Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

Подписываем
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
63
0
F(x)
y
x
b
1
(F(X))
y
x(X)
1
8
4
1
0
y
(F(x))
0
x(X)
b
а
1
f(x)
0
х
а
В1
В2
А
f(x)
X
b
а
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
§ 1. Элементы комбинаторики
Определение. Если подмножества, отличающиеся только порядком следования элементов считаются различными, то говорят об упорядоченных подмножествах. В противном случае прилагательное «упорядоченные» опускают.
Например, у множества, состоящего из четырех элементов a, b, c, d имеется 4 трехэлементных подмножества:
abc, abd, bcd, acd
и 24 трехэлементных упорядоченных подмножества:
abc, abd, acd, bcd,
acb, adb, adc, bdc,
bac, bad, cad, cbd,
bca, bda, cda, cdb,
cab, dab, dac, dbc,
cba, dba, dca, dcb.
Примечание. В комбинаторных задачах всегда требуется найти число всех подмножеств данного множества, удовлетворяющих определенным условиям, но в одних задачах подмножества, отличающиеся только установленным в них порядком следования элементов, приходится считать различными, а других порядок следования элементов не важен, и подмножества, отличающиеся только расположением элементов, не считаются различными.
Определение. Пусть имеется множество, содержащее n элементов. Каждое упорядоченное подмножество, состоящее из k элементов, называется размещением из n элементов по k элементов.
Поскольку n ≥ k ≥ 0, и размещения из n элементов по k элементов это все k элементные подмножества, отличающиеся составом элементов или порядком их следования.
Для множества, состоящего из 4-х элементов a, b, c, d, все размещения по 3 элемента были рассмотрены выше (их оказалось 24), они отличаются друг от друга либо составом элементов, либо порядком их расположения.
В комбинаторных задачах необходимо уметь подсчитывать число всех размещений из n элементов по k элементов. Для обозначения этого числа применяется специальный символ:
- число размещений из n по k.
А первая буква французского слова arrangement, что означает размещение, приведение в порядок. Следовательно,
Очевидно, что так как существует только одно подмножество n-элементного множества, не содержащее элементов (пустое множество).
В общем случае на вопрос о числе размещений из n элементов по k элементов дает ответ следующая формула:
или
Таким образом,
Примеры.
Решение:
Решение: различных способов составления расписания, очевидно, столько, сколько существует пятиэлементных упорядоченных подмножеств у четырнадцатиэлементного множества, т.е.
Определение. Размещения из n элементов по nэлементов называются перестановками из n элементов.
Перестановки являются частным случаем размещений. Число перестановок из n элементов обозначают через Рn. Р первая буква французского слова permutation перестановка.
Исходя из вышеизложенного, .
Примеры.
Решение. решая квадратное уравнение получаем n = 11.
Решение. для того, чтобы число, составленное из заданных цифр делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы цифра 5 стояла на последнем месте. Остальные пять цифр могут стоять на оставшихся пяти местах в любом порядке. Следовательно, искомое число шестизначных чисел, кратных пяти, равно
Определение. Пусть имеется множество, состоящее из n элементов. Каждое его подмножество, содержащее k элементов, называется сочетанием из n элементов по k элементов.
Подмножества, отличающиеся друг от друга только порядком следования элементов, не считаются различными.
Например, для четырехэлементного множества a, b, c, d сочетаниями по 3 элемента являются следующие подмножества:
abc, abd, bcd, acd
Число всех сочетаний из n элементов по k элементов обозначается символом . С первая буква французского слова combination сочетание. Из примера ясно, что . Таким образом, или
.
Примеры.
Решение. Исходя из определения
разделим обе части неравенства на выражение получим
откуда следовательно, .
Решение. Исходя из определения сочетания, получим
Свойства сочетаний
1.
2.
3.
4.
5. .
§ 2. Основные понятия теории вероятностей
2.1. Предмет теории вероятностей
Наблюдаемые нами события (явления) можно подразделить на следующие три вида: достоверные, невозможные и случайные.
Определение. Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена совокупность условий S.
Определение. Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность условий S.
Определение. Случайным называют событие, которое при осуществлении совокупности условий S может либо произойти, либо не произойти.
Примеры.
Атмосферное давление и температура воды совокупность условий S.
Теория вероятностей не ставит перед собой задачу предсказать, произойдет единичное событие или нет. По-иному обстоит дело, если рассматриваются случайные события, которые могут многократно наблюдаться при осуществлении одних и тех же условий S, т.е. речь идет о массовых однородных случайных событиях.
Определение. Предметом теории вероятностей является изучение закономерностей (вероятностных) массовых однородных случайных событий.
Знание закономерностей, которым подчиняются массовые случайные события, позволяет предвидеть, как эти события будут протекать.
2.2. Испытания и события
В дальнейшем, вместо того, чтобы говорить «совокупность событий S осуществлена», будем говорить кратко: «произведено испытание».
Определение. События называют несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.
Пример. Брошена монета. Появление «герба» исключает появление надписи. События «появился герб» и «появилась надпись» - несовместные.
Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них, т.е. появление хотя бы одного из событий полной группы есть достоверное событие.
Примечание. Если события, образующие полную группу, попарно несовместны, то в результате испытания появится одно и только одно из этих событий.
Пример. Приобретены два билета денежно-вещевой лотереи. Обязательно произойдет одно и только одно из следующих событий: «выигрыш не выпал на первый билет и выпал на второй», «выигрыш выпал на оба билета», «на оба билета выигрыш не выпал». Эти события образуют полную группу попарно несовместных событий.
Определение. События называют равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.
Пример. Появление «герба» и появление надписи при бросании монеты равновозможные события. Предполагается, что монета изготовлена из однородного металла, имеет правильную цилиндрическую форму, и наличие чеканки не оказывает влияния на выпадение той или иной стороны монеты.
2.3. Классическое определение вероятности
Каждый из возможных результатов испытания назовем элементарным исходом (элементарным событием):
w1, w2, w3, …
Те элементарные исходы, в которых интересующее нас событие наступает, назовем благоприятствующими этому событию.
Определение. Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу.
где m число элементарных исходов, благоприятствующих А;
n число всех возможных элементарных исходов испытания.
Свойства вероятности
1. Вероятность достоверного события равна единице.
Поскольку m = n, то
Поскольку m = 0, то
Так как
2.4. Примеры непосредственного вычисления вероятностей
1) Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.
Решение. Обозначим событие В набраны две нужные цифры. Всего можно набрать столько различных цифр, сколько может быть составлено размещений из 10 цифр по 2: Таким образом, общее число возможных элементарных исходов 90. Эти исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу. Благоприятствует событию В лишь один исход, т.е.
2) Указать ошибку «решения» задачи: «Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 4 (событие А)».
Решение. Возможно два исхода: сумма выпавших очков равна 4 и сумма выпавших очков не равна 4. Событию А благоприятствует 1 исход, а общее число исходов 2, тогда .
Ошибка состоит в том, что рассматриваемые исходы не являются равновозможными.
Правильное решение. Поскольку каждое число выпавших очков на одной кости может сочетаться со всеми числами очков на другой кости, то 6 ∙ 6 = 36 общее число равновозможных исходов. Среди этих исходов благоприятствует событию А только три: (1,3); (3,1); (2,2). Следовательно,
2.5. Теорема сложения вероятностей несовместных событий
Определение. Суммой А + В двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий.
Пример. Из орудия произведены два выстрела и А попадание при первом выстреле, В попадание при втором выстреле, то А + В попадание при первом выстреле, или при втором, или в обоих выстрелах.
Определение. Суммой нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении одного из этих событий, безразлично какого.
Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий.
Р(А + В) = Р(А) + Р(В).
Следствие. Вероятность появления одного из нескольких, попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: Р(А1 + А2 + … + Аn) = Р(А1) + Р(А2) + … + Р(Аn).
Пример. В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.
Решение. Появление цветного шара означает появление либо красного, либо синего шара.
- появление красного шара;
- появление синего шара;
2.6. Полная группа событий
Теорема. Сумма вероятностей событий А1, А2, …, Аn образующих полную группу, равна единице Р(А1) + Р(А2) + … + Р(Аn) = 1.
Пример. Консультационный пункт университета получает пакеты с контрольными работами из городов А, В и С. Вероятность получения пакета из города А равна 0,7, из города В 0,2. Найти вероятность того, что очередной пакет будет получен из города С.
Решение. Событие «пакет получен из города А», «пакет получен из города В», «пакет получен из города С» образуют полную группу, поэтому Р(А) + Р(В) + Р(С) = 1; 0,7 + 0,2 + Р = 1; Р = 0,1.
2.7. Противоположные события
Определение. Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из двух противоположных событий обозначено через А, то другое принято обозначать .
Пример. Попадание и промах при выстреле по цели - противоположные события. Если А попадание, то - промах.
Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:
Примечание. 1) Если вероятность одного из двух противоположных событий равна Р, то вероятность другого обозначают через q, и p + q = 1.
2) При решении задач на отыскание вероятности события А часто выгодно сначала вычислить вероятность события , а затем
§ 3. Теорема умножения вероятностей
3.1. Произведение событий
Определение. Произведением двух событий А и В называют событие АВ, состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий.
Пример. А деталь годная, В деталь окрашенная, то АВ деталь годна и окрашена.
Определение. Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.
3.2. Условная вероятность
Определение. Если при вычислении вероятности события никаких других ограничений, кроме условий S, не налагается, то такую вероятность называют безусловной, если же налагаются и другие дополнительные условия, то вероятность события называют условной.
Определение. Условной вероятностью РА(В) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило
Пример. В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Установить вероятность появления белого шара при втором испытании (событие В), если при первом испытании был извлечен черный шар (событие А).
Решение. После первого испытания в урне осталось 5 шаров, из них 3 белых, поэтому Этот же результат получим, использовав формулу.
Вероятность появления белого шара при первом испытании: Общее число исходов совместного появления двух шаров, безразлично какого цвета:
Из этого числа исходов событию АВ благоприятствуют 3 ∙ 3 = 9 исходов, следовательно:
3.3. Теорема умножения вероятностей зависимых событий
Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило: Р(АВ) = Р(А) ∙ РА(В).
Примечание. Р(ВА) = Р(В) ∙ РВ(А), но Р(АВ) = Р(ВА),
поэтому Р(А) ∙ РА(В) = Р(В) ∙ РВ(А).
Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились:
Пример. У сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик взял один валик, а затем второй. Установить вероятность того, что первый из взятых валиков конусный, а второй эллиптический.
Решение. - первый валик конусный.
- второй валик эллиптический, при условии, что первый валик конусный. Тогда
3.4. Независимые события.
Теорема умножения для независимых событий
Определение. Событие В называют независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В, т.е. условная вероятность события В равна его безусловной вероятности:
РА(В) = Р(В).
Для независимых событий теорема умножения имеет вид:
Р(АВ) = Р(А) ∙ Р(В).
Определение. Два события называют независимыми, если вероятность их совмещения равна произведению вероятностей этих событий; в противном случае называют зависимыми.
Определение. Несколько событий называют независимыми в совокупности, если независимы каждые два из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных.
Пример. А1, А2, А3 независимые события, то независимы следующие события: А1 и А2; А1 и А3; А2 и А3; А1 и А2А3; А2 и А1А3; А3 и А1А2.
Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности равна произведению вероятностей этих событий:
Р(А1А2 … Аn) = Р(А1) Р(А2) … Р(Аn).
Пример. Установить вероятность совместного появления герба при одном бросании двух монет.
Решение. Вероятность появления герба первой монеты (событие А):
вероятность появления герба второй монеты (событие В): События А и В независимые, поэтому:
3.5. Вероятность появления хотя бы одного события
Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий А1, А2, … Аn, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий
Р(А) = 1 q1q2 … qn.
Частный случай. Если события А1, А2, … Аn имеют одинаковую вероятность, равную Р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий: Р(А) = 1 qn.
Пример. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: р1 = 0,8; р2 = 0,7; р3 = 0,9. Установить вероятность хотя бы одного попадания (событие А) при одном залпе из всех орудий.
Решение. События:
тогда: q1 = 1 p1 = 0,2;
q2 = 1 p2 = 0,3;
q3 = 1 p3 = 0,1.
P(A) = 1 q1q2q3 = 1 0,2 ∙ 0,3 ∙ 0,1 = 0,994.
3.6. Теорема сложения вероятностей
Определение. Два события называют совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.
Пример. А появление четырех очков при бросании игральной кости; В появление четного числа очков. События А и В совместные.
Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) Р(АВ).
Примечание. 1. Для независимых событий:
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) Р(А)Р(В).
Для зависимых событий:
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) Р(А)РА(В);
2. Если события А и В несовместны, то Р(АВ) = 0 и тогда:
Р(А + В) = Р(А) + Р(В).
Пример. Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: р1 = 0,7; р2 = 0,8. Установить вероятность попадания при одном залпе (из обоих орудий) хотя бы одним из орудий.
Решение.
I способ: Р(АВ) = Р(А) ∙ Р(В) = 0,7 ∙ 0,8 = 0,56 (события А и В - независимые)
Р(АВ) оба орудия дали попадание.
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) Р(АВ);
Р(А + В) = 0,7 + 0,8 0,56 = 0,94.
II способ: вероятности промахов:
q1 = 1 P(A) = 1 0,7 = 0,3
q2 = 1 P(B) = 1 0,8 = 0,2
P(A + B) = 1 q1q2 = 1 0,3 ∙ 0,2 = 0,94.
3.7. Формула полной вероятности
Теорема. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий В1, В2, …, Вn, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:
Пример. Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартна, равна 0,8; а второго 0,9. Установить вероятность того, что взятая наудачу деталь стандартная.
Решение. А извлеченная деталь стандартна. Вероятность того, что деталь вынута из первого набора - а из второго набора - Условная вероятность того, что из первого набора будет извлечена стандартная деталь - из второго -
По формуле полной вероятности:
3.8. Вероятность гипотез. Формулы Бейеса
Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий В1, В2, … , Вn, образующих полную группу. Поскольку заранее не известно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами.
По формуле полной вероятности:
определим, как изменились вероятности гипотез, если появилось событие А, т.е. будем искать:
По теореме умножения: .
Из формулы полной вероятности заменим Р(А):
Окончательно, для остальных гипотез:
Полученные формулы называют формулами Бейеса, по имени английского математика, который их вывел и опубликовал в 1764 году. Формулы Бейеса позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.
Пример. Детали, изготовляемые цехом завода, попадают для проверки на их стандартность к одному из двух контролеров. Вероятность того, что деталь попадает к первому контролеру, равна 0,6; а ко второму 0,4. Вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной первым контролером, равна 0,94; а вторым 0,98. Годная деталь при проверке была признана стандартной. Найти вероятность того, что эту деталь проверил первый контролер.
Решение. А годная деталь признана стандартной. Выдвигаем гипотезы: В1 деталь проверил первый контролер;
В2 деталь проверил второй контролер.
Вероятность того, что деталь проверил первый контролер, вычислим по формулам Бейеса:
§ 4. Повторение испытаний
4.1. Формула Бернулли
Определение. Если производится несколько испытаний, причем вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимы относительно А.
Определение. Событие называется сложным, если происходит совмещение несколько простых событий.
Поставим задачу вычислить вероятность того, что при n испытаниях событие А осуществится ровно k раз, и следовательно, не осуществится n k раз.
Подчеркнем, что не требуется, чтобы событие А повторилось ровно k раз в определенной последовательности.
Например, если речь идет о появлении события А три раза в четырех испытаниях, то возможны следующие сложные события:
Искомую вероятность обозначим Pn(k). Поставленную выше задачу можно решить, использовав формулу Бернулли.
Вероятность одного сложного события, состоящего в том, что в n испытаниях событие А наступит k раз и не наступит n k раз, по теореме умножения вероятностей независимых событий равна pk ∙ qn-k. Таких сложных событий может быть столько, сколько можно составить сочетаний из n элементов по k элементов: .
Эти сложные события несовместны, то по теореме сложения вероятностей несовместных событий искомая вероятность равна сумме вероятностей всех этих сложных событий:
Пример. Вероятность того, что расход электроэнергии в продолжении одних суток не превысит установленной нормы, равна р = 0,75. Установить вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит.
Решение. р = 0,75, тогда q вероятность перерасхода электроэнергии в каждые сутки также постоянна и равна: q = 1 p = 1 0,75 = 0,25.
По формуле Бернулли:
4.2. Локальная теорема Лапласа
Воспользоваться формулой Бернулли при больших значениях n достаточно трудно, так как формула требует выполнения действий над громадными числами.
Возникает вопрос: нельзя ли вычислить интересующую нас вероятность, не прибегая к формуле Бернулли? Локальная теорема Лапласа и дает асимптотическую формулу, которая позволяет приближенно установить вероятность появления события ровно k раз в n испытаниях, если число испытаний достаточно велико.
Определение. Функцию (х) называют асимптотическим приближением функции f(x), если
Примечание. Если вероятность р появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность Pn(k) того, что событие А появится в n испытаниях ровно k раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше n):
Имеются таблицы, в которых помещены значения функции , соответствующие положительным значениям аргумента х. Для отрицательных значений аргумента пользуются теми же таблицами, поскольку (х) четная функция, а значит (-х) = (х), таким образом:
Пример. Найти вероятность того, что событие А наступит 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,2.
Решение. n = 400; k = 80; p = 0,2; q = 0,8.
По таблице определяем: (0) = 0,3989.
4.3. Интегральная теорема Лапласа
Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность Рn(k1, k2)того, что событие А появится в n испытаниях от k1 до k2 раз, приближенно равна:
Таблицы для приведены в приложениях. Функция Ф(х) нечетная, поэтому Ф(- х) = - Ф(х). Таким образом:
§ 4. Виды случайных величин.
Задание дискретной случайной величины
5.1. Случайная величина
Определение. Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.
Пример. Число родившихся мальчиков среди ста новорожденных есть случайная величина, которая имеет следующие возможные значения: 0, 1, 2, …, 99, 100.
Случайные величины: X, Y, Z, …;
возможные значения: x, y, z, …
Пример. Если случайная величина Х имеет три возможных значения, то они: х1, х2, х3.
5.2. Закон распределения вероятностей
дискретной случайной величины
Определение. Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.
Определение. Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически, графически.
Пример.
Х |
х1 |
х2 |
… |
хn |
р |
р1 |
р2 |
… |
рn |
События Х = х1, Х = х2, …, Х = хn образуют полную группу, тогда
р1 + р2 + …+ рn = 1.
Пример. В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 10 000 рублей и десять выигрышей по 500 рублей. Установить закон распределения случайной величины Х стоимости возможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета.
Решение.
Х |
10 000 |
500 |
0 |
р |
0,01 |
0,1 |
0,89 |
Закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить и графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки (хi, pi), а затем соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения.
5.3. Биномиальное распределение
Запишем формулу Бернулли:
Данная формула является аналитическим выражением искомого закона распределения.
Определение. Биномиальным называют распределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли. Закон назван «биномиальным»потому, что правую часть (*) можно рассматривать как общий член разложения бинома Ньютона:
Табличная запись биномиального закона:
Х |
n |
n 1 |
… |
k |
… |
0 |
р |
pn |
npn-1q |
… |
… |
qn |
Пример. Монета брошена 2 раза. Написать в виде таблицы закон распределения случайной величины Х числа выпадений «герба».
Решение. - вероятность появления «герба»в каждом бросании;
- вероятность непоявления «герба» в каждом бросании.
При двух бросаниях монеты «герб» может появиться либо 2 раза, либо 1 раз; либо совсем не появится. таким образом, возможные значения Х таковы:
х1 = 2; х2 = 1; х3 = 0.
Установим вероятность этих значений:
Контроль: 0,25 + 0,5 + 0,25 = 1.
5.4. Распределение Пуассона
Установим вероятность того, что при очень большом числе испытаний, в каждом из которых вероятность события очень мала, а событие наступит ровно k раз (р 0,1).
Пусть np = λ т.е. сохраняет постоянное значение. Воспользовавшись формулой Бернулли, свойствами предела, вторым замечательным пределом, получаем:
Указанная формула выражает закон распределения Пуассона вероятностей массовых (n велико) и редких (р мало) событий.
Пример. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна 0,0002. Определить вероятность того, что на базу прибудут три негодных изделия.
Решение. n = 5000; p = 0,0002; k = 3.
λ = np = 5000 ∙ 0,0002 = 1
5.5. Геометрическое распределение
Пусть в первых k 1 испытаниях событие А не наступило, а k м испытании появилось. Вероятность этого «сложного события», по теореме умножения вероятностей независимых событий:
Полагая k = 1, 2, … в (*) получим:
p, qp, q2p, …, qk-1 ∙ p, … (**)
Получили геометрическую прогрессию с первым членом р и знаменателем q (0 < q <1).
По этой причине распределение (*) называют геометрическим.
Из курса числовых рядов известно, что ряд (**) сходится и его сумма равна единице.
Пример. Из орудия производится стрельба по мишени до первого попадания. Вероятность попадания в цель р = 0,6. Определить вероятность того, что попадание произойдет при третьем выстреле.
Решение. р = 0,6; q = 0,4; k = 3.
Р(3) = qk-1 ∙ p = 0,42 ∙ 0,6 = 0,096.
§ 6. Математическое ожидание дискретной случайной величины
6.1. Числовые характеристики дискретных случайных величин
Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако часто закон распределения неизвестен и приходится ограничиваться меньшими сведениями. Иногда даже выгоднее пользоваться числами, которые описывают случайную величину суммарно; такие числа называют числовыми характеристиками случайной величины.
К числу важных числовых характеристик относится математическое ожидание.
Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.
Примечание. 1. Математическое ожидание дискретной случайной величины есть неслучайная (постоянная) величина.
2. Математическое ожидание числа появлений события в одном испытании равно вероятности этого события.
3. Вероятностный смысл математического ожидания: математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.
Пример. Определить М(Х), зная закон ее распределения:
Х |
3 |
5 |
2 |
р |
0,1 |
0,6 |
0,3 |
Решение.
6.2. Свойства математического ожидания
1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:
М(С) = С.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:
М(СХ) = СМ(Х).
M(XY) = M(X)M(Y).
Следствие.
M(XYZ) = M(XY ∙ Z) = M(XY)M(Z) = N(X)M(Y)M(Z).
M(X + Y) = M(X) + M(Y).
Следствие.
Теорема. Математическое ожидание М(Х) числа появлений события А в nнезависимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании: М(Х) = np.
Пример. Вероятность попадания в цель при стрельбе из орудия р = 0,6. Вычислить М(Х) общего числа попаданий, если будет произведено 10 выстрелов.
Решение. Попадание при каждом выстреле не зависит от исходов других выстрелов, поэтому: М(Х) = np = 10 ∙ 0,6 = 6.
§ 7. Дисперсия дискретной случайной величины
7.1. Отклонение случайной величины
Определение. Отклонением называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием:
Х М(Х).
Теорема. Математическое ожидание отклонения равно нулю:
M[X M(X)] = 0.
Пример. Задан закон распределения дискретной случайной величины:
Х |
1 |
2 |
р |
0,2 |
0,8 |
Убедиться, что M[X M(X)] = 0.
Решение. М(Х) = 1 ∙ 0,2 + 2 ∙ 0,8 = 1,8. Вычислим отклонения:
1 1,8 = -0,8;
2 1,8 = 0,2.
Запишем закон распределения отклонения:
Х М(Х) |
-0,8 |
0,2 |
р |
0,2 |
0,8 |
7.2. Дисперсия дискретной случайной величины
На практике часто требуется оценить рассеяние возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения. Для этого вычисляют среднее значение квадрата отклонения, которое и называется дисперсией.
Определение. Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величин от ее математического ожидания:
.
Пример. Вычислить дисперсию случайной величины Х, которая задана следующим законом распределения:
Х |
1 |
2 |
5 |
р |
0,3 |
0,5 |
0,2 |
Решение. 1. М(Х) = 1 ∙ 0,3 + 2 ∙ 0,5 +5 ∙ 0,2 = 2,3
2. [X1 M(X)]2 = (1 2,3)2 = 1,69;
[X2 M(X)]2 = (2 2,3)2 = 0,09;
[X3 M(X)]2 = (5 2,3)2 = 7,29.
3. Записываем закон распределения:
[X M(X)]2 |
1,69 |
0,09 |
7,29 |
р |
0,3 |
0,5 |
0,2 |
Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания:
7.3. Свойства дисперсии
1. Дисперсия постоянной величины С равна нулю: D(С) = 0.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат: D(СХ) = С2D(Х).
3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: D(X + Y) = D(Х) + D(Y).
Следствия.
1.
2.
4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:
Теорема. Дисперсия числа появлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность р появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании: D(X) = npq.
7.4. Среднее квадратическое отклонение
Определение. Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называют квадратный корень из дисперсии:
В тех случаях, когда желательно, чтобы оценка рассеяния имела размерность случайной величины, вычисляют среднее квадратическое отклонение, а не дисперсию.
Пример. Случайная величина Х задана:
X |
2 |
3 |
10 |
р |
0,1 |
0,4 |
0,5 |
Вычислить σ(Х) - ?
Решение.
Теорема. Среднее квадратическое отклонение суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин равно квадратному корню из суммы квадратов средних квадратических отклонений этих величин:
Рассмотрим три положения, которые устанавливают связь между числовыми характеристиками среднего арифметического случайной величины и соответствующими характеристиками каждой отдельной величины.
§ 8. Функция распределения вероятностей случайной величины
8.1. Основные понятия
Определение. Функцией распределения называют Функцию F(Х), определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньшее х, т.е. F(X) = P(X < x).
Геометрически: F(X) есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х. F(X) интегральная функция.
Определение. Случайную величину называют непрерывной, если ее функция распределения есть непрерывная, кусочно-дифференцируемая функция с непрерывной производной.
8.2. Свойства функции распределения
1. Значение функции распределения принадлежат отрезку [0; 1], т.е.
2. F(X) неубывающая функция, т.е. если x2 > x1, то F(X2) ≥ F(X1).
Следствия. 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (a; b), равна приращению функции распределения на этом интервале: P(a ≤ X < b) = F(b) F(a).
2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение, равна нулю.
3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a; b), то:
1. F(X) = 0, при х ≤ а;
2. F(X) = 1, при х ≥ b.
Следствие. Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей оси Х, то справедливы следующие предельные отношения
Рассмотренные выше свойства позволяют представить, как выглядит график функции распределения непрерывной случайной величины:
1. График расположен в полосе, ограниченной прямыми: у = 0, у = 1 (свойство 1).
2. При возрастании х (a; b), график «поднимается вверх» (свойство 2).
3. При х ≤ а ординаты равны нулю; при х ≥ b ординаты графика равны единице (свойство 3).
Рис.1.
Пример. Известен закон распределения:
X |
1 |
4 |
8 |
р |
0,3 |
0,1 |
0,6 |
Определить функцию распределения и вычертить ее график.
Решение. При x ≤ 1, F(x) = 0 (свойство 3);
при 1 < x ≤ 4, F(x) = 0,3;
при 4 < x ≤ 8, F(x) = 0,4.
Действительно, при 4 < x1 ≤ 8, F(x1) равно вероятности события Х < х1, которое может быть осуществлено, когда Х примет значение 1 (Р(Х) = 0,3) или значение 4 (Р(Х) = 0,1). Поскольку эти два события несовместны, то по теореме сложения вероятностей вероятность события Х < х1 равна сумме: 0,3 + 0,1 = 0,4.
При х > 8, F(x) = 1.
Таким образом,
Рис.2.
§ 9. Плотность распределения вероятностей непрерывной
случайной величины
9.1. Основные понятия
Определение. Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют функцию f(x) первую производную от функции распределения F(x):
f(x) = F(x)
F(x) первообразная для f(x).
Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (a; b), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от а до b:
Пример. Определить функцию распределения по данной плотности распределения:
Решение.
Если х ≤ а, то f(x) = 0, поэтому F(x) = 0,
если a < x ≤ b, то .
Рис.3.
9.2. Свойства плотности распределения
1. Плотность распределения неотрицательная функция, т.е. f(x) ≥ 0.
2. Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от - до + равен единице, т.е.
Пример.
, определить а, если f(x) плотность распределения.
Решение.
Таким образом
Определение. Плотности распределений непрерывных случайных величин называют законами распределений.
Определение. Распределение вероятностей называют равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность распределения сохраняет свое постоянное значение.
Вычислим плотность равномерного распределения f(х), считая что все возможные значения случайной величины заключены в интервале (a; b), на котором функция f(х) сохраняет постоянные значения.
По условию Х не принимает значений вне (a; b), поэтому f(х) = 0 при х <а, х > b. Вычислим постоянную С:
Рис.4.
§ 10. Нормальное распределение
10.1. Числовые характеристики непрерывных случайных величин
Определение. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку [a; b], называют определенный интеграл:
Если возможные значения принадлежат всей оси ОХ, то:
Определение. Дисперсией непрерывной случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата ее отклонения.
Если Х [a; b], то
если X (-; +), то
Определение. Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется, как и для величины дискретной, равенством:
Примечания. 1. Свойства математического ожидания и дисперсии дискретных случайных величин сохраняются и для непрерывных величин;
2.
Пример.
Решение.
10.2. Нормальное распределение
Определение. Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью:
Примечания.
1. - функция общего нормального распределения;
- функция нормированного распределения.
2. Вероятность попадания нормированной нормальной величины Х в интервале (0; х) можно установить, пользуясь функцией Лапласа:
10.3. Нормальная кривая
Определение. График плотности нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса).
1. Функция определена на всей числовой оси х.
2. При всех х функция принимает положительные значения.
3. При , т.е. ОХ горизонтальная асимптота.
4.
5. График симметричен относительно прямой x = a.
6.
При переходе через эти точки вторая производная меняет знак, следовательно:
Рис.5.
Изменение величины параметра а не изменяет формы нормальной кривой, а приводит лишь к ее сдвигу:
- вправо, если а возрастает;
- влево, если а убывает.
С возрастанием σ максимальная ордината нормальной кривой убывает, а кривая становится более пологой, при убывании ордината возрастает в положительном направлении оси Оу, кривая становится «островершинной».
§ 11. Вероятность попадания в заданный интервал
нормальной случайной величины
Поскольку случайная величина Х распределена по нормальному закону, тогда:
Преобразует формулу, введя новую переменную:
Воспользуемся функцией Лапласа:
Пример. Случайная величина Х распределена по нормальному закону. М(Х) = 30, σ(Х) = 10. Установить вероятность, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (10; 50).
Решение. α = 10; β = 50; а = 30; σ = 10.
§ 11. Задания для самостоятельной работы
I. Элементы комбинаторики
II. Непосредственное вычисление вероятностей
III. Теоремы сложения и умножения вероятностей
а) А и ; б) Ā и В; в) Ā и .
IV. Формула полной вероятности. Формулы Байеса
а) оба выбранных окажутся юношами;
б) оба окажутся юношами, если известно, что один из выбранных юноша;
в) оба окажутся юношами, если известно, что один из них юноша, которому не более 18 лет;
г) оба окажутся юношами, если известно, что один из них юноша 17 лет?
V. Повторные испытания
VI. Случайные величины
хi |
-2 |
0 |
1 |
3 |
pi |
0,1 |
0,5 |
0,3 |
0,1 |
Составить закон распределения случайных величин x2 и 3х.
Х число очков |
3 |
4 |
5 |
Y число очков |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
Pi |
0,1 |
? |
0,5 |
Pi |
0,1 |
0,1 |
? |
0,3 |
Стрелки делают по одному выстрелу. Подсчитывается сумма выбиваемых ими очков. Составить закон распределения этой случайной величины.
9. Определить М (Х), D (X), σ (X) случайной величины, если закон распределения ее имеет следующий вид:
хi |
0 |
1 |
3 |
4 |
pi |
0,2 |
? |
0,3 |
0,4 |
Построить график и на нем указать М (Х), σ (Х).
10. Дано:
хi |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
pi |
0,15 |
0,2 |
0,3 |
0,2 |
0,05 |
0,1 |
Найти: M (4X); D (2X); σ (X).
11. Дано:
хi |
2 |
3 |
4 |
5 |
уi |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
pi |
0,3 |
? |
0,2 |
0,1 |
pi |
0,1 |
03 |
0,2 |
0,1 |
? |
Найти: М (2Х+У); D (Х - У); σ (3Х).
12. Даны независимые случайные величины:
X |
0 |
1 |
2 |
Y |
-2 |
-1 |
0 |
||
P(x) |
0,25 |
05 |
0,25 |
P(y) |
0,6 |
0,3 |
0,1 |
Найти: М (Х+2Y); D (Х - 2Y).
В задачах 15 - 30 случайная величина задана интегральной функцией распределения F(x). Найти: 1) дифференциальную функцию распределения f(x); 2) математическое ожидание М(Х); 3) дисперсию D(X); 4) построить графики интегральной и дифференциальной функций.
15.
16.
17.
18.
19. Случайная величина X задана плотностью распределения f (x) = 2 sin 4x в интервале [0, ], вне этого интервала f(x) = 0 Найдите вероятность события «х попадет»:
а) в интервале ; ; б) в интервале ; в) в интервале .
20. Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, заданной таблицей распределения вероятностей:
хi |
2 |
3 |
6 |
7 |
8 |
10 |
pi |
0,1 |
0,2 |
0,2 |
0,15 |
0,1 |
До выполнения задания вычислите вероятность того, что случайная величина примет значение х = 6.
21. В апреле среднесуточная температура воздуха для некоторой местности удовлетворяет следующему закону распределения вероятностей:
ti |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
pi |
Найдите математическое ожидание М(t) среднесуточной температуры.
22. Независимые случайные величины X и Y заданы следующими таблицами распределения:
хi |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
3 |
pi |
0,1 |
0,2 |
0,25 |
0,35 |
0,1 |
yj |
-3 |
0 |
1 |
2 |
qj |
0,1 |
0,2 |
0,4 |
0,3 |
Значения какой из этих случайных величин более рассеяны от их средних значений? Найдите М (X + Y) и D (X + Y).
23. На факультете успеваемость составляет 90%. Наудачу выбираются 40 студентов. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайного числа успевающих студентов, оказавшихся в выбранной группе.
24. Найдите математическое ожидание и дисперсию числа бракованных деталей, если проверяется партия из 10 000 деталей, а вероятность того, что деталь окажется бракованной, равна 0,005.
25. Независимые случайные величины X и Y заданы следующими таблицами распределения вероятностей:
хi |
2 |
3 |
4 |
yj |
1 |
2 |
3 |
||
pi |
0,6 |
0,3 |
0,1 |
qj |
0,1 |
0,2 |
0,7 |
Найдите математическое, ожидание случайной величины Z = XY двумя способами: а) составив предварительно таблицу распределения вероятностей случайной величины Z; б) используя свойство М (XY) = М (X) М(Y).
26. Независимые случайные величины X и Y заданы следующими таблицами распределения вероятностей:
хi |
1 |
3 |
yj |
2 |
4 |
||
pi |
0,7 |
0,3 |
qj |
0,6 |
0,4 |
Найдите дисперсию случайной величины Z = X + Y двумя способами:
а) составив предварительно таблицу распределения вероятностей случайной величины Z;
6} используя свойство: D (X + Y) = D (X) + D (Y).
27. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X соответственно равны М (X) = 7; D (X) = 1,2. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайных величин: а) 2Х - 3; б) 4Х; в) ЗХ + 5.
VII. Нормально распределенная случайная величина
§ 12. Задания для индивидуальной работы.
I. В задачах № 1-30 определить значение выражения:
1. |
16. |
2. |
17. |
3. |
18. |
4. |
19. |
5. |
20. |
6. |
21. |
7. |
22. |
8. |
23. |
9. |
24. |
10. |
25. |
11. |
26. |
12. |
27. |
13. |
28. |
14. |
29. |
15. |
30. |
II. В задачах 1-30 использовать формулу Бернулли для определения вероятностей появления события при повторении испытаний.
III. В задачах 1-30 определить вероятность появления события при повторении испытаний.
IV. В задачах 1 - 30 дано, что на тракторном заводе рабочий за смену изготовляет n деталей. Вероятность того, что деталь окажется первого сорта равна p. Какова вероятность, что деталей первого сорта будет m штук.
V. В задачах 1 - 30 дана вероятность p появления события А в каждом из n независимых испытаний. Пользуясь интегральной теоремой Лапласа, определить вероятность того, что в этих испытаниях событие А появится не менее m1 и не более m2 раза.
VI. В задачах 1 30 задан закон распределения случайной величины x. Установить: M (x); D (x); δ (x).
1. |
x |
23 |
25 |
28 |
29 |
15. |
x |
25 |
28 |
30 |
33 |
|
p |
0,3 |
0,2 |
0,4 |
0,1 |
p |
0,2 |
0,1 |
0,5 |
0,2 |
|||
2. |
x |
17 |
21 |
25 |
27 |
16. |
x |
56 |
58 |
60 |
64 |
|
p |
0,2 |
0,4 |
0,3 |
0,1 |
p |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,1 |
|||
3. |
x |
24 |
26 |
28 |
30 |
17. |
x |
31 |
34 |
37 |
40 |
|
p |
0,2 |
0,2 |
0,5 |
0,1 |
p |
0,3 |
0,5 |
0,1 |
0,1 |
|||
4. |
x |
12 |
16 |
19 |
21 |
18. |
x |
17 |
20 |
23 |
27 |
|
p |
0,1 |
0,5 |
0,3 |
0,1 |
p |
0,1 |
0,4 |
0,3 |
0,2 |
|||
5. |
x |
25 |
27 |
30 |
32 |
19. |
x |
28 |
32 |
34 |
36 |
|
p |
0,2 |
0,4 |
0,3 |
0,1 |
p |
0,1 |
0,2 |
0,2 |
0,5 |
|||
6. |
x |
30 |
32 |
35 |
40 |
20. |
x |
35 |
39 |
42 |
46 |
|
p |
0,1 |
0,5 |
0,2 |
0,2 |
p |
0,1 |
0,3 |
0,2 |
0,4 |
|||
7. |
x |
12 |
14 |
16 |
20 |
21. |
x |
13 |
15 |
17 |
20 |
|
p |
0,1 |
0,2 |
0,5 |
0,2 |
p |
0,2 |
0,2 |
0,2 |
0,4 |
|||
8. |
x |
21 |
25 |
28 |
31 |
22. |
x |
50 |
52 |
54 |
59 |
|
p |
0,1 |
0,4 |
0,2 |
0,3 |
p |
0,4 |
0,3 |
0,1 |
0,2 |
|||
9. |
x |
60 |
64 |
67 |
70 |
23. |
x |
60 |
61 |
63 |
65 |
|
p |
0,1 |
0,3 |
0,4 |
0,2 |
p |
0,1 |
0,4 |
0,1 |
0,4 |
|||
10. |
x |
45 |
47 |
50 |
52 |
24. |
x |
11 |
13 |
15 |
16 |
|
p |
0,2 |
0,4 |
0,3 |
0,1 |
p |
0,1 |
0,5 |
0,3 |
0,1 |
|||
11. |
x |
46 |
49 |
51 |
55 |
25. |
x |
44 |
46 |
47 |
49 |
|
p |
0,2 |
0,3 |
0,1 |
0,4 |
p |
0,5 |
0,2 |
0,1 |
0,2 |
|||
12. |
x |
18 |
22 |
23 |
26 |
26. |
x |
26 |
27 |
29 |
31 |
|
p |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,1 |
p |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
|||
13. |
x |
78 |
80 |
84 |
85 |
27. |
x |
10 |
12 |
13 |
15 |
|
p |
0,2 |
0,3 |
0,1 |
0,4 |
p |
0,2 |
0,2 |
0,2 |
0,2 |
|||
14. |
x |
37 |
41 |
43 |
45 |
28. |
x |
73 |
75 |
77 |
80 |
|
p |
0,2 |
0,1 |
0,5 |
0,2 |
p |
0,4 |
0,4 |
0,1 |
0,1 |
|||
15. |
x |
25 |
28 |
30 |
33 |
29. |
x |
25 |
27 |
29 |
31 |
|
p |
0,1 |
0,2 |
0,4 |
0,3 |
p |
0,1 |
0,5 |
0,1 |
0,3 |
|||
30. |
x |
52 |
54 |
55 |
57 |
|||||||
p |
0,2 |
0,4 |
0,3 |
0,1 |
VII. 1. Случайная величина x задана функцией распределения
Определить вероятность того, что в результате испытания x примет значение, заключенное в интервале (0; 1).
2. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины x:
Определить функцию распределение F(x).
3. Случайная величина x задана функцией распределения
Определить вероятность того, что в результате испытания x примет значение, заключенное в интервале (2; 3).
4. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины x:
Определить функцию распределение F(x).
5. Случайная величина x задана функцией распределения
Определить вероятность того, что в результате испытания x примет значение, заключенное в интервале (0; ).
6. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины x:
Определить функцию распределение F(x).
7. Случайная величина x задана функцией распределения
Определить вероятность того, что в результате испытания x примет значение, заключенное в интервале (; 1).
8. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины x:
Определить функцию распределение F(x).
9. Случайная величина x задана функцией распределения на всей оси Ох
Определить вероятность того, что в результате испытания x примет значение, заключенное в интервале (0; 1).
10. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины x:
Определить функцию распределение F(x).
11. Случайная величина x задана функцией распределения
Определить вероятность того, что в результате испытания x примет значение, заключенное в интервале (1,6; 1,75).
12. Случайная величина задана плотностью распределения
Определить коэффициент а.
13. Дискретная случайная величина х задана таблицей распределения.
x |
2 |
6 |
10 |
р |
0,5 |
0,4 |
0,1 |
Определить функцию распределение F(x).
14. Задана плотность вероятности случайной величины x:
Определить, что в результате испытания х примет значение, принадлежащее интервалу (0,5; 1).
15. Дискретная случайная величина х задана законом распределения.
x |
1 |
3 |
5 |
р |
0,2 |
0,4 |
0,4 |
Определить функцию распределение F(x).
16. Плотность распределения непрерывной случайности величины х задана на всей оси Ох равенством:
Определить постоянный параметр С.
17. Дискретная случайная величина х задана законом распределения.
x |
4 |
8 |
9 |
р |
0,3 |
0,4 |
0,3 |
Определить функцию распределение F(x).
18. Плотность распределения непрерывной случайности величины х в интервале (0; ) равна вне этого интервала f(x) = 0. Определить постоянный параметр С.
19. Дискретная случайная величина х задана законом распределения.
x |
2 |
3 |
7 |
р |
0,4 |
0,5 |
0,1 |
Определить функцию распределение F(x).
20. Плотность распределения непрерывной случайности величины х задана в интервале (0; 1) равенством вне этого интервала f(x)=0. Определить постоянный параметр С.
21. Дискретная случайная величина х задана законом распределения.
x |
1 |
3 |
6 |
р |
0,3 |
0,2 |
0,5 |
Определить функцию распределение F(x).
22. Случайная величина задана функцией распределения
Определить плотность распределения f(х).
23. Дискретная случайная величина х задана законом распределения.
x |
4 |
6 |
10 |
р |
0,2 |
0,6 |
0,2 |
Определить функцию распределение F(x).
24. Случайная величина х задана функцией распределения
Определить плотность распределения f(х).
25. Дискретная случайная величина х задана законом распределения:
x |
1 |
3 |
7 |
р |
0,4 |
0,3 |
0,3 |
Вычертить график функции распределения F(x).
26. Случайная величина х задана функцией распределения
Определить плотность распределения f(х).
27. Дискретная случайная величина х задана законом распределения:
x |
3 |
6 |
9 |
р |
0,4 |
0,1 |
0,5 |
Вычертить график функции распределения F(x).
28. Случайная величина х задана функцией распределения
Определить вероятность того, что в результате испытания х примет значение, заключенное в интервале (1; 2).
29. Дискретная случайная величина х задана законом распределения:
x |
3 |
5 |
7 |
р |
0,6 |
0,1 |
0,3 |
Вычертить график функции распределения F(x).
30. Случайная величина х задана функцией распределения
Определить вероятность того, что в результате испытания х примет значение, заключенное в интервале (1,5; 2,5).
Таблица 1.
Значение функции
X |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
0,0 |
0,3989 |
3989 |
3989 |
3988 |
3986 |
3984 |
3982 |
3980 |
3977 |
3973 |
0,1 |
3970 |
3965 |
3961 |
3956 |
3951 |
3945 |
4939 |
4932 |
3925 |
3918 |
0,2 |
3910 |
3902 |
3894 |
3885 |
3876 |
3867 |
3857 |
3847 |
3836 |
3825 |
03 |
3814 |
3802 |
4790 |
4778 |
3765 |
3752 |
3739 |
3726 |
3712 |
3697 |
0,4 |
3683 |
3668 |
3653 |
3637 |
3621 |
3605 |
3589 |
3572 |
3555 |
3538 |
0,5 |
3521 |
3503 |
3485 |
3467 |
4448 |
3429 |
3410 |
3391 |
3372 |
3352 |
0,6 |
3332 |
3312 |
3292 |
3271 |
3251 |
3230 |
3209 |
3187 |
3166 |
3144 |
0,7 |
3123 |
3101 |
3079 |
4056 |
3034 |
ЗОИ |
2989 |
2966 |
2943 |
2920 |
0,8 |
2897 |
2874 |
2850 |
2827 |
2803 |
2780 |
2756 |
2732 |
2709 |
2685 |
0,9 |
2661 |
2637 |
2613 |
2589 |
2565 |
2541 |
2516 |
2492 |
2468 |
2444 |
1,0 |
0,2420 |
2396 |
2371 |
2347 |
2323 |
2299 |
2275 |
2251 |
2227 |
2203 |
1,1 |
2179 |
2155 |
2131 |
2107 |
2083 |
2059 |
2036 |
2012 |
1989 |
1965 |
1,2 |
1942 |
1919 |
1895 |
1872 |
1849 |
1826 |
1804 |
1781 |
1758 |
1736 |
1,3 |
1714 |
1691 |
1669 |
1647 |
1626 |
1604 |
1582 |
1561 |
1539 |
1518 |
1,4 |
1497 |
1476 |
1456 |
1435 |
1415 |
1394 |
1374 |
1354 |
1334 |
1315 |
1,5 |
1295 |
1276 |
1257 |
1238 |
1219 |
1200 |
1182 |
1163 |
1145 |
1127 |
1,6 |
1109 |
1092 |
1074 |
1057 |
1040 |
1023 |
1006 |
0989 |
0973 |
0957 |
1,7 |
0940 |
0925 |
0909 |
0893 |
0878 |
0863 |
0848 |
0833 |
0818 |
0804 |
1,8 |
0790 |
0775 |
0761 |
0748 |
0734 |
0721 |
0707 |
0694 |
0681 |
0669 |
1,9 |
0656 |
0644 |
0632 |
0620 |
0608 |
0596 |
0584 |
0573 |
0562 |
0551 |
2,0 |
0,0540 |
0529 |
0519 |
0508 |
0498 |
0488 |
0478 |
0468 |
0459 |
0449 |
2,1 |
0440 |
0431 |
0422 |
15413 |
0404 |
0396 |
0387 |
0379 |
0371 |
0363 |
22 |
0355 |
0347 |
0339 |
0332 |
0325 |
0317 |
0310 |
0304 |
0297 |
0290 |
2,3 |
0283 |
0277 |
0270 |
0264 |
0258 |
0252 |
0246 |
0241 |
0235 |
0229 |
2,4 |
0224 |
0219 |
0213 |
0208 |
0203 |
0198 |
0194 |
0189 |
0184 |
0180 |
2,5 |
0175 |
0171 |
0167 |
0163 |
0158 |
0154 |
0151 |
0147 |
0143 |
0149 |
2,6 |
0136 |
0132 |
0129 |
0126 |
0122 |
0119 |
0116 |
0113 |
0110 |
0)07 |
2,7 |
0104 |
0101 |
0099 |
0096 |
0093 |
0091 |
0088 |
0086 |
0084 |
0081 |
2.8 |
00^9 |
0077 |
0075 |
0073 |
0071 |
0069 |
0067 |
0065 |
0064 |
0061 |
2,9 |
0060 |
0058 |
0056 |
0055 |
0053 |
0051 |
0050 |
0048 |
0047 |
0046 |
3,0 |
0,0044 |
0044 |
0042 |
0040 |
0039 |
0038 |
0037 |
0036 |
0035 |
0034 |
3,1 |
0033 |
0032 |
0031 |
0030 |
0029 |
0028 |
0027 |
0026 |
0025 |
0025 |
3,2 |
0024 |
0023 |
0022 |
0022 |
0021 |
0020 |
0020 |
0019 |
0018 |
0018 |
3,3 |
0017 |
0017 |
0016 |
0016 |
0015 |
0015 |
0014 |
0014 |
0013 |
0013 |
3,4 |
0012 |
0012 |
0012 |
0011 |
0011 |
0010 |
0010 |
0010 |
0009 |
0009 |
3,5 |
0009 |
0008 |
0008 |
0008 |
0008 |
0007 |
0007 |
0007 |
0007 |
0006 |
3,6 |
0006 |
0006 |
0006 |
0005 |
0005 |
0005 |
0005 |
0005 |
0005 |
0004 |
3,7 |
0004 |
0004 |
0004 |
0004 |
0004 |
0004 |
0003 |
0003 |
0003 |
0003 |
3,8 |
0004 |
0003 |
0003 |
0003 |
0004 |
0002 |
0002 |
0002 |
0002 |
0002 |
3,9 |
0002 |
0002 |
0002 |
0002 |
0002 |
0002 |
0002 |
0002 |
0001 |
0001 |
Таблица 2.
Значения функции
х |
Ф(х) |
х |
Ф(х) |
х |
Ф(х) |
х |
Ф(х) |
0,00 |
0,0000 |
0,40 |
0,1554 |
0,80 |
0,2881 |
1,20 |
0,3849 |
0,01 |
0,0040 |
0,41 |
0,1591 |
0,81 |
0,2910 |
1,21 |
03869 |
0,02 |
0,0080 |
0,42 |
0,1628 |
0,82 |
0,2939 |
1,22 |
0,3883 |
0,03 |
0,0120 |
0,43 |
0,1664 |
0,83 |
0,2967 |
1,23 |
0,3907 |
0,04 |
0,0160 |
0,44 |
0,1700 |
0,84 |
0,2995 |
1,24 |
0,3925 |
0,05 |
0,0199 |
0,45 |
0,1736 |
0,85 |
0,3023 |
1,25 |
0,3944 |
0,06 |
0,0239 |
0,46 |
0,1772 |
0,86 |
0,3051 |
1,26 |
0,3962 |
0,07 |
0,0279 |
0,47 |
0,1808 |
0,87 |
0,3078 |
1,27 |
03980 |
0,08 |
0,0319 |
0,48 |
0,1844 |
0,88 |
0,3106 |
1,28 |
0,3997 |
0,09 |
0,0359 |
049 |
01879 |
0,89 |
0,3133 |
1,29 |
0,4015 |
0,10 |
0,0398 |
0,50 |
0,1915 |
0,90 |
0,3159 |
1,30 |
04032 |
0,11 |
0,0438 |
0,51 |
0,1950 |
0,91 |
0,3186 |
1,31 |
0,4049 |
0,12 |
0,0478 |
0,52 |
0,1985 |
0,92 |
0,3212 |
1,32 |
0,4066, |
0,13 |
00517 |
0,53 |
0,2019 |
0,93 |
0,3238 |
1,33 |
0,4082 |
0,14 |
0,0557 |
0,54 |
0,2054 |
0,94 |
0,3264 |
1,34 |
0,4099 |
0,15 |
0,0596 |
0,55 |
0,2088 |
0,95 |
0,3289 |
1,35 |
0,4115 |
0,16 |
0,0636 |
0,56 |
0,2123 |
0,96 |
0,3315 |
1,36 |
0,4131 |
0,17 |
0,0675 |
0,57 |
0,2157 |
0,97 |
0,3340 |
1,37 |
0,4147 |
0,18 |
0,0714 |
0,58 |
0,2190 |
0,98 |
0,3365 |
1,38 |
0,4162 |
0,19 |
0,0753 |
0,59 |
0,2224 |
0,99 |
0.3389 |
1,39 |
0,4177 |
0,20 |
0,0793 |
0,60 |
0,2257 |
1,00 |
0,3413 |
1,40 |
0,4192 |
0,21 |
0,0832 |
0,61 |
0,2291 |
1,01 |
0,3438 |
1,41 |
0,4207 |
0,22 |
0,0871 |
0,62 |
0,2324 |
1,02 |
0,3461 |
1,42 |
0,4222 |
0,23 |
0,0910 |
0,63 |
0,2357 |
1,03 |
0,3485 |
1,43 |
0,4236 |
0,24 |
0,0948 |
0,64 |
0,2389 |
1,04 |
0,3508 |
1,44 |
0,4251 |
0,25 |
0,0987 |
0,65 |
0,2422 |
1,05 |
0,3531 |
1,45 |
0,4265 |
0,26 |
0,1026 |
0,66 |
0,2454 |
1,06 |
0,3554 |
1,46 |
0,4279 |
0,27 |
0,1064 |
0,67 |
0,2486 |
1,07 |
0,3577 |
1,47 |
0,4292 |
0,28 |
0,1103, |
0,68 |
0,2517 |
1,08 |
0,3599 |
1,48 |
0,4306 |
0,29 |
0,1141 |
0,69 |
0,2549 |
1,09 |
0,3621 |
1,49 |
0,4319 |
0,30 |
0,1179 |
0,70 |
0,2580 |
1,10 |
0,3643 |
1,50 |
0,4332 |
0,31 |
0,1217 |
0,71 |
0,2611 |
1,11 |
0,3665 |
1,51 |
0,4345 |
0,32 |
0,1255 |
0,72 |
0,2642 |
1,12 |
0,3686 |
1,52 |
0,4357 |
0,33 |
0,1293 |
0,73 |
0,2673 |
1,13 |
0,3708 |
1,53 |
0,4370 |
0,34 |
0,1331 |
0,74 |
0,2703 |
1,14 |
0,3729 |
1,54 |
0,4382 |
0,35 |
0,1368 |
0,75 |
0,2734 |
1,15 |
0,3749 |
1,55 |
0,4394 |
0,36 |
0,1406 |
0,76 |
0,2764 |
1,16 |
0,.3770 |
1,56 |
0,4406 |
0,37 |
0,1443 |
0,77 |
0,2794 |
1,17 |
0,3790 |
1,57 |
0,4418 |
0,38 |
0,1480 |
0,78 |
0,2823 |
1,18 |
0,3810 |
1,58 |
0,4429 |
0,39 |
0,151? |
0,79 |
0,2852 |
1,19 |
0,3830 |
1,59 |
0,4441 |
1,60 |
0,4452 |
1,85 |
0,4678 |
2,20 |
0,4861 |
2,70 |
0,4965 |
1,61 |
0,4463 |
1,86 |
0,4686 |
2,22 |
0,4868 |
2,72 |
0,4967 |
1,62 |
0,4474 |
1,87 |
0,4693 |
2,24 |
0,4875 |
2,74 |
0,4969 |
1,63 |
0,4484 |
1,88 |
0,4699 |
2,26 |
0,4881 |
276 |
0,4971 |
1,64 |
0,4495 |
1,89 |
0,4706 |
2,28 |
0,4887 |
2,78 |
0,4973 |
1,65 |
0,4505 |
1,90 |
0,4713 |
2,30 |
0,4893 |
2,80 |
0,4974 |
1,66 |
0,4515 |
1,91 |
0,4719 |
2,32 |
0,4898 |
2,82 |
0,4976 |
1,67 |
0,4525 |
1,92 |
0,4726 |
2,34 |
0,4904 |
2,84 |
0,4977 |
1,68 |
0,4535 |
1,93 |
0,4732 |
2,36 |
0,4909 |
2,86 |
0,4979 |
1,69 |
0,4545 |
1,94 |
0,4738 |
2,38 |
0,4913 |
2,88 |
0,4980 |
1,70 |
0,4554 |
1,95 |
0,4744 |
2,40 |
0,4918 |
2,90 |
0,4981 |
1,71 |
0,4564 |
1,96 |
0,4750 |
2,42 |
0,4922 |
2,92 |
0,4982 |
1,72 |
0,4573 |
1,97 |
0,4756 |
2,44 |
0,4927 |
2,94 |
0,4984 |
1,73 |
0,4582 |
1,98 |
0,4761 |
2,46 |
0,4931 |
2,96 |
0,4985 |
1,74 |
0,4591 |
1,99 |
0,4767 |
2,48 |
0,4934 |
2,98 |
0,4986 |
1,75 |
0,4599 |
2,00 |
0,4772 |
2,50 |
0,4938 |
3,00 |
0,49865 |
1,76 |
0,4608 |
2,02 |
0,4783 |
2,52 |
0,4941 |
3,20 |
0,49931 |
1,77 |
0,4616 |
2,04 |
0,4793 |
2,54 |
0,4945 |
3,40 |
0,49966 |
1,78 |
0,4625 |
2,06 |
0,4803 |
2,56 |
0,4948 |
3,60 |
0,499841 |
1,79 |
0,4633 |
2,08 |
04812 |
2,58 |
0,4951 |
380 |
0,499928 |
1,80 |
0,4641 |
2,10 |
0,4821 |
2,60 |
0,4953 |
4,00 |
0,499968 |
1,81 |
0,4649 |
2,12 |
0,4830 |
2,62 |
0,4956 |
4,50 |
0,499997 |
1,82 |
0,4656 |
2,14 |
0,4838 |
2,64 |
0,4959 |
5,00 |
0,49999997 |
1,83 |
0,4664 |
2,16 |
0,4846 |
2,66 |
0,4961 |
∞ |
0,5 |
1,84 |
0,4671 |
2,18 |
0,4854 |
2,68 |
0,4963 |