Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
точки минимума ТМ или плавления ТВ чистого компонента В в соответствующих случаях диаграмм фазового равновесия (рис. 15). При этом заданные таким образом значения температуры определяют скачкообразное изменение функции η(Т) в конце двухфазной зоны [23].
После таких предположений задача становится замкнутой и состоит в решении уравнения (4.1.1) при заданной функции η(Т):
|
η(T) |
(4.1.23) |
Здесь Т0=ϕ(С0), Т1=ТР, Т2=ТЗ, Т3=ТМ, Т4=ТВ.
Тем самым данная задача от случая кристаллизации чистого расплава отличается лишь видом функции η. Естественно, что для задачи в такой постановке остается справедливой теория обобщенного решения [68]. В частности, остаются в силе методы численного решения задачи, основанные на предварительном сглаживании функции η(Т). Произведя сглаживание функции η(Т) в окрестности точки Тi, для гладкой функции ηε(Т) уравнение (4.1.1) можно записать в виде
|
(4.1.24) |
Для решения (4.1.24) применимы обычные устойчивые разностные схемы (см., например, [74]). Все сказанное, без всяких изменений, распространяется на двух- и трехмерные задачи.
Следует отметить, что допущение, принятое в упрощенной теории двухфазной зоны, оправданно далеко не во всех случаях. Действительно, в задаче должен быть задан температурный интервал (Тi,Т0), в котором происходит кристаллизация, но тогда ширина двухфазной области, а также значения функции η в конце двухфазной зоны в значительной степени предопределяются.
Неудовлетворенность приближенной задачи особенно очевидна, если необходимо проследить за возникновением и развитием двухфазной зоны во времени в зависимости от скорости кристаллизации, как, например, при направленной кристаллизации слитка (см. параграф 2.5). В этом случае решение приближенной задачи не описывает двухфазную зону даже качественно, так как всегда при любой скорости кристаллизации существует двухфазная зона значительных размеров, в то время как решение полной задачи теории двухфазной зоны описывает момент возникновения двухфазной зоны и ее развитие во времени.
Перечисленные недостатки говорят о необходимости построения общей теории двухфазной зоны. Построение обобщенного решения задачи кристаллизации бинарной системы начнем с вывода осредненных уравнений. Целью осреднения является получение обобщенных уравнений, единообразно описывающих кристаллизующуюся систему как сплошную среду (см., например, |18, 19|). Преимущество таких уравнений заключается в том, что они обеспечивают выполнение всех необходимых балансов в среднем и не требуют выделения каких-либо внутренних границ. Кроме того, решение осредненных обобщенных уравнений остается устойчивым и в закритической области, когда обычные уравнения приводят к неустойчивым решениям.
4.2. ВЫВОД ОСРЕДНЕННЫХ УРАВНЕНИЙ
Выведем осредненные макромасштабные уравнения для двухфазной среды. Для простоты рассмотрим двухкомпонентный расплав. В случае многокомпонентной системы вывод уравнений делается аналогично, если считать заданными равновесные коэффициенты распределения mi для каждого компонента. Пусть область Q трехмерного пространства занята бинарным раствором, причем в любом элементарном объеме V могут находиться как твердые, так и жидкие частицы. Например, объем V пронизывают дендриты или в нем растут равноосные зерна (рис. 16). Будем считать, что существует кусочно-гладкая граница раздела фаз Гi. Температура Т и концентрация С компонента в области, занятой каждой из фаз, удовлетворяют обычным микромасштабным уравнениям теплопроводности и диффузии с известными коэффициентами теплопроводности, объемной теплоемкости и диффузии λР, LP, DP (p=1, 2), которые будем считать постоянными в каждой фазе. Запишем эти уравнения с учетом конвективных членов в жидкой