Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Р о з д і л 9
Довгі лінії
До сих пір ми мали справу з різноманітними перетвореннями над сигналами які відбувалися в електричних колах з зосередженими параметрами (див розділ 1). Основними законами електричних кіл були закони Кірхгофа.
Проте окрім задачі обробки сигналів іншою основною задачею радіоелектроніки є передача сигналів на відстані. Відстані можуть бути значними, а отже умова квазістаціонарності не буде виконуватися. У таких системах необхідно брати до уваги той факт, що явища накопичення та перетворення електромагнітної енергії мають місце у просторі навколо провідників, а також у самих провідниках, а самі системи називаються системами з розподіленими параметрами.
Найбільш поширеною системою з розподіленими параметрами є довга лінія. Довгі лінії знаходять широке застосування у радіотехніці в якості фідерів (to feed – передавати) для передачі енергії від передавача до антени і від антени до приймача, а їх відрізки в якості коливальних контурів діапазону надзвичайно високих частот.
Найпростішими із них є двопровідна лінія, що складається із двох паралельно розташованих циліндричних провідників (рис.9.1,а). та коаксіальна лінія, що складається із двох коаксіально розташованих провідних циліндрів різного діаметру (рис.9.1,б)
Процес поширенні електромагнітних хвиль вздовж такої лінії передачі можна вивчати з допомогою двох методів.
Перший метод базується на використанні рівнянь Максвела. Безпосереднє застосування рівнянь Максвела до аналізу процесів у лініях передачі - дуже складна задача і нею можна скористатися лише в окремих конкретних випадках.
Як приклад розглянемо коаксіальний кабель без втрат. Коаксіальна лінія передачі складається із внутрішнього провідного циліндру радіуса та зовнішньої провідної циліндричної оболонки радіуса (рис.9.2). Із-за циліндричної симетрії рівняння Максвела дають наступні вирази для координат векторів електричного та магнітного полів у такій системі [ ]:
,
.
З іншої боку та пов’язані між собою законами Фарадея та Ампера
.
Якщо підключити початкові та граничні умови то у принципі цих двох рівнянь достатньо щоб аналізувати поведінку електромагнітного поля у коаксіальній лінії передачі.
Скористаємося наближенням квазістаціонарності і знайдемо напругу між внутрішньою і зовнішньою циліндричними поверхнями
,
та струм , що тече по внутрішньому циліндру
.
Введемо для коаксіальної лінії передачі погонну індуктивність
( Гн/м)
та погонну ємність
(Ф/м).
Якщо взяти до уваги погонні параметри коаксіальної лінії передачі та то рівняння () та () набувають форми
.
Останні два рівняння із змінними та і погонними параметрами та відомі як хвильові рівняння для ліній передачі без втрат.
Отже у квазістаціонарному наближенні найважливіші характеристики електромагнітних хвиль ( та ) трансформовані у такі інтегральні поняття як напруга та струм , з використанням наступних співвідношень
, ,
а також впроваджені погонні параметри лінії передачі та .
У випадку більш складних ліній передачі задача на основі рівнянь Максвела точно не розв’язується. Тому в електроніці високих частот застосовують спрощення, а саме: із фізичних міркувань відразу вводять погонні параметри лінії передачі і будують еквівалентну схему. Аналіз процесів у еквівалентній схемі здійснюють на основі методів розвинутих у теорії кіл із зосередженими параметрами
Детально зупинимося на цьому другому методі аналізуючи процеси у двопровідній лінії передачі.
Телеграфні рівняння.
При використанні рівнянь Кірхгофа для аналізу процесів у довгій лінії відрізок довгої лінії довжиною замінюють еквівалентною схемою з параметрами , , , . Проте замість нескінченно малих , , , зручніше мати справу з погонними параметрами, розрахованими на одиницю довжини:- погонна індуктивність;- погонний опір; - погонна ємність; - погонна провідність. Якщо погонні параметри не змінюються вздовж лінії то така лінія називається однорідною
Для двопровідної лінії виготовленої з міді у припущенні, що має місце поверхневий ефект, геометричні розміри якої показані на рис.9.3 , погонні параметри наступні:
(Гн/м),
(Ф/м),
(Ом/м).
У останній формулі - у сантиметрах, - у герцах.
Для знаходження струму та напруги у довільній точці лінії розглянемо нескінченно малий елемент лінії , віддалений від її початку на відстані (рис.9.4,а). Еквівалентна схема такого відрізку показана на рис.9.4,б. Розкладемо у ряд Тейлора прирости напруги та струму:
З іншого боку для еквівалентної схеми (рис.9.4,б) на основі законів Кірхгофа:
.
Прирівнявши праві частини співвідношень (),(),() та () отримаємо
,
.
Ці рівняння записані у частинних похідних оскільки і струм і напруга залежать як від часу так і від координати . Отримані рівняння мають назву телеграфних рівнянь , оскільки вони були отримані ще на початку 19-го сторіччя У. Томсоном (лорд Кельвін) для аналізу процесів у телеграфних лініях. З допомогою цих рівнянь можна аналізувати як перехідний так і усталений режим у довгій лінії. До речі, якщо у телеграфних рівняннях покласти та (а така лінія називається лінією без втрат) то телеграфні рівняння співпадають з хвильовими рівняннями () та () отриманими на основі рівнянь Максвела.
Теорема Пойтінга.
Помножимо () на , а () на і складемо їх
.
Отримане співвідношення і є теорема Пойтінга яка підтверджує справедливість закону збереження енергії у кожній точці лінії передачі у будь яку мить часу. Для лінії без втрат рівняння () набуває форми:
.
Хвилі у довгій лінії.
Переконаємося у тому, що рівняння () та () описують плоску хвилю напруги та струму, що поширюється у напрямку і зростання координати . Для спрощення розглянемо лінію без втрат і припустимо, що у кожній точці між напругою та струмом має місце наступне співвідношення . Саме аналогічне співвідношення випливає з рівнянь Максвела для плоских поперечних електромагнітних хвиль як у вільному просторі так і у направляючих (спрямовуючих) системах, а величина називається хвильовим опором. Якщо взяти до уваги вище згадані припущення то рівняння () () набувають форми
,
.
Скористаємося операторним методом при нульових початкових умовах, що відповідає підключенню лінії до джерела коли та . Застосуємо перетворення Лапласа до лівої та правої частин рівняння ()
,
Тут - зображення від , тобто .
Розв’язок операторного рівняння дає зображення напруги , причому стала інтегрування є зображенням напруги, що прикладається до початку лінії . Тому зображення напруги у довільній точці лінії буде наступним . З допомогою теореми про запізнення знаходимо оригінал напруги у довільній точці довгої лінії (тут швидкість). Цей вираз показує, що збудження на початку лінії у довільній точці з’являється із запізненням на час поширення причому форма збудження зберігається. Саме така властивість притаманна хвилі.
Аналогічну форму має і хвиля струму
.
Розв’язок рівнянь такого типу легко отримати шляхом розділення змінних. Наприклад, для рівняння () запишемо - . Тоді рівняння () розпадається на два рівняння - і , розв’язок яких добре відомий:
та . Отже
.
Аналогічно для струму –
.
Оскільки відношення і не залежить від часу то повинна виконуватись рівність . Звідки хвильовий опір лінії –
. Запишемо вираз () у звичній формі (тут ) і підставивши у рівняння () отримаємо дисперсійне рівняння
.
Звідки знаходимо фазову швидкість поширення хвилі :
.
Для коаксіальної лінії передачі - .
Відбита хвиля . Коефіцієнт відбиття.
Нехай до лінії скінченої довжини з одного боку приєднаний резистор , а з іншого у мить часу підключається джерело напруги (див. рис.). Для зручності перенесемо початок координат у кінець лінії.
В подальшому, на рисунках, лінію передачі будемо позначати двома широкими лініями де струм і напруга поширюються з швидкістю (). Для приєднання лінії до інших елементів кола будемо використовувати тонкі лінії.. Швидкість поширення хвиль на тонких лініях будемо вважати нескінченою, так що їх довжину не слід брати до уваги. При підключені до початку лінії джерела напруги через час хвиля досягне кінця лінії. І на резисторі навантаження почне виділятися енергія, швидкість виділення якої характеризується потужністю . У той же час з лінії надходить потужність . І очевидно , що окрім випадку , у кінці лінії порушується закон збереження енергії. Щоб врятувати закон збереження енергії поряд з падаючою хвилею у лінії вводять відбиту від навантаження хвилю. Позначимо напругу відбитої хвилі як і для зручності змінимо позначення у прямій хвилі - . Тоді потужність, що надходить у навантаження -
,
а потужність, що споживається навантаженням
.
Прирівнюючи вирази ( врятований закон збереження) отримаємо значення коефіцієнту відбиття на навантаженні.
.
Стаціонарний режим у довгій лінії при гармонічному збудженні.
Хвильові параметри лінії.
У стаціонарному стані при гармонічному збудженні напруга та струм у будь якій точці лінії змінюються за законом
.
Для аналізу процесів у лінії скористаємося методом комплексних амплітуд, при цьому:, та .
А телеграфні рівняння у комплексній формі набувають вигляду:
,
.
Тут : - комплексний опір поздовжньої вітки еквівалентної схеми відрізка довгої лінії; - провідність поперечної вітки.
Знайдемо з рівняння () і підставимо у () , а з рівняння () знайдемо і підставимо у () після чого отримаємо
,
.
Отримали два лінійних диференціальних рівняння другого порядку. Рівняння однакові отже і розв’язок однаковий , різні лише сталі інтегрування. Загальний розв’язок для та наступний:
,
,
тут - коефіцієнт поширення. Оскільки і пов’язані між собою співвідношеннями () та () то сталі інтегрування та можна виразити через та :
, ,
тут - хвильовий опір лінії. Параметри та називаються хвильовими параметрами лінії або вторинними на відміну від первинних (погонних) параметрів та . Щоб зрозуміти чому саме хвильові параметри, перейдемо від комплексної амплітуди до реальної напруги у довгій лінії:
=.
Перший доданок описує поширення хвилі у напрямку , причому амплітуда цієї прямої хвилі по мірі зростання згасає (множник ). Другий доданок , відбита хвиля, описує поширення хвилі у напрямку . Фазова швидкість поширення обох хвиль
,
де - хвильове число (аналог хвильового вектора у теорії поширення хвиль).
Аналогічно можна переконатися і у існуванні двох хвиль струму.
Таким чином при інтерпретації розподілу напруги та струму вздовж довгої лінії зручно мати справу з комплексними амплітудами напруги та струму прямої хвилі та аналогічними величинами та для відбитої хвилі.. Причому відношення комплексних амплітуд напруги до струму у прямій хвилі у будь якій точці довгої лінії дорівнює хвильовому опору, тобто
.
Аналогічно -
.
Скористаємося граничними умовами.
І знаходимо сталі інтегрування
, .
Після чого –
З допомогою рівнянь () () можна знайти комплексні амплітуди струму та напруги у довільній точці лінії по відомим комплексним амплітудам напруги та струму у точці .
Якщо лінія у кінці навантажена на імпеданс то зручно користуватися іншою системою координат , початок якої знаходиться у кінці лінії, а напрямок зростання протилежний напрямку зростання координати (див. рис. ). Очевидно, що між координатами старої та нової системи має місце наступний зв’язок: . Тому у новій координатній системі :
.
А якщо взяти до уваги граничні умови на навантаженні (та ), то отримаємо співвідношення для комплексних амплітуд напруги та струму у довільній точці довгої лінії:
,
.
Якщо лінію обмежити довжиною ,тобто у рівняннях () та () покласти , то отримаємо зв’язок між вхідними (на початку лінії, з індексом 1) та вихідними ( у кінці лінії, з індексом 2) величинами:
.
Оскільки отримані рівняння по формі співпадають з рівняннями симетричного чотириполюсника , то лінію довжини можна замінити симетричним чотириполюсником з мірою передачі та характеристичним опором , рівним хвильовому опору лінії,. Із останніх рівнянь можна легко визначити А-параметри чотириполюсника, еквівалентного лінії.
Коефіцієнт відбиття.
Відношення комплексних амплітуд напруг відбитої хвилі до падаючої у довільній точці довгої лінії називається комплексним коефіцієнтом відбиття за напругою :
.
Тут - коефіцієнт відбиття на навантаженні, який у загальному випадку є комплексним числом.
Аналогічно вводиться коефіцієнт відбиття за струмом:
.
Очевидно, що .
Розподіл напруги та струму у довгій лінії можна записати через коефіцієнт відбиття:
або з урахуванням граничних умов на навантаженні
.
Лінія без втрат. Лінія без спотворень.
Лінія , для якої виконуються умови та , називається лінією без втрат. Для такої лінії , звідки та , а . Тобто коефіцієнт поширення є чисто уявним числом, хвильовий опір – дійсне число, а швидкість поширення хвиль не залежить від частоти Амплітуди хвиль по мірі поширення у такій лінії не змінюються. Оскільки для лінії без втрат , то модуль коефіцієнту відбиття у довільній точці залишається незмінним і рівним модулю коефіцієнту відбиття на навантаженні, а
гіперболічні функції у () перетворюються у тригонометричні:
.
Лінія для якої виконується умова Хевісайда
називається лінією без спотворень. Знайдемо хвильові параметри для такої лінії:
=,
.
Отже , , а хвильовий опір чисто активний і рівний хвильовому опору лінії без втрат. Фазова швидкість поширення хвиль для лінії без спотворень теж не залежить від частоти і дорівнює .
Режими роботи довгої лінії.
Умови поширення хвиль у довгих лініях у значній мірі залежать від опору навантаження, а отже і коефіцієнта відбиття. Для спрощення аналізу та наочності отриманих результатів будемо розглядати лінію без втрат, для якої коефіцієнт відбиття за напругою - . Оскільки напруга та струм на навантаженні пов’язані між собою співвідношенням то формули розподілу комплексних амплітуд напруги та струму () та () перетворяться у наступні:
,
.
У залежності від значення модуля коефіцієнта відбиття можливі такі три режими хвиль у довгій лінії:
1) режим бігучої хвилі ( - нема відбиття від навантаження);
2) режим стоячої хвилі ( - повне відбиття від навантаження);
3) режим змішаних хвиль ( - часткове відбиття від навантаження).
Режим бігучої хвилі.
Режим бігучої хвилі можливий у двох випадках: 1) у нескінченно довгій лінії; 2) у лінії, що навантажена на опір, рівний хвилевому. Перший випадок представляє чисто теоретичний інтерес, тому зупинимося на другому.
Якщо то і згідно () та ()
, .
Перейдемо до миттєвих значень напруги та струму
,
,
де - початкові фази напруги та струму у кінці лінії.
Згідно з (), напруга та струм у лінії зображають собою хвилю з постійною амплітудою що поширюється у напрямку протилежному напрямку зростання координати , тобто до навантаження (падаюча хвиля).
Лінія, що навантажена на хвильовий опір, називається узгодженою.
Режим бігучої хвилі має практичне значення для передачі енергії, наприклад від передавача радіостанції до антени. Переваги цього режиму такі: а) при відсутності оберненої хвилі вся потужність прямої хвилі поглинається навантаженням; б) незалежність амплітуд напруги та струму від частоти забезпечує відсутність спотворень, що вносяться лінією при передачі сигналів; в) реальній лінії притаманні втрати, і при неузгодженому режимі втрати будуть проявлятися як на параметрах падаючої так і відбитої хвиль, тому узгоджена лінія володіє мінімальними втратами.
Режим стоячої хвилі.
Режим стоячої хвилі має місце у випадку, коли лінія у кінці розімкнена , короткозамкнена або опір навантаження чисто реактивний.
Якщо лінія розімкнена то і , а
, .
Від комплексних амплітуд () перейдемо до миттєвих значень
, ..
З аналізу рівнянь () можна зробити наступні висновки:
1) у кожному перерізі лінії струм та напруга змінюються за гармонічним законом, але струм випереджає напругу за фазою на . Це означає, що енергія у лінії не поглинається.
2) Амплітуди струму і напруги змінюються вздовж лінії за законом і .Це означає, що у точках лінії де (тут ) амплітуда струму дорівнює нулю. Ці точки називаються вузлами струму. У точках лінії, де має місце , амплітуда струму максимальна (пучності). Подібним чином веде себе і напруга.
Така картина виникає за рахунок інтерференції падаючої та відбитої хвиль.
3) Місця розташування вузлів напруги відповідають пучностям струму і навпаки (рис.). На розімкненому кінці лінії має місце пучність напруги і вузол струму.
Якщо лінія короткозамкнена то і . У цьому випадку напруга випереджає за фазою струм на . Картина розподілу амплітуд буде аналогічною попередньому випадку , тільки у кінці лінії буде вузол напруги і пучність струму.
Випадок чисто реактивного навантаження розглянути самостійно.
Режим змішаних хвиль.
На практиці навантаження може мати будь-який характер (комплексний або чисто активний), що не задовольняє умові погодженості. У цьому випадку має місце змішаний режим роботи лінії, коли існує падаюча та відбита хвилі.
Нехай навантаженням служить резистор з опором . Тоді , а (тут ).
Отже комплексні амплітуди напруги та струму у лінії приймають вид
.
Звідси для дійсних амплітуд напруги та струму маємо
.
Нехай , тобто . Графіки розподілу амплітуд напруги та струму вздовж довгої лінії показані на рисунку . Характерною особливістю цих кривих є наявність точок, де напруги і струми набувають екстремальних значень. Розташування максимумів та мінімумів можна знайти шляхом дослідження на екстремум виразів () та (). Проте простіше це зробити скориставшись рівняннями () та () , з яких випливає: ,
.
Очевидно, що амплітуда напруги набуває максимального значення у точках де буде максимальним підкореневий вираз у (). Оскільки при - , то це має місце при , звідки . Мінімум напруги спостерігається у точках .
Максимуми струму спостерігаються у точках мінімальної напруги, а мінімуми – у точках максимальної напруги. Причому:
, ,, .
У лініях, підключених до довільного комплексного навантаження, також існує режим змішаних хвиль. Оскільки коефіцієнт відбиття у таких випадках є комплексним числом, то, наприклад, для амплітуди напруги, замість () матимемо:
,
тут - фаза комплексного коефіцієнта відбиття. Тому положення екстремальних точок у таких випадках буде іншим. Наприклад , максимальна напруга буде спостерігатися у точка - .
Коефіцієнт відбиття безпосередньо виміряти не можна. Тому вимірюють максимальну і мінімальну напруги і визначають коефіцієнт стоячої хвилі (КСХ) :
.
За відомим КСХ знаходять коефіцієнт відбиття за формулою
.
КСХ змінюється у межах від 1 до .
Часто замість КСХ використовують коефіцієнт бігучої хвилі (КБХ):
.
КБХ змінюється у межах від 0 до 1.
Таким чином , якщо поміряти розподіл напруги чи струму у лінії передачі, то можна розрахувати як модуль, так і фазу коефіцієнта відбиття, а потім за формулою () знайти значення опору навантаження. Такі вимірювання широко використовуються у техніці надвисоких частот. Для цього виготовляються спеціальні прилади – вимірювальні лінії, в яких за допомогою рухомого зонду, що переміщується вздовж лінії, вимірюється розподіл у ній струму чи напруги, а потім за допомогою відповідних перерахунків знаходять величини, що характеризують розповсюдження хвиль у лінії.
Самостійно проаналізувати випадок з .
Чому такий режим називається режимом змішаних хвиль? Тому що розподіл комплексних амплітуд напруги та струму можна подати у вигляді суперпозиції падаючої та стоячої хвиль. Насправді , комплексні амплітуди () можна привести до виду
У цих рівностях перші доданки відповідають бігучій, а другі – стоячій хвилі.
Вхідний опір довгої лінії.
Розглянемо лінію довжиною з хвилевим опором навантажену на (рис.). У загальному випадку вхідний імпеданс () такої лінії передачі визначається формулами () та (), якщо у них покласти і взяти до уваги, що на навантаженні :
.
Як випливає з () вхідний імпеданс залежить як від параметрів лінії так і від імпедансу навантаження . І, окрім випадку (коли ), ця залежність складна.
Для лінії без втрат:
.
Величина називається електричною довжиною лінії передачі.
Розглянемо окремі випадки.
1. ( режим повного погодження). При цьому .
2. Довжина лінії складає ціле число півхвиль: , де . У цьому випадку , і тому .
3. Довжина лінії складає непарне число чверті хвилі: , , і . Якщо, наприклад, (коротке замикання), то , якщо ж лінія розімкнена у кінці (), то .
4. Лінія на кінці замкнена (), тоді , а . Зміна вхідного імпедансу короткозамкненої на кінці лінії показана на рис. а.
5. Лінія на кінці розімкнена ():,. Залежність від довжини розімкненої на кінці лінії показана на рис. б.
У останніх двох випадках вхідний імпеданс чисто реактивний і у залежності від довжини лінії може набувати будь-яких значень – від до . Це означає, що короткозамкненим або розімкненим на кінці відрізком можна моделювати індуктивні котушки та конденсатори, параметри яких змінюються у широких межах. Більше того можна провести аналогію між відрізком довгої лінії і одиночним коливальним контуром. Ця аналогія базується на характері зміни повного опору і умовно відображена на рис. , де у екстремальних значень відображена відповідна схема контуру. У контурах побудованих на відрізках довгих ліній вдається отримати значно більші значення добротності
, ніж у контурів із зосередженими параметрами ( досягає 10000 а інколи і більших значень)
Застосування відрізків довгої лінії.
Лінію без втрат довжиною часто використовують в якості проміжного елементу для узгодження режиму роботи іншої лінії і навантаження не рівного хвильовому опору лінії. При безпосередньому приєднанні лінії з хвильовим опором до навантаження (рис.) з у лінії поряд з бігучою хвилею буде існувати і відбита і лише частина потужності від генератора буде передаватись у навантаження. Для погодження основної лінії з навантаженням між ними вмикають відрізок лінії довжиною з хвилевим опором . Тоді вхідний опір чверть хвилевого відрізка навантаженого на визначається наступною формулою
. І якщо покласти то основна лінія буде узгоджена. Для цього необхідно мати лінію з хвилевим опором з якої і виготовляється відрізок.. У такому випадку відрізок лінії без втрат довжиною називають чверть хвилевим трансформатором , оскільки з його допомогою опір навантаження ніби то перетворюється (трансформується) у опір лінії.
При комплексному навантаженні знаходять переріз на віддалі від кінця лінії, у якому вхідна провідність . Зверніть увагу на те, що у цьому перерізі активна складова вхідної провідності повинна бути величиною оберненою хвильовому опору лінії. До точок підключають короткозамкнений шлейф (шлейф Татарінова) і підбирають його довжину так, щоб його вхідна провідність компенсувала реактивну складову провідності (рис.). Тоді ділянка лінії передачі, що розташована зліва від точок , буде навантажена хвилевим опором і, отже, у лінії буде мати місце режим погодження.
Значний вхідний опір короткозамкненого відрізка лінії довжиною дає можливість використати його в якості елемента кріплення для двопровідної лінії передачі (рис.). Слід звернути увагу на те, що як чверть хвилевий трансформатор, шлейф Татарінова так і елемент кріплення виконують свої функції лише на певній частоті, на яку вони розраховані (інколи говорять, що це елементи ’’резонансного’’ типу).
Штучні лінії.
Строгий аналіз електромагнітних процесів у лініях передачі можна здійснити лише за допомогою рівнянь Максвела. Проте у квазістаціонарному наближені елемент довгої лінії без втрат довжиною (рис.) ми замінили на комбінацією поздовжньої індуктивної котушки індуктивністю та поперечного конденсатора ємністю . Потім скористалися законами Кірхгофа, і спрямувавши отримали телеграфні рівняння, розв’язок яких і описує розподіл напруги та струму вздовж довгої лінії.
У радіоелектроніці поряд з довгими лініями використовуються штучні лінії побудовані на елементах із зосередженими параметрами, а фізичний розмір таких комірок має скінчену довжину (див. рис.). Для більш детального розгляду процесів у штучній лінії кожну із комірок доцільно подати у вигляді симетричного П-подібного чотириполюсника (рис.)
Оскільки чотириполюсники, що утворюють штучну лінію симетричні і з’єднані каскадно то
та ,
тут - коефіцієнт фази.
З іншої сторони на основі законів Кірхгофа:
,
.
Виключаючи із рівнянь () і () та отримаємо одну із форм дисперсійного рівняння
,
де - .
Графічно дисперсійна залежність показана на рис.
Якщо , то , або . Точно такий набіг фази на довжині може створити хвиля, хвильове число якої задовольняє умові . На рис. такій залежності відповідають прямі лінії. Причому верхній знак відповідає хвилі що поширюється у напрямку зростання координати а нижній знак відповідає хвилі, що поширюється у протилежному напрямку. Отже стандартна форма дисперсійного співвідношення у низькочастотному діапазоні має такий вигляд:
,
де та - індуктивність та ємність штучної ліній на одиницю довжини (погонні параметри). Таким чином штучна лінія виготовлена із конденсаторів ємністю та індуктивних котушок індуктивності у низькочастотному діапазоні поводить себе як довга лінія з погонними параметрами .та . Зокрема фазова швидкість поширення хвиль у такій лінії становить , а хвилевий опір чисто активний і дорівнює . Для порівняння знайдемо фазову швидкість електромагнітних хвиль у коаксіальній лінії передачі з та і у штучній лінії з параметрами :м, Гн, Ф. Для коаксіальної лінії - м/с. Для штучної лінії - м/с. Тому штучну лінію можна використовувати у якості лінії затримки.
У високочастотному діапазоні (при ) фазовий набіг повинен бути комплексним числом, тобто , і дисперсійне рівняння () набуває форми
.
Звідки
.
Розв’язок цих рівнянь дає та . Напруга на виході комірки штучної лінії
.
Множник вказує на те , що при проходженні комірки штучної лінії амплітуда хвилі згасає, інший множник описує фазовий зсув від комірки до комірки. Отже високочастотні хвилі () затухають, а низькочастотні () поширюються без ослаблень.
У високочастотному діапазоні () при та
.
Враховуючи, що ,
.
Тому дисперсійне співвідношення () набуває форми
.
Характерною особливістю дисперсійного відношення () є нелінійна залежність між та . Це означає, що із зміною частоти змінюється і фазова швидкість поширення хвиль, тобто .
У випадку модульованого сигналу кожна із гармонік поширюється із своєю фазовою швидкістю і тому з часом змінюється відстань між гармоніками , що відбивається на зміні параметрів сигналу вздовж лінії передачі. Лінії передачі для яких називаються лініями передачі з дисперсією. Для таких ліній окрім фазової швидкості вводиться поняття групової швидкості. Розглянемо один із традиційних варіантів доведення, де з’являється поняття групової швидкості.
Нехай до початку лінії передачі з дисперсією підводиться амплітудно-модульоване коливання з подавленою несучою, тобто при
.
Якщо спектральна густина модулюючого сигналу дорівнює , тобто , то тоді на основі теореми про модуляцію
.
Оскільки лінія без втрат має наступний коефіцієнт передачі , то спектральна густина сигналу у довільній точці лінії
.
Скористаємося оберненим перетворенням Фур’є для знаходження сигналу
+
.
Для знаходження двох останніх інтегралів у явному вигляді скористаємося наступними припущеннями: - вузькосмуговий сигнал, і, ширина його спектру значно менше від частоти несучого коливання (). У першому інтегралі різницю позначимо через , а розкладемо в ряд і обмежимося членами другого і вище порядків малості - . Тоді
, а
У другому інтегралі - частина спектральної густини, що зосереджена у області від’ємних частот поблизу частоти , тому доцільно покласти . Тоді , ,
а =
.
Отже
=
=.
Як видно із () несуче коливання поширюється із фазовою швидкістю , а обвідна низькочастотного сигналу зберігає свою форму , проте з’являється у точці із деяким запізненням , причому , тобто запізнення зумовлене швидкістю яка і називається груповою швидкістю. Отже
.
Рис.9.
Рис.9.
Рис.9. 4
Рис.9.