Елементи функціонального аналізу та диференціальне числення функцій багатьох змінних

Работа добавлена на сайт samzan.net:

ДИПЛОМНА РОБОТА

Теоретичні основи для реалізації розділу “ Елементи функціонального аналізу та диференціальне числення функцій багатьох змінних” курсу математичного аналізу за допомогою комп’ютерних технологій

З м і с т

Вступ ….......................................................................................................................4

ЧАСТИНА I Елементи функціонального аналізу...............................................5

Розділ 1. Метричні простори.................................................................................. 5

§ 1. Поняття метричного простору........................................................................... 5

§ 2. Нормований метричний простір........................................................................ 6

§ 3. Скалярний добуток..............................................................................................7

§ 4. Приклади метричних просторів………………………………………………. 9

Розділ 2. Збіжність в метричних просторах....................................................... 12

§ 1. Границя послідовності...................................................................................... 12

§ 2. Збіжність в просторах Rn, l2, C[a;b]…………………………………………...16

Розділ 3. Відкриті і замкнені множини............................................................... 17

§ 1. Деякі поняття теорії метричних просторів..................................................... 17

§ 2. Замикання та його властивості..........................................................................19

§ 3. Замкнені множини та їх властивості............................................................... 21

§ 4. Відкриті множини та їх властивості................................................................ 22

Розділ 4. Неперервні відображення..................................................................... 23

§ 1. Поняття функції................................................................................................. 23

§ 2. Границя і неперервність функції...................................................................... 24

§ 3. Зв’язні множини. Збереження зв’язності при неперервних відображеннях……………………………………………………………………... 26

Розділ 5. Компактні множини.............................................................................. 26

§ 1. Компакти та їх властивості............................................................................... 26

§ 2. Компакти в просторі Rn..................................................................................... 28

§ 3. Критерій компактності...................................................................................... 30

§ 4. Властивості функцій неперервних на компакті.............................................. 32

Розділ 6. Повні метричні простори...................................................................... 34

§ 1. Приклади повних метричних просторів.......................................................... 34

§ 2. Властивості повних метричних просторів...................................................... 37

§ 3. Теорема Банаха.................................................................................................. 39

ЧАСТИНА II Диференціальне числення функцій багатьох змінних…….. 41

Розділ 1. Поняття дійсної функції багатьох змінних....................................... 41

Розділ 2. Диференційовність функцій багатьох змінних................................ 46

§ 1. Поняття диференційовної функції. Часткові похідні. Необхідні умови диференційовності.................................................................................................... 46

§ 2. Достатні умови диференційовності функції багатьох змінних……………. 49

§ 3. Диференційовність складної функції.............................................................. 50

§ 4. Інваріантність форми диференціала функції багатьох змінних.................... 53

§ 5. Похідна за напрямком. Градієнт...................................................................... 54

Розділ 3. Частинні похідні і диференціали вищих порядків........................... 57

§ 1. Частинні похідні вищих порядків.................................................................... 57

§ 2. Достатні умови незалежності змішаних частинних похідних від порядку диференціювання...................................................................................................... 58

§ 3. Диференціали вищих порядків......................................................................... 61

§ 4. Формула Тейлора для функцій багатьох змінних.......................................... 63

Розділ 4. Неявні функції………………………………………………………… 65

§ 1. Існування неявної функції однієї змінної………………………………… ...65

§ 2. Існування неявної функції багатьох змінних.................................................. 68

§ 3. Існування неявної функції, яка задається системою рівнянь.........................69

Розділ 5. Екстремуми функцій............................................................................. 71

§ 1. Поняття екстремума функцій багатьох змінних............................................. 71

§ 2. Деякі відомості з теорії квадратичних форм................................................... 72

§ 3. Достатні умови існування екстремуму............................................................ 73

§ 4. Умовний екстремум.......................................................................................... 77

ЧАСТИНА III Розробка електронного посібника “Елементи функціонального аналізу та диференціальне числення функцій багатьох змінних”.................................................................................................................... 83

Висновки...................................................................................................................92

Список використаної літератури........................................................................ 93

Вступ

У час активного наукового розвитку, актуальною є проблема вибору таких засобів навчання, які б давали найкращі результати. Перехід на кредитно-модульну систему, дав поштовх до використання навчально-методичного забезпечення, основу якого складають електронні підручники.

Метою дипломної роботи є підбір матеріалу для написання електронного підручника з деяких розділів курсу математичного аналізу, що сприяє підвищенню ефективності самостійної роботи студентів та створення відповідного посібника.

У ході виконання дипломної роботи нами створений такий навчальний посібник, який містить розділи “Елементи функціонального аналізу” та “Диференціальне числення функцій багатьох змінних”.

В існуючих підручниках з математичного аналізу є різні підходи до висвітлення одних і тих же питань, що викликає певні труднощі. Ці підручники писалися в той період, коли деякі питання сучасної програми не вивчались і навпаки. Тому нашим завданням було зібрати необхідні матеріали, як єдине ціле. Що ми й зробили.

Електронний підручник складається з двох частин. У першій – “Елементи функціонального аналізу”, введено поняття метричного простору, скалярного добутку, відкритих та замкнених множин, неперервних відображень. В цій частині також висвітлено теорію компактних множин, повних метричних просторів. Детально розглянуто властивості функцій неперервних на компактах, а також принцип стискуючих відображень.

У другій частині “Диференціальне числення функцій багатьох змінних” дано поняття дійсної функції багатьох змінних, часткового приросту функції по змінній хі, викладено основи диференціального числення функцій багатьох змінних. Докладно розглянуто питання диференційовності функцій, інваріантності форми диференціала та похідної за напрямком. Окремі розділи відведено для частинних похідних та диференціалів вищих порядків, теорії неявних функцій та екстремумів функцій.

Частина I Елементи функціонального аналізу

Розділ 1. Метричні простори

§ 1. Поняття метричного простору

В математичному аналізі ми часто зустрічаємося з поняттям границі. Причому в деяких випадках для послідовності одних і тих же об’єктів, в зв’язку з різними задачами, вводяться різні поняття границі. Всі ці поняття збіжності мають те спільне, що збіжність послідовності елементів {хп} до елемента х0 означає необмежене “наближення” хп до х0, необмежене зменшення “відстані” між цими елементами, коли номер п необмежено зростає. В залежності від того, як ми розуміємо відстань між елементами хп і х0, ми отримаємо різні означення границі. Тоді є зручним для деяких множин елементів дати загальне поняття відстані між елементами, а потім ввести за допомогою цієї відстані поняття границі. Такі множини називаються метричними просторами.

Означення 1.1. Множина Χ називається метричним простором, якщо для будь-яких x, y із множини Χ ставиться у відповідність дійсне число ρ(x,y) і при цьому виконуються наступні умови:

1)ρ(x,y)≥0, при чому ρ(x,y)=0 тоді і тільки тоді, коли x=y (аксіома тотожності);

2)ρ(x,y)=ρ(y,x) (аксіома симетрії);

3)x,y,z є Χ виконується умова ρ(x,z)≤ρ(x,y)+ρ(y,z) (аксіома трикутника).

Прикладами метричних просторів є: відрізок, 3-вимірний простір. Елементи простору називаються точками простору, ρ(x,y) називається відстанню між елементами x,y. Якщо введена відстань, то говорять, що введена метрика.

Якщо візьмемо будь-яку множину, то можна ввести метрику, поклавши ρ(x,y)=1, якщо xy і ρ(x,y)=0, якщо x=y.

§ 2. Нормований метричний простір

Надалі ми будемо використовувати поняття лінійної системи, яке розглядалося в лінійній алгебрі.

Означення 2.1. Непорожня множина Χ називається лінійною системою над полем Р, дійсних чисел, якщо:

I.Для будь-яких двох елементів хR і уR є однозначно визначений    третій елемент z=x+y, який називається їх сумою, причому

1)х+у=у+х (комутативність додавання),

2)х+(у+z)=(x+y)+z (асоціативність додавання).

II.Для будь-якого дійсного числа  і будь-якого елемента хR існує і притому єдиний елемент х, який називається добутком елемента х на число , причому ( і  - числа, х, у - елементи):

3)(х)=()х (асоціативність множення),

4)1.х=х,

5)(х+у)=х+у   (дистрибутивність множення

6)(+)х=х+х   відносно додавання).

III.Існує такий елемент R, який називається нульовим, що

7) 0х= для будь-якого хR.

Означення 2.1. Лінійний система Х називається лінійним нормованим простором, якщо  ставиться у відповідність дійсне число , яке задовільняє наступним умовам:

1)≥0, причому =0 тоді і тільки тоді, коли ;

2), виконується рівність ;

3)для довільних  з множини  виконується нерівність

Число  називається нормою елемента х. Елементи множини  називаються точками, або векторами простору.

Якщо в лінійному нормованому просторі  за відстань між елементами х, у прийняти

         (2.1),

то отримаємо метричний простір.

Дійсно, з умови 1) означення 1.3 випливає, що , причому  тоді і тільки тоді, коли , а це еквівалентно тому, що. Так, як , то з умови 2) означення 1.3 маємо

.

Виконання умови 3) означення метричного простору слідує з властивості 3) означення 2.1. Дійсно нехай , тоді

.

Таким чином ми переконались, що будь-який лінійний нормований простір стає метричним простором, якщо покласти . При цьому слід зауважити, що .

Зауваження 1.1 Якщо маємо лінійну систему і на ній введена матрика, то не завжди величину можна прийняти за . Справді, розглянемо множину S всіх послідовностей дійсних чисел . Коли відстань між двома  послідовностями  і , визначимо рівністю   , то множина S стане метричним простором. Якщо в цьому просторі ввести поняття суми х+у і добутку х, елементів х на дійсне число , як це робиться з послідовностями, а за нульовий елемент прийняти =(0,0,...,0), то даний метричний простір стане лінійною системою. Коли за значення норми елемента х прийняти число  , то не буде виконуватись друга аксіома норми, тобто  не завжди дорівнює  

§ 3. Скалярний добуток

Означення 3.1. Нехай маємо лінійну систему Х. Говорять, що на лінійній системі Х введено скалярний добуток, якщо будь-якій парі елементів і із цієї системи ставиться у відповідність дійсне число , яке задовільняє наступним умовам:

1)(х,у)=(у,х);

2)(х+у,z)=(x,z)+(y,z);

3) для довільного дійсного числа  і довільних  виконується рівність (х,у)=(х,у);

4)(х,х)0 причому (х,х)=0 тоді і тільки тоді коли х=.

Число (х,у) називають скалярним добутком елементів х і у.  З означення скалярного добутку випливає:

, .

Позначимо . Пізніше ми покажемо, що ця величина задовольняє всім умовам норми.

Теорема 3.1. Нехай Х – лінійна система , на якій введено скалярний добуток. Тоді для будь-яких  і  має місце нерівність

        (3.1)

Нерівність (3.1) називається нерівністю Коші-Буняковського.

Доведення. Якщо , то нерівність (3.1) очевидна.

Розглянемо випадок, коли . Нехай , очевидно, . Розглянемо скалярний добуток де λ – довільне дійсне число. Внаслідок означення скалярного добутку (умова 4)  при довільному . Перетворивши вираз, який стоїть в лівій частині нерівності одержимо: , або . Оскільки квадратний тричлен при всіх дійсних  невідє’мний, то дискримінант цього тричлена недодатній, тобто  звідси і слідує нерівність (3.1).

Покажемо, що величина  є нормою. Виконання умови , очевидне. Причому  тоді і тільки тоді, коли . Це слідує із умови 4) означення скалярного добутку. З рівності , де  – дійсне число, слідує, що . Переконаємось, що . Так, як ,

то  внаслідок нерівності (3.1) маємо: . Звідси слідує: . Нерівність доведена.

Таким чином ми бачимо, що лінійна система, на якій введено скалярний добуток, стає лінійним нормованим простором, якщо норму визначити рівністю , а значить і метричним, якщо за відстань між елементами х і у прийняти величину .

§ 4. Приклади метричних просторів

I. Простір Rn. Розглянемо множину, елементами якої є упорядковані набори n дійсних чисел . Якщо суму  елементів  і  визначимо рівністю , а добуток , де  – рівністю , і за нульовий елемент приймемо , то дана множина стане лінійною системою. Введемо скалярний добуток елементів  х і у  формулою:

       (4.1).

Покажемо, що при цьому виконуються всі умови скалярного добутку.

1) – очевидно.

2).

3)Нехай ,,. Тоді

.

4)Для довільного х із даної множини маємо . Звідси робимо висновок: , причому  тоді і тільки тоді, коли всі .Таким чином формула (4.1) визначає скалярний добуток.

Ввівши норму на даній лінійній системі формулою , ми одержуємо лінійний нормований простір.

Тепер можна ввести відстань між елементами таким чином: .

Означення 4.1. Простір, елементами якого є упорядковані набори п дійсних чисел , а відстань між елементами ,  визначається рівністю , називається простором .

II. Простір l2. Розглянемо множину елементами якої є послідовності дійсних чисел  таких, що .

Введемо суму елементів  і  таким чином: . Покажемо, що  належить цій множині, тобто . Так, як при кожному п виконується нерівність  і кожний із рядів  ;  збіжний, то на основі ознаки порівняння збіжності додатніх рядів,  ряд  теж збіжний, тобто х+у належать даній множині.

Якщо за добуток дійсного числа  на елемент х із цієї множини приймемо послідовність , а за нульовий елемент приймемо , то дана множина стане лінійною системою. Введемо скалярний добуток елементів  і  формулою

       (4.2).

Покажемо, що ряд, який стоїть в лівій частині рівності (4.2) є збіжний. З нерівності  вірній при кожному , на основі ознаки порівняння збіжності додатніх рядів, слідує абсолютна збіжність цього ряду. Виконання умов скалярного добутку перевіряється так само, як і в попередньому пункті.

Введемо норму:

        (4.3).

Таким чином дана лінійна система є нормованим лінійним простором, а значить і метричним, якщо за відстань між  і  прийняти:        (4.4).

Означення 4.2. Простір, елементами якого є послідовності   дійсних чисел, які задовольняють умову , а відстань між елементами  і  визначається формулою  називається простором  .

III.Простір С[а,в]. Розглянемо множину функцій неперервних на сегменті [а,в]. Якщо під сумою двох функцій розуміти звичайну суму функцій, під добутком числа  на функцію , звичайний добуток числа на функцію, а за нульовий елемент прийняти функцію тотожньо рівну нулю, то дана множина стає лінійною системою. Введемо на цій системі норму рівністю:

       (4.5)

Вираз в правій частині існує для будь-якої функції з даної множини внаслідок 2-ї теореми Вейєрштрасса.

Покажемо, що виконуються умови 1)-3) означення норми.

1.Нерівність  , причому , тоді і тільки тоді коли  очевидна.

2..

3.Поскільки при кожному  виконується нерівність , то і  , або те саме, що .

Таким чином наша лінійна система стає нормованим простором, якщо норму визначити рівністю (4.5), а значить і метричним, якщо відстань між точками х, у цього простору визначити формулою

       (4.6).

Означення 4.3. Простір елементами якого є функції неперервні на сигменті  і відстань визначається формулою (4.6) називається простором .

Розділ 2. Збіжність в метричних просторах

§ 1. Границя послідовності

В цьому параграфі ми розглянемо одне з найважливіших понять математичного аналізу – границю послідовності в метричному просторі. Ви побачите, що тут буде багато чого схожого на те, що вивчалось для послідовностей дійсних чисел.

Означення 1.1. Кулею з центром в точці , радіуса r, в метричному просторі Х називається множина точок   цього простору, які задовільняють умови: .

Кулю з центром в   і радіуса r будемо позначати .

Означення 1.2. Околом точки  будемо називати кулю з центром в цій точці.

Означення 1.3. -околом точки  називається куля .

Кулю, яка введена в означенні 1.1, називають відкритою кулею. Іноді вживають поняття замкненої кулі з центром в точці  і радіусом r – це множина точок метричного простору, для яких виконується нерівність . Замкнену кулю позначають . -окіл точки х0 будемо позначати S(x0;), або О(х0).

Означення 1.4. Множина М метричного простору Х називається обмеженою , якщо існує замкнена куля, яка містить цю множину.

Нехай маємо послідовність

       (1.1)

елементами якої є точки метричного простору Х.

Означення 1.5. Точка , метричного простору Х, називається границею послідовності (1.1), якщо  .

Дане означення, очевидно еквівалентне наступному:

Означення 1.5.* Точка   є границею послідовності (1.1), якщо  NN, таке, що для всіх n≥N, виконується нерівність .

Якщо  є границею послідовності (1.1), то це записують так: .

Як ми бачимо, означення границі послідовності в метричному просторі, аналогічне означенню границі послідовності дійсних чисел (Якщо , то ).

Якщо , то геометрично це означає, що який би ми окіл точки  не взяли, починаючи з деякого номера, всі члени послідовності попадуть в цей окіл.

Означення 1.6. Послідовність, яка має границю, називається збіжною.

Теорема 1.1. Якщо послідовність має границю, то вона єдина.

Доведення. Нехай  і . Поскільки ,коли , то . Зачить .

Теорема 1.2. Якщо послідовність має границю, , то і будь-яка її підпослідовність   має границю .

Доведення. Нехай . Тоді , на основі властивості границі для послідовностей дійсних чисел  , де – підпослідовність послідовності .

Теорема 1.3. Якщо послідовність має границю, то вона – обмежена.

Доведення.  Нехай . Візьмемо , тоді існує натуральне число N таке, що при всіх  виконується нерівність:

        (1.2).

Нерівність може не виконуватись тільки для перших N-1 елементів цієї послідовності. Якщо за r візьмемо , то для всіх n виконується нерівність: .

Означення1.7.  Нехай маємо послідовність елементів метричного простору Х. Дана послідовність називається фундаментальною, якщо  NN таке, що при всіх n≥N, m≥N  виконується нерівність .

Tеорема 1.4. Якщо послідовність  має границю, то вона – фундаментальна.

Дана теорема доводиться аналогічно, як і для послідовностей дійсних чисел.

Обернене твердження, як це було для дійсних чисел, в довільному метричному просторі не вірне. Дійсно, розглянемо простір, елементами якого є раціональні числа і відстань між х і у визначимо рівністю . Послідовність , nN належить цьому простору, вона – фундаментальна, але границі не має (  ірраціональне число).

Лема 1.1. Для будь-яких x, y, z, u з метричного простору Х правильна нерівність:

        (1.3).

Доведення. За аксіомою трикутника маємо

,

звідси

        (1.4).

Помінявши місцями x i z, y i u, одержимо:

       (1.5).

З (1.4) і (1.5) випливає (1.3). Лему доведено.

Теорема 1.5. Коли , , то .

Доведення. За лемою 1.1 , коли . Теорему доведено.

Нехай маємо лінійний нормований простір. Тоді в цьому просторі можемо ввести метрику, поклавши . Збіжність в метриці породженій нормою, називають збіжністю по нормі.

Теорема 1.6. Якщо послідовність  фундаментальна і існує підпослідовність  цієї послідовності, яка збігається до , то і сама послідовність збігається до .

Доведення. Нехай  фундаментальна послідовність, – збіжна підпослідовність, . Візьмемо . Внаслідок фундаментальності , існує натуральне число N1 таке, що при , виконується нерівність:

       (1.6).

Внаслідок збіжності  існує натуральне , що при  виконується нерівність

       (1.7).

Нехай . Візьмемо , враховуючи, що , використовуючи (1.6) і (1.7), при  будемо мати

.

Звідки слідує, що . Теорема доведена.

§ 2. Збіжність в просторах Rn, l2, C[a;b] 

В цьому параграфі ми розглянемо, що означає збіжність в деяких просторах.

Розглянемо збіжність в просторі Rn.

Нехай маємо послідовність , ,  і , де . Згідно з означенням границі послідовності, маємо: .

З нерівності , вірної при кожному k (k=1,2,…,n), робимо висновок, що при кожному k .

Таким чином ми бачимо, що із збіжності послідовності в метриці простору , слідує покоординатна збіжність.

Вірно і навпаки. Нехай при кожному і, і=1, 2, …,n  . Тоді , а це означає, що .

Висновок: збіжність в просторі Rn еквівалентна покоординатній збіжності.

Розглянемо збіжність в l2.

Нехай , , . Як і в попередньому випадку переконуємось, що з збіжності послідовності в метриці простору , слідує покоординатна збіжність.

Обернене твердження, взагалі кажучи, невірне. Візьмемо послідовність: ; …; ;…

Для кожного і, і=1, 2,…, існує границя , в той час, як послідовність  простору  не належить.

Розглянемо збіжність в просторі С[a;b].

Нехай , де   (збіжність розуміється в метриці простору ). Це означає, що або . Візьмемо , тоді існує натуральне , що при  виконується нерівність: , а значить, що при всіх  виконується нерівність . Тобто послідовність функцій збігається рівномірно. Таким чином, із збіжності послідовності в метриці простору С[a;b] слідує рівномірна збіжність.

Нехай послідовність {xn(t)} функцій  з C[a;b] збігається рівномірно до функції x0(t). З теорем про  неперервність границі рівномірно-збіжної послідовності неперервних функцій, слідує, що х0(t) неперервна функція, тобто x0C[a;b]. Візьмемо >0 . Тоді існує натуральне число N, що при всіх  виконується нерівність , для всіх , а значить, і  при . Звідси робимо висновок . Тобто послідовність збігається до в метриці простору С[a;b].

Таким чином можна зробити висновок: збіжність послідовності функцій в метриці простору С[a;b] еквівалентна рівномірній збіжності цієї послідовності на сегменті [a;b].

Розділ 3. Відкриті і замкнені множини

§ 1. Деякі поняття теорії метричних просторів

Нехай маємо метричний простір Х, і Е – множина цього простору,  х0Х – точка простору Х.

Означення 1.1. Точка , називається граничною точкою множини Е, якщо в будь-якому околі цієї точки міститься хоча б одна точка множини Е, відмінна від .

Означення 1.2. Точка , називається граничною точкою множини Е, якщо в будь-якому околі цієї точки міститься нескінченна множина точок множини Е.

Означення 1.1 і 1.2 – еквівалентні. Те, що з другого означення випливає перше, очевидно. Покажемо, що з першого означення слідує друге. Доведемо це методом від супротивного! Припустимо, що  гранична точка множини Е згідно означення 1.1 і не є граничною згідно означення 1.2. Тоді існує окіл S(x0;) такий, що в ньому міститься скінченна кількість точок з множини Е. Нехай це будуть точки , причому  . Серед чисел , вибираємо найменше. Нехай воно дорівнює r0. Візьмемо окіл S(x0;r0), очевидно . Тоді в околі S(x0;r0) нема жодної точки з множини Е, відмінної від . Таким чином ми прийшли до протиріччя.

Означення 1.3. Множину граничних точок множини Е називають похідною множиною множини Е.

Похідну множину позначають .

Теорема 1.1. Для того, щоб точка   була граничною точкою множини Е, необхідно і достатньо, щоб існувала збіжна до  послідовність попарно різних і відмінних від   точок .

Доведення. Необхідність. Нехай . В кулі  існує безліч точок з множини Е. Візьмемо одну з них, яка відмінна від  і позначимо її . В кулі  також є нескінченна множина точок з Е. Візьмемо одну з них, відмінну від  і  і позначимо її . Аналогічно з кулі  відділяємо точку , яка належить множині Е і відмінна від . Продовжуючи цей процес до нескінченності, одержимо послідовність  , , всі  різні і . Так, як , коли , то .

Достатність. Нехай , , коли ,  і . Тоді для всякого  існує натуральне число N таке, що при  точки , тобто містяться в -околі точки . Отже  гранична точка множини Е.

Означення 1.4. Точка , називається точкою дотику множини , якщо в будь-якому околі цієї точки міститься хоча б одна точка з множини Е.

З означення ми бачимо, що точками дотику множини Е є точки самої множини і точки, які є граничними точками для неї.

Означення 1.5. Точка, яка належить множині, але не є граничною для неї, називається ізольованою точкою множини.

Означення 1.6. Точка , називається межовою точкою множини , якщо в будь-якому її околі є точки, які належать даній множині, і точки, які їй не належать.

Означення 1.7. Точка , називається внутрішньою точкою множини , якщо вона належить цій множині разом з деяким своїм околом.

§ 2. Замикання і його властивості

Означення 2.1. Множина всіх точок дотику множини , називається замиканням даної множини.

Замикання множини будемо позначати .

З означення ми бачимо, що , де  - похідна множини .

Теорема 2.1. Замикання множини має наступні властивості:

1);

2), тобто замикання множини співпадає з самим замиканням;

3)якщо  і  - множини метричного простору Х і , то ;

4)якщо  і  - множини метричного простору Х , то .

Доведення. 1)Включення  очевидне.

2)Доведемо, що

        (2.1).

Перш за все замітимо, що на основі властивості 1),

        (2.2).

Покажемо протилежне включення:

        (2.3).

Нехай . Візьмемо довільний -окіл, , точки . В цьому околі є хоча б одна точка з . Позначимо її . Візьмемо  і розглянемо -окіл, , точки  . Оскільки для будь-якої точки х з цього околу виконується нерівність:

,

то робимо висновок, що

       (2.4)

Так як , то в околі  міститься хоча б одна точка з множини Е, тому внаслідок (2.4), в околі  також міститься хоча б одна точка з множини Е. Тобто . Цим самим доведено співвідношення (2.3). З (2.2) і (2.3) слідує рівність (2.1).

3)Якщо , то кожна точка дотику  є точкою дотику , цим самим властивість 3) доведена.

4)Доведемо, що

        (2.5).

Покажемо, що

        (2.6).

Нехай . Переконаємось, що , або  . Якщо , то існує окіл  точки  такий, що в ньому нема жодної точки з . Якби  не належала , то існував би окіл  в якому нема жодної точки з . Тоді в околі , де  нема точок ні з , ні з , а значить і з об’єднання , тобто , таким чином , або , а значить . Включення (2.5) доведено.

Доведемо обернене включення. З того, що  і , слідує, що  і , а значить і

(2.7).

З (2.6) і (2.7) слідує (2.5). Теорему доведено.

§ 3. Замкнені множини і їх властивості

Означення 3.1. Множина F метричного простору Х, називається замкненою, якщо вона містить всі свої граничні точки.

Інакше кажучи, F – замкнена множина, якщо .

Наприклад: сегмент [a;b] – замкнена множина; множина, яка складається з скінченної кількості точок – замкнена (). Покажемо, що замкнена куля   є замкненою множиною. Для цього треба показати, що якщо  –гранична точка , то . Нехай  гранична точка . Тоді внаслідок теореми 1.1, знайдеться послідовність  , яка збігається до . За теоремою 1.4 розділу 2, маємо . Оскільки , то , тобто . Твердження доведено.

Теорема 3.1. Об’єднання скінченного числа замкнених множин є множиною замкненою.

Доведення. Нехай ,  – замкнені множини. Покажемо, що F – замкнена множина. Нехай . Покажемо, що  є граничною точкою хоча б однієї з . Доведемо від супротивного. Припустимо, що  не є граничною точкою жодної з множин . Так як , то існує окіл  в якому нема жодної точки з  (відмінної від ). Аналогічно, існує окіл , в якому нема жодної точки з  (відмінної від ) і т. д. Існує окіл  в якому нема жодної точки  з   (відмінної від ). Тоді в околі  де  нема жодної точки з , а значить і з об’єднання   (відмінної від ). Тобто . Прийшли до протиріччя. Таким чином . Внаслідок замкненості  точки , а значить і об’єднанню . Теорему доведено.

Зауваження: об’єднання нескінченної множини замкнених множин може і не бути замкненим. Це випливає з наступного прикладу: .

Кожна з множин   замкнена, а об’єднання цих множин не є замкненим, ((-1;1) не є замкненою множиною).

§ 4. Відкриті множини і їх влативості

Нехай Х – метричний простір.

Означення 4.1. Множина  метричного простору називається відкритою, якщо кожна її точка є внутрішньою точкою цієї множини.

Весь простір Х – відкрита множина. Порожня множина за означенням є відкритою. Будь-яка куля  є відкритою множиною. Покажемо це. Нехай , тобто r. Позначимо через . Якщо , то . Отже . Таким чином кожна точка кулі  належить кулі , тобто . Значить кожна точка  є внутрішньою точкою.

Нехай Е множина простору Х. Через СЕ будуть позначати доповнення множини Е до простору Х.

Теорема 4.1. Для того, щоб множина G метричного простору Х була відкритою, необхідно і достатньо, щоб доповнення СG цієї множини до простору Х було замкненим.

Доведення. Необхідність. Нехай G – відкрита множина, і   гранична точка СG. Покажемо, що . Припустимо, що . Тоді . Так, як G є відкритою множиною, то  – внутрішня точка цієї множини, а тому існує окіл  цієї точки, який повністю міститься в G і, значить, в ньому нема жодної точки з СG, що суперечить означенню граничної точки. Таким чином . Тобто якщо , то . Множина СG – замкнена.

Достатність. Нехай СG – замкнена і . Внаслідок замкненості  СG точка  не може бути точкою дотику CG. Значить існує окіл  такий, що в ньому немає жодної точки CG, тобто  міститься повністю в G. Таким чином кожна точка множини G є внутрішньою точкою цієї множини. Тобто множина G – відкрита.

Теорема 4.2. Переріз скінченної кількості відкритих множин є відкритою множиною.

Теорема 4.3. Об’єднання  довільної множини відкритих множин є множина відкрита.

Доведення обох теорем – схожі. Ми доведемо теорему 4.2.

Нехай , де   – відкриті множини. Розглянемо доповнення СG множини G до простору Х. . Так як кожна множина   відкрита, то доповнення СGі – замкнене. Внаслідок теореми 3.1, множина є замкненою множиною, а множина G внаслідок теореми 4.1, є відкритою множиною.

Зауваження до теореми 4.2. Переріз нескінченної множини відкритих множин може і не бути відкритою множиною. Це видно з наступного прикладу:

 .

Розділ 4. Неперервні відображення

§ 1. Поняття функції

Означення 1.1. Нехай маємо дві множини Х і У. Якщо кожному елементу  за певним законом ставиться у відповідність один і тільки один елемент  у із множини У, то говорять, що на множині Х задана функція f (або відображення множини Х в множину У).

Записують так: . Якщо у відповідає х, то записують так: . Множина Х  називається областю визначення функції f. Множина тих , які приймає функція, називається областю значень функції ,   – область значень,   (не обов’язково ). Якщо , говорять, що функція відображає множину Х на множину У.

Через будемо позначати прообраз множини (це множина А всіх тих х-ів з Х, що ).

§ 2. Границя і неперервність функції

Нехай маємо два метричні простори Х і У. Відстань в просторі Х будемо позначати , в просторі У – 1.

Нехай множина М міститься в Х, , на множині М задана функція , яка відображає множину М в У,  гранична точка множини М.

Означення 2.1. Елемент b простору У, називається границею функції  f, коли х прямує до , якщо для довільного існує  таке, що для будь-якого х із множини М , яке задовольняє умові , виконується нерівність: .

Дане означення евівалентне наступному.

Означення 2.2. Елемент b простору У, називається границею функції  f, коли х прямує до , якщо для довільної послідовності  вилученої з М, причому , яка збігається до , відповідна послідовність значень функції збігається до b.

Еквівалентність обох означень доводиться як і для дійсних функцій.

Якщо b – границя функції  f при х, прямуючому до , то записують так: , іноді пишуть, коли . Якщо , то це геометрично означає, що який би ми окіл точки b не взяли, то знайдеться проколотий окіл точки х0 такий, що якщо х попаде в цей проколотий окіл, то f(x) попадає у вибраний окіл точки b (проколотий окіл точки х0 – це окіл точки х0 з якого вилучено точку х0).

Означення 2.3. Функція f, ,називається неперервною в точці , якщо для довільного , існує , таке, що для всіх х з множини М , які задовільняють умові , визначається нерівність .

Якщо  є граничною точкою множини М , то це означення еквівалентне наступному.

Означення 2.4. Функція f називається неперервною в точці , якщо .

Еквівалентність обох означень для цього випадку очевидна.

Означення 2.5. Функція f, яка відображає множину М метричного простору Х в метричний простір У , називається неперервною на множині М, якщо вона неперервна в кожній точці цієї множини.

Означення 2.6. Функція f , , називається рівномірно неперервною на множині М, якщо для довільного , існує таке , що для будь-яких х1 і х2 із множини М, які задовольняють умові , виконується рівність .

Якщо f  рівномірно неперервна на М, то вона і неперервна на цій множині. Обернене твердження взагалі невірне.

Теорема 2.1. (Критерій неперервності). Для того, щоб відображення f:XY було неперервним в Х, необхідно і достатньо, щоб прообразом будь-якої відкритої множини простору У була відкрита множина простору Х.

Доведення. Необхідність. Нехай f неперервне відображення і G  відкрита множина простору У,  f –1(G) прообраз G. Якщо f –1(G) є порожньою множиною, то все зрозуміло, бо порожня множина є відкритою множиною. Нехай f –1(G) і х0 f –1(G). Тоді у0=f(x0) G. Оскільки G відкрита множина, то існує -окіл S(y0;) точки у0, який повністю лежить в G. Так, як відображення f  неперервне в точці х0, то існує -окіл цієї точки такий, що для всякого х з цього околу, f(x) належить S(y0,). Отже всі точки -околу точки х0 належать f –1(G), а це означає, що х0 внутрішня точка f –1(G), а  f –1(G) є відкритою множиною.

Достатність. Нехай прообразом будь-якої відкритої множини є відкрита множина. Покажемо, що f неперервна функція в G. Нехай х0Х, у0=f(x0)Y. Візьмемо довільний -окіл S(f(x0),) точок f(x0). Оскільки він є відкритою множиною, то його прообразом є відкрита множина, яка містить точку х0. Тому існує -окіл S(x0,) точки х0, який повністю міститься в f –1(G). А це означає, що f є неперервною функцією в точці х0, а отже і в просторі Х. Теорему доведено.

§ 3. Зв’язні множини. Збереження зв’язності при неперервних відображеннях

Означення 3.1. Множина М метричного простору Х, називається зв’язною, якщо при будь-якому розбиті її на дві непорожні множини, хоча б одна з них містить хоча б одну точку дотику другої.

Теорема 3.1. Образ зв’язної множини при неперервному відображенні є зв’язною множиною.

Доведення. Нехай , f неперервна функція, М зв’язна множина. Покажемо, що  є зв’язною множиною. Розіб’ємо множину В на дві непорожні множини В1 і В2. . Через А1 позначимо прообраз  множини В1, а через  А2 – прообраз множини В2. Очевидно . Причому А1 і  А2  - непорожні множини. Оскільки М є зв’язною множиною, то одна із множин А1 або А2  містить хоча б одну точку дотику другої. Нехай х0А1 і є точкою дотику множини А2. Нехай  f(x0)=y0 ,  у0 є В1. Візьмемо довільний окіл  точки  у0. Внаслідок неперервності функції f в точці х0 знайдеться окіл точки х0 такий, що, коли то . Так як х0 – точка дотику множини А2, то в околі є хоча б одна точка з цієї множини, а значить в є хоча б одна точка з В2, тобто точка у0 є точкою дотику множини В2.

Аналогічно показуємо, що, якщо х0А2 і є точкою дотику А1, то у0=f(x0) є В2 і є  точкою дотику В1. Теорему доведено.

Означення 3.2. Відкрита зв’язна множина, називається областю.

Розділ 5. Компактні множини

§ 1. Компакти і їх властивості

Нехай Х – метричний простір, К – множина з цього простору.

Означення1.1. Множина К метричного простору Х, називається компактом, якщо з будь-якої послідовності елементів цієї множини можна виділити підпослідовність, збіжну до точки, яка належить К.

Теорема 1.1. Всякий компакт К метричного простору Х є замненою множиною.

Доведення. Нехай К компакт і х0 гранична точка К. Візьмемо послідовність {xn}, xn є К, таку, що (існування такої послідовності слідує з теореми 1.1. розділу 3.). Оскільки К компакт, то з {xn} можна виділити підпослідовність , яка збігається до точки х*, яка належить К. Оскільки границя послідовності і границя будь-якої її підпослідовності рівні, то х*=х0. Таким чином  х0К, а це означає, що К є замкненою множиною.

Теорема 1.2. Всякий компакт К, метричного простору К є обмеженою множиною.

Доведення. Припустимо, що К необмежена множина. Виберемо довільну точку . Тоді для кожного натурального числа п, знайдеться елемент хп є К такий, що . Візьмемо послідовність {xn}. Так, як К є компактом, то з {xn} можна виділити підпослідовність , збіжну до точки  х*, яка належить К, . Це означає, що . З нерівності      слідує , коли . Прийшли до протиріччя. Теорему доведено.

Означення 1.2. Діаметром множини Е метричного простору Х, називається точна верхня межа множини {}, де x’ , x” є Е.

Теорема 1.3. Нехай задана послідовність  компактів метричного простору Х. Тоді переріз  не порожний.

Доведення. Вибравши в кожному  Кп по точці хп, одержимо послідовність . Так як К1 є компакт, то з можна виділити підпослідовність ,яка збігається до точки, яка належить К1. Нехай  . Оскільки при кожному п, починаючи з пк>n, всі члени послідовності належать Кп і Кп замкнена, то х0  є Кп. А це значить, що .

Теорема 1.4. Нехай маємо послідовність  компактів метричного простору Х, діаметри яких прямують до нуля. Тоді існує єдина точка, яка належить всім компактам.

Доведення.  Те, що існує точка, яка належить всім компактам слідує з попередньої теореми. Покажемо, що така точка – єдина.

Припустимо, що існує хоча б дві різні точки х’ i x”, які належать всім компактам. Нехай , тоді діаметри всіх Кп не менші d. Так як діаметри компактів пямують до нуля, то починаючи з деякого номера, їхні діаметри будуть менші d. Прийшли до протиріччя. Теорему доведено.

§ 2. Компакти в просторі Rn

Відомо, що з будь-якої обмеженої послідовності {xn} дійсних чисел, можна виділити збіжну підпослідовність. Ця теорема називається теоремою Больцано-Вейєрштраса. Аналогічна теорема справедлива для послідовності з простору Rn.

Теорема 2.1. (теорема Больцано-Вейєрштраса в Rn ). З будь-якої обмеженої послідовності в просторі Rn, можна виділити збіжну підпослідовність.

Доведення. Нехай маємо послідовність х(1), х(2),…,х(m),..елементів простору Rn, x(m)=(x1(m), x2(m),…,xn(m)). Припустимо, що дана послідовність обмежена. Тоді існує точка х(0)=(х1(0). х2(0),…,хп(0) ) і дійсне число r таке, що , для всіх т. Тобто для всіх т виконується нерівність:

         (2.1).

З нерівності , вірній при k=1,2,…,n, слідує, що кожна з числових послідовностей {xk(m)} – обмежена.

Візьмемо послідовність {x1(m)}. На основі теореми Больцано-Вейєштраса для дійсних чисел, з цієї послідовності можна виділити збіжну підпослідовність , .

Розглянемо підпослідовність  послідовності {x2(m)}. З неї можна виділити збіжну підпослідовність . Нехай , і т. д. З підпослідовності  виділити збіжну підпослідовність , .

Візьмемо підпослідовність , послідовності {х(т)}, . Оскільки , ,...,  , то , де х*=(х1*,...,хп* ). Теорему доведено.

Іноді дану теорему формулюють в іншому вигляді.

Теорема 2.1/. Будь-яка нескінченна обмежена множина в Rn, має хоча б одну граничну точку.

Доведення. Нехай обмежена нескінченна множина, тоді з неї можна виділити послідовність {х(т)}, причому х(k) х(р), якщо kp. Внаслідок теореми 2.1, з цієї послідовності можна виділити збіжну підпослідовність. Нехай границя цієї підпослідовності дорівнює х*. На основі теореми 1.1 розділу 3 (критерію того, що дана точка є граничною точкою множини), х* є Е/.

Теорема 2.2. Для того, щоб множина К простору Rn, була компактом, необхідно і достатньо, щоб вона була замкненою і обмеженою.

Доведення. Необхідність, слідує з теорем 2.1 і 2.2. Доведемо достатність.

Візьмемо послідовність {x(m)}, хт є К. З обмеженості множини К, слідує обмеженіть {x(m)}. На основі теореми Больцано-Вейєрштраса, з цієї послідовності можна виділити збіжну підпослідовність . Нехай . Очевидно х(0) – точка дотику множини К. З замкненості К випливає, що х(0) є К. Звідси робимо висновок, що К – компакт.

§ 3. Критерій компактності

Нехай маємо множину Е метричного простору Х і {} – система відкритих множин цього простору.

Означення 3.1. Говорять, що система {} відкритих множин, покриває множину Е, якщо кожна точка х є Е, належить хоча б одній з множин  , цієї системи.

Теорема 3.1. (Гейне-Бареля). Нехай К – компакт, який належить метричному простору Х. Тоді з будь-якого відкритого покриття компакта К можна виділити скінченне підпокриття.

Доведення. Нехай К – компакт, – довільне відкрите покриття К. Спочатку доведемо, що існує 0>0 таке, що при будь-якому х є К, куля S(x, 0) входить цілком в деяку множину .

Припустимо, що це не так. Тоді знайдеться послідовність чисел п0, п>0 і точок хп є М, таких, що кулі S(xn, п) не ввійдуть ні в одну з множин . З послідовності {xn}, можна виділити підпослідовність , яка збігається до точки х0 є К (внаслідок того, що К компакт). Так, як система   покриває К, то знайдеться множина з цієї системи така, що . Внаслідок того, що  є відкритою множиною, то   цілком містить деяку кулю. Виберемо пк настільки великим, щоб і , з нерівності , справедливої для будь-якого х із кулі , робимо висновок, що , хоча за побудовою  не може входити ні в одне . Це протиріччя доводить справедливість твердження.

Нехай 0>0 вибране так, що виконується вище доведене твердження. Покажемо, що існує скінченна кількість точок , , що .

Припустимо, що це не так. Візьмемо довільне х1К. Тоді існує х2К таке, що (х1;x2)0 (в іншому випадку компакт містився б у кулі S(x1;0)). Аналогічно існує х3К, таке, що (х1;x3)0, (х2;x3)0 і т.д. Одержимо послідовність {xn}, таку, що (хi;xj)0, при ij. Очевидно, що жодна підпослідовність цієї послідовності не є фундаментальною, а значить і збіжною. Прийшли до протиріччя.

Таким чином існує скінченна кількість точок х1, х2,..., хр, хіК, що . Так, як  цілком входить в деяку множину , то . Теорему доведено.

Теорема 3.2. Нехай К – непорожня множина метричного простору Х. Якщо із будь-якої системи {}, відкритих множин, яка покриває К, можна виділити скінченне підпокриття, то К – компакт.

Доведення. Припустимо, що К не є компактом. Тоді існує послідовність {хп} така, що з неї не можна виділити підпослідовніть, яка збігається до точки множини К. Тоді кожна точка х множини К має окіл S(x;) ( - залежить від х) в якому міститься не більше, як скінченна кількість елементів послідовності. (Якби в довільному околі якоїсь точки х* є К, міститься нескінченна множина точок послідовності, то існувала б підпослідовність послідовності {хп}, яка б збігалася до до х*). Множина куль S(x;) покриває множину К. Внаслідок умови теореми, існує скінченна кількість куль  S(уі, і), (і=1,2,...,р), які покривають К. Так, як всі елементи послідовності {хп} містяться в , а в кожній S(уі, і) міститься скінченна кількість елементів послідовності, то {хп} має скінченну кількість елементів, що суперечить означенню послідовності. Теорему доведено.

З теорем 3.1 і 3.1, слідує критерій того, що К є ком пактом.

Теорема 3.3. Для того, щоб множина К метричного простору Х була компактом, необхідно і достатньо, щоб з кожного відкритого покриття К можна було виділити скінченне підпокриття.

§ 4. Властивості функцій неперервних на компакті

Коли ми вивчали функції дійсної змінної, то ми бачили, що якщо функція неперервна на сегменті, то вона мала цілий ряд властивостей. Деякі з цих властивостей мають місце для функцій неперервних на компактах.

Нехай маємо метричні простори Х і У, через   будемо позначити відстань в Х,  – відстань в У; КÌ  Х  компакт в Х.

Теорема 4.1. Якщо функція f неперервна на компакті К, то образ f(К), цього компакта, є компактом.

Доведення. Нехай f:KÌ X®Y неперервна функція на компакті К. Через f(К) позначимо образ К при даному відрбраженні. Покажемо, що f(К) компакт. Нехай у1, у2,..., уп... послідовність з f(К). Через хп позначимо – прообраз уп. Якщо якась точка уп має декілька прообразів, то будемо брати будь-який з них. Таким чином ми отримали послідовність {хп}, хп є К. Так як К компакт, то з  {хп} можна виділити підпослідовність , яка збігається до точки, яка належить К. Нехай , f(х0)=у0f(K). Розглянемо підпослідовність  послідовності {уп}. Поскільки f неперервна в х0, то . Звідси й слідує, що К є компактом.

Нехай ЕÌ Х, f:Е®У. f(Е), образ Е при даному відображенні. Якщо виявиться, що для кожного у є f(Е) існує тільки одне х є Е таке, що f(х)=у, то на f(Е) можна визначити функцію, яка кожному уÎf(Е) ставить у відповідність хÎЕ таке, що f(x)=y. Ця функція називається оберненою до f. Позначають обернену функцію: . Зрозуміло, що областю визначення оберненої функції є f(E), а областю значень – Е. При цьому f  є оберненою до .

Очевидно, для того, щоб функція f мала обернену, тобто була оборотною, необхідно і достатньо, щоб відображення f:E®f(E) – було взаємно-однозначним.

Теорема 4.2. Якщо функція f:KÌX®Y, неперервна на компакті і відображення f:K®f(K) – взаємно-однозначне, то обернене відображення - неперервне на f(K).

Доведення. Доведення проведемо методом від супротивного. Припустимо, що  не є неперервною функцією на f(K). Тоді існує y0Îf(K) таке, що в ній  має розрив. Нехай f -1(y0)=х0. Оскільки f -1 має розрив в точці у0, то існує e >0 таке, що для кожного натурального п, знайдеться упÎf(K) таке, що , але . Нехай хп=f -1(уп), хпÎК. Так, як К компакт, то з послідовності {xn} можна виділити підпослідовність , яка збігається до точки із множини К, , з нерівності  слідує

,

коли . Звідси робимо висновок, що х0¹х*. Внаслідок неперервності f маємо

       (4.1) 

(f(x*)¹y0, так як у0=f(x0), а відображення взаємно-однозначне). З іншого боку , коли , тобто , що суперечить (4.1). Теорему доведено.

Теорема 4.3. Якщо функція f:KÌX®Y, неперервна на компакті К, то вона і рівномірно неперервна на К.

Доведення. Доведення проведемо методом від супротивного. Припустимо, що функція f не є рівномірно неперервною на К. Тоді існує e0>0 таке, що для кожного натурального п знайдуться точки , які належать множині К такі, що , але .

Одержали дві послідовності . Поскільки К – компакт, то з  можна виділити підпослідовність , яка збігається до точки х0, яка належить К. Розглянемо підпослідовність   послідовності . З нерівності  слідує, що . Так, як функція f неперервна в точці х0, то і  . Тобто

=         (4.3).

З нерівності  робимо висновок, що , що суперечить нерівності  при всіх натуральних k. Теорему доведено.

Розглянемо деякі властивості функцій неперервних на компакті, значення яких є дійсні числа, тобто f:KÌX®R (R – множина дійсних чисел). Такі функції називаються числовими.

Теорема 4.4. (Вейєрштрасса) Якщо числова функція неперервна на компакті КÌХ, то вона обмежена на К і приймає на ньому найбільше та найменше значення.

Доведення. Нехай f:KÌX®R є неперервною на К. Внаслідок Т.4.1, множина f(K) – компакт, а, оскільки, компакт є обмеженою множиною, то f(K) є обмеженою множиною.

Доведемо, що функція приймає найбільше і найменше значення на К, тобто існують точки х1 і х2 такі, що для всіх хÎК виконується нерівність: . Нехай . Візьмемо e >0. Тоді існує хК таке, що. Звідси робимо висновок, що b є точкою дотику f(K). Внаслідок замкненості f(K) (Т. 1.1), bÎf(K). Значить існує х1ÎК, що f(x1)=b.

Аналогічно показуємо, що існує х2ÎК таке, що f(x2)=а, де . Теорема доведена.

Розділ 6. Повні метричні простори

§ 1. Приклади повних метричних просторів

Раніше ми показали, що коли послідовність елементів {хп} метричного простору Х має границю, то вона фундаментальна. Був приведений приклад, який показував, що обернене твердження взагалі кажучи невірне.

Означення 1.1 Метричний простір називається повним, якщо будь-яка фундаментальна послідовність цього простору має границю.

Прикладом повного метричного простору є R – множина дійсних чисел. Простір, елементами якого є раціональні числа  і відстань між числами визначається рівністю  не є повним.

Покажемо повноту просторів Rn, l2, C[a;b].

Встановимо повноту Rn

Нехай маємо фундаментальну послідовність {x(m)} елементів простору Rn: x(m)=(x1(m), x2(m),…,xn(m)).

З нерівності, вірної при кожному і,(і=1,2,...,п) і фундаментальності {x(m)} випливає фундаментальність кожної з послідовностей {xi(m)}, і=1,2,…,п, а, значить і збіжність, внаслідок критерію Коші збіжності числової послідовності. Нехай  . Тоді послідовність {x(m)} збігається до х(0)=(х1(0),...,хп(0)), оскільки в просторі Rn покоординатна збіжність еквівалентна збіжності в метриці цього простору. Повнота простору Rn доведена.

Розглянемо простір l2

Візьмемо довільну фундаментальну послідовність {x(n)} елементів простору l2. х(п)=(х1(п), х2(п),...,хі(п),...) . Як це було зроблено вище, встановлюємо, що при кожному і, послідовність {xi(n)} – фундаментальна, а значить – збіжна.

Нехай . Покажемо, що послідовність х(0)=(х1(0),х2(0),..,хі(0),..) є елементом простору l2 і  .

Візьмемо e >0. Тоді існує натуральне число N таке, що при всіх п³N i m³N виконується нерівність  або те саме

       (1.1)

З цієї нерівності слідує, що при кожному фіксованому натуральному р

         (1.2)

Якщо ми п зафіксуємо, а т спрямуємо до нескінченності, то одержимо:

.

Оскільки ця нерівність вірна при будь-якому натуральному р, то перейшовши до границі, коли р прямує до нескінченності, одержимо:

       (1.3)

Звідси виливає, що послідовність (х1(п)-х1(0), х2(п)-х2(0),...,хі(п)-хі(0),...)Îl2. З рівності хі(0)=хі(п)-(хі(п)-хі(0)) і з того, що l2 є лінійною системою, робимо висновок, що х(0)=(х1(0),...,хі(0),...)Îl2. З нерівності (1.3), яка вірна при будь-якому n³N робимо висновок, що . Повнота простору l2 доведена.

Розглянемо простір С[a;b]

Нехай {xn} – фундаментальна послідовність елементів простору С[a;b]. Візьмемо e >0. Тоді існує натуральне число N таке, що при п³N i m³N виконується нерівність:  або , а це означає, що при будь-якому t виконується нерівність: при п³N i m³N.

З критерію Коші рівномірної збіжності робимо висновок, що дана послідовність функцій збігається рівномірно до х0 на сегменті [a;b]. Оскільки всі хп неперервні на [a;b], то х0 теж неперервна на даному сегменті. Тобто х0ÎС[a;b]. Оскільки збіжність {xn} в просторі С[a;b] еквівалентна рівномірній збіжності цієї послідовності, то робимо висновок, що . Повнота С[a;b] доведена.

Нехай маємо лінійний нормований простір.

Лінійний нормований простір, називається простором Банаха (або банаховим простором), якщо він є повним простором в метриці породженій нормою. Наведені вище приклади є прикладами банахових просторів. Серед банахових просторів особливе місце займають гільбертові простори.

Означення. Нескінченно вимірна лінійна система, на якій введено скалярний добуток, називається простором Гільберта (або гільбертовим простором), якщо вона є повним метричним простором в метриці породженій скалярним добутком.

Простір l2 є простором Гільберта.

§ 2. Властивості повних метричних просторів

Теорема 2.1. Будь-яка замкнена множина F повного метричного простору Х, сама є повним метричним простором (метрика в F визначається так само, як і в Х).

Доведення. Нехай {xn} – фундаментальна послідовність, хпF. Оскільки Х– повний простір, то існує границя цієї послідовності . Так, як F – замкнена множина, то х0F. Отже, будь-яка фундаментальна послідовність точок хпF, має в F границю. Теорему доведено.

Теорема 2.2. Для того, щоб метричний простір Х був повним, необхідно і достатньо, щоб у ньому будь-яка послідовність вкладених одна в одну замкнених куль, радіуси яких прямують до нуля, мала непорожній переріз.

Доведення. Необхідність. Нехай простір Х є повним простором, і  – послідовність вкладених одна в одну замкнених куль цього простору, причому .

Покажемо, що послідовність {xn}, центрів цих куль, утворює фундаментальну послідовність. Дійсно, так як при m>n  , то  . Оскільки rn0, то для будь-якого  >0 існує натуральне число N таке, що при nN виконується нерівність rn<, а, значить  при nN маємо . А це означає, що {xn} – фундаментальна послідовність. Внаслідок повноти Х, існує . Кулі  вкладені одна в одну, тому  при kn. Оскільки  замкнена множина, то , при кожному п, а значить . Необхідність доведена.

Достатність. Нехай будь-яка послідовність вкладених замкнених куль, радіуси яких прямують до 0, має спільну точку. Покажемо, що простір Х є повним простором. Нехай {xn} фундаментальна послідовність точок цього простору. З означення фундаментальної послідовності матимемо: 0, існує п()N таке, що тN, mn(), справедлива нерівність:

        (2.1).

Із (2.1) випливає, що для  знайдеться n1N: m>n1,

       (2.2).

Утворимо замкнену кулю  з центром в  і радіусом рівним 1. На основі нерівності (2.1), для , знайдеться n2N, n2>n1: m>n2. Утворимо знову замкнену кулю  з центром в і радіусом рівним 1/2. Зазначимо, що . Візьмемо будь-яке x, тоді

,

звідси випливає, що  . Отже . Продовжуючи цей процес, одержимо послідовність вкладених замкнених куль  радіуси яких прямують до нуля, а центри знаходяться в точках . На основі припущення теореми, існує точка х0, яка належить всім . Оскільки для кожного k виконується нерівність , то . Так, як фундаментальна послідовність {xn} має збіжну підпослідовність , то на основі теореми 1.6. розділу 2, послідовність {xn} збіжна. Теорему доведено.

Теорема 2.3.  Нехай в повному метричному просторі маємо послідовність вкладених одна в одну замкнених куль, радіуси яких прямують до нуля. Тоді існує єдина точка, яка належить всім цим кулям.

Доведення. Нехай  – послідовність замкнених куль, які задовільняють умові теореми: , rn0, коли . Існування точки спільної всім кулям слідує з теореми 2.2. Припустимо, що таких точок є більше ніж одна і нехай – точки, які належать всім кулям. Так, як  при всіх п, то маємо , що неможливо, бо rn0 при п. Значить точка, яка є спільною для всіх куль – єдина.

§ 3. Теорема Банаха

Одним із важливих прикладів неперервних відображень є, так звані, стискуючі відображення.

Означення 3.1. Нехай f відображення метричного простору X1 в X2. Відображення називається стискуючим, якщо : 0<<1: x, yX1, справедлива нерівність: .

Легко показати, що стискуюче відображення є неперервним. Дійсно, нехай х0Х1. Тоді . Якщо хх0, то , а значить . Отже, відображення є неперервним.

Дуже часто в математиці виникає потреба з’ясувати при яких умовах те чи інше рівняння має на деякій множині єдиний розв’язок. При розв’язуванні цієї задачі використовують властивості стискуючих відображень заданих в повних метричних просторах.

Означення 3.2. Нехай f відображає Х в Х. Точка х0Х, називається нерухомою точкою оператора f , якщо f(x0)=x0.

Теорема (Банаха). Якщо f:XX є стискуючим відображенням, і Х повний метричний простір, то відображення f в даному просторі має єдину нерухому точку.

Доведення. Візьмемо довільне х0Х, х1=f(x0), x2=f(x1),…xn=f(xn-1),… В результаті одержали послідовність {xn}X. Тоді

 

      (3.1).

Візьмемо будь-яке п, тоді p

 (n+p-1+n+p-2+… ...+n)(x1;x0)<(n+n+1+…+n+p-1+n+p+…)(x1;x0)= (x1;x0).

Оскільки 0<<1, то останній вираз при п, прямує до нуля так, що  >0, n0: nn0, справедлива .

З останніх двох нерівностей одержуємо, що послідовність {xn} є фундаментальною, а оскільки простір повний, то і збіжною до деякої точки аХ.

Внаслідок неперервності відображення f маємо:

 . 

Звідси слідує, що а є нерухомою точкою цього відображення.

Для доведення єдиності точки а, припустимо, що b є ще одна нерухома точка відображення: b=f(b), причому ab. Тоді матимемо:

 , бо 0<<1.

Прийшли до суперечності. Теорему доведено.

 ЧАСТИНА II Диференціальне числення функцій багатьох змінних

Розділ 1. Поняття дійсної функції багатьох змінних

В цьому розділі ми для функцій f, які діють з RnR, побудуємо апарат диференційного числення і вкажемо на деякі його застосування. Оскільки областю визначення цієї функції будуть деякі множини з простору Rn, кожна точка яких задається п дійсними координатами, а значеннями цієї функції є дійсні числа, то функції, які ми будемо вивчати, називатимуться дійснозначними функціями від п дійсних змінних або функціями багатьох змінних.

Таким чином, в цьому розділі ми будемо займатися функціями виду:

 f: ER1 ERn , E – область визначення функції, f(E)R – множина значень.

Графіком функції двох дійсних змінних є деяка поверхня в просторі R3. Звичайно можна ввести поняття графіка і для функції більшої кількості змінних, але тоді ця множина М буде розміщена в просторі, розмірність якого більша або рівна 4, і цей об’єкт зобразити важко.

Із попередньої частини випливає, що для функцій багатьох змінних можна вводити поняття границі і поняття неперервності. Зауважимо, що ці речі переносяться сюди.

Домовимось, окіл точки  х(0) , радіуса r позначати  , а проколотий окіл – .

Означення 1.1. (неперервність функції за Гейне). Нехай f:ER, x(0)E. f називається неперервною в точці х(0), якщо для будь-якої послідовності {x(к)}: x(к)E , яка збігається до х(0), послідовність {f(x(к))} – збіжна до числа f(x(0)).

Означення 1.2. (неперервність функції по Коші). Нехай f: ER, x(0)E. Функція f називається неперервною в точці х(0),якщо для будь-якого >0 існує >0 таке, що для всякого хЕ, що задовільняє нерівності (х;x(0))<, виконується нерівність f(x)-f(x(0))<.

Якщо х(0)є граничною точкою множини Е, то означення неперервності можна сформулювати наступним чином.

Означення 1.3. Нехай f: ER, x(0)E і х(0)  гранична точка множини Е. Функція f називається неперервною в точці х(0), якщо   .

Зрозуміло, що якщо f – неперервна в усіх точках множини Е, то вона називається неперервною на множині Е.

Як і для функцій однієї змінної, так і для функцій багатьох змінних мають місце теореми Вейєрштрасса. Так, як обмежена замкнена множина в просторі Rn  є компактом, то на основі теореми 4.4 розділу 5, першої частини дані теореми можна сформулювати наступним чином.

Теорема 1.1. (Теорема Вейєрштрасса). Якщо функція f неперервна на обмеженій і замкненій множині FRn, то вона обмежена на цій множині і досягає на ній своїх найбільшого і найменшого значень.

Теорема 1.2. Якщо G відкрита і зв’язна множина в просторі Rn, то будь-які дві точки цієї множини можна з’єднати неперервною кривою, всі точки якої належать множині G.

Доведення. Припустимо, що висновок теореми не вірний. Це означає, що існують дві точки х(1) і х(2), які належать множині G, які не можна з’єднати неперервною кривою, всі точки якої належать множині G.

Позначимо через А множину, що містить точку х(1) і всі ті точки множини  G, які можна з’єднати із точкою х(1) неперервною кривою, яка належить G. Решту точок, - позначимо через В. Тобто В=G–A.

Оскільки G – відкрита, то х(1) входить в G разом з деяким своїм околом. Зрозуміло, що всі точки околу можна з’єднати з центром неперервною кривою (навіть прямолінійним відрізком), тобто до А входять всі точки з околу. Це означає, що А – непорожня і відкрита множина, бо якщо якась точка х(3)А, тобто її можна зєднати з х(1) неперервною кривою, то неперервною кривою можна з’єднати з точкою х(1) всі точки з деякого околу точки х(3).

Очевидно, що В – непорожня (бо там є х(2)) і також відкрита. Із побудови видно, що АВ=, а також , що G= AB. Оскільки множина G зв’язна, то хоча б одна з цих множин містить точку дотику другої. Нехай точка х(0)А є точкою дотику множини В. Тоді в будь-якому околі точки х(0) є хоча б одна точка з множини В. Візьмемо окіл точки х(0), який міститься в G. Всі точки з цього околу можна сполучити з х(0) неперервною кривою, яка лежить в G, а значить х(0) не може бути точкою дотику множини В. Аналогічно встановлюється, що жодна точка множини В не може бути точкою дотику множини А. Прийшли до суперечності. Теорему доведено.

Приклад. Нехай маємо функцію

Чи буде функція неперервною в точці (0;0)? Для цього потрібно з’ясувати чи буде ?

За умовою. Розглянемо два шляхи прямування (x;y)(0;0).

,

, а це означає, що дана функція в даній точці границі не має. Значить в цій точці функція має розрив.

Нагадаємо, що будь-яка зв’язна відкрита множина, називаєтся областю.

Множина, що є об’єднанням області G і її граничних точок, називається замкненою областю.

Теорема1.3. (про неперервність складної функції). Нехай маємо функцію z=f(x1, x2,…, xn) причому точка (х1,...,хп)Е, ERn. Нехай задано ще таку систему функцій:

х1=1(t1,…,tk)

x2=2(t1,…tk)

.....................

xn=n(t1,…,tk),

 де точки (t1,…,tk)GRk. Якщо функції 1,…,n неперервні в точці С=(t1(0),…,tk(0))G, а функція z=f(x1, x2,…, xn) неперервна в точці (х1(0),…хп(0))=х(0)Е (тут х1(0)=1(t1(0),…,tk(0)), х2(0)=2(t1(0),…,tk(0)),..., хп(0)=п(t1(0),…,tk(0))), то складна функція z від (t1,…,tk) – неперервна в точці t(0)= =(t1(0),…,tk(0)).

Доведення. Оскільки функції 1,...,п – неперервні в точці t(0),то (з означення неперервності за Гейне), для будь-якої послідовності t(і), яка належить множині G і збіжна до t(0) матимемо, що х(і)=(х1(і),...,хп(і)) (х1(0),…хп(0)). Тоді, оскільки функція f(x1, x2,.., xn)= f(x) є неперервною в точці х(0), то за означенням Гейне, з того, що послідовність х(і) збігається до х(0), слідує, що , або те саме,

 .

 А це означає, що складна функція неперервна в точці t(0). Теорему доведено.

Оскільки дана функція має множину значень, яка є деякою множиною дійсних чисел, які можна порівнювати, то виникає питання: чи має місце тут теорема Больцано-Коші?

Теорема 1.4. Больцано-Коші (для функції багатьох змінних.)

Нехай f:ER неперервна на зв’язній множині ЕRn. Якщо f(x(1))=A, f(x(2))=B; x(1), x(2)E, AB, то для будь-якої точки C,(CR), що лежить між А і В, існує точка х(3)Е така, що f(x(3))=C.

Доведення. Оскільки Е зв’язна множина в Rn, то за теоремою 1.1, будь-які дві її точки можна з’єднати неперервною кривою, всі точки якої належать множині Е. Це означає, що неперервною кривою можна з’єднати і точки х(1), х(2), де х(1)=(х1(1), х2(1),..., хп(1)), х(2)=(х1(2), х2(2),..., хп(2)).

Таким чином існують функції х1=1(t), х2=2(t),…, хn=n(t), –  неперервні на [,] , (1()…n())=x(1), (1()…n())=x(2) і якщо t змінюється від  до , то точка рухається по цій кривій від х(1)до х(2). 

Розглянемо нашу функцію в точках тільки цієї неперервної кривої. Оскільки точки кривої задаються системою рівнянь від змінної t, z=f(x1, x2,…,xn), а точки (x1, x2,…,xn) належать кривій, то х1=1(t), x2=2(t),…, xn=n(t). Це означає, що наша функція z є складною функцією параметра t, z=f(1(t),2(t),…,n(t)), t[,]=(t) .

()=, ()=.

Оскільки f неперервна на Е, то вона неперервна в точках кривої, що належить цій множині. Кожний аргумент хі, теж є неперервною функцією параметра t. Тому за теоремою 1.2, матимемо, що складна функція (t) є неперервною функцією однієї змінної на [, ], а звідси за теоремою Больцано-Коші (з одномірного аналізу) випливає, що існує [, ]: ()=C (з умови теореми), тобто f(1(), 2(),…, n())=C, а оскільки точка (1(), 2(),…, n()) є точкою нашої кривої, то вона є і точкою множини Е, позначимо її х(3).Таким чином f(x(3))=С. Теорему доведено.

Приведемо ще одне  різницеве означення неперервності функції багатьох змінних.

Означення 1.4. Нехай U=f(x1,…,xn) – задана в деякій області G, і (х1(0),х2(0),...,хп(0))G. Надамо цій точці приріст, так щоб новоутворена точка не

вийшла за межі області G. Одержимо точку . Тоді величина , називається приростом функції f(x1; x2;…;xn). 

Зрозуміло, що функція U=f(x1,…,xn)буде неперервною в точці (x1(0),…,xn(0)) тоді і тільки тоді, коли .

Розділ 2. Диференційовність функцій багатьох змінних

§ 1. Поняття диференційовної функції. Часткові похідні. Необхідні умови диференційовності

Очевидно є проблема перенесення означення похідної функції однієї змінної на похідну функції багатьох змінних. І ця проблема полягає в тому, що кожна із змінних має свій приріст.

В зв’язку з цим, перенести означення похідної можна, якщо приріст надавати не всім змінним, а тільки одній із них. В результаті ми одержимо аналог похідної, який будемо називати частковою похідною від функції багатьох змінних, як було в одномірному аналізі.

Означення 1.1. Величину   , називають частковим приростом функціі по змінній хі, де хі0, в точці х(0). 

Означення 1.2. Якщо існує границя , то її називають частинною похідною функції U(x) в точці х(0) і позначають:  , або .

Означення 1.3. Функція U=f(x), називається диференційовною в точці х(0), якщо повний приріст цієї функції в цій точці можна зобразити у вигдяді ,      (1.1),

де Аі – незалежні від  величини, і є функціями від , які прямують до нуля, коли .

Означення 1.4. Якщо функція диференційовна в точці х0, то вираз  називається диференціалом функції в даній точці і позначається ,

.

Як ми бачимо, диференціал це є лінійна відносно  частина приросту функції. З рівності (1.1) слідує, що якщо функція диференційовна в точці , то вона неперервна в цій точці.

Теорема 1.1. Якщо функція диференційовна в точці, то існують усі часткові похідні в цій точці.

Якщо рівність (1.1) справедлива для будь-якого приросту х(0), то вона справедлива, коли  , а решта . Тоді , поділимо обидві частини на . Після переходу до границі, одержимо: .

Обернене твердження взагалі невірне.

Розглянемо функцію

В точці (0;0) існують часткові похідні.

;

.

Але дана функція не є неперервною в точці (0;0), тому вона не може бути і диференційовною в цій точці.

Таким чином цей приклад показує:

1)Із існування всіх часткових похідних в точці, не випливає диференційовність цієї функції в цій точці.

2)Не обов’язково розривна функція не повинна мати часткових похідних.

Зауважимо, що в означенні диференційовної функції на  накладається умова: .

З теореми 1.1. бачимо, що якщо функція диференційовна в точці х0, то її приріст можемо записати у вигляді

 , де і – нескінченно малі функції від .

Якщо  – незалежні змінні, то їх прирости називаються диференціалами, тобто: .

Таким чином диференціал функції можна записати у вигляді .

Як ми знаємо, між диференційовністю функції однієї змінної в якійсь точці х0 і наявністю дотичної до графіка функції в точці (х0, f(x0)), є зв’язок. Перенести його на функцію будь-якої кількості змінних (3) – не можливо, бо графік такої функції буде розміщуватись в просторі розмірності >3. Та все ж таки для функції z=f(x;y) таку проблему можна ставити, бо її графіком буде деяка поверхня в просторі R3, для якої ми можемо ввести поняття дотичної площини, а отже, можливо, і зможемо зв’язати проблему існування дотичної площини з умовою диференційовності функції.

Означення 2.4. Площина Р, називається дотичною до деякої поверхні G в деякій точці М0(у0; x0; z0) цієї поверхні, якщо:

1) М0Р;

2) кут між цією площиною і січною М0М, де М –  будь-яка точка поверхні G, прямує до нуля, якщо точка М прямує до співпадання з точкою М0.

Нехай функція z=f(x; y) диференційовна в точці А(х0; y0), тоді приріст функції  можна записати у вигляді , , коли 0, де .

Розглянемо площину:  і покажемо, що вона є дотичною до поверхні в точці (х0; y0; z0), де z0=f(x0; y0). Для того, щоб довести, що ця площина буде дотичною до нашої поверхні в точці  (х0; y0; z0) потрібно показати:

1) що вона проходить через точку  (х0; y0; z0), а це очевидно, бо координати цієї точки наше рівняння задовільняють;

2) що кут між нормаллю цієї площини і січною прямуватиме до 90, коли точка М прямує до точки М0, рухаючись по цій поверхні.

Нехай  –- вектор нормалі до площини в точці М0. Розглянемо вектор , де М(х; y; z) – довільна точка на поверхні.

Врахувавши, що  , одержимо:

, коли ,

це рівнозначне тому, що коли ММ0 по поверхні, то кут між  і  прямує до 90, а це означає, що кут між площиною і січною прямує до нуля.

Отже площина  є дотичною до функції в точці М0(х0; y0; z0).

§ 2. Достатні умови диференційовності функції багатьох змінних

В попередньому параграфі ми показали, що, якщо функція диференційовна в точці, то в даній точці існують часткові похідні. Обернене твердження взагалі кажучи не вірне. Але при цьому має місце наступна теорема.

Теорема 2.1. Нехай функція U=(x1; x2;…;xn) в деякому околі точки А(х1(0); x2(0);…;xn(0)) має всі частинні похідні. Якщо вони є функціями неперервними в точці А, то дана функція – диференційовна в цій точці.

Доведення. Для простоти викладу будемо вважати, що наша функція залежить від двох змінних, U=f(x; y), A(x0; y0). 

Надамо х0, у0 прирости такі, що точка   належить околу, в якому існують часткові похідні. Використовуючи теорему Лагранжа, одержимо:

, де , . Оскільки за умовою f /x і f  /y – неперервна в точці х0, у0, то величини  і  прямують до нуля, коли . Знайшовши з останніх двох рівностей перші доданки справа і підставивши їх у суму, одержимо: , а це означає, що наша функція в точці А є диференційовною. Теорему доведено.

§ 3. Диференційовність складної функції.

Коли ми розглядали поняття диференційовності функції, то в представленні  вважалося, що  одночасно не можуть дорівнювати нулю. Тобто функції і не визначені в точці (0,...,0). Якщо доозначимо і в точці (0,0,...,0), поклавши і(0,...,0)=0, то рівність (1.1) матиме зміст і тоді, коли всі .

Нехай функції    

        (3.1)

визначені в області D1Rk, а функція U=f(x1,…,xn) визначена в області DRn при чому, якщо точка (t1,…,tk)D1, то точка (1(t1,…,tk ),…, n(t1,…, tk))D. Тоді ми одержимо складну функцію U=f(1(t1,…,tk ),…, n(t1,…, tk)), яка визначена в області D1.

Теорема 3.2. Нехай всі функції (3.1.) диференційовні в А(t1(0),…,tk(0)), а функція U=f(x1,…,xn) диференційовна в точці  В(x1(0),…,xn(0)), де хі(0)=I(t1(0),…,tk(0)), тоді складна функція U(t1,…,tk) –диференційовна в точці А і при цьому її часткові похідні обчислюються по формулі: , де і=1,...,k.

Доведення. Для простоти викладок, проведемо доведення, коли U=f(x1,x2), x1=1(t1, t2, t3); x2=2(t1, t2, t3), A=(t1(0), t2(0), t3(0)), B=(x1(0), x2(0)).

Оскільки функції 1, 2  диференційовні в точці А за умовою, то надавши t1(0), t2(0), t3(0) прирости t1, t2, t3, які одночасно всі не дорівнюють нулю, прирости функцій х1, х2, що відповідають цим приростам, можна записати у вигляді:

        

       (3.2)

 

,         (3.3),

де і, і0, а значить  і  0, коли  tk0. Оскільки х1(0), х2(0), одержали прирости х1, х2, які обчислюються за допомогою формул (3.2), (3.3), то в силу того, що U=f(x1, x2) в точці В диференційовна, її приріст в цій точці можна записати у вигляді:

(3.4),

тут 1, 20, коли (х1,х2)(0,0) (при цьому можуть х1=х2=0).

Підставивши (3.2) і (3.3) в (3.4), одержимо:

Замінивши множники біля t1, t2, t3 , в останніх трьох доданках, відповідно на 1, 2, 3, отримаємо:

 

Якщо t1, t2, t30, то 1, 2, 30, 1, 2, 30, і х1, х20, а значить 10, 20. Тому 1, 2, 30. Звідси робимо висновок, що функція U(t1, t2, t3) – диференційовна в точці , і при цьому , де і=1, 2, 3.

§ 4. Інваріантність форми диференціала функції багатьох змінних.

Нехай функція U=f(x1,…,xn) диференційовна в точці В, а функції  х1=1(t1,…,tk) ,…,xn=n(t1,…, tk), як вимагалось в теоремі 3.2 – диференційовні в точці А, при чому координати точки В зв’язані з координатами точки А, як і вимагалось в цій теоремі. Тоді, як ми довели, U(t1…,tk) диференційовна в точці А. А оскільки ti – незалежні аргументи, то існує диференціал нашої функції дорівнює:

Так, як  при кожному і, то dU  можна переписати у вигляті:

,

а останній вираз не відрізняється від dU, коли х1,...,хn – незалежні змінні.

Отже ми довели: форма диференціала функції багатьох змінних не залежить від того, чи її аргументи – незалежні змінні, чи функції якихось інших знінних. Ця властивість називається інваріантністю форми диференціала.

§ 5. Похідна за напрямком. Градієнт.

Нехай маємо напрямок в точці М0(х0, у0, z0)R3, заданий одиничним вектором , який утворює, з додатніми напрямками осей ОХ, ОУ, ОZ, кути, що відповідно дорівнюють , , . Через точку М0 проведемо пряму, яка проходить вздовж вектора  . За додатній напрямок візьмемо напрям вектора . На цій прямій виберемо точку М, відмінну від М0.

Означення 5.1. Орієнтовною довжиною відрізка М0М з початком в точці М0 і кінцем в точці М, називається число, яке дорівнює довжині цього відрізка, коли напрям вектора  співпадає з напрямом , або число, яке дорівнює довжині цього відрізка взятій із знаком мінус, коли  напрямки векторів   і  – протилежні.

Нехай функція U=f(x, y, z) – визначена в деякому околі точки М0(х0,у0,z0), точка М, відмінна від М0, яка лежить на вище згаданій прямій і належить даному околу.

 Означення 5.2. Якщо існує границя , то її називають похідною функції f(x,y,z) в точці М0 за напрямком вектора  і позначають: , .

Таким чином , ,  є похідними за напрямками, які визначаються відповідно додатніми напрямками осей ОХ, ОУ, ОZ.

Теорема 5.1. Якщо функція f(x,y,z) диференційовна в точці М0(x0,y0,z0), то в цій точці вона має похідну за будь-яким напрямком  і при цьому виконується рівність:

.      (5.1)

Доведення. Нахай маємо точку М0 і через неї проведена пряма, яка проходить через вектор . На прямій взято точку , . Так, як функція диференційовна в точці М0, то

,

де 1, 2, 3 прямують до нуля, коли х0, у0, z0. Оскільки х=М0Мcos, у=М0Мcos, z=М0Мcos, то

.        (5.2).

Оскільки, якщо ММ0, то х, у, z,0, а значить і 1, 2, 3 прямують до нуля. Таким чином права частина рівності (5.2) ( а отже і ліва), має границю, коли ММ0, що дорівнює

.

Це означає, що похідна за напрямком  існує і виконується рівність (5.1).

Теорему доведено.

Нехай функція U=f(x,y,z) диференційовна в точці М0(х0,у0,z0). Тоді за теоремою 5.1, в цій точці існує похідна функції за будь-яким напрямком. Часто виникає питання: за яким напрямком ця похідна буде найбільша?

Розглянемо два вектори: одиничний вектор , який визначає напрямок, і , який називається градієнтом функції f(x,y,z) в точці М0(x0,y0,z0), тут – орти. Скалярний добуток (,gradf(x0,y0,z0)) цих векторів, дорівнює:

.

Порівнявши з формулою (5.1) ми бачимо

         (5.3).

З іншого боку

         (5.4),

де  – кут між цими векторами. Так, як , то з формул (5.3), (5.4), одержимо:

         (5.5).

Права частина (а значить і ліва), якщо f(x0,y0,z0)0, набуває найбільшого значення при =0. Таким чином, якщо , ,  одночасно не дорівнюють нулю, то найбільшого значення похідна за напрямком набуває в напрямі градієнта даної функції. Похідна в цьому напрямі дорівнює:

.

Врахувавши, що  дорівнює швидкості зміни функції в напрямі, який визначається вектором , то можна сказати, що якщо градієнт функції в точці М0 не дорівнює нулю, то він напрямлений в бік найбільшого зростання функції.

Розділ 3. Частинні похідні і диференціали вищих порядків

§ 1. Частинні похідні вищих порядків

Нехай функція U=f(x1,…,xn) визначена в області D і в кожній точці існує частинна похідна  по змінній хі. Тоді ця частинна похідна є функцією змінних х1,...,хп, яка визначена в цій області. Може трапитись, що ця функція  в точці  має частинну похідну  по змінній хк. Тоді цю частинну похідну називають частинною похідною другого порядку або другою частинною похідною функції U=f(x1,…,xn) в точці М0 спочатку по змінній хi, а потім по змінній хк і позначають так: . При цьому, якщо іk, то частинну похідну  називають змішаною частинною похідною.

Аналогічно вводяться частинні похідні третього, четвертого і т. д. порядків.

Нехай в області D існує частинна похідна (m=1) порядку по змінних  і ця частинна похідна в точці М0(х1(0),...,хп(0)) має частинну похідну по змінній . Тоді цю частинну похідну називають частинною похідною m-го порядку або m-тою частинною похідною функції U=f(x1,…,xn)в точці М0 по змінних . Співвідношення, яке визначає цю частинну похідну записують так: .

Якщо не всі індекси і1, і2,...,іт співпадають між собою, то частинна похідна називається змішаною.

Розглянемо приклад. Знайти частинні похідні другого порядку функції . Отримаємо ; ; ; ; ; .

§ 2. Достатні умови незалежності змішаних частинних похідних від порядку диференціювання.

В вище наведеному прикладі змішані похідні ;  функції  були рівні. Наступний приклад показує, що це не завжди так.

Нехай .

Тоді ;

Розглянемо достатні умови незалежності змішаних частинних похідних від порядку диференціювання.

Означення 2.1. Функція U=f(x1,…,xn), називається т раз диференційовною в точці М0(х1(0),...,хп(0)) , якщо всі частинні похідні (т-1)-го порядку є функціями диференційовними в цій точці .

Теорема 2.1. Для того, щоб функція U=f(x1,…,xn) була т раз диференційовною в точці М0(х1(0),...,хп(0)) достатньо, щоб її частинні похідні т-го порядку були визначені в деякому околі точки М0 і були неперервними функціями в цій точці.

Справедливість цього твердження слідує з теореми про достатню умову диференційовності функції.

Теорема 2.2. (про рівність змішаних похідних другого порядку). Якщо функція U=f(x,у) двічі диференційовна в точці М0(х0, у0), то .

Доведення. Так як функція U=f(x;y) двічі диференційовна в точці М0, то частинні похідні f  /x(x;y) і f /y(x;y) визначені в деякому околі точки М0.

Розглянемо вираз

=f(x0+h, y0+h)-f(x0+h, y0)-f(x0, y0+h)+f(x0;y0),         (2.1), 

де h – довільне число, таке, що точка М0(х0+h, y0+h) міститься у вище вказаному околі. Переписавши   у вигляді

=(f(x0+h, y0+h))-f(x0+h, y0))-(f(x0, y0+h)-f(x0;y0)),

помічаємо, що це   є приростом функції (х)=f(x, y0+h)-f(x, y0) в точці х0. Тобто

=(х0)=(х0+h)-(х0)         (2.2).

Оскільки функція (х) на х0, х0+h задовільняє умові теореми Лагранжа, то

=(х0+1,h)h=(fx(x0+1h,y0+h)-fx(x0+1h,y0))h=(fx(x0+1h,y0+h)-fx(x0,y0)-(fx(x0+1h,y0)-fx(x0,y0)))h      (2.3).

де 0<1<1. Так, як fx(x,y)- диференційовна в точці М0, то

fx(x0+1h,y0+h)-fx(x0,y0)=fxx(x0,y0) 1h+fxy(x0,y0)h+1(h) 1h+2(h)h,       (2.4).

fx(x0+1h,y0)-fx(x0,y0)=fxx(x0,y0) h+3(h) 1h,         (2.5)

при цьому 1(h), 2(h),3(h) прямують до нуля, коли h0.

Підставивши (2.4) і (2.5) в (2.3), одержимо:

=((fxx(x0,y0)1h+fxy(x0,y0)h+1(h)1h+2(h)h)-((fxx(x0,y0)1h+3(h) 1h))h=(fxy(x0,y0)+1(h) 1+2(h)-3(h) 1)h2=(fxy(x0,y0)+1(h))h2  ,     (2.6), 

де 1(h)=1(h)1+2(h)+3(h)1. 

Переписавши  у наступному вигляді

=(f(x0+h,y0+h)-f(x0,y0+h))-(f(x0,y0+h)-f(x0,y0)),

бачимо, що  є приростом функції (y)=f(x0+h,y)-f(x0,y) в точці у0. Застосувавши теорему Лагранжа і врахувавши диференційовність fy(x,y) в точці М0, ми отримаємо наступне представлення  для ,

 =(fyx(x0,y0)+2(h))h2         (2.7),

при цьому 2()0, коли h0.

Прирівнявши праві частини рівностей (2.6) і (2.7) і скоротивши на h2, отримаємо:

fxy(x0,y0)+1(h)=fyx(x0,y0)+2(h)          (2.8).

Перейшовши до границі, коли h0, отримаємо:fxy(x0,y0)=fyx(x0,y0). Теорема доведена.

Наступна теорема теж дає достатні умови рівності змішаних похідних другого порядку.

Теорема 2.3. Нехай в деякому околі точки М0(х0,у0) функція U=f(x,y) має частинні похідні fx, fy, fxy, fyx. Якщо  fxy і  fyx неперервні в М0, то fxy(x0,y0)=fyx(x0,y0).

Доведення. Розглянемо =f(x0+h, y0+h)-f(x0+h, y0)-f(x0, y0+h)+f(x0;y0). Замітимо, що =(х0), де (х)=f(x, y0+h)-f(x, y0). Застосувавши теорему Лагранжа до (х), отримаємо:

=(fx(x0+1h,y0+h)-fx(x0+1h,y0)), де 0<1<1.

Застосувавши теорему Лагранжа до функції t(y)=fx(x0+1h,y) на відрізку у0,у0+h, одержимо

=fxy(x0+1h,y0+2h)h2, 0<2<1.

Внаслідок неперервності fxy(x,y)  в точці (х0,у0), маємо

 =(fxy(x0,y0)+1(h))h2         (2.9),

де 1(h)0, коли h0. Представивши  у вигляді =(у), де (у)=f(x0+h,y)-

-f(x0,y), аналогічно одержуємо

=(fyx(x0;y0)+2(h))h2        (2.10),

 де 2(h)0, коли h0. Прирівнявши праві частини рівностей (2.9) і (2.10), скоротивши на h2 і перейшовши до границі, коли h прямує до нуля, отримаємо fxy(x0;y0)=fyx(x0;y0).

Теорема 2.4. Якщо U=f(x0;…;xn) m разів диференційовна в точці М0, то змішана частинна похідна, в цій точці, не залежить від порядку повторного диференціювання.

Доведення. Очевидно, достатньо довести незалежність значень давільної т-тої змішаної похідної від порядку проведення двох послідовних диференціювань. Тобто достатньо довести рівність:

       (2.11).

Розглянемо функцію . Ця функція є диференційовною функцією від змінних, тому внаслідок теореми 2.2. маємо:

.

Звідси і слідує рівність (2.11). Теорему доведено.

§ 3. Диференціали вищих порядків

 Нехай маємо функцію U=f(x1,…,xn), яка диференційовна в деякій області D. Тоді в кожній точці цієї області існує диференціал , який є функцією від змінних х1,...хп.

Припустимо, що в точці М0(х1(0),...,хп(0)) наша функція двічі диференційовна. Тоді диференціал від диференціала 1-го порядку, називається другим диференціалом або диференціалом 2-го порядку і позначається d2U=d(dU).

Нехай х1,...хп–  незалежні аргументи, тоді

.

Врахувавши, що змішана частинна похідна не залежить від порядку диференціювання, одержимо:

Введемо символ . Тоді dU можна записати у вигляді ;

.

Аналогічно під диференціалом 3-го порядку будемо розуміти d(d2U). Якщо хі незалежні аргументи, то міркуючи аналогічно можна одержати, що  

.

Аналогічно вводиться диференціал k-го порядку функції U і символічна форма його буде такою:

.

При цьому піднесення символа до степеня k виконується аналогічно, як піднесення многочлена до цього степеня.

Коли ми розглядали диференціал 1-го порядку, то його форма не залежала від того чи хі незалежні змінні, чи є функціями від інших змінних.

Подивимось, чи зберігається форма диференціала, для вищих порядків. Для простоти, розглянемо функцію 2-х змінних.

Нехай U=f(x;y) і при цьому х і у є функціями від інших змінних. Тоді d2U=d(dU)=d(fxdx+fydy)=d(fxdx)+d(fydy)=dxd(fx)+fxd(dx)+dyd(fy)+fyd(dy)=

.

Як бачимо, тут появилося два доданки, яких не було в диференціалі 2-го порядку, коли х і у незалежні змінні. Отже, диференціал 2-го, а значить і вищих порядків, не має властивості інваріантності форми, якою володіє диференціал 1-го порядку.

Проте, легко бачити, що якщо хі лінійно залежать від змінних t1,…,tk, то диференціали d2x1=d2x2=…=d2xn=0 і при цьому форма диференціала зберігається. В цьому випадку можна записати:  

.

§ 4. Формула Тейлора для функцій багатьох змінних

Як відомо, для функції U=F(t) (п+1) раз диференційовної в околі точки t0, має місце рівність:

,

де 0<<1.

Запишемо дещо по-іншому цю формулу. Нехай t-t0=t, тоді:

F(t)-F(t0)=F(t0)

    (4.1)

Дивлячись на цей вигляд формули Тейлора, неважко догадатись, що її можна перенести і на функції багатьох змінних.

Теорема 4.1(Формула Тейлора для функції багатьох змінних)

Нехай функція U=F(x1;x2;…;xk) (n+1) раз диференційовна в деякому околі точки М0(х1(0),....,хк(0)), тоді справедлива рівність:

 , (4.1)

де  і точка N(х1,...,хк) належить заданому околу. В диференціалах, які стоять справа, dxi=xi=xi-xi(0), останній доданок цієї формули, називається залишковим членом формули Тейлора у формі Лагранжа.

Доведення. Для простоти викладу доведемо цю формулу для функції двох змінних.

Нехай функція U=F(x1;x2), яка (п+1) разів диференційовна в околі точки М0(х1(0);x2(0)).

  Візьмемо точку М1(х1(0)+х1;x2(0)+x2). Проведемо через точки М0 і М1 пряму, рівняння якої буде: ;

Звідки ; .

При цьому, якщо t0;1, то М(х1;x2) пробіжить відрізок М0М1.

 Розглядатимемо функцію U=F(x1;x2) лише в точках відрізка М0М1. На цьому відрізку ця функція є функцією однієї змінної t: U=F(x1(0)+tx1;x2(0)+tx2)=f(t). З того, що х1, і х2 є лінійними функціями від t і задана функція (п+1) разів диференційовна в околі точки М0 слідує, що ця складна функція по t є (п+1) раз диференційовною в околі точки t0=0. Тоді з формули (4.1), одержуємо: 

    (4.2).

Замітимо, що в нашому випадку

 f(0)=F(x1(0)+x1;x2(0)+x2)-F(x1(0);x2(0))=f(1)-f(0)=

Оскільки, як ми встановили вище, диференціали вищих порядків мають властивість інваріантності форми, якщо змінні лінійно залежать від інших аргументів, (від t), то всі інші доданки формули (4.2) матимуть вигляд ; k=1,2,…n

, де NМ0;M1. Врахувавши це все, і, підставивши у формулу (4.2), ми одержимо формулу Тейлора, де в точці N, буде деяка точка на М0;М1. Теорему доведено.

Дана формула Тейлора дозволить нам в наступних параграфах вирішувати проблеми екстремумів функцій багатьох змінних.

Розділ 4. Неявні функції

§ 1. Існування неявної функції однієї змінної

Розглнемо криву х2+у2=1, це є коло.

Зрозуміло, що якщо точка М0 належить колу і не належить його горизонтальному діаметру, то завжди можна знайти окіл точки такий, що в ньому дане рівняння задає єдину функцію у від х, що визначена на проекції цієї дуги на вісь ОХ, тобто х, що належить проекції  у(х):х2+у(х)2=1. Будемо казати, що рівняння х2+у2=1 задає неявну функцію у від х.

Нехай функція F(x;y) визначена на множині ЕR2 і Х – проекція цієї множини на вісь ОХ.

Будемо говорити, що рівняння F(x;y)=0, задає у, як функцію від х, у=f(х) на множині Х, якщо  хХ існує пара (х;f(x))Е, яка задовільняє рівняння F(x;y)=0, тобто F(x;f(x))=0 є тотожністю на множині Х.

В нашому прикладі , .

Ми бачимо, що в околі точки М0 це рівняння задаває єдину функцію у(х), щоб знайти її явне вираження, ми розв’язали наше рівняння відносно у. Та це вдасться зробити не завжди. Одже виникає така задача: як маючи певні властивості функції F, прогнозувати існування цієї неявно заданої функції, а також, які властивості повинна мати F, щоб ця неявно задана функція була, наприклад, неперервною чи диференційовною.

Зауважимо, що навіть на нашому простому прикладі видно, що якщо ми візьмемо т. М0(1,0), то такої єдиної визначеної функції, як вище  вже не буде. Якщо ми спроектуємо будь-який окіл цієї точки М0 на ОХ, то помітимо, що на інтервалі, що належить проекції цього околу, рівняння кола задає безліч функцій у(х).

Теорема 1.1. Нехай:

1) функція F(x;y) неперервна разом із своїми частинними похідними Fx і Fy в деякому уколі т. М0(х0,у0);

2) Fy  в точці (x0;y0) не дорівнює нулю;

3) F(x0;y0)=0.

Тоді в деякому прямокутнику П={(x;y) x0-1<x<x0+1,  y0-2<y<y0+2}, рівняння F(x;y)=0 задаватиме єдину функцію у=f(x), яка задовільняє наступним умовам:

1) ця функція буде неперервною на інтервалі (х0-1;x0+1);

2) на цьому інтервалі існує f(x), яка буде неперервною.

Доведення. Нехай . З умов 1,2 теореми випливає, що  деякий окіл т. М0, такий, що для всіх точок М, з цього околу, F(x;y) буде диференційовною і  Fy(x;y)>0

Впишемо в цей окіл замкнений прямокутник  з центром в точці М0 , сторони якого паралельні до координатних осей. Проведемо через т.М0 відрізок в прямокутнику паралельний до ОУ, розглянемо функцію Fy(x;y). В точках відрізка АВ вона матиме вигляд  Fy(x0;y) (вона є похідною від функції F(x0;y) по змінній у). Оскільки Fy(x0;y)>0 і  y0-2yy0+2, то функція F(x0;y) є монотонно зростаючою на сегменті [y0-2; y0+2].Звідси і з того, що F(x0, y0)=0 одержуємо, що F(x0, y0-2)<0, F(x0;y0+)>0 тобто, інакше кажучи, F(A)<0, F(B)>0. Так, як функція F(x,y) є неперервна в точці А і в точці В (тому що обидві ці точки належать околу де вона є неперервною), то існують окіл точки А і окіл точки В такі, що в межах першого F(x;y)<0,  а другого F(x;y)>0. Не зменшуючи загальності, можна вважати, що радіуси цих околів рівні. Якщо радіус цього околу 1 , то із вище сказаного слідує, що для будь-якого х, який належить (х0-1, х0+1),  F(x,y0-2)<0, a F(x,y0+2)>0.

Візьмемо будь-яке х, яке належить (х0-1;х0+1) і проведемо через це х пряму, перпендикулярну до ОХ. Оскільки точка А  лежить на відрізку А1А2, а в кожній точці цього відрізка F(x;y)<0, то F(A)<0. Аналогічно F(B)>0.

Розглянемо функцію F(x;y) на відрізку АВ. На цьому відрізку вона є функцією однієї змінної у (бо тут х зафіксоване). При цьому вона буде неперервною на [y0-2;y0+2] і строго зростаючою. Оскільки в лівому кінці інтервала вона приймає від’ємне значення, а в правому – додатнє, то із всього сказаного вище випливає (за теоремою Больцано-Коші), існування єдиного у із інтервала (y0-2;y0+2) такого, що F(x;y)=0.

Таким чином ми встановили, що на інтервалі (х0-1,х0+1) існує єдина функція y=f(x) така, що F(x,f(x))=0 на цьому інтервалі.

Покажемо, що функция f(x) неперервна на інтервалі (х0-1,х0+1). Нехай х(х0-1,х0+1). Дамо х приріст х. Тоді функція одержить приріст y.

Точки (x;y) і (х+х;y+y), де y=f(x), y+y=f(x+y) задовільняють рівнянню F(x;y)=0. Таким чином

 F(x;y)=F(х+х;y+y)-F(x;y)=0. 

Використовуючи теорему Лагранжа, одержимо:

0=F(х+х;y+y)-F(x;y)=(F(х+х;y+y)-F(x;y+y))+(F(x;y+y)-F(x;y))=

=Fx(x+x;y+y)x+Fy(x;y+1y)y,

 де 0<<1, 0<1<1. Так, як Fy≠0, то

        (1.1).

Оскільки  Fx і Fy неперервні у замкнутому прямокутнику і Fy >0, то існують М>0 і т>0 такі, що  Fx ≤M і Fy>m.

Таким чином  . Звідси маємо . Якщо х0, то y0, а це і означає, що f(x) неперервна в точці х.

Покажемо, що існує похідна f(x) для будь-якого х(х0-1,х0+1). Нехай х(х0-1,х0+1). Надамо х приріст х. Тоді функция одержить приріст  у. Якщо х0 то і у0. При цьому , де 0<<1, 0<1<1. Враховуючи, що Fx і Fу неперервні і Fу≠0, перейшовши до границі, коли х0, одержимо:

.

А це і означає, що похідна в точці х існує і

.

Крім цього, як випливає з останньої формули,є неперервна на інтервалі (х0-;x0+) тому, що чисельник і знаменник останньої рівності є композиція неперервних функцій  і  і у=f(x). Теорему доведено.

§ 2. Існування неявної функції багатьох змінних

У цьому параграфі ми розглянемо узагальнення вище доведеної теореми для випадку функції двох змінних.

Теорема 2.1 Нехай М0(х0,у0,z0)R3 і F(x,y,z) такі, що

1) F(x0,y0,z0)=0;

2) в деякому околі точки М0, функція F(x,y,z) і Fx; Fy;Fz   неперервні;

3) Fz(x0,y0,z0)0.

Тоді в деякому паралелепіпеді П={x,y,z: x0-1<x<x0+1, y0-2<y<y0-2,

 z0-3<z<z0+3} рівняння F(x,y,z) визначатиме єдину функцію z=F(x,y), яка буде визначена в прямокутнику П1={(х,у): x0-1<x<x0+1, y0-2<y<y0-2}, яка буде неперервно диференційовною в цьому прямокутнику.

Частинні похідні будуть обчислюватися за формулами:

;

Аналогічна теорема має місце для випадку функції від більше ніж 3-х змінних.

§ 3. Існування неявної функції, яка задається системою рівнянь

Іноді буває, що неявні функції задаються системою рівнянь. При цьому має місце така теорема.

Теорема 3.1 Нехай маємо таку систему:   (3.1)

 і– точка, координати якої задовільняють кожному рівнянню системи (3.1).

Тоді, якщо:

1) в деякому околі точки М0, існують всі часткові похідні першого порядку функцій F1,…,Fm,при чому частинні похідні , де ; , будуть неперервні в точці М0;

2) величина, яка називається якобіяном і позначається

відмінна від нуля в точці М0, то існують додатні числа 1>0, 2>0,…,m>0 та окіл точки  такий, що в ньому існує єдиний набір функцій:

U1=1(x1,…,xn)

U2=2(x1,…,xn)

………………..

Um=2(x1,…,xn),

які є розв’язками системи (3.1). В межах цього околу матимуть місце нерівності:

Кожна з функцій і є неперервною в цьому околі точки М0 та диференційовною в ньому.

В зв’язку з цією теоремою виникає питання, а як же знайти частинні похідні від функцій і, які одержалися в попередній теоремі. Адже із формулювання зрозуміло, що теорема стверджує тільки існування тих функцій і не дає можливості їх явно задати. Отже, як знайти їх частинні похідні?

Для цього продиференціюємо кожне із рівнянь системи (3.1) по змінній х1. Зважаючи на те, що хі – незалежні змінні, а Ui – функції від х1...хп, матимемо:

……………………………………………

Ми одержимо систему m лінійних рівнянь відносно т невідомих . Головний визначник цієї системи це є якобіян, взятий в точці М0, який за умовою теореми не дорівнює нулю.

Розв’язавши цю систему, ми знайдемо

Для того, щоб знайти частинні похідні по інших змінних зробимо те саме.

Розділ 5. Екстремуми функцій

§ 1. Поняття екстремума функцій багатьох змінних

Нехай функція U=f(x1,x2,…,xn) задана на множині ЕRп.

Означення 1.1 Будемо говорити, що в точці функція має максимум, якщо існує окіл цієї точки такий, що для будь-яких точок М із цього околу, які належать множині Е, виконується нерівність: f(M)≤f(M0).

Означення 1.2  Будемо говорити, що в точці  функція має мінімум, якщо існує окіл цієї точки такий, що для будь-яких точок М із цього околу, які належать множині Е, виконується нерівність: f(M)≥f(M0).

Як і в одномірному випадку точки максимуму та мінімуму функції називають точками екстремуму.

Теорема 1.1. (Необхідні умови існування екстремуму).

Нехай функція U=f(x1,…xn), яка задана в області D, має в точці  екстремум. Якщо в цій точці існують всі її частинні похідні 1-го порядку, то всі вони дорівнюють нулю: .

Доведення. Нехай дана функція в даній точці має максимум. Тоді функція , як функція від однієї змінної по х1має в точці х01 теж максимум, причому похідна в цій точці дорівнює частинній похідній  . Оскільки функція має похідну в цій точці і ця точка є для неї точкою максимуму, то за відомою теоремою з одномірного аналізу її похідна, а отже і , аналогічно і з всіма іншими частинними похідними.

Аналогічно доводиться теорема, коли функція має мінімум.

Теорему доведено.

Означення 1.3 Точку М0, в якій всі частинні похідні функцій , або не існують, називають критичною точкою цієї функції.

Точки в яких всі частинні похідні 1-го порядку дорівнюють нулю, називають ще й стаціонарними.

Таким чином, щоб функція мала екстремум в даній точці необхідно, щоб ця точка була критичною. Наступний приклад показує, що це не є достатньою умовою.

Розглянемo функцію z=xy. Точка (0,0) тут є критичною, але в ній екстремуму немає. Бо який би ми окіл не взяли, в ньому існують точки в яких значення функції більші від значень функції в точці (0,0) та існують точки, в яких значення функції менші.

§ 2. Деякі відомості з теорії квадратичних форм

В цьому параграфі ми розглянемо деякі питання теорії квадратичних форм, які нам будуть потрібні надалі.

Означення 2.1 Функція

, аіk=аkі=сonst,         (2.1),

яка залежить від змінних h1, h2,…, hn, називається квадратичною формою від вказаних змінних.

Означення 2.2 Квадратична форма називається додатньо визначеною (від’ємно визначеною), якщо при будь-яких значеннях h1, h2,…, hn, одночасно не рівних нулю, вона набуває додатніх (від’ємних) значень.

Додатньо визначені та від’ємно визначені форми називаються знаковизначеними.

Означення 2.3 Квадратична форма називається знакозмінною, якщо вона приймає як додатні так і від’ємні значення.

Означення 2.4 Квадратична форма називається квазізнаковизначеною, якщо вона приймає лише недодатні або лише невід’ємні значення, але при цьому вона дорівнює нулю при деяких h1, h2,…, hn, які одночасно не дорівнюють нулю.

Сформулюємо критерій Сільвестера знаковизначеності квадратичних форм.

Симетричну матрицю  будемо називати матрицею квадратичної форми (2.1). Визначники А1=а11, ,..., називаються головними мінорами матриці А квадратичної форми.

Теорема 2.1 Для того, щоб квадратична форма (2.1) була додатньо визначеною необхідно і достатньо, щоб виконувалися нерівності: 

А1>0, A2>0,…, An>0         (2.2).

Для того, щоб квадратична форма була від’ємно визначеною необхідно і достатньо, щоб знаки головних мінорів А1, А2,..., Ап чергувалися, причому А1>0.

Очевидно диференціал другого порядку функції U=f(x1, x2,…,xn) в точці М0(х(0)1,...,х(0)п) є квадратичною формою змінних х1, х2,...,хп.

Для формулювання достатніх умов існування екстремуму функції багатьох змінних використовуються квадратичні форми.

§ 3. Достатні умови існування екстремуму

Розглянемо достатні умови існування екстремуму.

Теорема 3.1 Нехай функція U=f(x1, x2,…, xn) має в деякому околі стаціонарної точки М0 частинні похідні до 2-го порядку включно, причому вони неперервні в точці М0. Тоді, якщо в точці М0 диференціал 2-го порядку цієї функції є знаковизначеною квадратичною формою, то в цій точці функція має екстремум: максимум, якщо ця форма від’ємно визначена та мінімум, якщо-додатньо визначена. Якщо диференціал 2-го порядку в цій точці є знакозмінною квадратичною формою, то екстремуму в точці М0 немає.

Доведення. З умови теореми маємо, що наша функція двічі диференційовна в деякому околі точки М0. Тому для будь-якої точки М з цього околу за формулою Тейлора матимемо, що

,

при цьому , N – проміжна точка з координатами N=(x(0)1+1x1; x(0)2+2x2,…, x(0)n+nxn), де 0<1<1,…,0<n<1.

,

де , коли (х1,...,хп)(0,...,0).

Нехай тоді

.

Розглянемо поведінку множника в другому доданку при 2:  коли (х1,...,хп)(0,...0).

Таким чином , де ()0, коли 0.

Отже ми тільки що довели, що для будь-якої точки М справедлива рівність: 

      (3.1).

Перетворимо перший доданок останньої рівності:

=,

де , hi1 і h12+…+hn2=1.

Звідси і з (3.1) будемо мати:

 (3.2).

Нехай диференціал 2-го порядку в точці М0 є додатньо визначеною квадратичною формою. Оскільки диференціал 2-го порядку в точці М0 дорівнює добутку першого доданка справа в (3.2) без множника  , то цей доданок теж є додатньо визначеною квадратичною формою заданою на одиничній сфері простору Rn. Оскільки ця квадратична форма є функцією неперервною на цій точці, а сфера Rn є компактом (бо вона замкнена і обмежена) то за теоремою Вейєрштрасса на цій сфері знайдеться точка (h1(0),…,hn(0)) в якій ця квадратична форма приймає найменше значення . Оскільки форма додатньо визначена, то 0. Отже перший доданок справа в (3.2) завжди більший або рівний /2. Оскільки ()0 коли 0 то знайдеться 1>0: 1 матимемо: ()</4.

Візьмемо . Тоді будемо мати .

Отже ми довели, що U(M)>U(M0) для будь-якої точки М з 1-околу точки М0, а це означає, що в точці М0 функція має мінімум (для максимуму доведення аналогічне).

Розглянемо доведення 2-ї частини теореми. Для цього зробимо кілька зауважень відносно квадратичної форми.

Якщо Ф(t1,…,tn) деяка знакозмінна квадратична форма, то можна підібрати дві точки h=(h1,…,hn), h=(h1,…,hn) такі, що hi1; hi1, ; h1 2+…+hn 2=1; h1 2+…+hn 2=1 і Ф(h)>0, Ф(h)<0. Дійсно, оскільки Ф знакозмінна квадратична форма, то знайдуться дві точки t=(t1,…,tn), t=(t1,..,tn): Ф(t)>0, Ф(t)<0. Покладемо

, , ми одержимо h і h такі, що задовольняють умови  і ;.

Візьмемо довільне >0. Нехай h=(h1,…,hn) така точка на одиничній сфері, що . Візьмемо точку  таку, що , а значить . Тоді

.

Оскільки ()0, коли 0, а перший доданок є додатнім і не залежить від , то можна підібрати  настільки малим, що вираз в дужках зберігатиме знак першого доданка. Тобто ми в як завгодно малому околі точки М0, знайшли точку М, таку що U(M)-U(M0)>0. Провівши аналогічні дослідження для U(M)-U(M0), ми отримаємо, що в як завгодно малому околі точки М0 знайдеться точка М , значення функції в якій менше за значення в точці М0. Отже в точці М0 функція не має екстремуму. Теорему доведено.

Часто виникає потреба дослідити на екстремум функцію двох змінних. Розглянемо цей випадок.

Теорема 3.2 (Достатні умови існування екстремуму для функції 2-х змінних). Нехай функція U=f(x;y) має частинні похідні другого порядку в деякому околі стаціонарної точки М0, які неперервні в цій точці. Нехай а11=fxx(M0); а22=fyy(M0); а12=fxy(M0) і (М0)=а11а22-а122. Якщо (М0)>0, то в точці М0 функція U має екстремум, а саме мінімум, коли а11>0 і максимум, коли а11<0. Якщо (М0)<0 то екстремуму в точці М0 дана функція немає.

Доведення. Перша частина теореми слідує з теореми 3.1 і критерію Сільвестера знаковизначеності квадратичної форми, бо А1=а11, А2=а11а22-а122. Тому, якщо М0>0, то d2U є знаковизначеною квадратичною формою, а саме, якщо а11>0 додатньо визначеною і при а11<0 – від’ємно визначеною. А значить, якщо  а11>0 функція має мінімум, а при  а11<0 – максимум.

Розглянемо випадок коли (М0)<0. На основі доведеного в теоремі 3.1, квадратичну форму диференціала в точці М0 можна записати у вигляді: Ф=(a11h12+2a12h1h2+a22h22), де h12+h22=1. Покажемо, що в цьому випадку квадратична форма 2-го диференціала в точці М0 є знакозмінною. Для цього достатньо знайти  дві точки h=(h1,h2), h=(h1,h2) на одиничному колі такі, що в одній із них форма Ф буде додатньою, а в іншій – від’ємною величиною.

Нехай а110, тоді

Ф(h1h2)=1/a11(a112h12+2a11a12h1h2+a122h22+a11a22h22 -a122h22)=

=1/a11((a11h1+a12h2)2+(а11а22-а122)h22)

Якщо h1=1; h2=0,то вираз в дужках додатній. Якщо візьмемо  і , то одержимо точку, яка лежить на одиничному колі і для якої вираз в дужках є від’ємним. Отже наш диференціал 2-го порядку є знакозмінною квадратичною формою, коли а110.

У випадку, коли а11=0, Ф(h1,h2)=(2a12h1h2+a22h22)=(2a12h1+a22h2)h2. Підберемо h1; h2 так, щоб 2а12h1>a22h2, h12+h22=1. Тоді величини 2а12h1+a22h2 і 2a12h1+a22(-h2) матимуть один і той самий знак, а значить (2a12h1+a22h2)h2 і (2a12h1+a22(-h2))(-h2) матимуть різні знаки. Це означає, що квадратична форма не є знаковизначеною. На основі попередньої теореми екстремуму в точці М0 немає. Теорему доведено.

§ 4. Умовний екстремум

Часто в математиці зустрічаються задачі пов’язані з відшуканням екстремуму функції, аргументи якої задовольняють додатковим умовам зв’язку. Екстремуми такого типу називаються умовними.

Розглянемо приклад. Знайти екстремуми функції U=x2+y2 при умові, що х і у задовільняють умові зв’язку х+у-1=0. Таким чином ми шукаємо екстремум функції не на всій площині, а лише на прямій х+у-1=0. Для розв’язання цієї задачі в рівняння функції U=x2+y2 підставляємо значення y=-x+1, знайдене з рівняння зв’язку. Цим самим ми звели поставлену перед нами задачу до задачі про відшукання звичайного екстремуму функції U=2x2-2x+1. Оскільки похідна U=4x-2 дорівнює нулю при х=1/2 і U(1/2)=4>0, то при х=1/2 дана функція має мінімум, який дорівнює 1/2. Таким чином функція U=x2+y2 при умові зв’язку х+у-1=0 має умовний мінімум U=1/2 в точці (1/2; 1/2). Слід відмітити, що мінімум функції досягається в точці (0,0) і дорівнює 0.

Перейдемо до загальної задачі про відшукання умовного екстремуму. Нехай треба знайти екстремум функції т+п змінних.

U=f(y1,y2,…,ym,x1 x2,…,xn)        (4.1) 

При наявності т-умов зв’язку

         (4.2)

Означення 4.1 Будемо говорити, що в точці М0(у1(0),...,ут(0),х1(0),...,хп(0)) координати якої задовольняють умовам зв’язку (4.2), функція (4.1) при наявності зв’язків (4.2) має умовний максимум (мінімум), якщо існує окіл цієї точки такий, що для всіх точок М з даного околу, координати яких задовольняють рівнянням зв’язку (4.2), виконується нерівність: f(M)f(M0) (f(M)f(M0)). 

Для знаходження умовного екстремуму функції (4.1) при наявності зв’язків (4.2) припустимо, що функції, які стоять в лівих частинах рівностей (4.2) диференційовані в деякому околі точки М0, при цьому частинні похідні цих функцій по змінних у1,...,ут неперервні в цій точці і якобіан

      (4.3) 

не дорівнює нулю. В цьому випадку внаслідок теореми (3.1) (розділу 4 цієї частини) існують додатні числа 1,...,т і окіл точки М0(х1(0),...хп(0)) такий, що в цьому околі визначені т функцій

       (4.4),

які задовільняють умови у1-у1(0)<1,...,ут-ут(0)<m і які є єдиним диференційованим розв’язком системи (4.2).

Підставивши знайдені функції (4.3) в (4.1) ми зводимо нашу задачу про існування умовного екстремуму до задачі про існування звичайного екстремуму функції.

U=f(1(x1,…,xn),…,m(x1,…,xn), x1,…,xn,)=Ф(х1,...,хп)         (4.5).

Розглянемо, як не знаходячи розв’язків системи (4.2) можна встановити необхідні умови існування умовного екстремуму в точці М0. Нехай функція диференційовна в точці М0 і має умовний екстремум при наявності зв’язків (4.2) або те саме, що функція (4.5) має звичайний екстремум в точці М0. Звідси слідує, що , а значить

     (4.6)

при довільних дх1,...,дхп. На основі інваріантності форми диференціала формулу (4.6) можна записати можна записати наступним чином:

        (4.7) 

(при цьому частинні похідні беруться в точці М0). Зазначимо, що dy1,dy2,…,dym є диференціалами функцій (4.4) і тому рівність (4.7) не є тотожністю відносно цих диференціалів. Якщо в рівняння зв’язку (4.2) замість у1,...ут підставити функції (4.4) то одержимо тотожності. Диференціюючи їх одержимо       (4.8).

Так, як якобіан (4.3) не дорівнює нулю в точці М0, то з цієї системи можна знайти dy1,…,dym. Вони є лінійними функціями відносно dx1,…,dxn, якщо знайти ці вирази і підставити в (4.7), то одержимо: 

А1dx1+…+Andxn=0,        (4.9)

де А1,...,Ап виражаються  через частинні похідні f, F1,…,Fm в точці М0. Так, як в (4.9) фігурують тільки диференціали незалежних змінних, то А1=А2=...=Ап=0. Приєднуючи до цих рівностей т умов зв’язку (4.2), одержимо необхідну умову існування умовного екстремуму, яку записують у такому вигляді: 

А1=0,...,Ап=0, F1=0,…,Fm=0         (4.10),

що являє систему т+п рівнянь з т+п невідомими.  

При знаходженні точки можливого умовного екстремуму методом, який ми розглянули, часто виникають труднощі, зв’язані з тим, що частина змінних х1,...,хп розглядаються нами, як незалежні, а інші – як функції від цих змінних. Лагранж запропонував метод, який спрощує цю незручність. Розглянемо функцію: 

(у1,...,ут,х1,...,хп)=f(у1,...,ут,х1,...,хп)+1F1(у1,...,ут,х1,...,хп)+…

…+mFm (у1,...,ут,х1,...,хп  )       (4.11),

де 1,...,т–  довільні сталі. Цю функцію називають функцією Лагранжа. Легко бачити, що якщо рівність (4.8) помножити відповідно на  1,...,т і одержані рівності скласти почленно з рівнянням (4.7), то одержаний результат можна записати у вигляді: 

      (4.12). 

Так, як при наявності зв’язків (4.2) F(M)-F(M0)=(M)-(M0) екстремуми функцій (4.3) і (4.11) співпадають. Підберемо 1,...,т так, щоб

    (4.13).

Це можна зробити бо ці рівності приводять до лінійної системи рівнянь відносно 1,...,т 

 

визначник якої рівний якобіяну (4.3), відмінний від нуля. При таких 1,...,т рівність (4.12) матиме вигляд

        (4.14).

Оскільки х1,...,хп – незалежні змінні, то з (4.14) слідує, що

      (4.15).

Приєднавши до рівнянь (4.13) і (4.15) умови зв’язку (4.2), ми одержимо систему п+2т рівнянь

       (4.16) 

для визначення п+т координат точки умовного екстремуму і множників 1,...,т.

Практично для реалізації цього методу поступають наступним чином: складають функцію Лагранжа і для неї знаходять точки можливого звичайного екстремуму. Для виключення 1,...,т застосовують умову зв’язку.

Розглянемо один із шляхів дослідження точок можливого умовного екстремуму. Припустимо, що в точці М0 виконуються необхідні умови умовного екстремуму (4.16). Крім цього, нехай в деякому її околі функції (4.1) і (4.2) - двічі диференційовані і всі частинні похідні другого порядку – неперервні в точці М0. Так, як при наявності зв’язків (4.2) екстремуми функцій U=f(y1,…,ym,x1,…,xn) і Лагранжа співпадають, то з результатів параграфу де розглядалися достатні умови існування екстремуму слідує, що якщо при наявності умов зв’язку (4.2) другий диференціал d2 в точці М0 є додатньо визначеною квадратичною формою, то в точці М0 функція має умовний мінімум, а якщо d2 є від’ємно визначеною квадратичною формою, то функція має умовний максимум.

Зазначимо, що другий диференціал d2 в точці М0 можливого умовного екстремуму можна вираховувати так, якби всі змінні x1,…,xn ,y1,…,ym були незалежними. Дійсно:

.

Але, оскільки,  , то

      (4.17).

Оскільки нам потрібно встановити знаковизначеність d2 при наявності зв’язків (4.2), то в формулу (4.17) замість dy1,…,dym потрібно підставити іх значення, знайдені з системи (4.8) і після цього досліджувати знаковизначеність квадратичної форми d2.

Розглянемо приклад. Знайти умовні екстремуми функції: U=x1m+…+xnm, якщо х1+...хп=па, а>0, n>1.

Складаємо функцію Лагранжа . З системи

знаходимо =-тат-1 і координати хі=а, точки М0 можливого екстремуму. Знаходимо другий диференціал  d2  функції , . В точці М0(а,...,а) . Так, як d2(a,…,a)>0, то в точці М0 функція U має мінімум, Umin=nam.

Частина III. Розробка електронного посібника “Елементи функціонального аналізу та диференціальне числення функцій багатьох змінних”

У час активного наукового розвитку, актуальною є проблема вибору таких засобів навчання, які б давали найкращі результати. Перехід на кредитно-модульну систему дав поштовх до використання нового навчально-методичного забезпечення.

Якщо в традиційній освітній системі навчання проходить шляхом читання книг, то сьогодні з'явилося багато інших методів. Особливістю сучасного педагогічного процесу є те, що на відміну від традиційного навчання, де центральною фігурою є вчитель, викладач, центр тяжіння при використанні інформаційних технологій поступово переноситься на учня, студента, який активно будує свій навчальний процес, вибираючи власний напрям в розвинутому навчальному середовищі. Важливою функцією викладача при цьому є підтримка студента в його діяльності: сприяти його успішному руху в морі навчальної інформації, полегшувати вирішення проблем, що виникають, допомагати в освоєнні великої за обсягом інформації.

Таким чином, в даний час з різних предметів існують електронні підручники. Розробники підручників такого типу намагаються широко використовувати специфіку віртуального середовища з ціллю підвищення ефективності самостійної роботи школярів і студентів з навчальним матеріалом. У новому інформаційному середовищі реалізується варіативний характер планування діяльності з вивчення даної теми, диференціюються рівні її освоювання, забезпечується оперативне орієнтування в структурі навчального тексту, використовуються різноманітні пошукові системи, представлені динамічні малюнки і відеосюжети, існує звуковий супровід візуальної інформації, має місце моніторинг навчальних успіхів учня, студента в роботі над кожною темою, а також контроль якості набутих ними знань і умінь.

Є ряд навчальних технологій, які сьогодні існують і можуть бути реалізовані в електронному навчальному посібнику. Структура і зміст електронного підручника, його функціональні можливості повинні підтримувати:

1.  технологію формування у користувачів основних елементів структури наукового знання (фактів, понять, законів, теорій, наукової картини світу);
2.  технологію формування загальних знань і навичок роботи користувачів з навчальною інформацією, представленою як у традиційній навчальній книзі, так і в електронній версії:

•  Вміння працювати з блоками інформації, які мають різну знакову форму представлення:
•  текстом
  •  виділяти головне, істотні елементи його змісту;
    •  систематизувати і узагальнювати інформацію (встановлювати зв'язок між його основними елементами);
    •  користуватися раціональними способами наочної фіксації головного в змісті, способами візуального відображення структури прочитаного (конспект, план-конспект, тезиси, опорний конспект, схеми, таблиці тощо);
•  науковою символікою;
•  графіками;
•  схемами, таблицями (в тому числі електронними), діаграмами;
•  малюнками;
•  фотознімками;
•  анімаційними (або числовими) моделями.
•  Вміння працювати з апаратом орієнтування, тобто раціонально користуватися:
•  змістом;
•  анотацією, вступом, висновками;
•  предметним, іменним та іншими покажчиками, словниками  тощо;
•  бібліографічним списком;
•  системою додатків;
•  системою „навігатор” і пошуковими системами в віртуальному середовищі.
•  Вміння працювати з апаратом засвоєння матеріалу:
•  систематизуючими таблицями і схемами, які ілюструють структуру інформації;
•  прикладами, що відображають досвід застосування інформації в розв’язанні конкретних задач;
•  системою задач і запитань для самостійної роботи над матеріалом і самоконтролю якості його засвоєння.
•  Вмінням користуватися книгою (інформаційною системою ПК і її інструментальними можливостями) з метою підготовки:
•  успішного виступу;
•  письмової роботи:
  •  рецензії, анотації;
    •  реферату;
    •  тез.

1.  технологію контролю якості знань і вмінь користувачів;
2.  технологію розвитку творчих здібностей  в процесі роботи з навчальною інформацією.

Інтерактивний характер електронного підручника та інструментальні можливості ПК дозволяють реалізувати дані технології навчання на  найвищому рівні ефективності з точки зору їх освітнього характеру.

Надзвичайно важливий пошук нових конструктивних підходів до розробки електронного підручника, які дозволяють зробити цей підручник інформаційно більш об’ємним і процесуально більш ефективним по відношенню не тільки до традиційного паперового варіанту, але і до існуючих його віртуальних версій.

У ході виконання дипломної роботи нами створений такий навчальний посібник, який містить курс математичного аналізу.

Програмне середовище підручника

Електронний підручник “Елементи функціонального аналізу та диференціальне числення функції багатьох змінних” був створений за допомогою програми Microsoft FrontPage, яка призначена для створення web-сторінок, як без використання мови HTML, так і з можливістю перегляду HTML-кодів. Це дозволило нам достатньо легко створювати Web-документи, які доступні стандартним програмним засобам, з якими працюють в мережі. Програма дає змогу створити окрему сторінку чи сайт двома способами: з нуля, чи скориставшись шаблоном з колекції програми FrontPage.

За допомогою цієї програми можна вставляти багато різних об’єктів, наприклад, кнопки, тексти, що рухаються, лічильники відвідувань, аркуші електронних таблиць, діаграми, створювати графічні мініатюри, таблиці, карти, фрейми, інтерактивні форми, надавати об’єктам анімаційні ефекти, задавати способи зміни сторінок тощо.

Одним з найважливіших понять у мові HTML є гіперпосилання, яке допомагає вставляти посилання на інші документи чи ресурси прямо на сторінці. Гіперпосилання дозволили нам встановлювати асоціативні зв'язки між окремими частинами підручника, а також реалізувати можливість багаторазового проходження навчального матеріалу, що допустиме в даних умовах і позитивно впливає на засвоєння, закріплення отриманих вмінь і навичок. Гіпертекст від звичайного тексту відрізняється чіткою структурою, можливістю практично миттєвого доступу до будь-якої частини навчального матеріалу. Гіпертекст може містити посилання на різні об'єкти. Об'єктами можуть бути:

будь-який текст;

графічна ілюстрація;

анімація;

аудіофрагмент;

відеофрагмент;

яка-небудь програма.

Особливість програми Microsoft FrontPage у тому, що вона є зручною для створення та адміністрування великого професійного сайту. Це досягається за допомогою таких режимів роботи з сайтом, як звіт, навігаційна карта сайту, схема гіперпосилань, завдання для колективу дизайнерів та виконавців.

Для успішної роботи з програмою потрібно знати головні принципи її функціонування, зберігати файли сторінок сайту у конкретній папці і в ручну не переміщати їх, щоб не переривати зв'язок між сторінками тощо. Після створення сайту користувач може його опублікувати на web-сервері командою Publish. Переглянути створений сайт можна і в домашніх умовах. Однак, якщо застосовувались деякі компоненти чи елементи управління формою, що потребують програмної підтримки, то повноцінне функціонування такого сайту буде можливе лише на web-сервері, який має відповідні засоби для їх опрацювання, що називаються Microsoft FrontPage Extensions. Сервери, які працюють з операційною системою Unix, такими засобами, зазвичай, не володіють.

Електронний підручник, створений на основі розглянутих вище програмних продуктів, може передаватися учням на дискетах, CD-ROM, за допомогою електронної пошти, або розміщуватися на ftp-серверах Інтернет. Ясно, що при розміщенні електронного підручника у всесвітній мережі, ми отримаємо новий рівень ефективності його використання, адже значно розшириться коло користувачів, з'явиться можливість застосування даної розробки для дистанційного навчання.

Застосування гіпертексту дозволило нам подолати обмеження, характерні для звичайних навчальних матеріалів-текстів. Пошук і перегляд повідомлень, поданих у лінійній послідовності, без ознак, що відображають їх структуру, призводить до великого навантаження на пам’ять і ускладнює ефективне розуміння безпосереднього контексту конкретного фрагмента.

Під час набору тексту підручника ми особливу увагу та багато часу приділяли створенню формул. Нам вдалося подолати труднощі, що виникали з відшуканням деяких символів та математичних знаків за допомогою використання програми MathType.

В електронному посібнику використано підпрограми створені на мові  Java script. Саме таким чином поміщено вікно швидкого переходу між розділами.

<SELECT 

 onchange="{&#13;&#10;for (var i=0; i < this.length; i++) {&#13;&#10;if (this.options[i].selected) {&#13;&#10;if (i!=0) {&#13;&#10;top.window.location=this.options[i].value;&#13;&#10;break;&#13;&#10;}&#13;&#10;}&#13;&#10;}&#13;&#10;}&#13;&#10;" 

 name=Map> <OPTION value=# selected>Швидкий перхід на інші Розділи

 <OPTION value=../rozdil1/1.1.htm>Розділ 1. Приклади метричних просторів</OPTION>

 <OPTION value=../rozdil2/1.2.htm>Розділ 2. Збіжність в метричних просторах

 <OPTION value=../rozdil3/1.3.htm>Розділ 3. Відкриті і замкнені множини

 <OPTION value=../rozdil4/1.4.htm>Розділ 4. Неперервні відображення

 <OPTION value=../rozdil5/1.5.htm>Розділ 5. Компактні множини

 <OPTION value=../rozdil6/1.6.htm>Розділ 6. Повні метричні простори

 <OPTION value=../rozdil2.1/2.1.htm>Ч2.Розділ 1. Поняття дійсної функції багатьох змінних

 <OPTION value=../rozdil2.2/2.2.htm>Ч2.Розділ 2. Диференціальні функції багатьох змінних 

 <OPTION value=../rozdil2.3/2.3.htm>Ч2.Розділ 3. Частинні похідні та диференціали вищих порядків

 <OPTION value=../rozdil2.4/2.4.htm>Ч2.Розділ 4. Неявні функції

 <OPTION value=../rozdil2.5/2.5.htm>Ч2.Розділ 5. Екстремуми функцій

 <OPTION value=../index.htm>НА ГОЛОВНУ------------------------------  

</OPTION></SELECT></SELECT>

Як працювати з підручником?

Розроблений електронний навчальний курс має зручний для роботи інтерфейс. Він дозволяє ознайомитись із змістом підручника, перейти до конкретного розділу чи параграфу. Для цього необхідно вибрати потрібні розділ і тему у змісті підручника. Налаштовані гіперпосилання відкриють їх. Щоб перейти з даної теми до іншого розділу, а згодом до інших тем можна використати вікно швидкого переходу (рис 3), створеного за допомогою підпрограми на мові Java script або повернутись у головне меню, звернувшись до напису “головне меню”, яке знаходиться на кожній сторінці у зручному місці (рис 4).

         

рис3                                                                           рис4

Електронний навчальний курс, крім гіперпосилань, містить ще й графіку, анімацію та мультимедійні ефекти, що збільшують його ефективність та привабливість (рис1).

           

           

рис1                                                                           рис2

Перевагою електронного підручника над класичним “паперовим” посібником є забезпечення стимуляції активного самонавчання та контролю над ним. Гіпертекстова структура курсу дозволяє здійснювати індивідуальну траєкторію навчання. За необхідності можна роздрукувати частину підручника та видати його необхідним тиражем.

Форма електронного підручника – блочна. А це означає, що окремі блоки можуть змінюватися, доповнюватися в ході навчання. На відміну від паперових підручників, зміна електронних блоків не потребує істотних витрат на перевидання.

Електронний варіант підручника розміщенний у навчальних ресурсах фізико-математичного факультету. Він є зручним та доступним засобом навчання.

Отож, нашим підручником можуть користуватися усі бажаючі студенти та викладачі, не затрачаючи час на пошук необхідної інформації.

 

 

Висновки

У дипломній роботі здійснено відбір деяких питань пов’язаних з викладанням окремих розділів математичного аналізу та врахуванням принципів розробки електронних підручників.

1 Викладено елементи функціонального аналізу. При цьому розглянуто поняття метричного простору, приведені приклади метричних просторів. Також детально висвітлено теорію компактів та повних метричних просторів.

2 Розглянуті питання диференціального числення функції багатьох змінних, зокрема введено поняття диференційовності та частинних похідних функцій багатьох змінних, диференціали і частинні похідні вищих порядків. Викладена теорія неявних функцій, та питання пов’язані з відшуканням екстремумів.

3 Створений електронний посібник “Елементи функціонального аналізу та диференціальне числення функцій багатьох змінних”, що буде використовуватися студентами в процесі вивчення курсу математичного аналізу.

Список використаної літератури

1.Баранова Ю.Ю., Перевалова Е.А. Тюрина Е.Е., Чадин А.А. Методика             использования электронных учебников в образовательном процессе.             //Информатика и образование. 2010. №8. С. 43-47.

2.Давидов М. О. Курс математичного аналізу, т.II – Київ: “Вища школа”, 1991. – 368с.

3.Давидов М. О. Курс математичного аналізу, т.III – Київ: “Вища школа”, 1992. – 360с.

4.Деревинна А.Ю., Кошелев М.Б.,  Семикин В.А.  Принципы создания електронных учебников. // Откритое образование. - 2001. - №2. - с.14-16.

5.Иванов В.Л. Структура электронного учебника. // Информатика и образование. 2008 - № 6.

6.Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа,

часть II.– М.: ”Наука”, 2009. – 448с.

7.Люстерник Л. А., Соболев В. И. Краткий курс функционального анализа. – М.: “Высшая школа”, 1982. – 273с.

8.Максимов Г.Н., Вишняков А.В., Капустин Ю.И. Электронный учебник -что это? // Откритое образование. - 2002. - №2. - с. 19-21.

9.Матрос Д.Ш. Электронная модель школьного учебника. //Информатика и образование. 2010 - № 8.

10.Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа, т.II. – М.: ”Наука”, 1968. – 464с.

11.Христочевский С.А. Базовые элементы электронных учебников и мультимедийных энциклопедий. Системы и средства информатики. Вып.9. Г.: Наука. Физматлит, 1999.

12.Христочевский С.А. Электронные мультимедийные учебники и энциклопедии. //Информатика и образование. 2000 - № 2. С 70-77.