Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Лабораторная работа №7
РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ЗЕЙДЕЛЯ
Вариант 16:
Метод Зейделя.
Метод Зейделя представляет собой модификацию метода простой итераций.
Имеем СЛАУ
A x =b (1)
Предполагая, что aii ≠ 0 разрешим новое уравнение системы (1) относительно x1, второе – относительно x2,…, n-ое уравнение – относительно xn. В результате получим:
x1=β1 - α12x2 - α13x3 - ... - α1nxn
x2=β2 - α21x1 - α23x3 - ... - α2nxn
xn=βn - αn1xn - αn3x3 - ... - αnn-1xn-1
где βi=bi/aii; αij=aij/aii при i ≠ j; αii=0
Известно начальное приближение: x0=(x01, x02, ..., x0n).
Основная идея заключается в том, что при вычислении (k+1)-го приближения неизвестной xi учитываются уже вычисленные ранее (k+1) - приближение неизвестных x1, x2, ..., xn.
Итерационная схема имеет вид:
xk+11=β1 - ∑α1jxkj
xk+12=β2 - α21xk+11 - ∑α2jxkj
xk+1i=βi - ∑αijxk+11 - ∑α2jxkj
Рассмотрим один из способов преобразования системы: Ax=b, (1).
позволяющий всегда получать сходящийся процесс Зейделя. Помножим (1) слева на AT: ATAx=ATb или Cx=d, (2).
где C=ATA; d=ATb.
Систему (2) принято называть нормальной (Такая система получается при использовании МНК).
Нормальная система обладает рядом замечательных свойств:
1) матрица С – симметрическая;
2) все элементы главной диагонали cij > 0;
3) матрица С - положительно определена.
Умножаем матрицы ATA.
Умножаем матрицы ATb.
Приведем к виду:
x1=1.09+0.14x2+0.0605x3
x2=2.42+0.13x1-0.0643x3
x3=-7.77+0.24x1-0.26x2
Покажем вычисления на примере нескольких итераций.
N=1
x1=1.09 - 0 • 0.14 - 0 • 0.0605=1.09
x2=2.42 - 1.09 • 0.13 - 0 • (-0.0643)=2.27
x3=-7.77 - 1.09 • 0.24 - 2.27 • (-0.26)=-7.44
N=2
x1=1.09 - 2.27 • 0.14 - (-7.44) • 0.0605=1.23
x2=2.42 - 1.23 • 0.13 - (-7.44) • (-0.0643)=1.78
x3=-7.77 - 1.23 • 0.24 - 1.78 • (-0.26)=-7.6
N=3
x1=1.09 - 1.78 • 0.14 - (-7.6) • 0.0605=1.3
x2=2.42 - 1.3 • 0.13 - (-7.6) • (-0.0643)=1.76
x3=-7.77 - 1.3 • 0.24 - 1.76 • (-0.26)=-7.62
Остальные расчеты сведем в таблицу.
|
N |
x1 |
x2 |
x3 |
e1 |
e2 |
e3 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
1 |
1.09 |
2.27 |
-7.44 |
1.09 |
2.27 |
7.44 |
|
2 |
1.23 |
1.78 |
-7.6 |
0.14 |
-0.5 |
0.16 |
|
3 |
1.3 |
1.76 |
-7.62 |
0.078 |
-0.0207 |
0.0237 |
|
4 |
1.31 |
1.75 |
-7.62 |
0.00428 |
-0.0021 |
0.00155 |
|
5 |
1.31 |
1.75 |
-7.62 |
0.000382 |
-0.000151 |
0.000129 |