Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
23. Метод Адамса.
Многошаговый метод построения разностных схем основан на том, что для вычисления значения используются результаты не одного, а предыдущих шагов, т.е. значения В этом случае получается шаговый метод.
Многошаговые методы могут быть построены следующим образом. Запишем исходное уравнение
В виде
Проинтегрируем обе части этого ур-ния по на отрезке []. Интеграл от левой части вычисляется легко:
Для вычисления интеграла от правой части ур-ния (27) строится сначала интерполяционный многочлен степени для аппроксимации ф-ии на отрезке [] по значениям После этого можно написать
Приравнивая выражения, полученные в (28) и (29) можно получить формулу для определения неизвестного значения сеточной ф-ии в узле
На основе этой формулы можно строить различные многошаговые методы любого порядка точности. Порядок точности зависит от степени интерполяционного многочлена , для построения которого используются значения сеточной функции вычисленные на предыдущих шагах. Широко распространенным семейством многошаговых методов являются методы Адамса. Простейший из них, получающийся при = 1, совпадает с рассмотренным ранее методом Эйлера первого порядка точности. В практических расчетах чаще всего используется вариант метода Адамса, имеющий четвертый порядок точности и использующий на каждом шаге результаты предыдущих четырех. Именно его и называют обычно методом адамса. Рассмотрим его.
Пусть найдены значения в четырех последовательных узлах При этом имеются также вычисленные ранее значения правой части В качестве интерполяционного многочлена можно взять многочлен Ньютона. В случае постоянного шага конечные разности для правой части в узле имеют вид:
Тогда разностная схема 4 порядка метода адамса запишется в виде:
Сравнивая метод Адамса с методом Рунге — Кутта той же точности, отмечаем его экономичность, поскольку он требует вычисления лишь одного значения правой части на каждом шаге (метод Рунге — Кутта — четырех). Но метод Адамса неудобен тем, что невозможно начать счет по одному лишь известному значению . Расчет может быть начат лишь с узла . Значения ,, необходимые для вычисления, нужно получить каким либо другим способом (например, методом Рунге — Кутта), что существенно усложняет алгоритм. Кроме того, метод Адамса не позволяет (без усложнения формул) изменить шаг в процессе счета; этого недостатка лишены одношаговые методы.