Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Лабораторная работа №2
Тема: Пределы. Ряды. (4 часа)
Цель работы: Освоить основные операции вычисления пределов и обработки рядов.
Содержание
|
[1] 1. Предел последовательности [1.1] 1.1. Теоремы о пределах последовательности [2] 2. Предел функции [2.1] 2.1.Односторонние пределы [3] 3. Вычисление значения предела [4] 4. Ряды [4.1] Вычисление суммы и произведения элементов ряда [5] 5. Вычисление суммы и произведений элементов рядов с учетом условия [5.1] 2.2. Логические операции [5.2] 2.3. Логическое выражение [6] Индивидуальные задания [7] Контрольные вопросы |
Говорят, что последовательность x1, x2, …, xn имеет своим пределом число a (сходится к а), то есть
,
если для любого ε>0 существует число N=N(ε) такое, что
.
В частности, xn называется бесконечно малой, если
Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся.
Число а называется пределом функции f(x) в точке x0, если для любой последовательности {xn}, xn€(α;β), xn≠x0, сходящийся к x0, последовательность {f(xn)} сходится к а:
Функция f(x) называется бесконечно большой при , если .
Функция f(x) называется бесконечно малой при , если .
Пусть область определения функции f(x) содержит интервал (α; x0).
Число а называется пределом слева функции f(x) в точке x0 (или при ), если для каждого числа ε>0 существует такое число δ>0, что для всех x, удовлетворяющих неравенствам x0< δ<x<x0, выполняется неравенство .
Предел слева функции f(x) в точке x0≠0 обозначают:
.
Предел слева функции f(x) в точке x0=0 обозначают:
.
Аналогично, в случае, когда область определения функции f(x) содержит интервал (x0;β), вводится понятие предела справа.
Предел справа функции f(x) в точке x0≠0 обозначают:
.
Предел справа функции f(x) в точке x0=0 обозначают:
.
Вычисление односторонних пределов в MathCad производится по соответствующим шаблонам:
|
предел слева |
предел справа |
Вычисление значения предела выполняется по следующему алгоритму:
Пример 1. Найти , если
Пример 2. Найти предел функции .
Пример 3. Вычислить односторонние пределы слева и справа от точки x=0
Числовой ряд
называется сходящимся, если существует конечный предел , где . В противном случае ряд называется расходящимся.
Признаки сходимости знакопостоянных рядов:
Признак Коши.
Если an≥0 и , то при q<1 ряд сходится, а при q≥1 расходится.
Признак Даламбера.
Если an>0 и , то при q<1 ряд сходится, а при q≥1 расходится.
Разложение функции в ряд Тейлора
Пусть функция f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки a, тогда ряд
Вычисление производится при помощи соответствующих шаблонов:
|
Сумма |
Произведение |
|
и |
и |
|
,где i- переменная – номер элемента; i1 – номер первого суммируемого (перемножаемого) элемента; in – номер n-го суммируемого (перемножаемого) элемента; xn – формула общего элемента ряда. |
Условная функция IF
Синтаксис:
if (<логическое выражение> , < ариф.выраж.1> , < ариф.выраж.2 > )
Правило вычисления условной функции if :
Если логическое выражение равно 1 (истина), то функция принимает значение равное значению арифметического выражения 1 ; если логическое выражение равно 0 (ложь), то функция принимает значение равное значению арифметического выражения 2.
Применение: Условная функция используется в арифметических выражениях, стоящих в правой части локального оператора присваивания.
Логическая операция ИЛИ (логическое сложение, объединение). Обозначается знаком ν и записывается в виде:
<логическое выражение 1> ν <логическое выражение 2>
Результат операции равен 0, если оба логических выражения равны 0 и равен 1 для всех остальных значений логических выражений.
Логическая операция И(логическое умножение, пересечение). Обозначается знаком Λ и записывается в виде:
<логическое выражение 1 > Λ < логическое выражение 2>
Результат равен 1, если оба логических выражения равны 1 и равен 0 для всех остальных значений логических выражений.
Логическая операция НЕ(логическое отрицание). Вводится знаком [¬] и записывается в виде:
¬<логическое выражение>
Результат равен 1, если логическое выражение равно 0 и наоборот.
Примечания:
операция ИЛИ может также обозначаться знаком [+], а И – знаком [*]
для ввода знаков отношений и логических операций используется панель Boolean и клавиатура:
|
Λ |
[Ctrl]+[Shift]+[7] |
|
¬ |
[Ctrl]+[Shift]+[1] |
|
ν |
[Ctrl]+[Shift]+[6] |
Логическим выражением называется конструкция, составленная из выражений-отношений, логических операций и круглых скобок. Значение логического выражения вычисляется слева направо с учетом известного правила о приоритете операций.
Список приоритетов (по их убыванию):
круглые скобки;
логическая операция И;
логическая операция ИЛИ.
Пример 1. Найти сумму положительных (больших 0) из 10 первых элементов знакопеременного ряда
Пояснение: данное условие можно реализовать с помощью функции проверки условия if, а именно при переборе для суммирования всех элементов ряда проверяется условие Mi>0, в том случае, когда это условие выполняется, суммируется Мi элемент ряда, в противном случае к сумме добавляется 0.
|
Способ реализации |
Проверка |
Пример 2. Найти произведение положительных (больших 0) из 10 первых элементов знакопеременного ряда
Пояснение: данное условие можно реализовать с помощью функции проверки условия if, а именно при переборе для вычисления произведения всех элементов ряда проверяется условие Mi>0, в том случае, когда это условие выполняется, помножается Мi элемент ряда, в противном случае происходит умножение на 1, т.к.умножение именно на 1 не может повлиять на правильность результата.
|
Способ реализации |
Проверка |
Пример 3. Найти количество положительных (больших 0) из 10 первых элементов знакопеременного ряда
Пояснение: данное условие можно реализовать с помощью функции проверки условия if, а именно при подсчете количества элементов происходит суммирование с учетом проверки условия Mi>0, в том случае, когда это условие выполняется, к сумме добавляется 1, в противном случае к сумме добавляется 0.
|
Способ реализации |
Проверка |
Пример 4. Найти количество положительных (больших 0) и не больших 2 из 10 первых элементов знакопеременного ряда
Пояснение: данное условие можно реализовать с помощью функции проверки условия if, а именно при подсчете количества элементов происходит суммирование с учетом проверки сложного условия Mi>0 и Mi ≤ 2, в том случае, когда это условие выполняется, к сумме добавляется 1, в противном случае к сумме добавляется 0.
|
Способ реализации |
Проверка |
Выполните следующие задания согласно своему варианту с помощью пакета MathCad, сопровождая их соответствующими комментариями и выводами. В созданном документе создайте нижний колонтитул, в который по центру вставьте нумерацию страниц и свою фамилию.
Задание 1. Найти , если:
|
вариант |
Задание |
вариант |
Задание |
|
1 |
9 |
||
|
2 |
10 |
||
|
3 |
11 |
||
|
4 |
12 |
||
|
5 |
13 |
||
|
6 |
14 |
||
|
7 |
15 |
||
|
8 |
16 |
Задание 2. Проверить правильность теорем о пределах. Формулу xn взять из задания 1.
|
вариант |
Задание |
вариант |
Задание |
|
1 |
9 |
||
|
2 |
10 |
||
|
3 |
11 |
||
|
4 |
12 |
||
|
5 |
13 |
||
|
6 |
14 |
||
|
7 |
15 |
||
|
8 |
16 |
Задание 3. Вычислить предел функции.
|
вариант |
Задание |
вариант |
Задание |
|
1 |
9 |
||
|
2 |
10 |
||
|
3 |
11 |
||
|
4 |
12 |
||
|
5 |
13 |
||
|
6 |
14 |
||
|
7 |
15 |
||
|
8 |
16 |
Задание 4. Определить какие из этих функций являются бесконечно малыми, а какие бесконечно большими (общее задание).
Задание 5. Вычислить односторонние пределы (общее задание).
Задание 6. Пользуясь признаками Коши и Даламбера исследовать сходимость следующих рядов:
|
вариант |
Задание |
вариант |
Задание |
||
|
1 |
9 |
||||
|
2 |
10 |
||||
|
3 |
11 |
||||
|
4 |
12 |
||||
|
5 |
13 |
||||
|
6 |
14 |
||||
|
7 |
15 |
||||
|
8 |
16 |
Задание 7. Вывести значения первых 15 элементов каждого ряда. Рассчитать сумму и произведения элементов ряда с № варианта до № варианта+11. Формулу общего члена ряда взять из задания 1.
Задание 8. Выполнить задание из таблицы согласно своему варианту.
|
вариант |
Задание |
|
1 |
Найти количество (сумму, произведение) больших среднего арифметического из 10 первых элементов ряда Xn (формулу общего члена ряда взять из таблицы к заданию 6). |
|
2 |
Найти количество (сумму, произведение) больших среднего арифметического двух первых элементов, рассматривая 10 первых элементов ряда Xn (формулу общего члена ряда взять из таблицы к заданию 6). |
|
3 |
Найти количество (сумму, произведение) больших среднего арифметического трех первых элементов, рассматривая 10 первых элементов ряда Xn (формулу общего члена ряда взять из таблицы к заданию 6). |
|
4 |
Найти количество (сумму, произведение) элементов из 20% окрестности среднего арифметического из 20 первых элементов ряда Xn (формулу общего члена ряда взять из таблицы к заданию 6). |
|
5 |
Найти количество (сумму, произведение) элементов из 25% окрестности среднего арифметического из 20 первых элементов ряда Xn (формулу общего члена ряда взять из таблицы к заданию 6). |
|
6 |
Найти количество (сумму, произведение) элементов из 30% окрестности среднего арифметического из 20 первых элементов ряда Xn (формулу общего члена ряда взять из таблицы к заданию 6). |
|
7 |
Найти количество (сумму, произведение) элементов, невошедших в 20% окрестность среднего арифметического из 20 первых элементов ряда Xn (формулу общего члена ряда взять из таблицы к заданию 6). |
|
8 |
Найти количество (сумму, произведение) элементов, невошедших в 25% окрестность среднего арифметического из 20 первых элементов ряда Xn (формулу общего члена ряда взять из таблицы к заданию 6). |
|
9 |
Найти количество (сумму, произведение) элементов, невошедших в 30% окрестность среднего арифметического из 20 первых элементов ряда Xn (формулу общего члена ряда взять из таблицы к заданию 6). |
|
10 |
Найти количество (сумму, произведение) элементов, которые на 25% больше абсолютного значения минимального элемента из 25 первых элементов ряда Xn (формулу общего члена ряда взять из таблицы к заданию 6). |
|
11 |
Найти количество (сумму, произведение) элементов, которые на 20% больше абсолютного значения минимального элемента из 20 первых элементов ряда Xn (формулу общего члена ряда взять из таблицы к заданию 6). |
|
12 |
Найти количество (сумму, произведение) элементов, которые на 15% больше абсолютного значения минимального элемента из 25 первых элементов ряда Xn (формулу общего члена ряда взять из таблицы к заданию 6). |
|
13 |
Найти количество (сумму, произведение) положительных элементов ряда, значения которых принадлежат интервалу [a, b]. Рассматривать первые 20 элементов ряда Xn (формулу общего члена ряда взять из таблицы к заданию 6). Значения a, b задавать произвольно. |
|
14 |
Найти количество (сумму, произведение) элементов ряда, значения которых принадлежат интервалу [a, b]. Рассматривать первые 30 элементов ряда Xn (формулу общего члена ряда взять из таблицы к заданию 6). Значения a, b задавать произвольно. |
|
15 |
Найти количество (сумму, произведение) положительных элементов ряда, значения которых принадлежат интервалу [a, b]. Рассматривать первые 25 элементов ряда Xn (формулу общего члена ряда взять из таблицы к заданию 6). Значения a, b задавать произвольно. |
|
16 |
Найти количество (сумму, произведение) элементов, которые на 20% больше абсолютного значения минимального элемента из 40 первых элементов ряда Xn (формулу общего члена ряда взять из таблицы к заданию 6). |
Как вычисляется предел функции в конкретной точке?
Какие шаблоны используются для вычисления односторонних пределов?
Как при помощи пределов можно определить бесконечно большие и бесконечно малые функции?
Как вычисляется произведение элементов ряда?
Как вычисляется сумма элементов ряда?
Перечислите приложения пределов?