Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
«Элементы и приборы наноэлектроники»
Планы практических занятий по курсу «Элементы и приборы наноэлектроники»
Модуль 1. Сверхпроводниковая электроника
Семинар 1. Предмет и задачи курса. Методы и способы кодирования информации в физических системах.
Наноэлектроника – область науки, которая изучает электронные приборы с характерными размерами L, лежащими в нанометровой области (1 – 100 нм):
1 нм = 10-9м = 10-3мкм= 10Ǻ = 10-7см
1 Ǻ = 10-8см = 10-10м - ангстрем
Создание таких приборов стало возможным в связи с успехами в развитии техники и технологии (нанотехнологии). С физической точки зрения эта область размеров интересна тем, что такой же порядок величины имеют длина волны де-Бройля λдБ носителей заряда (электронов и дырок) и длина сбоя фазы Lφ (расстояние, которое проходит носитель заряда без изменения фазы волновой функции, определяется длиной свободного пробега при неупругом рассеянии). Следовательно в приборах с такими размерами должна проявляться квантовая природа носителей заряда. При L~ λдБ необходимо учитывать размерное квантование, а при L~Lφ - интерференционные эффекты при транспорте носителей заряда. Поскольку λдБ~<E>-1\2, а Lφ~vτφ, где <E> и v – средняя энергия и скорость носителей заряда, соответственно, то в металлах Lφ> λдБ, а в полупроводниках Lφ<λдБ. Наноэлектроника тесно связана с мезоскопикой – разделом физики, изучающим свойства объектов промежуточных размеров между микроскопическими (размер атомов и молекул) и макроскопическими (объемные тела) размерами. Первоначально основным объектом исследования мезоскопики были металлические системы, в которых длина сбоя фазы Lφ может существенно превышать границу нанообласти (100 нм=0,1 мкм). Таким образом характерный размер, при котором начинают проявляться квантовые эффекты и граница нанообласти, строго говоря, не совпадают.
Исторически сложилось, что к предмету наноэлектроники относят все приборы независимо от их характерных размеров, работа которых основана на квантовых эффектах. Этим обстоятельством традиционная наноэлектроника отличалась от традиционной электроники или микроэлектроники, основанной на транзисторах, принцип действия которых определяется классическими процессами диффузии и дрейфа. В последние годы в связи со стремительным прогрессом (закон Мура) микроэлектроники характерные размеры транзисторов преодолели субмикронный рубеж и достигли размеров нескольких десятков нанометров. Поэтому традиционная микро-электроника (электроника приборов с характерными размерами порядка микрометра – мкм), фактически, превратилась в нано-электронику. Квантовые эффекты при этом также проявляются (утечки по затвору, туннельный пробой, прямое туннелирование сток-исток и др.), но, как правило, играют роль паразитных эффектов, сопутствующих уменьшению размеров приборов и увеличению быстродействия и степени интеграции. Сам же принцип работы транзистора остается неизменным и вполне классическим. Таким образом в настоящее время сосуществуют традиционная наноэлектроника (часто говорят CMOS-наноэлектроника, подчеркивая ведущую роль CMOS-технологии) и наноэлектроника на квантовых эффектах. Последняя и служит предметом изучения данного курса.
В квантовой механике частица описывается зависящей от координат волновой функцией. Значения волновой функции в различных точках пространства согласованы (когерентны) друг с другом и определяются решением дифференциального уравнения Шредингера. Пространственный масштаб когерентности волновой функции и определяет характерные размеры прибора и устройства, на которых проявляются квантовые эффекты. Важно, что существуют особые конденсированные состояния – макроскопические когерентные состояния, в которых когерентность частиц и, соответственно, квантовые свойства сохраняются на больших (макроскопических) расстояниях. К их числу относятся сверхтекучесть и сверхпроводимость. Поэтому приборы сверхпроводниковой электроники тоже традиционно относят к предмету наноэлектроники.
Разноообразие приборов наноэлектроники определяется многообразием способов представления информации в физических системах. При этом в качестве физического носителя информации можно использовать следующие характеристики физической системы:
Как известно существуют аналоговый (непрерывный) и цифровой (дискретный) способы представления информации. В настоящее время наиболее эффективным считается цифровой метод обработки и преобразования информации. Физические характеристики классических систем изменяются непрерывным образом. При этом в классических приборах дискретность состояний достигается специальной конструкцией базовых элементов (ячейки памяти, триггеры), включающей, как правило, несколько компонентов (транзисторов). Существенно, что дискретность состояний (дискретность проекции спина на заданную ось, дискретные уровни размерного квантования, квантование потока в сверхпроводящих кольцах, дискретность устойчивых конфигураций сложных молекул) – фундаментальное свойство квантовых систем, которое делает их перспективными для непосредственного использования в цифровых информационных системах.
Семинар 2. Краткая характеристика основных разделов наноэлектроники.
В настоящее время в состав наноэлектроники принято включать (Technology Roadmap for Nanoelectronics, 2001) следующие направления, основанные на специальных физических эффектах и явлениях:
Данное направление основывается на физическом явлении кулоновской блокады туннелирования (Рис 1), когда перенос заряда через туннельный переход малой емкости носит дискретный характер (по одному электрону) и возможен только при превышении напряжения на переходе некоторого критического значения.
Рис 1. ВАХ туннельного перехода в режиме кулоновской блокады.
В сверхпроводниковых приборах используются, в основном, два ярких квантовых эффекта – квантование потока в замкнутом сверхпроводящем контуре и эффект Джозефсона в туннельном контакте двух сверхпроводников. Эти эффекты, а также их различные сочетания позволили создать большое многообразие как аналоговых (датчики магнитного поля, стандарты напряжения), так и цифровых (цифровые интегральные схемы) приборов. Сверхпроводящие устройства рассматриваются также как перспективная элементная база квантовых компьютеров.
Явление резонансного туннелирования частиц можно представить как квантовомеханический аналог прохождения света через интерферометр Фабри-Перо. Из квантовой механики известно, что вероятность перехода электрона E через потенциальный барьер высотой U0, которая выражается через коэффициент прозрачности , представляет собой монотонно растущую функцию энергии, которая всегда меньше единицы при E<U0. Для двухбарьерной системы (см. рис. ниже) ситуация изменяется качественно. При некоторой энергии E0 имеет место резонанс с максимумом коэффициента прозрачности как функции энергии. Для симметричных барьеров величина коэффициента прозрачности в максимуме строго равна единице. При дальнейшем повышении энергии от резонанса прозрачность сначала падает, а потом возрастает аналогично случаю с одним барьером.
U0
E0
E
U0
0
E0
1
T
Зависимость тока, который определяется интегралом по энергии от скорости умноженной на коэффициент прозрачности, от напряжения, изменяющего энергию налетающих частиц относительно высоты барьера, также представляет собой функцию с максимумом. Такая вольт-амперная характеристика (ВАХ) называется N-образной и характеризуется наличием области отрицательного дифференциального проводимости, когда . Резонансно-туннельная структура, включенная в электрическую цепь, представляет собой двухполюсный прибор – резонансно-туннельный диод (РТД). РТД отличаются исключительно высоким быстродействием. Кроме того, существенная нелинейность ВАХ РТД позволяет с его помощью создавать электрические схемы, выполняющие те же функции, что транзисторные схемы, содержащие гораздо больше элементов. В настоящее время наиболее отработанными технологиями получения резонансно-туннельных структур служат технологии молекулярно-пучковой и газовой эпитаксии полупроводниковых гетероструктур.
Молекулярная электроника – обширная область исследований, включающая разработку способов построения электронных устройств на основе молекулярных блоков и создание новых материалов для электроники, которые могли бы стать альтернативой кремнию. Значительный импульс этому направлению придало открытие проводящих органических полимеров. В некоторых областях (органические светоизлучающие диоды – OLED) полученные результаты уже превышают характеристики соответствующих твердотельных аналогов. Теоретической основой молекулярной электроники служат методы квантовой химии, основанные на квантово-механических расчетах из первых принципов (ab initio) – метод Хартри-Фока, теория функционала плотности, метод функций Грина и др., которые следует также рассматривать как общетеоретический фундамент для наноэлектроники в целом.
Спинтроника – бурно развивающееся направление, исследующее возможность и способы создания приборов, основанных на управлении спином частиц. Наиболее значительное на сегодняшний день достижение спинтроники – открытие гигантского магнитосопротивления и создания на этой основе нового поколения твердотельных устройств хранения информации. Широко обсуждается возможность создания спинового полевого транзистора, в котором области стока и истока поляризованы по спину, а проводящие свойства канала определяются ориентацией спина носителей заряда. Спином носителей можно управлять с помощью внешнего магнитного поля, а не электрического напряжения. Такое управление носит локальный характер и не требует глобальной перестройки потенциального рельефа прибора, что должно привести к увеличению его быстродействия. В качестве перспективного материала спинтроники рассматриваются мультиферроики, в которых сосуществуют магнитное и электрическое (сегнетоэлектрическое) упорядочения.
В силу значительной степени самостоятельности спинтроника – единственный раздел наноэлектроники, который остается за рамками данного курса.
Семинар 3. Сверхпроводимость и сверхпроводники. История открытия сверхпроводников. Основные виды сверхпроводниковых материалов. Понятие сверхпроводников I и II рода.
Сверхпроводимость относится к числу наиболее фундаментальных физических явлений. Поэтому, чтобы разобраться в принципах работы сверхпроводящих приборов и устройств требуется более детально, чем в стандартном курсе физики твердого тела, ознакомиться с физической сущностью этого явления.
Сверхпроводимость было открыто в 1911 г. в Нидерландах, в г. Лейдене в лаборатории под руководством профессора Камерлинга-Оннеса. Главной предпосылкой этого открытия послужило то, что в 1908 г. в этой же лаборатории впервые в мире научились получать жидкий гелий (He) с Тк=4,2К. Лаборатория оставалась монополистом в области получения жидкого гелия до 1923 года, когда эта технология была освоена также Канаде (в СССР – в 1932 г. В Харькове). Впервые сверхпроводимость наблюдалась в ртути (Hg). На рисунке приведен график зависимости сопротивления ртути от температуры. Сопротивление скачком обращается в нуль при температуре равной критической Т=Тс.
T=4,15K
T0, K
ρ
Годом позже была открыта сверхпроводимость свинца и олова. Область науки, связанная со сверхпроводимостью довольно быстро развивалась, но прогресс в повышении критической температуры был незначительный:
|
Элемент |
Тк, К |
|
V(ванадий) |
5,4 |
|
Nb |
9,25 |
|
Nb3Sn |
18 |
|
Nb3Ge |
23 |
До 1987г:
В 1987 году произошел качественный скачок, связанный с открытием. высокотемпературной сверхпроводимости (ВТСП). В 1986г. швейцарские физики Беднорц и Мюллер (сотрудники филиала фирмы IBM в г. Цюрихе) обнаружили способность керамики на основе оксидов меди, лантана и бария (La1-xBaxCuO4), при x=0,025 переходить в сверхпроводящее состояние при 34К. Кроме того, было обнаружено, что с ростом давления Тс увеличивается. Используя этот факт, в феврале 1987 г. профессор университета г. Хьюстона (Техас, США) Чу и др. синтезировали сверхпроводящую керамику из оксидов бария, иттрия и меди YBa2Cu3O7-x с критической температурой 93К, то есть выше точки кипения жидкого азота. Кристаллические структуры этих соединений подобны, но ионный радиус Y меньше, чем La, что приводит к сокращению всех расстояний в структуре, т.е. к эффекту аналогичному действию внешнего давления. Отличительной особенностью большинства известных ВТСП служит наличие плоскостей CuO2. Рекорд на данный момент принадлежит структуре HgBa2Ca2Cu3O8 (Hg-1223), проявляющая сверхпроводящие свойства уже при температуре в 135К. Среди материалов, не содержащих медно-кислородных плоскостей, максимальной температурой (Tc=39K) обладает диборид магния MgB2.
В 1933 г. был открыт эффект Мейсснера-Оксенфельда: в объеме сверхпроводника магнитное поле равно нулю .
Для понимания свойств сверхпроводников эффект Мейсснера-Оксенфельда даже более важен, чем равенство нулю сопротивления. В первом случае (в магнитном поле) мы имеем дело с термодинамически равновесной системой, в то время, как во втором случае (в электрическом, вызывающем ток) – с неравновесной системой.
Из определения магнитной индукции получим:
Для описания сверхпроводника в магнитном поле можно воспользоваться термодинамическими соотношениями и вычислить работу источника магнитного поля, совершаемую при включении магнитного поля Н. В результате находим, что энергия сверхпроводника в магнитном поле выше, чем в отсутствие поля:
FS0 – плотность свободной энергии сверхпроводника в нулевом магнитном поле, FSH - плотность свободной энергии сверхпроводника в ненулевом магнитном поле. При температуре ниже критической в отсутствие магнитного поля энергия сверхпроводящего состояния ниже энергии нормального состояния
При достижении величины магнитного некоторой критической (Hс - критическое магнитное поле) энергии сверхпроводящего и нормального состояний сравниваются.
В точке перехода:
.
Исходя из этого определения критическое магнитное поле обращается в нуль при температуре равной критической. График зависимости критического магнитного поля от температуры имеет вид:
T
Нс
сверхпроводник
По своему поведению в магнитном поле все сверхпроводники делятся на две группы: сверхпроводники I и II рода.
Сверхпроводник I рода в виде длинного прямого стержня в магнитном поле параллельном оси стержня при достижении полем величины критического поля скачком переходит в нормальное состояние. Данное поведение иллюстрирует следующий рисунок:
Нc
Н
-
Сверхпроводник I-го рода
S
n
В образце сложной формы картина не такая простая. Из-за выталкивания магнитного поля из образца вследствие эффекта Мейсснера вблизи участков поверхности с положительной кривизной происходит сгущение силовых линий магнитного поля.
Вблизи таких участков напряженность магнитного поля может оказаться больше критической при том, что напряженность внешнего поля – меньше критической. В результате магнитное поле проникает в сверхпроводник I рода и он переходит в неоднородное промежуточное состояние, представляющее собой сеть чередующихся областей сверхпроводниковой и нормальной фазы, граница которых всегда параллельна полю. Поле в нормальной фазе всегда равно . Размер и форма сверхпроводящих и нормальных областей определяются размером и формой образца, а также величиной внешнего магнитного поля, т.е носит неуниверсальный характер.
Для тела, которое можно представить как частный случай эллипсоида вращения (шар, стержень, диск) собственное магнитное поле образца на границе связано с намагничением образца соотношением:
Где n – фактор размагничивания и в сверхпроводниках .
Для цилиндра, параллельного полю n=0. Для цилиндра, перпендикулярного полю n=1/2. Для шара n=1/3 и на его экваторе имеем:
Таким образом при - магнитное поле проникает в шарообразный сверхпроводник I и он находится в промежуточном состоянии.
Поведение в магнитном поле сверхпроводников II рода носит более сложный характер. Как впервые показал А.А.Абрикосов на основе анализа уравнений Гинзбурга-Ландау, при некотором поле Hc1, называемом нижним критическим полем, магнитное поле начинает проникать в сверхпроводящий образец в виде тонких нитей, вокруг оси которых циркулирует сверхпроводящий ток подобно потоку газа или жидкости в вихре.
Нc1
Нc2
Нc
Н
-
Вихри Абрикосова
(смешанное состояние)
Сверхпроводник II -го рода
Структура этих вихрей и их пространственное распределение в виде треугольной решетки носит универсальный характер во всех сверхпроводниках II рода, а сами вихри получили название абрикосовских вихрей. При дальнейшем увеличении магнитного поля концентрация вихрей плавно увеличивается, пока сверхпроводящая фаза не исчезает полностью при верхнем критическом поле Hс2.
Различие сверхпроводников I и II рода связано с различными свойствами границы раздела между сверхпроводящей и нормальной фазами в этих сверхпроводниках. В сверхпроводнике I плотность поверхностной энергии σ>0, а в сверхпроводнике II рода σ<0.
Важную информацию предоставляет температурная зависимость теплоемкости.
Tc
T
Сv
С понижением температуры при температуре сверхпроводящего перехода теплоемкость скачком увеличивается, а затем экспоненциально убывает с понижением температуры. Экспоненциальная зависимость от температуры при низких температурах свидетельствует о наличии щели в спектре элементарных возбуждении сверхпроводника.
Семинар 4. Термодинамика сверхпроводников. Теорема Нернста. Энтропия сверхпроводящего состояния. Теплоемкость сверхпроводников. Фазовые переходы I и II рода.
Основываясь на известных экспериментальных фактах о поведении сверхпроводника в магнитном поле и температурной зависимости теплоемкости, рассмотрим термодинамику сверхпроводящего состояния.
Прежде всего запишем известные соотношения для энтропии и теплоемкости:
,
Как мы уже показали:
,
откуда немедленно следует
Данное соотношение позволяет сделать важные выводы:
Если же переход в сверхпроводящее состояние происходит при понижении температуры в фиксированном поле 0<H<Hс или при понижении магнитного поля при фиксированной температуре T<Tс, то это фазовый переход I-го рода ().
Для теплоемкости сверхпроводников имеем следующее выражение:
При Т=Тс, Fn=Fs0, Hс=0 и для скачка теплоемкости (на графике выделен красным цветом) получаем соотношение
,
Известное как формула Рутгерса.
Tc
T
Сv
Семинар 5. Электродинамика сверхпроводников. Теория Лондонов (1-е и 2-е уравнения Лондонов). Эффект Мейсснера. Отличие сверхпроводника от идеального проводника. Промежуточное состояние в сверхпроводниках II-го рода. Понятие критического тока в сверхпроводниках.
Первой феноменологической (описывающей макроскопические свойства, но не претендующий на объяснение их микроскопической природы) теорией сверхпроводимости стала двухжидкостная модель братьев Лондонов предложенная ими в 1935 г. В этой модели предполагается, что электронная жидкость в сверхпроводнике при температуре ниже критической состоит из двух компонент – нормальной и сверхпроводящей. Нормальная жидкость подчиняется обычному закону Ома, а сверхпроводящая – протекает по кристаллу без трения и ее движение описывается уравнениями механики для движения во внешнем поле в отсутствие столкновений.
Пусть n – полная концентрация частиц, nn - концентрация нормальных частиц, ns- концентрация сверхпроводящих частиц.
При Т=Тс ns=0, nn=n, ,
При Т=0 ns= n, nn=0,
1-e уравнение Лондонов (вытекает из II-го закона Ньютона ):
, ,
В стационарном состоянии (). Следовательно из I уравнения Лондонов получаем, что электрическое поле в сверхпроводнике равно нулю (). В общем случае (свободная) энергия системы представляет собой сумму кинетической и потенциальной энергий:
Для кинетической энергии с помощью уравнения Максвелла получим следующее выражение:
= ,
Где введен новый коэффициент размерности длины
.
– это параметр, определяющий глубину проникновения магнитного поля в материал (см. ниже), и его принято называть лондоновской длиной. Выражение для магнитной энергии имеет обычный вид:
.
В результате для полной энергии сверхпроводника получаем следующее выражение:
,
где – это энергия сверхпроводника при нулевом магнитном поле (H=0).
Распределение магнитного поля должно удовлетворять условию минимума (равенство нулю вариационной производной):
От H перейдем к H+, получим
При выводе мы учли определение вариационной производной
,
и правила изменения порядка следования векторных производных, следующих из тензорной записи ротора
Из условия равенства нулю вариации энергии при произвольных вариациях магнитного поля следует 2-e уравнение Лондонов
Теперь покажем, что из 2-го уравнения Лондонов вытекает эффект Мейсснера. С помощью известной формулы анализа
и с учетом , получаем следующее уравнение для распределения магнитного поля в образце
,
откуда - магнитное поле затухает в сверхпроводнике на глубине .
jy
Hz
х
х
Физически, механизм эффекта Мейсснера связан с тем, что вблизи поверхности протекает незатухающий ток (мейcснеровский), который экранирует поле. Ток и поле затухают на расстоянии от края образца.
, .
Идеальный проводник и сверхпроводник.
Как уже упоминалось, нулевое сопротивление и эффект Мейсснера – это два независимых свойства сверхпроводников, которые не сводятся одно к другому, т.е. сверхпроводимость не сводится к идеальной проводимости. Действительно, нетрудно показать, что условия недостаточно для того, чтобы магнитное поле в объеме сверхпроводника равнялось нулю :
,
Если вещество в состоянии с идеальной проводимостью поместить в магнитное поле, то в соответствии с законом Ленца будут возникнут токи, экранирующие это поле. В идеальном проводнике токи не затухают и, на первый взгляд, мы имеем картину, аналогичную эффекту Мейсснера. Однако, если несколько изменить опыт и поместить образец в нормальном состоянии в магнитное поле, а потом, охладив, перевести его в состояние с идеальной проводимостью, то магнитный поток через образец не изменится и токи не наведутся. Более того, если теперь выключить магнитное поле то в силу закона Ленца в идеальном образце наведутся незатухающие токи, которые обеспечат сохранение магнитного потока и магнитного поля в образце, т.е. мы получим картину диаметрально противоположную эффекту Мейсснера – образец, сохраняющий магнитный поток в отсутствие внешнего магнитного поля.
Критический ток в сверхпроводниковой проволоке.
Достаточно сильное магнитное поле переводит сверхпроводник в нормальное состояние. При этом поле может быть создано как внешним током, так и током, протекающим в самом сверхпроводнике. Рассмотрим сверхпроводящую проволоку радиуса а, через которую протекает ток I.
a
I
Интегрируя уравнение Максвелла по площади сечения проволоки
,
используя теорему Стокса, находим связь полного тока и магнитного поля на поверхности проволоки:
При достижении полем величины критического сверхпроводящая часть проволоки вблизи поверхности переходит в нормальное состояние. Ток, при котором достигается критическое значение магнитного поля на поверхности проволочки называется критическим током.
– критический ток.
Полностью перейти в нормальное состояние проволока не может, поскольку в этом случае ток будет распределен равномерно по сечению и напряженность магнитного поля на раcстоянии b (b<a) от оси проволоки, которая определяется током, текущим внутри сечения радиуса b станет меньше критической. Таким образом внешняя часть проволоки находится в нормальном состоянии, а внутренняя часть радиуса R – в промежуточном состоянии.
I
R
a
Сверхпроводящие
области
Величина R определяется из условия, что на границе области напряженность магнитного поля равна критической
Ток, текущий в центральной части проволоки, меньше критического. Оставшаяся часть тока Ic-I1 протекает в приповерхностной нормальной области. Для поддержания этого тока в нормальной области возникает электрическое поле, направленное по оси проволоки. При этом внутренняя часть проволоки находится именно в промежуточном состоянии (ячеистая структура на рисунке) и не может быть целиком сверхпроводящей, поскольку в противном случае источник напряжения, создающий электрическое поле в нормальной области, окажется замкнут через сверхпроводник.
Криотрон.
Первый электронный прибор, который был предложен на основе сверхпроводимости, - криотрон. Принцип его действия заключается в том, что под влиянием магнитного поля, создаваемого внешним управляющим током, сверхпроводящий элемент (проволочка) может переходить в нормальное состояние. Рассмотрим сверхпроводящую проволоку с навитым на нее соленоидом, через который пропускается управляющий ток I`. Пусть соленоид содержит N витков. Тогда поле внутри соленоида равно:
Критическая величина поля достигается при значении управляющего тока равном:
Учитывая, что собственный критический ток сверхпроводящей проволоки равен:
получим для коэффициента усиления по току:
Однако при увеличении N увеличивается индуктивность и, следовательно, увеличивается время переключения. Даже для одновитковой катушки τ>10-5 с. Поэтому более эффективной оказалась конструкция криотрона в виде двух пересекающихся под прямым углом полосков. Для полосковой конструкции
Семинар 6-7. Теория Гинзбурга-Ландау. Понятие параметра порядка и функционал Гинзбурга-Ландау. Физический смысл корреляционной длины. Уравнения Гинзбурга-Ландау. Критическое магнитное поля и лондоновская глубина проникновения в теории Гинзбурга-Ландау. Энергия границы раздела и сверхпроводники I и II рода. Вычисление верхнего критического магнитного поля в теории Гинзбурга-Ландау. Поверхностное критическое магнитное поле. Квантование магнитного потока.
Теория Гинзбурга-Ландау – макроскопическая теория, описывающая макроскопические свойства сверхпроводников. В основе лежит теория фазовых переходов 2-го рода, при которых изменение физических свойств системы происходит непрерывным образом. Ключевое понятие этой теории – понятие параметр порядка, который характеризует изменения симметрии при переходе. Вблизи температуры фазового перехода параметр порядка можно считать малой величиной и разложить свободную энергию в ряд по параметру порядка. Равновесное состояние системы определяется из условия минимума свободной энергии (равенства нулю вариационной производной функционала свободной энергии по параметру порядка). В ферромагнетиках роль параметра порядка играет вектор намагниченности M, в сегнетоэлектриках (ферроэлектриках) – вектор электрической поляризации P. В.Л Гинзбург и Л.Д. Ландау предложили при описании сверхпроводников в качестве параметра порядка рассматривать – волновую функцию сверхпроводящего конденсата, квадрат модуля которой определяет плотность сверхпроводящего конденсата.
Запишем выражение для функционала свободной энергии сверхпроводника где плотность свободной энергии, в виде разложения по степеням параметра порядка и его производной:
Здесь
Выражение для функционала имеет совершенно общий вид и применимо для описания свойств любого сверхпроводника. В этом и заключается эффективность феноменологического подхода. Вся информация о свойствах конкретного материала содержится в конкретных значениях коэффициентов функционала. После создания микроскопической теории сверхпроводимости были предложены процедуры вывода выражений для коэффициентов функционала свободной энергии из микроскопических моделей, содержащих информацию о свойствах конкретных материалов.
Рассмотрим однородную ситуацию, то есть H=0 => B=0
Условие минимума свободной энергии дает:
Таким образом для выигрыша в свободной энергии системы при переходе в сверхпроводящее состояние находим:
.
Поскольку , то мы можем выразить критическое магнитное поле через параметры функционала Гинзбурга-Ландау.
Пусть теперь . В этом случае минимум свободной энергии следует находить относительно вариации как по параметру порядка, так и по магнитному полю (вектор-потенциалу). Для вариации функционала при вариации параметра порядка имеем:
,
откуда находим условие равновесия (равенство нулю вариационной производной):
Полученное уравнение называется 1-м уравнением Гинзбурга-Ландау:
При изменении порядка интегрирования в выражении для вариации функционала возникает поверхностный интеграл, Условие обращения этого интеграла в нуль приводит к граничному условию:
Индекс n означает нормальную компоненту к поверхности.
Рассмотрим вариацию по вектор-потенциалу.
Выражение, стоящее в квадратных скобках должно равняться нулю:
С учетом уравнения Максвелла:
получаем 2-е уравнение Гинзбурга-Ландау, которое представляет собой выражение для сверхпроводящего тока:
При практических расчетах удобно переписать в переменных плотности сверхпроводящего конденсата и фазы параметра порядка:
где параметры материала. С учетом того, что пространственным изменением модуля параметра порядка можно часто пренебречь, получим следующее выражение для тока:
Покажем, что из 2-го уравнения Гинзбурга-Ландау следует существование эффекта Мейсснера. Возьмем ротор от обеих частей уравнения:
что с учетом уравнения Максвелла можно переписать как:
Раскрывая двойной ротор по формуле двойного векторного произведения с учетом
получим дифференциальное уравнение для определения пространственного распределения поля в образце:
где мы ввели новый параметр размерности длины
В такой записи уравнение для поля и выражение для параметра λ формально совпадают, соответственно, с полученными ранее в рамках модели Лондонов уравнением, описывающим эффект Мейсснера, и определением лондоновской глубины проникновения магнитного поля. Существенно, однако, что теперь мы можем связать параметр, характеризующий эффект Мейсснера с параметрами материала, информация о которых содержится в значениях коэффициентов функционала Гинзбурга-Ландау:
Корреляционная длина.
Перейдем в 1 уравнении Гинзбурга-Ландау к безразмерным величинам Для этого поделим во всех уравнениях на , где - равновесное значение параметра порядка, которое реализуется в объеме сверхпрводника (т.е. далее под понимаем ):
здесь:
- корреляционная длина параметра порядка
- квант магнитного потока
- лондоновская глубина проникновения
Рассмотрим границу сверхпроводящей и нормальной фаз. Пусть в сверхпроводнике поле равно нулю, а в нормальной фазе оно может быть и отлично от нуля (такой случаю, как показано ниже, соответсвует сверхпроводнику 1 рода). Уравнение для параметра порядка имеет вид:
Для решения, которое в объеме сверхпроводника соответствует равновесному значению Ψ=1, имеем
Параметр определяется из граничного условия, вид которого зависит от деталей структуры границы. Таким образом из полученного решения следует, что физический смысл корреляционной длины – это характерный пространственный масштаб, на котором происходит изменение модуля параметра порядка.
s
х
Энергия границы раздела.
Рассмотрим границу сверхпроводящей и нормальной фаз. При этом пусть нормальная фаза образовалась в результате действия магнитного поля. Введем параметр
равный отношению лондоновской глубины проникновения к корреляционной длине. Покажем, что величина этого параметра определяет знак поверхностной энергии границы сверхпроводящей и нормальной фаз и тип сверхпроводника. Знак поверхностной энергии определяется балансом энергии сверхпроводящей конденсации и магнитной энергии. При увеличении корреляционной длины увеличивается размер области, в которой значение параметра порядка меньше равновесного, а следовательно уменьшается выигрыш в энергии сверхпроводящей конденсации, т.е. увеличение корреляционной длины в целом ведет к проигрышу в энергии границы раздела фаз. При увеличении лондоновской глубины проникновения увеличивается размер области проникновения магнитного поля, а следовательно уменьшается проигрыш в энергии магнитного поля, связанный с эффектом Мейсснера, т.е. увеличение лондоновской глубины проникновения в целом ведет к выигрышу в энергии границы раздела. Таким образом в случае поверхностная энергия будет положительной, поскольку доминирует проигрыш в энергии, связанный с большой корреляционной длиной. Такой сверхпроводник будет сверхпроводником 1 рода. В случае , наоборот, энергия границы раздела будет отрицательной, так доминирует выигрыш в энергии, связанный с большой глубиной проникновения, и такой сверхпроводник – сверхпроводник 2 рода.
S
N
S
N
Вычисление в теории Гинзбурга-Ландау.
Рассмотрим сверхпроводник в сильном магнитном со значением близким к Hc2 . Вблизи Hc2 параметр порядка можно считать малым и в 1 уравнении Гинзбурга-Ландау пренебречь кубическим членом. Вернемся к ненормированным величинам. Пренебрегая кубическими членами близи перехода запишем уравнение Гинзбурга-Ландау:
нетрудно заметить, что в таком виде уравнение Гинзбурга-Ландау похоже на уравнение Шредингера для свободного электрона в магнитном поле:
которое, в свою очередь, сводится к уравнению Шредингера для квантового осциллятора с хорошо известным из стандартного курса квантовой механики решением:
Уравнение Гинзбурга-Ландау переходит в уравнение Шредингера для электрона в магнитном поле при следующей замене:
При фиксированном H, чем больше по абсолютной величине параметр , тем «сильнее» сверхпроводимость (тем больше амплитуда параметра порядка). Минимальное значение модуля α при котором еще возможно существование сверхпроводимости, т.е. еще возможно существование ненулевого решения линеаризованного уравнения Гинзбурга-Ландау для параметра порядка, соответствует минимальному значению энергии магнитного осциллятора. При фиксированном α сверхпроводимость (ненулевое решение уравнения Гинзбурга-Ландау) может существовать, только если минимальная энергия магнитного осциллятора меньше модуля α. Равенство этих величин определяет верхнее критическое поле Hc2
Теперь у нас имеются выражения через параметры функционала Гинзбурга-Ландау как для критического поля Hc , так и для верхнего критического поля Hc2. Из графика зависимости наведенного магнитного момента сверхпроводника от внешнего магнитного поля следует, что
Нc1
Нc2
Нc
Н
-
Для отношения критического и верхнего критического магнитного полей имеем:
таким образом существует четкая граница, разделяющая сверхпроводники различного типа:
- сверхпроводник II-го рода
- сверхпроводник I-го рода
Выше мы рассматривали формально бесконечный образец, в котором поле зарождение сверхпроводимости при понижении магнитного поля ниже Hc2 происходит в объеме образца. Можно показать, что в сверхпроводнике II рода конечных размеров, помещенном в сильное магнитное поле, зарождение сверхпроводимости происходит вблизи поверхности образца и происходит это при поле Hc3, превышающем поле Hc2 . Наличие поверхности требует задания граничного условия при решении дифференциального уравнения Гинзбурга-Ландау и соответствующего ему уравнения для магнитного осциллятора. При этом минимальное значение энергии магнитного осциллятора при фиксированной температуре (фиксированном α) определяет максимальное магнитное поле, при котором возможно существование сверхпроводимости. Таким образом, чем меньше минимальное значение энергии магнитного осциллятора, тем больше критическое значение магнитного поля:
Граничное условие для сверхпроводящего параметра порядка вблизи границы с воздухом имеет вид: . Решение соответствующего уравнения для магнитного осциллятора можно получить, воспользовавшись аналогом метода изображений в электростатике. Потенциальная энергия осциллятора как функция координаты имеет вид параболы, которая с одной стороны ограничивается поверхностью. Рассмотрим вспомогательную задачу о решении уравнения Шредингера в бесконечной системе с потенциалом, представляющим собой параболу, симметрично отраженную относительно поверхности. Поверхность в такой задаче играет роль плоскости симметрии. В силу симметрии потенциала решение уравнения Шредингера, отвечающее минимальному собственному значению, будет симметрично относительно поверхности, и, следовательно, будет удовлетворять на поверхности условию . Ясно, что при такой модификации потенциала его эффективная величина понижается. Поэтому следует ожидать уменьшения минимальной энергии магнитного осциллятора вблизи поверхности. Численный расчет дает для минимальной энергии магнитного осциллятора:
Соответственно магнитное поле. При котором происходит зарождение зародышей сверхпроводящей фазы вблизи поверхности
оказывается выше верхнего критического поля Hc2
Граница (выполняются Г.У.)
х
Квантование магнитного потока.
Запишем уравнение Гинзбурга-Ландау для тока в переменных плотность-фаза:
Рассмотрим сверхпроводник с полостью (неодносвязанный). В полости имеется магнитное поле B. Мысленно проведем контур С на расстоянии от полости много большем лондоновской глубины проникновения магнитного поля. Поле в полости экранируется в объеме сверхпроводника на глубине => на контуре С j=0.
Проинтегрируем выражения для тока по замкнутому контуру С
С учетом однозначности волновой функции
Откуда находим для величины магнитного потока, пронизывающего полость:
Таким образом поток через замкнутую полость, ограниченную сверхпроводником квантуется в единицах величины кванта потока . Эффект квантования магнитного потока чрезвычайно важен как для фундаментального понимания природы сверхпроводимости, так и для разнообразных практических приложений. Именно измерения величины кванта потока экспериментально доказало существование в сверхпроводнике куперовских пар с зарядом 2e.
Структура смешанного состояния сверхпроводников II-го рода.
В сверхпроводниках II-го рода образование границ сверхпроводника и нормального состояния – выгодно, так как , однако дробление нормальной области с ограничивает условие квантования магнитного потока. Таким образом, магнитное поле проникает в сверхпроводники II-го рода в виде вихрей (вихрей Абрикосова), представляющих из себя сердцевину, вокруг которой циркулируют сверхпроводящие токи, экранирующие магнитное поле центра вихря в объеме сверхпроводника. Полный поток магнитного поля, связанный с вихрем, равен одному кванту потока.
Можно показать, что вихри отталкиваются друг от друга, т.е. их энергия взаимодействия положительна и они стремятся расположиться как можно дальше друг от друга (физически это, фактически, следует из закона Бернулли: в пространстве между вихрями соответствующие им скорости потока вычитаются, и следовательно, давление увеличивается). Максимальному расстоянию между вихрями при их фиксированной концентрации отвечает их расположение в узлах треугольной решетки.
Семинар 8-9. Эффект Джозефсона и его применения. Стационарный эффект Джозефсона. Нестационарный эффект Джозефсона. СКВИДы и их использование для магнитных измерений. Влияние магнитного поля на джозефсоновский переход. ВАХ джозефсоновского перехода. Уравнение для фазы с учетом диссипации и механическая аналогия. Физическая природа гистерезиса ВАХ. Нестационарный эффект Джозефсона. Макроскопические квантовые эффекты в джозефсоновских переходах.
Пусть имеется два сверхпроводника, разделенные тонкой, туннельно-прозрачной пленкой диэлектрика.
Согласно второму уравнению Гинзбурга-Ландау в объеме сверхпроводника , т. е. ток связан с изменением фазы параметра порядка. Поэтому можно ожидать, что и в туннельном контакте двух сверхпроводников, в случае возникновения скачка фазы должен будет возникнуть ток, равный нулю в отсутствие скачка фазы:
Вид граничных условий к уравнению Гинзбурга-Ландау для сверхпроводников, находящихся в туннельном контакте, можно установить из следующих общих рассуждений. Мысленно разрежем туннельный контакт и разнесем сверхпроводники друг от друга. На образовавшейся поверхности граничные условия будут иметь стандартный для свободной поверхности вид:
При восстановлении контакта вид граничного условия в рассматриваемом сверхпроводнике должен измениться таким образом, чтобы учесть присутствие другого сверхпроводника. Это влияние можно описать, добавив в правую часть граничного условия функцию f(Ψi)=ηΨi, линейно зависящую от параметра порядка соседнего сверхпроводника (свободной поверхности отвечает равенство нулю этого параметра порядка и функции f):
С учетом полученных граничных условий градиентные члены в выражении для сверхпроводящего тока (2-м уравнении Гинзбурга-Ландау) преобразуются следующим образом
Считая параметр η действительным получим следующее выражение для сверхпроводящего тока
Которое можно переписать в стандартном виде, описывающим стационарный эффект Джозефсона:
,
где - максимальное значение амплитуды тока, который может протекать через туннельный контакт двух сверхпроводников в отсутствие приложенного напряжения. Необычность ситуации связана с тем, что бездиссипативный ток протекает через структуру, содержащую несверхпроводящую туннельную прослойку. Туннельный контакт двух сверхпроводников иначе называют джозефсоновским контактом.
Нестационарный эффект Джозефсона
Рассмотрим ситуацию, когда на переходе имеется разность потенциалов.
V
Уравнение, связывающее фазу и напряжение можно получить из условий калибровочной инвариантности. Калибровочная инвариантность означает инвариантность физически наблюдаемых величин при калибровочном преобразовании
Наша цель будет заключаться в том, чтобы найти такое соотношение, связывающее фазу и напряжение, которое оставалось бы инвариантным при таком преобразовании. Калибровочное преобразование очевидным образом оставляет инвариантным магнитное поле
и уравнение Максвелла
где напряженность электрического поля определяется через вектор-потенциал и скалярный (электрический) потенциал
Из требования инвариантности напряженности электрического поля следует правило калибровочного преобразования электрического потенциала
Таким образом для напряжения (разности потенциалов) получаем следующую формулу преобразования:
Как следует из 1-го уравнения Гинзбурга-Ландау фаза параметра порядка θ меняется следующим образом:
что оставляет инвариантным градиентный член в уравнении Гинзбурга-Ландау
В результате для разности фаз на джозефсоновском переходе получаем следующее выражение:
Сопоставив это выражение с выражением для напряжения, получим следующее соотношение связывающее разность фаз и напряжение на джозефсоновском переходе:
или
Данное выражение уже остается инвариантным при калибровочном преобразовании.
Пусть к туннельному переходу приложено постоянное напряжения. Из полученного соотношения находим следующее выражение для разности фаз
Подставив его в формулу для джозефсоновского тока, получим следующее выражение, описывающее нестационарный эффект Джозефсона
Суть нестационарного эффекта Джозефсона в том, что в туннельном контакте двух сверхпроводников, к которому приложено напряжение V, возможны электромагнитные колебания с частотой
Физическая природа джозефсоновских колебаний становится более понятной, если учесть, что в сверхпроводящем состоянии электроны образуют пары (куперовские пары) с зарядом 2е. При переходе через туннельный контакт, к которому приложено напряжение V, куперовская пара приобретает дополнительную энергию 2eV, которая выделяется в виде кванта электромагнитного излучения с энергией .
Эффект Джозефсона представляет собой яркое физическое явление, имеющее важное фундаментальное и прикладное значение. За его предсказание английскому физику Б.Джозефсону в 1973 г. была присуждена Нобелевская премия. Заметим, что для существования эффектов Джозефсона необязательно наличие туннельной прослойки. Эффект сохраняется в более широком классе контактов, характеризующихся наличием «слабой связи» - небольшой области, в которой сверхпроводимость подавлена, например, микросужения.
Сверхпроводниковый квантовый интерферометр Джозефсона (СКВИД)
СКВИД (на английском – SQUID – Superonducting QUantum Interference Device) – сверхчувствительный магнетометр, один из наиболее распространенных сверхпроводниковых приборов. Рассмотрим, так называемый, двухплечевой СКВИД, представляющий собой сверхпроводящую петлю с входным и выходным токовыми контактами, в которую вставлены два джозефсоновских перехода (контакта) a и b.
1
2
3
4
a
b
c
I
Ib
Ic
Подобно тому, как мы это делали при выводе формулы для квантования магнитного потока в сверхпроводящей полости, рассмотрим разрывный контур C`, который находится в объеме материала сверхпроводящего кольца на расстоянии от поверхности большем, чем глубина проникновения магнитного поля, и имеет точки разрыва на берегах туннельных контактов толщиной δ. Ток на контуре, при этом равен нулю. На туннельных контактах фаза испытывает скачки и член с градиентом фазы в выражении для тока не определен:
Проинтегрируем на контуре C` выражение для тока. Поскольку вектор-потенциал – гладкая функция и длина δ разрыва контура мала, в интеграле для вектор-потенциала контур C` можно дополнить да замкнутого контура С
расписывая интеграл для градиента фазы по разрывному контуру получаем:
или
Запишем выражение для полного тока:
Полученное выражение можно переписать в виде аналогичном формуле для стационарного эффекта Джозефсона в одиночном туннельном контакте:
Таким образом мы получили, что максимальное значение сквозного тока через СКВИД существенно зависит от величины магнитного потока через площадь, охватываемую сверхпроводящей петлей. При максимальный ток равен нулю , сверхпроводящее состояние неустойчиво и СКВИД переходит в состояние с конечной проводимостью. Величина потока зависит от площади кольца, что, в силу малости кванта потока позволяет регистрировать очень маленькие магнитные поля. На практике обычно регистрируют изменения магнитного поля, при этом чувствительность СКВИДов достигает величины (напомним, что напряженность магнитного поля Земли
1
2
1/2
3/2
Влияние магнитного поля на Джозефсоновский переход
Для возникновения эффекта Джозефсона необходимо наличие слабой связи двух сверхпроводников. Интересен вопрос, как на такую слабую связь влияет магнитное поле. Рассмотрим джозефсоновский контакт, плоскость с туннельной прослойкой толщиной t и шириной L. Пусть магнитное поле направлено вдоль оси z, а контакт находится в плоскости xz. Будем действовать стандартным образом: проведем разрывный контур C` в плоскости xy, на котором ток равен нулю (для этого контур выбираем на расстоянии λ от берегов разреза), и проинтегрируем выражение для тока. Тем самым мы установим связь скачков фазы на берегах контура с потоком через контур (в интеграле для вектор-потенциала разрывный контур можно безболезненно дополнить до непрерывного). Особенностью вывода служит то, что точки разрыва контура мы выбираем в точках x и x+Δx, расположенных на малом расстоянии друг от друга.
1
2
4
3
L
здесь
Переходя от разности к дифференциалу, находим соотношение, связывающее градиент фазы вдоль контакта и градиент потока
учитывая, что поток через контур равен
где , получим соотношение, выражающее связь производной фазы и значение магнитного поля в данной точке:
Подставив данное выражение для магнитного поля выражение для тока, описывающее эффект Джозефсона, в уравнение Максвелла получим следующее нелинейное дифференциальное уравнение для фазы
здесь мы ввели новый параметр размерности длины - джозефсоновскую длину. При .
Данное уравнение хорошо известно в математике и физике и называется уравнением «синус-Гордон» (sine-Gorgon). Уравнение «синус-Гордон» относится к числу точно интегрируемых методом обратной задачи рассеяния нелинейных уравнений, и у него существуют солитонные и многосолитонные решения (солитон – уединенная волна). В нашем случае солитонное решение описывает джозефсоновский вихрь.
Рассмотрим частные решения уравнения для фазы.
а) Слабое внешнее поле
для фазы и поля получаем затухающие на масштабе λJ решения.
б) Солитонное решение.
Перейдем к безразмерной координате и запишем
откуда
с учетом граничного условия
находим
Это и есть солитон уравнения синус-Гордона.
Получили область локализации магнитного поля с циркулирующим вокруг бездиссипативным сверхпроводящим током, представляющую из себя джозефсоновский вихрь. Как и абрикосовский вихрь, джозефсоновский вихрь образован незатухающим циркулирующим током. Однако в отличие от абрикосовского вихря джозефсоновский вихрь не имеет нормальной середины – диэлектрическая туннельная прослойка, в которой расположен центр вихря, вся находится в несверхпроводящем состоянии.
Можно показать, что проникновение дожозефсоновских вихрей в туннельный контакт начинается при магнитном поле, большем критического:
в) Сильное магнитное поле.
При таком поле концентрация вихрей велика, расстояние между ними много меньше джозефсоновской длины, на масштабе которой существенные изменения фазы и магнитного поля в плоскости контакта и, следовательно, магнитное поле можно считать постоянным.
г) Узкий контакт
При влиянием поля джозефсоновских токов можно пренебречь и считать магнитное поле в контакте постоянным и равным внешнему магнитному полю:
Интегрируя уравнение для фазы,
получим выражение для джозефсоновского тока:
Найдем полный ток
где полный поток
и критический ток джозефсоновского котнакта:
В результате мы получили, что максимальное значение тока через котакт определяется выражением
2
1
-2
-1
Таким образом, аналогично СКВИДу, зависимость максимального значения бездиссипативного тока от магнитного потока имеет (квази)периодический характер. Отличие от СКВИДа связано с тем, что для одиночного перехода поток определяется площадью перехода, а для СКВИДа – площадью петли.
ВАХ Джозефсоновского перехода.
Рассмотрим простейшую эквивалентную схему джозефсоновского перехода в виде идеального контакта, ток через который определяется уравнением Джозефсона, и параллельного омического сопротивления, которое необходимо для описания ситуации с током через переход боьшим критического.
При
а при
Подставив в выражение для полного тока значения джозефсоновского и омического токов, получим
откуда
Данное уравнение интегрируется тригонометрической подстановкой:
В результате находим выражение для напряжения на переходе, периодически меняющееся во времени:
где частота колебаний напряжения
Для среднего значения напряжения на переходе можно получить знакомое выражение
При больших напряжениях и токах вольт-амперная характеристика принимает обычный омический вид
Энергия джозефсоновского контакта.
Запишем выражение для электрической энергии, которая запасается в Джозефсоновском переходе при изменении тока от 0 до .
,
где мы ввели обозначение:
.
При этом затрачивается энергия источника напряжения:
Таким образом для полной энергии имеем:
Зависимость энергии от фазы имеет характерный вид («стиральной доски»):
В механике возможны два типа поведения частицы, находящейся в потенциале с таким профилем. Во-первых, частица может находиться в локальном минимуме. Для джозефсоновского перехода этот режим отвечает нулевому напряжению на переходе и протеканию через переход только бездиссипативного джозефсоновского тока. Во-вторых, частица может скатываться вниз с немонотонной зависимостью скорости от времени, преодолевая локальные максимумы потенциала за счет инерции. Для джозефсоновского перехода этот режим отвечает наличию как джозефсоновского бездиссипативного, так и омического диссипативного токов и описывается полученным выше выражением для колебаний напряжения. Конкретный тип движения частицы зависит от начальных условий и массы частицы. При увеличении тока выше критического локальные максимумы и минимумы на зависимости E(φ) исчезают, и остается возможность существования только диссипативного режима. Из условия экстремума
получаем
Что возможно только при . Для описания «инерционных» свойств перехода необходимо усложнить его эквивалентную схему.
Механическая аналогия.
Рассмотрим эквивалентную схему джозефсоновского перехода с учетом его емкости C. В последующих выкладках будем считать скорость света с=1.
В уравнение для тока следует добавить связанный с емкостью ток смещения:
В результате уравнение для фазы принимает фид
В таком виде уравнение для фазы полностью аналогично уравнению механического массивного маятника:
При этом имеет место следующее соответствие электрических и механических характеристик:
Момент силы тяжести
Если (приложенный вращательный момент больше момента силы тяжести), единственный возможнй тип движения – поступательное вращение маятника. При уменьшении параметра I до значения меньше Ic поступательное вращения маятника может сохраниться в силу инерции. Для джозефсоновского перехода такая ситуация отвечает наличию гистерезиса на ВАХ, когда при токе, меньшем критического, на переходе имеется отличное от нуля напряжение и через него течет диссипативный ток.
Диссипативный ток при гистерезисе сохраняется вплоть до самых малых напряжений. Значение тока на обратной ветке ВАХ при нулевом напряжении называется током возврата. Глубину гистерезиса и величину тока возврата принято характеризовать с помощью так называемого параметра МакКамбера:
где:
Зависимость тока возврата от параметра МакКамбера имеет следующий вид:
Величины этого параметра определяет форму кривых гистерезиса ВАХ:
Макроскопические квантовые эффекты в Джозефсоновских переходах.
Динамика Джозефсоновского перехода описывается уравнением математически идентичным уравнению движения физического маятника в классической механике. При этом джозефсоновская фаза (разность фаза параметров порядка на берегах джозефсоновского перехода, т.е. величина квантовая) играет роль аналогичную углу вращения маятника – сугубо классической переменной. Известно, что переход от классического описания физического маятника к квантово-механическому формально достигается путем применения процедуры квантования. Возникает вопрос: имеют ли физический смысл дискретные уровни энергии и квантованные состояния, возникающие при формальном применении подобной процедуры к джозефсоновскому переходу? Ответ на этот вопрос оказался положительным, и эффекты, связанные с квантованием состояний джозефсоновского перехода экспериментально наблюдались. Поскольку джозефсоновский переход в отличие от элементарных частиц, атомов и молекул, поведение которых подчиняется законам квантовой механики, представляет собой макроскопический объект, такие эффекты получили название макроскопических квантовых эффектов. Их также иногда называют вторичными квантовыми эффектами, поскольку сам по себе эффект Джозефсона представляет собой квантовое явление.
При квантовании физического маятника роль, аналогичную соотношению неопределенности Гейзенберга для координаты и импульса
играет соотношение для фазы и момента вращения M
В состоянии с ограниченным по абсолютной величине моментом вращения фаза точно не определена, что приводит, в частности, к ненулевому значению минимальной энергии квантового маятника (нулевые колебания). Аналогично тому, как для частицы с массой m квантовые свойства усиливаются с уменьшением массы, роль квантовых свойств физического маятника возрастает с уменьшением момента инерции J. С учетом установленного выше соответствия между характеристиками джозефсоновского перехода и физического маятника, приходим к выводу, что квантовые свойства джозефсоновского перехода усиливаются с уменьшением его емкости С.
.
С учетом квантования энергия джозефсоновского перехода уже не представляет собой непрерывную функцию фазы, а квантуется и принимает дискретные значения (см. рис.). Переход между квантованными состояниями, расположенными в различных локальных минимумах потенциальной энергии перехода может происходить как за счет термоактивации, так и за счет туннелирования. При туннелировании вырожденные по энергии уровни перехода должны расщепляться. Такое расщепление наблюдалось
0
1
1
0
Туннелирование
Термоактивация
экспериментально, что и послужило доказательством квантовой (вторичной квантовой) природы макроскопических состояний джозефсоновского перехода.
Семинар 10. Микроскопическая теория сверхпроводимости БКШ. Сверхпроводимость как сверхтекучесть электронного газа. Изотопический эффект и электрон-фононное взаимодействие. Задача Купера и природа электрон-электронного притяжения. Модель БКШ и уравнение самосогласования для параметра порядка. Спектр элементарных возбуждений и плотность состояний.
Кратко сформулируем основные положения и идеи микроскопической теории сверхпроводимости Бардина-Купера-Шриффера (БКШ). В основе теории БКШ лежит представление о формировании куперовских пар - связанных состояний двух электронов с противоположными спинами. Куперовские пары образуют сверхпроводящий конденсат, аналогично сверхтекучему конденсату бозонов, и сверхпроводимость можно трактовать как сверхтекучесть заряженных частиц. Природа сверхтекучести тесно связана с явлением бозе-конденсации. Бозе-конденсация возникает при достаточно низких температурах в газе частиц, подчиняющихся статистике Бозе-Эйнштейна, даже в отсутствие взаимодействия между ними. Бозе конденсат становится сверхтекучим при наличии слабого отталкивания между частицами. В сверхпроводнике куперовская пара двух электронов представляет собой бозон, однако этот бозон образован электронами проводимости, делокализованными частицами. Идея описать сверхпроводимость на языке бозонов и бозе-конденсата посещала многих ученых, но последовательная теория была построена только в 1957 г. (БКШ). Неожиданным в их теории оказалось то, что сами по себе куперовские пары образуются одновременно с образованием бозе-конденсата в точке сверхпроводникового перехода.
Для образования куперовской пары два электрона должны
+
+
+
+
притягиваться друг к другу. Природа межэлектронного притяжения связана с электрон-фононным взаимодействием (испускание и поглощение электронами фононов – обмен фононами). Физически это можно представить себе следующим образом: отрицательно заряженный электрон на пути своего движения притягивает положительно заряженные ионы и вызывает их смещение из положения равновесия. Поскольку масса электрона много меньше массы иона (m<<M) , электрон движется гораздо быстрее иона, и смещение иона сохраняется в течение некоторого времени после того, как электрон покидает окрестность иона. В результате вдоль траектории движения электрона образуется область положительного потенциала (потенциальная яма). Другой электрон, попадая в эту потенциальную яму, понижает свою энергию, что можно трактовать, как опосредованное через колебания решетки (фононы) эффективное межэлектронное притяжение. Поскольку потенциальная яма сохраняется некоторое время в отсутствие создавшего ее (первого) электрона, прямое кулоновское отталкивание электронов при таком процессе несущественно. Из сказанного ясно, что максимальный выигрыш в потенциальной энергии второго электрона будет иметь место, если его траектория повторяет траекторию первого электрона в противоположном направлении, т.е., импульсы двух электронов противоположны.
В приведенной выше картине речь, фактически, идет о связанных колебаниях электронной и ионной плотностей. Оценим более конкретно характерный масштаб энергии электронов, при котором возможно эффективное взаимодействие их с ионами. Волновую функцию пары электронов можно записать в следующем виде:
Откуда для электронной плотности получаем
Таким образом для характерной частоты колебаний электронной плотности имеем . Обозначим через X смещение ионов из положения равновесия. Уравнение движения для X имеет вид:
,
где - собственная частота колебаний ионов (порядка дебаевской частоты), параметр f в правой части описывает силу кулоновского взаимодействия электронов и ионов. В результате для амплитуды смещений ионов находим:
,
откуда следует, что при электронные и ионный плотности колеблются синфазно, а при - в противофазе. Взаимодействие двух электронов через обмен фононами, по сути, представляет собой процесс рассеяния. В силу принципа Паули в процессах рассеяния могут участвовать только электроны вблизи поверхности Ферми. Характерная частота колебаний электронной плотности при этом имеет порядок энергии электронных возбуждений вблизи поверхности Ферми. Таким образом синфазные колебания ионной и электронной плотностей возможны, если характерная энергия электронных возбуждений не превышает дебаевской энергии. Такие состояния располагаются в узком пояске вблизи поверхности Ферми шириной
-максимальная частота колебаний решетки
Без учета взаимодействия полная энергия электронного газа равна его кинетической энергии. Основное состояние электронного газа при этом представляет собой сферу Ферми с резкой границей при энергии равной при энергии Ферми.
Заполненная сфера Ферми с резкой границей
Рассмотрим роль взаимодействия и покажем, что с учетом взаимодействия резкая граница заполненных и незаполненных состояний уже не отвечает основному состоянию системы. Запишем волновую функцию системы в виде разложения по базису одночастичных состояний:
– волновая функция одного электрона. Рассмотрим гамильтониан системы в виде суммы оператора кинетической энергии и члена, описывающего взаимодействие:
Соответственно, средняя энергия представляет собой сумму кинетической энергии и энергии взаимодействия
Если энергия взаимодействия отрицательна (), т.е. отвечает притяжению частиц, то энергия с учетом взаимодействия может оказаться ниже, чем в отсутствие взаимодействия. Член с взаимодействием связывает различные квантовые состояния, т.е. описывает процесс рассеяния:
.
Для того, чтобы электроны имели возможность рассеиваться, часть состояний над поверхностью Ферми должна быть заполнена, а часть под поверхностью Ферми – пустыми. тем больше, чем больше количество возможных каналов рассеяния, т.е. чем больше объем той части фазового пространства, которая может участвовать в процессах рассеяния.
Обозначим через импульсы электронов до рассеяния. В результате рассеяния они приобретают импульсы:: :
Для сферической поверхности Ферми максимальный объем фазового пространства достигается при
Таким образом, действительно, в соответствие с нашими качественными рассуждениями энергетически наиболее выгодно парное взаимодействие электронов с равными по величине и противоположно направленными импульсами.
Задача Купера. Куперовские пары.
Покажем, что парное взаимодействие электронов, которое имеет характер притяжения, приводит к образованию их связанного состояния. Это не так очевидно, поскольку речь идет о трехмерной системе. Как известно из квантовой механики, связанное состояние частицы на притягивательном потенциале имеет место при любом, даже сколь угодно слабом потенциале, только в одномерных и двумерных системах. В трехмерной ситуации связанное состояние образуется только в случае достаточно сильного потенциала.
Рассмотрим уравнение Шредингера для двух взаимодействующих электронов, находящихся над поверхностью Ферми:
здесь в операторе εF кинетической энергии мы отсчитываем энергию от уровня Ферми:
,
,
Волновая функция пары невзаимодействующих электронов с противоположными импульсами имеет вид произведения двух плоских волн:
где
Электронам, находящимся в возбужденном состоянии над поверхностью Ферми, соответствует условие . Ищем решение для волновой функции взаимодействующих электронов в виде произвольной суперпозиции таких состояний:
Перегруппируем члены в уравнении Шредингера
Найдем среднее значение энергии:
.
Подставив в это соотношение выражение для волновой функции в виде суперпозиции по состояниям плоских волн, получим:
,
где матричный элемент энергии взаимодействия описывает рассеяние из состояния в состояние :
Полученное интегральное уравнение в общем случае требует численного решения. Однако, если сделать некоторые допущения о виде ядра (матричного элемента взаимодействия), то можно получить аналитическое решение. Рассмотрим сепарабельное взаимодействие (допускающее разделение на множители) вида
,
.
Умножим обе части на и просуммируем по k. Сокращая обе части на (при условии ), получим следующее уравнение для определения разрешенных значений энергии:
.
Здесь дискретная сумма k по выполняется по дискретным значениям квазиимпульса, определяемым граничными условиями Борна-Кармана (m1,2,3 –целые):
.
Соответственно, εk также принимает дискретный ряд значений. Решение этого уравнения удобно проанализировать графически. График правой части имеет вид, представленный на рисунке. Особенности графика соответствуют нулям знаменателя. Как следует из графика при λ>0 все решения расположены в области E>0 и описывают незначительный сдвиг уровней энергии из-за рассеяния. Вместе с тем при λ<0, т.е. при наличии межэлектронного притяжения, появляется дополнительное решение при E<0,
отвечающее связанному состоянию двух электронов. Это решение существует при любом сколь угодно слабом межэлектронном притяжении. Два электрона в связанном состоянии образуют куперовскую пару.
Более точно определить энергию связанного состояния можно, решив уравнение на собственные значения. Выше мы установили, что межэлектронное притяжение действует в узком энергетическом слое вблизи поверхности Ферми. Пренебрегая угловой зависимостью матричного элемента взаимодействия, выберем определяющие его сомножители в следующем виде:
Перейдем в уравнении на собственные значения стандартным образом от суммирования к интегрированию в пределе бесконечного объема системы
где мы учли, что вблизи поверхности Ферми
и . Пусть межэлектронное взаимодействие отвечает притяжению:
.
Введем эффективную константу взаимодействия
где - эффективная плотность состояний на поверхности Ферми. Выполнив интегрирование, получим:
,
В результате находим для энергии связанного состояния
При стремлении эффективной константы взаимодействия к нулю энергия связанного состоянии экспоненциально по обратному параметру взаимодействия стремится к нулю. Именно таким поведением характеризуется энергия связанного состояния от глубины потенциальной ямы в двумерной системе. Данная аналогия имеет глубокий физический смысл и объясняет природу связанного состояния электронов. Электроны, движущиеся в узком слое вблизи поверхности Ферми можно считать эффективно двумерными. Поэтому в соответствии с общим результатом квантовой механики пара таких электронов образует связанное состояние при сколь угодно слабом взаимодействии.
Модель БКШ.
Суммарный спин куперовской пары равен нулю. Однако куперовскую пару нельзя считать обыкновенной бозе-частицой, поскольку радиус связанного состояния двух электрон в пределе слабого взаимодействия существенно больше среднего расстояния между электронами в металле, т. е. куперовские пары сильно перекрываются друг с другом и влияют друг на друга. Поэтому более точно говорить о парных корреляциях в вырожденном Ферми-газе. При этом спаривание происходит не в обычном координатном пространстве, а в импульсном k-пространстве. Теория БКШ описывает сверхпроводящее состояние вырожденного Ферми-газа, обусловленное такими парными корреляциями.
Выше мы установили, что электроны в состояниях могут образовывать связанные состояния. Обозначим через вероятность того, что пара состояний занята. Соответственно через - вероятность того, что пара пуста. Рассмотрим рассеяние:
.
Обозначим через амплитуду вероятности того, что состояния заняты, а состояния ( – пусты:
.
Аналогичную вероятность при рассеянии
.
Запишем выражение для средней энергии сверхпроводящего состояния с учетом рассеяния
Будем считать, что матричный элемент взаимодействия электронов отличен от нуля только в узком слое толщиной вблизи поверхности Ферми, и заменим его в этой области константой:
Для средней энергии имеем:
.
С учетом тождества
получим следующее уравнение
.
Введем параметр, который далее будем называть параметром порядка:
.
В результате полученное уравнение принимает вид:
.
С помощью преобразований:
,
приведем его к виду:
,
где мы ввели еще один важный параметр
.
Выбирая физически содержательный () корень уравнения получим решение:
.
При этом если то в силу .
График зависимости функции заполнения частиц от квазиимпульса приведен на рисунке:
Исходное уравнение определяет параметр порядка через и , которые, в свою очередь, зависят от . Такое уравнение называется уравнением самосогласования для параметра порядка , или просто уравнением самосогласования.
Рассмотрим решение уравнения самосогласования для параметра порядка:
Введем эффективную константу взаимодействия:
и проинтегрируем уравнение самосогласования
В результате для параметра порядка находим:
Полученное выражение напоминает выражение для энергии связи куперовской пары, но отличается отсутствием двойки в показателе экспоненты. Таким образом параметр порядка существенно превышает по величине энергию связи одиночной куперовской пары, что обусловлено коллективной природой куперовского спаривания в вырожденном Ферми-газе.
Спектр элементарных возбуждений
Определим энергию, необходимую для создания элементарного возбуждения в сверхпроводящем состоянии. Рассмотрим пару электронов в состоянии (). Обозначим через энергию пары.
Для wq можно записать
,
Где фигурирует введенный выше параметр Eq . Рассмотрим ситуацию, когда в сверхпроводник добавлен 1 неспаренный электрон в состоянии q. Энергия неспаренного электрона и есть энергия элементарного возбуждения:
Таким образом мы получили, что введенный выше параметр Eq есть ничто иное, как энергия элементарных возбуждений в сверхпроводнике. При этом минимальная энергия возбуждений соответствует минимальному значению . Для Eq вблизи уровня Ферми электронов (которые уже не есть элементарные возбуждения) имеем следующий график
:
Здесь линейная функция отвечает линеаризованному закону дисперсии электронов (без учета взаимодействия)
Если неспаренная частица не привносится в сверхпроводник извне, то для создания элементарных возбуждений необходимо разорвать куперовскую пару. Минимальная энергия, необходимая для разрыва куперовской пары равна 2. Процессу создания элементарных возбуждений можно сопоставить следующую энергетическую диаграмму, которая формально подобна закону дисперсии полупроводника:
В отличие от полупроводника, где энергетическая щель, как правило, отвечает дискретному набору точек (или одной точке) в зоне Бриллюэна, в сверхпроводнике энергетическая щель возникает на всей поверхности Ферми. В полупроводнике плотность состояний на краю разрешенной зоны (или, что то же самое, на краю щели) обращается в нуль. В сверхпроводнике из-за того, что краю щели отвечает целая поверхность, плотность состояний g(E) имеет особенность (при ):
.
Здесь мы учли соотношение:
График зависимости плотности состояний от энергии элементарных возбуждений приведен на рисунке вместе с графиком зависимости энергии элементарных возбуждений от волнового вектора.
Наличие особенности плотности состояний на краю щели послужило ключом к объяснению многих необычных физических свойств сверхпроводников.
Для энергии основного состояния сверхпроводника W0 можно получить следующее выражение:
Конечные температуры
Температура перехода в сверхпроводящее состояние служит основной характеристикой сверхпроводника. Еще до создания теории БКШ было замечено, что отношение энергетической щели в сверхпроводящем состоянии вблизи нулевой температуры к температуре сверхпроводящего перехода есть величина, принимающая одно и то же значение для разных сверхпроводников, т.е. независящая от параметров материала.
Рассмотрим сверхпроводник при конечных температурах. Особенностью ситуации при конечных температурах служит то, что над энергетической щелью появляются термически возбужденные неспаренные электроны. С учетом данного обстоятельства для энергии сверхпроводника можем записать
.
Здесь fk – функция распределения элементарных возбуждений (неспаренных электронов)
Исходя, как и выше, в случае нулевой температуры, из условия минимума энергии
,
получим следующее уравнение самосогласования:
Выражение для энергии элементарных возбуждений через параметр порядка остается таким же, как и при T=0. Переходя от суммирования по квазиимпульсу к интегрированию по энергии, уравнение самосогласования можно привести к виду:
.
Данное уравнение определяет зависимость параметра от температуры , и в общем случае требует численного решения. В пределе параметр порядка также стремится к нулю и из уравнения самосогласования мы получаем уравнение для температуры сверхпроводящего перехода.
Решение данного уравнения дает следующее значение температуры перехода:
Из сравнения выражений для параметра порядка при нулевой температуре и для температуры перехода, приходим к замечательному результату, что их отношение не зависит от параметров материала:
Множитель «двойку» в числителе удобно использовать в связи с тем, что на эксперименте (например, по поглощению инфракрасного излучения) определяется именно величина энергетической щели 2Δ. Данный результат находится в полном соответствии с экспериментом для низкотемпературных сверхпроводников, и он послужил одним из решающих аргументов в пользу справедливости теории БКШ.
Семинар 11. Приборы и элементы интегральных схем на основе джозефсоновских переходов. Стандарт напряжения. Запоминающий элемент с неразрушающим считыванием. Логический элемент на джозефсоновских переходах. Гистерезис ВАХ и проблема «защелки». Использование квантов потока для хранения и обработки информации и быстрая одноквантовая логика.
Явление сверхпроводимости используется в разнообразных аналоговых и цифровых приборах. Некоторые из них, например, криотрон и сквид, мы уже рассмотрели. Продолжим знакомство со сверхпроводящими приборами и устройствами.
Стандарт напряжения.
Одно из наиболее важных, наряду со сквидами, приложений сверхпроводников в аналоговой электронике представляют собой стандарты напряжения. Из выражения для тока в нестационарном эффекте Джозефсона при постоянном напряжении на переходе следует, что среднее значение тока по времени равно нулю. Рассмотрим ситуацию, когда на джозфсоновском переходе присутствует как постоянное напряжение V0, так и переменное напряжение V1(t)=-V1cos(ωt). Решив уравнение для фазы , получим выражение для джозефсоновского тока:
Можно показать, что среднее значение этого тока по времени уже не равно нулю. Выполним разложение функции «синус от синуса» в ряд по функциям Бесселя целого порядка Jn:
.
Как нетрудно видеть при
среднее значение тока отлично от нуля и равно
.
В эксперименте измеряется именно среднее значение тока. Поэтому при наличии на джозефсоновском переходе одновременно постоянного V0 и переменного смещения V1(t) данный эффект будет проявлять себя в возникновении на вольт-амперной характеристике перехода ступенек тока на фоне зависимости :
Такие ступеньки называют ступеньками Шапиро. Величина скачка тока зависит от амплитуды переменного напряжения и других параметров, но само положение скачка на оси V0 определяется только частотой и мировыми постоянными. Поскольку для определения частоты имеются высокоточные стандарты, данный эффект можно использовать для определения напряжения с высокой точностью и создания стандарта напряжения.
Ячейка памяти на основе криотрона.
Криотрон (описанный выше в разделе 5) представляет собой сверхпроводниковый элемент (джозефсоновский переход или просто тонкая проволочка), который под действием магнитного поля скачком переходит в резистивное состояние, что сопровождается скачкообразным изменением приложенного напряжения. На базе такого элемента могут быть построены различные логические устройства и ячейки памяти. Простейший вариант ячейки памяти представлен на рисунке и состоит из сверхпровдящего контура с криотроном на базе джозефсоновского перехода и управляющим проводником, через который пропускают управляющий ток Ic. Через контур пропускается вентильный ток Ig. Двоичная информация хранится в виде незатухающего тока, циркулирующего в сверхпроводящем контуре «по» или «против» часовой стрелки. Запись информации осуществляется подачей импульсов тока управляющего и вентильного токов.
“control”
“gate”
L2<L1
Временная диаграмма работы устройства приведена на рисунке. Импульс управляющего тока Ic длительностью tim создает магнитное поле, которое переводит джозефсоновский переход в резистивное состояние. После прекращения действия управляющего тока джозефсоновский переход возвращается в сверхпроводящее состояние с нулевым сопротивлением за время t0. Состояние замкнутого сверхпроводящего контура при этом зависит от длительности импульса вентильного тока. Запись информации возможна только, если длительности импульса вентильного тока превышает длительность импульса управляющего тока tim на величину, превышающую t0. В противном случае, как следует из диаграммы, информация стирается и ток в контуре после восстановления сверхпроводящего состояния отсутствует.
После перехода джозефсоновского перехода в резистивное состояние вентильный ток протекает в левом плече контура. При этом он создает магнитный поток через замкнутый, но в течение времени t0 не сверпроводящий контур. Если длительность импульса вентильного тока превышает время восстановления сверхпроводимости t0, то спустя время t0 мы имеем ситуацию с магнитным потоком, пронизывающим уже сверхпроводящий контур. После выключения вентильного тока этот поток сохранится за счет возбуждения в контуре незатухающего сверхпроводящего тока. Таким образом, если в исходном состоянии ток обращался по часовой стрелке (логическая «1»), то при подаче импульса вентильного тока, текущего сверху вниз, после его выключения в контуре возникнет замкнутый ток, текущий против часовой стрелки (логический «0»). При подаче следующего импульса вентильного тока аналогичной полярности состояние логического «0» не изменится. Для записи «1» следует подать импульс вентильного тока противоположной полярности (направление тока - снизу вверх).
Запоминающий элемент с неразрушающим считыванием
Информация, как и в предыдущем примере, кодируется незатухающим током, циркулирующим в контуре В0В1А2А1.Логическому «0» соответствует циркуляция тока против часовой стрелки, логической «1» - по часовой стрелке. Пусть исходное состояние ячейки – «0».
Для записи «1» подаются токи и . При этом через переход А1 течет ток . Ток подбирается таким образом, чтобы при параллельном направлении токов вентиль В0 закрылся. В результате ток возрастает до тех пор, пока не уменьшается до величины такой, что открывается переход В0. Теперь уже и при выключении в контуре возбуждается ток , текущий по часовой стрелке, т.е. происходит запись «1».
Считывание информации без разрушения происходит на переходе S: включаются токи Iw и Ii, если при этом оказывается, что ток через переход А2 равен (ток в контуре циркулирует по часовой стрелке – «1»), то переход S переключается в резистивное состояние. Если же ток циркулирует против часовой стрелки («0»), то и магнитное поле этого тока недостаточно велико, чтобы произошло переключение перехода S. Для записи «0» следует подать ток и изменить направление тока .
Логические элементы на джозефсоновских переходах.
Логический элемент состоит их трех управляющих шин А, В и С и криотрона на джозефсоновском переходе. Магнитные поля параллельных токов складываются, антипараллельных – вычитаются. Помимо магнитного поля управляющего тока на джозефсоновский переход также воздействует поле вентильного тока, протекающего непосредственно через переход.
Из-за того, что управляющий и вентильный токи в рассматриваемом примере также могут протекать параллельно или антипараллельно, график зависимости максимального значения вентильного тока от величины управляющего тока асимметричен относительно изменения направления управляющего тока. Область резистивного состояния на графике расположена сверху колоколообразной кривой. Считаем, что величина тока через управляющий проводник принимает значение либо 0, либо i. В отсутствие управляющего тока система находится в состоянии, характеризуемом точкой а. При параллельной ориентации вентильного и управляющего токов криотрон переходит в резистивное состояние, если ток течет хотя бы по одному управляющему проводнику (точка b). Такое поведение системы соответствует логической функции «ИЛИ». При антипараллельном направлении управляющего и вентильного токов наличия тока в одном (точка с) или в двух (точка d) проводниках недостаточно, чтобы перевести криотрон в резистивное состояние. Вентиль срабатывает, только если ток течет по всем трем управляющим проводника (точка е). Такое поведение системы описывается логической функцией «И».
Заметим, что сверхпроводниковым цифровым электронным устройствам, работа которых основана на переключении джозефсоновского перехода в резистивное состояние внутренне присущ серьезный недостаток, связанный с гистерезисным характером вольт-амперной характеристики такого перехода. При возвращении к исходным значениям тока переход остается врезистивном состоянии с ненулевым значением напряжения. Такой эффект называется «защелкой» («latching»). Для устранения «защелки» после завершения операции приходится обнулять все значения токов в системе. Другой способ связан с уменьшением области гистерезиса путем шунтирования перехода малым сопротивлением, что приводит к уменьшению параметра Маккамбера.