У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.net

упорядоченные опускают

Работа добавлена на сайт samzan.net: 2016-06-20

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Имя

Выберите тип работы:

Принимаю Политику конфиденциальности

Скидка 25% при заказе до 27.4.2025

F(x)

(F(X))

x(X)

(F(x))

x(X)

f(x)

В1

В2

f(x)

ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

§ 1. Элементы комбинаторики

Определение. Если подмножества, отличающиеся только порядком следования элементов считаются различными, то говорят об упорядоченных подмножествах. В противном случае прилагательное «упорядоченные» опускают.

Например, у множества, состоящего из четырех элементов a, b, c, d имеется 4 трехэлементных подмножества:

abc, abd, bcd, acd

и 24 трехэлементных упорядоченных подмножества:

abc, abd, acd, bcd,

acb, adb, adc, bdc,

bac, bad, cad, cbd,

bca, bda, cda, cdb,

cab, dab, dac, dbc,

cba, dba, dca, dcb.

Примечание. В комбинаторных задачах всегда требуется найти число всех подмножеств данного множества, удовлетворяющих определенным условиям, но в одних задачах подмножества, отличающиеся только установленным в них порядком следования элементов, приходится считать различными, а других порядок следования элементов не важен, и подмножества, отличающиеся только расположением элементов, не считаются различными.

Размещения

Определение. Пусть имеется множество, содержащее n элементов. Каждое упорядоченное подмножество, состоящее из k элементов, называется размещением из n элементов по k элементов.

Поскольку n ≥ k ≥ 0, и размещения из n элементов по k элементов – это все k элементные подмножества, отличающиеся составом элементов или порядком их следования.

Для множества, состоящего из 4-х элементов a, b, c, d, все размещения по 3 элемента были рассмотрены выше (их оказалось 24), они отличаются друг от друга либо составом элементов, либо порядком их расположения.

В комбинаторных задачах необходимо уметь подсчитывать число всех размещений из n элементов по k элементов. Для обозначения этого числа применяется специальный символ:

- число размещений из n по k.

А – первая буква французского слова arrangement, что означает размещение, приведение в порядок. Следовательно,

Очевидно, что так как существует только одно подмножество n-элементного множества, не содержащее элементов (пустое множество).

В общем случае на вопрос о числе размещений из n элементов по k элементов дает ответ следующая формула:

или

Таким образом,

Примеры.

Вычислить .

Решение:

На втором курсе изучается 14 предметов. Сколькими способами можно составить расписание занятий в субботу, если в этот день недели должно быть 5 различных предметов?

Решение: различных способов составления расписания, очевидно, столько, сколько существует пятиэлементных упорядоченных подмножеств у четырнадцатиэлементного множества, т.е.

Перестановки

Определение. Размещения из n элементов по nэлементов называются перестановками из n элементов.

Перестановки являются частным случаем размещений. Число перестановок из n элементов обозначают через Рn. Р – первая буква французского слова permutation – перестановка.

Исходя из вышеизложенного, .

Примеры.

Установить n, если

Решение. решая квадратное уравнение получаем n = 11.

Сколько шестизначных чисел, кратных пяти, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 при условии, что в числе цифры не повторяются.

Решение. для того, чтобы число, составленное из заданных цифр делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы цифра 5 стояла на последнем месте. Остальные пять цифр могут стоять на оставшихся пяти местах в любом порядке. Следовательно, искомое число шестизначных чисел, кратных пяти, равно

Сочетания

Определение. Пусть имеется множество, состоящее из n элементов. Каждое его подмножество, содержащее k элементов, называется сочетанием из n элементов по k элементов.

Подмножества, отличающиеся друг от друга только порядком следования элементов, не считаются различными.

Например, для четырехэлементного множества a, b, c, d сочетаниями по 3 элемента являются следующие подмножества:

abc, abd, bcd, acd

Число всех сочетаний из n элементов по k элементов обозначается символом . С – первая буква французского слова combination – сочетание. Из примера ясно, что . Таким образом, или

Примеры.

Решить неравенство .

Решение. Исходя из определения

разделим обе части неравенства на выражение получим

откуда следовательно, .

Сколько экзаменационных комиссий, состоящих из 7 членов, можно образовать из 14 преподавателей ?

Решение. Исходя из определения сочетания, получим

Свойства сочетаний

5. .

§ 2. Основные понятия теории вероятностей

2.1. Предмет теории вероятностей

Наблюдаемые нами события (явления) можно подразделить на следующие три вида: достоверные, невозможные и случайные.

Определение. Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена совокупность условий S.

Определение. Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность условий S.

Определение. Случайным называют событие, которое при осуществлении совокупности условий S может либо произойти, либо не произойти.

Примеры.

В сосуде находится вода при нормальном атмосферном давлении и температуре 200 С. Событие «вода в сосуде находится в жидком состоянии» - достоверное.

Атмосферное давление и температура воды – совокупность условий S.

Событие «вода в сосуде находится в твердом состоянии» заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность условий примера 1.
Если брошена монета, то она может упасть так, что сверху будет либо герб, либо надпись. Поэтому «событие» при бросании монеты выпал «герб» - случайное.

Теория вероятностей не ставит перед собой задачу предсказать, произойдет единичное событие или нет. По-иному обстоит дело, если рассматриваются случайные события, которые могут многократно наблюдаться при осуществлении одних и тех же условий S, т.е. речь идет о массовых однородных случайных событиях.

Определение. Предметом теории вероятностей является изучение закономерностей (вероятностных) массовых однородных случайных событий.

Знание закономерностей, которым подчиняются массовые случайные события, позволяет предвидеть, как эти события будут протекать.

2.2. Испытания и события

В дальнейшем, вместо того, чтобы говорить «совокупность событий S осуществлена», будем говорить кратко: «произведено испытание».

Определение. События называют несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

Пример. Брошена монета. Появление «герба» исключает появление надписи. События «появился герб» и «появилась надпись» - несовместные.

Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них, т.е. появление хотя бы одного из событий полной группы есть достоверное событие.

Примечание. Если события, образующие полную группу, попарно несовместны, то в результате испытания появится одно и только одно из этих событий.

Пример. Приобретены два билета денежно-вещевой лотереи. Обязательно произойдет одно и только одно из следующих событий: «выигрыш не выпал на первый билет и выпал на второй», «выигрыш выпал на оба билета», «на оба билета выигрыш не выпал». Эти события образуют полную группу попарно несовместных событий.

Определение. События называют равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.

Пример. Появление «герба» и появление надписи при бросании монеты – равновозможные события. Предполагается, что монета изготовлена из однородного металла, имеет правильную цилиндрическую форму, и наличие чеканки не оказывает влияния на выпадение той или иной стороны монеты.

2.3. Классическое определение вероятности

Каждый из возможных результатов испытания назовем элементарным исходом (элементарным событием):

w1, w2, w3, …

Те элементарные исходы, в которых интересующее нас событие наступает, назовем благоприятствующими этому событию.

Определение. Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу.

где m – число элементарных исходов, благоприятствующих А;

n – число всех возможных элементарных исходов испытания.

Свойства вероятности

1. Вероятность достоверного события равна единице.

Поскольку m = n, то

Вероятность невозможного события равна нулю.

Поскольку m = 0, то

Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Так как

2.4. Примеры непосредственного вычисления вероятностей

1) Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

Решение. Обозначим событие В – набраны две нужные цифры. Всего можно набрать столько различных цифр, сколько может быть составлено размещений из 10 цифр по 2: Таким образом, общее число возможных элементарных исходов 90. Эти исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу. Благоприятствует событию В лишь один исход, т.е.

2) Указать ошибку «решения» задачи: «Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 4 (событие А)».

Решение. Возможно два исхода: сумма выпавших очков равна 4 и сумма выпавших очков не равна 4. Событию А благоприятствует 1 исход, а общее число исходов – 2, тогда .

Ошибка состоит в том, что рассматриваемые исходы не являются равновозможными.

Правильное решение. Поскольку каждое число выпавших очков на одной кости может сочетаться со всеми числами очков на другой кости, то 6 ∙ 6 = 36 – общее число равновозможных исходов. Среди этих исходов благоприятствует событию А только три: (1,3); (3,1); (2,2). Следовательно,

2.5. Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Определение. Суммой А + В двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий.

Пример. Из орудия произведены два выстрела и А – попадание при первом выстреле, В – попадание при втором выстреле, то А + В – попадание при первом выстреле, или при втором, или в обоих выстрелах.

Определение. Суммой нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении одного из этих событий, безразлично какого.

Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий.

Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

Следствие. Вероятность появления одного из нескольких, попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: Р(А1 + А2 + … + Аn) = Р(А1) + Р(А2) + … + Р(Аn).

Пример. В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.

Решение. Появление цветного шара означает появление либо красного, либо синего шара.

- появление красного шара;

- появление синего шара;

2.6. Полная группа событий

Теорема. Сумма вероятностей событий А1, А2, …, Аn образующих полную группу, равна единице Р(А1) + Р(А2) + … + Р(Аn) = 1.

Пример. Консультационный пункт университета получает пакеты с контрольными работами из городов А, В и С. Вероятность получения пакета из города А равна 0,7, из города В – 0,2. Найти вероятность того, что очередной пакет будет получен из города С.

Решение. Событие «пакет получен из города А», «пакет получен из города В», «пакет получен из города С» образуют полную группу, поэтому Р(А) + Р(В) + Р(С) = 1; 0,7 + 0,2 + Р = 1; Р = 0,1.

2.7. Противоположные события

Определение. Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из двух противоположных событий обозначено через А, то другое принято обозначать .

Пример. Попадание и промах при выстреле по цели - противоположные события. Если А – попадание, то - промах.

Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Примечание. 1) Если вероятность одного из двух противоположных событий равна Р, то вероятность другого обозначают через q, и p + q = 1.

2) При решении задач на отыскание вероятности события А часто выгодно сначала вычислить вероятность события , а затем

§ 3. Теорема умножения вероятностей

3.1. Произведение событий

Определение. Произведением двух событий А и В называют событие АВ, состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий.

Пример. А – деталь годная, В – деталь окрашенная, то АВ – деталь годна и окрашена.

Определение. Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

3.2. Условная вероятность

Определение. Если при вычислении вероятности события никаких других ограничений, кроме условий S, не налагается, то такую вероятность называют безусловной, если же налагаются и другие дополнительные условия, то вероятность события называют условной.

Определение. Условной вероятностью РА(В) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило

Пример. В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Установить вероятность появления белого шара при втором испытании (событие В), если при первом испытании был извлечен черный шар (событие А).

Решение. После первого испытания в урне осталось 5 шаров, из них 3 белых, поэтому Этот же результат получим, использовав формулу.

Вероятность появления белого шара при первом испытании: Общее число исходов совместного появления двух шаров, безразлично какого цвета:

Из этого числа исходов событию АВ благоприятствуют 3 ∙ 3 = 9 исходов, следовательно:

3.3. Теорема умножения вероятностей зависимых событий

Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило: Р(АВ) = Р(А) ∙ РА(В).

Примечание. Р(ВА) = Р(В) ∙ РВ(А), но Р(АВ) = Р(ВА),

поэтому Р(А) ∙ РА(В) = Р(В) ∙ РВ(А).

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились:

Пример. У сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик взял один валик, а затем второй. Установить вероятность того, что первый из взятых валиков – конусный, а второй – эллиптический.

Решение. - первый валик конусный.

- второй валик эллиптический, при условии, что первый валик конусный. Тогда

3.4. Независимые события.

Теорема умножения для независимых событий

Определение. Событие В называют независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В, т.е. условная вероятность события В равна его безусловной вероятности:

РА(В) = Р(В).

Для независимых событий теорема умножения имеет вид:

Р(АВ) = Р(А) ∙ Р(В).

Определение. Два события называют независимыми, если вероятность их совмещения равна произведению вероятностей этих событий; в противном случае называют зависимыми.

Определение. Несколько событий называют независимыми в совокупности, если независимы каждые два из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных.

Пример. А1, А2, А3 – независимые события, то независимы следующие события: А1 и А2; А1 и А3; А2 и А3; А1 и А2А3; А2 и А1А3; А3 и А1А2.

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности равна произведению вероятностей этих событий:

Р(А1А2 … Аn) = Р(А1) Р(А2) … Р(Аn).

Пример. Установить вероятность совместного появления герба при одном бросании двух монет.

Решение. Вероятность появления герба первой монеты (событие А):

вероятность появления герба второй монеты (событие В): События А и В независимые, поэтому:

3.5. Вероятность появления хотя бы одного события

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий А1, А2, … Аn, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий

Р(А) = 1 – q1q2 … qn.

Частный случай. Если события А1, А2, … Аn – имеют одинаковую вероятность, равную Р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий: Р(А) = 1 – qn.

Пример. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: р1 = 0,8; р2 = 0,7; р3 = 0,9. Установить вероятность хотя бы одного попадания (событие А) при одном залпе из всех орудий.

Решение. События:

тогда: q1 = 1 – p1 = 0,2;

q2 = 1 – p2 = 0,3;

q3 = 1 – p3 = 0,1.

P(A) = 1 – q1q2q3 = 1 – 0,2 ∙ 0,3 ∙ 0,1 = 0,994.

3.6. Теорема сложения вероятностей

Определение. Два события называют совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.

Пример. А – появление четырех очков при бросании игральной кости; В – появление четного числа очков. События А и В – совместные.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ).

Примечание. 1. Для независимых событий:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(А)Р(В).

Для зависимых событий:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(А)РА(В);

2. Если события А и В несовместны, то Р(АВ) = 0 и тогда:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

Пример. Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: р1 = 0,7; р2 = 0,8. Установить вероятность попадания при одном залпе (из обоих орудий) хотя бы одним из орудий.

Решение.

I способ: Р(АВ) = Р(А) ∙ Р(В) = 0,7 ∙ 0,8 = 0,56 (события А и В - независимые)

Р(АВ) – оба орудия дали попадание.

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ);

Р(А + В) = 0,7 + 0,8 – 0,56 = 0,94.

II способ: вероятности промахов:

q1 = 1 – P(A) = 1 – 0,7 = 0,3

q2 = 1 – P(B) = 1 – 0,8 = 0,2

P(A + B) = 1 – q1q2 = 1 – 0,3 ∙ 0,2 = 0,94.

3.7. Формула полной вероятности

Теорема. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий В1, В2, …, Вn, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:

Пример. Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартна, равна 0,8; а второго – 0,9. Установить вероятность того, что взятая наудачу деталь – стандартная.

Решение. А – извлеченная деталь стандартна. Вероятность того, что деталь вынута из первого набора - а из второго набора - Условная вероятность того, что из первого набора будет извлечена стандартная деталь - из второго -

По формуле полной вероятности:

3.8. Вероятность гипотез. Формулы Бейеса

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий В1, В2, … , Вn, образующих полную группу. Поскольку заранее не известно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами.

По формуле полной вероятности:

определим, как изменились вероятности гипотез, если появилось событие А, т.е. будем искать:

По теореме умножения: .

Из формулы полной вероятности заменим Р(А):

Окончательно, для остальных гипотез:

Полученные формулы называют формулами Бейеса, по имени английского математика, который их вывел и опубликовал в 1764 году. Формулы Бейеса позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.

Пример. Детали, изготовляемые цехом завода, попадают для проверки на их стандартность к одному из двух контролеров. Вероятность того, что деталь попадает к первому контролеру, равна 0,6; а ко второму – 0,4. Вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной первым контролером, равна 0,94; а вторым – 0,98. Годная деталь при проверке была признана стандартной. Найти вероятность того, что эту деталь проверил первый контролер.

Решение. А – годная деталь признана стандартной. Выдвигаем гипотезы: В1 – деталь проверил первый контролер;

В2 – деталь проверил второй контролер.

Вероятность того, что деталь проверил первый контролер, вычислим по формулам Бейеса:

§ 4. Повторение испытаний

4.1. Формула Бернулли

Определение. Если производится несколько испытаний, причем вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимы относительно А.

Определение. Событие называется сложным, если происходит совмещение несколько простых событий.

Поставим задачу вычислить вероятность того, что при n испытаниях событие А осуществится ровно k раз, и следовательно, не осуществится n – k раз.

Подчеркнем, что не требуется, чтобы событие А повторилось ровно k раз в определенной последовательности.

Например, если речь идет о появлении события А три раза в четырех испытаниях, то возможны следующие сложные события:

Искомую вероятность обозначим Pn(k). Поставленную выше задачу можно решить, использовав формулу Бернулли.

Вероятность одного сложного события, состоящего в том, что в n испытаниях событие А наступит k раз и не наступит n – k раз, по теореме умножения вероятностей независимых событий равна pk ∙ qn-k. Таких сложных событий может быть столько, сколько можно составить сочетаний из n элементов по k элементов: .

Эти сложные события несовместны, то по теореме сложения вероятностей несовместных событий искомая вероятность равна сумме вероятностей всех этих сложных событий:

Пример. Вероятность того, что расход электроэнергии в продолжении одних суток не превысит установленной нормы, равна р = 0,75. Установить вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит.

Решение. р = 0,75, тогда q – вероятность перерасхода электроэнергии в каждые сутки также постоянна и равна: q = 1 – p = 1 – 0,75 = 0,25.

По формуле Бернулли:

4.2. Локальная теорема Лапласа

Воспользоваться формулой Бернулли при больших значениях n достаточно трудно, так как формула требует выполнения действий над громадными числами.

Возникает вопрос: нельзя ли вычислить интересующую нас вероятность, не прибегая к формуле Бернулли? Локальная теорема Лапласа и дает асимптотическую формулу, которая позволяет приближенно установить вероятность появления события ровно k раз в n испытаниях, если число испытаний достаточно велико.

Определение. Функцию (х) называют асимптотическим приближением функции f(x), если

Примечание. Если вероятность р появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность Pn(k) того, что событие А появится в n испытаниях ровно k раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше n):

Имеются таблицы, в которых помещены значения функции , соответствующие положительным значениям аргумента х. Для отрицательных значений аргумента пользуются теми же таблицами, поскольку (х) – четная функция, а значит (-х) = (х), таким образом:

Пример. Найти вероятность того, что событие А наступит 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,2.

Решение. n = 400; k = 80; p = 0,2; q = 0,8.

По таблице определяем: (0) = 0,3989.

4.3. Интегральная теорема Лапласа

Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность Рn(k1, k2)того, что событие А появится в n испытаниях от k1 до k2 раз, приближенно равна:

Таблицы для приведены в приложениях. Функция Ф(х) – нечетная, поэтому Ф(- х) = - Ф(х). Таким образом:

§ 4. Виды случайных величин.

Задание дискретной случайной величины

5.1. Случайная величина

Определение. Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Пример. Число родившихся мальчиков среди ста новорожденных есть случайная величина, которая имеет следующие возможные значения: 0, 1, 2, …, 99, 100.

Случайные величины: X, Y, Z, …;

возможные значения: x, y, z, …

Пример. Если случайная величина Х имеет три возможных значения, то они: х1, х2, х3.

5.2. Закон распределения вероятностей

дискретной случайной величины

Определение. Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

Определение. Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически, графически.

Пример.

Х	х1	х2	…	хn
р	р1	р2	…	рn

События Х = х1, Х = х2, …, Х = хn – образуют полную группу, тогда

р1 + р2 + …+ рn = 1.

Пример. В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 10 000 рублей и десять выигрышей по 500 рублей. Установить закон распределения случайной величины Х – стоимости возможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета.

Решение.

Х	10 000	500	0
р	0,01	0,1	0,89

Закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить и графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки (хi, pi), а затем соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения.

5.3. Биномиальное распределение

Запишем формулу Бернулли:

Данная формула является аналитическим выражением искомого закона распределения.

Определение. Биномиальным называют распределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли. Закон назван «биномиальным»потому, что правую часть (*) можно рассматривать как общий член разложения бинома Ньютона:

Табличная запись биномиального закона:

Х	n	n – 1	…	k	…	0
р	pn	npn-1q	…		…	qn

Пример. Монета брошена 2 раза. Написать в виде таблицы закон распределения случайной величины Х – числа выпадений «герба».

Решение. - вероятность появления «герба»в каждом бросании;

- вероятность непоявления «герба» в каждом бросании.

При двух бросаниях монеты «герб» может появиться либо 2 раза, либо 1 раз; либо совсем не появится. таким образом, возможные значения Х таковы:

х1 = 2; х2 = 1; х3 = 0.

Установим вероятность этих значений:

Контроль: 0,25 + 0,5 + 0,25 = 1.

5.4. Распределение Пуассона

Установим вероятность того, что при очень большом числе испытаний, в каждом из которых вероятность события очень мала, а событие наступит ровно k раз (р  0,1).

Пусть np = λ – т.е. сохраняет постоянное значение. Воспользовавшись формулой Бернулли, свойствами предела, вторым замечательным пределом, получаем:

Указанная формула выражает закон распределения Пуассона вероятностей массовых (n велико) и редких (р мало) событий.

Пример. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна 0,0002. Определить вероятность того, что на базу прибудут три негодных изделия.

Решение. n = 5000; p = 0,0002; k = 3.

λ = np = 5000 ∙ 0,0002 = 1

5.5. Геометрическое распределение

Пусть в первых k – 1 испытаниях событие А не наступило, а k – м испытании появилось. Вероятность этого «сложного события», по теореме умножения вероятностей независимых событий:

Полагая k = 1, 2, … в (*) получим:

p, qp, q2p, …, qk-1 ∙ p, … (**)

Получили геометрическую прогрессию с первым членом р и знаменателем q (0 < q <1).

По этой причине распределение (*) называют геометрическим.

Из курса числовых рядов известно, что ряд (**) сходится и его сумма равна единице.

Пример. Из орудия производится стрельба по мишени до первого попадания. Вероятность попадания в цель р = 0,6. Определить вероятность того, что попадание произойдет при третьем выстреле.

Решение. р = 0,6; q = 0,4; k = 3.

Р(3) = qk-1 ∙ p = 0,42 ∙ 0,6 = 0,096.

§ 6. Математическое ожидание дискретной случайной величины

6.1. Числовые характеристики дискретных случайных величин

Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако часто закон распределения неизвестен и приходится ограничиваться меньшими сведениями. Иногда даже выгоднее пользоваться числами, которые описывают случайную величину суммарно; такие числа называют числовыми характеристиками случайной величины.

К числу важных числовых характеристик относится математическое ожидание.

Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.

Примечание. 1. Математическое ожидание дискретной случайной величины есть неслучайная (постоянная) величина.

2. Математическое ожидание числа появлений события в одном испытании равно вероятности этого события.

3. Вероятностный смысл математического ожидания: математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Пример. Определить М(Х), зная закон ее распределения:

Х	3	5	2
р	0,1	0,6	0,3

Решение.

6.2. Свойства математического ожидания

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

М(С) = С.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

М(СХ) = СМ(Х).

Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

M(XY) = M(X)M(Y).

Следствие.

M(XYZ) = M(XY ∙ Z) = M(XY)M(Z) = N(X)M(Y)M(Z).

Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

M(X + Y) = M(X) + M(Y).

Следствие.

Теорема. Математическое ожидание М(Х) числа появлений события А в nнезависимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании: М(Х) = np.

Пример. Вероятность попадания в цель при стрельбе из орудия р = 0,6. Вычислить М(Х) общего числа попаданий, если будет произведено 10 выстрелов.

Решение. Попадание при каждом выстреле не зависит от исходов других выстрелов, поэтому: М(Х) = np = 10 ∙ 0,6 = 6.

§ 7. Дисперсия дискретной случайной величины

7.1. Отклонение случайной величины

Определение. Отклонением называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием:

Х – М(Х).

Теорема. Математическое ожидание отклонения равно нулю:

M[X – M(X)] = 0.

Пример. Задан закон распределения дискретной случайной величины:

Х	1	2
р	0,2	0,8

Убедиться, что M[X – M(X)] = 0.

Решение. М(Х) = 1 ∙ 0,2 + 2 ∙ 0,8 = 1,8. Вычислим отклонения:

1 – 1,8 = -0,8;

2 – 1,8 = 0,2.

Запишем закон распределения отклонения:

Х – М(Х)	-0,8	0,2
р	0,2	0,8

7.2. Дисперсия дискретной случайной величины

На практике часто требуется оценить рассеяние возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения. Для этого вычисляют среднее значение квадрата отклонения, которое и называется дисперсией.

Определение. Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величин от ее математического ожидания:

Пример. Вычислить дисперсию случайной величины Х, которая задана следующим законом распределения:

Х	1	2	5
р	0,3	0,5	0,2

Решение. 1. М(Х) = 1 ∙ 0,3 + 2 ∙ 0,5 +5 ∙ 0,2 = 2,3

2. [X1 – M(X)]2 = (1 – 2,3)2 = 1,69;

[X2 – M(X)]2 = (2 – 2,3)2 = 0,09;

[X3 – M(X)]2 = (5 – 2,3)2 = 7,29.

3. Записываем закон распределения:

[X – M(X)]2	1,69	0,09	7,29
р	0,3	0,5	0,2

Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания:

7.3. Свойства дисперсии

1. Дисперсия постоянной величины С равна нулю: D(С) = 0.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат: D(СХ) = С2D(Х).

3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: D(X + Y) = D(Х) + D(Y).

Следствия.

4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

Теорема. Дисперсия числа появлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность р появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании: D(X) = npq.

7.4. Среднее квадратическое отклонение

Определение. Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называют квадратный корень из дисперсии:

В тех случаях, когда желательно, чтобы оценка рассеяния имела размерность случайной величины, вычисляют среднее квадратическое отклонение, а не дисперсию.

Пример. Случайная величина Х задана:

X	2	3	10
р	0,1	0,4	0,5

Вычислить σ(Х) - ?

Решение.

Теорема. Среднее квадратическое отклонение суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин равно квадратному корню из суммы квадратов средних квадратических отклонений этих величин:

Рассмотрим три положения, которые устанавливают связь между числовыми характеристиками среднего арифметического случайной величины и соответствующими характеристиками каждой отдельной величины.

Математическое ожидание среднего арифметического одинакого распределенных взаимно независимых случайных величин равно математическому ожиданию а каждой из величин: .
1. Дисперсия среднего арифметического n одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в n раз меньше дисперсии каждой из величин:
2. Среднее квадратическое отклонение среднего арифметического nодинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в раз меньше среднего квадратического отклонения каждой из величин:

§ 8. Функция распределения вероятностей случайной величины

8.1. Основные понятия

Определение. Функцией распределения называют Функцию F(Х), определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньшее х, т.е. F(X) = P(X < x).

Геометрически: F(X) есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х. F(X) – интегральная функция.

Определение. Случайную величину называют непрерывной, если ее функция распределения есть непрерывная, кусочно-дифференцируемая функция с непрерывной производной.

8.2. Свойства функции распределения

1. Значение функции распределения принадлежат отрезку [0; 1], т.е.

2. F(X) – неубывающая функция, т.е. если x2 > x1, то F(X2) ≥ F(X1).

Следствия. 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (a; b), равна приращению функции распределения на этом интервале: P(a ≤ X < b) = F(b) – F(a).

2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение, равна нулю.

3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a; b), то:

1. F(X) = 0, при х ≤ а;

2. F(X) = 1, при х ≥ b.

Следствие. Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей оси Х, то справедливы следующие предельные отношения

Рассмотренные выше свойства позволяют представить, как выглядит график функции распределения непрерывной случайной величины:

1. График расположен в полосе, ограниченной прямыми: у = 0, у = 1 (свойство 1).

2. При возрастании х  (a; b), график «поднимается вверх» (свойство 2).

3. При х ≤ а ординаты равны нулю; при х ≥ b ординаты графика равны единице (свойство 3).

Рис.1.

Пример. Известен закон распределения:

X	1	4	8
р	0,3	0,1	0,6

Определить функцию распределения и вычертить ее график.

Решение. При x ≤ 1, F(x) = 0 (свойство 3);

при 1 < x ≤ 4, F(x) = 0,3;

при 4 < x ≤ 8, F(x) = 0,4.

Действительно, при 4 < x1 ≤ 8, F(x1) равно вероятности события Х < х1, которое может быть осуществлено, когда Х примет значение 1 (Р(Х) = 0,3) или значение 4 (Р(Х) = 0,1). Поскольку эти два события несовместны, то по теореме сложения вероятностей вероятность события Х < х1 равна сумме: 0,3 + 0,1 = 0,4.

При х > 8, F(x) = 1.

Таким образом,

Рис.2.

§ 9. Плотность распределения вероятностей непрерывной

случайной величины

9.1. Основные понятия

Определение. Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют функцию f(x) – первую производную от функции распределения F(x):

f(x) = F’(x)

F(x) – первообразная для f(x).

Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (a; b), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от а до b:

Пример. Определить функцию распределения по данной плотности распределения:

Решение.

Если х ≤ а, то f(x) = 0, поэтому F(x) = 0,

если a < x ≤ b, то .

Рис.3.

9.2. Свойства плотности распределения

1. Плотность распределения – неотрицательная функция, т.е. f(x) ≥ 0.

2. Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от - до +  равен единице, т.е.

Пример.

, определить а, если f(x) – плотность распределения.

Решение.

Таким образом

Определение. Плотности распределений непрерывных случайных величин называют законами распределений.

Определение. Распределение вероятностей называют равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность распределения сохраняет свое постоянное значение.

Вычислим плотность равномерного распределения f(х), считая что все возможные значения случайной величины заключены в интервале (a; b), на котором функция f(х) сохраняет постоянные значения.

По условию Х не принимает значений вне (a; b), поэтому f(х) = 0 при х <а, х > b. Вычислим постоянную С:

Рис.4.

§ 10. Нормальное распределение

10.1. Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Определение. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку [a; b], называют определенный интеграл:

Если возможные значения принадлежат всей оси ОХ, то:

Определение. Дисперсией непрерывной случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата ее отклонения.

Если Х  [a; b], то

если X  (-; +), то

Определение. Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется, как и для величины дискретной, равенством:

Примечания. 1. Свойства математического ожидания и дисперсии дискретных случайных величин сохраняются и для непрерывных величин;

Пример.

Решение.

10.2. Нормальное распределение

Определение. Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью:

Примечания.

1. - функция общего нормального распределения;

- функция нормированного распределения.

2. Вероятность попадания нормированной нормальной величины Х в интервале (0; х) можно установить, пользуясь функцией Лапласа:

10.3. Нормальная кривая

Определение. График плотности нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса).

1. Функция определена на всей числовой оси х.

2. При всех х функция принимает положительные значения.

3. При , т.е. ОХ – горизонтальная асимптота.

5. График симметричен относительно прямой x = a.

При переходе через эти точки вторая производная меняет знак, следовательно:

Рис.5.

Изменение величины параметра а не изменяет формы нормальной кривой, а приводит лишь к ее сдвигу:

- вправо, если а возрастает;

- влево, если а убывает.

С возрастанием σ максимальная ордината нормальной кривой убывает, а кривая становится более пологой, при убывании – ордината возрастает в положительном направлении оси Оу, кривая становится «островершинной».

§ 11. Вероятность попадания в заданный интервал

нормальной случайной величины

Поскольку случайная величина Х распределена по нормальному закону, тогда:

Преобразует формулу, введя новую переменную:

Воспользуемся функцией Лапласа:

Пример. Случайная величина Х распределена по нормальному закону. М(Х) = 30, σ(Х) = 10. Установить вероятность, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (10; 50).

Решение. α = 10; β = 50; а = 30; σ = 10.

§ 11. Задания для самостоятельной работы

I. Элементы комбинаторики

За вторым отделением совхоза закреплено 5 тракторов Т-4А, 7 тракторов ДТ-75, 9 тракторов МТЗ-80 и 8 автомобилей ГАЗ-53 Сколькими способами можно выставить технику на машинном дворе вместимостью 18 единиц техники, если взять 3 трактора Т-4А, 4 трактора ДТ-75, 5 тракторов МТЗ-80 и 6 автомобилей?
Имеется 5 покрышек, 6 камер и 5 дисков. Сколькими способами можно забортовать 4 колеса, если для каждого колеса требуется одна покрышка, одна камера и один диск?
В совхозе проводится конкурс пахарей. В финал вышли 7 человек Сколькими способами можно распределить 3 первые места?
В бригаде работают 12 трактористов, троих из них надо отправить на учебу. Сколькими способами можно это сделать?
Имеется 4 тракториста, 5 сеяльщиков, 6 заправщиков. Сколькими способами можно укомплектовать одно звено из трех человек, если требуется по одному человеку каждой специальности?
В хозяйстве имеется 4 сеялки и 5 плугов к трактору МТЗ-80. Сколькими способами можно выбрать 3 сеялки и 3 плуга?
На складе имеется 5 двигателей, 10 коленчатых валов и 6 радиаторов. Сколькими способами можно распределить по 1 двигателю, 1 коленчатому валу и радиатору на каждый из четырех автомобилей?
В мастерской имеется три токарных, три фрезерных и два сверлильных станка. Данная деталь должна пройти эти три вида обработки. Сколькими способами можно это сделать?
В совхозе 50 механизаторов. Сколькими способами могут быть выбраны 7 механизаторов для работы в составе звена?
В профком избраны 9 человек. Из них надо выбрать председателя, его заместителя, секретаря и культорга. Сколькими способами можно это сделать?
В бригаде имеется 15 комбайнов и 20 тракторов Сколькими способами могут быть выделены звену 5 комбайнов и пять тракторов?
Сколькими способами могут быть присуждены 1, 2, 3-я премии трем звеньям, если число соревнующихся звеньев равно 10?
Секретарю поручено разнести пакеты в шесть различных учреждений. Сколькими способами он может выбрать маршрут движения?

II. Непосредственное вычисление вероятностей

В коробке перемены передач колесного трактора К-701 находятся 4 шестерни Z-42, 6 шестерен Z-24. Требуется заменить 3 шестерни. Какова вероятность того, что 2 из них окажутся Z-42?
На автобазе 20 машин, из них 5 не заправлены. Для поездки наудачу выбирают 2 автомобиля. Какова вероятность того, что одна из выбранных машин не заправлена?
В клетке 10 кроликов, среди которых 6 трехмесячных и 4 четырехмесячных. Наудачу отобрали 7 животных. Какова вероятность того, что среди отобранных четыре окажутся трехмесячными?
В конюшне имеются 3 сторожевые собаки, из которых две только лают, а одна кусает. В конюшню пробрался вор. Что вероятнее в момент появления вора: подбегут 2 только лающие собаки или одна лающая и одна кусающая собака?
Тракторный парк состоит из 6 колесных и 4 гусеничных тракторов Какова вероятность того, что среди пяти тракторов, переданных бригаде, хотя бы один гусеничный?
Району выделили 15 комбайнов, причем 10 из них, изготовлены Красноярским заводом. Найти вероятность того, что среди 5 наудачу отобранных комбайнов три изготовлены в Красноярске.
На складе имеется 15 деталей, среди которых 4 бракованных. Найти вероятность того, что среди шести наудачу взятых деталей будет только две бракованных.
Район закупил 10 тракторов, из них четыре марки Т-4. Какова вероятность того, что из выделенных колхозу на посев 7 тракторов три окажутся марки Т-4?
Совхоз закупил 7 т удобрений, из них 4 т азотных. Найти вероятность того, что среди 3 т удобрений, выданных звену, 2 т азотных.
Разбирая восьмицилиндровый двигатель с пятью неисправными поршнями, механик демонтировал 3 поршня. Найти вероятность того, что все они неисправны.
С конвейера завода сошло 14 автомобилей, 3 из которых с неисправной системой охлаждения. Какова вероятность того, что среди 5 выбранных машин окажется не более одной с неисправной системой охлаждения?
Для определения всхожести семян взяли пробу из 100 семян. Из отобранных семян 15 не взошли. Какова вероятность того, что первое наудачу взятое семя не взойдет?

III. Теоремы сложения и умножения вероятностей

В зимнюю сессию студент Иванов должен сдать пять экзаменов. Вероятности не сдачи первого из них - 0,2; второго - 0,4; третьего - 0,5; четвертого - 0,2 и пятого - 0,3. Определить вероятность того, что Иванов сдаст все экзамены.
В мастерской работают два токаря. Вероятность того, что во время обработки заготовки резцом он выйдет из строя, для каждого из токарей равна 0,09. Определить вероятность того, что только у одного из токарей резец выйдет из строя; хотя бы у одного токаря резец выйдет из строя
Вероятность бесперебойной работы трактора ДТ-75 в течение смены равна 0,8; трактора К-700 - 0,9. Определить вероятность выхода из строя только одного из указанных тракторов; не менее одного из тракторов; не более одного из тракторов.
Вероятность выполнения посевных работ в срок для первого хозяйства равна 0,7; для второго хозяйства - 0,8. Определить вероятность того, что хотя бы одно из хозяйств выполнит работу в срок.
Вероятность «нарваться» на контролера в автобусе равна 0,2. Иванов трижды проехал в автобусе. Определить вероятность того, что он «нарвался» на контролера только 1 раз.
Вероятность обнаружения цели при одном цикле обзора радиолокационной станцией равна 0,2. Какова вероятность обнаружения цели хотя бы один раз при четырех циклах обзора?
При уборке зерновых возможны следующие неисправности комбайна, забивание сетки радиатора с вероятностью 0,8, забивание барабана с вероятностью 0,3, выход из строя подборщика с вероятностью 0,2 Эти поломки независимы друг от друга. Вычислить вероятность безотказной работы комбайна в течение смены.
Экзаменационные работы по математике, которые писали абитуриенты при поступлении в институт, зашифрованы целыми числами от 1 до 90 включительно. Какова вероятность того, что номер наудачу взятой работы кратен 10 или 11?
Вероятность того, что початки кукурузы имеют 12 рядов, равна 0,49, 14 рядов - 0,37 и 16 - 18 рядов - 0,14. Какова вероятность того, что наудачу выбранный початок будет иметь 12 или 14 рядов?
Контрольная работа состоит из трех задач по алгебре и трех по геометрии. Вероятность правильно решить задачу по алгебре равна 0,8, а по геометрии - 0,6. Какова вероятность правильно решить все три задачи хотя бы по одному из предметов?
Производятся 4 независимых выстрела. Вероятность поражения цели стрелком при каждом из выстрелов равна р. Какова вероятность того, что первые два выстрела будут попаданиями, а последующие два - промахами?
Известно, что при каждом измерении равновероятны как положительная, так и отрицательная ошибка. Какова вероятность того, что при трех независимых измерениях все ошибки будут положительными?
Пусть р(АВ) = Найдите р (А + В).
Пусть р(А) = Совместны ли события А и В?
Выполненная контрольная работа состоит из задачи и примера. Вероятность того, что в наудачу выбранной работе правильно решена задача, равна 0,8, а того, что получен хотя бы один правильный ответ, - 0,9. Найдите вероятность того, что правильно решен пример.
Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,9, второй экзамен - 0,85 и третий - 0,8. Какова вероятность тою, что студент сдаст не менее двух экзаменов?
Пусть события А и В независимы. Докажите, что следующие пары событий тоже независимы:

а) А и ; б) Ā и В; в) Ā и .

IV. Формула полной вероятности. Формулы Байеса

Имеется две партии однородных изделий. Первая содержит 100 изделий, из которых 20 дефектных, вторая - 200 изделий, из которых тоже 20 дефектных. Какова вероятность того, что наудачу взятое изделие окажется дефектным?
Два автомата производят детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата в три раза больше производительности второго. Вероятность изготовления годной детали первым автоматом равна 0,9, вторым - 0,7. Какова вероятность того, что наудачу взятая с конвейера деталь окажется годной?
С первого автомата поступает на сборку 80% деталей, со второго -20% таких же деталей. На первом автомате брак составляет 1%, на втором -4%. Две проверенные детали, изготовленные одним и тем же автоматом, оказались бракованными. Какова вероятность того, что они изготовлены первым автоматом?
Имеется две партии однородных изделий. Первая партия содержит 100 изделий, из которых 20 дефектных, вторая - 200 изделий, из которых тоже 20 дефектных. Из первой партии наугад взяли 60 изделий, из второй – 30. Эти изделия смешали, образуя новую партию. Какова вероятность того, что взятое из новой партии изделие окажется дефектным?
Из восемнадцати стрелков пять попадают в мишень с вероятностью 0,8, семь - с вероятностью 0,7, четыре - с вероятностью 0,6 и два - с вероятностью 0,5. Один из стрелков сделал выстрел, но в мишень не попал. К какой из перечисленных выше групп вероятнее всего принадлежит этот стрелок?
В группе из десяти студентов, пришедших на экзамен, три подготовлены отлично, четыре хорошо, два - посредственно и один – плохо. В экзаменационных билетах имеется двадцать вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все двадцать, хорошо подготовленный - на шестнадцать, посредственно подготовленный - на десять, плохо подготовленный - на пять Вызванный наугад студент ответил на три произвольно заданных вопроса. Какова вероятность того, что этот студент посредственно подготовлен?
Ученик забыл последнюю цифру даты Куликовской битвы и поэтому называет ее наудачу. Определить вероятность того, что до правильного ответа ему придется отвечать не более трех раз.
В экзаменационные билеты включено по два теоретических вопроса и одной задаче. Всего составлено 28 билетов, содержащих разные вопросы и задачи. Студент подготовил только 50 теоретических вопросов и сможет решить задачи к 22 билетам. Какова вероятность того, что, вынув наудачу один билет, студент ответит на все вопросы?
В коробке имеются 2 красный, 3 синих и 2 зеленых карандаша. Из нее наудачу без возвращения вынимают один за другим по одному карандашу. Найти вероятность того, что красный карандаш появится раньше синего.
Вероятность сдачи студентом зачета равна 0,8. Если зачет сдан, то студент допускается к экзамену, вероятность сдачи которого равна 0,9. Какова вероятность того, что студент сдаст зачет и экзамен?
Студент знает ответы на 15 экзаменационных билетов из 20. В каком случае он имеет большую вероятность сдать экзамен, если он идет отвечать первым или если - вторым?
Из группы, состоящей из четырех юношей возраста 17, 18, 19 и 20 лет и четырех девушек тех же лет, наугад выбирают двух человек. Какова вероятность того, что:

а) оба выбранных окажутся юношами;

б) оба окажутся юношами, если известно, что один из выбранных юноша;

в) оба окажутся юношами, если известно, что один из них юноша, которому не более 18 лет;

г) оба окажутся юношами, если известно, что один из них юноша 17 лет?

Имеются 3 одинаковые урны. В первой урне находятся 4 белых и 6 черных шаров, во второй - только белые и в третьей - только черные. Наудачу выбирается урна и из нее наугад вынимается один шар. Какова вероятность того, что этот шар черный?
Имеются 2 одинаковые урны. В первой урне 7 белых и 3 черных шара, а во второй - 6 белых и 4 черных. Наудачу выбирается урна и из нее наугад вынимается один шар. Выбранный шар оказался белым. Какова вероятность того, что этот шар вынут из первой урны?
В группе 10 юношей, которые играют, набрасывая кольца на колышек. Для пяти из них вероятность попадания кольца на колышек равна 0,6, для трех других - 0,5 и для остальных - 0,3. Кольцо, брошенное одним из юношей, попало на колышек. Какова вероятность того, что это кольцо было брошено юношей из первой группы?
Для сдачи зачета студентам необходимо подготовить 30 вопросов. Из 25 студентов 10 подготовили ответы на все вопросы, 8 - на 25 вопросов, 5 - на 20 вопросов и двое - на 15. Вызванный наудачу студент ответил на поставленный ему вопрос. Найдите вероятность того, что этот студент: а) подготовил все вопросы; б) подготовил только половину вопросов.
Имеются 3 одинаковые урны. В первой находятся 4 белых и 6 черных шаров, во второй - 7 белых и 3 черных и в третьей - только черные. Наудачу выбирается урна и из нее наугад вынимается один шар. Выбранный наудачу шар оказался черным. Какова вероятность того, что шар вынут из первой урны?

V. Повторные испытания

Бензонасос автомобиля ЗИЛ-131 содержит 6 клапанов, надежность работы каждого из них равна 0,95. Какова вероятность того, что откажет один клапан; хотя бы один клапан?
На испытательный стенд поставлены 4 конденсатора. Вероятность пробоя конденсатора в течение гарантийного срока равна 0,1. Определить вероятность того, что в течение испытания откажут 3 конденсатора.
Вероятность того, что комбайн неисправен, равна 0,2. Определить вероятность того, что будут неисправны 3 из 5 выбранных наугад комбайнов.
Двигатель машины ЗИЛ-130 содержит 8 цилиндров. Надежность работы каждого равна 0,8. Найти вероятность того, что откажет хотя бы один цилиндр; что откажет два цилиндра.
Средний процент нарушения работы кинескопа телевизора в течение гарантийного срока равен 12. Вычислить вероятность того, что из 46 наблюдаемых телевизоров 36 выдержат гарантийный срок.
Найти вероятность того, что переключение передач наступит 70 раз на 243 километровой трассе, если вероятность переключения на каждом километре этой трассы равна 0,25.
Посеяно 600 зерен кукурузы с вероятностью прорастания 0,9. Найти границу абсолютной величины отклонения частости взошедших семян от вероятности р = 0,9, если эта граница должна быть гарантирована с вероятностью Р = 0,995.
В партии деталей первый сорт составляет 70%. Механизатор выбирает наудачу 12 деталей. Какова вероятность того, что среди них 9 деталей окажется первого сорта?
На автобазе есть 12 автомашин. Вероятность выхода на линию каждой из них равна 0,8. Определить вероятность нормальной работы автобазы в ближайший день, если для этого необходимо иметь на линии не менее 8 машин.
Тракторный парк совхоза насчитывает 10 тракторов К-700 и 15 тракторов МТЗ. Надежность в работе каждого из К-700 равна 0,8, каждого из МТЗ - 0,85. Какова вероятность выхода из строя трех из К-700 и пяти из МТЗ за сезон?
Режущий аппарат жатки содержит 80 сегментов. Надежность каждого сегмента равна 0,8. Какова вероятность отказа 15 сегментов за время свала пшеницы на одном поле, если вероятность отказа одного из них не зависит от других?
В мастерской имеется 13 станков. Вероятность того, что станок в данный момент работает, равна 0,7. Найти наивероятнейшее число работающих в данный момент станков. Найти вероятность наивероятнейшего числа работающих станков.
Всхожесть семян составляет 75%. Какова вероятность того, что из 300 посеянных семян взойдет 210; взойдет от 215 до 230 семян?
В течение года град приносит значительный ущерб примерно одному хозяйству из 50. Определить вероятность того, что из 200 хозяйств края пострадает 8; не менее 9; не более 20.
Вероятность отказа трактора равна 0,2. Найти вероятность того, что из 20 тракторов откажут 8; не менее 15; не более 12 тракторов.
При массовом производстве шестерен вероятность брака равна 0,1. Какова вероятность того, что из 400 наугад взятых шестерен 50 будут бракованными?
Доля зараженности зерна вредителями в скрытой форме составляет 0,002. Определить вероятность того, что среди 500 зерен 3 окажутся зараженным.
Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течение часа равна 0,003. Найти вероятность того, что за час откажут 4 элемента.
Вероятность выпуска сверла повышенной хрупкости (брак) равна 0,02. Сверла укладывают в коробки по 100 штук. Найти вероятность того, что в коробке окажется 2 бракованных сверла.
Производство дает 1% брака. Какова вероятность того, что из 1100 изделий бракованных окажется не более 17?
Пусть вероятность того, что пассажир опоздает к отправлению поезда, равна 0,02. Найти наиболее вероятное число опоздавших из 855 пассажиров.
При штамповке металлических клемм получается в среднем 90% годных. Найти вероятность наличия от 790 до 820 годных клемм в партии из 900 клемм.
Вероятность неточной сборки прибора равна 0,2. Найти вероятность того, что среди 500 приборов окажется от 410 до 430 точных.
Всхожесть семян данного растения составляет 90%. Найти вероятность того, что из 800 посеянных семян взойдет не менее 700.

VI. Случайные величины

В лотерее на 100 билетов разыгрываются три вещи, стоимости которых 210, 60 и 30 рублей. Составить закон распределения суммы выигрыша для лица, имеющего один билет.
Имеется 5 ключей, из которых только один подходит к замку. Составить закон распределения числа опробований при открывании замка, если испробованный ключ в последующих опробованиях не участвует.
Два стрелка делают по одному выстрелу в одну мишень. Вероятность попадания в нее первым стрелком равна 0,5; вторым - 0,4. Составить закон распределения числа попаданий в мишень.
Вероятность того, что в библиотеке необходимая студенту книга свободна, равна 0,3. Составить закон распределения числа библиотек, которые посетит студент, если в городе четыре библиотеки.
Охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает сделать не более четырех выстрелов. 1). Составить закон распределения числа выстрелов, производимых охотником, если вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7. 2). Найти функцию распределения числа выстрелов, производимых охотником. 3) Найти вероятность того, что охотник сделает не менее одного, но меньше четырех выстрелов.
Доля поражения зерна вредителями в скрытой форме составляет 0,002 Составьте закон распределения случайной величины X - числа зараженных зерен среди 500 отобранных.
Дан закон распределения случайной величины х:

хi	-2	0	1	3
pi	0,1	0,5	0,3	0,1

Составить закон распределения случайных величин x2 и 3х.

Выбиваемые двумя стрелками числа очков характеризуются следующими законами распределения: а) для первого стрелка Х; б) для второго Y.

число очков

0,1

0,5

0,1

0,3

Стрелки делают по одному выстрелу. Подсчитывается сумма выбиваемых ими очков. Составить закон распределения этой случайной величины.

9. Определить М (Х), D (X), σ (X) случайной величины, если закон распределения ее имеет следующий вид:

хi	0	1	3	4
pi	0,2	?	0,3	0,4

Построить график и на нем указать М (Х), σ (Х).

10. Дано:

хi	-2	-1	0	1	2	3
pi	0,15	0,2	0,3	0,2	0,05	0,1

Найти: M (4X); D (2X); σ (X).

11. Дано:

хi	2	3	4	5		уi	-1	0	1	2	3
pi	0,3	?	0,2	0,1		pi	0,1	03	0,2	0,1	?

Найти: М (2Х+У); D (Х - У); σ (3Х).

12. Даны независимые случайные величины:

X	0	1	2			Y	-2	-1	0
P(x)	0,25	05	0,25			P(y)	0,6	0,3	0,1

Найти: М (Х+2Y); D (Х - 2Y).

В некотором цехе брак составляет 5% всех изделий. Составить таблицу распределения числа бракованных изделий из 6 взятых наудачу деталей. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
Монету подбрасывают 7 раз. Найти М (X), D (X), σ (X), где X - где число появлений герба.

В задачах 15 - 30 случайная величина задана интегральной функцией распределения F(x). Найти: 1) дифференциальную функцию распределения f(x); 2) математическое ожидание М(Х); 3) дисперсию D(X); 4) построить графики интегральной и дифференциальной функций.

15.

16.

17.

18.

19. Случайная величина X задана плотностью распределения f (x) = 2 sin 4x в интервале [0, ], вне этого интервала f(x) = 0 Найдите вероятность события «х попадет»:

а) в интервале ; ; б) в интервале ; в) в интервале .

20. Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, заданной таблицей распределения вероятностей:

хi	2	3	6	7	8	10
pi	0,1	0,2		0,2	0,15	0,1

До выполнения задания вычислите вероятность того, что случайная величина примет значение х = 6.

21. В апреле среднесуточная температура воздуха для некоторой местности удовлетворяет следующему закону распределения вероятностей:

ti	0	1	2	3	4	5	6	7	8
pi

Найдите математическое ожидание М(t) среднесуточной температуры.

22. Независимые случайные величины X и Y заданы следующими таблицами распределения:

хi	-2	-1	0	1	3
pi	0,1	0,2	0,25	0,35	0,1

yj	-3	0	1	2
qj	0,1	0,2	0,4	0,3

Значения какой из этих случайных величин более рассеяны от их средних значений? Найдите М (X + Y) и D (X + Y).

23. На факультете успеваемость составляет 90%. Наудачу выбираются 40 студентов. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайного числа успевающих студентов, оказавшихся в выбранной группе.

24. Найдите математическое ожидание и дисперсию числа бракованных деталей, если проверяется партия из 10 000 деталей, а вероятность того, что деталь окажется бракованной, равна 0,005.

25. Независимые случайные величины X и Y заданы следующими таблицами распределения вероятностей:

хi	2	3	4			yj	1	2	3
pi	0,6	0,3	0,1			qj	0,1	0,2	0,7

Найдите математическое, ожидание случайной величины Z = XY двумя способами: а) составив предварительно таблицу распределения вероятностей случайной величины Z; б) используя свойство М (XY) = М (X) М(Y).

26. Независимые случайные величины X и Y заданы следующими таблицами распределения вероятностей:

хi	1	3			yj	2	4
pi	0,7	0,3			qj	0,6	0,4

Найдите дисперсию случайной величины Z = X + Y двумя способами:

а) составив предварительно таблицу распределения вероятностей случайной величины Z;

6} используя свойство: D (X + Y) = D (X) + D (Y).

27. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X соответственно равны М (X) = 7; D (X) = 1,2. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайных величин: а) 2Х - 3; б) 4Х; в) ЗХ + 5.

VII. Нормально распределенная случайная величина

Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины X равно 3, среднее квадратическое отклонение равно 2. Написать плотность вероятности X.
Написать плотность вероятности нормально распределенной случайной величины X, зная, что М (Х) = 3, D (X) = 16.
Известно, что случайная величина X подчинена нормальному закону распределения, М (Х) = 6, σ2 = 9 Найти функцию плотности вероятности.
Нормально распределенная случайная величина X задана плотностью . Найти математическое ожидание и дисперсию Х.
Известно, что случайная величина X подчиняется нормальному закону распределения с функцией плотности вероятности . Найти М (Х) и D (X)
Детали, выпускаемые цехом, по размеру диаметра распределяются по нормальному закону с параметрами: математическое ожидание равно 5 см. а дисперсия равна 0,81. Найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали: а) от 4 до 7 см; б) отличается от математического ожидания не более чем на 2 см.
При измерении детали ее длина X является случайной величиной, распределенной по нормальному закону, с параметрами а = 22 см и σ = 0,2 см. Найдите интервал, в который с вероятностью 0,9544 попадает X.
Случайные ошибки измерения диаметра вала при его массовом изготовлении подчинены нормальному закону с параметрами а = 0 и σ = 10 мм. Найти вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 15 мм.
Автомат изготавливает шарики. Шарик считается годным, если отклонение X диаметра шарика от проектного размера по абсолютной величине меньше 0,7 мм. Считая, что случайная величина X распределена нормально с параметрами а = 0 и σ = 0,4 мм, найти, сколько будет годных шариков среди ста стандартных.
Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону с параметрами а = 0 и σ = 20 мм. Найти вероятность того, что из трех независимых измерений ошибка хотя бы одного из них не превзойдет по абсолютной величине 4 мм.
Масса вагона - случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием 65 т и средним квадратическим отклонение σ = 0,9 т. Найти вероятность того, что очередной вагон имеет массу не более 70 т, но не менее 60 т.
Масса яблока, средняя величина которого равна 150 г, является нормальной распределенной случайной величиной со средним квадратическим отклонением 20 г. Найти вероятность того, что масса наугад взятого яблока будет заключена в пределах от 130 до 180 г.

§ 12. Задания для индивидуальной работы.

I. В задачах № 1-30 определить значение выражения:

1.	16.
2.	17.
3.	18.
4.	19.
5.	20.
6.	21.
7.	22.
8.	23.
9.	24.
10.	25.
11.	26.
12.	27.
13.	28.
14.	29.
15.	30.

II. В задачах 1-30 использовать формулу Бернулли для определения вероятностей появления события при повторении испытаний.

Монету бросают пять раз. Установить вероятность того, что «герб» выпадает менее двух раз.
Монету бросают пять раз. Установить вероятность того, что «герб» выпадает не менее двух раз.
Установить вероятность того, что событие А появится не менее трех раз в четырех независимых испытаниях, если вероятность появления события А в одном испытании равна 0,4.
События В появится в случае, если событие А появится не менее четырех раз. Установить вероятность наступления события В, если будет произведено пять независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,8.
Всхожесть семян данного растения составляет 90%. Установить вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут три.
Всхожесть семян данного растения составляет 90%. Установить вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут не менее трех.
В семье пять детей. Установить вероятность того, что среди этих детей два мальчика. (Вероятность рождения мальчика принять равной 0,51).
В семье пять детей. Установить вероятность того, что среди этих детей не более двух мальчиков. (Вероятность рождения мальчика принять равной 0,51).
В семье пять детей. Установить вероятность того, что среди этих детей более двух мальчиков. (Вероятность рождения мальчика принять равной 0,51).
В семье пять детей. Установить вероятность того, что среди этих детей не менее двух и не более трех мальчиков. (Вероятность рождения мальчика принять равной 0,51).
Всхожесть семян данного растения составляет 90%. Установить вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут не более двух
В цехе 6 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он в данный момент включен, равна 0,8. Установить вероятность того, что в данный момент включено 4 мотора.
В цехе 6 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он в данный момент включен, равна 0,8. Установить вероятность того, что в данный момент включено все моторы.
В цехе 6 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он в данный момент включен, равна 0,8. Установить вероятность того, что в данный момент выключены все моторы.
В цехе 6 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он в данный момент включен, равна 0,8. Установить вероятность того, что в данный момент включено менее двух моторов.
В цехе 6 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он в данный момент включен, равна 0,8. Установить вероятность того, что в данный момент включено более четырех моторов.
В цехе 6 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он в данный момент включен, равна 0,8. Установить вероятность того, что в данный момент включено не менее 5 моторов.
В цехе 6 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он в данный момент включен, равна 0,8. Установить вероятность того, что в данный момент включено не более 3 моторов.
Установить вероятность того, что событие А появится в пяти независимых испытаниях не менее двух раз, если в каждом испытании вероятность появления А равна 0,3.
События В появится в случае, если событие А появится не менее двух раз. Установить вероятность того, что наступит событие В, если произведено 6 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,8.

III. В задачах 1-30 определить вероятность появления события при повторении испытаний.

Семена содержат 0,1% сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 2000 семян обнаружить 5 семян сорняков?
Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение 1 минуты равна 0,004. Установить вероятность того, что в течении 1 минуты обрыв произойдет на пяти веретенах.
Вероятность появления бракованной детали равна 0,008. Установить вероятность того, что из 500 случайно отобранных деталей окажется 3 бракованных.
Коммутатор учреждения обслуживает 100 абонентов. Вероятность того, что в течение 1 минуты абонент позвонит на коммутатор, равна 0,02. Какое из двух событий вероятнее: в течении 1 минуты позвонят 3 абонента; позвонят 4 абонента?
Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. Установить вероятность того, что в пути будет повреждено ровно 3 изделия.
Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течении часа равна 0,002. Установить вероятность того, что за час откажут 4 элемента.
Рукопись объемом в 1000 страниц машинописного текста содержит 1000 опечаток. Установить вероятность того, что наудачу взятая страница содержит хотя бы одну опечатку.
Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. Установить вероятность того, что в пути будет повреждено менее 3 изделий.
Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной, равна 0,01. Установить вероятность того, что среди 200 деталей окажется ровно 4 бракованных.
Рукопись объемом в 1000 страниц машинописного текста содержит 1000 опечаток. Установить вероятность того, что наудачу взятая страница содержит 2 опечатки.
Книга, изданная тиражом в 50000 экземпляров. Вероятность того, что в книге имеется дефект брошюровки равна 0,0001. Установить вероятность того, что тираж содержит 5 неправильно сброшюрованных книг.
Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Установить вероятность того, что магазин получит разбитых бутылок ровно две.
Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. Установить вероятность того, что в пути будет повреждено изделий более трех.
Рукопись объемом в 1000 страниц машинописного текста содержит 1000 опечаток. Установить вероятность того, что наудачу взятая страница содержит не менее двух опечаток.
Вероятность выживания бактерий после радиоактивного облучения равна 0,004. Установить вероятность того, что после облучения из 500 бактерий останется не менее 3 бактерий.
Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Установить вероятность того, что магазин получит разбитых бутылок менее двух.
Семена содержат 0,1% сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 2000 семян обнаружить менее трех сорняков?
Семена содержат 0,1% сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 2000 семян обнаружить более четырех семян сорняков?
Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение 1 минуты равна 0,004. Установить вероятность того, что в течении 1 минуты обрыв произойдет хотя бы на одном веретене.
Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение 1 минуты равна 0,004. Установить вероятность того, что в течении 1 минуты обрыв произойдет менее 3 веретен.
Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Установить вероятность того, что магазин получит разбитых бутылок более двух.
Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Установить вероятность того, что магазин получит разбитых бутылок хотя бы одну.
Книга, изданная тиражом в 50000 экземпляров. Вероятность того, что в книге имеется дефект брошюровки равна 0,0001. Установить вероятность того, что тираж содержит менее двух неправильно сброшюрованных книг.
Книга, изданная тиражом в 50000 экземпляров. Вероятность того, что в книге имеется дефект брошюровки равна 0,0001. Установить вероятность того, что тираж содержит хотя бы одну неправильно сброшюрованную книгу.
Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течение часа равна 0,002. Установить вероятность того, что за час откажет хотя бы один элемент.
Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течение часа равна 0,002. Установить вероятность того, что за час откажут менее трех элементов.
Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течение часа равна 0,002. Установить вероятность того, что за час откажут более двух элементов.
Вероятность выживания бактерий после радиоактивного облучения равна 0,004. Установить вероятность того, что после облучения из 500 бактерий останется пять бактерий.
Вероятность выживания бактерий после радиоактивного облучения равна 0,004. Установить вероятность того, что после облучения из 500 бактерий останется более двух бактерий.
Вероятность появления бракованной детали равна 0,008. Установить вероятность того, что из 500 случайно отобранных деталей хотя бы одна окажется бракованной.

IV. В задачах 1 - 30 дано, что на тракторном заводе рабочий за смену изготовляет n деталей. Вероятность того, что деталь окажется первого сорта равна p. Какова вероятность, что деталей первого сорта будет m штук.

n = 400; p = 0,8; m = 330;
n = 400; p = 0,9; m = 372;
n = 400; p = 0,85; m = 340;
n = 400; p = 0,75; m = 340;
n = 400; p = 0,8; m = 350;
n = 300; p = 0,75; m = 240;
n = 300; p = 0,7; m = 250;
n = 300; p = 0,85; m = 272;
n = 300; p = 0,8; m = 260;
n = 300; p = 0,75; m = 255;
n = 600; p = 0,6; m = 375;
n = 600; p = 0,65; m = 400;
n = 600; p = 0,7; m = 425;
n = 600; p = 0,75; m =500;
n = 600; p = 0,7; m = 445;
n = 625; p = 0,64; m = 370;
n = 625; p = 0,8; m = 510;
n = 625; p = 0,7; m = 470;
n = 625; p = 0,75; m = 380;
n = 625; p = 0,8; m = 490;
n = 192; p = 0,75; m = 150;
n = 225; p = 0,8; m = 165;
n = 100; p = 0,9; m = 96;
n = 150; p = 0,6; m = 75;
n = 500; p = 0,65; m = 250;
n = 450; p = 0,7; m = 300;
n = 500; p = 0,75; m =350;
n = 300; p = 0,8; m = 240;
n = 100; p = 0,85; m = 85;
n = 450; p = 0,9; m = 350.

V. В задачах 1 - 30 дана вероятность p появления события А в каждом из n независимых испытаний. Пользуясь интегральной теоремой Лапласа, определить вероятность того, что в этих испытаниях событие А появится не менее m1 и не более m2 раза.

n = 150; p = 0,6; m1 = 78; m2 = 96;
n = 100; p = 0,8; m1 = 72; m2 = 84;
n = 400; p = 0,9; m1 = 345; m2 = 372;
n = 600; p = 0,4; m1 = 210; m2 = 252;
n = 300; p = 0,75; m1 = 210; m2 = 225;
n = 625; p = 0,36; m1 = 225; m2 = 255;
n = 400; p = 0,5; m1 = 190; m2 = 215;
n = 225; p = 0,2; m1 = 45; m2 = 60;
n = 300; p = 0,25; m1 = 75; m2 = 90;
n = 625; p = 0,64; m1 = 400; m2 = 430;
n = 100; p = 0,2; m1 = 80; m2 = 92;
n = 150; p = 0,4; m1 = 120; m2 = 138;
n = 400; p = 0,8; m1 = 225; m2 = 255;
n = 600; p = 0,6; m1 = 250; m2 = 292;
n = 300; p = 0,25; m1 = 210; m2 = 225;
n = 625; p = 0,6; m1 = 500; m2 = 550;
n = 100; p = 0,5; m1 = 55; m2 = 70;
n = 225; p = 0,8; m1 = 50; m2 = 65;
n = 300; p = 0,7; m1 = 210; m2 = 260;
n = 300; p = 0,3; m1 = 245; m2 = 295;
n = 400; p = 0,7; m1 = 350; m2 = 377;
n = 150; p = 0,5; m1 = 75; m2 = 100;
n = 200; p = 0,4; m1 = 100; m2 = 130;
n = 300; p = 0,6; m1 = 155; m2 = 175;
n = 600; p = 0,9; m1 = 520; m2 = 550;
n = 600; p = 0,8; m1 = 430; m2 = 480;
n = 225; p = 0,25; m1 = 130; m2 = 150;
n = 225; p = 0,45; m1 = 150; m2 = 175;
n = 100; p = 0,7; m1 = 70; m2 = 82;
n = 100; p = 0,4; m1 = 64; m2 = 79.

VI. В задачах 1 – 30 задан закон распределения случайной величины x. Установить: M (x); D (x); δ (x).

1.	x	23	25	28	29	15.	x	25	28	30	33
	p	0,3	0,2	0,4	0,1		p	0,2	0,1	0,5	0,2

2.	x	17	21	25	27	16.	x	56	58	60	64
	p	0,2	0,4	0,3	0,1		p	0,2	0,3	0,4	0,1

3.	x	24	26	28	30	17.	x	31	34	37	40
	p	0,2	0,2	0,5	0,1		p	0,3	0,5	0,1	0,1

4.	x	12	16	19	21	18.	x	17	20	23	27
	p	0,1	0,5	0,3	0,1		p	0,1	0,4	0,3	0,2

5.	x	25	27	30	32	19.	x	28	32	34	36
	p	0,2	0,4	0,3	0,1		p	0,1	0,2	0,2	0,5

6.	x	30	32	35	40	20.	x	35	39	42	46
	p	0,1	0,5	0,2	0,2		p	0,1	0,3	0,2	0,4

7.	x	12	14	16	20	21.	x	13	15	17	20
	p	0,1	0,2	0,5	0,2		p	0,2	0,2	0,2	0,4

8.	x	21	25	28	31	22.	x	50	52	54	59
	p	0,1	0,4	0,2	0,3		p	0,4	0,3	0,1	0,2

9.	x	60	64	67	70	23.	x	60	61	63	65
	p	0,1	0,3	0,4	0,2		p	0,1	0,4	0,1	0,4

10.	x	45	47	50	52	24.	x	11	13	15	16
	p	0,2	0,4	0,3	0,1		p	0,1	0,5	0,3	0,1

11.	x	46	49	51	55	25.	x	44	46	47	49
	p	0,2	0,3	0,1	0,4		p	0,5	0,2	0,1	0,2

12.	x	18	22	23	26	26.	x	26	27	29	31
	p	0,2	0,3	0,4	0,1		p	0,1	0,2	0,3	0,4

13.	x	78	80	84	85	27.	x	10	12	13	15
	p	0,2	0,3	0,1	0,4		p	0,2	0,2	0,2	0,2

14.	x	37	41	43	45	28.	x	73	75	77	80
	p	0,2	0,1	0,5	0,2		p	0,4	0,4	0,1	0,1

15.	x	25	28	30	33	29.	x	25	27	29	31
	p	0,1	0,2	0,4	0,3		p	0,1	0,5	0,1	0,3

						30.	x	52	54	55	57
							p	0,2	0,4	0,3	0,1

VII. 1. Случайная величина x задана функцией распределения

Определить вероятность того, что в результате испытания x примет значение, заключенное в интервале (0; 1).

2. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины x:

Определить функцию распределение F(x).

3. Случайная величина x задана функцией распределения

Определить вероятность того, что в результате испытания x примет значение, заключенное в интервале (2; 3).

4. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины x:

Определить функцию распределение F(x).

5. Случайная величина x задана функцией распределения

Определить вероятность того, что в результате испытания x примет значение, заключенное в интервале (0; ).

6. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины x:

Определить функцию распределение F(x).

7. Случайная величина x задана функцией распределения

Определить вероятность того, что в результате испытания x примет значение, заключенное в интервале (; 1).

8. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины x:

Определить функцию распределение F(x).

9. Случайная величина x задана функцией распределения на всей оси Ох

Определить вероятность того, что в результате испытания x примет значение, заключенное в интервале (0; 1).

10. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины x:

Определить функцию распределение F(x).

11. Случайная величина x задана функцией распределения

Определить вероятность того, что в результате испытания x примет значение, заключенное в интервале (1,6; 1,75).

12. Случайная величина задана плотностью распределения

Определить коэффициент а.

13. Дискретная случайная величина х задана таблицей распределения.

x	2	6	10
р	0,5	0,4	0,1

Определить функцию распределение F(x).

14. Задана плотность вероятности случайной величины x:

Определить, что в результате испытания х примет значение, принадлежащее интервалу (0,5; 1).

15. Дискретная случайная величина х задана законом распределения.

x	1	3	5
р	0,2	0,4	0,4

Определить функцию распределение F(x).

16. Плотность распределения непрерывной случайности величины х задана на всей оси Ох равенством:

Определить постоянный параметр С.

17. Дискретная случайная величина х задана законом распределения.

x	4	8	9
р	0,3	0,4	0,3

Определить функцию распределение F(x).

18. Плотность распределения непрерывной случайности величины х в интервале (0; ) равна вне этого интервала f(x) = 0. Определить постоянный параметр С.

19. Дискретная случайная величина х задана законом распределения.

x	2	3	7
р	0,4	0,5	0,1

Определить функцию распределение F(x).

20. Плотность распределения непрерывной случайности величины х задана в интервале (0; 1) равенством вне этого интервала f(x)=0. Определить постоянный параметр С.

21. Дискретная случайная величина х задана законом распределения.

x	1	3	6
р	0,3	0,2	0,5

Определить функцию распределение F(x).

22. Случайная величина задана функцией распределения

Определить плотность распределения f(х).

23. Дискретная случайная величина х задана законом распределения.

x	4	6	10
р	0,2	0,6	0,2

Определить функцию распределение F(x).

24. Случайная величина х задана функцией распределения

Определить плотность распределения f(х).

25. Дискретная случайная величина х задана законом распределения:

x	1	3	7
р	0,4	0,3	0,3

Вычертить график функции распределения F(x).

26. Случайная величина х задана функцией распределения

Определить плотность распределения f(х).

27. Дискретная случайная величина х задана законом распределения:

x	3	6	9
р	0,4	0,1	0,5

Вычертить график функции распределения F(x).

28. Случайная величина х задана функцией распределения

Определить вероятность того, что в результате испытания х примет значение, заключенное в интервале (1; 2).

29. Дискретная случайная величина х задана законом распределения:

x	3	5	7
р	0,6	0,1	0,3

Вычертить график функции распределения F(x).

30. Случайная величина х задана функцией распределения

Определить вероятность того, что в результате испытания х примет значение, заключенное в интервале (1,5; 2,5).

Литература

Сборник задач по теории вероятностей. Учебно-методическое пособие / Сост. Т.Г. Колесникова, М.В. Кокшарова, С.В. Миненко, Т.А. Сыркина. – Барнаул: Изд-во АГАУ, 2001. – 40 с.
Виленкин Н.Я., Потапов В.Г. Задачник – практикум по теории вероятностей с элементами комбинаторики и математической статистики. – Москва, «Просвещение», 1979.
Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. пособие для студентов вузов. Изд. 4-е, стер. М.: Высш. шк., 1997.
Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для студентов вузов. Изд. 4-е, стер. М.: Высш. шк., 1997.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Таблица 1.

Значение функции

X	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0,0	0,3989	3989	3989	3988	3986	3984	3982	3980	3977	3973
0,1	3970	3965	3961	3956	3951	3945	4939	4932	3925	3918
0,2	3910	3902	3894	3885	3876	3867	3857	3847	3836	3825
03	3814	3802	4790	4778	3765	3752	3739	3726	3712	3697
0,4	3683	3668	3653	3637	3621	3605	3589	3572	3555	3538
0,5	3521	3503	3485	3467	4448	3429	3410	3391	3372	3352
0,6	3332	3312	3292	3271	3251	3230	3209	3187	3166	3144
0,7	3123	3101	3079	4056	3034	ЗОИ	2989	2966	2943	2920
0,8	2897	2874	2850	2827	2803	2780	2756	2732	2709	2685
0,9	2661	2637	2613	2589	2565	2541	2516	2492	2468	2444
1,0	0,2420	2396	2371	2347	2323	2299	2275	2251	2227	2203
1,1	2179	2155	2131	2107	2083	2059	2036	2012	1989	1965
1,2	1942	1919	1895	1872	1849	1826	1804	1781	1758	1736
1,3	1714	1691	1669	1647	1626	1604	1582	1561	1539	1518
1,4	1497	1476	1456	1435	1415	1394	1374	1354	1334	1315
1,5	1295	1276	1257	1238	1219	1200	1182	1163	1145	1127
1,6	1109	1092	1074	1057	1040	1023	1006	0989	0973	0957
1,7	0940	0925	0909	0893	0878	0863	0848	0833	0818	0804
1,8	0790	0775	0761	0748	0734	0721	0707	0694	0681	0669
1,9	0656	0644	0632	0620	0608	0596	0584	0573	0562	0551
2,0	0,0540	0529	0519	0508	0498	0488	0478	0468	0459	0449
2,1	0440	0431	0422	15413	0404	0396	0387	0379	0371	0363
22	0355	0347	0339	0332	0325	0317	0310	0304	0297	0290
2,3	0283	0277	0270	0264	0258	0252	0246	0241	0235	0229
2,4	0224	0219	0213	0208	0203	0198	0194	0189	0184	0180
2,5	0175	0171	0167	0163	0158	0154	0151	0147	0143	0149
2,6	0136	0132	0129	0126	0122	0119	0116	0113	0110	0)07
2,7	0104	0101	0099	0096	0093	0091	0088	0086	0084	0081
2.8	00^9	0077	0075	0073	0071	0069	0067	0065	0064	0061
2,9	0060	0058	0056	0055	0053	0051	0050	0048	0047	0046
3,0	0,0044	0044	0042	0040	0039	0038	0037	0036	0035	0034
3,1	0033	0032	0031	0030	0029	0028	0027	0026	0025	0025
3,2	0024	0023	0022	0022	0021	0020	0020	0019	0018	0018
3,3	0017	0017	0016	0016	0015	0015	0014	0014	0013	0013
3,4	0012	0012	0012	0011	0011	0010	0010	0010	0009	0009
3,5	0009	0008	0008	0008	0008	0007	0007	0007	0007	0006
3,6	0006	0006	0006	0005	0005	0005	0005	0005	0005	0004
3,7	0004	0004	0004	0004	0004	0004	0003	0003	0003	0003
3,8	0004	0003	0003	0003	0004	0002	0002	0002	0002	0002
3,9	0002	0002	0002	0002	0002	0002	0002	0002	0001	0001

Таблица 2.

Значения функции

х	Ф(х)	х	Ф(х)	х	Ф(х)	х	Ф(х)
0,00	0,0000	0,40	0,1554	0,80	0,2881	1,20	0,3849
0,01	0,0040	0,41	0,1591	0,81	0,2910	1,21	03869
0,02	0,0080	0,42	0,1628	0,82	0,2939	1,22	0,3883
0,03	0,0120	0,43	0,1664	0,83	0,2967	1,23	0,3907
0,04	0,0160	0,44	0,1700	0,84	0,2995	1,24	0,3925
0,05	0,0199	0,45	0,1736	0,85	0,3023	1,25	0,3944
0,06	0,0239	0,46	0,1772	0,86	0,3051	1,26	0,3962
0,07	0,0279	0,47	0,1808	0,87	0,3078	1,27	03980
0,08	0,0319	0,48	0,1844	0,88	0,3106	1,28	0,3997
0,09	0,0359	049	01879	0,89	0,3133	1,29	0,4015
0,10	0,0398	0,50	0,1915	0,90	0,3159	1,30	04032
0,11	0,0438	0,51	0,1950	0,91	0,3186	1,31	0,4049
0,12	0,0478	0,52	0,1985	0,92	0,3212	1,32	0,4066,
0,13	00517	0,53	0,2019	0,93	0,3238	1,33	0,4082
0,14	0,0557	0,54	0,2054	0,94	0,3264	1,34	0,4099
0,15	0,0596	0,55	0,2088	0,95	0,3289	1,35	0,4115
0,16	0,0636	0,56	0,2123	0,96	0,3315	1,36	0,4131
0,17	0,0675	0,57	0,2157	0,97	0,3340	1,37	0,4147
0,18	0,0714	0,58	0,2190	0,98	0,3365	1,38	0,4162
0,19	0,0753	0,59	0,2224	0,99	0.3389	1,39	0,4177
0,20	0,0793	0,60	0,2257	1,00	0,3413	1,40	0,4192
0,21	0,0832	0,61	0,2291	1,01	0,3438	1,41	0,4207
0,22	0,0871	0,62	0,2324	1,02	0,3461	1,42	0,4222
0,23	0,0910	0,63	0,2357	1,03	0,3485	1,43	0,4236
0,24	0,0948	0,64	0,2389	1,04	0,3508	1,44	0,4251
0,25	0,0987	0,65	0,2422	1,05	0,3531	1,45	0,4265
0,26	0,1026	0,66	0,2454	1,06	0,3554	1,46	0,4279
0,27	0,1064	0,67	0,2486	1,07	0,3577	1,47	0,4292
0,28	0,1103,	0,68	0,2517	1,08	0,3599	1,48	0,4306
0,29	0,1141	0,69	0,2549	1,09	0,3621	1,49	0,4319
0,30	0,1179	0,70	0,2580	1,10	0,3643	1,50	0,4332
0,31	0,1217	0,71	0,2611	1,11	0,3665	1,51	0,4345
0,32	0,1255	0,72	0,2642	1,12	0,3686	1,52	0,4357
0,33	0,1293	0,73	0,2673	1,13	0,3708	1,53	0,4370
0,34	0,1331	0,74	0,2703	1,14	0,3729	1,54	0,4382
0,35	0,1368	0,75	0,2734	1,15	0,3749	1,55	0,4394
0,36	0,1406	0,76	0,2764	1,16	0,.3770	1,56	0,4406
0,37	0,1443	0,77	0,2794	1,17	0,3790	1,57	0,4418
0,38	0,1480	0,78	0,2823	1,18	0,3810	1,58	0,4429
0,39	0,151?	0,79	0,2852	1,19	0,3830	1,59	0,4441
1,60	0,4452	1,85	0,4678	2,20	0,4861	2,70	0,4965
1,61	0,4463	1,86	0,4686	2,22	0,4868	2,72	0,4967
1,62	0,4474	1,87	0,4693	2,24	0,4875	2,74	0,4969
1,63	0,4484	1,88	0,4699	2,26	0,4881	276	0,4971
1,64	0,4495	1,89	0,4706	2,28	0,4887	2,78	0,4973
1,65	0,4505	1,90	0,4713	2,30	0,4893	2,80	0,4974
1,66	0,4515	1,91	0,4719	2,32	0,4898	2,82	0,4976
1,67	0,4525	1,92	0,4726	2,34	0,4904	2,84	0,4977
1,68	0,4535	1,93	0,4732	2,36	0,4909	2,86	0,4979
1,69	0,4545	1,94	0,4738	2,38	0,4913	2,88	0,4980
1,70	0,4554	1,95	0,4744	2,40	0,4918	2,90	0,4981
1,71	0,4564	1,96	0,4750	2,42	0,4922	2,92	0,4982
1,72	0,4573	1,97	0,4756	2,44	0,4927	2,94	0,4984
1,73	0,4582	1,98	0,4761	2,46	0,4931	2,96	0,4985
1,74	0,4591	1,99	0,4767	2,48	0,4934	2,98	0,4986
1,75	0,4599	2,00	0,4772	2,50	0,4938	3,00	0,49865
1,76	0,4608	2,02	0,4783	2,52	0,4941	3,20	0,49931
1,77	0,4616	2,04	0,4793	2,54	0,4945	3,40	0,49966
1,78	0,4625	2,06	0,4803	2,56	0,4948	3,60	0,499841
1,79	0,4633	2,08	04812	2,58	0,4951	380	0,499928
1,80	0,4641	2,10	0,4821	2,60	0,4953	4,00	0,499968
1,81	0,4649	2,12	0,4830	2,62	0,4956	4,50	0,499997
1,82	0,4656	2,14	0,4838	2,64	0,4959	5,00	0,49999997
1,83	0,4664	2,16	0,4846	2,66	0,4961	∞	0,5
1,84	0,4671	2,18	0,4854	2,68	0,4963

1. Разведение дискусов за рубежом
2. маркетинг как часть общей системы маркетинга.html
3. Циклическое развитие экономики
4. темах безопасности их назначении свойствах возможности применения их для защиты собственного жилья Ка
5. 2 ЧАСА СтанцияПрибытиеСтоянкаОтправ
6. Назначение юриста в обществе
7. статьями 161 162 УК РФ Оглавление Введение3 Глава 1
8. Функционирование институтов полисной демократии невозможно без активного участия граждан в политике что п
9. Ожидания работника О основанные на сопоставлении затрат труда и результатов выполнения задания представл
10. по теме 7 Многомерный статистический анализ 1 При каком значении линейного коэффициента корреляции с

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе

1.	16.
2.	17.
3.	18.
4.	19.
5.	20.
6.	21.
7.	22.
8.	23.
9.	24.
10.	25.
11.	26.
12.	27.
13.	28.
14.	29.
15.	30.

1.	x	23	25	28	29	15.	x	25	28	30	33
	p	0,3	0,2	0,4	0,1		p	0,2	0,1	0,5	0,2

2.	x	17	21	25	27	16.	x	56	58	60	64
	p	0,2	0,4	0,3	0,1		p	0,2	0,3	0,4	0,1

3.	x	24	26	28	30	17.	x	31	34	37	40
	p	0,2	0,2	0,5	0,1		p	0,3	0,5	0,1	0,1

4.	x	12	16	19	21	18.	x	17	20	23	27
	p	0,1	0,5	0,3	0,1		p	0,1	0,4	0,3	0,2

5.	x	25	27	30	32	19.	x	28	32	34	36
	p	0,2	0,4	0,3	0,1		p	0,1	0,2	0,2	0,5

6.	x	30	32	35	40	20.	x	35	39	42	46
	p	0,1	0,5	0,2	0,2		p	0,1	0,3	0,2	0,4

7.	x	12	14	16	20	21.	x	13	15	17	20
	p	0,1	0,2	0,5	0,2		p	0,2	0,2	0,2	0,4

8.	x	21	25	28	31	22.	x	50	52	54	59
	p	0,1	0,4	0,2	0,3		p	0,4	0,3	0,1	0,2

9.	x	60	64	67	70	23.	x	60	61	63	65
	p	0,1	0,3	0,4	0,2		p	0,1	0,4	0,1	0,4

10.	x	45	47	50	52	24.	x	11	13	15	16
	p	0,2	0,4	0,3	0,1		p	0,1	0,5	0,3	0,1

11.	x	46	49	51	55	25.	x	44	46	47	49
	p	0,2	0,3	0,1	0,4		p	0,5	0,2	0,1	0,2

12.	x	18	22	23	26	26.	x	26	27	29	31
	p	0,2	0,3	0,4	0,1		p	0,1	0,2	0,3	0,4

13.	x	78	80	84	85	27.	x	10	12	13	15
	p	0,2	0,3	0,1	0,4		p	0,2	0,2	0,2	0,2

14.	x	37	41	43	45	28.	x	73	75	77	80
	p	0,2	0,1	0,5	0,2		p	0,4	0,4	0,1	0,1

15.	x	25	28	30	33	29.	x	25	27	29	31
	p	0,1	0,2	0,4	0,3		p	0,1	0,5	0,1	0,3

						30.	x	52	54	55	57
							p	0,2	0,4	0,3	0,1

1.	16.
2.	17.
3.	18.
4.	19.
5.	20.
6.	21.
7.	22.
8.	23.
9.	24.
10.	25.
11.	26.
12.	27.
13.	28.
14.	29.
15.	30.

1.	x	23	25	28	29	15.	x	25	28	30	33
	p	0,3	0,2	0,4	0,1		p	0,2	0,1	0,5	0,2

2.	x	17	21	25	27	16.	x	56	58	60	64
	p	0,2	0,4	0,3	0,1		p	0,2	0,3	0,4	0,1

3.	x	24	26	28	30	17.	x	31	34	37	40
	p	0,2	0,2	0,5	0,1		p	0,3	0,5	0,1	0,1

4.	x	12	16	19	21	18.	x	17	20	23	27
	p	0,1	0,5	0,3	0,1		p	0,1	0,4	0,3	0,2

5.	x	25	27	30	32	19.	x	28	32	34	36
	p	0,2	0,4	0,3	0,1		p	0,1	0,2	0,2	0,5

6.	x	30	32	35	40	20.	x	35	39	42	46
	p	0,1	0,5	0,2	0,2		p	0,1	0,3	0,2	0,4

7.	x	12	14	16	20	21.	x	13	15	17	20
	p	0,1	0,2	0,5	0,2		p	0,2	0,2	0,2	0,4

8.	x	21	25	28	31	22.	x	50	52	54	59
	p	0,1	0,4	0,2	0,3		p	0,4	0,3	0,1	0,2

9.	x	60	64	67	70	23.	x	60	61	63	65
	p	0,1	0,3	0,4	0,2		p	0,1	0,4	0,1	0,4

10.	x	45	47	50	52	24.	x	11	13	15	16
	p	0,2	0,4	0,3	0,1		p	0,1	0,5	0,3	0,1

11.	x	46	49	51	55	25.	x	44	46	47	49
	p	0,2	0,3	0,1	0,4		p	0,5	0,2	0,1	0,2

12.	x	18	22	23	26	26.	x	26	27	29	31
	p	0,2	0,3	0,4	0,1		p	0,1	0,2	0,3	0,4

13.	x	78	80	84	85	27.	x	10	12	13	15
	p	0,2	0,3	0,1	0,4		p	0,2	0,2	0,2	0,2

14.	x	37	41	43	45	28.	x	73	75	77	80
	p	0,2	0,1	0,5	0,2		p	0,4	0,4	0,1	0,1

15.	x	25	28	30	33	29.	x	25	27	29	31
	p	0,1	0,2	0,4	0,3		p	0,1	0,5	0,1	0,3

						30.	x	52	54	55	57
							p	0,2	0,4	0,3	0,1

1.	16.
2.	17.
3.	18.
4.	19.
5.	20.
6.	21.
7.	22.
8.	23.
9.	24.
10.	25.
11.	26.
12.	27.
13.	28.
14.	29.
15.	30.

1.	x	23	25	28	29	15.	x	25	28	30	33
	p	0,3	0,2	0,4	0,1		p	0,2	0,1	0,5	0,2

2.	x	17	21	25	27	16.	x	56	58	60	64
	p	0,2	0,4	0,3	0,1		p	0,2	0,3	0,4	0,1

3.	x	24	26	28	30	17.	x	31	34	37	40
	p	0,2	0,2	0,5	0,1		p	0,3	0,5	0,1	0,1

4.	x	12	16	19	21	18.	x	17	20	23	27
	p	0,1	0,5	0,3	0,1		p	0,1	0,4	0,3	0,2

5.	x	25	27	30	32	19.	x	28	32	34	36
	p	0,2	0,4	0,3	0,1		p	0,1	0,2	0,2	0,5

6.	x	30	32	35	40	20.	x	35	39	42	46
	p	0,1	0,5	0,2	0,2		p	0,1	0,3	0,2	0,4

7.	x	12	14	16	20	21.	x	13	15	17	20
	p	0,1	0,2	0,5	0,2		p	0,2	0,2	0,2	0,4

8.	x	21	25	28	31	22.	x	50	52	54	59
	p	0,1	0,4	0,2	0,3		p	0,4	0,3	0,1	0,2

9.	x	60	64	67	70	23.	x	60	61	63	65
	p	0,1	0,3	0,4	0,2		p	0,1	0,4	0,1	0,4

10.	x	45	47	50	52	24.	x	11	13	15	16
	p	0,2	0,4	0,3	0,1		p	0,1	0,5	0,3	0,1

11.	x	46	49	51	55	25.	x	44	46	47	49
	p	0,2	0,3	0,1	0,4		p	0,5	0,2	0,1	0,2

12.	x	18	22	23	26	26.	x	26	27	29	31
	p	0,2	0,3	0,4	0,1		p	0,1	0,2	0,3	0,4

13.	x	78	80	84	85	27.	x	10	12	13	15
	p	0,2	0,3	0,1	0,4		p	0,2	0,2	0,2	0,2

14.	x	37	41	43	45	28.	x	73	75	77	80
	p	0,2	0,1	0,5	0,2		p	0,4	0,4	0,1	0,1

15.	x	25	28	30	33	29.	x	25	27	29	31
	p	0,1	0,2	0,4	0,3		p	0,1	0,5	0,1	0,3

						30.	x	52	54	55	57
							p	0,2	0,4	0,3	0,1