Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
1) Предел числовой последовательности — предел последовательности элементов числового пространства. Числовое пространство — это метрическое пространство, расстояние в котором определяется как модуль разности между элементами.
Число a, принадлежащее множеству R, называется пределом числовой последовательности {Хn}, если последовательность {Хn - a} является бесконечно малой, т. е. все её элементы, начиная с некоторого, по модулю меньше любого заранее взятого положительного числа.
В случае, если у числовой последовательности существует предел в виде вещественного числа A, её называют сходящейся к этому числу. В противном случае, последовательность называют расходящейся. Если к тому же она неограниченна, то её предел полагают равным бесконечности.
2)Геометрический смысл предела числовой последовательности
Число a – предел последовательности xn, если в любую окрестность числа а,
начиная с некоторого номера попадают все члены последовательности Хn
Геометрический смысл предела числовой последовательности: начиная с некоторого номера N, все члены последо-
вательности с n > N попадают в å -окрестность числа А.
3)Определение предела функции в точке по Гейне. Число b называется пределом функции у = f(x) при х, стремящемся к а (или в точке а), если для любой последовательности {xn}, сходящейся к а (стремящейся к а, имеющей пределом число а), причем ни при каком значении n хn ≠ а, последовательность {yn = f(xn)} сходится к b.
Односторо́нний преде́л в математическом анализе — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторо́нним преде́лом (или преде́лом сле́ва) и правосторо́нним преде́лом (преде́лом спра́ва).
Число называется правосторонним пределом (правым пределом, пределом справа) функции в точке , если для всякой последовательности , состоящей из точек, больших числа , которая сама сходится к числу , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу .
4)Бесконечно малая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.
Бесконечно большая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака.
Исчисление бесконечно малых — вычисления, производимые с бесконечно малыми величинами, при которых производный результат рассматривается как бесконечная сумма бесконечно малых. Исчисление бесконечно малых величин является общим понятием для дифференциальных и интегральных исчислений, составляющих основу современной высшей математики. Понятие бесконечно малой величины тесно связано с понятием предела
5)Теоремы о пределах.
Теорема. 1. Предел суммы есть сумма пределов.
Теорема. 2. Предел произведения есть произведение пределов.
Теорема. 3. Предел частного есть частное пределов (если знаменатель не обращается в 0).
Теорема. 4. Если u(x) < z(x) < v(x), и limx- a u(x)=limx- a v(x)=b, то limx- a z(x)=b. ("Теорема о двух милиционерах").
Если и , то
2. Монотонная и ограниченная последовательность имеет предел.
3. Числовая последовательность (xn) имеет конечный предел тогда и только тогда, когда
Число e
Последовательность имеет конечный предел, называемый числом е:
4.Замеча́тельные преде́лы — термин, использующийся в советских и российских учебниках по математическому анализу для обозначения некоторых широко известных математических тождеств со взятием предела. Особенно известны:
Первый замечательный предел:
Следствия
Доказательство следствий
Второй замечательный предел:
Следствия
Доказательство следствия
6)Определение непрерывности функции в точке.
Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если существует limx → x0 f(x) , равный значению функции f(x) в этой точке:
limx → x0 f(x) = f(x0),
Замечание. Равенство (1) можно записать в виде:
lim x → x0 f(x) = f ( lim x → x0 x ),
т.е. под знаком непрерывной функции можно переходить к пределу.
Пусть Δx = x − x0 — приращение аргумента, Δy = f(x) − f(x0 ) — соответствующее приращение функции.
Необходимое и достаточное условие непрерывности функции в точке
Функция y = f(x) непрерывна в точке х0 тогда и только тогда, когда
lim Δx → 0 Δy = 0. (2)
Функция называется непрерывной на промежутке, если она непрерывна во всех точках этого промежутка.
7)Определение производной
(1)Определение: Пусть функция y=f(x) определена в точке x и в некоторой ее окрестности. Дадим аргументу x приращение Dx, такое, чтобы не выйти из указанной окрестности. Найдем соответствующее приращение функции Dy и составим отношение. Если существует предел этого отношения при Dx®0, то указанный предел называют производной функции y=f(x) в точке x и обозначают f `(x).
(2)Геометрический смысл производной. Рассмотрим график функции y = f ( x ):
Из рис.1 видно, что для любых двух точек A и B графика функции:
где - угол наклона секущей AB.
Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует: производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной.
Механический смысл производной. Рассмотрим простейший случай: движение материальной точки вдоль координатной оси, причём закон движения задан: координата x движущейся точки – известная функция x ( t ) времени t. В течение интервала времени от t0 до t0 +точка перемещается на расстояние: x ( t0 + ) - x ( t0 ) = , а её средняя скорость равна: va = / . При 0 значение средней скорости стремится к определённой величине, которая называется мгновенной скоростью v ( t0 ) материальной точки в момент времени t0 . Но по определению производной мы имеем:
отсюда, v ( t0 ) = x’ ( t0 ) , т.e. скорость – это производная координаты по времени. В этом и состоит механический смысл производной. Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени: a = v’ ( t ).
(3)Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции в точке
Теорема 2. Если функция f дифференцируема в некоторой точке, то она и непрерывна в этой точке.
Следствие. Если функция в некоторой точке имеет производную, то она непрерывна в этой точке.
Доказательство. Пусть функция f дифференцируема в точке x0, т. е. в этой точке
9)Правила и формулы дифференцирования функции.
Производная постоянной равна 0: c'=0, где c-const
Производная функции y=x равна 1: x'=1
Производная суммы: (u + v)=u'+ v'
Производная произведения: (u*v)'=u'*v + v'*u
Следствие: пост. множ. за скобки: (c*u)'=c*u, где c-const.
Производная дроби: (u/v)'=(u'v-v'u)/(v2)
Следствие1: (u/c)'=(1/c)*u'
Следствие2: (c/v)'=-cv'/v2
Производная степенной функции: (xn)'=nxn-1
Производная функции y=(√x)'=1/2√x : (√x)'=1/2√x
Производная функции у=1/х: 1/x)'=-1/x2