от данной прямой, есть кривая.
Будучи, однако, твердо убеждённым, что никакой другой геометрии, кроме геометрии Евклида, существовать не может, Саккери после весьма длинного исследова ния различных следствий гипотезы острого угла в конце концов приходит к ложному заключению, что гипотеза острого угла при ведена к противоречию и что она «противо речит природе прямой линии».
Значение Саккери в истории развития геометрии состоит в том, что он явился начинателем в проложении нового плодотворного пути в исследовании проблемы 5-го постулата.
Рис. 14.
Исследования Ламберта (1728—1777)
Ламберт — выдающийся самоучка, сын бедного ремесленника, по происхождению — швейцарец. С 1765 г. он был членом Бер линской Академии наук. Ламберт занимался астрономией, геоде зией и фотометрией. В области математики он прославил себя доказательством иррациональности числа и исследованиями постулата о параллельных.
Как по содержанию, так и по методу исследования вопроса о доказательстве 5-го постулата Евклида, Ламберт является не посредственным продолжателем Саккери. В своём сочинении «Теория параллельных линий», написанном в 1766 г. и изданном в 1786 г., Ламберт, так же как и Саккери, исходной фигурой берёт четырёхугольник, но не с двумя, а с тремя прямыми углами (такой четырёхугольник называется четырёхугольником Лам берта). Вопрос о величине четвёртого угла остаётся открытым, и Ламберт также допускает три гипотезы: гипотезу прямого, тупого и острого угла.
Установив эквивалентность гипотезы прямого угла 5-му постулату, Ламберт легко приводит к противоречию гипотезу тупого угла, после чего он сосредоточивает всё внимание на развитии следствий из гипотезы острого угла с целью обнару жить в них противоречие. В процессе исследований Ламберт приходит к результатам, которые были уже получены Саккери, в частности, он нашёл, что сумма углов треугольника меньше двух прямых углов. Но Ламберту удалось пойти дальше Саккери и открыть существенно новые следствия гипотезы острого угла. Он, например, установил, что площадь треугольника пропорциональна разности между 2d и суммой углов треугольника (так называемый дефект треугольни ка), а также открыл существование некоторой абсолютной единицы длины.
Ламберт оказался последовательнее Саккери и в отличие от последнего никогда не считал, что им доказан 5-й постулат, вполне отчётливо сознавая, что ему не удалось получить проти воречие из гипотезы острого угла, несмотря на парадоксальность полученных результатов.
Ламберт первый заметил, что если на поверхности шара при писать большим кругам роль прямых линий, то гипотеза тупого угла будет полностью реализована на сфере. Он делает правиль ное замечание, что сферическая геометрия не зависит от посту лата Евклида. Наталкиваемый этим фактом к заключению по аналогии, Ламберт после безуспешных попыток привести гипо тезу острого угла к противоречию, восклицает: «Я почти при нуждён прийти к заключению, что третья гипотеза находит себе применение на мнимой сфере. Должна же быть причина, вслед ствие которой она на плоскости далеко не поддаётся опроверже нию, как это легко может быть сделано со второй гипотезой».
Ламберт полностью осознал всю трудность проблемы доказа тельства 5-го постулата и всю тщетность сделанных до него в этом направления попыток. «Доказательства евклидова посту лата,—говорит он,—могут быть доведены столь далеко, что остаётся, по-видимому, ничтожная мелочь. Но при тщательном анализе оказывается, что в этой кажущейся мелочи и заключает ся вся суть вопроса; обыкновенно она содержит либо доказыва емое предложение, либо равносильный ему постулат».
Исследования Лежандра (1752— 1833)
В конце XVIII в. в Европе наблюдается оживлённый интерес к исследованиям по основаниям геометрии. Этот интерес в пер вую очередь был обусловлен тем, что идеологическая подготовка к Великой французской революции 1789 г. (деятельность фран цузских просветителей XVIII в.) и последовавшие за этой рево люцией коренные экономические и социальные изменения во Франции и других странах Европы вызвали острую борьбу и ломку в общественных взглядах по вопросам воспитания, обра зования и принципов постановки преподавания. «Если до этого времени,—говорит Клейн,—речь всегда шла главным образом лишь об образовании высших сословий, в частности о подготов ке к военной карьере, то теперь на первый план выступает новые социальные слои буржуазии, и перед преподаванием ста вятся новые цели, и в него вводятся новые методы». Если рань ше главная роль геометрии усматривалась в том, чтобы при её помощи развивать и укреплять формальную дисциплину ума, то теперь на первый план выступало требование, чтобы преподава ние геометрии давало учащимся фактические сведения о про странственных соотношениях и развивало пространственные представления, чтобы преподавание геометрии было ближе к за просам жизни, к требованиям технического прогресса и было более доступным для новых, более широких слоев населения.
Наступила реакция против многих особенностей «Начал» Евкли да как учебного руководства, критиковались их тяжеловесность, неудобочитаемость, громоздкость доказательств, отсутствие прак тических приложений, изгнание числа и движения, пренебреже ние к наглядности. Новые принципы преподавания геометрии получили своё наиболее удачное и яркое воплощение в знамени том сочинении крупного французского математика Лежандра «Начала геометрии», первое издание которых вышло в 1794 г. Лежандр был профессором Политехнической школы, членом Па рижской Академии наук. Им сделан крупный вклад во многие области математики, и во многих вопросах он был предшествен ником Гаусса.
По мысли Лежандра, сочинение «Начала геометрии» должно было заменить «Начала» Евклида в школьном преподавании. Эта книга в своё время оказала решающее влияние на преподавание геометрии не только во Франции, но и в других странах и после «Начал» Евклида приобрела наибольшее распространение из всех учебников элементарной геометрии. Лежандр в этом учеб нике уделяет много внимания изложению основ геометрии и осо бенно теории параллельности. Так же, как Саккери и Ламберт, Лежандр предпринимает попытку доказать 5-й постулат от против ного. В отличие от них он в качестве исходной основной фигуры берёт треугольник и рассматривает проблему параллельности с точки зрения вопроса о сумме углов треугольника.
Поставив себе целью доказать 5-й постулат без введения за меняющих его новых постулатов, Лежандр, прежде всего непо средственно показывает, что если принять без доказательства, что сумма углов треугольника равна 2d, то 5-й постулат может быть доказан, как теорема. Этим самым Лежандр непосредствен но устанавливает эквивалентность этих двух предложений.
Приведём это доказательство.
Теорема I. Если сумма углов треугольника равна 2d, то имеет место 5-й постулат Евклида.
Рис. 15.
Пусть прямая а является перпендикуляром, а прямая b — на клонной к прямой АВ, причём A= острый (рис. 15). Дока жем, что b непременно пересечёт а. Для этого на прямой а отложим п отрезков: ВВ1= АВ; В1B2=АВ1, В2В3= АВ2,, ... Вn-1 Вn=ABn-1, соединяя точки В1, В2, B3,…, Вn с точкой А.
Рассмотрим треугольники АВВ1,AВ1B2, АВ2 В3, ...,ABn-1Bn.
По условию сумма углов каждого из них равна 2d. Треугольник АВВ1 равнобедренный прямоугольный, и, так как по условию сумма его углов равна 2d, каждый из его острых углов равен . Но АВ1В есть внешний для AB1B2 следовательно, он равен сумме двух внутренних углов, с ним не смежных, на основании того же условия теоремы. В силу равнобедренности
АВ1B2 получим, что АВ2 В=. Рассуждая таким образом, мы получим, что АВnВ=. Но так как сумма углов тре угольника равна 2d, то будем иметь ВАВn=. Так как угол острый, то можно положить , где 0<<. Мы всегда можем добиться при достаточно большом п, чтобы было . Следовательно, при достаточно большом п будем иметь: BABn.
Таким образом, прямая b будет проходить внутри угла ВАВn и, следовательно, пересечёт противоположную сторону ВВn тре угольника BABn (можно доказать при помощи Аксиомы Паша). Теперь нетрудно доказать 5-й постулат в его общей формулировке.
Итак, эквивалентность 5-му постулату предложения о том, что сумма внутренних углов треугольника равна 2d, доказана. Отсюда заключаем, что если бы удалось доказать, не опираясь на 5-й постулат, что сумма углов треугольника равна 2d, то тем самым был бы доказан 5-й постулат. Поэтому Лежандр за даётся вопросом, что можно сказать о сумме углов треугольника независимо от 5-го постулата, и допускает три гипотезы: 1) сум ма углов треугольника больше 2d, 2) равна 2d, 3) меньше 2d. Для доказательства 5-го постулата необходимо привести к про тиворечию 1-ю и 3-ю гипотезы и этим их устранить. В этом на правлении и ведёт исследование Лежандр.
Прежде всего, Лежандр несколькими способами показывает, что 1-я гипотеза не может иметь места, т. е. доказывает следую щую теорему:
Теорема II. Сумма углов треугольника 2d. Будем доказывать теорему от противного
Пусть дан A1B1A2, углы которого равны ,, (рис. 16). Предположим, что ++>2d. Продолжим сторону A1A2 и от ложим на продолжении n отрезков, равных A1A2, так что A1A2= A2A3=…= AnAn+1.
На этих отрезках построим п треугольников, равных тре угольнику A1B1A2. Соединим их вершины B1, B2,…,Bn отрезками прямых, получим n-1 треугольников, которые равны между собой по двум сторонам и углу между ними '.
Рис. 16.
Следовательно, В1В2=В2В3-=…=Вn-1Bn.
Так как ++>2d и в то же время +′+=2d, то >′, а поскольку в A1B1A2 и B1A2B2 две стороны соответственно равны, но углы между ними не равны, то А1A2> В1В2.. Далее замечаем, что ломаная
A1B1A2 …BnAn+1>A1An+1=n∙A1A2, т. е.
A1B1+(n-1)B1B2+BnAn+1>n∙A1A2
Отсюда в силу равенства BnAn+1=B1A2:
n∙(A1A2-B1B2)<A1B1-B1B2+B1A2.
Так как по доказанному A1A2>В1В2, или A1A2-B1B2>0, то полученное неравенство противоречит аксиоме Архимеда, ибо n может быть взято сколь угодно большим, а потому это нера венство невозможно, а значит, ++2d.
§ 5. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ НЕКОТОРЫХ ПРЕДЛОЖЕНИЙ ПЯТОМУ ПОСТУЛАТУ ЕВКЛИДА
В конце третьего параграфа был указан ряд предложений, эквивалентных 5-му постулату.
В этом параграфе рассматриваются доказательства экви валентности 5-му постулату трёх важных предложений: 1) акси омы параллельности Плейфера, 2) постулата Валлиса и 3) посту лата Ф. Бояи.
а) Аксиома параллельности Плейфера
Как известно, аксиома параллельности, которая обычно кла дётся в основу учения о параллельных в школьном курсе гео метрии, формулируется следующим образом:
Через точку, лежащую вне данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.
Теорема 1. Аксиома параллельности Плейфера и 5-й постулат Евклида являются эквивалентными предложениями.
Доказательство:
Докажем, что из аксиомы параллельности Плейфера вытекает 5-й постулат Евклида.
Пусть прямые a и b (рис. 22) при пересечении прямой с образуют с правой стороны от с внутренние односторонние углы и , причём +<2d. Проведём через точку М пересечения прямых b и с ещё одну прямую е так, чтобы для прямых а и e сумма внутренних односторонних углов и ' равнялась 2d, +' =2d. Тогда '> и, следовательно, прямые b и е различ ны. На основании прямой теоремы о параллельности, изложен ной в 27-м и 26-м предложениях «Начал» Евклида, прямая е параллельна прямой а. Но так как имеет место аксиома параллельности Плейфера, то, кроме пря мой е, через точку М не проходит другой прямой, параллель ной а, следовательно, прямая а пересекается с прямой b.
Рис. 22. Рис. 23.
Пусть теперь имеет место 5-й постулат Евклида, докажем, что из него вытекает аксиома параллельности Плейфера. Пусть дана прямая а и не лежащая на ней точка М. Опустим из М перпендикуляр МР на прямую а (рис. 23) и проведём через М прямую b, перпендикулярную к МР. Тогда b параллельна а. Проведём через М какую-нибудь произвольную прямую с, отлич ную от b. Тогда с не перпендикулярна МР, а потому с какой-нибудь стороны от МР образует с ней острый угол . Таким образом, прямые а и с при пересечении прямою МР образуют с одной её стороны внутренние односторонний углы, сумма ко торых меньше 2d. Так как имеет место постулат Ев клида, то прямые a и с пересекаются, т. е. прямая с не па раллельна прямой а, значит, прямая b есть единственная прямая, про ходящая через точку М, параллельная прямой а, что и требовалось доказать.
б) Постулат Валлиса
Постулат Валлиса можно формулировать так: существуют два подобных и неравных треугольника.
Теорема 2. Постулат Валлиса и 5-й постулат Евклида являются эквивалентными предложениями.
Доказательство:
Пусть имеет место постулат Валлиса и существуют два треугольника: и , подобные, но неравные, так что , , но ,, (рис. 24). Выведем 5-й постулат Евклида.
Допустим, что АВ>А1В1. Отложим на АВ отрезок ВК=В1А1. Точка К упадёт между А и В. Проведём прямую KL так, чтобы . На основании прямой теоремы о параллельных KL || AС в силу равенства соответственных углов: и . Следовательно, KL не может пересечь AС, а потому пересечёт сторону ВС в некоторой точке L, лежащей между В и С' (по Аксиоме Паша). Полученный = в силу равенства сторон КВ и A1B1 и двух прилежащих к ним углов. Следовательно, . В выпуклом четырёхугольнике AKLC, как легко подсчитать, сумма углов равна 4d. Разобьём его диагональю KС на два треугольника: AKC и KCL.
Будем иметь
Рис. 24. Рис. 25.
Можно сделать следующие предположения:
1) Либо > 2d, тогда < 2d.
2) Либо < 2d, тогда > 2d.
3) Либо = 2d, тогда = 2d.
Но, как как говорилось ранее (II Лежандра), сумма углов треугольника не может быть больше 2d, и предположения 1) и 2) отпадают. Остаётся лишь одна возможность: = 2d, = 2d.
Отсюда по теореме I Лежандра вытекает справедливость 5-го постулата Евклида.
Пусть теперь имеет место 5-й постулат Евклида, выведем из него постулат Валлиса. Пусть дан и отрезок (рис. 25). Проведём прямые А1 К, и В1L так, что и . Так как имеет место 5-й постулат Евклида, то , а потому <2d,. Следовательно, <2d, т. е. мы имеем две прямые А1К. и В1L, пере сечённые прямой A1B1, причём сумма внутренних односторонних углов A1 и B1 меньше 2d. На основании 5-го постулата Евклида прямые А1К, и В1L пересекаются в некоторой точке С1. Полу ченный подобен данному, ибо и .
в) Постулат Ф. Бояи
Постулат Ф. Бояи формулируется так: Через всякие три точки, не лежащие на одной прямой, проходит окружность.
Теорема 3. Постулат Ф. Бояи и 5-й постулат Евклида яв ляются эквивалентными предложениями.
Доказательство:
Пусть имеет место постулат Ф. Бояи. Проведём к отрезку АВ перпендикуляр ВВ' и наклонную АА' (рис. 26), причём А – острый.
Рис. 26.
Возьмём на прямой АВ внутри или вне отрезка АВ про извольную точку М, а затем построим симметричную ей точку M' относительно АА' и симметричную к М точку М" относительно ВВ'. Так как ММ'АА', а прямая АВ не перпендикулярна к АА', то ММ' не совпадает с АВ, следовательно, точка М' не лежит на АВ. А так как точки М и М" лежат на АВ, то три точки М, М' и М" не лежат на одной пря мой, а потому в силу постулата Ф. Бояи через них проходит окруж ность, хордами которой являются ММ' и ММ". Прямые ВВ' и АА' являются перпендикулярами к хор дам ММ" и ММ', проходящими через их середины, а потому они пересе кутся в центре окружности О. Итак, перпендикуляр и наклонная пересе каются, а отсюда, как мы уже неод нократно отмечали, вытекает посту лат Евклида в общем виде.
Рис. 27.
Пусть теперь обратно имеет мес то постулат Евклида, покажем, что из него вытекает постулат Ф. Бояи. Пусть А, В и С —три точки, не лежащие на одной прямой (рис. 27). Соединив их отрез ками, получим . Для доказательства постулата Ф. Бояи нужно показать, что существует точка, равноудалённая от вер шин этого треугольника A, В и С.
Пусть АВ — наибольшая сторона треугольника, тогда В необходимо острый. Через середину Е стороны АВ проведём ЕE'АВ. Так как имеет место постулат Евклида, то перпендикуляр ЕЕ' и наклонная ВС обязательно пересекутся в некоторой точке Е', причём ВЕ'Е острый, ибо BЕЕ' пря моугольный с прямым углом Е. Проведём теперь через середи ну Р стороны ВС перпендикуляр РР'. В силу 5-го посту лата Евклида перпендикуляр РР' и наклонная Е'Е пересе кутся в некоторой точке D. Так как точка D лежит одновременно на перпендикулярах ЕЕ' и РР', проведённых через середины Е и F сторон АВ и ВС треугольника AВС, то она одинаково уда лена от точек A, В и С и является центром окружности, прохо дящей через эти три точки.
§ 6. СОЗДАНИЕ НЕЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ. Н. И. ЛОБАЧЕВСКИЙ
Создание неевклидовой геометрии
Безуспешные поиски доказательства 5-го постулата сыгра ли ту положительную роль, что помогли глубже проник нуть в структуру геометрии, уяснить взаимную связь её важ нейших предложений. Эти попытки подготовили почву для возникновения у передовых учёных предположения, что 5-й постулат недоказуем при помощи остальных аксиом геометрии Евклида.
Здесь повторилось замечательное явление, неоднократно на блюдавшееся в истории науки вообще и математики в частности, когда достаточно созревшие новые идеи возникали у нескольких учёных одновременно. Эго обстоятельство весьма красочно вы ражено в одном из писем Ф. Бояи к своему сыну Я. Бояи: «Как весной сразу всюду появляются фиалки, так и для научных открытий бывают эпохи, когда одни и те же мысли вспыхивают у учёных в разных местах». В течение первых же десятилетий XIX в. проблема 5-го постулата была решена несколькими ли цами почти одновременно и независимо друг от друга, но со вершенно не так, как предполагали это прежние учёные: была создана новая геометрия, независимая от 5-го постулата, осно ванная на замене его утверждением, эквивалентным гипотезе острого угла Саккери.
К открытию новой, так называемой «неевклидовой», геометрии пришли три человека: 1) профессор Казанского университета Николай Иванович Лобачевский (1792—1856), 2) великий немец кий математик Карл Фридрих Гаусс (1777—1855), 3) венгерский офицер Янош Бояи (1802—1860), сын Фаркаша Бояи, автора рассмотренного нами постулата. Однако вклад в создание новой геометрии, сделанной этими учёными, весьма не равноценен…
ГЛАВА II
МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ФАКУЛЬТАТИВНОГО КУРСА «V ПОСТУЛАТ ЕВКЛИДА И ПОПЫТКИ ЕГО ДОКАЗАТЕЛЬСТВА»
Программа факультативного курса
Пояснительная записка:
В настоящее время традиционный взгляд на содержание обучения математике, ее роль и место в общем, образовании пересматривается и уточняется. Наряду с подготовкой учащихся, которые в дальнейшем станут профессиональными пользователями математики, важнейшей задачей обучения становится обеспечение некоторого гарантированного уровня математической подготовки всех школьников, независимо от специальности, которую они изберут в дальнейшем.
Математика, давно став языком науки и техники, в настоящее время всё шире проникает в повседневную жизнь и обиходный язык, все более внедряется в традиционно далекие от нее области. Без конкретных математических знаний затруднено понимание принципов устройства и использование современной техники, усвоение научных знаний, восприятие и интерпретация разнообразной социальной, экономической, политической информации, малоэффективна повседневная практическая деятельность. Каждый человек должен уметь находиться справочниках и использовать нужные формулы, владеть практическими приемами геометрических измерений и построений, читать информацию, представленную, в виде таблиц, диаграмм, графиков, понимать вероятностный характер случайных событий.
В школе математика служит опорным предметом для изучения смежных дисциплин: нельзя недооценивать влияние математического образования и на предметы гуманитарного цикла. Важным для жизни в современном обществе является и тот эффект изучения математики, который связан с формированием математического стиля мышления. Объекты математических умозаключений и правила их конструирования вскрывают механизм логических построений, вырабатывают умения формулировать, обосновывать и доказывать суждения.
Факультативный курс «Проблема пятого постулата Евклида» предназначен для учащихся 9 классов, выбравших для себя те области деятельности, в которых математика играет роль аппарата. Сам факультативный курс характеризуется раскрытием содержательных аспектов аксиоматики Евклида, утверждений и методов, относящимся к геометрии и алгебре, выявлением их практической значимости. При изучении вопросов факультативного курса используются наглядные изображения, предусматривается применение видеофильмов. При доказательстве теорем указываются все факты, на основе которых происходят новые обоснования. Высокий уровень абстрактности изучаемого материала, логическая строгость систематического изложения соединяются с привлечением наглядности на всех этапах учебною процесса и постоянным обращением к опыту учащихся.
Цель факультативного курса
Главная цель курса - дать ученикам возможность расширить и углубить уже имеющиеся знания: овладеть совершенно новыми: на доступных и простых фактах дать возможность учащимся провести самостоятельную и исследовательскую работу, которая необходима для поддержания интереса к предмету и для повышения математической культуры.
1. формирование интереса к предмету в целом и к процессу обучения;
2. расширение кругозора и формирование научного мировоззрения
(исторических сведений в развитии учения о параллельных);
3. повышение уровня математической подготовки;
4. развитие творческих способностей;
5. обеспечение широкой профессиональной ориентации учащихся на
профессии естественно-математического и технического профиля.
Требования к математической подготовке учащихся
В результате изучения факультативного курса учащиеся должны знать:
Содержание факультативного курса
Подробные сведения из истории развития учения о параллельных. Аксиоматика абсолютной геометрии. Евклидова Аксиоматика. I и II теоремы Лежандра. Равносильные утверждения: Исследования Саккери, Ламберта, Лежандра. Лобачевский, и факты его геометрии.
ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ:
Занятие 1.
История попыток доказательства пятого постулата. Комментарии Прокла, Доказательство Нассир-Эддина, Джона Валлиса.
Занятие 2.
Факты абсолютной геометрии. Фаркаш Бояи
Занятие 3-4.
Общая характеристика доказательств пятого постулата. Факты равносильности. Исследования Саккери, Ламберта.
Занятие 5-7.
Теоремы Лежандра.
Равносильность теоремы о сумме углов треугольника и аксиомы параллельности.
Занятие 8.
Лобачевский. «Загадка пятого постулата» – видеофильм Марианны Таврог.
Занятие №1: «История попыток доказательства V постулата Евклида. Комментарии Прокла, доказательство Нассир-Эддина»
Изложенные выше особенности 5-го постулата Евклида, как уже говорилось, постоянно обращали на себя внимание математи ков последующих веков. Если при этом учесть, что вплоть до кон ца XIX в. царила та точка зрения, что безусловным и неотъемле мым признаком аксиом и постулатов является их непосредствен ная очевидность, то станут понятными упорное стремление и не прекращавшиеся в течение двух тысячелетий попытки доказать 5-й постулат, т. е. свести его в разряд теорем. Попытки доказать 5-й посту лат наталкивались на огромные трудности, ибо трудности эти были связаны с нашими основными понятиями и пространственными представлениями, с основами са мой геометрической науки, они требовали особой проницатель ности и силы отвлечённой логической мысли, особенно глубокого проникновения в структуру геометрической системы. За разреше ние этой проблемы брались математики самых различных рангов, но все попытки оказались тщетными.
Известно, например, что великий французский математик Лагранж, занимаясь проблемой доказательства 5-го постулата, напи сал в конце своей жизни мемуар о параллельных линиях. Во время чтения этого мемуара в Академии наук он вдруг остановился и ска зал «Я должен ещё подумать об этом». Так, не закончив доклада, он собрал свои записи и больше никогда не упоминал об этом мемуаре.
Предпринимались попытки дать свои комментарии по этому вопросу многими математиками того времени.
Комметарии Прокла
В своих комментариях на I книгу «Начал» Евклида он не только сам пы тается доказать 5-й постулат, но и сообщает весьма ценные све дения о таких попытках, сделанных до него.
Так, Прокл сообщает, что живший в I в. до н.э. Посидоний предлагал называть параллельными две прямые, лежащие в од ной плоскости и равноотстоящие друг от друга. Между тем Евклид определял параллельные как две прямые, лежащие в одной плоскости, которые нигде не пересекаются.
На основе своего определения парал лельности Посидонию удаётся доказать 5-й постулат, но при этом он фактиче ски своим определением параллельных вводит новый постулат, заключающий ся в том, что геометрическое место точек, равноотстоя щих от данной прямой с
одной её стороны, есть прямая. Таким обра зом, успех Посидонием достигается заменой одного постулата другим. С другой стороны, если принять 5-й постулат Евкли да, то легко показать, что линия, все точки которой одинако во удалены от данной прямой, есть прямая и притом парал лельная данной. Следовательно, оба эти предложения равно сильны.
Сам Прокл даёт доказательство 5-го постулата, исходя из того предположения, принимаемого им за очевидное, что расстояние от точки, лежащей на одной стороне острого угла, до другой его стороны при удалении этой точки от вершины угла может быть сделано сколь угодно большим. Это предложение, кстати сказать, может быть доказано без помощи 5-го постулата и принадлежит абсолютной геометрии. На основании этого предположения Прокл доказывает, что если прямая - пересекает одну из параллельных прямых, то она пересечёт и другую.
Однако это есть новый постулат, равносильный 5-му постулату, ибо, наоборот, из 5-го постулата следует, что параллельные равноотстоят друг от друга, а значит, расстояние между ними конечно.
Доказательство Нассир-Эддина
Постепенно приходит эпоха мрач ного средневековья, приведшая почти к полному забвению блестя щих достижений древности. Частичным сохранением этих дости жений и возможностью их использования для дальнейшего разви тия европейской культуры мы обязаны народам Ближнего Востока: арабам, таджикам, азербайджанцам.
Роль учёных средневекового Ближнего Востока сводилась не только к комментированию произведений древних. Среди них были выдающиеся
Рис. 4. Рис. 5.
математики, внёсшие большой вклад в дальней шее развитие математической науки. Крупными геометрами были, например. Омар Хайям (1040—1123) и азербайджан ский учёный Нассир-Эддин Туси (1201—1274), занимавшиеся ком ментированием Евклида и давшие свои доказательства 5-го посту лата.
Нассир-Эддин, например, исходит из следующего предполо жения: Если из двух прямых r и s (рис. 4) одна перпендикулярна, а другая наклонна к отрезку АВ, то отрезки перпендикуляров, опущенных из точек прямой s на r, будут меньше АВ с той стороны, где АВ образует с s остры и угол, и больше АВ с той стороны, где АВ образует с s тупой угол (аксиома Нассир-Эддина)
Отсюда следует теорема: Если отрезки АВ и А'В', расположенные по одну сторону от ВВ', равны, между собой и перпендикулярны отрезку ВВ', то пря мая АА' перпендикулярна к АВ и отрезок АА' равен ВВ' (рис. 5).
Доказательство предлагается продумать ученикам самостоятельно. В качестве домашнего задания. Для этого им предлагается в качестве аксиомы использовать аксиому Нассир-Эддина. После чего доказать теорему не составит у учеников труда.
Итак, Нассир-Эддин доказал 5-й постулат Евклида, пользуясь своей аксиомой. Последняя, однако, является равносиль ным предположением 5-му постулату и может быть доказано, если 5-й постулат принять в качестве исходной предпосылки.
Занятие проводиться в форме лекции, на которой ребята узнают новые факты.
Занятие 2: «Факты абсолютной геометрии»
В конце IV или в начале III в. до н. э. Евклид основал в Александрии математическую школу, для которой собственно и было составлено его руковод ство. Евклид писал, таким образом, в эпоху, когда взгляды Платона уже утвердились, когда Аристотель уже создал общую схему логического вывода («Органон»). Согласно этой схеме наглядные методы восточных народов должны были уступить в геометрии место формально-логическим умозаключениям. В изве стном диалоге Платона «Федон» один из участников диа лога, Симмиас, наиболее отражающий воззрения самого Платона, говорит: «Я знаю, что те, которые ведут дока зательство, исходя от очевидности, поступают тщетно»; это изречение систематически приводят позднейшие гре ческие геометры и философы. Стремление освободить изложение геометрии от всяких наглядных выводов соста вляло основную тенденцию геометров школы Платона, в том числе и Евклида.
Исходными положениями, на которых Евклид строит систему геометрии, служат определения, аксиомы и посту латы. Каждая книга начинается определением тех терминов, которые в ней появляются; первой книге предшествуют еще аксиомы и постулаты. Как число, так и точное выражение аксиом и постулатов различны в различных дошедших до нас списках «Начал», даже в основных; в некоторых списках те и другие соединены в одну группу аксиом.
Поэтому не так просто себе уяснить, какое раз личие греческие авторы, в частности Евклид, делали между аксиомами и постулатами. Пространные рассуждения Прокла не проливают на этот вопрос достаточно света. Наиболее установившееся воззрение заключается в том, что аксиомы представляют собой общие достояния ума, необходимые для ведения рассуждений во всякой науке; постулаты же представляют собой геометрические «требования», признав которые, приступающий к чтению «Начал» выну жден признать все последующие выводы. Однако нет уверенности, что именно такова была точка зрения Евклида.
Современные знатоки Евклида Гейберг и Менге, выпустившие в Германии полное собрание сочинений Евклида на греческом и латинском языках, и Гис, выпу стивший «Начала» на английском языке в трех томах с обстоятельными комментариями, сходятся на следующем списке аксиом и постулатов:
Постулаты:
I. Нужно потребовать, чтобы от каждой точки ко всякой другой точке можно было провести пря мую линию.
II. И чтобы каждую ограниченную прямую можно было продолжить неопределенно.
III. И чтобы из любого центра можно было описать окружность любым радиусом.
IV. И чтобы все прямые углы были равны.
V. И чтобы всякий раз, как прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними внутрен ние односторонние углы, сумма которых мень ше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых.
Аксиомы:
I. Равные порознь третьему, равны между собой.
II. И если к равным придадим равные, то получим равные.
III. И если от равных отнимем равные, то получим равные.
IV. И если к неравным прибавим равные, то полу чим неравные.
V. И если удвоим равные, то получим равные.
VI. И половины равных равны между собой.
VII. И совмещающиеся равны.
VIII. И целое больше части.
IX. И две прямые не могут заключать пространства.
В тех изданиях, которые объединяют постулаты и аксиомы, V постулат фигурирует в качестве XI (иногда в качестве XII, даже XIII) аксиомы; поэтому в литературе постулат о параллельных линиях часто фигурирует под названием XI аксиомы.
Не входя ни в общий разбор аксиом и постулатов, ни в подробное изложение содержания «Начал», ограни чимся только замечанием, что первая книга явно делится на две части. Первую часть составляют первые 28 предложений, которые содержат учение об углах и треугольниках, а также решение основных задач на по строение (свойства смежных и вертикальных углов, усло вия равенства треугольников, соотношения между сторо нами и углами одного и двух треугольников, теорема о внешнем угле треугольника, свойства перпендикуляра и наклонных, построения перпендикуляра по различным заданиям, деление отрезка и угла на две равные части). При этом нужно заметить, что так называемое предложе ние о внешнем угле треугольника (предложение 16 первой книги «Начал») устанавливает только, что внешний угол треугольника больше каждого из внутренних углов, с ним не смежных.
Особенность этой первой части книги заключается в том, что доказательства нигде не опираются на V постулат; Факты и предложения, в ней содержащиеся следуя Яношу Больаи, часто называют (может быть, не вполне удачно) абсолютной геометрией, понимая под этим ту часть геометрии, которая не зависит or постулата о параллельных линиях. В этом понимании слова, абсолютной геометрии принадлежат не только пер вые 28 предложений первой книги, но и ряд предложений третьей книги (учение об окружности—соотношения между величинами дуг и стягивающих их хорд, между величинами хорд и их расстояниями от центра, свой ства касательной к окружности), а также ряд стерео метрических предложений, содержащихся в одиннадцатой книге.
На занятии ученики сравнивают данную аксиоматику с аксиоматикой даваемой в школьном учебнике геометрии. Рассматриваются предложения школьного учебника, которые относятся к абсолютной геометрии, то есть доказываются без использования аксиом параллельности. Дается Теорема о внешнем угле треугольника, которая доказывается на занятии.
Домашним заданием ученикам будет дано следующее: взять школьный учебник геометрии 7-9 Атанасяна Л.С. и изучить следующие факты, которые доказываются без 5 постулата и факты, которые используют его в своем доказательстве. Ребята выясняют, что не используется постулат в доказательстве следующих фактов:
Ими самостоятельно проводится доказательство, того факта, что: существует прямая, проведенная через данную точку и не пересекающая данную прямую. (доказательство использует симметрию) Если у них возникают с этим трудности, то они могут познакомиться с доказательством, приведенном в учебнике Киселева.
Занятие 3-4:«Общая характеристика доказательств пятого постулата.
Исследования Саккери и Ламберта»
Самостоятельно двум парам ребят предлагается найти и подготовить материал, связанный с исследования Саккери и Ламберта. Одна пара готовит материал про Саккери, другая пара про Ламберта. Все необходимые книги учителем выдаются ученикам на дом, для самостоятельной работы. Учителем на данном занятии рассказывается об эквивалентности предложений. Свои подготовленные выступления ученические пары делают на 4 занятии.
Все попытки доказательства 5-го посту лата носят некоторые общие характерные черты.
Авторы всех этих доказательств исходили из уве ренности о единственной возможности и абсолютной истинности 5-го постулата и не мыслили себе другой возможности; автори тет Евклида был для них незыблемым.
Во-вторых, все они считали, что предложения, принятые в качестве аксиом, обязательно должны быть непосредственно очевидными, и поэтому были убеждены в доказуемости 5-го постулата при помощи остальных постулатов. На этом пути их всегда подстерегала опасность впасть в ошибку «порочного» кру га. Они иногда сознательно, а большей частью незаметно для себя, вводили в рассуждение «очевидное» предположение, фак тически равносильное 5-му постулату, и считали, что достигли, наконец, желанного результата. Но затем при тщатель ном исследовании неизменно оказывалось, что найденное доказа тельство ошибочно, так как использованная в нём предпосылка сама является следствием 5-го постулата, и, следовательно, их усилия не достигли цели. В самом деле, в чём заключается правильная постановка проблемы доказательства 5-го постулата? Она состоит в том, чтобы доказать 5-й постулат, осно вываясь исключительно на остальных посту латах и аксиомах Евклида (лежащих в основе абсолютной геометрии) не вводя для этой цели новых специальных постулатов. Как раз против этого требования и грешат все рассмотренные выше попытки доказа тельства 5-го постулата.
Таким образом, мы приходим к третьей характерной черте всех доказательств 5-го постулата: все они отражают от сутствие правильной постановки самой проблемы доказательства 5-го постулата. Что же мешало этой правильной постановке? Дело в том, что она требовала знания полного списка аксиом, на которых покоится геометрия Евклида, между тем основным недостатком «Начал» как раз и является неполнота списка аксиом. Это обстоятельство и явилось препятствием на пути к правильному разрешению вопроса о доказуемости 5-го постулата. Мысль об этом существенном пробеле в основаниях геометрии никому не приходила в голову, и разработка полной системы аксиом геометрии явилась делом лишь конца XIX и начала XX в.
Однако, несмотря на безрезультатность и тщетность всех по пыток доказательства 5-го постулата, они всё же не были бес полезны. Наоборот, они сыграли весьма, положительную роль в развитии геометрии, ибо в результате этих многовековых поис ков были выяснены логические зависимости меж ду некоторыми важными геометрическими предложениями и, в частности, были открыты пред ложения эквивалентные 5-му постулату.
Эквивалентность предложений
Итак, многие доказательства 5-го постулата Евклида страдают общим пороком, состоящим в том, что в рассуждение большей частью молчаливо и незаметно вводили допущение, эквивалентное этому постулату.
Уточним понятие эквивалентности аксиом. Пусть, некоторая дедуктивная теория основана на системе аксиом {A1, A2,…, An} и пусть М и N—две новые аксиомы, связанные между собой так, что если мы к данной основной системе аксиом добавим одну из аксиом М или N, то из системы аксиом {A1, A2,…, An, M} можно вывести N как теорему, а из системы аксиом {A1, A2,…, An, N} можно вывести М как теорему; тогда говорят, что предложения М и N эквивалентны, друг другу относительно основной системы аксиом {A1, A2,…, An}.
Рассмотрим теперь этот вопрос применительно к проблеме 5-го постулата. Откладывая пока точное определение полноты системы аксиом геометрии, скажем лишь, что полнота системы аксиом обеспечивает возможность доказать все теоремы геомет рии без обращения к опыту и очевидности, исключительно логи ческим путём. В качестве полной системы аксиом геометрии Евклида можно принять систему аксиом Гильберта.
И вот если мы в качестве основной системы аксиом возьмём систему аксиом Гильберта, выбросив из неё только аксиому параллельности, т. е. оставим лишь аксиомы абсолютной геометрии, то относительно этой системы будут равносильны друг другу и 5-му постулату Евклида, например, следующие предложения:
1. Через каждую точку, лежащую вне прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной (аксиома Плейфера).
2. Две параллельные при пересечении их третьей прямой образуют равные соответственные углы.
3. Сумма внутренних односторонних углов, образованных двумя параллельными при пересечении их третьей прямой, равна 2d (Птолемей).
4. Если какая-нибудь прямая пересекает одну из двух парал лельных, то она пересекает и другую (Прокл).
5. Расстояние между двумя параллельными конечно (Прокл).
6. Геометрическое место точек, расположенных по одну сто рону прямой на одном и том же расстоянии от неё, есть прямая (Посидоний).
7. Сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым (Нассир-Эддин, Саккери, Лежандр).
8. Существуют подобные треугольники (Валлис).
9. Через всякую точку, лежащую внутри угла, можно про вести прямую, пересекающую обе стороны угла (Лежандр).
10. Через три точки, не лежащие на одной прямой, всегда можно провести окружность (Ф. Бояи).
11. Если из двух прямых r и s одна перпендикулярна, а дру гая наклонна к секущей АВ, то отрезки перпендикуляров, опу щенных из точек s на r, меньше АВ с той стороны, с которой АВ образует с секущей s острый угол (Нассир-Эддин).
12. Существует треугольник с произвольно большой пло щадью.
13. Высоты треугольника всегда пересекаются.
14. Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
15. Сторона вписанного в круг правильного шестиугольника равна радиусу этого круга.
Любое из этих предложений можно положить в основу теории параллельных вместо 5-го постулата, тогда последний может быть доказан как теорема, а вместе с ним могут быть выведены все зависящие от него теоремы геометрии Евклида. Эквивалентность некоторых из этих предложений 5-му постулату будет доказана далее.
В XVIII столетии произошло существенное продвижение в постановке вопроса о методах доказательства 5-го постулата. Этот прогресс связан с именами трёх человек: итальянского учё ного иезуита Джироламо Саккери, немецкого учёного Иоганна Генриха Ламберта и французского учёного Андриана Мари Лежандра. Основная идея их исследований заключалась в попыт ках доказать 5-й постулат методом от противного. Эта идея ока залась столь плодотворной, что непосредственно подвела к окон чательному решению проблемы 5-го постулата в XIX столетии.
Исследования Саккери (1667—1733)
В своей книге «Евклид, очищенный от всяких пятен, или опыт, устанавливающий самые первые принципы универсальной геометрии», изданной в 1733 г., Саккери в качестве исходной фи гуры берёт четырёхугольник с двумя пря мыми углами и двумя равными боковыми сторонами, называемый ныне в честь авто ра четырёхугольником Саккери.
Рис. 8
Возьмём произвольный отрезок АВ (рис. 8) и по одну сторону от него проведём отрезки АD и ВС, равные меж ду собой и перпендикулярные к АВ. Соединив точки С и D прямой, получим четырёхугольник с двумя пря мыми углами A и В и равными боковыми сторонами. Саккери преж де всего ставит вопрос, что можно сказать относительно углов С и D, если основываться на всех аксиомах и постулатах Евкли да, за исключением 5-го постулата. Он доказывает, что независи мо от этого постулата можно утверждать, что С=D.
Проведение этого доказательства дается ребятам для самостоятельного выполнения, но уточняется, что необходимо воспользоваться аксиомой Паша. Последняя фор мулируется так: Если прямая пересекает сторону треугольника и не проходит ни через одну из его вершин, то она пересекает одну и только одну из двух других сторон треугольника.
Исследования Ламберта (1728—1777)
Ламберт — выдающийся самоучка, сын бедного ремесленника, по происхождению — швейцарец. С 1765 г. он был членом Бер линской Академии наук. Ламберт занимался астрономией, геоде зией и фотометрией. В области математики он прославил себя доказательством иррациональности числа и исследованиями постулата о параллельных.
Как по содержанию, так и по методу исследования вопроса о доказательстве 5-го постулата Евклида, Ламберт является не посредственным продолжателем Саккери. В своём сочинении «Теория параллельных линий», написанном в 1766 г. и изданном в 1786 г., Ламберт, так же как и Саккери, исходной фигурой берёт четырёхугольник, но не с двумя, а с тремя прямыми углами (такой четырёхугольник называется четырёхугольником Лам берта). Вопрос о величине четвёртого угла остаётся открытым, и Ламберт также допускает три гипотезы: гипотезу прямого, тупого и острого угла.
Установив эквивалентность гипотезы прямого угла 5-му постулату, Ламберт легко приводит к противоречию гипотезу тупого угла, после чего он сосредоточивает всё внимание на развитии следствий из гипотезы острого угла с целью обнару жить в них противоречие. В процессе исследований Ламберт приходит к результатам, которые были уже получены Саккери, в частности, он нашёл, что сумма углов треугольника меньше двух прямых углов. Но Ламберту удалось пойти дальше Саккери и открыть существенно новые следствия гипотезы острого угла. Он, например, установил, что площадь треугольника пропорциональна разности между 2d и суммой углов треугольника (так называемый дефект треугольни ка), а также открыл существование некоторой абсолютной единицы длины.
Ламберт оказался последовательнее Саккери и в отличие от последнего никогда не считал, что им доказан 5-й постулат, вполне отчётливо сознавая, что ему не удалось получить проти воречие из гипотезы острого угла, несмотря на парадоксальность полученных результатов.
Ламберт первый заметил, что если на поверхности шара при писать большим кругам роль прямых линий, то гипотеза тупого угла будет полностью реализована на сфере. Он делает правиль ное замечание, что сферическая геометрия не зависит от посту лата Евклида. Наталкиваемый этим фактом к заключению по аналогии, Ламберт после безуспешных попыток привести гипо тезу острого угла к противоречию, восклицает: «Я почти при нуждён прийти к заключению, что третья гипотеза находит себе применение на мнимой сфере. Должна же быть причина, вслед ствие которой она на плоскости далеко не поддаётся опроверже нию, как это легко может быть сделано со второй гипотезой».
Ламберт полностью осознал всю трудность проблемы доказа тельства 5-го постулата и всю тщетность сделанных до него в этом направления попыток. «Доказательства евклидова посту лата,—говорит он,—могут быть доведены столь далеко, что остаётся, по-видимому, ничтожная мелочь. Но при тщательном анализе оказывается, что в этой кажущейся мелочи и заключает ся вся суть вопроса; обыкновенно она содержит либо доказыва емое предложение, либо равносильный ему постулат».
Занятие 5-7: «Теоремы Лежандра»
Исследования Лежандра (1752— 1833)
В конце XVIIIв. в Европе наблюдается оживлённый интерес к исследованиям по основаниям геометрии. Этот интерес в пер вую очередь был обусловлен тем, что идеологическая подготовка к Великой французской революции 1789 г. Если рань ше главная роль геометрии усматривалась в том, чтобы при её помощи развивать и укреплять формальную дисциплину ума, то теперь на первый план выступало требование, чтобы преподава ние геометрии давало учащимся фактические сведения о про странственных соотношениях и развивало пространственные представления, чтобы преподавание геометрии было ближе к за просам жизни, к требованиям технического прогресса и было более доступным для новых, более широких слоев населения.
Наступила реакция против многих особенностей «Начал» Евкли да как учебного руководства, критиковались их тяжеловесность, неудобочитаемость, громоздкость доказательств, отсутствие прак тических приложений, изгнание числа и движения, пренебреже ние к наглядности.
По мысли Лежандра, сочинение «Начала геометрии» должно было заменить «Начала» Евклида в школьном преподавании. Эта книга в своё время оказала решающее влияние на преподавание геометрии не только во Франции, но и в других странах и после «Начал» Евклида приобрела наибольшее распространение из всех учебников элементарной геометрии. Лежандр в этом учеб нике уделяет много внимания изложению основ геометрии и осо бенно теории параллельности. Так же, как Саккери и Ламберт, Лежандр предпринимает попытку доказать 5-й постулат от против ного. В отличие от них он в качестве исходной основной фигуры берёт треугольник и рассматривает проблему параллельности с точки зрения вопроса о сумме углов треугольника.
Поставив себе целью доказать 5-й постулат без введения за меняющих его новых постулатов, Лежандр, прежде всего непо средственно показывает, что если принять без доказательства, что сумма углов треугольника равна 2d, то 5-й постулат может быть доказан, как теорема. Этим самым Лежандр непосредствен но устанавливает эквивалентность этих двух предложений.
Приведём это доказательство.
Теорема I. Если сумма углов треугольника равна 2d, то имеет место 5-й постулат Евклида.
Рис. 15.
Пусть прямая а является перпендикуляром, а прямая b — на клонной к прямой АВ, причём A= острый (рис. 15). Дока жем, что b непременно пересечёт а. Для этого на прямой а отложим п отрезков: ВВ1= АВ; В1B2=АВ1, В2В3= АВ2,, ... Вn-1 Вn=ABn-1, соединяя точки В1, В2, B3,…, Вn с точкой А.
Рассмотрим треугольники АВВ1,AВ1B2, АВ2 В3, ...,ABn-1Bn.
По условию сумма углов каждого из них равна 2d. Треугольник АВВ1 равнобедренный прямоугольный, и, так как по условию сумма его углов равна 2d, каждый из его острых углов равен . Но АВ1В есть внешний для AB1B2 следовательно, он равен сумме двух внутренних углов, с ним не смежных, на основании того же условия теоремы. В силу равнобедренности
АВ1B2 получим, что АВ2 В=. Рассуждая таким образом, мы получим, что АВnВ=. Но так как сумма углов тре угольника равна 2d, то будем иметь ВАВn=. Так как угол острый, то можно положить , где 0<<. Мы всегда можем добиться при достаточно большом п, чтобы было . Следовательно, при достаточно большом п будем иметь: BABn.
Таким образом, прямая b будет проходить внутри угла ВАВn и, следовательно, пересечёт противоположную сторону ВВn тре угольника BABn (можно доказать при помощи Аксиомы Паша). Теперь нетрудно доказать 5-й постулат в его общей формулировке.
Итак, эквивалентность 5-му постулату предложения о том, что сумма внутренних углов треугольника равна 2d, доказана. Отсюда заключаем, что если бы удалось доказать, не опираясь на 5-й постулат, что сумма углов треугольника равна 2d, то тем самым был бы доказан 5-й постулат. Поэтому Лежандр за даётся вопросом, что можно сказать о сумме углов треугольника независимо от 5-го постулата, и допускает три гипотезы: 1) сум ма углов треугольника больше 2d, 2) равна 2d, 3) меньше 2d. Для доказательства 5-го постулата необходимо привести к про тиворечию 1-ю и 3-ю гипотезы и этим их устранить. В этом на правлении и ведёт исследование Лежандр.
Прежде всего, Лежандр несколькими способами показывает, что 1-я гипотеза не может иметь места, т. е. доказывает следую щую теорему:
Теорема II. Сумма углов треугольника 2d. Будем доказывать теорему от противного
Пусть дан A1B1A2, углы которого равны ,, (рис. 16). Предположим, что ++>2d. Продолжим сторону A1A2 и от ложим на продолжении n отрезков, равных A1A2, так что A1A2= A2A3=…= AnAn+1.
На этих отрезках построим п треугольников, равных тре угольнику A1B1A2. Соединим их вершины B1, B2,…,Bn отрезками прямых, получим n-1 треугольников, которые равны между собой по двум сторонам и углу между ними '.
Рис. 16.
Следовательно, В1В2=В2В3-=…=Вn-1Bn.
Так как ++>2d и в то же время +′+=2d, то >′, а поскольку в A1B1A2 и B1A2B2 две стороны соответственно равны, но углы между ними не равны, то А1A2> В1В2.. Далее замечаем, что ломаная
A1B1A2 …BnAn+1>A1An+1=n∙A1A2, т. е.
A1B1+(n-1)B1B2+BnAn+1>n∙A1A2
Отсюда в силу равенства BnAn+1=B1A2:
n∙(A1A2-B1B2)<A1B1-B1B2+B1A2.
Так как по доказанному A1A2>В1В2, или A1A2-B1B2>0, то полученное неравенство противоречит аксиоме Архимеда, ибо n может быть взято сколь угодно большим, а потому это нера венство невозможно, а значит, ++2d.
Доказательства теорем возможно частично дать провести ребятам самостоятельно. При условии, что ребята сильно подготовлены, возможно самостоятельное проведение доказательства целиком.
Теорема: Если на плоскости существует треугольник, сумма углов которого равно 2d, то сума углов любого треугольника равна 2d.
На данном этапе с учениками можно вернуться назад и повторить эквивалентные предложения.
В качестве домашнего задания ребятам предлагается провести доказательство следующего эквивалентного факта: Если существует выпуклый четырехугольник, сумма углов которого равна 4d, то сумма углов любого четырехугольника равна 4d.
В доказательстве ученики разбивают четырехугольник на два треугольника. Делается предположение, что сумма углов одного треугольника меньше 2d, но тогда сумма углов другого будет больше 2d. А это не возможно, значит, сумма каждого треугольника равна 2d, а вместе сумма углов всего четырехугольника составляет 4d.
Занятие8:
«Просмотр видеофильма – Загадка Пятого постулата Евклида»
Просмотр фильма, подведение итогов факультативных занятий. Подготовка и выпуск стенгазеты по тематике «Загадка пятого постулата Евклида»
ЗАКЛЮЧЕНИЕ:
Проанализировав литературу по данной теме, можно сделать вывод о том, что изучение 5 постулата Евклида не останется бесполезным для учеников, выбравших факультатив по геометрии в 9 классе. Подробнее познакомиться с историей учения о параллельных, попытками доказать 11 аксиому Евклида, предположениями, высказываемыми последователями Евклида, для проведения четкого доказательства, которые зачастую являли собой лишь эквивалентные утверждения – все это может сильно заинтересовать школьника математикой, привлечь его к более подробному ее изучению. Переход к новой геометрии в результате многочисленных попыток доказать 5 постулат - неевклидовой геометрии, еще более разнообразит представления учеников об окружающем нас мире. Полезным и наглядным на факультативных занятиях окажется демонстрация видеофильма «Загадка пятого постулата» Марианны Таврог. Само проведение факультативного курса подразумевает то, что школьники в процессе занятий повторяют основные факты абсолютной геометрии, которые им уже не придется вспоминать при подготовке к итоговым экзаменам за 9 летнюю школу. Что несомненно даст свои положительные результаты ребятам. Решение задач на аксиомы параллельности, в общем, как и большинство других задач, позволяют развивать логическое мышление школьника, его геометрическую интуицию, формировать математический склад ума. Проведенное анкетирование показало, что примерно три четверти девятиклассников осознает недостаточное выделение времени на выполнение домашних работ по геометрии. А две трети из них хотели бы проведение дополнительных факультативных занятий.
В свете всего вышесказанного, рекомендуется проведение данного факультатива в школах с углубленным изучением математики или же в школах, где нет углубления отдельных школьных компонентов, но имеются среди учеников 9 классов, желающие уделить свое дополнительное внимание математике вообще и геометрии в частности. Проделанная работа еще больше убедила меня в значимости выбранной проблемы исследования.
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ: