тематики Модуль 2 Семестр- VІ Кількість годин- 2 ЛЕКЦІЯ 10 6970

Работа добавлена на сайт samzan.net:

Міністерство освіти і науки України

Комунальний вищий навчальний заклад

«Бериславський педагогічний коледж імені В. Ф. Беньковського»

Херсонської обласної ради

Предмет: Основи початкового курсу математики Модуль № 2 Семестр: VІ Кількість годин: 2

ЛЕКЦІЯ № 10 (69-70)

Тема: Найбільший спільний дільник та найменше спільне кратне натуральних чисел, способи їх знаходження

Розглянуто і затверджено на засіданні предметної (циклової) комісії викладачів фізико-математичних дисциплін та нових інформаційних технологій Протокол № ___ від _________ 2013р. Голова предметної (циклової) комісії: _________________ Г. Ю. Шкворченко

м. Берислав

 Тема лекції: Найбільший спільний дільник та найменше спільне кратне натуральних чисел, способи їх знаходження

Студенти повинні знати:

1. ознаки подільності чисел на 2, 3, 4, 5, 9, 25 в десятковій системі числення;
2. означення найбільшого спільного дільника і найменшого спільного кратного натуральних чисел;
3.  властивості НСД і НСК;
4. способи знаходження НСД і НСК;
5.  алгоритм Евкліда для знаходження найбільшого спільного дільника.

Студенти повинні вміти:

1.  знаходити найбільший спільний дільник двома способами;
2.  знаходити найменше спільне кратне натуральних чисел.

Тип лекції: тематична

Ключові поняття: просте і складене число, найбільший спільний дільник та найменше спільне кратне натуральних чисел, властивості НСД і НСК, взаємно прості числа.

План

1.  Поняття найбільшого спільного дільника та найменшого спільного кратного натуральних чисел.
2.  Способи знаходження найбільшого спільного дільника і найменшого спільного кратного.

Основна література

1.  Основи початкового курсу математики [Текст] : навчально-методичний посібник / укл. Л. М. Голець, О. О. Кислякова, І. А. Ляшенко, О. Г. Онуфрієнко. – Запоріжжя, 2010. –

С. 82-84.

1. Стойлова, Л. П. Основы начального курса математики [Текст] : учеб. пособие для учащихся педучилищ / Л. П. Стойлова, А. М. Пишкало. – М. : Просвещение, 1988. – С. 206-215.

Інтернет-ресурси

1.  Найбільший спільний дільник [Електронний ресурс] // Вікіпедія : Вільна енциклопедія. – Режим доступу: http://uk.wikipedia.org/wiki/Найбільший_спільний_дільник. – Назва з екрана.
2.  Найбільший спільний дільник та найменше спільне кратне [Електронний ресурс] // Інтернет-портал організаційно-методичного забезпечення дистанційних олімпіад з програмування для обдарованої молоді навчальних закладів України. – Режим доступу: http://www.e-olimp.com.ua/ua/articles/16. – Назва з екрана.
3. Найменше спільне кратне [Електронний ресурс] // Вікіпедія : Вільна енциклопедія. – Режим http://uk.wikipedia.org/wiki/Найменше_спільне_кратне. – Назва з екрана.
4. Подільність чисел [Електронний ресурс] : математика 6 клас // Гіпермаркет Знань. – Режим доступу: http://school.xvatit.com/index.php?title=%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0. – Назва з екрана.

 Структура лекції

1.  Вступна частина:
2.  Оголошення теми, мети і завдань лекції.
3.  Ознайомлення з планом лекції, основною та додатковою літературою.
4.  Виклад лекційного матеріалу (згідно плану та вимог до лекції)

1. Поняття найбільшого спільного дільника та найменшого спільного кратного натуральних чисел

Візьмемо два числа 8 і 12, випишемо їх дільники.

Число 12 ділиться на 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Число 8 ділиться на 1, 2, 4, 8. У чисел 8 і 12 є спільні дільники. Це числа 1, 2, 4. Серед них є найбільше число 4 і його називають найбільшим спільним дільником чисел 12 та 8.

Означення. Спільним дільником натуральних чисел а і b називається будь-яке натуральне число, яке являється дільником кожного із даних чисел.

Означення. Найбільшим спільним дільником (НСД) натуральних чисел а і b називається найбільше натуральне число із усіх спільних дільників даних чисел.

D (a, b) = c             D (16, 8) = 8

Властивості НСД

1.  НСД натуральних чисел a і b завжди існує і являється єдиним.
2.  НСД не більший будь-якого із чисел a і b.
3.  НСД натуральних чисел a і b ділиться на будь-який спільний дільник цих чисел.
4.  Якщо аb, то НСД (а, b) = b.

Означення: Якщо НСД (а1,а2,…, аk) = 1, то числа а1,а2,…, аk називаються взаємно простими. Якщо, крім того, кожна пара цих чисел взаємно проста, то числа а1,а2,…, аk називаються попарно взаємно простими.

Так числа 4, 6, 7 – взаємно прості, НСД (4,6,7) = 1. Проте вони не є попарно взаємно простими, НСД (4,6) = 2.

У числах 12 і 8 є спільні кратні. Це числа 24, 48, 72, … Серед них є найменше число 24. Його називають найменшим спільним кратним чисел 12 і 8.

Означення. Спільним кратним натуральних чисел a і b називається будь-яке натуральне число, яке кратне кожному із даних чисел.

Означення. Найменшим спільним кратним (НСК) натуральних чисел a і b називається найменше  натуральне число із усіх спільних кратних даних чисел.

К (16, 8) = 16

Властивості НСК

1.  НСК натуральних чисел a і b завжди існує і являється єдиним.
2.  НСК натуральних чисел a і b не менше більшого із даних чисел.
3. Будь-яке спільне кратне двох натуральних чисел a і b ділиться на найменше спільне кратне цих чисел.
4.  Якщо аb, то НСД (а, b) = а. 

Теорема: НСД (а,b) є найменшим спільним кратним усіх спільних дільників чисел а і b.

Отже, найбільшим спільним дільником натуральних чисел а і b називається найбільше число з усіх спільних дільників даних чисел і позначається НСД (а, b) або Д (а, b). Найменшим спільним кратним натуральних чисел а і b називається найменше число з усіх спільних кратних даних чисел. Найменше спільне кратне позначається НСК (а, b) або К (а, b).

Питання для узагальнення

1.  Що називають спільним дільником цілих чисел а і b?
2.  Чи завжди він існує? Чому?
3.  Що називають найбільшим спільним дільником цілих чисел а і b?
4.  Чи завжди він існує? Чому?

2. Способи знаходження найбільшого спільного дільника і найменшого спільного кратного

Знаходження НСД та НСК розкладом на прості множники

Знайдемо НСК і НСД чисел 360 і 525. Ці числа можна подати у канонічному вигляді: 360 = 23 ∙ 32 ∙ 5; 525 = 3 ∙ 52 ∙ 7. У розклад на прості множники НСД цих чисел повинні ввійти всі спільні прості множники, причому кожний з них треба взяти з найменшим показником, з яким він входить в канонічні розклади даних чисел. Отже, НСД (360, 525) = 3 ∙ 5 = 15.

У розлад на прості множники НСК (360, 525) повинні ввійти всі прості множники, які входять принаймні в один розклад, причому кожний з них треба взяти з найбільшим показником. НСК (360, 525) = 23 ∙ 32 ∙ 52 ∙ 7 = 12 600.

Теорема: НСК (а, b) ∙ НСД (а, b) = а ∙ b.

Наслідок: Якщо НСК (а, b) = 1, то НСК (а, b) = а ∙ b .

Знайдемо НСД і НСК чисел 3600 і 288.

D (3600, 288) = 2 · 3 = 144

3600 1800  900  450  225    75    25      5      1

2 2 2 2 3 3 5 5 1

288 144  72  36  18    9    3    1

2 2 2 2 2 3 3 1

3600 = 2 · 3· 5

288 = 2 · 3

К (3600, 288) = 2 · 3· 5· 2

Знаходження НСД за алгоритмом Евкліда

Лема 1: Якщо а ділиться на b, то НСД (а, b) = b.

Лема 2: Якщо а = bq+ r, де а, b, r – натуральні числа, то НСД (а, b) = НСД (b, r).

Розглянемо алгоритм Евкліда для знаходження НСД довільних натуральних чисел а і b. Нехай а ≥ b. Якщо а ділиться на b,то за лемою 1 НСД ((а, b) = b. Якщо а = bq+ r, де r ≠ 0, то за лемою 2 задача знаходження НСД зводиться до обчислення НСД чисел b, r, де r < b. Якщо br, то НСД (b, r) = r, а отже, і НСД (а, b) = r. Якщо при діленні b на r матимемо остачу 0 < r1 < r, то b = rq1+r1, і тому НСД (а, b) = НСД (b, r) = НСД (r, r1). Продовжуючи описаний процес, діставатимемо все менші і менші остачі: r, r1, …, rm. Зрештою дістанемо остачу, яка ділить попередню остачу. Згідно з лемою 2, ця, відмінна від нуля, остача і є НСД (а, b). Таким чином НСД двох натуральних чисел дорівнює останній, відмінній від нуля остачі в алгоритмі Евкліда для цих чисел.

Алгоритм Евкліда як спосіб послідовного ділення зручно записувати у вигляді многократного ділення кутом.

D (525; 231) = D (231; 63) = D (63; 42) = D (42; 21) = 21

	525	231
	462	2
	231	63
	189	3
63	42
42	1
42	21
42	2
0

К (525; 231) =

Зв’язок між НСК і НСД двох чисел a і b

Після обчислення за допомогою алгоритму Евкліда НСД двох чисел можна знайти НСК, використовуючи залежність між НСД і НСК.

К (a, b) · D (a, b) = a · b

К (a, b) =

Отже, існує два способи обчислення НСД і НСК: 1) за канонічним розкладом чисел, 2) за алгоритмом Евкліда.

Питання для узагальнення

1.  Для чого використовується алгоритм Евкліда?
2.  В чому він полягає?
3.  За яких умов можливе його застосування?

1.   Заключна частина

Загальний висновок

Найбільшим спільним дільником натуральних чисел а і b називається найбільше число з усіх спільних дільників даних чисел і позначається НСД (а, b) або Д (а, b). Найменшим спільним кратним натуральних чисел а і b називається найменше число з усіх спільних кратних даних чисел. Найменше спільне кратне позначається НСК (а, b) або К (а, b).

Для знаходження НСД і НСК існує два способи: за розкладом на прості множники і за алгоритмом Евкліда.

Запитання для узагальнення студентам

1.  Що називають спільним дільником цілих чисел а і b?
2.  Чи завжди він існує? Чому?
3.  Які має властивості НСД ?
4.  Що називають найбільшим спільним дільником цілих чисел а і b?
5.  Чи завжди він існує? Чому?
6.  Які властивості має НСК?
7.  Які числа називаються взаємно простими?
8.  Скільки існує способів для обчислення НСД і НСК?
9.  Як знайти найбільший спільний дільник кількох цілих чисел?
10.  Чи для всіх цілих чисел він існує?
11.  Як можна знайти найменше спільне кратне двох цілих чисел?

Повідомлення домашнього завдання

1. Стойлова, Л. П. Основы начального курса математики [Текст] : учеб. пособие для учащихся педучилищ / Л. П. Стойлова, А. М. Пишкало. – М. : Просвещение, 1988. – С. 210-215.

Р. 2, п. 80-81, впр. 1, 3 (С.212), впр.2 (С.214).

1. РЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата медичних наук Київ 2001 Д
2. Printing problem led to first ir conditioner
3. 2014 Group 8 Mnging humn resources in SubShrn fric I SubShrn fric SubShrn fric SS is prt of fricn continent which lies in the south of the Shr desert
4. I. МОДЕЛЬ ЭРРОУДЕБРЕ Эта модель была предложена К
5. рой изучаются методология и проблематика комплексной количественной оценки качества объектов любой природ.html
6. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ДЛЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЯ по дисциплине Безопасность жизнедеятельности для спе
7. Конспект лекцій по курсу «ОСНОВИ ЕКОЛОГІЇ»
8. Внешнеторговая политика государства свободной торговли и протекционизма
9. Л. Коршико
10. Тема 4. Діяльність державних установ та громадських організацій щодо захисту прав споживача в Україні
11. Общая судьба если одна гр
12. адда'уатуссаляфия часть 1 УЧЕНЫЕ и их положение в Исламе Первое издан
13. Реферат- Пересадка тканей и трансплантация органов
14. ВСТУП Цивільний захист населення від небезпек є однією з найважливіших задач держави
15. Тема 1- основные институты административного права как объект административно правового регулирования
16. Народы Южного Урала
17. Контроль производства тонкой и строительной керамики и основы технологического проектирования.html
18. Уральский государственный экономический университет Центр дистанционного образования
19. по теме- И Кант- метафизика свободы
20. ТП11 группа 17ТП11 группа 18кТП11 группа П О.

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе