Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Вариант № 23
В задачах 1…9 найти неопределённые интегралы, ответ проверить дифференцированием.
1. .
Проверка: .
Ответ: .
2. . Интегрируем дважды по частям: . . Проверка: .
Ответ: .
3.
.
Проверка: .
Ответ: .
4. . Выделяем целую часть дроби и разлагаем дробную часть на простые дроби.
. Полагаем , получим . Из равенства следует . Приравнивая коэффициенты при , получим . Или . Таким образом, .
Проверка: .
Ответ: .
5. . Разлагаем дробь на простые дроби и интегрируем. .. Полагаем , получим . Приравнивая коэффициенты при , получим . Или . Приравнивая коэффициенты при , получим . Или . Приравнивая коэффициенты при , получим . Или . Таким образом,
Проверка: .
Ответ: .
6. . Сначала делаем замену переменной, затем интегрируем по частям. .
Проверка: .
Ответ: .
7. . Интегрируем по частям. . Проверка: . Ответ: .
8. . Интегрируем после предварительных преобразований.
.
Проверка: .
Ответ: .
9. . Интегрируем с помощью замены переменной. .
Проверка: .
Ответ: .
Задачи 10-11. Вычислите несобственные интегралы или установите их расходимость.
10. . Интеграл расходится. Ответ: . Интеграл расходится.
11. . Бесконечно большие величины могут быть разного порядка в зависимости от соотношения скорости стремления к нулю бесконечно малых величин . Поэтому интеграл расходится.
Ответ: . Интеграл расходится.
Задачи 12-13. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями.
12. . Найдём точки пересечения линий:
. Тогда
.
Ответ: .
13. . Найдём точки пересечения линий: . Тогда . Ответ: .
14. Вычислите длину дуги кривой (L): (спираль Архимеда).
. Найдём J. . Отсюда находим . Следовательно, .
Ответ: .
15. Найдите объём тела вращения плоской фигуры (S) вокруг оси OX.
.
Ответ: .
16. Вычислите площадь поверхности вращения дуги (L) вокруг оси OX.
. Ответ: .
Задачи 17…18. Вычислите интегралы, воспользовавшись справочниками по высшей математике.
17. . По справочнику находим: . (Г.Б. Двайт. Таблицы интегралов и другие математические формулы.)
Ответ: .
18. . По справочнику находим: .
Ответ: .
19. Вычислите кинетическую энергию плоского однородного диска массы M и радиуса R, вращающегося с угловой скоростью ω около оси, проходящей через центр диска перпендикулярно его плоскости.
Найдём плотность массы диска: . Разобъём весь диск на концентрические кольца. В качестве элементарной массы будем понимать массу концентрического колца радиуса r и шириной dr: . Кинетическая энергия этого кольца равна . Следовательно,
. Ответ: .
20. Вычислите силу, с которой вода давит на плотину, имеющую форму равнобокой трапеции, верхнее основание которой a=6.4 м, нижнее b=4 м, и высота H=3 м.
Разобьём плотину на горизонтальные полоски. На глубине h давление на элементарную полоску составит величину ΔF=γhΔS, где γ – плотность воды, а ΔS=2xΔh. Находим уравнение боковой стороны: . Тогда . Дифференциал силы давления будет равен . Следовательно,
. Ответ: т.
h
Δh
a