Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Практическое занятие 8
Линии второго порядка
Задания:
8.1. Найти центр и радиус окружности, проходящей через точки .
Ответ:
8.2. Привести к каноническому виду уравнение окружности
.
Ответ:
8.3. Исследовать уравнение .
Ответ:
8.4. Найти точки пересечения прямой и окружности .
Ответ:
8.5. Показать, что прямая и окружность не пересекаются.
8.6. Построить эллипс . Найти:
1) полуоси, координаты фокусов; 2) эксцентриситет;
3) уравнения директрис.
Ответ: 1) , ; 2) ;
3) ,
8.7. Написать каноническое уравнение эллипса, если:
1) 2) ; 3) ; 4) ;5) и расстояние между директрисами равно 5; 6) и расстояние между директрисами равно 32.
Ответ: 1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) .
8.8. Написать уравнение эллипса с полуосями и и центром в точке , если известно, что его главные оси параллельны координатным осям.
Ответ: .
8.9. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет эллипс, найти его центр , полуоси, эксцентриситет и уравнения директрис:
1) ;
2) ;
3)
Ответ:
1) ;
2) ;
3) .
8.10. Доказать следующие утверждения:
1) Если – произвольная точка эллипса , то фокальные радиусы этой точки равны , . Отсюда, в частности, следует, что для всякой точки эллипса выполняется равенство .
2) Пусть заданы точки и . Тогда множество точек , удовлетворяющих условию , есть эллипс , где .
8.11. Доказать следующие утверждения:
Если – произвольная точка эллипса , и – фокальные радиусы этой точки, а и – ее расстояния до директрис, то выполняется равенство
.
8.12. Построить гиперболу . Найти: 1) полуоси; 2) координаты фокусов; 3) эксцентриситет; 4) уравнения асимптот; 5) уравнения директрис.
Ответ: 1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) .
8.13. Построить гиперболу . Какова каноническая система координат для этой гиперболы? Найти:
1) полуоси; 2) координаты фокусов; 3) эксцентриситет;
4) уравнения асимптот; 5) уравнения директрис.
Ответ: 1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) .
8.14. Написать каноническое уравнение гиперболы, если:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) и уравнения асимптот ; 6) и расстояние между директрисами равно .
Ответ: 1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) .
8.15. Написать уравнение гиперболы с полуосями и и центром в точке , если известно, что ее действительная и мнимая оси параллельны осям и соответственно.
Ответ: .
8.16. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет гиперболу, найти ее центр, полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и директрис:
1) ;
2) ;
3) .
Ответ: 1) ;
уравнение асимптот: и ;
уравнения директрис: и ;
2) ;
уравнение асимптот: и ;
уравнения директрис: и ;
3) ;
уравнение асимптот: и ;
уравнения директрис: и .
8.17. Доказать следующие утверждения:
1) Если – произвольная точка гиперболы , то фокальные радиусы этой точки равны , , если точка лежит на правой ветви гиперболы, и , , если эта точка лежит на ее левой ветви. Отсюда, в частности, следует, что для всякой точки гиперболы выполняется равенство .
2) Пусть заданы точки и . Тогда множество точек , удовлетворяющих условию , есть гипербола , где .
8.18. Найти точки гиперболы , находящиеся на расстоянии 7 от фокуса .
Ответ: .
8.19. Написать уравнение гиперболы, если известно, что ее фокусами являются точки и , а расстояние между директрисами равно 3,6.
Ответ: .
8.20. Написать уравнение гиперболы, если известны ее эксцентриситет , фокус и уравнение соответствующей директрисы .
Ответ: .
8.21. Показать, что кривая, заданная уравнением или , есть равносторонняя гипербола. Написать ее каноническое уравнение, найти эксцентриситет, фокусы и уравнения директрис.
Ответ:
.
8.22. Построить следующие параболы и найти их параметры:
1) ;
2) .
Ответ: 1) ; 2) .
8.23. Написать уравнение параболы с вершиной в начале координат, если известно, что:
1) парабола расположена в левой полуплоскости симметрично относительно оси и ;
2) парабола расположена симметрично относительно оси и проходит через точку ;
3) фокус параболы находится в точке , ее осью служит ось .
Ответ: 1) ; 2) ; 3) .
8.24. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет параболу, найти координаты ее вершины и величину параметра :
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) .
Ответ: 1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) .
8.25. Доказать следующие утверждения:
1) Если – произвольная точка параболы , –ее фокальный радиус, а –расстояние от точки до директрисы (см. рис.8), то выполняется равенство .
2) Пусть заданы точка и прямая : . Тогда множество точек , удовлетворяющих условию , есть парабола .
8.26. Вычислить фокальный радиус точки параболы , если .
Ответ: 6.
8.27. Написать уравнение параболы, если известны:
1) фокус и директриса ;
2) фокус и директриса .
Ответ: 1) ; 2) .
Дополнительные сведения.
Окружность есть множество точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки (центра) той же плоскости. Если центр находится в точке C (a, b), то уравнение окружности
(1)
где R– радиус окружности, x и y – текущие координаты.
В частности, если центр окружности лежит в начале координат, т.е. , то ее уравнение принимает простейший вид
.
Общее алгебраическое уравнение 2-й степени
есть уравнение окружности, если
Следовательно, общее уравнение окружности имеет вид
(2)
Разделив это уравнение на А и выделив полные квадраты по x и y по, приведем его к виду (1), где
Замечание. Для вещественной окружности , так как при уравнение (2) определяет только одну действительную точку а при ему не удовлетворяет ни одна действительная точка. В этих случаях иногда говорят об окружности нулевого или мнимого радиуса.
Пример 1.
Решение:
Привести к виду (1) общее уравнение окружности
Решение. Разделим все члены уравнения на 2:
Сгруппируем члены, содержащие только x и только y, и доводим их до полных квадратов:
откуда
Таким образом, уравнение окружности приведено к каноническому виду. Ее центр находится в точке а радиус
Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек и (фокусов) той же плоскости есть величина постоянная. Эту постоянную обозначают расстояние между фокусами обозначают при этом Если выбрать систему координат так, чтобы ось проходила через фокусы, а начало координат лежало посередине между ними, то уравнение эллипса примет канонический вид
В этом случае фокусы эллипса имеют координаты (рис. 1).
Начало координат О – центр симметрии эллипса (или просто его центр), а оси координат – оси симметрии эллипса. Точки называются вершинами эллипса, а длины
|
Рис.1 |
Рис.2 |
отрезков и – большой и малой полуосями. Величина
называется эксцентриситетом эллипса. Эксцентриситет характеризует вытянутость эллипса, так как выражается через отношение его полуосей:
Окружность можно считать частным случаем эллипса, у которого т.е.
Если фокусы эллипса лежат на оси то его уравнение имеет вид
В этом случае координаты вершин и фокусов (рис.2).
Пример 2.
Решение:
Найти полуоси, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса
Решение. Разделив на 36, приведем данное уравнение к виду
Отсюда следует, что большая полуось эллипса а малая полуось . При этом большая ось эллипса и его фокусы расположены на оси (рис. 2).
Найдем по формуле
Следовательно, координаты фокусов и а его эксцентриситет
3. Гипербола.
Гиперболой называется множество точек плоскости, абсолютной значение разности расстояний которых до двух данных точек и (фокусов) есть величина постоянная, обозначаемая . Расстояние обозначается , причем . Каноническое уравнение гиперболы
. (3)
При этом ось проходит через фокусы гиперболы, а начало координат находится посредине отрезка , так что есть расстояние от фокуса до начала координат . Фокусы имеют координаты и . Оси координат являются осями симметрии гиперболы, а точка – ее центром симметрии. Гипербола пересекает ось абсцисс в точках и , которые называются ее действительными вершинами, а величина – действительной полуосью гиперболы.
|
Рис.3 |
Точки и называются мнимыми вершинами гиперболы, а величина – мнимой полуосью (рис.3). Прямоугольник с центром в начале координат и со сторонами, параллельными координатным осям и проходящими через вершины гиперболы, называется основным прямоугольником гиперболы. |
Его диагонали
(4)
являются асимптотами гиперболы, т.е., прямыми, к которым неограниченно приближаются ветви гиперболы.
Эксцентриситет гиперболы
.
Его можно выразить через полуоси гиперболы:
,
Так что эксцентриситет характеризует вытянутость основного прямоугольника гиперболы.
Если , то гипербола называется равносторонней. В таком случае основной прямоугольник превращается в квадрат, а эксцентриситет равен .
Если фокусы гиперболы расположены на оси (рис.4), то ее уравнение имеет вид
(5)
В этом случае асимптоты гиперболы
,
где и , как и выше, действительная и мнимая полуоси. Вершины гиперболы (5): , , , , фокусы и , где .
Пример 3. Начертить гиперболу .
Решение:
Определить ее фокусы, вершины, эксцентриситет, асимптоты.
Решение. Полуоси данной гиперболы (рис.3) , следовательно, ее вершины , , , . Через них проводим стороны основного прямоугольника. Его диагонали являются асимптотами гиперболы. Построим их.
|
Затем через вершины и гиперболы проводим ее ветви, приближая их к асимптотам. По формуле находим величину . |
Рис. 4 |
Отсюда следует, что и ,
.
4. Парабола.
Парабола есть множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки (фокуса) и от данной прямой, не проходящей через данную точку (директрисы), расположенных в той же плоскости (рис.5).
|
Каноническое уравнение параболы имеет вид , где – расстояние от фокуса до директрисы. |
Рис.5 |
При этом система координат выбрана так, что ось проходит перпендикулярно директрисе через фокус, положительное ее направление выбрано от директрисы в сторону фокуса. Ось ординат проходит параллельно директрисе, посередине между директрисой и фокусом, откуда уравнение директрисы , координаты фокуса . Начало координат является вершиной параболы, а ось абсцисс – ее осью симметрии. Эксцентриситет параболы .
В ряде случаев рассматриваются параболы, заданные уравнениями
а)
б) (для всех случаев )
в) .
|
а) |
б) |
в) |
|
Рис.6 |
В случае а) парабола симметрична относительно оси и направлена в ее отрицательную сторону (рис.6).
В случаях б) и в) осью симметрии является ось (рис.6). Координаты фокусов для этих случаев:
а) б) в) .
Уравнение директрис:
а) б) в) .
Пример 4. Парабола с вершиной в начале координат проходит через точку и симметрична относительно оси . Написать ее уравнение.
Решение:
Так как парабола симметрична относительно оси и проходит через точку с положительной абсциссой, то она имеет вид, представленный на рис.5.
Подставляя координаты точки в уравнение такой параболы , получим , т.е. .
Следовательно, искомое уравнение
,
фокус этой параболы , уравнение директрисы .
4. Преобразование уравнения линии второго порядка к каноническому виду.
Общее уравнение второй степени имеет вид
, (6)
где коэффициенты одновременно в нуль не обращаются.
Всякая определяемая уравнением (6) линия называется линией второго порядка. С помощью преобразования системы координат уравнение линии второго порядка может быть приведено к простейшему (каноническому) виду.
1. В уравнении (6) . В данном случае уравнение (6) имеет вид
. (7)
Оно преобразуется к простейшему виду с помощью параллельного переноса осей координат по формулам
(8)
где – координаты нового начала (в старой системе координат). Новые оси и параллельны старым. Точка является центром эллипса или гиперболы и вершиной в случае параболы.
Приведение уравнения (7) к простейшему виду удобно делать методом выделения полных квадратов аналогично тому, как это делалось для окружности.
Пример 5. Уравнение линии второго порядка привести к простейшему виду. Определить вид и расположение этой линии. Найти координаты фокусов. Сделать чертеж.
Решение:
Группируем члены, содержащие только и только , вынося коэффициенты при и за скобку:
.
Дополняем выражения в скобках до полных квадратов:
Таким образом, данное уравнение преобразовано к виду
.
Обозначаем
или
Сравнивая с уравнениями (8), видим, что эти формулы определяют параллельный перенос осей координат в точку . В новой системе координат уравнение запишется так:
.
Перенося свободный член вправо и разделив на него, получим:
.
Итак, данная линия второго порядка есть эллипс с полуосями , . Центр эллипса находится в новом начале координат , а его фокальная ось есть ось . Расстояние фокусов от центра , так что новые координаты правого фокуса . Старые координаты этого же фокуса находятся из формул параллельного переноса:
.
Аналогично, новые координаты левого фокуса , . Его старые координаты: , .
|
Чтобы начертить данный эллипс, наносим на чертеж старые и новые координатные оси. По обе стороны от точки откладываем по оси отрезки длины , а по оси – длины ; получив таким образом вершины эллипса, чертим сам эллипс (рис. 7). |
Рис.7 |
Замечание. Для уточнения чертежа полезно найти точки пересечения данной линии (7) со старыми координатными осями. Для этого надо в формуле (7) положить сначала , а затем и решить получающиеся уравнения.
Появления комплексных корней будет означать, что линия (7) соответствующую координатную ось не пересекает.
Например, для эллипса только что разобранной задачи получаются такие уравнения:
.
Второе из этих уравнений имеет комплексные корни, так что эллипс ось не пересекает. Корни первого уравнения:
.
В точках и эллипс пересекает ось (рис.7).
Пример 6. Привести к простейшему виду уравнение линии второго порядка . Определить вид и расположении линии, найти координаты фокуса.
Решение:
Так как член с отсутствует, то надо выделить полный квадрат только по :
.
Выносим также за скобку коэффициент при
.
Обозначаем
или
Тем самым производится параллельный перенос системы координат в точку . После переноса уравнение примет вид
.
|
Рис.8 |
Отсюда следует, что данная линия есть парабола (рис.8), точка является ее вершиной. Парабола направлена в отрицательную сторону оси и симметрична относительно этой оси. Величина для нее равна . |
Поэтому фокус имеет новые координаты
.
Его старые координаты
.
Если в данном уравнении положить или , то обнаружим, что парабола пересекает ось в точке , а ось она не пересекает.
2. В уравнении (1) . Общее уравнение (1) второй степени преобразуется к виду (2), т.е. к рассмотренному в п.1. случаю, с помощь поворота координатных осей на угол по формулам
(9)
где – новые координаты. Угол находится из уравнения
(10)
Оси координат поворачиваются при этом так, чтобы новые оси и были параллельны осям симметрии линии второго порядка.
Зная , можно найти и по формулам тригонометрии
, .
Если угол поворота условиться считать острым, то в этих формулах надо брать знак плюс, и для надо взять также положительное решение уравнения (5).
В частности, при систему координат нужно повернуть на угол . Формулы поворота на угол имеют вид:
(11)
Пример 7. Уравнение линии второго порядка привести к простейшему виду. Установить вид и расположение этой линии.
Решение:
В данном случае , 1, , поэтому угол поворота находится из уравнения
.
Решение этого уравнения и . Ограничиваясь острым углом , берем первое из них. Тогда
,
, .
Подставляя эти значения и в данное уравнение
,
или
.
Раскрывая скобки и приводя подобные, получим
.
Наконец, разделив на свободный член, придем к уравнению эллипса
.
Отсюда следует, что , , причем большая ось эллипса направлена по оси , а малая – по оси .
|
Рис.9 |
Для построения этого эллипса нанесем на чертеж повернутые оси и . Для этого на оси отложим 1 единицу масштаба, и на оси – 2 единицы. |
Получится точка , радиус которой наклонен к оси под углом , для которого . Следовательно, через эту точку и пройдет новая ось абсцисс. Затем отмечаем на осях и вершины эллипса и чертим эллипс (рис.9).
Заметим, что данный эллипс пересекает старые координатные оси в точках, которые находятся из квадратных уравнений (если в данном уравнении положить или ):
и .
Отсюда
.
Домашние задания к практическому занятию № 8.
1. Составить канонические уравнения: а) эллипса; б) гиперболы; в) параболы (–точки, лежащие на кривой, –фокус, –большая (действительная) полуось, –малая (мнимая) полуось, –эксцентриситет, –уравнения асимптот гиперболы, –директриса кривой, –фокусное расстояние).
1) а) ; б) в) .
2) а) ; б) в) .
3) а) ; б) в) .
4) а) ; б) ; в) .
5) а) ; б) ; в) ось
симметрии и .
6) а) ; б) ; в) ось
симметрии и .
7) а) ; б) в) .
8) а) ; б) в) .
9) а) ; б) в) .
10) а) ; б) ; в) .
11) а) ; б) ; в) ось
симметрии и .
12) а) ; б) ; в) ось
симметрии и .
13) а) ; б) в) .
14) а) ; б) в) .
15) а) ; б)
в) .
16) а) ; б) ; в) .
17) а) ; б) ; в) ось
симметрии и .
18) а) ; б) ; в) ось
симметрии и .
19) а) ; б) ; в) .
20) а) ; б) ; в) .
21) а) ; б) ; в) .
22) а) ; б) ; в) .
23) а) ; б) ; в) ось
симметрии и .
24) а) ; б) ; в) ось
симметрии и .
25) а) ; б) ; в) .
26) а) ; б) ; в) .
27) а) ; б) ; в) .
28) а) ; б) ; в) .
29) а) ; б) ; в) ось
симметрии и .
30) а) ; б) ; в) ось
симметрии и .
2. Записать уравнение окружности, проходящей через указанные точки и имеющей центр в точке .
1) Вершины гиперболы .
2) Вершины гиперболы .
3) Фокусы гиперболы .
4) – вершина параболы .
5) Фокусы эллипса .
6) Левый фокус гиперболы .
7) Фокусы эллипса – его верхняя вершина.
8) Вершину гиперболы .
9) Фокусы гиперболы .
10) – вершина параболы .
11) Правый фокус эллипса .
12) Левый фокус гиперболы .
13) Фокусы эллипса – его нижняя вершина.
14) Вершину гиперболы .
15) Фокусы гиперболы .
16) – вершина параболы .
17) Левый фокус эллипса .
18) Левую вершину гиперболы .
19) Фокусы эллипса – его верхняя вершина.
20) Правую вершину гиперболы .
21) Левый фокус гиперболы .
22) – вершина параболы .
23) Правый фокус эллипса .
24) Правую вершину гиперболы .
25) Фокусы эллипса – его нижняя вершина.
26) Правую вершину гиперболы .
27) Фокусы гиперболы .
28) – вершина параболы .
29) Левый фокус эллипса .
30) Правый фокус гиперболы .
3. Составить уравнение линии, каждая точка которой удовлетворяет заданным условиям.
1) Отстоит от прямой на расстоянии, в два раза больше, чем от точки .
2) Отстоит от прямой на расстоянии, в два раза больше, чем от точки .
3) Отстоит от прямой на расстоянии, в три раза больше, чем от точки .
4) Отношение расстояний от точки до точек и равно .
5) Сумма квадратов расстояний от точки до точек и равна 28.
6) Отстоит от точки на расстоянии, в пять раз меньше, чем от прямой .
7) Отстоит от точки на расстоянии, в четыре раза больше, чем от точки .
8) Отстоит от прямой на расстоянии, в три раза больше, чем от точки .
9) Отстоит от прямой на расстоянии, в пять раз больше, чем от точки .
10) Отношение расстояний от точки до точек и равно .
11) Сумма квадратов расстояний от точки до точек и равна 40,5.
12) Отстоит от точки на расстоянии, в три раза больше, чем от прямой .
13) Отстоит от точки на расстоянии, в три раза больше, чем от точки .
14) Отстоит от прямой на расстоянии, в два раза больше, чем от точки .
15) Отстоит от прямой на расстоянии, в четыре раза меньше, чем от точки .
16) Отношение расстояний от точки до точек и равно .
17) Сумма квадратов расстояний от точки до точек и равна 31.
18) Отстоит от точки на расстоянии, в два раза меньше, чем от прямой .
19) Отстоит от точки на расстоянии, в два раза меньше, чем от точки .
20) Отстоит от прямой на расстоянии, в три раза меньше, чем от точки .
21) Отстоит от прямой на расстоянии, в два раза меньше, чем от точки .
22) Отношение расстояний от точки до точек и равно .
23) Сумма квадратов расстояний от точки до точек и равна 65.
24) Отстоит от точки на расстоянии, в три раза больше, чем от прямой .
25) Отстоит от точки на расстоянии, в четыре раза больше, чем от точки .
26) Отстоит от прямой на расстоянии, в пять раз больше, чем от точки .
27) Отстоит от прямой на расстоянии, в три раза меньше, чем от точки .
28) Отношение расстояний от точки до точек и равно .
29) Сумма квадратов расстояний от точки до точек и равна 18,5.
30) Отстоит от точки на расстоянии, в четыре раза меньше, чем от прямой .
Решение типового варианта
Пример 1. Составить канонические уравнения:
а) эллипса, большая полуось которого равна 3, а фокус находится в точке ;
б) гиперболы с мнимой полуосью, равной 2, и фокусом ;
в) параболы, имеющей директрису .
Решение:
а) Каноническое уравнение эллипса имеет вид . По условию задачи большая полуось , . Для эллипса выполняется равенство . Подставив в него значения и , найдем . Искомое уравнение эллипса
;
б) Каноническое уравнение гиперболы имеет вид . По условию мнимая полуось , а . Для гиперболы справедливо равенство . Поэтому . Записываем искомое уравнение гиперболы:
;
в) каноническое уравнение параболы в данном случае должно иметь вид , а уравнение ее директрисы . Но по условию задачи уравнение директрисы . Поэтому и искомое каноническое уравнение параболы имеет вид
.
Пример 2. Записать уравнение окружности проходящей через фокусы эллипса и имеющей центр в его верхней вершине.
Решение:
Для данного эллипса верхняя вершина , , . Поэтому
и фокусы находятся в точках , . Радиус искомой окружности вычисляем по формуле расстояния между двумя точками:
.
В соответствии с уравнением (1) записываем искомое уравнение окружности:
или .
Пример 3. Составить уравнение линии, каждая точка которой отстоит от точки на расстоянии, в три раза больше чем от точки .
Решение:
Пусть – любая точка искомой линии (рис.10). Тогда по условию задачи . Так как
,
|
Рис.10 |
то уравнение искомой линии . Преобразуем его, возведя обе части в квадрат. Имеем: , . |
Выделив квадраты в последнем уравнении, придем к уравнению вида
,
которое является уравнением окружности с центром в точке и радиусом .
1 Подчеркнем, что В – это половина коэффициента при xy.
PAGE 178