Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
\MustafaManko2
НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ
ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ
Саіт-Аметов Мустафа Різаєвич
УДК 517.987.1
МІРИ НА ПРОСТОРІ УЗАГАЛЬНЕНИХ ФУНКЦІЙ
НАД ПОЛЕМ p-АДИЧНИХ ЧИСЕЛ
Автореферат
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук
Київ 2004
Дисертацією є рукопис
Робота виконана в Інституті математики Національної академії наук України.
Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук
КОЧУБЕЙ Анатолій Наумович,
Інститут математики НАН України,
провідний науковий співробітник
Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор,
член-кореспондент НАН Білорусі
РАДИНО Яків Валентинович,
Білоруський державний університет,
завідувач кафедри функціонального аналізу
доктор фізико-математичних наук, професор,
член-кореспондент НАН України
САМОЙЛЕНКО Юрій Стефанович,
Інститут математики НАН України,
завідувач відділу функціонального аналізу
Провідна установа: Національний технічний університет України “Київський політехнічний
інститут”, МОН України, м. Київ.
Захист відбудеться 15 лютого 2005 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.01 Інституту математики НАН України за адресою: 01601, м. Київ-4, вул. Терещенківська, 3.
З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України,
м. Київ, вул. Терещенківська, 3.
Автореферат розісланий 12 січня 2005 р.
Вчений секретар
спеціалізованої вченої ради Романюк А.С.
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми. Однією з характерних рис сучасного математичного аналізу є інтерес до аналітичних об'єктів, пов'язаних із структурами, що виникли в інших галузях математики: теорії чисел, геометрії, топології. До таких напрямків належить і неархімедів аналіз, предметом якого є абстрактні та функціональні простори, міри, оператори та рівняння, визначені над полем p-адич-них чисел, його розширеннями та іншими неархімедовими полями.
Важливим стимулом розвитку неархімедового аналізу стала гіпотеза про неархімедову структуру фізичного простору-часу не надмалих (субпланківських) відстанях, найбільш повно та обгрунтовано сформульована в 1987 році І.В. Воловичем. У зв'язку з нею в математичній фізиці постала задача про побудову неархімедових, зокрема p-адичних, аналогів базових фізичних теорій, зокрема квантової механики та квантової теорії поля. Останнім часом методи неархімедового аналізу знайшли застосування також і в дослідженні складних ієрархічних структур у фізиці (спінове скло, деяки органічні молекули), біології та соціальних науках. В свою чергу, все це призводить до постановки великої кількості нетрівіальних математичних задач стосовно просторів, операторів та випадкових процесів, що беруть участь у відповідних моделях.
Властивостям псевдодиференціальних операторів, що виникають у p-адичних моделях квантової механики, присвячені роботи В.С. Владімірова, І.В. Воловича, Є.І. Зеленова, Р.С. Ісмагілова, А.Н. Кочубея, Д. Крутікова, А.Ю. Хрєннікова. Розроблено досить детальну теорію випадкових процесів, де або часова змінна, або значення процесу, або і одне й друге, p-адичні (С. Альбеверіо, А.Х. Бікулов, І.В. Волович, В. Карвовський, Х. Каненко, А.Н. Кочубей, С. Еванс, Ш. Харан, К. Ясуда та ін.). Зроблено перші кроки в розвитку теорії псевдодиференціальних операторів на просторах аделів та іделів (Я.В. Радино, Ш. Харан та ін.), а також у дослідженні p-адичних диференціальних рівнянь у частинних похідних (В.І. Горбачук і М.Л. Горбачук, А.Ю. Хрєнніков).
Наступним кроком, природно, мала бути побудова p-адичних аналогів моделей квантової теорії поля, зокрема, евклідової моделі. Загальна схема евклідової моделі для p-адичного випадку була запропонована В.С. Владіміровим та І.В. Воловичем. Перші результати в цьому напрямку були отримані в серії робіт М.Д. Міссарова та Є.Ю. Лернера, метою яких була побудова неперервної границі ієрархічних моделей теорії поля.
Проте математично строгий розвиток евклідової моделі передбачає розвиток теорії міри на просторах узагальнених функцій над відкритими множинами поля Qp p-адичних чисел та його розширень. Цій задачі (актуальній навіть незалежно від можливих фізичних застосувань), що була поставлена в роботах В.С. Владімірова та І.В. Воловича (1988 р.), а також В.С. Варадараджана (2001 р.), і присвячена дисертаційна робота.
Методика, що використовується в роботі, наслідує загальні принципи евклідової квантової теорії поля (Дж. Глім, А. Джаффе, Е. Нелсон, Б. Саймон), але, на відміну від робіт М.Д. Міссарова та Є.Ю. Лернера, роль оператора Лапласа тут відіграє еліптичний псевдодиференціальний оператор A h,над Qpd із символом , де , –анізотропна квадратична форма. Цей оператор, для випадку , був детально вивчений в роботах А.Н. Кочубея. Зазначимо, що анізотропні квадратичні форми існують лише при , а у випадку "фізичної" розмірності 4 така форма є єдиною з точністю до ізоморфізму.
Зв’язок роботи з науковими программами, планами, темами. Тема дисертації пов'язана з науковими дослідженнями відділу диференціальних рівнянь у частинних похідних Інституту математики НАН України, її результати використані при виконанні робіт за державною науково-дослідною темою “Прямі та обернені задачі для диференціальних та псевдодиференціальних рівнянь”, номер державної реєстрації 0101U000212.
Мета і завдання дослідження. Об’єктом дослідження є міри на функціональних просторах над полем p-адичних чисел. Предметом дослідження є деякі класи мір такого типу, що можуть бути інтерпретовані як p-адичні аналоги моделей звичайної евклідової квантової теорії поля. Мета і основні задачі дослідження полягали у наступному:
У дисертаційній роботі застосовуються методи функціонального аналізу (зокрема теорії міри і теорії операторів), неархімедового аналізу (причому як над полем p-адичних чисел, так і над більш загальними полями), сучасної математичної фізики, теорії чисел, абстрактного гармонічного аналізу і теорії випадкових процесів, а також деякі результати з теорії некомутативних алгебр.
Наукова новизна одержаних результатів. Усі результати дисертації є новими. У роботі отримані такі результати:
Практичне значення одержаних результатів. Результати роботи мають теоретичний характер. Вони можуть бути використані при побудові інших моделей p-адичної квантової теорії поля, а також при побудові аналогічних моделей на групах аделів та іделів.
Апробація результатів дисертації. Результати роботи доповідалися автором на:
Публікації. Основні результати дисертаційної роботи опубліковані у наукових статтях [1–], надрукованих у фахових виданнях. Опубліковано також тези доповіді, представленої на міжнародній конференції з p-адичної математичної фізики (Москва, 2003). Роботи [2,3] написані автором самостійно. У роботах [1,4] науковому керівнику А.Н. Кочубею належить постановка задач, а також загальна методологія їх розв'язання.
Структура і обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, трьох розділів, висновків, списку використаних джерел та двох додатків. Загальний обсяг дисертації складає 129 сторінок друкованого тексту. Список використаних джерел займає 4 сторінки та містить 44 найменування.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЙНОЇ РОБОТИ
У вступі визначено об’єкт, предмет і методи дослідження, обґрунтовано актуальність теми дисертації, сформульовані мета і задачі, вказані наукова новизна, теоретичне і практичне значення отриманих результатів, повнота викладення матеріалу у наукових працях та ступінь його апробації, а також наведено структуру дисертації та охарактеризовано зміст її основних розділів.
Перший розділ роботи присвячено введенню базових понять p-адичного аналізу, у тому числі просторів основних та узагальнених функцій, операцій перетворення Фур'є та згортки, еліптичного псевдодиференціального оператору A h, та його функції Гріна і дослідженню властивостей цієї функції у випадку p = 2. Самоспряжений додатній оператор A h, на просторі L(Qpd) визначається за допомогою невиродженої анізотропної квадратичної форми h (, … , d) з коефіцієнтами із Qp по формулі Ah, = F – Mh, F, де Mh, –оператор множення на функцію |h (, … , d)|, > 0, F –перетворення Фур'є, і перелічуються відомі факти про його функцію Гріна. Невиродженість квадратичної форми у даному випадку означає, що виконується умова: h (, … , d) 0, якщо ||p + + |d|p 0. З теорії чисел відомо, що такі форми існують тільки для d 4.
Оператор A h, був уведений А.Н. Кочубеєм (один частинний випадок –А.Х. Бікулов), який показав, що його резольвента (Ah, –m I ) – є інтегральним оператором для будь-якого фіксованого додатнього m. Він також довів, що функція Гріна H h, оператора A h, (інтегральне ядро резольвенти) є локально інтегровною, невід'ємною, неперервною всюди, за винятком нуля, і прямує до нуля на безмежності. Крім того, А.Н. Кочубеєм були детально вивчені асимптотика функції H h, та її поведінка у нулі. При цьому скрізь вважалося, що p 2. Випадок p = 2 через його технічну складність не розглядався. Поширення відомих результатів на цей випадок і було головною метою першого розділу даної роботи.
Для дослідження властивостей функції Гріна H h, був використаний метод зведення багатовимірних псевдодиференціальних операторів над Qp до одновимірних операторів на більш загальних полях, розроблений А.Н. Кочубеєм. Ідея цього методу полягає у тому, що векторному просторові K = Qpd надаються додаткові алгебраїчні властивості, завдяки чому K можна вважати локально компактним цілком незв'язним недискретним полем (або, у випадку d = 4, локально компактним некомутативним тілом) –розширенням поля Qp, яке оснащене ультраметричним абсолютним значенням || ||. Далі над полем K розглядається псевдодиференціальний оператор A із символом a( ) = || ||/d (u ), де –неперервна додатня локально стала функція на групі одиниць поля K. Оператор A визначається на просторі D (K ) локально сталих функцій із компактними носіями як
A = FK – Ma FK ,
де Ma –оператор множення на a, FK –відповідне перетворення Фур'є. Теорія цього оператора та його функції Гріна G була детально розроблена А.Н. Кочубеєм. Після цього знаходиться такий лінійний ізоморфізм просторів L(K) і L(Qpd), при якому оператор A переходить у псевдодиференціальний оператор B. Причому символ a заздалегідь обирається таким чином, щоб функції Гріна операторів B і Ah, співпадали з точністю до лінійного перетворення.
Використовуючи цей метод, відомі факти про оператор A та його функцію Гріна, а також деяки результати з теорії чисел, ми доводимо наступну теорему.
Теорема 1.5. Якщо p = 2, то для довільного фіксованого m > 0 функція Гріна Hh, (x, m) = Hh, (x) оператора A h, є невід'ємною, локально інтегровною, неперервною всюди, за винятком точки x = 0, і прямує до нуля, коли || x || . Більш того, якщо > , то H h, є неперервною у нулі. Для 0 < d/2 доводяться оцінки функції Hh, (x) у нулі:
|Hh, (x)|
де || || –довільна норма на Q.
Наприкінці розділу вивчається поведінка функції Hh, (x) на безмежності у випадку p = 2. Отримані асимптотичні формули цілком аналогічні до тих, що раніше були знайдені А.Н. Кочу-беєм при умові p 2. Вони суттєво залежать від конкретного вигляду квадратичної форми h. Наприклад, якщо d = 2, то з точністю до еквівалентності , де {1, 2, 5, 10}. У випадку = 5 функція Гріна залежить від , і
коли .
У решті випадків функція Гріна має таку асимптотику:
коли .
де залежить від , а саме
;
;
;
.
Крім того, для довільного простого числа p у першому розділі розглядається звуження A оператора A h, на довільну обмежену відкрито-замкнену підмножину простору Qpd, що є p-адичним аналогом класичного оператора Лапласа з умовами Діріхле на границі. У силу геометричних властивостей Qpd достатньо розглянути звуження на кулю довільного радіусу. Отже, нехай O –куля у Qpd відносно метрики, породженої абсолютним значенням || || p = max j n | j | p, і f –функція з D (Qpd), така що supp f O. Продовжуючи f на Qpd нулем, ми застосовуємо оператор Ah, до цього розширення. Далі ми звужуємо отриману функцію до функції на O і отримуємо функцію з L(O), яку приймаємо за A f . Ця процедура визначає оператор на просторі D (O) функцій Шварца-Брюа з носіями у O. Замикання A цього оператора є самоспряженим додатнім оператором на L (O). Для вивчення властивостей оператора A та його функції Гріна знову був застосований метод зведення до одновимірного оператора на локально компактному полі (або тілі) K. При цьому оператор A на L (O), де O –куля у Qpd, переходить у оператор A на L ( ), де –об'єднання куль однакового радіусу. Виявилося, що між функціями Гріна операторів A та A існує тісний зв'язок, а саме, що (A – m I ) – є інтегральним оператором на L ( ), ядро якого має вигляд G (x, y) = G(x – y) + (x, y), де x, y , G –функція Гріна оператора A і функція (x, y) є локально сталою по сукупності змінних. Крім того, у всіх цікавих для нас випадках функція G , так само як і G, є невід'ємною і має місце нерівність
G (x, y) G(x – y) для усіх x, y .
Звідси, зокрема, випливає, що функція Гріна оператора A має такі самі властивості, як і функція Гріна оператора A h, , тобто є невід'ємною, локально інтегровною, неперервною всюди, за винятком точки x = 0, і прямує до нуля, коли || x || p . Нарешті, якщо та ' –відкриті компактні підмножини K, такі що ', то
G (x, y) G '(x, y) для усіх x, y ,
де G та G ' є функціями Гріна операторів A та A ' відповідно.
У другому розділі за допомогою функції Гріна Hh, (x) еліптичного псевдодиференціального оператора A h, вводиться гауссова міра d на просторі узагальнених функцій D'(Qpd), що відповідає гауссовому узагальненому випадковому процесу на імовірнісному просторі = (D'(Qpd), c, ). Подібна конструкція використовується у квантовій теорії поля в якості моделі вільного поля. Класичний аналог міри d досліджувався Дж. Кеноном, П. Коллела та О. Ланфордом, а також М. Рідом та Л. Розеном. Було встановлено, що носій відповідної гауссової міри міститься у підпросторі, значно меншому за весь простір узагальнених функцій. На доведенні аналогічного факту для d і зосереджені подальші зусилля у цьому розділі. Більш того, знайдено “мінімальний”(у певному сенсі) підпростір, що містить у собі носій цієї гауссової міри.
Процедура побудови гауссової міри d базується на відомій теоремі Р.А. Мінлоса, яка стверджує, що якщо перетворення Фур'є (тобто характеристичний функціонал) циліндричної міри на просторі, спряженому до ядерного, є неперервним, то міра може бути продовжена на весь спряжений простір. При цьому, якщо вихідна міра була гауссовою, то і міра на усьому спряженому просторі буде гауссовою. Відомо, що простір Шварца-Брюа D (Qpd) є ядерним. Отже, для того щоб побудувати гауссову міру d на спряженому просторі D'(Qpd), фактично достатньо визначити на D (Qpd) функцію, яка могла б розглядатися як характеристичний функціонал циліндричної гауссової міри, і показати, що вона задовольняє умові неперервності. Ми доводимо, що саме такою є функція
exp (– G (, )), D (Qpd),
де
G (, ) = (x) Hh, (x – y) (y) dx dy .
Необхідні властивості форми G(,) на D (Qpd)D (Qpd) (додатність та неперервність) забезпечують властивості функції H h, (x, m), яка розглядається у першому розділі.
Далі ми показуємо, що, як і у класичному випадку, міра d зосереджена на підпросторі, значно меншому за весь простір D'(Qpd). Для цього ми вводимо до розгляду псевдодиференціальні оператори Ph, із символом (|h (, … , d)|+ m)/2 та P із символом (||x|| p + ), де > 0, > 0, а також оператор Q множення на функцію Q = (2 + || x ||)/2 [ln (2 +|| x ||)], > 0. Зазначимо, що Ph, та P є додатніми самоспряженими операторами. Знову ж таки за допомогою теореми Мінлоса, але в дещо іншій інтерпретації, ми доводимо, що носій гауссової міри міститься у множині S, значно меншій за весь простір D'(Qpd). Точніше, ми доводимо наступну теорему.
Теорема 2.3. Нехай > 12. Поповнення простору D (Qpd) по L-нормах || Q || та || Q P ||, де > d 2 – , є множинами повної міри відносно у випадках > d 2 та d 2 відповідно.
В останньому підрозділі другого розділу за допомогою теореми Колмогорова про три ряди доводиться, що множина S є мінімальною у тому сенсі, що умова на не може бути суттєво послаблена, а точніше, що при < 1/2 ця множина має нульову міру відносно d . Цей факт сформульовано у вигляді наступної теореми.
Теорема 2.4. Якщо < 1/2, то S = Q L (Qpd) є множиною нульової міри відносно гауссового процесу з коваріацією ( f ) (g ) = (Ph, – , Ph, – ) (Q) .
Третій розділ роботи містить її найважливіші результати. У ньому на основі результатів попередніх розділів будуються і досліджуються p-адичні аналоги важливих об'єктів евклідової квантової теорії поля. Зокрема, будується модель квантового поля із взаємодією поліноміального типу, вводиться поняття функції Швінгера стану напів-Діріхле і доводяться деякі важливі властивості цих функцій.
Моделлю поля із взаємодією в обмеженій області g у даному випадку є узагальнений випадковий процес на імовірнісному просторі = (D'(Qpd), c, d g), де d g –імовірнісна міра на просторі узагальнених функцій D'(Qpd). Взаємодії поліноміального типу відповідає міра
(3)
де D'(Qpd), d –гауссова міра на просторі D'(Qpd), а : P( ) : –парний поліном від , побудований за допомогою процедури перенормування, відомої у теорії поля як перенормування Віка. В даному випадку, оскільки ми маємо справу з узагальненим випадковим процесом над неархімедовим полем, коректність такої процедури має бути обгрунтованою. Для зручності, як і раніше, ми переходимо від багатовимірних об’єктів до одновимірних над більш загальним локальним полем або (у випадку d = 4) некомутативним кільцем K за допомогою процедури зведення, яка була описана нами у першому розділі. При цьому оператор Ah,переходить у оператор A із символом a, гауссова міра d на D'(Qpd) –у відповідну гауссову міру на просторі D'(K), яка також позначається через d , а гауссів процес –у відповідний гауссів процес на = (D'(K), c, d ).
Коректність застосування процедури перенормування Віка обгрунтовується наступним чином. Спочатку “згладжуємо”узагальнений випадковий процес за допомогою -видної функції
де q –порядок поля лишків V/W, V –кільце цілих поля K, а W –простий ідеал у V. З неархі-медового аналізу відомо, що послідовність збігається у D'(K) до функції , яку можна вважати прямим неархімедовим аналогом -функції Дірака, оскільки вона має аналогічні властивості, а саме:
1) ;
) supp ;
) .
Легко бачити, що D'(Qpd), отже згортка існує і належить до простору основних функцій. Тобто є звичайною випадковою змінною, для якої степінь Віка може бути уведений за формулою
,
де
(a() –m ) – d , xK.
Покладемо для будь-якої функції gD(K). Далі ми доводимо, що для довільної функції gD(K) послідовність є фундаментальною її границя належить до L(D'(K), c, d ) при будь-якому n. Таким чином, степінь Віка узагальненого випадкового процесу є коректно визначеним. Це дає нам змогу будувати поліноми Віка та інші функції (наприклад, експоненту та тригонометричні функції) у вигляді степеневих рядів. Для довільного полінома P(X) = as X s + + a X + a X + a визначаємо
= + + + + a .
Треба зазначити, що якщо поліном P є парним, тобто deg P = 2s, то з цього не випливає, що , оскільки внаслідок перенормування напівобмеженість парного полінома втрачається. Незважаючи на це, ми доводимо, що вираз (3) дійсно визначає ймовірнісну міру на просторі D'(K). Цей факт випливає з наступної теореми.
Теорема 3.1. Нехай де P –обмежений знизу поліном (тобто deg P = 2s) і g –невід'ємна функція з D(K). Тоді
exp{ – g(x) : P( (x)) : dx } .
Треба зазначити, що функція g відіграє роль “просторового обрізання”, тому достатньо було б розглядати її як характеристичну функцію деякої відкритої компактної множини у Qpd. Отже, умова g 0 є цілком природною.
Отримана нами міра d g побудована з використанням оператора A h,, який відіграє роль оператора Лапласа з вільними граничними умовами у класичній P()-теорії. Але існує також інший підхід, пов'язаний з використанням оператора Лапласа в обмеженій області з граничними умовами Діріхле, який має певні переваги. Зокрема, у рамках такого підходу вдається визначити функції Швінгера станів напів-Діріхле з гарними властивостями, які в свою чергу дозволяють конструювати більш складні об'єкти і є потужним інструментом дослідження моделей квантових полів у рамках імовірнісного (евклідового) підходу.
У p-адичному випадку роль вищезгаданого оператора Лапласа в обмеженій області з граничними умовами Діріхле відіграє псевдодиференціальний оператор A, визначений у першому розділі. Як і раніше, ми переходимо від цього багатовимірного оператора до відповідного одновимірного оператора A над більш загальним локальним полем або некомутативним кільцем K. Використовуючи гауссову міру d, що побудована за допомогою функції Гріна цього оператора, ми визначаємо p-адичний аналог функції Швінгера стану напів-Діріхле:
(4)
де {h,…, hr} –довільний набір функцій з D(K) та . (Збіжність останньго інтегралу доводиться так само, як і збіжність .)
Відомо, що при певних природних умовах класичні функції Швінгера є невід'ємними і зростають при збільшенні розмірів області. При доведенні цього результату використовується метод дискретизації, відомий як граткова апроксимація. Ідея методу полягає в тому, що простір R d розбивається на d-вимірні куби граткою із фіксованим кроком, і замість неперервних об'єктів розглядаються їхні дискретні наближення. При цьому, наприклад, оператор Лапласа переходить в різницевий оператор, який діє у скінченновимірному просторі, що значно спрощує дослідження. До неперервної моделі ми можемо повернутися, здійснивши граничний перехід, при якому крок гратки прямує до нуля.
У неархімедовій ситуації роль гратки виконує об'єднання диз'юнктних куль однакового радіусу, якими завдяки геометричним властивостям неархімедового поля можна “замостити”довільну відкриту множину, у тому числі і весь простір. Введення такої конструкції дозволяє звести нашу модель до дискретного наближення, при якому міра на нескінченновимірному просторі переходить у міру на скінченновимірному евклідовому просторі, неперервний гауссів процес –у дискретний гауссів процес , а функція Швінгера (4) –у функцію
Треба зазначити, що у неархімедовому випадку, на відміну від архімедового, завжди існує такий мінімальний радіус кулі гратки, починаючи з якого функція Швінгера співпадає зі своєю гратковою апроксимацією. Тобто у даному випадку граничний перехід є зайвим.
За допомогою методу граткової апроксимації, накладаючи додаткові умови (до речі, такі ж самі, як і у архімедовому випадку) і використовуючи кореляційні нерівності, відомі як нерівності Гріффітса, ми доводимо, що p-адичні функції Швінгера є невід'ємними і монотонно зростають при збільшенні розмірів “області” .
Теорема 3.3. Нехай поліном P має вигляд P(X) = Q(X) – X, де Q(X) –парний полином, а –невід’ємна константа. Далі, нехай та ’ –об’єднання, відповідно, та ’ куль радіусу q l, таких що ’. Нарешті, нехай g –невід’ємна функція з D() і {h,…, hr} –набір невід’ємних функцій з D(). Тоді
ВИСНОВКИ
Дисертаційна робота присвячена побудові і вивченню мір на просторі узагальнених функцій над полем p-адичних чисел, які є природними аналогами мір, що відіграють визначну роль у класичній евклідовій квантовій теорії поля. На відміну від попередніх робіт, у цьому напрямку запропоновано новий підхід з використанням у якості аналога оператора Лапласа еліптичного псевдодиференціального оператора A h,, який визначається за допомогою анізотропної квадратичної форми над полем Qp. Цікаво, що такі форми існують тільки у випадку, коли розмірність “простору-часу”не перевищує 4, тобто у рамках такого підходу чотиривимірність фізичного простору диктується самою природою моделі.
У роботі завершено вивчення функції Гріна оператора A h,, що дозволило поширити відомі результати на випадок p = 2. Таким чином, дослідження цієї функції, розпочате і в основному проведене А.Н. Кочубеєм, можна вважати закінченим. У ході цієї роботи були виписані в явному вигляді усі нееквівалентні невироджені анізотропні квадратичні форми над полем Q , що, наскільки відомо автору, раніше не робилося.
На просторі узагальнених функцій D'(Qpd) визначена гауссова міра d та досліджені властивості її носія. Як виявилося, міра d зосереджена на множині, яка значно менша за весь простір D'(Qpd). Цей результат може бути корисним при дослідженні p-адичних аналогів моделей, в яких фігурує гауссова міра на просторі розподілів Шварца. Крім того, для довільної обмеженої відкрито-замкненої множини O у Qpd визначено гауссову міру d на просторі узагальнених функцій D'(O), носії яких містяться в O. Міра d відповідає оператору A, тобто звуженню A h, на O, і може розглядатися як природний аналог оператора Лапласа в області з граничними умовами Діріхле. Отже, він може бути застосований у багатьох задачах p-адичної математичної фізики.
У роботі введено поняття степеня Віка елемента простору D'(Qpd), що дає змогу будувати поліноми Віка, а також експоненціальні і тригонометричні функції від узагальнених функцій. Це, зокрема, дозволяє будувати негауссові міри на просторі узагальнених функцій, які є центральними об'єктами у моделях полів із взаємодією поліноміального, експоненціального або тригонометричного типу.
На просторі узагальнених функцій D'(Qpd) визначена негауссова міра d g, яка є природним неархімедовим аналогом моделі поля з поліноміальною взаємодією в обмеженій області g. Доведення її існування є центральним результатом роботи.
У роботі також визначені функції Швінгера станів напів-Діріхле, що відповідають мірі із взаємодією в обмеженій області. Доведено, що, як і у класичному випадку, вони є невід'ємними і монотонно зростають при збільшенні розмірів області. Функції Швінгера відіграють значну роль у класичній квантовій теорії поля, тому їхній неархімедів аналог представляє окремий інтерес. Метод граткової апроксимації, який був використаний при вивченні функцій Швінгера, при певній модифікації може застосовуватися і в інших задачах неархімедового аналізу, де фігурують локально сталі функції.
Результати роботи можуть бути корисними для подальшого розвитку p-адичної математичної фізики.
Список опублікованих праць за темою дисертації
АНОТАЦІЇ
Саіт-Аметов М.Р. Міри на просторі узагальнених функцій над полем p-адичних чисел. –Рукопис. Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 –математичний аналіз. Ін-т математики НАН України, Київ, 2004.
Дисертаційна робота присвячена побудові та дослідженню деяких класів мір на функціональних просторах над полем p-адичних чисел, що є природними неархімедовими аналогами мір, які відіграють важливу роль у моделях евклідової квантової теорії поля.
На відміну від попередніх робіт у цьому напрямку, запропоновано новий підхід з використанням у якості аналога оператора Лапласа еліптичного псевдодиференціального оператора, який визначається за допомогою анізотропної квадратичної форми над полем p-адичних чисел. У роботі завершено вивчення властивостей функції Гріна цього оператора і за її допомогою визначена гауссова міра на просторі узагальнених функцій Шварца-Брюа. Встановлено, що остання зосереджена на множині, значно меншій за весь простір. Крім того, визначено еліптичний псевдодиференціаль-ний оператор, який може розглядатися як p-адичний аналог оператора Лапласа в обмеженій області з умовами Діріхле на границі, і відповідну гауссову міру на просторі узагальнених функцій.
Уведено поняття степеня Віка елемента простору узагальнених функцій Шварца-Брюа, що дало змогу будувати поліноми, а також експоненціальні і тригонометричні функції від елементів цього простору.
На просторі узагальнених функцій Шварца-Брюа визначена негауссова міра, що є природним неархімедовим аналогом моделі поля з поліноміальною взаємодією в обмеженій області. Крім того, визначено p-адичний аналог функції Швінгера стану напів-Діріхле, що відповідає мірі із взаємодією в обмеженій області. Доведено, що, як і у класичному випадку, вона є невід'ємною і монотонно зростає при збільшенні розмірів області. Для вивчення функцій Швінгера було запропоновано метод дискретизації, аналогічний класичному методові граткової апроксимації.
Результати роботи можуть бути корисними для подальшого розвитку p-адичної математичної фізики.
Ключові слова: p-адичний аналіз, евклідова квантова теорія поля, гауссова міра, негауссова міра, вільне поле, еліптичний псевдодиференціальний оператор, функція Гріна, анізотропна квадратична форма, поліноміальна взаємодія, функція Швінгера, степінь Віка.
Саит-Аметов М.Р. Меры на пространстве обобщенных функций над полем p-адических чисел. –Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 –математический анализ. Ин-т математики НАН Украины, Киев, 2004.
Диссертация посвящена построению и исследованию некоторых классов мер на функциональных пространствах над полем p-адических чисел, которые являются естественными неархимедовыми аналогами мер, играющих важную роль в моделях эвклидовой квантовой теории поля.
В работе предложен новый подход с использованием в качестве аналога оператора Лапласса эллиптического псевдодифференциального оператора, который определяется с помощью анизотропной квадратичной формы над полем p-адических чисел. Завершено изучение свойств функции Грина этого оператора и с её помощью определена гауссова мера на пространстве обобщенных функций Шварца-Брюа. Установлено, что последняя сосредоточена на множестве, гораздо меньшем, чем все пространство. Кроме того, определен эллиптический псевдодифференциальный оператор, который можно рассматривать как p-адический аналог оператора Лапласа в ограниченной области с условиями Дирихле на границе, и соответствующая гауссова мера на пространстве обобщенных функций.
Введено понятие виковской степени элемента пространства обобщенных функций Шварца-Брюа, что дало возможность строить виковские полиномы и другие функции от элементов этого пространства, в частности, экспоненциальные и тригонометрические.
На пространстве обобщенных функций Шварца-Брюа определена негауссова мера, представляющая собой естественный неархимедов аналог модели поля с полиномиальным взаимодействием в ограниченной области. Кроме того, найден p-адический аналог функции Швингера полу-Дирихле состояния, отвечающей мере со взаимодействием в ограниченной области. Доказано, что, как и в классической ситуации, она является неотрицательной и монотонно возрастает при увеличении размеров области. Для изучения функции Швингера был предложен метод дискретизации, аналогичный классическому методу решеточной аппроксимации.
Результаты работы могут быть полезны для дальнейшего развития p-адического анализа и p-адической математической физики.
Ключевые слова: p-адический анализ, эвклидова квантовая теория поля, гауссова мера, негауссова мера, эллиптический псевдодифференциальный оператор, функция Грина, анизотропная квадратичная форма, полиномиальное взаимодействие, функция Швингера, виковская степень.
Sait-Ametov M.R. Measures on the space of generalized functions over the field of p-adic numbers. –Manuscript. Thesis for PhD degree in Physics and Mathematics speciality 01.01.01 –mathematical analysis. Institute of mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2004.
The thesis is devoted to constructing and investigating some classes of measures on the distribution spaces over the field of p-adic numbers. The measures in question are the natural counterparts of those playing a major role in the models of the Euclidean quantum field theory.
A new approach, which essentially is based on using as an analog of the Laplacian an elliptic pseudodifferential operator defined by means of the anisotropic quadratic form over the field of p-adic numbers, is proposed. In the thesis the investigation of the Green function of the pseudodifferential operator is completed. Together with the known properties the Green function this allowed to define a Gaussian measure on the space of the Schwartz-Bruhat distributions. It is proved that the measure is concentrated on a set which is quite small compared with the whole space.
An elliptic pseudodifferential operator which can be seen as a p-adic analog of the Laplacian in a bounded region with Dirichlet boundary conditions and the corresponding Gaussian measure on the space of distributions are defined.
A notion of the Wick power of an element of the space of Schwartz-Bruhat distributions is introduced. This made it possible to construct the Wick polynomials and other functions of the elements of this functional space, in particular, trigonometric and exponential.
On the space of the Schwartz-Bruhat distributions a non-Gaussian measure, which can be considered as a natural counterpart of the P() model of the field with polynomial interaction in a bounded region, is defined. Moreover, a p-adic analog of the Schwinger function of the semi-Dirichlet state corresponding to a bounded region is found. It is proved that just like in the classical case the Schinger function is nonnegative and increases monotonously as the region grows in size. For the investigation of the Schwinger functions a method of the discreetization analogous to the classical lattice approximation is proposed.
Results obtained in the thesis can be helpful for the further development of the p-adic analysis and p-adic mathematical physics.
Key words: p-adic analysis, Euclidean quantum field theory, Gaussian measure, non-Gaussian measure, elliptic pseudodifferential operator, Green function, anisotropic quadratic form, polynomial interaction, Schwinger function, Wick order.