Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Федеральное Агентство по Образованию
Московский государственный индустриальный университет
РЕФЕРАТ ПО ФИЗИКЕ
ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Москва, 2010
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
. Основные формулы и понятия
. Классификация задач и рекомендации по методам их решения
3. Примеры решения типовых задач
Заключение
Список литературы
ВВЕДЕНИЕ
Основная задача динамики материальной точки состоит в том, чтобы найти закон движения материальной точки, зная приложенные к ней силы, или наоборот, по известному закону движения определить силы, действующие на эту точку.
Задачи на динамику материальной точки удобно решать в следующей последовательности:
При изображении сил следует помнить, что:
а) сила тяжести направлена вертикально вниз (к центру Земли);
б) сила натяжения нити направлена вдоль нити от тела;
в) сила упругости направлена вдоль пружины от тела, если пружина в процессе движения растянута, или к телу, если пружина сжата;
г) сила реакции опоры направлена перпендикулярно поверхности соприкосновения тела с подставкой;
д) сила трения скольжения направлена по касательной к поверхности подставки в сторону противоположную скорости движения точек поверхности тела, соприкасающихся с подставкой;
е) сила сопротивления направлена в сторону, противоположную вектору скорости тела.
При расстановке сил, приложенных к телу, не обязательно их прикладывать к строго определенным точкам тела (например, силу тяжести к центру масс). Обычно, все силы изображают приложенными к какой-либо произвольной точке тела, выбор которой определяется удобством и наглядностью рисунка.
После того, как проставлены все силы, желательно проверить, имеется ли сила противодействия каждой из сил, изображенных на рисунке. Нет необходимости рисовать силы противодействия силе тяжести, силам реакции опоры и трения , если подставкой, по которой движется тело, является другое неподвижное тело, например, Земля.
1. Основные формулы и понятия
Силы
где коэффициент трения скольжения; абсолютная величина силы нормального давления; единичный вектор в направлении скорости тела.
где коэффициентами жесткости;
- коэффициент жесткости при последовательном соединении пружин с коэффициент жесткости и соответственно;
=+
коэффициент жесткости при параллельном соединении пружин с коэффициентами жесткости и соответственно; координата незакрепленного конца пружины; она же для нерастянутой пружины. Знак минус показывает, что сила направлена в сторону, обратную деформации.
,
где Нм/кг2 –гравитационная постоянная; ; радиус вектор тела 2 относительно тела 1. Знак минус указывает на притяжение тел.
,
где ускорение свободного падения (вблизи поверхности Земли); м/с2;
,
где масса и радиус Земли (планеты, звезды) соответственно; высота над поверхностью Земли.
Тангенциальная (или касательная) сила
,
где единичный вектор направленный по касательной к траектории.
Нормальная (или центростремительная) сила
,
где радиус кривизны траектории; единичный вектор, направленный по нормали к траектории.
Импульс
,
где – скорость материальной точки.
,
где – масса -ой частицы, – её скорость в инерциальной системе отсчета.
Второй закон Ньютона
где геометрическая сумма сил, действующих на материальную точку; – её импульс; – число сил, действующих на точку.
.
,
действующая на тело, то можно использовать понятие средней силы за какой-то промежуток времени от момента до :
.
Тогда уравнение второго закона Ньютона можно записать в виде
,
где - изменение импульса за тот же промежуток времени; иногда произведение называют средним импульсом силы.
, , ,
или
, ,
,
где под знаком суммы стоят проекции сил на соответствующие оси координат.
Третий закон Ньютона
,
где – сила, действующая на i-ую материальную точку со стороны k-ой материальной точки; – сила, действующая на k-ую материальную точку со стороны i-ой материальной точки. Силы, с которыми действуют друг на друга материальные точки, всегда равны по модулю, приложены к разным материальным точкам, противоположно направлены, всегда действуют парами и действуют вдоль прямой, соединяющей эти точки.
2. Классификация задач и рекомендации по методам их решения
Задачи на динамику прямолинейного движения материальной точки, исходя из методики их решения, можно разбить на следующие основные типы.
OY: ;
Основные закономерности при решении задач на блоки можно сформулировать следующим образом:
3. Примеры решения типовых задач
Пример 1
Аэростат массой m250 кг начал опускаться с ускорением 0,2м/с2. Определить массу балласта, который следует сбросить, чтобы аэростат получил такое же ускорение, но направленное вверх. Ускорение свободного падения 9,8 м/с2. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Дано:
250 кг;
0,2м/с2;
9,8 м/с2.
_______________
m ?
Рис. 2.1.
Решение: Так как аэростат опускается с ускорением , меньшим ускорения свободного падения , и по условию задачи сопротивление воздуха отсутствует, то это означает, что на него кроме силы тяжести действует подъемная сила , направленная вертикально вверх.
Действующие на аэростат силы направлены вертикально, следовательно, уравнение движения
(1)
достаточно спроецировать только на одну ось системы координат OY:
. (2)
Откуда подъемная сила . (3)
Если сбросить балласт массой , то уравнение движения можно записать в виде
, (4)
или с учетом полученного выражения для подъемной силы (3)
(5)
Следовательно, масса сброшенного балласта равна
10 кг.
Пример 2
Автомобиль, трогаясь с места, за время 5с равноускоренно набирает скорость 72 км/ч.
Найти минимально возможный коэффициент трения между колесами автомобиля и дорогой при таком движении.
Какой наименьший тормозной путь автомобиля, набравшего эту скорость?
Дано:
5с;
72 км/ч20 м/с;
9,8 м/с2.
_________________
? ?
Рис. 2.2
Решение: При движении автомобиля, как при разгоне, так и при торможении, на него действуют три силы: сила тяжести , сила нормальной реакции со стороны дороги и сила трения
а) При ускоренном движении автомобиля сила трения препятствует проскальзыванию ведущих колес по поверхности дороги, поэтому, она направлена в сторону движения и является силой трения покоя. Именно сила трения покоя в данном случае будет являться движущей силой. Исходя из выбранной системы координат XOY, уравнение движения имеет вид
(1)
В проекциях на оси системы координат:
ОХ: , (2)
ОY: . (3)
Выразив силу трения через силу реакции и коэффициент трения между колесами и дорогой
, (4)
из уравнения движения определим ускорение автомобиля:
. (5)
С другой стороны, так как по условию задачи автомобиль двигаясь равноускоренно за время приобрел скорость , то его ускорение равно . (6)
Из выражений (5) и (6) имеем 0,41. Следовательно,
0,41. (7)
б) При торможении сила трения направлена в сторону, противоположную движению и является силой трения скольжения. Уравнение движения автомобиля в этом случае в проекциях на оси координат
Рис. 2.3.
ОХ: , (8)
ОY: . (9)
Учитывая, что , ускорение автомобиля при торможении
. (10)
Путь, пройденный автомобилем, движущимся равнозамедленно с начальной скоростью равен
(11)
Время движения до остановки можно определить из условия, что конечная скорость автомобиля
следовательно, (12)
Тогда (13)
Учитывая выражения для коэффициента трения (7), получаем
50 м.
Пример 3
На гладкой наклонной плоскости с углом при основании лежит доска массой М, а на доске –брусок массой m. На доску действует сила, направленная вверх по склону. При какой величине этой силы, груз начнёт соскальзывать? Коэффициент трения между доской и бруском . Ускорение свободного падения .
Дано:
;
М;
m;
;
.
___________
F ?
Решение: Силы, действующие на каждое из тел, в инерциальной системе отсчета XOY указаны на Рис.2.4.
Рис. 2.4
На брусок действует сила тяжести , сила трения , сила и сила реакции ; на доску действует сила тяжести , сила реакции , сила трения и вес бруска равный по величине . Учтём, что
. (1)
Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси выбранной системы координат при условии, что брусок по доске не скользит:
(2)
(3)
. (4)
Решая систему уравнений (2) и (3), получим .
Используем условие (1): .
Следовательно, при брусок будет соскальзывать с доски.
Пример 4
На наклонной плоскости с углом при основании неподвижно лежит кубик. Коэффициент трения между клином и кубиком равен . Наклонная плоскость движется с ускорением в направлении, показанном на рис. 2.5. При каком минимальном значении этого ускорения кубик начнет соскальзывать?
Дано:
;
;
.
________
?
Рис. 2.5
Решение: Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси ОХ и ОY инерциальной системы отсчета, связанной с Землей, считая, что кубик относительно клина покоится:
(1)
(2)
Откуда
Так как кубик покоится относительно клина, то и связаны соотношением , т.е.
Откуда получим .
Следовательно, при кубик начнёт соскальзывать при ускорении клина, равном .
Если , то тело начнет соскальзывать при любом сколь угодно малом ускорении.
Заключение
При решении задач динамики нужно в первую очередь выбрать систему координат и задать начало отсчета времени.
Описание движения в различных системах координат эквивалентны между собой в том смысле, что при известном расположении двух систем координат относительно друг друга по величинам, найденным в первой системе, можно определить соответствующие величины во второй.
При решении задач следует выбрать такую систему координат, в которой уравнения, описывающие движение, получаются проще. При прямолинейном движении система уравнений получается проще, если одна из осей координат направлена вдоль движения.
При решении задач на движение нескольких тел рекомендуется пользоваться одной системой координат.
Список литературы