Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
ГЛАВА 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Элементы линейной алгебры
§ 1. Расширение понятия числа. Комплексные числа, действия над ними
Вспомним известные из школьной программы числовые множества и арифметические действия, которые в них определены.
Прежде всего, это множество натуральных чисел N, в котором возможны сложение, умножение и возведение в степень с натуральным показателем. Такие, например, действия как вычитание и деление не всегда возможны над числами из N, если результат должен снова принадлежать N.
Если присоединить к N число нуль и все целые отрицательные числа, то получим множество целых чисел, обозначаемые Z. Целые числа удобно изображать на числовой оси равноотстоящими точками.
Для любых целых чисел операция вычитания уже определена, но операция деления для некоторых пар целых чисел приводит к результату (числу), которого нет в Z.
Присоединим к Z все дроби (числа вида , -любые целые числа, ). Полученное множество обозначают через и называют множеством рациональных чисел. Заметим, что при получаются целые числа.
Во множестве можно выполнять все четыре арифметических действия (сложение, вычитание, умножение, деление на число отличное от нуля), но, например, операция извлечения квадратного корня не всегда приводит к рациональному числу. Например, не является рациональным числом.
Известно, что всякое рациональное число можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби и, наоборот, каждую такую дробь можно записать в виде рационального числа.
Существуют числа, называемые иррациональными, для которых запись в виде бесконечной периодической десятичной дроби невозможна, например, и т.д.
Присоединим все иррациональные числа к множеству , получим множество вещественных чисел, обозначаемое .
В операция извлечения корня возможна для положительных чисел. Вещественные (действительные) числа геометрически изображаются точками на числовой оси таким образом, что между всеми вещественными числами и точками оси существует взаимно-однозначное соответствие.
Рассматривая уравнение , мы обнаруживаем, что оно не имеет решений, хотя никаких видимых причин для этого нет.
Расширим множество вещественных чисел так, чтобы в новом множестве чисел уравнения, аналогичные вышеуказанному имели решение.
Упорядоченную пару действительных чисел () называют комплексным числом.
Геометрически комплексное число изображается точкой плоскости . В декартовой системе координат числа и являются ее координатами. Так что числа вида - это действительные числа, т.е. множество действительных чисел входит в множество C комплексных чисел.
Число называется реальной (вещественной) частью комплексного числа , а число -мнимой частью этого комплексного числа.
Два комплексных числа и называются равными, если равны их действительные и мнимые части, т.е. , если и. Соотношение больше–меньше для комплексных чисел не вводится.
Определим действия над комплексными числами.
Пусть ,. Положим по определению
(1)
(2)
Легко убедиться, что в частном случае, когда числа действительные, т.е. , формулы (1,2) не противоречат обычным действиям над действительными числами ( убедиться в этом самостоятельно).
Легко также убедиться, что коммутативный закон сложения и умножения выполняется и для комплексных чисел, т.е. и .
Выполняется и дистрибутивный закон
Умножим число само на себя. Воспользовавшись (2), получим . Итак, квадрат комплексного числа равен минус единице. Это число называют мнимой единицей и обозначают так Таким образом, т.е. в множестве комплексных чисел возможно извлечение квадратного корня из отрицательного числа.
Используя мнимую единицу , можно комплексное число записать в другом виде. Действительно,
Получили, так называемую, алгебраическую форму записи комплексного числа. Если комплексные числа записаны в алгебраической форме, то действия над ними можно осуществлять, как аналогичные действия над многочленами, учитывая только, что
Комплексные числа и называются взаимно сопряженными.
Деление комплексных чисел вводится следующим образом
. (3)
Пример.
Уточним теперь определение комплексных чисел.
Определение. Элементы множества упорядоченных пар действительных чисел для которых введены арифметические операции по правилам (1), (2), (3), называются комплексными числами.
§ 2. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа
Как уже отмечалось, геометрической интерпретацией комплексного числа является точка на плоскости. Положение точки определяется ее радиус-вектором . В декартовой системе координат положение точки определяют ее координаты и . В полярной системе координат положение точки определяют координаты: – угол между осью и радиус-вектором и расстояние от начала координат до точки. Связь между декартовыми и полярными координатами следующая:
, . Учитывая это, комплексное число можно записать в виде
(1)
Формула (1) дает еще одну форму записи комплексного числа - тригонометрическую. При этом называется модулем комплексного числа, а угол - аргументом комплексного числа. Заметим, что угол определяется не однозначно, а с точностью до периода , поэтому вводят понятие главного значения аргумента -. Так что , .
Будем считать, что , тогда
где
Пример 1. Представить числа , в тригонометрической форме.
Решение.
Умножим два комплексных числа, записанные в тригонометрической форме.
(2)
Как видно из формулы (2), при умножении чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Правило это распространяется на любое число сомножителей. В частности, если получим
(3)
Формула (3) называется формулой Муавра.
Аналогично можно убедиться, что при делении чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются (убедиться в этом самостоятельно).
Рассмотрим действие извлечения корня n-ой степени (n – натуральное) из комплексного числа. Предположим, что в результате извлечения этого корня получится опять некоторое комплексное число.
Найдем неизвестные и . Для этого возведем обе части полученного равенства в n-ю степень. Используя формулу Муавра, получим, что
(4)
Равные комплексные числа имеют равные модули, а аргументы отличаются на . Поэтому из (4) следует
; .
Итак, (5)
Можно убедиться, что формула (5) дает ровно n различных корней при .
Пример 2. Найти .
Решение.
При получаются корни
,
, .
При k = 3 что совпадает с . Все последующие корни будут повторяться, так что различных корней будет только три.
Положим по определению для всех вещественных y
(6)
Формула (6) называется формулой Эйлера, – иррациональное число, основание натурального логарифма. Используя формулу Эйлера и предполагая верными обычные правила действия со степенями, найдем
(7)
Замечание 1. Формула (7) определяет функцию комплексного переменного z . Функция эта периодическая с периодом .
Действительно,
т.е..
Используя формулу Эйлера, получим еще одну форму записи комплексного числа- показательную.
(8)
§ 3. Понятие матрицы и определителя. Свойства определителей
Матрицей размера называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов.
.
Элемент матрицы A, стоящий на пересечении i-ой строки и j-ого столбца обозначают Приведем примеры матриц.
,,,.
Если число строк m равно числу столбцов n матрицы, то она называется квадратной n-ого порядка.
Одной из основных числовых характеристик квадратной матрицы является ее определитель (детерминант). Определителем матрицы второго порядка называется число, определяемое формулой
. (1)
Определители часто используются для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Решим систему двух уравнений с двумя неизвестными
Умножим обе части первого уравнения на , а второго на () и результаты сложим. Получим = =или , где
,.
Определитель называется определителем системы, а определитель получается из определителя путем замены первого столбца на столбец свободных членов системы.
Умножив первое уравнение системы на второе на аналогично найдем Определитель получается из определителя путем замены второго столбца на столбец свободных членов. Если то решения системы запишутся в виде
, . (2)
Формулы (2) называются формулами Крамера.
Пример. Решить систему
Решение. Вычислим определители , и по формуле (1):
, , .
Используя формулы Крамера, получим
Определение 1. Минором элемента матрицы A называют определитель, который получается из определителя матрицы A путем вычеркивания i-ой строки и j-ого столбца. Рассмотрим для примера матрицу третьего порядка и ее некоторые миноры.
, .
Выражение называется алгебраическим дополнением элемента .
Определителем матрицы n-ого порядка назовем число, определяемое формулой
. (3)
Формулу (3) называют правилом раскрытия определителя по элементам первой строки. Знак означает суммирование. Для примера раскроем определитель матрицы третьего порядка.
=
= =
= .
Зная теперь, как вычисляются определители третьего порядка, можем вычислить по формуле (3) определитель четвертого порядка и т.д.
Рассмотрим некоторые свойства определителей.
1. Определитель изменит только знак, если поменять местами две его строки (без доказательства).
Проверим это свойство на определителе второго порядка.
.
.
Свойство выполняется.
Следствие. Если определитель имеет две одинаковые строки, то он равен нулю.
Доказательство. Поменяем две одинаковые строки, определитель не изменится. Но согласно свойству 1 он должен изменить знак, т.е. должно выполняться равенство, что возможно только при
2. (Теорема Лапласа). Определитель можно раскрывать по элементам любой строки ( без доказательства).
.
Следствие. Если в определителе имеется нулевая строка, то он равен нулю. Доказательство очевидно.
3. Общий множитель любой строки определителя можно вынести за его знак, т.е.
.
Доказательство. Разложить левый и правый определители по элементам i-ой строки. Результаты будут одинаковые.
Следствие. Если определитель имеет пропорциональные строки, то он равен нулю. Доказательство. Вынося коэффициент пропорциональности за знак определителя, получим определитель с двумя одинаковыми строками, который равен нулю.
4. (Правило сложения определителей).
Доказательство следует из теоремы Лапласа. Раскрывая определители в левой и правой частях равенства по элементам i-ой строки, получим одно и то же.
Следствие. Определитель не изменится, если к элементам некоторой строки добавить соответственные элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.
Доказательство. Представим полученный определитель в виде суммы двух определителей согласно свойству 4. Первый определитель совпадает с данным, а второй будет содержать пропорциональные строки и следовательно равен нулю.
5. Сумма произведений элементов некоторой строки на соответствующие алгебраические дополнения другой строки равна нулю, , .
Доказательство. Рассмотрим два определителя и , которые отличаются только k-ой строкой.
; .
Если раскрывать определители по k-ой строке, то алгебраические дополнения , будут одинаковыми для обоих определителей.
. (4)
Положим теперь , т.е. заменим k-ю строку определителя на i-ю. Тогда определитель будет иметь две одинаковые строки и обратится в нуль.
Из (4) найдем ч. т. д.
Таким образом, , (5)
где – символ Кронекера.
6. Если в квадратной матрице строки сделать соответствующими столбцами, т.е. транспонировать матрицу, то ее определитель не изменится (без доказательства).
Следствие. Все предыдущие свойства и следствия, верные для строки, верны и для столбца.
Пример. Вычислить определитель
Решение. Используя свойства определителей, получим в первой строке еще два нуля.
§ 4 Действия над матрицами.
Обратная матрица
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой. Элементы квадратной матрицы составляют главную диагональ этой матрицы, а элементы -ее побочную диагональ. Если все элементы квадратной матрицы вне главной диагонали равны нулю, то такую матрицу называют диагональной. А если у диагональной матрицы все диагональные элементы равны единице, то такая матрица называется единичной и обозначается , где - символ Кронекера. Если все элементы квадратной матрицы, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю, то матрица называется треугольной.
Две матрицы считаются равными, если они имеют одинаковые размеры и все их соответствующие элементы совпадают, т.е. , если , , .
Рассмотрим некоторые операции над матрицами.
1. Сложение. Суммой двух матриц и называют третью матрицу , элементы которой получаются по формуле
. (1)
Пишут . Очевидно, сложить можно только матрицы одинакового размера.
2. Умножение на число. Произведением матрицы на число называется матрица , элементы которой получаются по формуле
. (2)
Пишут
Замечание. Под разностью матриц и понимают матрицу
3. Умножение матриц. Произведением матрицы на матрицу называется матрица , элементы которой получаются по формуле
. (3)
Пишут .
Как видно из (3), перемножить две матрицы можно только в том случае, если число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго. Поэтому, если имеет смысл, то может его не иметь. Если и -квадратные матрицы одинаковой размерности, то имеют смысл и и .
Легко проверить, что введенные операции удовлетворяют следующим свойствам:
8)
Здесь – числа, 0 – нулевая матрица, E – единичная матрица.
Пример 1. Найти произведение матриц и, если , .
Решение. Воспользуемся формулой (3), получим .
Произведение невозможно.
Пример 2. Найти произведение матриц и , если ,.
Решение. Согласно формуле (3) получим , .
Из примера ясно, что, во-первых, произведение ненулевых матриц может дать нулевую, во-вторых, в общем случае. Если , то матрицы называются перестановочными.
Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля.
Определение. Квадратные матрицы и порядка называются взаимно обратными, если , где – единичная матрица порядка .
Обратную матрицу к обозначают .
Теорема. Всякая невырожденная матрица имеет обратную , элементы которой определяются формулой , где - алгебраическое дополнение элемента матрицы .
Доказательство. Чтобы доказать теорему, достаточно убедиться, что выполняются условия . Пусть . Согласно правилу умножения матриц, найдем
=
= .
(Воспользовались свойством 5 определителя, см.§3). Т.к. матрица с элементами является единичной, , то первая часть теоремы доказана, т.е. . Аналогично можно убедиться, что . Теорема доказана.
Теорема дает правило нахождения обратной матрицы. Для того, чтобы найти обратную матрицу, надо:
1) составить матрицу из всех алгебраических дополнений элементов матрицы ;
2) транспонировать полученную матрицу;
3) умножить ее на .
Пример 3. Найти , если
.
Решение. Найдем определитель матрицы следовательно матрица имеет обратную. Воспользуемся сформулированным выше правилом.
§ 5 . Методы решения СЛАУ:
матричный и Гаусса
Рассмотрим систему алгебраических уравнений (СЛАУ), содержащую m уравнений с n неизвестными.
(1)
Введем матрицу , которая называется матрицей системы (1), матрицу-столбец неизвестных и матрицу свободных членов . С помощью этих матриц систему (1) можно записать в матричном виде
. (1)
Пусть, в частности, , тогда матрица системы (1) квадратная. Если она невырожденная, т.е. то имеет обратную Умножим слева на получим
(2)
Формула (2) дает решение системы. Этот метод называют матричным.
Пример 1. Решить систему матричным способом.
Решение. Запишем систему в матричном виде Здесь матрица системы совпадает с матрицей пр. 3 §10, матрица неизвестных - , а матрица свободных членов –
Поскольку обратная матрица найдена в пр. 3 §10, то воспользуемся формулой (2).
Решением системы является вектор
Матричный метод решения системы и метод Крамера, рассмотренный ранее (см.§§3,4), применимы только в частном случае, когда число уравнений равно числу неизвестных , и определитель матрицы системы отличен от нуля. Система в этом случае имеет единственное решение. В общем случае система (1) может иметь бесконечное множество решений или может не иметь ни одного решения. Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. В противном случае – несовместной.
Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных) – это универсальный метод. Он применим к любой СЛАУ, совместной или несовместной.
Рассмотрим вкратце этот метод.
Считая , разделим первое уравнение системы (1) на . В результате получим
, (3)
где , .
Умножая уравнение (3) последовательно на и вычитая этот результат последовательно из второго, третьего и т.д. -го уравнений, мы исключим из последующих уравнений неизвестное .
Получим следующую систему
(4)
Аналогично в системе (4) исключим неизвестное из третьего и последующих уравнений. Затем также поступим с неизвестным и т.д.
В результате получим простейшую систему равносильную данной, которую легко решить или убедиться, что она противоречива, т.е. не имеет решения. Указанные операции удобнее производить не над уравнениями, а над строками расширенной матрицы системы, которая получается, если к матрице системы дописать столбец свободных членов.
Рассмотрим метод Гаусса на примере.
Пример 2. Решить систему
Решение. Выпишем расширенную матрицу системы и путем элементарных преобразований (перемены строк матрицы местами, умножения всех элементов строки на некоторое число и сложения результатов с соответствующими элементами другой строки) добьемся, чтобы в первом столбце все элементы, кроме , стали нулевыми. Затем аналогично поступим со вторым столбцом и т.д.
.
Знак означает эквивалентность матриц (равносильность систем). Последней матрице отвечает система:
или
(5)
Система (5) равносильна данной. Неизвестные и назовем главными, а и – свободными. Решая (5), получим
Придавая свободным неизвестным любые значения, получим бесконечное множество решений системы (5), следовательно, и данной системы.
§ 6. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре
. (1)
Определение 1. Минором k-го порядка матрицы A называют определитель, составленный из элементов этой матрицы, расположенных на пересечении любых ее k столбцов и k строк. Очевидно, .
Например, минор первого порядка, минор второго порядка матрицы A. Если у матрицы A все миноры порядка равны нулю, а среди миноров порядка есть хотя бы один отличный от нуля, то число называют рангом матрицы A. Пишут .
Очевидно, ранг невырожденной матрицы совпадает с ее размером. В частности ранг треугольной матрицы, на главной диагонали которой нет нулевых элементов, совпадает с ее размером. Ранг ступенчатой матрицы (например, последняя матрица в пр.2 §11 ступенчатая) равен числу не нулевых ее строк.
Можно доказать, что элементарные преобразования матрицы не меняют ее ранга. Поэтому, используя элементарные преобразования матрицы, приводят ее к треугольному или ступенчатому виду, как в методе Гаусса. Ранг такой матрицы очевиден, в то время как вычисления ранга по определению могут быть слишком громоздкими. Например, ранги матрицы A системы и расширенной матрицы этой системы (см. пр.2 §11), очевидно, равны между собой, .
Всякая строка матрицы (1) является вектором пространства , . А любой столбец это вектор пространства, . С учетом этого матрицу (1) можно записать короче: или .
Определение 2. Всякий отличный от нуля минор матрицы A, порядок которого равен рангу матрицы, называется базисным минором. Строки матрицы A, входящие в базисный минор, называются базисными.
Теорема (о базисном миноре). Базисные строки матрицы линейно независимы. Любую строку матрицы можно представить в виде линейной комбинации базисных строк.
Доказательство. Пусть и пусть базисный минор расположен в левом верхнем углу матрицы .
.
Базисный минор по определению. Докажем, что базисные строки матрицы , т.е. векторы линейно независимы. От противного. Пусть они линейно зависимые, тогда одну из строк можно записать в виде линейной комбинации других. Пусть, например,
. (2)
Вычтем из -ой строки матрицы первую строку, умноженную на , вторую, умноженную на и т.д., наконец, -ю, умноженную на . После таких преобразований в силу (2) -я строка матрицы окажется нулевой. Тогда и -я строка минора окажется нулевой и минор будет равен нулю . С другой стороны такие преобразования согласно свойствам определителя не меняют его значения. Получили противоречие, т.к. по условию . Это и доказывает первую часть теоремы. Вторую часть примем без доказательства.
Следствие. Поскольку при транспонировании матрицы ее ранг не меняется, то теорема справедлива и для столбцов.
Заметим, если , то матрица имеет только линейно независимых строк. А это означает, что СЛАУ, матрица которой совпадает с матрицей A, имеет только линейно независимых уравнений. Остальные, если они есть, линейно зависимые и их можно отбросить, т.к. они автоматически удовлетворяются решениями линейно независимых уравнений.
§ 7. Условия совместности СЛАУ
Рассмотрим сначала однородную систему m уравнений с n неизвестными.
(1)
Если ввести векторы-столбцы , и вектор-столбец неизвестных , то матрицу системы (1) можно, как известно, записать в виде , а саму систему (1) можно записать в векторном виде
. (1)
Однородная система (1) всегда совместна, т.к. всегда имеет нулевое (тривиальное) решение Возникает вопрос, имеет ли однородная система (1) кроме тривиального и нетривиальное решение?
Теорема 1. Для того, чтобы однородная система имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был меньше числа неизвестных, т.е. .
Доказательство. Пусть система (1) имеет нетривиальное решение, т.е. выполняется и не все равны нулю. Тогда означает линейную зависимость векторов . Следовательно, линейно независимых векторов будет меньше . Согласно теореме о базисном миноре их число совпадает с рангом, следовательно, Необходимость доказана.
Пусть теперь , тогда из теоремы о базисном миноре следует линейная зависимость системы векторов , т.е. равенство , когда не все равны нулю. Другими словами система (1) имеет нетривиальное решение. Теорема доказана.
Рассмотрим теперь неоднородную систему уравнений с неизвестными, которую также запишем в векторном виде
(2)
где .
Теорема 2 (Кронекера-Капелли). Для совместности неоднородной системы необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы, т.е.
Доказательство. Пусть система (2) совместна, это означает, что существуют числа , , …, , которые обращают систему (2) в тождество.
. (3)
Но тождество (3) означает, что столбец свободных членов является линейной комбинацией столбцов матрицы системы (2). Добавление линейно зависимого столбца не изменит ранга матрицы, т.к. согласно теореме о базисном миноре ранг совпадает с числом линейно независимых столбцов. Итак, и необходимость доказана.
Пусть теперь Докажем, что система (2) совместна. Действительно, если ранги равны, то базисный минор матрицы является базисным и для матрицы. По теореме о базисном миноре столбец свободных членов можно представить в виде линейной комбинации базисных столбцов. Добавив к ним все остальные столбцы, умноженные на нуль, получим
(4)
Равенство (4) и означает совместность системы (2). Теорема доказана.
§ 8. Структура общего решения СЛАУ
Рассмотрим сначала однородную систему уравнений с неизвестными (см.(1) §13). Пусть ранг системы равен числу неизвестных Тогда согласно теореме 1 §7 система будет иметь только тривиальное решение. Пусть Тогда система имеет только линейно независимых уравнений. Оставим их, а остальные, если они есть, отбросим. Будем предполагать, что базисный минор расположен в левом верхнем углу матрицы системы. Тогда данная система будет равносильна следующей:
(1)
Неизвестные (их число n–r) являются свободными неизвестными, им можно придавать любые значения. Отсюда следует, что система (1) и, следовательно, данная система имеет кроме тривиального бесконечное множество нетривиальных решений.
Всякое решение представляет собой вектор, а поэтому среди решений могут быть линейно зависимые и линейно независимые решения. Можно доказать, что среди бесконечного множества нетривиальных решений только (n–r) линейно независимых. Их можно получить следующим образом: положим
Подставим эти значения свободных неизвестных в правую часть системы (1) и решим ее. Получим единственное решение .
Подставим теперь в правую часть системы (1) , , . Решив ее, опять получим единственное решение
Наконец, положим , и получим решение
Можно убедиться, что решения линейно независимые. Совокупность этих решений называется фундаментальной системой решений.
Если - решение однородной системы, то, очевидно, будет также ее решением. Если - решения однородной системы, то их линейная комбинация также будет решением:
. (2)
Всякое решение системы называется частным решением, а совокупность всех частных решений называется общим решением системы. Таким образом, линейная комбинация фундаментальной совокупности решений (2) является общим решением однородной системы.
Пример 1. Найти общее решение системы:
Решение. Найдем ранг системы.
.
Т.к. ненулевых строк только две, то Система имеет бесконечное множество решений, среди которых три линейно независимых.
В качестве базисного минора возьмем
Данная система будет равносильна следующей:
(3)
Положим , . Тогда из (3) получим:
Положим , , , тогда из (3) следует:
.
Наконец, положим , , получим:
В результате нашли фундаментальную совокупность решений Общее решение согласно формуле (2) запишется в виде: , где – произвольные числа.
Рассмотрим теперь неоднородную СЛАУ
(4)
Пусть - некоторое частное решение неоднородной системы (4), т.е. Пусть - произвольное (общее) решение этой системы, т.е. Тогда или Последнее означает, что - общее решение соответствующей однородной системы Наоборот, если - частное решение неоднородной системы (4), а - общее решение соответствующей однородной, то - решение неоднородной системы (4). Действительно,
Вывод. Общее решение неоднородной системы (4) равно сумме общего решения соответствующей однородной системы и любого частного решения неоднородной
(5)
Пример 2. Найти общее решение системы:
Решение. Проверим систему на совместность.
.
Ясно, что Система совместна и имеет бесконечное множество решений. За базисный минор возьмем Данная система равносильна следующей:
Положим, например, , , , тогда получим систему
Общее решение соответствующей однородной системы найдено в пр.1. Согласно (5) общее решение данной неоднородной системы запишем в виде
(6)
§ 9. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис
Геометрическим вектором, как известно, называют направленный отрезок. Он характеризуется своей длиной (модулем) и направлением.
В математике изучают так называемые свободные векторы. Свободные векторы считаются равными, если их модули равны, а направления одинаковые. В физике, однако, важна точка приложения вектора (силы) или линия действия вектора (момента силы). Такие векторы не являются свободными. Это, соответственно, связанные и скользящие векторы.
Под линейными операциями над векторами понимают сложение векторов и умножение вектора на число. Складывают два вектора по правилу параллелограмма (треугольника). Это правило можно обобщить на n слагаемых. Пристраивая каждый раз в конец предыдущего вектора начало последующего, получим пространственную ломаную линию. Вектор, соединяющий начало первого и конец последнего и будет суммой n векторов
При умножении вектора на число его модуль увеличивается (уменьшается) в раз, а направление не изменяется, если . Если то направление изменяется на противоположное. В любом случае векторы и лежат на одной прямой (или на параллельных прямых). Такие векторы называют коллинеарными.
Нулевой вектор считается коллинеарным любому другому вектору. Коллинеарные векторы и связаны соотношением .
Векторы, лежащие в одной плоскости (или в параллельных плоскостях), называют компланарными.
Легко убедиться, что линейные операции удовлетворяют следующим свойствам:
1) ,
2) ,
3) .
Рассмотрим систему векторов
. (1)
Вектор где - числа, называют линейной комбинацией векторов
Определение. Если существуют числа не все равные нулю такие, что линейная комбинация векторов обращается в нуль, то система векторов (1) называется линейно зависимой. Если линейная комбинация обращается в нуль только при = 0, то – линейно независимой.
Заметим, что если среди векторов системы (1) есть хотя бы один нулевой вектор, то она будет линейно зависимой. Если среди векторов есть хотя бы два линейно зависимых, то и вся система будет линейно зависимой.
Теорема 1. Три компланарных геометрических вектора линейно зависимы.
Доказательство. Будем считать, что векторы лежат в одной плоскости и исходят из одной точки. Используя правило сложения векторов, получим Поскольку векторы и коллинеарны векторам и , то Тогда, или
Последнее равенство и означает линейную зависимость векторов . Теорема доказана.
Теорема 2. Три некомпланарных вектора линейно независимы.
Доказательство от противного. Пусть векторы линейно зависимы. Перепишем условие линейной зависимости иначе:
. (2)
Из (2) следует, что все три вектора лежат в одной плоскости, т.е. компланарны, что противоречит условию теоремы. Это противоречие и доказывает теорему.
Аналогично можно доказать, что два геометрических вектора линейно зависимы только тогда, когда они коллинеарны.
Теорема 3. Любые четыре геометрических вектора линейно зависимы.
Доказательство. Если хотя бы два из четырех векторов линейно зависимы, то и все четыре также линейно зависимые.
Поэтому предположим, что линейно независимые, а, следовательно, они не компланарные.
Пусть все векторы исходят из одной точки O. Проведем через точку A (конец вектора ) прямую, параллельную вектору до пересечения с плоскостью, в которой лежат векторы и в точке B. Через точку B проведем линию, параллельную вектору до пересечения в точке D. Тогда согласно правилу сложения векторов имеем
.
Последнее равенство и означает линейную зависимость четырех векторов. Теорема доказана.
Любая упорядоченная некомпланарная (линейно независимая) тройка геометрических векторов называется базисом в пространстве.
Векторы называются базисными.
Если базисные векторы взаимно перпендикулярны, то базис называется ортогональным. Единичные векторы называются ортами. Базис называется ортонормированным, если базисные векторы единичные и взаимно перпендикулярные.
Совокупность точки и базиса называют декартовой системой координат. Орты прямоугольной декартовой системы координат обычно обозначают
Пусть некоторый базис. Присоединим к базисным векторам четвертый вектор Поскольку всякая четверка векторов линейно зависима, т.е.
то
. (3)
Формула (3) дает разложение вектора по базису . Коэффициенты называются координатами вектора в этом базисе.
Можно убедиться, что разложение вектора по базису единственное. Последнее означает, что координаты вектора однозначно определяют сам вектор. Иначе говоря, упорядоченную тройку чисел можно считать вектором в фиксированном базисе.
Очевидно, в множестве компланарных векторов любые два неколлинеарных вектора образуют базис, а всякий третий можно разложить по этому базису. В множестве коллинеарных векторов линейно независимый вектор один, он и образует базис в этом множестве.
Пример. Являются ли векторы линейно зависимыми?
Решение. Составим линейную комбинацию и приравняем ее нулю , где – нуль вектор.
Если все то система линейно независимая. Используя правила умножения вектора на число, сложение и сравнение векторов, заданных своими координатами, получим следующую систему линейных уравнений
Заметим, что формулы Крамера, полученные нами в §3 для системы двух уравнений, справедливы и для любой линейной системы n уравнений с n неизвестными. Если определитель системы то система имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера
Вычислим определитель нашей системы
Определители – равны нулю, т.к. имеют нулевые столбцы, поэтому система имеет только нулевое решение Следовательно данные векторы линейно независимые.
Упражнение. Взять данные векторы и за базис и разложить вектор по этому базису.
Ответ:
§ 10. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов
Скалярным произведением двух векторов и , как известно, называют число, определяемое формулой
. (1)
Можно проверить, что скалярное произведение обладает следующими свойствами:
1) 2)
3)
4) , .
Из (1) также следует, что
прпр. (2)
Запись пр означает проекцию вектора на направление вектора
Рассмотрим ортонормированный базис
Очевидно,
. (3)
Пусть
Используя свойства скалярного произведения и учитывая (3), найдем выражение скалярного произведения через координаты перемножаемых векторов в ортонормирован-ном базисе.
(4)
Если то из (4) найдем, что
Пример 1. Вычислить работу силы при перемещении материальной точки из пункта в пункт .
Решение. Работа
Поскольку
то
Базис называют правым, если поворот первого вектора ко второму на наименьший угол между ними со стороны третьего кажется против стрелки часов. В противном случае базис называют левым.
На первом рисунке базис правый, а на втором левый. В дальнейшем будем пользоваться правым базисом.
Определение 1. Векторным произведением двух векторов и называют третий вектор , удовлетворяющий следующим требованиям:
1) вектор перпендикулярен векторам и ;
2) тройка векторов ,, правая;
3) модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах, т.е.
Обозначают векторное произведение так
Рассмотрим ортонормированный базис .
Согласно определению векторного произведения найдем:
, , ,
, , . (5)
Отметим следующие свойства векторного произведения.
Используя свойства векторного произведения и соотношения (5), найдем векторное произведение двух векторов , , заданных в ортогональном базисе своими координатами.
=. (6)
Пример 2. Найти момент силы приложенной в точке , относительно начала координат.
Решение. =
= .
Определение 2. Смешанным произведением трех векторов ,, называют число, равное
Рассмотрим геометрический смысл смешанного произведе-ния. Векторы ,, выберем в качестве ребер и построим параллелепипед. Пусть тогда -площадь основания паралле-лепипеда, а смешанное произведение
Здесь H - высота параллелепипеда, а V – его объем.
Таким образом, смешанное произведение только знаком может отличаться от объема параллелепипеда, построенного на перемножаемых векторах как на ребрах. Если тройка правая, то знак смешанного произведения будет положительным.
Из геометрического смысла смешанного произведения ясно, что векторно можно перемножать любые два из трех векторов, от этого может измениться только знак. Легко проверить, что тройки векторов , и одинаковой ориентации, так что = = = Поэтому смешанное произведение обозначают не указывая, какие векторы перемножаются векторно.
Выразим смешанное произведение через координаты перемножаемых векторов в ортонормированной системе координат.
Пусть
Поскольку, то
=
= . (7)
Теорема. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения.
Доказательство ясно из геометрической интерпретации смешанного произведения.
Следствие. Три вектора линейно независимы только в том случае, если их смешанное произведение отлично от нуля.
Доказательство очевидно.
Пример 3. Проверить линейную независимость векторов (см. пример §4).
Решение. Найдем их смешанное произведение Данные векторы, согласно следствию, линейно независимые.
Обобщим понятие вектора. Назовем вектором упорядоченную совокупность n действительных чисел, т.е.
вектор, его координаты.
При сложении векторов их соответствующие координаты будем складывать, а при умножении на число- умножать на это число.
Множество всех таких векторов с определенными выше операциями называют арифметическим пространством и обозначают Обычное пространство геометрических векторов обозначают множество компланарных геометрических векторов - коллинеарных -
Зафиксировав в пространстве ортонормированный базис , понятия скалярного, векторного и смешанного произведений можно обобщить и на векторы этого пространства
Cкалярным произведением двух векторов и пространства назовем число, определяемое следующей формулой . (8)
Векторным произведением (n–1) вектора пространства назовем вектор S этого же пространства, определяемый следующей формулой (5).
. (9)
. (10)
Смешанным произведением n векторов пространства назовем число V, определяемое формулой (10).
Упражнение. Убедиться, что скалярное, векторное и смешанное произведения геометрических векторов , , , заданных своими координатами в некотором не ортогональном базисе имеют вид:
§ 11. Уравнения плоскости
Рассмотрим ортонормиро-ванный базис в пространстве и найдем уравнение плоскости, проходящей через точку перпен-дикулярно вектору Вектор называют нормалью (вектором нормали).
Пусть – произвольная (текущая) точка плоскости. Тогда вектор =
= перпендикулярен вектору , следовательно, их скалярное произведение равно нулю
. (1)
Уравнение (1) и есть уравнение искомой плоскости в векторном виде. Перепишем его в скалярном виде
, (2)
или , (3)
где
Уравнение (3) называют общим уравнением плоскости.
Если нормаль единичная, т.е. =
= , то уравнение плоскости называют нормальным. Из (1) получим
, (4)
где
Выясним геометрический смысл величин, входящих в нормальное уравнение плоскости (4). Углы – это углы между ортами и нормалью направленной от начала координат к плоскости, – расстояние от начала координат до плоскости.
Пусть произвольная точка, не лежащая в плоскости.
Из рисунка видно, что
или . (5)
Величину называют отклонением точки от плоскости. Отклонение может отличаться от расстояния точки от плоскости только знаком. Из (5) видно, чтобы найти отклонение точки от плоскости, достаточно в нормальном уравнении плоскости заменить текущие координаты на координаты точки .
Пример. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору .
Найти расстояние точки от искомой плоскости.
Решение. Воспользуемся уравнением (2). Получим
, (6)
искомое уравнение плоскости. Запишем его в нормальном виде. Чтобы записать общее уравнение плоскости (3) в нормальном виде, достаточно умножить его на нормирующий множитель , где . Поскольку в нашем случае D = 4 > 0, то . Умножая уравнение (6) на получим нормальное уравнение плоскости
. (7)
Отклонение найдем по формуле (5).
Расстояние точки от плоскости очевидно равно
Пусть в общем уравнении (3) все коэффициенты A, B, C и D отличны от нуля. Тогда его можно переписать в виде
или (8)
Уравнение (8) называют уравнением плоскости в отрезках. Легко убедиться, что , , – это отрезки на осях координат, отсекаемые плоскостью (убедиться в этом самостоятельно).
Запишем уравнение плоскости, проходящей через три точки , , . Выберем произвольную точку на плоскости. Тогда векторы , , будут лежать в этой плоскости. Следовательно, их смешанное произведение равно нулю, т.е.
или . (9)
Уравнение (9) и есть искомое уравнение .
Рассмотрим угол между двумя плоскостями
и . (10)
Т.к. угол между нормалями , и линейный угол двугранного угла между плоскостями равны, то очевидно
, (11)
где -угол между плоскостями.
Из (11) следует условие перпендикулярности двух плоскостей
. (12)
Если плоскости параллельны, то нормали коллинеарны, следовательно,
. (13)
Равенство (13) выражает условие параллельности плоскостей.
Запишем теперь уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно двум неколлинеарным векторам и . Пусть произвольная точка плоскости. Тогда векторы и компланарные, следовательно, линейно зависимые, т.е. или
. (14)
Здесь некоторые параметры, а уравнение (14) называется векторным параметрическим уравнением плоскости.
§ 12. Уравнения прямой в пространстве и на плоскости
Всякий вектор, лежащий на прямой или на прямой, параллельной данной прямой, называется направляющим вектором данной прямой. Запишем уравнение прямой, проходящей через точку и имеющей
направляющий вектор
Пусть - произвольная точка этой прямой. Тогда векторы и коллинеарны, т.е. где t - некоторый параметр.
Т.к. = то
. (1)
Уравнение (1) называют векторным параметрическим уравнением прямой (сравним с (14) §6). Поскольку то из (1) получим параметрические уравнения прямой
. (2)
Из (2) получим
. (3)
Уравнения (3) называют каноническими уравнениями прямой.
Пример. Записать уравнение прямой, проходящей через две данные точки и .
Решение. Вектор =возьмем в качестве направляющего. Тогда
. (4)
Уравнения (4) -искомые уравнения.
Две плоскости пересекаются по прямой, поэтому система двух уравнений (5)
определяет прямую в пространстве. Перейдем от уравнений (5) к каноническим уравнениям прямой.
Поскольку нормали и перпендикулярны соответствующим плоскостям, то вектор коллинеарен их линии пересечения. Тогда вектор можно взять за направляющий вектор прямой.
Раскрывая векторное произведение , получим координаты направляющего вектора
. (6)
Если () - некоторое решение системы (5), то параметрические уравнения прямой совпадют с (2), l,m,n определяются формулами (6).
Рассмотрим теперь уравнение прямой в плоскости xОy, т.е. в плоскости z = 0. В этом случае уравнение (5) перепишем в виде (7)
Если заранее оговорить условие, что прямая лежит в плоскости z = 0, то второе уравнение в (7) можно опустить. В результате получим уравнение
. (8)
Уравнение (8) называют общим уравнением прямой на плоскости xOy. Если то из (8) получим
. (9)
Уравнение (9) называют уравнением прямой с угловым коэффициентом , где - угол между прямой и осью Ox.
Найдем угол между двумя прямыми , .
Поскольку то ,
. (10)
Из равенства (10) можно получить условие параллельности и перпендикулярности двух прямых на плоскости:
. (11)
Нормальное уравнение прямой и уравнение в отрезках на плоскости получаются из соответствующих уравнений плоскости при z = 0. Отклонение точки от прямой также получается из соответствующей формулы для плоскости при z = 0.
§ 13 Плоские кривые второго порядка
В предыдущем параграфе мы убедились, что прямая на плоскости в декартовой системе координат имеет уравнение первой степени. Справедливо и обратное утверждение - всякое уравнение первой степени геометрически представляет собой прямую линию.
Плоские кривые, которые задаются алгебраическими уравнениями второй степени, называются кривыми второго порядка. Это - эллипс, гипербола, парабола.
Определение 1. Эллипсом называется множество точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух фиксированных точек плоскости и , называемых фокусами, есть величина постоянная.
Найдем уравнение эллипса. Прямую, на которой лежат фокусы, примем за ось x . Ось y проведем через середину отрезка перпендикулярно ему.
Положим , тогда фокусы будут иметь следующие координаты , . Если - произвольная точка эллипса, тогда согласно определению,
, (1)
где -некоторый параметр. Т.к. сумма двух сторон треугольника всегда больше третьей, то . Поскольку , , то подставляя эти векторы в уравнение (1), получим искомое уравнение эллипса
. (2)
Упростим уравнение (2). Уединяя первый корень и возвышая обе части уравнения в квадрат, получим
После повторного уединения корня и возведения в квадрат найдем, что
. (3)
Поскольку , то введем обозначение
С учетом этого, уравнение (3) примет вид
. (4)
Уравнение (4) называется каноническим уравнением эллипса.
Замечание. Возведение в квадрат, вообще говоря, нарушает равносильность уравнения. Могут появиться лишние корни, т.е. точки не принадлежащие эллипсу. Однако, в данном случае уравнения (2) и (4) равносильны.
Рассмотрим некоторые свойства эллипса. Пусть точка принадлежит эллипсу, тогда точка также принадлежит эллипсу в силу четности уравнения (4) по переменной . А это означает, что ось oy является осью симметрии. Аналогично можно убедиться, что ось Оx является осью симметрии эллипса. Точка пересечения осей симметрии является центром симметрии. Поэтому эллипс называется центральной кривой второго порядка.
Из (4) найдем откуда следует, что Аналогично найдем, что Таким образом, эллипс целиком расположен в прямоугольнике со сторонами 2 и 2. Величины и называют полуосями эллипса. Та полуось, на которой расположены фокусы, называется большой, а другая - малой. Величина
(5)
называется эксцентриситетом эллипса. Если , то эллипс превращается в окружность, а эксцентриситет обращается в нуль. Если малая полуось уменьшается до нуля, то эксцентриситет увеличивается до единицы. Таким образом, эксцентриситет показывает степень сплющенности эллипса.
Найдем параметрические уравнения эллипса. Возьмем две концентрические окружности с радиусами и . Под углом к оси Оx проведем луч. Из точек пересечения луча с окружностями и проведем линии, параллельные осям координат до пересечения в точке . Убедимся, что точка принадлежит эллипсу (4). Действительно, из рисунка видно, что
(6)
Подставив значения ииз (6) в (4), убедимся, что они обращают (4) в тождество. Следовательно, точка лежит на эллипсе.
Уравнения (6) - параметрические уравнения эллипса.
В частности, при , из (6) получаются параметрические уравнения окружности
(7)
Определение 2. Гиперболой называется множество точек плоскости, для каждой из которых разность расстояний до двух фиксированных точек плоскости и, называемых фокусами, есть величина постоянная.
Если точка лежит на гиперболе, то согласно определению
(8)
где - некоторый параметр.
Систему координат выберем так же, как в предыдущем случае. Тогда из равенства (8) получим
. (9)
Уравнение (9) и есть уравнение гиперболы.
После освобождения от иррациональности уравнение (9) примет вид
.
Здесь - полурасстояние между фокусами.
Поскольку разность двух сторон треугольника всегда меньше третьей, то . Поэтому обозначим . С учетом этого обозначения уравнение гиперболы примет канонический вид
. (10)
Аналогично предыдущему случаю убедимся, что гипербола является центральной кривой второго порядка.
Из уравнения (10) найдем
(11)
Из уравнения (11) следует, что , т.е. гипербола расположена вне полосы . Гипербола (10) пересекает ось Оx в точках и не пересекает ось Оy. Величина называется полуосью гиперболы, а величина - мнимой полуосью гиперболы.
Линии , лежащие на диагоналях прямоугольника со сторонами 2 и 2, называются асимптотами гиперболы. Эксцентриситет гиперболы
.
Упражнение. Убедиться, что уравнения где , , , являются параметрическими уравнениями гиперболы.
Опр. 3. Параболой называется множество точек плоскости равноудаленных от точки , называемой фокусом, и от прямой, называемой директрисой.
Проведем ось ox через фокус перпендикулярно директрисе, а ось oy-через середину отрезка между фокусом и директрисой. Согласно определению
(12)
Поскольку то уравнение (12) примет вид
(13)
Уравнение (13) и есть уравнение параболы. После упрощения оно примет канонический вид
(14)
Легко убедиться, что парабола имеет только одну ось симметрии, поэтому она не является центральной кривой второго порядка.
Канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы просты по форме из-за удачного выбора системы координат. Если, например, оси симметрии эллипса параллельны осям координат, но центр симметрии лежит в точке , т.е. не совпадает с началом координат, то уравнение эллипса усложнится и будет следующим
Если оси симметрии не будут параллельны осям координат, то уравнение эллипса еще более усложнится, в нем появится слагаемое, содержащее произведение .
Запишем общее уравнение второго порядка
. (15)
Это уравнение состоит из квадратичной формы , линейной формы и свободного члена .
Теорема. Уравнение (15) геометрически представляет собой либо эллипс, либо гиперболу, либо параболу и ничего больше, если не считать вырожденные случаи (без доказательства).
Перечислим вырожденные случаи: - пустое множество; - одна точка (0,0); - пара пересекающихся прямых.
PAGE \* MERGEFORMAT 57