Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Міністерство освіти і науки України
Чернівецький національний університет
імені Юрія Федьковича
ПАБИРІВСЬКА Неля Віталіївна
УДК 517.95
БАГАТОПАРАМЕТРИЧНІ КОЕФІЦІЄНТНІ
ОБЕРНЕНІ ЗАДАЧІ ДЛЯ
РІВНЯНЬ ПАРАБОЛІЧНОГО ТИПУ
01.01.02 - диференціальні рівняння
А В Т О Р Е Ф Е Р А Т
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук
Чернівці - 2001
Дисертацією є рукопис.
Робота виконана на кафедрі диференціальних рівнянь Львівського національ-
ного університету імені Івана Франка Міністерства освіти і науки України.
Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук,
доцент Іванчов Микола Іванович,
Львівський національний університет імені Івана Франка,
завідувач кафедри диференціальних рівнянь.
Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук,
професор Івасишен Степан Дмитрович,
Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича, завідувач кафедри математичного моделювання;
кандидат фізико-математичних наук,
доцент Нитребич Зіновій Миколайович,
Національний університет "Львівська політехніка",
доцент кафедри обчислювальної математики і програмування.
Провідна установа: Інститут математики НАН України, відділ функціонального аналізу.
Захист відбудеться 23 березня 2001 року о 13.30 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради К 76.051.02 у Чернівецькому національному університеті імені Юрія Федьковича за адресою: 58012, м. Чернівці, вул. Коцюбинського, 2, навчальний корпус N1, аудиторія 8.
З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича (м. Чернівці, вул. Лесі Українки, 23).
Автореферат розісланий 21 лютого 2001 року.
Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Садов'як А.М.
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми. Багато явищ в природі, науці, техніці описуються параболічними рівняннями, зокрема, це процеси теплопровідності, теплообміну, дифузії. Складність цих процесів в багатьох випадках роблять незамінним методом їх дослідження математичне моделювання, дієвість якого насамперед визначається ефективністю методів, що використовуються для розв'язання відповідних математичних задач, а також обчислювальними засобами для їх реалізації.
Спеціальні експерименти для визначення теплофізичних характеристик матеріалів і граничних умов через свою недосконалість часто не можуть бути вичерпним джерелом інформації про шукані параметри, до того ж кожний такий експеримент є свого роду унікальним, вимагає особливої геометрії зразків і певних режимів нагрівання (охолодження), спеціальних пристроїв та методів вимірювання. В зв'язку з цим більша увага стала приділятися теоретичному розв'язанню цих проблем, а саме дослідженню обернених задач теплопровідності, в яких за наперед заданою (досить обмеженою) інформацією реконструюється температурне поле тіла, визначаються теплофізичні властивості і геометричні характеристики, ідентифікуютьсяі початкові та крайові умови, а також уточнюється сама математична модель явища.
На даний час досить повно вивчені обернені задачі визначення одного параметра теплофізичного процесу. Так, у роботах Jones B.F., Cannon J.R., Rundell W., Безнощенка М.Я., Аліфанова О.М., Прилєпка О.І., Іванчова М.І., Ратині А.К. досліджувались питання однозначної ідентифікації старшого коефіцієнта - коефіцієнта температуропровідності. Визначенню молодших коефіцієнтів присвячено ряд праць Прилєпка О.І., Безнощенка М.Я., Костіна А.Б., Іскендерова А.Д., Саватєєва Є.Г., Lorenzi A., Riganti R. та багатьох інших. Додаткова інформація про розв'язок (так звані умови перевизначення) задавалася в своїй більшості названими авторами у вигляді однієї з класичних крайових умов або у вигляді умови, в якій задано значення невідомої функції у внутрішній точці тіла. На сучасному етапі до розвитку теорії обернених задач ставляться нові вимоги. Це, насамперед, багатопараметричність обернених задач, дослідження нелінійних рівнянь, пошук нових джерел додаткової інформації. Ці вимоги пов'язані з практичними проблемами в науці та техніці, а саме - при створенні теплового захисту в ракетобудуванні та ядерній енергетиці, при дослідженні зміни температури грунтів в залежності від глибини при пошуку корисних копалин в геофізиці та ін.
Отже, виникає потреба у вивченні обернених задач з кількома невідомими параметрами теплофізичного процесу. Це можуть бути задачі визначення старшого коефіцієнта та коефіцієнта при невідомій функції або задачі ідентифікації старшого коефіцієнта та коефіцієнта при молодшій похідній.
Особливий інтерес викликають обернені задачі визначення старшого коефіцієнта у параболічному рівнянні. Як показують дослідження, питання повного визначення старшого коефіцієнта, що залежить від усіх незалежних змінних, на даний момент залишається відкритим. В роботах Jones B.F. старший коефіцієнт в рівнянні теплопровідності шукався у вигляді добутку двох функцій від різних змінних, причому функція, залежна від просторової змінної, була відомою, а залежна від часу - підлягала визначенню. Ці результату були поширені Іванчовим М.І. на випадок загального параболічного рівняння та більш загальних крайових умов перевизначення. Наступним наближенням до повного визначення старшого коефіцієнта було б його зображення у вигляді функції, яка містить два невідомі параметри, залежні від часу, коли залежність від просторової змінної задана в загальному вигляді.
Щодо вибору додаткової інформації, а також крайових умов при постановці і розв'язанні обернених задач, то мало вивченим є питання використання теплових моментів. Звідси випливає доцільність дослідження обернених задач, в яких у ролі крайових умов і умов перевизначення фігурують теплові моменти.
Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертації тісно пов'язана з науковими дослідженнями кафедри диференціальних рівнянь Львівського національного університету імені Івана Франка. Так, зокрема, результати досліджень були ви-користані при виконанні завдань державних тем за номерами № 0197U018069, № 0100U001411.
Мета і задачі дослідження. Мета роботи полягає у встановленні коректної розв'язності обернених задач для параболічних рівнянь з кількома невідомими коефіцієнтами, що залежать від часу, а також можливості використання теплових моментів як крайових умов так умов перевизначення.
Реалізація даної мети зводиться до розв'язання наступних задач:
Об'єкт дослідження: обернені задачі для параболічних рівнянь.
Предмет дослідження: коефіцієнтні обернені задачі визначення двох та трьох невідомих параметрів, що залежать від часу.
Методи дослідження: метод нерухомої точки, метод інтегральних рівнянь, метод функції Гріна.
Наукова новизна одержаних результатів. У дисертаційній роботі вперше вивчено питання використання теплових моментів у ролі як крайових умов, так умов перевизначення. Встановлено, що теплові моменти можуть бути використані як джерело додаткової інформації при визначенні декількох параметрів теплового процесу.
Встановлено умови існування та єдиності розв'язку наступних задач:
Практичне значення одержаних результатів. Дисертація має теоретичний характер, її результати є певним внеском в теорію рівнянь з частинними похідними, зокрема, в теорію обернених задач для параболічних рівнянь. Вони також можуть бути використані в прикладних дослідженнях, зокрема, при визначенні теплофізичних характеристик невідомих матеріалів в недоступних для безпосередніх вимірювань умовах.
Задачі з інтегральними крайовими умовами та умовами перевизначення мають застосування в механіці.
Особистий внесок дисертанта. Основні результати дисертаційної роботи отримані автором самостійно. У спільних з науковим керівником роботах [7,11] М.І.Іванчову належить постановка задач і аналіз одержаних результатів.
Апробація результатів дисертації. Результати роботи доповідались на Львівському міському семінарі з диференціальних рівнянь (керівники: Б.Й.Пташник, М.І.Іванчов, П.І.Каленюк, 1998-2000 рр.); VII –ій Міжнародній Науковій Конференції імені академіка М.Кравчука (м.Київ, 1998 р.); Міжнародній Науковій Конференції “Сучасні проблеми математики”(м.Чернівці, 1998 р.); Міжнародній науковій конференції “Обратные и некорректно поставленные задачи”(м.Москва, 1999 р.); International Conference Dedicated to J.P.Schauder “Nonlinear partial differential equations”(Lviv, 1999); VIII –ій Міжнародній науковій конференції імені академіка М.Кравчука (м.Київ, 2000 р.); Міжнародній науковій конференції “Обратные и некорректно поставленные задачи”(м.Москва, 2000 р.); Міжнародній науковій конференції “Диференціальні та інтегральні рівняння ”(м.Одеса, 2000 р.).
Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 11 працях, з них 1 –у наукових журналах, 3 –у збірниках наукових праць, 7 –у матеріалах конференцій. Серед публікацій 4 праці у наукових фахових виданнях з переліку №1, затвердженого ВАК України від 09.06.1999р.
Структура і об'єм роботи. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків і списку використаних джерел та викладена на 137 сторінках машинописного тексту. Список літератури містить 151 найменування.
Автор висловлює щиру подяку М.І.Іванчову за наукове керівництво та постійну увагу до роботи.
ЗМІСТ РОБОТИ
У вступі обгрунтовується актуальність теми, подається короткий огляд результатів, які мають безпосереднє відношення до теми роботи, вказується мета та задачі дослідження, наукова новизна, практичне значення, апробація одержаних результатів, кількість публікацій та структура роботи.
У першому розділі дається огляд праць, що пов'язані з теорією коефіцієнтних обернених задач для параболічних рівнянь.
У другому розділі в області досліджуються обернені задачі визначення старшого коефіцієнта та молодшого коефіцієнта при невідомій функції в параболічному рівнянні
. (1)
Також встановлюються умови існування та єдиності розв'язку оберненої задачі визначення трьох невідомих параметрів в рівнянні параболічного типу –старшого коефіцієнта, коефіцієнта при невідомій функціі та множника у вільному члені рівняння.
Перший підрозділ другого розділу присвячений вивченню обернених задач визначення старшого коефіцієнта та коефіцієнта при невідомій функції у випадку класичних крайових умов, а саме, розглядаються наступні задачі:
Задача 2.1. Знайти функції , які задовольняють рівняння (1), початкову умову
, (2)
крайові умови та умови перевизначення
, (3)
. (4)
Задача 2.2. Знайти функції , які задовольняють рівняння (1), умови (2), (4) та умови
.
Задача 2.3. Знайти функції , , які задовольняють (1) - (3) та умови
. (5)
Дані задачі досліджуються за наступною схемою. Припускаючи тимчасово, що коефіцієнти та є відомими, за допомогою функцій Гріна будуються розв'язки прямих задач, що відповідають оберненим задачам 2.1-2.3. Після цього, використовуючи умови перевизначення, поставлені задачі зводяться до нелінійних операторних систем першого або другого роду. Системи рівнянь першого роду шляхом їх диференціювання з використанням властивостей функцій Гріна, об'ємних потенціалів зводяться до систем рівнянь другого роду стосовно невідомих коефіцієнтів та . Виходячи з явного вигляду правих частин цих рівнянь, встановлюються відповідні умови знакосталості на вихідні функції, які забезпечували б вимоги щодо знаку коефіцієнтів і та були сумісними. Далі встановлюємо оцінки розв'язків отриманих систем рівнянь. Наявність даних оцінок дозволяє використати теорему Шаудера про нерухому точку цілком неперервного оператора і встановити існування розв'язку отриманих систем рівнянь, а отже, поставлених задач. Питання єдиності розв'язків задач 2.1-2.3 розглядається окремо від питання існування розв'язку і зводиться до встановлення єдиності розв'язків обернених задач визначення невідомого джерела в параболічному рівнянні з використанням властивостей теплових потенціалів і систем інтегральних рівнянь Вольтера другого роду.
Теорема 2.7. Задача (1), (2), (5), (7) має розв'язок в класі , якщо виконуються умови:
1. ;
2. ;
3. .
Теорема 2.8. Розв'язок задачі (1), (2), (5), (7) єдиний при умові
.
Вивченню питання використання теплових моментів в оберненій задачі знаходження коефіцієнтів та як у ролі умов перевизначення, так і крайових умов, присвячено підрозділ 2.3. Встановлення умов існування та єдиності розв'язку такої задачі було зведено до дослідження систем, аналогічних до тих, які отримуємо при розв'язанні задачі (1), (2), (5), (6).
В підрозділі 2.4 досліджується питання використання теплових моментів та нелокальних умов (7) в задачі визначення трьох невідомих коефіцієнтів в параболічному рівнянні
.
Використовуючи підхід, запропонований при розв'язанні задачі (1), (2), (5), (7), доведено теореми існування та єдиності розв'язку даної задачі.
Характерною рисою задач, розглянутих у розділі 2, є те, що за допомогою відповідних функцій Гріна ми можемо побудувати в явному вигляді розв'язки прямих задач. В результаті цього відповідні обернені задачі були зведені до еквівалентних їм систем операторних рівнянь стосовно двох невідомих коефіцієнтів.
В розділі 3 досліджуються обернені задачі визначення старшого коефіцієнта та коефіцієнта при похідній за просторовою змінною від невідомої функції в параболічних рівняннях
(8)
та
. (9)
Особливістю обернених задач, розглянутих у даному розділі, є неможливість побудови розв'язку прямої задачі в явному вигляді. Для його визначення отримуються інтегро-диференціальні рівняння, в зв'язку з чим ускладнюється дослідження систем операторних рівнянь, яким еквівалентні поставлені задачі.
Зокрема, в підрозділі 3.1 розглянуто обернені задачі для рівнянь (8) та (9) з класичними крайовими умовами та класичними умовами перевизначення (3), (4). Так, задача (9), (2), (3), (4) звелась до дослідження еквівалентної їй системи п'яти рівнянь стосовно невідомих Наступні теореми встановлюють існування та єдиність розв'язку цієї системи, а отже, і задачі (9), (2), (3), (4).
Теорема 3.3. Припустимо, що виконуються умови:
1.
2. ;
3. .
Тоді існує розв'язок задачі (9), (2), (3), (4) з класу ,
при де число визначається вихідними даними задачі.
Теорема 3.4. Припустимо, що виконується умова:
.
Тоді розв'язок задачі (9), (2), (3), (4) єдиний.
Вивчення обернених задач визначення старшого коефіцієнта та коефіцієнта при молодшій похідній продовжено в підрозділі 3.2, де розглянуто обернену задачу для рівняння (1) з крайовими умовами роду (3) та умовами перевизначення у вигляді теплових моментів (5). Дану задачу шляхом заміни часової змінної
, де ,
зведено до більш простої –задачі визначення коефіцієнта при молодшій похідній та у вільному члені рівняння. Отримана задача еквівалентна системі двох операторних рівнянь, умови існування розв'язку якої встановлюються за допомогою теореми Шаудера. Єдиність розв'язку доводиться від супротивного і зводиться до встановлення єдиності розв'язку оберненої задачі з невідомим джерелом.
Четвертий розділ присвячено оберненим задачам визначення старшого коефіцієнта, який подано у вигляді функції, що містить два невідомих залежних від часу коефіцієнти, залежність від задана.
Теорема 4.4. Припустимо, що виконуються умови:
1.
2. ;
3. .
Тоді існує розв'язок задачі (12), (2), (3), (4) з класу , при де число визначається вихідними даними задачі.
Теорема 4.5. Припустимо, що виконується умова:
Тоді розв'язок задачі (12), (2)-(4) єдиний.
Підрозділ 4.3 присв'ячений визначенню коефіцієнта температуропровідності у вигляді комбінації функцій, яка містить два невідомі параметри у рівнянні
.
Обернену задачу знаходження коефіцієнтів зведено до еквівалентної системи рівнянь стосовно невідомих функцій. Існування розв'язку отриманої системи встановлюється за допомогою теореми Шаудера. Встановлення єдиності розв'язку поставленої задачі зводить до встановлення єдиності розв'язку оберненої задачі з невідомим джерелом у рівнянні
де -- два розв'язки поставленої задачі,
Характерною рисою задач, розглянутих у четвертому розділі, є те, що для визначення розв'язку прямої задачі ми отримуємо інтегро-диференціальні рівняння, які містять другу похідну цього розв'язку за , що значно ускладнює дослідження.
ВИСНОВКИ
У дисертаційній роботі вперше поставлено та розв'язано деякі обернені задачі визначення двох та трьох коефіцієнтів у параболічному рівнянні. Шляхом зведення до систем рівнянь другого роду із подальшим застосуванням теореми Шаудера про нерухому точку цілком неперервного оператора встановлено умови існування розв'язків наступних задач:
Для знаходження невідомих коефіцієнтів розглянуто різні типи крайових умов та умов перевизначення, а саме –класичні, нелокальні, інтегральні.
Досліджено питання використання теплових моментів як у ролі умов перевизначення, так і крайових умов.
Питання єдиності розв'язків вихідних задач зведено до встановлення єдиності розв'язку задач знаходження невідомого джерела в параболічному рівнянні з використанням властивостей теплових потенціалів та систем інтегральних рівнянь Вольтера другого роду. Внаслідок цього отримано оптимальні умови однозначного визначення невідомих функцій, а також встановлено, що ці умови складають лише одну з умов, потрібних для існування розв'язку відповідних задач.
Основні результати роботи сформульовані у вигляді теорем.
Основні результати дисертації опубліковано в працях:
1. Пабирівська Н.В. Визначення двох невідомих коефіцієнтів в обернених задачах для параболічного рівняння // Вісник Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат. – 1998. –Вип.51. –С.108-117.
. Пабирівська Н.В. Обернені задачі з інтегральними умовами перевизначення// Мат . методи і фіз.-мех. поля. –. –Вип.43, №1.—С.51-58.
3. Пабирівська Н.В. Теплові моменти в оберненій задачі для параболічного рівняння // Вісник Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат. –. –Вип.56. –С.142-149.
4. Пабирівська Н.В. Про обернену задачу визначення коефіцієнта температуропровідності // Вісник Нац. ун-ту “Львівська політехніка.”Прикл. матем. –. -- № 407. –С.211—.
5. Пабирівська Н.В. Про обернену задачу для рівняння параболічного типу // Матеріали VII Міжнар. Наук. Конф. ім. акад. М.Кравчука. (Київ, 1998). –К.:”ВІПОЛ.”–. –С.378.
6. Пабирівська Н.В. Визначення двох невідомих коефіцієнтів в оберненій задачі для рівняння параболічого типу// Матеріали Міжнар. наук. конф. “Сучасні проблеми математики.”(Чернівці –Київ, 1998 –К.: Інститут матем. АН України. – 1998. –С.180--183.
7. Иванчов Н.И., Пабыривска Н.В. Обратная задача определения двух коэффициентов в параболическом уравнении в случае нелокальных и интегральных условий // Тезисы докладов конф.”Обратные и некорректно поставленные задачи”. (Москва, 1999). –М.: Диалог –МГУ. –. –С.30.
8. Pabyrivska N. The inverse problem with thermal moments // Book of abstracts of Intern. Conf. to J.P.Schauder. (Lviv, 1999). –P.157.
9. Пабирівська Н.В. Обернена задача з тепловими моментами // Матеріали VIII Міжнар. Наук. Конф. ім М.Кравчука. (Київ, 2000). –К.:”ВІПОЛ.”–. –С.158.
10. Пабыривска Н.В. Об одной обратной задаче определения старшего коэффициента в параболическом уравнении// Тезисы докладов конф.”Обратные и некорректно поставленные задачи”. (Москва, 2000). –М.:Изд-во “МАКС Пресс”. –. –С.59.
11. Иванчов Н.И., Пабыривска Н.В. Об определении двух зависящих от времени коэффициентов в параболическом уравнении // Тези доповідей Міжнар. конф. “Диференціальні та інтегральні рівняння .”(м.Одеса, 2000 р.).—. –С.114-115.
Анотація
Пабирівська Н.В. Багатопараметричні коефіцієнтні обернені задачі для рівнянь параболічного типу. – Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 –диференціальні рівняння. Львівський національний університет імені Івана Франка, Львів, 2001.
Дисертація присвячена дослідженню коефіцієнтних обернених задач для параболічних рівнянь з двома та трьома невідомими параметрами, що залежать від часу. Шляхом зведення поставлених задач до систем рівнянь другого роду з подальшим застосуванням до них теореми Шаудера про нерухому точку цілком неперервного оператора, встановлено умови існування розв'язку наступних задач:
Питання єдиності розв'язку відповідних обернених задач встановлюється незалежно від питання існування розв'язку і зводиться до дослідження обернених задач визначення невідомого джерела в параболічному рівнянні з використанням властивостей теплових потенціалів та систем інтегральних рівнянь Вольтера другого роду. Встановлено, що умови єдиності розв'язку відповідних обернених задач складають лише одну з умов, потрібних для існування розв'язку.
В роботі вивчена можливість використання в ролі крайових умов та умов перевизначення теплових моментів (інтегральних умов), що мають широке використання в механіці при вивченні термопружних процесів.
Ключові слова: обернена задача, нелокальна умова, теплові моменти, система операторних рівнянь, умови перевизначення, теорема Шаудера про нерухому точку цілком неперервного оператора.
Abstract
Pabyrivs'ka N.V. Multiparameter coefficient inverse problems for the equations of a parabolic type. –Manuscript.
Thesis for obtaining Candidate of Science (Physics and Mathematics) degree (Ph.D), speciality 01.01.02 –Differential Equations. –The Ivan Franko National University of Lviv, Lviv, 2001.
The dissertation is devoted to the research of coefficient inverse problems for parabolic equations with two or three unknown parameters depending on the time variable. The inverse problems are reduced to nonlinear operator systems. The application of Shauder fixed-point theorem permitted to establish existence conditions of the solution for inverse problems of determination of major coefficient and coefficient before unknown function, finding of major coefficient and coefficient before low derivative, identification of heat conductivity at the form of a linear function on a space variable with two unknown parameters depending on the time variable. The cases of classical, nonlocal, integral boundary and overdetermination conditions are considered.
The question of uniqueness of the solution is considered independently of a question of existence and is reduced to the resolution of appropriate problems of determination of a unknown source using properties of heat potentials and systems of the integral equations of the second kind.
Key word: inverse problems, nonlocal condition, heat moment, operator system, overdetermination condition, Shauder fixed-point theorem.
Аннотация
Пабыривска Н.В. Многопараметрические коэффициентные обратные задачи для уравнений параболического типа. –Рукопись.
Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 –дифференциальные уравнения. –Львовский национальный университет имени Ивана Франко, Львов, 2001.
Диссертация посвящена изучению коэффициентных обратных задач для параболических уравнений с двумя и тремя неизвестными параметрами, зависящими от временной переменной. Путём сведения к системам операторных уравнений второго рода и применения к ним теоремы Шаудера о неподвижной точке вполне непрерывного оператора установлены условия существования решения следующих задач:
Характерной чертой обратных задач определения старшего коэффициента и коэффициента при неизвестной функции есть то, что с помощью соответствующих функций Грина мы можем построить в явном виде решения прямых задач.
Особенность обратных задач идентификации старшего коэффициента и коэффициента при младшей производной состоит в том, что, используя функцию Грина, мы приходим к интегро-дифференциальным уравнениям относительно решения прямых задач. В связи с этим утрудняется исследование соответствующих систем операторных уравнений, которым эквивалентны поставленные задачи.
В обратных задачах определения старшего коэффициента с двумя неизвестными зависящими от времени параметрами для нахождения решения прямых задач мы приходим к системе интегро-дифференциальных уравнений относительно решения прямых задач, его первой и второй производной.
Для определения неизвестных коэффициентов рассмотрены разные типы краевых условий и условий переопределения, а именно –классические, нелокальные, интегральные.
В диссертации изучена возможность использования в качестве краевых условий и условий переопределения тепловых моментов (интегральных условий), которые широко используются в механике при изучении термоупругих процессов.
Вопрос единственности решения поставленных задач рассматривается независимо от вопроса существования решения и сводится к установлению единственности решения соответствующих обратных задач определения неизвестного источника в параболическом уравнении c использованием свойств тепловых потенциалов и систем интегральных уравнений Вольтерра второго рода.
Полученные результаты имеют теоретическое значение. Они могут быть использованы при дальнейшем исследовании обратных задач, а также в их приложениях.
Ключевые слова: обратная задача, нелокальное условие, тепловые моменты, системы операторных уравнений, условие переопределения, теорема Шаудера о неподвижной точке вполне непрерывного оператора.
Підписано до друку 25.12.2000р.Формат 60x84/16.
Папір друкарський. Друк Riso. Об'єм 1 друк. арк. Наклад 100.
Надруковано у видавництві Національного університету
“Львівська політехніка”
, м.Львів, вул. Ст. Бандери,12