Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
19
Лекция 5(24 марта 2003 года).
Доказательство. 2 этап. Зафиксируем произвольную точку в области Заметим, что т.к. функция локально однолистна. (построенная в пункте 1 функция). Для удобства: обладает следующими свойствами: 1) однолистна 2) ограничена
3) - условие нормировки. Обозначение: По построению: , определим множество где 1) однолистна 2) 3) - условие нормировки. Докажем, что обладает 2мя свойствами: а) не пустое б) компакт (пространство голоморфных функций).
а) по построению:
б) Для этого докажем: (1) - предкомпактное множество. (2) - замкнуто.
(1) состоит из функций голоморфных в области И по условию оно равномерно ограниченно в области по теореме Монтеля следует, что - предкомпактное.
(2) пусть . Надо доказать, что (т.е. сходимость на любом компакте). В частности имеем: По 1ой теореме Вейерштрасса: Доказали выполнение для условия 3). 2)-ое тоже получается предельным переходом: Осталось первое. Проверим. Имеем, что однолистна, и т.к. производная равна 1 в точке - однолистна. Итак, 1)-ое условие выполнено - замкнуто.
Докажем, что одна из функций осуществляет конформное отображение на круг.
3 этап. Рассмотрим функционал: Утверждается, что полунепрерывен снизу (достаточно снизу). Это означает следущее: если - это определение полунепрерывности функции снизу. Докажем это. Обозначим: Говорим, что - поточечная сходимость. Отсюда Переходя к пределу при т.к. , а т.к. Утверждение доказано.
Рассмотрим экстремальную задачу.
Обозначение. Утверждается, что нижняя грань достигается, т.е. (это не что иное, как теорема Вейерштрассе).
Доказательство. По определению нижней грани: , но компакт из любой последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность: . в силу полунепрерывен снизу. Но по определению точной нижней грани: Это и есть конформное отображение на круг.
4 этап. Обозначим: К – круг с центром в начале координат и радиусом осуществляет конформное отображение нашей области на некоторую область лежащую в круге К. Докажем, что совпадает с К.
От противного. Предположим , сделаем 3 дополнительных построения: 1) дробно-линейный автоморфизм круга К, переводящий точку Явная формула: с точностью до поворотов круга. При этом отображении: не содержащую 0 (т.к. ). При этом
2) Рассмотрим многозначную аналитическую функцию . При этом круг переходит в круг. Но область односвязная (т.к. это конформное отображение односвязной области). И По теореме о монодромии существует односвязная голоморфная ветвь корня. Их две – отличающихся знаком. Берём любую из них. Получим конформное отображение в круге К, при этом 3) дробно-линейный автоморфизм круга К, переводящий точку При этом Возьмём композицию всех этих отображений: Свойства 1) - однолистна в 2) 3) По построению: (т.к. ),
Производная композиции = произведение производных. Обозначим: - функция Жуковского. Вспомним свойства функции Жуковского на положительной вещественной оси: . Таким образом рассмотрим - выполняется условие нормировки. т.е. отображение действует в круг радиуса Противоречие с предположением Область заполняет весь круг. Теорема доказана.
Единственно ли отображение С точностью до …
Замечание. Конформное отображение области на единичный круг
определено с точностью до конформных автоморфизмов единичного круга.
Как задать конформный автоморфизм круга (единичного) – это мы знаем.
Следствие. Если односвязная область с нетривиальной границей и Конформное отображение области на (единичный круг). Т.ч.
Существование вытекает из теоремы Римана и её доказательства. Единственность из единственности автоморфизма круга с такими условиями.
30. Принцип соответствия границ.
Утверждение (*). Пусть жордановы области. И пусть Утверждается, что продолжается до непрерывной функции на .
Доказательство. От противного. Пусть не продолжается, т.е. что: . Обозначение: . Предполагается, что
Должны прийти к противоречию. Зафиксируем: Будем брать: Проведём окружность с центром в точке и радиусом . Обозначение: - ние этого круга с областью . Точка соединяется с с помощью кривой . Точка соединяется с с помощью кривой . Потребуем, чтобы . прообразы Кривые пересекают окружность в точках пересечения . По построению: Получаем, что - можно интегрировать по любой кривой соединяющей , мы будем интегрировать по дуге окружности.
Неравенство Коши-Буняковского: Обе части неравенства проинтегрируем по . Получим: : 1 зависит от и , а 2 это константа (конечная величина) противоречие.
Где пользовались жордановостью области: везде мы пользовались геометрией жордановых областей (обозначение пересечения круга с радиусом с через ) И для неё пользуемся жордановостью. На надо бы проверить кривые, расстояние между которыми не меньше, чем (это можно только для жордановых).
Теорема Каратеодори. Пусть единичный круг. Утверждается, что отображение продолжается до гомеоморфизма замкнутых областей жорданова область.
Доказательство. Пусть гомеоморфизм замкнутых областей, тогда в частности, гомеоморфна единичной окружности т.е. это замкнутая жорданова кривая (по определению).
Из (*) утверждение теоремы, т.к. в качестве . И применим (*) к у непрерывной на есть обратная, т.е. она взаимно-однозначна и непрерывна гомеоморфизм.
Контрпример. Не верно для не жордановых областей. 1) Плоскость с разрезом.
Нельзя интегрировать по дуге окружности (кривая длинная, интегрирование не получается).
2) в качестве границы. Не получается провести кривую с расстоянием (пересечение с кругом – криволинейный сектор – так устроена жорданова область).
Следствие. Если жорданова область, то переводящее три последние граничные точки в три последние точки на единичном круге
Замечание. (по поводу принципа аргумента). область с границей голоморфна на . принцип аргумента у нас доказывался с условиями: 1) спрямляемая 2) голоморфна на . (т.к. использовалась теорема о логарифмическом вычете).
Само утверждение справедливо всегда для непрерывной на и голоморфной в -это обобщённый принцип аргумента.
Его доказательство – следствие теоремы Каратеодори (достаточно доказать принцип аргумента для единичного круга).
Теперь надо избавиться от голоморфна на . А от единичного круга избавимся предельным переходом к при . Из принципа аргумента следует теорема Руше и обратный. Они тоже могут быть обобщённы.
РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
10. Абстрактная Риманова поверхность.
Определение. Топологическая поверхность или двумерное многообразие – это нормальное топологическое пространство , каждая точка которого имеет двумерную локальную координату.
Определение. Топологическое пространство нормально, если 1) хаусдорфово (разные точки имеют непересекающиеся окрестности). 2) связное 3) имеет счётную базу (есть счётная система окрестных множеств, порождающих базу).
Определение. Локальным параметром в точке называется гомеоморфизм (взаимно-однозначный, непрерывный) отображение некоторой окрестности точки на круг.