У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.net

1 Физические основы механики 1

Работа добавлена на сайт samzan.net: 2015-07-05

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 1.2.2025

Физика

Контрольные работы

и методическое руководство
очно-заочной и заочной формы обучения

Содержание:

 

1.1.  Физические основы механики

1.1.1.   Пояснения к рабочей программе

1.1.2.   Основные формулы

1.1.3.   Примеры решения задач по механике

1.2.   Электричество и магнетизм

1.2.1.   Пояснения к рабочей программе

1.2.2.   Основные формулы

1.2.3.   Примеры решения задач по электричеству и магнетизму

1.3.   Колебания.Волны

1.3.1.   Пояснения к рабочей программе

1.3.2.   Основные формулы

1.3.3.   Примеры решения задач по колебаниям и волнам

1.4.   Оптика

1.4.1.   Пояснения к рабочей программе

1.4.2.   Основные формулы

1.4.3.   Примеры решения задач по оптике

1.5.   Статистическая физика и термодинамика

1.5.1.   Пояснения к рабочей программе

1.5.2.   Основные формулы

1.5.3.   Примеры решения задач по статистической физике и термодинамике

1.6.   Квантовая физика

1.6.1.   Пояснения к рабочей программе

1.6.2.   Основные формулы

1.6.3.   Примеры решения задач по квантовой физике

1.1.   Физические основы механики

1.1.1.  Пояснение к рабочей программе

Физика, наряду с другими естественными науками, изучает объективные свойства окружающего нас материального мира. Физика исследует наиболее общие формы движения материи. Простейшей и наиболее общей формой движения является механическое движение. Механическим движением называется процесс изменения взаимного расположения тел в пространстве и с течением времени.

Классическая механика изучает движение макроскопических тел, совершаемых со скоростями, малыми по сравнению со скоростью света в вакууме. Законы классической механики были сформулированы И. Ньютоном в 1687 году, но не утратили своего значения в наши дни. Движение частиц со скоростями порядка скорости света рассматривается в релятивистской механике, основанной на специальной теории относительности, а движения микрочастиц изучается в квантовой механике. Это значит, что законы классической механики имеют определенные границы применения.

Механика делится на три раздела: кинематику, динамику и статику. В разделе кинематика рассматриваются такие кинематические характеристики движения, как перемещение, скорость, ускорение. Здесь необходимо использовать аппарат дифференциального и интегрального исчисления. В контрольной работе - это задачи 101-110.

В основе классической динамики лежат три закона Ньютона. Здесь необходимо обратить внимание на векторный характер действующих на тела сил, входящих в эти законы (задачи 111-120).

Динамика охватывает такие вопросы, как закон сохранения импульса (задачи 121-130), закон сохранения полной механической энергии, работа силы (задачи 131-140).

При изучении кинематики и динамики вращательного движения следует обратить внимание на связь между угловыми и линейными характеристиками. Здесь вводятся понятия момента силы, момента инерции, момента импульса и рассматривается закон сохранения момента импульса (задачи 141-160).

1.1.2.  Основные формулы

Скорость мгновенная:
где - радиус-вектор материальной точки,
t - время;
- производная радиус-вектора материальной точки по времени.

Модуль вектора скорости:
где s - расстояние вдоль траектории движения (путь)

Скорость средняя (модуль):
  
  
  


Ускорение мгновенное:

Модуль вектора ускорения при прямолинейном движении:

Ускорение при криволинейном движении:
нормальное
где R - радиус кривизны траектории,
  
тангенциальное
  
полное (вектор)
  
(модуль) 




Скорость и путь при движении:
равномерном
  
равнопеременном
  
V0- начальная скорость;
а > 0 при равноускоренном движении;
а < 0 при равнозамедленном движении.



  
  

Угловая скорость:
где φ - угловое перемещение.

Угловое ускорение:

Связь между линейными и угловыми величинами:

Импульс материальной точки:
где m - масса материальной точки.

Основное уравнение динамики поступательного движения (II закон Ньютона):
где - результирующая сила,  <>

Формулы сил:
тяжести
где g - ускорение свободного падения
трения
где μ - коэффициент трения,
N - сила нормального давления,
упругости
где k - коэффициент упругости (жесткости),
Δх - деформация (изменение длины тела).

  

  
  
  
  
  

Закон сохранения импульса для замкнутой системы, состоящей из двух тел:
где - скорости тел до взаимодействия;
- скорости тел после взаимодействия.

Потенциальная энергия тела:
поднятого над Землей на высоту h
  
упругодеформированного 

  

Кинетическая энергия поступательного движения:

Работа постоянной силы:
где α - угол между направлением силы и направлением перемещения.

Полная механическая энергия:

Закон сохранения энергии:
силы консервативны
силы неконсервативны
где W1 - энергия системы тел в начальном состоянии;
W2 - энергия системы тел в конечном состоянии.


  
  

Момент инерции тел массой m относительно оси, проходящей через центр инерции (центр масс):
тонкостенного цилиндра (обруча)
где R - радиус,
сплошного цилиндра (диска)
  
шара
  
стержня длиной l, если ось вращения перпендикулярна стержню и проходит через его середину

  
  

Момент инерции тела относительно произвольной оси (теорема Штейнера):
где - момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс, d - расстояние между осями.

Момент силы(модуль):
где l - плечо силы.

Основное уравнение динамики вращательного движения:
где - угловое ускорение,
- результирующий момент сил.

Момент импульса:
материальной точки относительно неподвижной точки
где r - плечо импульса,
твердого тела относительно неподвижной оси вращения


  

Закон сохранения момента импульса:
где - момент импульса системы в начальном состоянии,
- момент импульса системы в конечном состоянии.

Кинетическая энергия вращательного движения:

Работа при вращательном движении
где Δφ - изменение угла поворота.

1.1.3.  Примеры решения задач по механике

Задача 1. Движение тела массой 2 кг задано уравнением: , где путь выражен в метрах, время - в секундах. Найти зависимость ускорения от времени. Вычислить равнодействующую силу, действующую на тело в конце второй секунды, и среднюю силу за этот промежуток времени.

Дано:

  

Найти:

Решение: Модуль мгновенной скорости находим как производную от пути по времени:

Мгновенное тангенциальное ускорение определяется как производная от модуля скорости по времени:

Среднее ускорение определяется выражением:

После подстановки:

Равнодействующая сила, действующая на тело, определяется по второму закону Ньютона:

Тогда


Ответ:   a(t) = 36t, F = 144 H, = 72 H.

Задача 2. По наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол 30º, движется тело массой 5 кг. К этому телу с помощью нерастяжимой нити, перекинутой через блок, привязано тело такой же массы, движущееся вертикально вниз (рис. 1). Коэффициент скольжения между телом и наклонной плоскостью 0,05. Определить ускорение тел и силу натяжения нити.

Дано:

Рис. 1

  

Найти:

Решение: Покажем на рисунке силы, действующие на каждое тело. Запишем для каждого из тел уравнение движения (второй закон Ньютона):

В проекциях на выбранные оси координат:

Учитывая, что , где , получим систему уравнений:

Вычтем из первого уравнения второе:

Искомое ускорение равно:

Вычислим ускорение а:

Силу натяжения найдем из первого уравнения системы:

Ответ:    

Задача 3. Найти линейные ускорения движения центров тяжести шара и диска, скатывающихся без скольжения с наклонной плоскости. Угол наклона плоскости равен 30º. Начальная скорость тел равна нулю.

Дано:

Рис. 2

  

Найти:

Решение: При скатывании тела с наклонной плоскости высотой h его потенциальная энергия переходит в кинетическую поступательного и вращательного движения. По закону сохранения энергии:

                 (1)

где I - момент инерции тела, m - масса.

Длина наклонной плоскости l связана с высотой соотношением (рис. 2):

                 (2)

Линейная скорость связана с угловой:

                 (3)

После подстановки (2) и (3) в (1), получим:

                 (4)

Так как движение происходит под действием постоянной силы (силы тяжести), то движение тел - равноускоренное. Поэтому:

                 (5)

и

                 (6)

Решая совместно (4), (5) и (6), получим:

                 (7)

Моменты инерции:

для шара:

  

для диска:

Подставляя выражение для момента инерции в формулу (7), получим:

для шара:

  

для диска:

Ответ:      

1.2.  Электричество и магнетизм

1.2.1.   Пояснение к рабочей программе

Изучение основ электродинамики традиционно начинается с электрического поля в вакууме. Силовой характеристикой электрического поля является напряженность , энергетической - потенциал φ. Следует обратить внимание на связь междуи φ . Для вычисления силы взаимодействия между двумя точными зарядами и вычисления напряженности электрического поля, созданного точечным зарядом, нужно уметь применять закон Кулона. Для вычисления напряженностей полей, созданных протяженными зарядами (заряженной нитью, плоскостью и т.д.), применяется теорема Гаусса. Для системы электрических зарядов необходимо применять принцип суперпозиции (задачи 201-220 контрольной работы).

При изучении темы "Постоянный ток" необходимо рассмотреть во всех формах законы Ома и Джоуля-Ленца. В контрольной работе это задачи 221- 230. При изучении "Магнетизма" необходимо иметь в виду, что магнитное поле порождается движущимися зарядами и действует на движущиеся заряды. Здесь следует обратить внимание на закон Био-Савара-Лапласа. Нужно знать этот закон и уметь применять его для расчета вектора магнитной индукции - основной характеристики магнитного поля (в контрольной работе это задачи 231-240). Особое внимание следует обратить на силу Лоренца и рассмотреть движение заряженной частицы в магнитном поле (задачи 241-250).

При изучении явления электромагнитной индукции необходимо усвоить, что механизм возникновения ЭДС индукции имеет электронный характер. Основной закон электромагнитной индукции - это закон Фарадея-Ленца. Согласно этому закону, ЭДС индукции в замкнутом контуре возникает при изменении магнитного потока, сцепленного с контуром. Необходимо знать, как вычисляется магнитный поток, ЭДС индукции, как рассчитывается работа по перемещению замкнутого контура с током в магнитном поле и энергия магнитного поля (в контрольной работе задачи 251-260).

Электрические и магнитные явления связаны особой формой существования материи - электромагнитным полем. Основой теории электромагнитного поля является теория Максвелла.

В программе большое внимание уделяется изучению уравнений Максвелла. Эти уравнения могут быть записаны в двух формах: в интегральной и дифференциальной. Уравнения Максвелла удовлетворяют принципу относительности: они инвариантны относительно преобразований Лоренца. Основным следствием теории Максвелла является вывод о существовании электромагнитных волн, распространяющихся со скоростью света.

1.2.2.  Основные формулы

Закон Кулона:
где - величины точечных зарядов,
- электрическая постоянная;
ε- диэлектрическая проницаемость изотропной среды (для вакуума ε = 1),
r - расстояние между зарядами.

Напряженность электрического поля:
где- сила, действующая на заряд , находящийся в данной точке поля.

Напряженность поля на расстоянии r от источника поля:

точечного заряда
  
бесконечно длинной заряженной нити с линейной плотностью заряда τ:
  
равномерно заряженной бесконечной плоскости с поверхностной плотностью заряда σ:
  
между двумя разноименно заряженными плоскостями   



Потенциал электрического поля:
где W - потенциальная энергия заряда .

Потенциал поля точечного заряда на расстоянии r от заряда:

По принципу суперпозиции полей, напряженность:

Потенциал:
где - напряженность и потенциал в данной точке поля, создаваемый i-м зарядом.

Работа сил электрического поля по перемещению заряда q из точки с потенциалом в точку с потенциалом :

Связь между напряженностью и потенциалом

для неоднородного поля:
  
для однородного поля:


Электроемкость уединенного проводника:

Электроемкость конденсатора:
где - напряжение.

Электроемкость плоского конденсатора:
где S - площадь пластины (одной) конденсатора,
d - расстояние между пластинами.

Энергия заряженного конденсатора:

Сила тока:

Плотность тока:
где S - площадь поперечного сечения проводника.

Сопротивление проводника:
ρ - удельное сопротивление;
l - длина проводника;
S - площадь поперечного сечения.

Закон Ома
для однородного участка цепи:

в дифференциальной форме:

для участка цепи, содержащего ЭДС:
где ε - ЭДС источника тока,
R и r - внешнее и внутреннее сопротивления цепи;

для замкнутой цепи:




Закон Джоуля-Ленца
для однородного участка цепи постоянного тока:
где Q - количество тепла, выделяющееся в проводнике с током,
t - время прохождения тока;

для участка цепи с изменяющимся со временем током:





Мощность тока:

Связь магнитной индукции и напряженности магнитного поля:
где - вектор магнитной индукции,
μ √ магнитная проницаемость изотропной среды, (для вакуума μ = 1),
- магнитная постоянная ,
- напряженность магнитного поля.

Магнитная индукция (индукция магнитного поля):
в центре кругового тока
где R - радиус кругового тока,

поля бесконечно длинного прямого тока
где r - кратчайшее расстояние до оси проводника;

поля, созданного отрезком проводника с током
где - углы между отрезком проводника и линией, соединяющей концы отрезка и точкой поля;

поля бесконечно длинного соленоида
где n - число витков на единицу длины соленоида.






Сила Лоренца:
по модулю
где - сила, действующая на заряд, движущийся в магнитном поле,
- скорость заряда q,
α - угол между векторами .



Поток вектора магнитной индукции (магнитный поток через площадку S):
для однородного магнитного поля ,
где α - угол между вектором и нормалью к площадке,
для неоднородного поля




Потокосцепление (полный поток):
где N - число витков катушки.

Закон Фарадея-Ленца:
где - ЭДС индукции.

ЭДС самоиндукции:
где L - индуктивность контура.

Индуктивность соленоида:
где n - число витков на единицу длины соленоида,
V - объем соленоида.


Энергия магнитного поля:

Заряд, протекающий по замкнутому контуру при изменении магнитного потока через контур:
где - изменение магнитного потока,
R - сопротивление контура.

Работа по перемещению замкнутого контура с током I в магнитном поле:

1.2.3.  Примеры решения задач по электричеству и магнетизму

Задача 1. Два равных отрицательных заряда по 9 нКл находятся в воде на расстоянии 8 см друг от друга. Определить напряженность и потенциал поля в точке, расположенной на расстоянии 5 см от зарядов.

Дано:

Рис.3

  

Найти:

    Е,φ

Решение: Напряженность поля в точке А (рис. 3) по принципу суперпозиции равна:

По теореме косинусов:

Напряженность поля точечного заряда:

По условию , следовательно,. Тогда:

Но поэтому:

и результирующая напряженность равна:

Обозначим АВ = h. Тогда   

По теореме Пифагора:


Потенциал φ результирующего поля в точке А равен:

Потенциал поля, создаваемого точечным зарядом, равен:

Но по условию . Тогда , следовательно:


Проверка размерности:


Ответ:   Е = 480 В/м; φ = -40 В.

Задача 2. Электрон, ускоренный разностью потенциалов 6 кВ, влетает в однородное магнитное поле под углом 30º к направлению поля и начинает двигаться по спирали. Индукция магнитного поля равна В =.
Найти радиус витка и шаг спирали.

Дано:

Рис.4

  

Найти:

    R, h.

Решение: Скорость электрона найдем из условия, что работа сил электрического поля затрачивается на изменение кинетической энергии электрона:

А = ΔW. Работа в электрическом поле равна произведению заряда на разность потенциалов: А = qU. Начальная кинетическая энергия равна нулю, поэтому ΔW = W. Следовательно:

    отсюда     .                 (1)

Разложим скорость электрона, влетающего в магнитное поле, на две составляющие: - составляющая скорости, направленная вдоль силовых линий поля и - составляющая скорости, направленная перпендикулярно силовым линиям поля. Из рис. 4:

Проекция траектории электрона на плоскость, перпендикулярную к , представляет собой окружность, следовательно, сила Лоренца сообщает частице нормальное (центростремительное) ускорение. Сила Лоренца равна:

Центростремительное ускорение:

где R - радиус окружности.
По второму закону Ньютона: F = ma.

Тогда:                    

Отсюда:                                             (2)

Период обращения равен:

Так как скорость частицы имеет составляющую , то траектория частицы представляет собой винтовую линию.
Шаг винтовой линии равен:

                        (3)

Проверка размерности расчетных формул (2) и (3).

Размерность произведения [q]·[B] найдем из выражения для силы Лоренца:

По второму закону Ньютона: F = ma, т.е.

Тогда:                    

Следовательно,                    

Подставим численные значения в (1), (2) и (3).



Ответ:   R = 1 см, h = 11 см.

Задача 3. Проволочное кольцо радиусом 10 см лежит на столе. Какой заряд потечет по кольцу, если его повернуть с одной стороны на другую. Сопротивление кольца 1 Ом. Вертикальная составляющая индукции магнитного поля Земли равна 50 мТл.

Дано:

  

Найти:

  q

Решение: По определению сила тока равна производной от заряда по времени:

Отсюда заряд, который потечет по проводнику, определяется равенством:

                        (1)

По закону Ома для замкнутой цепи сила тока равна:

                        (2)

где ε - ЭДС источника, R - сопротивление цепи.

Ток в кольце появляется благодаря ЭДС индукции. Поэтому . ЭДС индукции найдем по закону Фарадея-Ленца:

                        (3)

где - скорость изменения магнитного потока.

Подставим (3) в (2):

                        (4)

Подставим (4) в (1):

                        (5)

Проинтегрируем (5), получим:

где - магнитный поток, пронизывающий кольцо после поворота на угол180?;

- магнитный поток до поворота.
и вычисляются по формулам:

где В - индукция магнитного поля,
- площадь кольца,
α - угол между нормалью к площади кольца и линиями индукции.

Тогда:                    

Проверка размерности:

Так как     

Размерность индуктивности найдем из закона   

По закону Ома:   

Тогда:                    

Вычислим q. Учтем, что до поворота нормаль к площади кольца параллельна вектору . Поэтому α1 = 0. После поворота нормаль противоположно направлена вектору . Поэтому α2 = 180°. Тогда:

Ответ:   q = 3,14 мКл.

1.3.  Колебания. Волны

1.3.1.   Пояснение к рабочей программе

При изучении этого раздела следует иметь в виду, что колебания различной физической природы описываются с единых математических позиций. Здесь надо четко уяснить такие понятия, как гармоническое колебание, фаза, разность фаз, амплитуда, частота, период колебаний (в контрольной работе это задачи 301-310 для механических колебаний и задачи 311-320 для электромагнитных колебаний).

Нужно уметь представить гармонические колебания в виде вектора и пользоваться графическим методом сложения колебаний, т.е. строить векторную диаграмму (задачи 321-330). Важно представлять себе, что периодические процессы иной формы, чем гармонические, могут быть представлены в виде суперпозиции одновременно совершающихся гармонических колебаний с различными частотами, амплитудами и начальными фазами.

Надо иметь в виду, что во всякой реальной колебательной системе есть сопротивления среды, т.е. колебания будут затухающими. Для характеристики затухания колебаний вводится коэффициент затухания и логарифмический декремент затухания (в контрольной работе это задачи 331-340).

Если колебания совершаются под действием внешней, периодически изменяющейся силы, то такие колебания называют вынужденными. Они будут незатухающими. Амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающей силы. При приближении частоты вынужденных колебаний к частоте собственных колебаний амплитуда вынужденных колебаний резко возрастает. Это явление называется резонансом (в контрольной работе это задачи 341-350).

При изучении темы "Волны" следует обратить внимание на картину мгновенного распределения смещений и скоростей частиц среды в бегущей волне. Здесь вводится понятие длины волны, скорости распространения волны, волнового числа (в контрольной работе это задачи 351-360).

Переходя к изучению электромагнитных волн нужно четко представлять, что электромагнитная волна - это распространяющееся в пространстве электромагнитное поле. Простейшей системой, излучающей электромагнитные волны, является электрический диполь. Если диполь совершает гармонические колебания, то он излучает монохроматическую волну.

1.3.2.  Основные формулы

Уравнение гармонических колебаний:
где х - смещение (отклонение) колеблющейся величины от положения равновесия;
А - амплитуда;
ω - круговая (циклическая) частота;
t - время;
α - начальная фаза;
(ωt+α ) - фаза.

Связь между периодом и круговой частотой:

Частота:

Связь круговой частоты с частотой:

Периоды собственных колебаний
пружинного маятника:
где k - жесткость пружины;

математического маятника:
где l - длина маятника,
g - ускорение свободного падения;

колебательного контура:
где L - индуктивность контура,
С - емкость конденсатора.




Частота собственных колебаний:

Сложение колебаний одинаковой частоты и направления:
амплитуда результирующего колебания
где А1 и А2 - амплитуды составляющих колебаний,
α1 и α2 - начальные фазы составляющих колебаний;

начальная фаза результирующего колебания






Уравнение затухающих колебаний:
е = 2,71... - основание натуральных логарифмов.

Амплитуда затухающих колебаний:
где А0 - амплитуда в начальный момент времени;
β - коэффициент затухания;
t - время.

Коэффициент затухания:
колеблющегося тела
где r - коэффициент сопротивления среды,
m - масса тела;
колебательного контура
где R - активное сопротивление,
L - индуктивность контура.



Частота затухающих колебаний ω:

Период затухающих колебаний Т:

Логарифмический декремент затухания:

Связь логарифмического декремента χ и коэффициента затухания β:

Амплитуда вынужденных колебаний
где ω - частота вынужденных колебаний,
fо - приведенная амплитуда вынуждающей силы,

при механических колебаниях:

при электромагнитных колебаниях:





Резонансная частота

Резонансная амплитуда

Полная энергия колебаний:

Уравнение плоской волны:
где ξ - смещение точек среды с координатой х в момент времени t;
k - волновое число:


Длина волны:
где v скорость распространения колебаний в среде,
Т - период колебаний.

Связь разности фаз Δφ колебаний двух точек среды с расстоянием Δх между точками среды:

1.3.3.  Примеры решения задач по колебаниям и волнам

Задача 1. Материальная точка массой 10 г совершает гармоническое колебание с периодом Т=1 с. Определить амплитуду колебаний, максимальную скорость и ускорение колеблющейся точки, если полная энергия точки равна 0,02 Дж.

Дано:

  

Найти:

Решение: Уравнение гармонического колебания запишем в виде:

                 (1)

где х - смещение материальной точки от положения равновесия;
А - амплитуда;
ω - циклическая (круговая) частота;
t - время;
α - начальная фаза.

Скорость колеблющейся точки среды определяется как первая производная от смещения по времени:

Максимальное значение скорости:

Ускорение точки определяется как производная от скорости по времени:

Максимальное значение ускорения:

Полная энергия складывается из кинетической и потенциальной энергии и равна максимальной потенциальной или максимальной кинетической энергии:

Круговая частота связана с периодом: . Тогда:

Из этого выражения найдем амплитуду:

Проверим размерность:

Произведем вычисления:




Ответ:   А = 0,32 м,  Vmax = 2 м/с,  amax = 12,6 м/с2


Задача 2. Найти амплитуду и начальную фазу гармонического колебания, полученного от сложения одинаково направленных гармонических колебаний, данных уравнениями: x1 = 0,02cos (5πt + π/2) м и x2 = 0,03cos (5πt + π/4) м. Построить векторную диаграмму сложения амплитуд.

Дано:        x1 = 0,02cos (5πt + π/2)

         x2 = 0,03cos (5πt + π/4)

Найти:   А, α. Дать векторную диаграмму.

Решение: Построить векторную диаграмму - это значит представить колебание в виде вектора, длина которого равна амплитуде колебаний, а угол наклона к оси абсцисс равен начальной фазе колебаний. При вращении вектора с угловой скоростью ω проекция его конца на ось будет совершать гармонические колебания.

Из условия задачи  А1=0,02 м = 2 см,  α1= π/2,

      А2=0,03 м = 3 см,  α2 = π/4.

Векторная диаграмма изображена на рисунке 5.


Рис. 5

Результирующую амплитуду найдем по теореме косинусов:

Начальная фаза результирующего колебания находится из формулы:

Вычисления:


Ответ:   А = 4,6 м;  α=62о 46′.


Задача 3. Период затухающих колебаний Т = 4 с, логарифмический декремент затухания χ = 1,6; начальная фаза равна нулю. Смещение точки в начальный момент времени равно 4,5 см. Написать уравнение колебаний и найти смещение точки в момент времени спустя период.

Дано:

  

Найти:

Решение: Уравнение затухающих колебаний имеет вид:

                 (1)

где β - коэффициент затухания,
ω - частота затухающих колебаний.

Найдем  ω:

Логарифмический декремент затухания связан с коэффициентом затухания: . Отсюда:

Подставим ω, β, α в (1) и найдем смещение:

Для начального момента времени при t = 0:

Уравнение колебаний имеет вид:

Смещение в момент :

Ответ:

1.4.  Оптика

1.4.1.   Пояснение к рабочей программе

Оптика - это раздел физики, изучающий природу светового излучения, его распространение и взаимодействие с веществом. Световые волны - это электромагнитные волны. Длина волны световых волн заключена в интервале [0,4·10-6 м ÷ 0,76·10-6 м]. Волны такого диапазона воспринимаются человеческим глазом.

Свет распространяется вдоль линий, называемых лучами. В приближении лучевой (или геометрической) оптики пренебрегают конечностью длин волн света, полагая, что λ→0. Необходимо изучить законы геометрической оптики (в контрольной работе это задачи 401-410).

Геометрическая оптика во многих случаях позволяет достаточно хорошо рассчитать оптическую систему. Простейшей оптической системой является линза (в контрольной работе это задачи 411-420).

При изучении интерференции света следует помнить, что интерференция наблюдается только от когерентных источников и что интерференция связана с перераспределением энергии в пространстве. Здесь важно уметь правильно записывать условие максимума и минимума интенсивности света и обратить внимание на такие вопросы, как цвета тонких пленок, полосы равной толщины и равного наклона (в контрольной работе это задачи 421-430).

При изучении явления дифракции света необходимо уяснить принцип Гюйгенса-Френеля, метод зон Френеля, понимать, как описать дифракционную картину на одной щели и на дифракционной решетке (в контрольной работе это задачи 431-440).

При изучении явления поляризации света нужно понимать, что в основе этого явления лежит поперечность световых волн. Следует обратить внимание на способы получения поляризованного света и на законы Брюстера и Малюса (в контрольной работе это задачи 441-450).

При изучении темы "Взаимодействие света с веществом" необходимо рассмотреть следующие явления.
Во-первых, при распространении световой волны в веществе скорость зависит от длины волны (или частоты). Это явление называется дисперсией света. Изучение явления дисперсии света, т.е. зависимости показателя преломления от длины волны, посвящены задачи 451-460 в контрольной работе.
Во-вторых, необходимо изучить такие явления, как поглощение света и рассеяние света.

1.4.2.  Основные формулы

Абсолютный показатель преломления
где с - скорость света в вакууме, с=3·108 м/с,
v - скорость распространения света в среде.

Относительный показатель преломления
где n2 и n1 - абсолютные показатели преломления второй и первой среды.

Закон преломления
где i - угол падения,
r - угол преломления.

Формула тонкой линзы
где F - фокусное расстояние линзы,
d - расстояние от предмета до линзы,
f - расстояние от линзы до изображения.

Оптическая сила линзы
где R1 и R2 - радиусы кривизны сферических поверхностей линзы.
Для выпуклой поверхности R>0.
Для вогнутой поверхности R<0.

Оптическая длина пути:
где n - показатель преломления среды;
r - геометрическая длина пути световой волны.

Оптическая разность хода:
- оптические пути двух световых волн.

Условие интерференционного
максимума:

минимума:
где λ0 - длина световой волны в вакууме;
m - порядок интерференционного максимума или минимума.



Оптическая разность хода в тонких пленках
в отраженном свете:

в проходящем свете:
где d - толщина пленки;
i - угол падения света;
n - показатель преломления.



Ширина интерференционных полос в опыте Юнга:
где d - расстояние между когерентными источниками света;
L - расстояние от источника до экрана.

Условие главных максимумов дифракционной решетки:
где d - постоянная дифракционной решетки;
φ - угол дифракции.

Разрешающая способность дифракционной решетки:
где Δλ - минимальная разность длин волн двух спектральных линий, разрешаемых решеткой;
m - порядок спектра;
N - общее число щелей решетки.

Закон Малюса:
где I0 - интенсивность плоско-поляризованного света, падающего на анализатор;
I - интенсивность света, прошедшего через анализатор;
α - угол между плоскостью поляризации падающего света и главной плоскостью анализатора.

Связь интенсивности естественного света Iест с интенсивностью света, прошедшего поляризатор (и падающего на анализатор):
где k - относительная потеря интенсивности света в поляризаторе.

Дисперсия вещества

Средняя дисперсия

Групповая скорость света

Фазовая скорость света

1.4.3.  Примеры решения задач по оптике

Задача 1. На каком расстоянии от предмета нужно поместить экран, чтобы плоско выпуклая линза с радиусом кривизны R = 20 см и показателем преломления n = 1,5 давала изображение предмета, увеличенное в 2 раза?

Дано:

Рис.6

  

Найти:

    a

Решение: Построим изображение предмета (рис. 6). Из чертежа следует, что ΔАОВ ˜ΔА1 ОВ1 . Из подобия следует:

По условию задачи увеличение . Следовательно:

                 (1)

Из принятых обозначений: ОВ = d, ОВ1 = f. Тогда: f = 2d.
Определим оптическую силу линзы:

                 (2)

Проведем вычисления:

Воспользуемся формулой тонкой линзы:

                 (3)

Подставим (1) в (3):

Тогда:  

Найдем расстояние от предмета до линзы:   

Вычислим:    

Расстояние от предмета до экрана равно:


Ответ:    а = 180 см.


Задача 2. На стеклянный клин падает нормально монохроматический свет (λ = 698 нм). Определить угол между поверхностями клина, если расстояние между соседними интерференционными минимумами в отраженном свете равно 2 мм.

Дано:

Рис.7

  

Найти:

    φ

Решение: Параллельный пучок света, падая нормально к грани, отражается как от верхней (луч 1), так и от нижней (луч 2) грани клина (рис. 7). Лучи 1 и 2 когерентны между собой и интерферируют. Интерференционная картина представляет собой чередование темных и светлых полос. Темные полосы видны на тех участках клина, для которых оптическая разность хода кратна нечетному числу половины длины волны (условие минимума):

Оптическая разность хода в отраженном свете равна:

где i - угол падения луча. Так как по условию свет падает нормально, то i = 0 и sini = 0. Произвольной полосе с номером m соответствует толщина dm , а (m+1) полосе соответствует толщина клина dm+1 . Запишем условие минимума для двух соседних темных полос:

Отсюда:   

Тогда:   

Из рисунка:   

Вычислим:   

Тангенс мал, поэтому:   

Ответ:   


Задача 3. Измерение дисперсии показателя преломления оптического стекла дало n1 = 1,528 для λ1 = 0,434 мкм и n2 = 1,523 для λ2 = 0,486 мкм. Вычислить отношение групповой скорости к фазовой скорости для света с длиной волны 0,434 мкм.

Дано:

  

Найти:

  

Решение: Зависимость групповой скорости u от показателя преломления n и длины волны λ имеет вид:

                 (1)

где с - скорость света в вакууме.

Фазовая скорость определяется как                         (2)

Разделив выражение (1) на (2), получим:

Средняя дисперсия:          

Для длины волны λ1 и средней дисперсии имеем:

Вычисления:

Ответ:     

1.5.  Статистическая физика и термодинамика.

1.5.1.   Пояснение к рабочей программе

При изучении основ статистической физики и термодинамики следует уяснить следующее. Существует два способа описания процессов, происходящих в макроскопических телах (т.е. телах, состоящих из очень большого числа частиц - атомов или молекул), - статистический и термодинамический.

Статистическая (молекулярная) физика пользуется вероятностными методами и истолковывает свойства тел, непосредственно наблюдаемых на опыте (такие, как давление и температура), как суммарный, усредненный результат действия отдельных молекул. Молекулярно-кинетическая теория позволяет раскрыть глубинный смысл экспериментальных закономерностей, например, таких как уравнение Менделеева-Клапейрона. При решении задач на эту тему основное внимание уделено таким вопросам программы, как уравнение Менделеева-Клапейрона, закон Дальтона для смеси газов (в контрольной работе это задачи 501-510), уравнение молекулярно- кинетической теории (в контрольной работе это задачи 511-520).

Следует обратить внимание на статистические законы. Распределение молекул идеального газа по скоростям описывает распределение Максвелла, а по потенциальным энергиям - распределение Больцмана. Зависимость давления от высоты для изотермической атмосферы описывается барометрической формулой. Этим вопросам посвящены задачи 521-530 контрольной работы.

При изучении явлений переноса, к которым относятся теплопроводность, диффузия и внутреннее трение, следует уяснить, что эти явления сходны между собой. В основе этого сходства лежит одинаковый молекулярный механизм перемешивания молекул в процессе их хаотического движения и столкновений друг с другом. Изучение явлений переноса посвящены задачи 531-540.

Важно усвоить, что термодинамика, в отличие от молекулярной физики, не изучает конкретные взаимодействия, происходящие с отдельными атомами или молекулами, а рассматривает взаимопревращения и связь различных видов энергии, теплоты и работы.

При изучении основ термодинамики нужно четко усвоить такие понятия как термодинамическая система, термодинамический процесс, внутренняя энергия, энтропия и т.д. Задачи контрольной работы охватывают такие важные соотношения и понятия как первое начало термодинамики, внутренняя энергия, работа при различных изопроцессах (задачи 541-550).

Задачи 551-560 посвящены изучению второго начала термодинамики, которые формулируются как закон возрастания энтропии. Этот закон определяет направление протекания термодинамических процессов.

1.5.2.  Основные формулы

Уравнение состояния идеального газа
(уравнение Менделеева-Клапейрона) :
где р - давление газа;
V - его объем;
Т - термодинамическая температура (по шкале Кельвина);
R - газовая постоянная
m - масса вещества;
μ - молярная масса.


Количество вещества:
где N - число молекул;
NA - число Авогадро (число молекул в 1 моле вещества).

Закон Дальтона для смеси газов:
где р - давление смеси газов;
- давление n-го компонента смеси (парциальное давление);
n - число компонентов смеси.

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов:
где n - концентрация молекул:


Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы:
где k - постоянная Больцмана:
Т - термодинамическая температура.


Зависимость давления газа от концентрации и температуры:

Скорость молекул
наиболее вероятная:
где - масса одной молекулы ;


средняя арифметическая:


средняя квадратичная:



Распределение молекул газа по скоростям (распределение Максвелла):
где е = 2,71... - основание натуральных логарифмов.

Приближенная формула вычисления числа молекул, скорости которых лежат в интервале v÷v+Δv, где Δv<<v:

где N - полное число молекул.



Средняя длина свободного пробега молекулы:
где d - эффективный диаметр молекулы.

Среднее число столкновений молекулы в единицу времени:
где <v> - средняя арифметическая скорость молекулы.

Коэффициент диффузии:

Коэффициент вязкости (внутреннего трения):
где ρ - плотность.

Коэффициент теплопроводности:

Барометрическая формула:
где р - давление газа на высоте h;
p0 - давление газа на высоте h = 0.

Внутренняя энергия идеального газа:
где i - число степеней свободы
(i = 3 - для одноатомного газа, i = 5 - для двухатомного газа,
i = 6 - для трехатомного газа).

Работа расширения газа при процессе:
изобарном (изобарическом) (p = const):

изотермическом (T=const): 


Первое начало термодинамики:
где Q - количество теплоты, подводимое к системе;
ΔU - изменение внутренней энергии;
А - работа, совершаемая системой против внешних сил.

Удельная теплоемкость:

Молярная теплоемкость:

молярная теплоемкость изохорная

молярная теплоемкость изобарная



Изменение энтропии при переходе из состояния 1 в состояние 2:
где dQ - элементарное тепло,
Т - термодинамическая температура.

1.5.3.  Примеры решения задач по статистической физике и термодинамике

Задача 1. В сосуде объемом V1 = 3 л находится газ под давлением 0,2 МПа, в другом сосуде объемом V2 = 4 л находится тот же газ под давлением 0,1 МПа. Температура в обоих сосудах одинакова. Под каким давлением будет находиться газ, если сосуды соединить трубкой?

Дано:

  

Найти:

    р

Решение: По закону Дальтона:

                 (1)

где - парциальные давления.

Из уравнения Менделеева-Клапейрона до соединения сосудов получим:

где m1 и m2 - масса газа в первом и во втором сосудах;
μ - молярная масса;
R - газовая постоянная.

Аналогично для парциальных давлений (после соединения):

                 (4)         и                       (5)

Так как T = const и μ = const, то правые части уравнений (2) и (4), а также уравнений (3) и (5) равны. Тогда:

Отсюда:

                 (6)         и                       (7)

Подставляя (6) и (7) в (1), получим:

Ответ:    


Задача 2. Какая часть молекул кислорода при температуре Т = 273 К обладает скоростями, лежащими в интервале от v1 = 100 м/с до v2 = 110 м/c? Чему равна наиболее вероятная скорость движения молекул?

Дано:

  

Найти:

    

Решение: Найдем наиболее вероятную скорость молекул:

где R - газовая постоянная,
μ - молярная масса.

Подставим численные значения:

Интервал скоростей:    

Это много меньше v1 и v2. Поэтому можно использовать приближенную формулу:

                 (1)

где ΔN - число частиц, обладающих скоростями в интервале от v1 до v2 ,
N - полное число частиц,

Относительное число частиц или доля молекул, обладающих скоростями в заданном интервале, найдем из формулы (1) при :

                 (2)

Вычислим:     , подставим в (2) и учтем, что     

Ответ:         


Задача 3. Определить среднюю длину свободного пробега молекул и число соударений за 1 с, происходящих между всеми молекулами кислорода, находящегося в сосуде емкостью 2 л при температуре 27оС и давлении 100 кПа.

Дано:

  

Найти:

     < λ >, z

Решение: Средняя длина свободного пробега молекул вычисляется по формуле:

                 (1)

где d - эффективный диаметр,
n - концентрация, т.е. число молекул в единице объема.

Давление связано с концентрацией:

где k - постоянная Больцмана.

Выразим n:

                 (2)

Подставим (2) в (1) и получим:

                 (3)

Число соударений, происходящих между всеми молекулами за 1 с равно:

                 (4)

где N - число молекул в сосуде объемом V,
< z > - среднее число соударений одной молекулы за 1 с.

Число молекул в сосуде равно:

                 (5)

Среднее число соударений молекулы за 1 с:

                 (6)

где < v > - средняя арифметическая скорость молекулы.

                 (7)

Подставим в (4) выражения (5), (6), (7):

Учтем (2):

Подставим численные значения:


Ответ: z = 9·1028 с-1,   < λ > = 3,56·10-8 м.

Задача 4. Горячая вода некоторой массы отдает теплоту холодной воде такой же массы и температуры их становятся одинаковыми. Показать, что энтропия при этом увеличивается.

Решение: Обозначим температуру горячей воды Т1, холодной Т2, а температуру смеси Q. Определим температуру смеси, исходя из уравнения теплового баланса.

где с - удельная теплоемкость, m - масса.

Тогда:    

Отсюда температура смеси равна:

                 (1)

Изменение энтропии, происходящее при охлаждении горячей воды:

Элементарное количество теплоты равно:

Тогда:

Изменение энтропии, происходящее при нагревании холодной воды:

Изменение энтропии системы равно:

С учетом (1) получим:

Так как , то    , следовательно:    и    .
Тогда , т.е. энтропия возрастает.

1.6.  Квантовая физика

1.6.1.   Пояснение к рабочей программе

При изучении темы "Квантовая физика" надо иметь в виду следующее. Начало развития квантовой физики связано с решением немецким ученым Максом Планком проблемы излучения абсолютно черного тела. Необходимо знать гипотезу Планка о квантовании энергии осцилляторов и уяснить, что на основании формулы Планка могут быть получены законы Стефана- Больцмана и Вина (в контрольной работе это задачи 601-610).

Развитие гипотезы Планка привело к созданию представлений о квантовых свойствах света. Кванты света называются фотонами. С позиций квантовой теории света объясняется такое явление как фотоэффект. Здесь следует знать формулу Эйнштейна для фотоэффекта (задачи 611-620 контрольной работы).

Дальнейшее развитие квантовой физики связано с построением теории строения атома. О сложном строении атома говорят исследования спектров излучения разряженных газов (т.е. спектров излучения отдельных атомов). Задачи 621-630 контрольной работы посвящены изучению закономерностей в спектре атома водорода.

У студента должно сформироваться представление, что электромагнитное излучение имеет двойственную природу (корпускулярно- волновой дуализм). Корпускулярно-волновой дуализм присущ также материальным частицам. Согласно гипотезе де Бройля, движение любой частицы всегда связано волновым процессом. Определению длины волны де Бройля посвящены задачи 631-640 контрольной работы.

Изучение теоретического курса в программе завершается рассмотрением вопросов квантовой механики. Здесь важно понять, что существуют границы применимости законов классической механики, которые устанавливаются из соотношения неопределенностей Гейзенберга. Состояние микрочастицы в квантовой механике описывается волновой функцией. Важно понять статистический смысл волновой функции, т.е. понять - как определить вероятность нахождения частицы в различных точках пространства. Вид волновой функции находится из решения уравнения Шредингера. Необходимо рассмотреть применение уравнений Шредингера к стационарному состоянию частицы в прямоугольной бесконечно глубокой потенциальной яме, из которого вытекает квантование энергии (задачи 641-650). Применение уравнения Шредингера к описанию поведения электрона в водородоподобном атоме приводит к квантованию энергии и момента импульса электрона. Следует выяснить физический смысл квантовых чисел, характеризующих состояние электрона в атоме водорода.

При изучении темы "Периодическая система элементов" необходимо обратить внимание на роль принципа запрета Паули, связанного с существованием у электрона спина - фундаментальной характеристики микрочастицы. При изучении взаимосвязи между веществом и излучением важно знать, что помимо поглощения и спонтанного (самопроизвольного) излучения существует вынужденное (индуцированное) излучение. Практическое использование вынужденного излучения привело к созданию оптических квантовых генераторов (лазеров).

При изучении темы "Квантовая статистика. Зонная теория твердых тел" основное внимание должно быть уделено понятию энергетических зон в кристаллах, выяснению различий между металлами, полупроводниками и диэлектриками. Изучению проводимости полупроводников посвящены задачи 651-660 контрольной работы. Важно понять распределение электронов по энергиям (распределение Ферми-Дирака), иметь качественное представление о таких явлениях как термоэлектронная эмиссия, термоэлектрические явления и, наконец, рассмотреть примесную проводимость полупроводников и вольт-амперную характеристику р-n перехода.

1.6.2.  Основные формулы

Закон Стефана-Больцмана:
где R - энергетическая светимость (излучательность) абсолютно черного тела, т.е. энергия, испускаемая в единицу времени с единицы площади:
σ - постоянная Стефана-Больцмана:



Энергетическая светимость (излучательность) серого тела:
где α - коэффициент черноты.

Закон смещения Вина:
где λm - длина волны, на которую приходится максимум энергии излучения;
b - постоянная Вина :


Импульс фотона:
где λ - длина волны;
h - постоянная Планка:


Энергия фотона:
где ν - частота;
с - скорость света в вакууме:


Формула Эйнштейна для фотоэффекта:
где hν - энергия фотона, падающего на поверхность металла;
А - работа выхода электрона из металла;
- максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона.

Красная граница фотоэффекта:
где λк - максимальная длина волны, при которой возможен фотоэффект;
νк - минимальная частота, при которой возможен фотоэффект.


или

Сериальные формулы спектра водородоподобного атома
где R - постоянная Ридберга R=1,097·107 м-1,
z - порядковый номер элемента;
Серия Лаймана m=1, n=2,3,4...
Серия Бальмера m=2, n=3,4,5...
Серия Пашена m=3, n=4,5,6...
Серия Брекета m=4, n=5,6,7... и т.д.

Длина волны де Бройля:
где р - импульс частицы.
В классическом приближении (при v<<c): p = mv;
m - масса частицы;
v - скорость частицы;
с - скорость света в вакууме.

В релятивистском случае (при ):


Связь импульса с кинетической энергией Wк в релятивистском приближении:
где E0 - энергия покоя частицы:


Плотность вероятности нахождения частицы в соответствующем месте пространства

Волновая функция, описывающая состояние частицы в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме
где l - ширина ямы,
х - координата частицы в яме (0 ≤ x ≤ l),
n - квантовое число (n=1,2,3...).

Энергия частицы в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме
где m - масса частицы.

Электропроводность собственных полупроводников
где е - заряд электрона,
n - концентрация носителей заряда,
uр - подвижность электронов,
un - подвижность дырок.

Постоянная Холла для полупроводников типа алмаза, германия, кремния

1.6.3.  Примеры решения задач по квантовой физике

Задача 1. Найти длину волны де Бройля для электрона, кинетическая энергия которого равна:
1) 10 кэВ, 2) 1 МэВ.

Дано:

  

Найти:

    

Решение: Длина волны де Бройля связана с импульсом:

где         - постоянная Планка;
р - импульс частицы.

Импульс частицы зависит от ее скорости. Если скорость движения частицы много меньше скорости света в вакууме (v<<c), то это случай нерелятивистский. Если скорость движения частицы соизмерима со скоростью света в вакууме, то это случай релятивистский. Импульс частицы связан с энергией. Поэтому, чтобы выяснить, какой это случай, вычислим энергию покоя частицы и сравним ее с энергией движущейся частицы. Вычислим энергию покоя электрона:

Сравним кинетическую энергию электрона с энергией покоя E0 . В первом случае W1<<E0, значит это случай нерелятивистский и импульс равен: p = mv. Импульс связан с кинетической энергией соотношением:

Отсюда:   

Тогда:

Во втором случае     , значит это случай релятивистский. Импульс равен:     , где с - скорость света. Тогда:

Ответ:     ,    


Задача 2. Частица находится в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме шириной l на втором энергетическом уровне. В каких точках ямы плотность вероятности обнаружения частицы совпадает с классической плотностью вероятности?

Дано:

  

Найти:

     x.

Решение: Волновая функция ψ, описывающая состояние частицы в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме шириной l, имеет вид:

                 (1)

где n - номер энергетического уровня (n = 1,2,3...),
х - координата частицы в яме (0 ≤ х ≤ l).

Согласно физическому смыслу волновой функции:

                 (2)

где w - плотность вероятности обнаружения частицы в точке с координатой х.

Если частица находится на втором энергетическом уровне (n = 2), т.е.:

                 (3)

Выражение для классической плотности вероятности имеет вид:

                 (4)

Приравнивая по условию выражения (3) к (4), получим:

                 (5)

Решая уравнение (5), найдем:

В пределах ямы (0 ≤ х ≤ l) таких точек четыре:

Ответ:      


Задача 3. Некоторый примесный полупроводник имеет решетку типа алмаза и обладает только дырочной проводимостью. Определить концентрацию дырок nр и их подвижность uр, если постоянная Холла Rх = 3,8·10-4 м3/Кл. Удельная проводимость полупроводника σ =110 (Ом·м)-1.

Дано:

  

Найти:

    nр, uр.

Решение: Концентрация дырок nр связана с постоянной Холла, которая для полупроводников с решеткой типа алмаза, обладающих носителями только одного знака, выражается формулой:

                 (1)

где е - элементарный заряд.

Отсюда:

                 (2)

Подставим числовые значения величин в формулу (2) и проведем вычисления:

Удельная проводимость полупроводников выражается формулой:

                 (3)

где nn  и  np - концентрации электронов и дырок,
un  и  up - их подвижности.

При отсутствии электронной проводимости первое слагаемое в скобках равно нулю, и формула (3) примет вид:

Отсюда искомая подвижность:

                 (4)

Подставим в (4) выражение nр, описываемое формулой (2):

                 (5)

Подставим в (5) численные значения и проведем вычисления:

Ответ:       ,    




1. 1 2 S1 S2 1 2 Производственные риски
2. тематика Физра Физра Окр
3. ТЕХНОЛОГИЙ И МОДЕЛЕЙ КОММУНИКАЦИИ Сегодня во всем мире и в частности в России Public Reltions применяются во вс
4. Меридіан вулГероїв Севастополя 11В Категоріі
5. Экономический анализ
6. Тема- Творчість Олеся Донченка для дітей
7. тема 1А Телефон- 066 3907139 Категорія- Танцювальні студії Дитяча танцювальна студія
8. і. Основу виробничих відносин рабовласницького суспільства становила повна власність на знаряддя праці зас
9. Теория общественного выбора о причинах провалов правительства
10. Место истории в системе наук

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе