Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
1.Выяснить, являются ли приведенные ниже равенства дифференциальными уравнениями в частных
производных.
а) sin Ux Uxyy + cos Uy Uyyy + 2 UU²xy – sin xy = 0
Является ДУЧП третьего порядка, нелинейное, неоднородное, с переменными коэффициентами.
б) ∂(U²x + UxUy)
∂x
∂(U²x + UxUy)
------------------- = (U²x + UxUy)х’ = ( U²x )х’ + (UxUy)х’ = 2UxxUx + UxxUy + UxUxy
∂x
UxyUxx + 2UxUxx + UxxUy + UxyUx – 3U²y = 0
(2Ux + Uy) Uxx + (Uxx + Ux) Uxy – 3U²y = 0
ДУЧП, второго порядка, нелинейное, с переменными коэффициентами
2.Определите порядок уравнения, выяснить, какие из следующих уравнений являются линейными
(однородное, неоднородное, с постоянными коэффициентами или переменными) и какие нелинейные.
2(Ux – 2Uy)Ux + sin ² Uxyy – 8Ux = 0
3 порядок нелинейное
3.Решить задачу Коши.
U(x,y) / x = 0 = - exp y Ux / x = 0 = cos y
y
Uxx – 2Uxy + 4 e = 0
B² - AC = 1 > 0 тип гиперболический
_______ __ __
dx B ± √ B² - AC dx - 1 + √ 1 dy - 1 - √ 1
---- = ------------------ = 0 ---- = ----------- = 0 ---- = ----------- = - 2
dy A dy 1 dx 1
ξ = y – 1 η = y + 2x
φx = 0 φxx = 0 φxy = 0 ψx = 2 ψxx = 0 ψxy = 0
φy = 1 φyy = 0 ψy = 1 ψyy = 0
Uxx = Uξξ φ²x + 2 Uξη φx ψx + Uηη ψ²x + Uξ φxx + Uη ψxx
Uxy = Uξξ φx φy + Uξη (φx ψy + φy ψx )+ Uηη ψy φy + Uξ φxy + Uη ψxy
ξ + 1
Uxx = 4Uηη Uxy = 2Uξη + 2 Uηη 4Uηη – 4Uξη – 4Uηη + 4e = 0
ξ + 1
Uηξ = e - канонический вид.
Найдем общее решение
Uη = t
ξ + 1 ξ + 1
tξ = e Uη = e
dt ξ + 1 du ξ + 1
---- = e ---- = e
dξ dη
ξ + 1 ξ + 1
∫ dt = ∫ e d(ξ + 1) ∫ du = ∫ e dη
ξ + 1 ξ + 1
t = e U = e · η + φ(ξ) + ψ(η)
ξ + 1
U = e · η + φ(ξ) + ψ(η) – общее решение
y
U(x,y) = e (y + 2x) + φ(y - 1) + ψ(y + 2x) – общее решение.
Подставим начальные условия
y y
U(0,y) = y e + φ(y - 1) + ψ(y) = - e
du y
---- = 2 e + 2 ψ’(y) = cos y
dx │ x = 0
Решим полученную систему уравнений относительно φ(y – 1) и ψ(y)
y
∫ ψ’(y) = ½∫ cos y dy - ∫ e dy
y y
ψ(y) = ½ sin y – e ψ(y) = ½ sin y – e
y y y
φ(y-1) = - e - y e – ψ(y) φ(y-1) = - ½ sin y - y e
Перейдем к ψ (y + 2x)
y
φ(y-1) = - ½ sin y - y e
y + 2x
ψ(y + 2x) = ½ sin (y + 2x) – e
Подставим в общее решение
y y y + 2x
U ч.р. = e (y + 2x) – ye - e - ½ sin y + ½ sin (y + 2x)
y y 2x
U ч.р. = e · 2x – e · e - ½ sin y + ½ sin (y + 2x)
Проверка:
y y + 2x
Ux = 2e + cos (y + 2x) – 2e
y + 2x
Uxx = - 2 sin (y + 2x) – 4e
y y + 2x
Uxy = 2e – sin(y + 2x) – 2e
Uxx – 2Uxy + 4e = 0
y + 2x y y + 2x y
- 2 sin (y + 2x) – 4e - 4e + 2 sin (y + 2x) + 4e + 4e = 0
y
U(0,y) = - e
y y
U(0,y) = - e - ½ sin y + ½ sin y = - e
Ux / x = 0 = cos y
y y
Ux / x = 0 = 2e + cos y – 2e = cos y
4.В каждой из областей, где сохраняется тип уравнения, найти общее решение
B² - AC = cos ² x – (-(3 + sin ² x)) = cos ² x + 3 + sin ² x = 4 > 0, гиперболический тип
________
dy B ± √ B² - AC
---- = ------------------- = - cos x ± 2
dx A
dy dy
---- = - cos x + 2 ---- = - cos x - 2
dx dx
dy = - cos x dx + 2 dx dy = - cos x dx – 2 dx
y = - sin x + 2x y = - sin x – 2x
ξ = y + sin x – 2x η = y + sin x + 2x
φx = cos x – 2 ψx = cos x + 2
φxx = - sin x ψxx = - sin x
φxy = 0 ψxy = 0
φy = 1 ψy = 1
φyy = 0 ψyy = 0
Ux = Uξ φx + Uη ψx = Uξ(cos x - 2) + Uη(cos x + 2)
Uy = Uξ φy + Uη ψy = Uξ + Uη
Uxx = Uξξ φ²x + 2Uξη φx ψx + Uηη ψ²x + Uξ φxx + Uη ψxx = Uξξ(cos ² x – 4cos x + 4) + 2Uξη(cos ² x - 4) +
+ Uηη(cos ² x + 4cos x + 4) + Uξ(- sin x) + Uη(- sin x)
Uyy = Uξξ + 2Uξη + Uηη
Uxy = Uξξ φx ψy + Uξη(φx ψy + φy ψx) + Uηη ψx ψy + Uξ φxy + Uη ψxy = Uξξ(cos x - 2) + Uξη(2cos x) +
+ Uηη(2 + cos x)
подставим в уравнение (1)
(cos ² x – 4cos x + 4) Uξξ + (2cos ² x - 8) Uξη + (cos ² x + 4cos x + 4) Uηη – sin x Uξ – sin x Uη – (2cos ² x –
- 4cos x) Uξξ – 4cos ² x Uξη – (2cos ² x + 4cos x) Uηη – (3 + sin ² x) Uξξ – (6 + 2sin ² x) Uξη – (3 + sin ² x ) x
x Uηη + (cos x - 2) Uξ + (cos x + 2) Uη + (sin x – cos x - 2) Uξ + (sin x – cos x - 2) Uη = - 16Uξη – 4Uξ = 0
4Uξη = - Uξ – канонический вид
Uξ = t - ¼η + C(ξ)
4tη = - t U = ∫ e dξ
4dt = - t dη
⌠ 4dt ⌠ - ¼ η
| ---- = - | dη U = e φ(ξ) + ψ(η) – общее решение
⌡ t ⌡
4ln t = - η + C(ξ) Перейдем к х и у
- ¼ η + C(ξ)
e = Uξ - ¼ (y + sin x + 2x)
- ¼ η + C(ξ) U = e φ(y + sin x – 2x) + ψ(y + sin x + 2x)
du = e dξ
5.В каждой из областей, где сохраняется тип уравнения, привести к каноническому виду
(1) Uxx + y Uyy + Uy = 0
ДУЧП, второго порядка, линейное, однородное
В – АС = 0 – 1 ∙ у = - у
если у > 0 элиптическое
если у < 0 гиперболическое
если y = 0 параболическое
________
dy B ±√ B ² - AC
---- = -------------------
dx A
dy ___ dy ___
---- = √ - y ---- = √ - y
dx dx
⌠ dy ⌠ ⌠ dy ⌠
| ------ = | dx | ------ = - | dx
⌡ √- y ⌡ ⌡ √- y ⌡
___ ___
ξ = x + 2√ - y η = x - 2√ - y
1 1
φy = - ------ ψy = ------
√ - y √ - y
1 1
φyy = -------- ψyy = - ---------
2√ - y³ 2√ - y³
φx = 1 ψx = 1
φxy = 0 ψxx = 0
φxx = 0 ψxy = 0
Uxx = Uξξ + 2Uξη + Uηη
1 1 1 1 1
Uyy = - Uξξ --- + 2Uξη --- - Uηη --- + ½ Uξ -------- - ½ Uη ----------
y y y y√ - y y√ - y
1 1
Uy = - Uξ ------ + Uη ------
√ - y √ - y 1 ___ ξ - η
подставляем в уравнение (1), получим 4Uξη + -------- (Uη – Uξ) = 0 √ - y = -----
2√ - y 4
1
Uξη + --------- (Uη – Uξ) = 0 - канонический вид
2(ξ - η)
dy __ dy
---- = i √ y ---- = - i √ y
dx dx
⌠ dy ⌠ ⌠ dy ⌠
| ------ = | dx | ------- = - | dx
⌡ i √ y ⌡ ⌡ i √ y ⌡
__ __
2 i √ y + x = C1 - 2 i √ y + x = C2
__
ξ = x η = 2√ y
(действительная и мнимая части общих решений характеристик)
1
φx = 1 φy = 0 ψy = -----
√ y
1
φxx = φyy = φxy = 0 ψyy = - ---------
2y √ y
Uxx = Uξξ
1 1
Uyy = Uηη --- - ½ Uη --------
y y √ y
1
Uy = Uη -----
√ y
подставим в уравнение (1), получим
1 2 __ η
Uξξ + Uηη - --- Uη - --- Uη = √ y = ---
η η 2
1
= Uξξ + Uηη + --- Uη = 0
η
при y = 0
Uxx + Uy = 0
канонический вид