Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Лекція № 14
Пряма лінія у просторі.
План:
Короткий зміст лекції
Нехай l – пряма у просторі, М1(x1, y1 ,z1) – деяка точка на цій прямій, s = { m, n, p} – ненульовий вектор, колінеарний прямій l. Скласти рівняння прямої l.
На прямій l обираємо довільну точку М(x,y,z). Точка М є l тоді і тільки тоді, коли вектори М1М і s колінеарні.
М1М = {x-x1;y-y1;z-z1}
s = {m; n; p}.
Умовою колінеарності векторів у координатах є пропорціональність відповідних координат, тобто x-x1 = mt; y-y1 = nt; z-z1 = pt, де t – коефіцієнт пропорціональності, або
x = x1+mt; y = y1+nt; z = z1+pt. (*)
Рівняння (*) називаються параметричними рівняннями прямої, а t – параметром прямої.
Будь-який ненульовий вектор, колінеарний прямій, називається направляючим вектором цієї прямої.
В нашому випадку таким є вектор s. З параметричних рівнянь випливає, що якщо m¹0, n¹0, p¹0, то координати x, y, z будь-якої точки прямої l з направляючим вектором s = {m, n, p}, яка проходить через точку М1(x1, y1, z1), задовольняють співвідношенням:
x-x1 y-y1 z-z1 (**).
m n p
Умовимося писати ці співвідношення і в тому випадку, коли одне або два з чисел m, n, p дорівнюють нулю, вважаючи, що якщо один із знаменників дорівнює нулю, то і відповідний чисельник також рівний нулеві.
Згідно з цим будь-яка трійка чисел x, y, z, що визначається співвідношеннями (*), задовольняє і співвідношенням (**), і навпаки.
Звідси випливає, що співвідношення (**) є рівняннями прямої l. Ці рівняння називаються канонічними рівняннями прямої.
Якщо пряма l задається двома точками: А1(x1, y1, z1) і A2(x2, y2, z2), через які вона проходить, то вектор А1A2 можна прийняти за направляючий вектор цієї прямої : А1A2 = {x2-x1; y2-y1; z2-z1}. Тоді канонічні рівняння приймають вид:
x-x1 y-y1 z-z1 (***)
x2-x1 y2-y1 z2-z1
Рівняння (***) називаються рівняннями прямої, яка проходить через дві точки.
Пряму у просторі відносно прямокутної системи координат можна задати рівняннями двох площин, які перетинаються по цій прямій :
A1x + B1y + C1z + D1 = 0 (1)
A2x + B2y + C2z + D2 = 0
Ці рівняння називаються загальними рівняннями прямої.
Для зведення загальних рівнянь до канонічного виду за направляючий вектор s прямої можна прийняти векторний добуток нормальних векторів n1 = {A1, B1, C1} і n2 = {A2, B2, C2} площин.
Тоді s = B1C1 ; C1A1 ; A1B1
B2C2 C2A2 A2B2
На прямій l залишилося обрати будь-яку точку. Це можна здійснити так: надаємо z =z1, тоді із системи рівнянь (1) знаходимо відповідні значення x =x1, y =y1. Отже, точка М1(x1, y1, z1) належить прямій l. Знаючи точку на прямій і направляючий вектор, можна записати канонічні рівняння:
x-x1 y-y1 z-z1 .
B1C1 C1A1 A1B1
B2C2 C2A2 A2B2
Кутом між двома прямими у просторі називається будь-який з кутів між двома паралельними їм прямими, які проходять через довільну точку простору.
Отже, дві прямі у просторі (якщо вони не перпендикулярні) утворюють два різних кути, сума яких дорівнює 180º.
Якщо s1 = {m1, n1, p1} і s2 = {m2, n2, p2} – направляючі вектори двох даних прямих, кут α – кут між цими векторами дорівнює одному з кутів між прямими, то
m1m2 + n1n2 + p1p2
cos α =±
m12+n12+p12 m22+n22+p22
Якщо прямі паралельні, то s1½½s2 і m1 n1 p1
m2 n2 p2
Якщо прямі взаємно перпендикулярні, то s1 ^ s2 і m1m2 + n1n2 + p1p2 = 0.
Нехай прямі l1 і l2 задані канонічними рівняннями :
( l1 ) x-x1 y-y1 z-z1
m1 n1 p1
( l2 ) x-x2 y-y2 z-z2
m2 n2 p2
Розглянемо три вектори :
M1M2 = { x2-x1; y2-y1; z2-z1}; s1 = { m1, n1, p1}; s2 = { m2, n2, p2};
Можливі наступні випадки розташування двох прямих у просторі:
Якщо прямі співпадають, то всі три вектори М1М2, s1, s2 колінеарні.
Якщо прямі паралельні, то вектори s1 і s2 колінеарні, а вектор М1М2 їм не колінеарний.
Якщо прямі перетинаються, то ніякі два з векторів s1, s2, М1М2 не колінеарні, а всі три вектори компланарні, тобто
x2-x1 y2-y1 z2-z1
m1 n1 p1 = 0,
m2 n2 p2
оскільки прямі l1 і l2 лежать в одній площині.
Якщо прямі мимобіжні, то вектори s1, s2, М1М2 не компланарні, оскільки задані прямі не лежать в одній площині. Отже,
x2-x1 y2-y1 z2-z1
m1 n1 p1 ≠ 0.
m2 n2 p2
Найкоротшою відстанню між двома прямими називається довжина відрізка спільного перпендикуляра до прямих, кінці якого лежать на цих прямих.
Нехай задані прямі:
( l1 ) : x-x1 y-y1 z-z1 ;
m1 n1 p1
( l2 ) : x-x2 y-y2 z-z2 ;
m2 n2 p2
Початки їх направляючих векторів розташуємо в точці , М1(x1, y1 ,z1) і побудуємо паралелепіпед.
Шукана найкоротша відстань між даними прямими дорівнює відстані між площинами граней паралелепіпеда, яким належать прямі, і може бути обчислена, як висота цього паралелепіпеда.
Оскільки об'єм паралелепіпеда дорівнює модулю змішаного добутку векторів s1, s2, М1М2 , а площа основи – модулю векторного добутку векторів s1 і s2, то шукана найкоротша відстань між прямими l1 і l2:
s1, s2, М1М2
d = ,
s1 × s2
або в координатах
x2-x1 y2-y1 z2-z1
mod m1 n1 p1
m2 n2 p2
d =
n1p1 2 m1p1 2 m1n1 2
+ +
n2p2 m2p2 m2n2
Нехай у просторі задані точка М1(x1, y1 ,z1) і пряма ( l ) : :
x-x0 y-y0 z-z0 .
m n p
Обчислити відстань d від точки М1 до прямої l. Відкладаємо направляючий вектор s = {m, n, p} прямої l від точки М0(x0, y0 ,z0) цієї прямої і розглянемо паралелограм , побудований на векторах М0М1 і s.
Висота h цього паралелограма дорівнює шуканій відстані d від точки М1 до прямої l.
Висоту h знаходимо, як відношення площі S паралелограма до довжини його основи . Але S=, a .
Отже,
d = h = , або в координатах
y1-y0 z1-z0 2 z1-z0 x1-x0 2 x1-x0 y1-y0 2
+ +
n p p m m n
d = .
m2 + n2 + p2
Контрольні питання для самоперевірки:
x-a y-b z-c x-a y-b z-c
= = ; = = ?
0 n p 0 0 p
5. Виведіть рівняння прямої, що проходить через дві точки.
6. Запишіть загальні рівняння прямої у просторі. Як перетворити загальні рівняння в канонічні?
7. Як знайти кут між двома прямими?
8. Сформулюйте умови паралельності і перпендикулярності двох прямих у просторі.
9. Назвіть випадки взаємного розташування двох прямих у просторі.
10. Запишіть умову перетину двох прямих.
11. При якій умові прямі є мимобіжними?
12. Знайдіть відстань від точки до прямої у просторі.
13. Знайдіть відстань між двома паралельними прямими в просторі.
14. Знайдіть відстань між двома мимобіжними прямими.
15. Скласти параметричні рівняння прямої, яка проходить через точки А(1, 1, -2) і В(3,-1, 0), і визначити координати її направленого вектора.
16. Скласти канонічні рівняння прямої, яка проходить через точку М(2, 3, -5) паралельно прямій: 3x - y – 2z = 0 ;
x + 3y – 2z = 0
17. Довести, що прямі и перетинаються, і визначити точку їх перетину.
18. З початку координат опустити перпендикуляр на пряму:
19. Написати розклад за базисом i, γ, k направляючого вектора прямої
5x – 6y + 2z + 4 = 0
x – z + 3 = 0 , і визначити косинуси кутів, утворених ним з координатними осями.
20. Написати параметричні рівняння спільного перпендикуляра двох прямих:
x = -7 + 3t, x = 1 + t,
y = 4 – 2t, і y = -8 + 2t,
z = 4 + 3t z = -12 – t.
Література:
1. А.А. Дадаян, В.А.Дударенко, Алгебра и геометрия. – Мн.: Выш. шк; 1989
2. И.И. Привалов. Аналитическая геометрия – М.:Физматгиз,1961
3. В.П. Білоусова та інші. Аналітична геометрія. – К.: Рад.шк., 1957
z
l
0
s
M
M1
y
x
s2
h
L2
M2
M1
s1
l1
s
M0
M1
l
d