Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Московский государственный институт
индустрии туризма
_____________________________________________________________________
Л.А. Коровина
Математика
Элементы аналитической геометрии, линейной алгебры
и линейного программирования
Учебно - методическое пособие
Москва – 2009
Аннотация
В данном пособии рассматриваются три темы: элементы аналитической геометрии на плоскости, элементы линейной алгебры и задачи линейного программирования.
По первым двум темам приведены теоретические вопросы, краткое изложение теории с решением типовых задач. По теме линейного программирования приведено решение двух типовых задач графическим методом. В конце каждой темы имеются варианты задач для самостоятельного решения.
Данное пособие издаётся в соответствии с учебным планом для студентов среднего профессионального образования специальности 100201 «Туризм». Его можно использовать и для студентов высшего профессионального образования специальности 100201 «Туризм».
Содержание
Тема 1. Элементы аналитической геометрии на плоскости ………………………………………4
Теоретические вопросы …………………………………………………………………………4
Расчётная работа №1. Решение типового примера ………......……………………………….4
Задачи для расчётной работы №1 ...……………………………………………………………8
Тема 2. Элементы линейной алгебры………………………………..……………………………..9
2.1. Теоретические вопросы …………………………………………………………………………9
2.2. Часть I. Решение системы линейных уравнений по формулам Крамера. Решение типового
примера …………………………………………………………………………………………..9
2.3. Часть II. Матричный метод решения системы линейных уравнений. Решение типового примера ……………………………………………………………………………………………..11
2.4. Часть III. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса ……………..…………14
2.5. Задачи для расчётной работы №2 …………………………………………………………….17
Тема 3. Задачи линейного программирования. Графический метод ……………………………20
3.1. Задача 1 …………………………………………………………………………………………20
3.2. Задача 2 ………………………………………………………………………...……………….21
3.3. Задачи для расчётной работы №3 ………………………………………………………….....23
Элементы аналитической геометрии на плоскости.
Теоретические вопросы.
Расчетная работа №1.
Решение типового примера.
№1.Даны вершины треугольника АВС: А(-4;8), В(5;-4), С(10;6).
Найти:
Решение.
1. Найдем длину стороны АВ.
Расстояние d между точками М1(х1; у1) и М2(х2; у2) определяется по формуле:
(1)
Подставив в эту формулу координаты точек А и В, имеем:
АВ=
2. Уравнение прямой, проходящей через точки М1(х1; у1) и М2(х2; у2), имеет вид:
(2)
Подставив в (2) координаты точек А и В, получим уравнение прямой АВ:
3у–24 =–4х –16, 4х+3у–8=0 (АВ)
Для нахождения углового коэффициента кАВ прямой АВ, разрешим полученное уравнение относительно у: у = .
Отсюда кАВ =.
Подставив в формулу (2) координаты точек А и С, найдем уравнение прямой АС:
х+7у–52=0 (АС).
Отсюда кАС =.
3. Угол между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых равны к1 и к2, определяется по формуле:
(3)
Угол А, образованный прямыми АВ и АС, найдем по формуле (3), подставив в нее к1 = кАВ = , к2 = кАС =.
4. Так как высота СD перпендикулярна стороне АВ, то угловые коэффициенты этих прямых обратны по величине и противоположны по знаку, т.е.
кСD = .
Уравнение прямой, проходящей через данную точку М1(х1; у1) в заданном направлении, имеет вид:
(4)
Подставив в (4) координаты точки С(10;6) и кСD = , получим уравнение высоты СD:
у – 6 = (х – 10), 4у – 24 = 3х – 30, 3х – 4у – 6 = 0 (СD). (5)
Для нахождения длины СD определим координаты точки D, решив систему уравнений (АВ) и (CD):
, откуда х = 2, у = 0, то есть D (2; 0)
Подставив в формулу (1) координаты точек С и D, находим:
СD =.
5. Уравнение окружности радиуса R с центром в точка Е() имеет вид:
(6)
Так как СD является диаметром искомой окружности, то ее центр Е есть середина отрезка СD. Воспользуемся формулами деления отрезка пополам, получим:
Следовательно, Е(6; 3) и R= = 5. Используя формулу (6), получаем уравнение искомой окружности:
6. Множество точек треугольника АВС есть пересечение трех полуплоскостей, первая из которых ограничена прямой АВ и содержит точку С, вторая ограничена прямой ВС и содержит точку А, а третья ограничена прямой АС и содержит точку В.
Для получения неравенства, определяющего полуплоскость, ограниченную прямой АВ и содержащую точку С, подставим в уравнение прямой АВ координаты точки С:
> 0
Поэтому искомое неравенство имеет вид: 4х+3у .
Для составления неравенства, определяющего полуплоскость, ограниченную прямой ВС и содержащую точку А, найдем уравнение прямой ВС, подставив в формулу (2) координаты точек В и С:
(ВС).
Подставив в последнее уравнение координаты точки А, имеем:
< 0. Искомое неравенство будет 2х – у – 14. Подобным образом составим неравенство, определяющее полуплоскость, ограниченную прямой АС и содержащую точку В: < 0. Третье искомое неравенство будет х+7у –52. Итак, множество точек треугольника АВС определяется системой неравенств:
На рис. 1 в декартовой прямоугольной системе координат хОу изображен треугольник АВС, высота СD, окружность с центром в точке Е и диаметром CD
.
Рис. 1
Задачи для расчетной работы №1
В задачах 1 – 20 даны, вершины треугольника АВС.
Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и АС и их угловые коэффициенты; 3) угол А в радианах; 4) уравнение высоты СD и ее длину; 5) уравнение окружности, для которой высота СD есть диаметр; 6) систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС.
1. А ( — 5; 0), В (7; 9), C (5; — 5).
2. A ( — 7; 2), B (5; 11), С (3; — 3).
3. А ( — 5; — 3), В (7; 6), C (5; — 8).
4. А ( — 6; — 2), В (6; 7), C (4; — 7).
5. А ( — 8; — 4), В (4; 5), C (2; — 9).
6. А (0; — 1), В (12; 8), С (10; —6).
7. А ( — 6; 1), В (6; 10), С (4; — 4).
8. А ( — 2; — 4), В (10; 5), С (8; — 9).
9. А ( — 3; 0), В (9; 9), С (7; — 5).
10. А ( — 9; — 2), В (3; 7), С (1; — 7).
11. А ( — 5; 2), В (7; — 7), С (5; 7).
12. А ( — 7; 5), В (5; — 4), C (3; 10).
13. А ( — 7; 1), В (5; — 8), С (3; 6).
14. А (0; 3), B (12; — 6), С (10; 8).
15. А ( — 8; 4), В (4; — 5), С (2; 9).
16. А ( — 2; 2), В (10; — 7), С (8; 7).
17. А (1; 2), В (13; — 7), С (11; 7).
18. A ( — 4; 1), В (8; — 8), С (6; 6).
19. А ( — 7; — 1), В (5; — 10), C (3; 4).
20. А ( — 3; 3), В (9; — 6), С (7; 8).
Элементы линейной алгебры
Теоретические вопросы
Часть I.
Решение системы линейных уравнений по формулам Крамера
Рассмотрим систему уравнений:
(1)
где х,у,z – неизвестные; коэффициенты а11, а12,…., а33 и свободные члены 1, 2, 3 – известные постоянные (числа)
Введем обозначения:
;
Определитель , составленный из коэффициентов при неизвестных системы (1), называется определителем данной системы.
Определители , получаются из определителя при помощи замены соответственно его первого, второго и третьего столбца – столбцом свободных членов данной системы.
Если то система (1) имеет единственное решение; оно определяется формулами:
(2)
Формулы (2) называются формулами Крамера.
Если определитель системы а хотя бы один из определителей , отличен от нуля, то система (1) не имеет решений.
В случае, когда и одновременно , система (1) также может не иметь решений; но если система в этом случае имеет хотя бы одно решение, то она имеет бесконечно много решений.
Решение типового примера.
Пусть требуется, используя формулы Крамера, решить систему
Вычислим сначала главный определитель системы , воспользовавшись следующим правилом вычисления определителей третьего порядка:
= .
У нас
Так как делаем вывод о том, что система имеет единственное решение. Найдём его. Вычислим вспомогательные определители , .
;
;
.
Далее, воспользовавшись формулами Крамера, окончательно получим
.
Осуществим проверку правильности полученного решения, подставив его в каждое уравнение заданной системы:
Все три равенства верные, поэтому делаем вывод о правильности полученного решения.
Ответ: х = 0; у = –1; z = 2.
Часть II
Матричный метод решения системы линейных уравнений.
Рассмотрим систему линейных уравнений
(1)
Обозначим через А – матрицу коэффициентов при неизвестных; X – матрицу – столбец неизвестных х, у, z; В – матрицу – столбец свободных членов 1, 2, 3:
А=; Х=; В=
С учетом этих обозначений данная система уравнений (1) принимает следующую матричную форму:
(2)
Если матрица А – невырожденная (ее определитель отличен от нуля), то она имеет обратную матрицу . Умножив обе части уравнения (2) на , получим:
.
но (Е – единичная матрица), а , поэтому
(3)
Равенство (3) называется матричной записью решения системы линейных уравнений (1). Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу .
Пусть имеем невырожденную матрицу
, ее определитель
Тогда
= (4)
где Аj (=1, 2, 3; j=1, 2. 3) – алгебраическое дополнение элемента ij в определителе матрицы А, которое является произведением на минор (определитель второго порядка), полученный вычеркиванием -ой строки и j-го столбца в определителе матрицы А.
Решение типового примера.
Данную систему уравнений записать в матричной форме и решить ее с помощью обратной матрицы.
Обозначим матрицы
; Х = ; В= .
Тогда матричная форма записи данной системы будет
,
или
=
Найдем обратную матрицу для матрицы А. Для этого:
=
Получили . Следовательно матрица А имеет обратную матрицу .
Получили единичную матрицу. Значит обратная матрица найдена верно.
Находим решение данной системы уравнений в матричной форме
Получили , следовательно х = 3; у = 0; z = –2.
Проверим правильность полученного решения, подставив его в каждое уравнение заданной системы:
Все три равенства верные, поэтому делаем вывод о правильности полученного решения.
Ответ: х = 3, у = 0, z= –2
Часть III
Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.
При решении системы линейных уравнений часто применяется метод Гаусса. Сущность этого метода поясним на примерах.
Решение.
Исключим из последних двух уравнений х1. Для этого умножим первое уравнение на -5 и результаты прибавим соответственно ко второму уравнению, затем обе части первого уравнения умножим на -3 и результаты прибавим к третьему уравнению. В результате получим систему, эквивалентную данной:
(1)
Разделив обе части второго уравнения системы (1) на 2, получим систему
(2)
Теперь исключим из третьего уравнения системы (2) х2.
Для этого обе части второго уравнения этой системы умножим на — 7 и результаты прибавим к третьему уравнению. В результате получим систему
(3)
Откуда х3 =3, х2=1 и х1=–2. Это решение заданной системы
Приведение данной системы к ступенчатому виду (3) практически более удобно, если использовать преобразования расширенной матрицы данной системы, т. е. матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных и свободных членов. Для удобства столбец свободных членов этой матрицы отделим вертикальной чертой. Расширенная матрица данной системы имеет вид
.
Умножим элементы первой строки матрицы на — 5 и результаты прибавим к элементам второй строки, затем умножим элементы первой строки на — 3 и результаты прибавим к элементам третьей строки. Получим матрицу
.
Разделив элементы второй строки на 2, получим
.
Элементы второй строки умножим на — 7 и результаты прибавим к элементам третьей строки. Получим матрицу
,
которая позволяет данную систему привести к виду (3) и затем решить ее.
Решение. Составим расширенную матрицу системы:
Умножим элементы первой строки последовательно на -2, -4 и -5. Полученные результаты прибавим соответственно к элементам второй, третьей и четвертой строкам. Получим матрицу
Элементы второй строки умножим на 6 и результаты прибавим к элементам третьей строки, затем элементы второй строки прибавим к элементам четвертой строки. Получим матрицу
Элементы третьей строки разделим на -2 и затем элементы четвертой строки прибавим к элементам третьей строки. Получим матрицу
Теперь элементы третьей строки умножим на 13 и результаты прибавим к элементам четвертой строки. Получим матрицу
Следовательно, данную систему можно записать так:
Откуда х4 =0, х3=2, х2=–1 и х1=–3.
Матрицы, получаемые после соответствующих преобразований, являются эквивалентами. Их принято соединять знаком ~ .
Задачи для расчетной работы №2
Часть I
В задачах 1-20 решить данную систему уравнений пользуясь формулами Крамера. Сделать проверку полученного решения.
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16.
17. 18.
19. 20.
Часть II
В задачах 1-20 систему уравнений записать в матричной форме и решить ее с помощью обратной матрицы. Сделать проверку полученного решения
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16.
17. 18.
19. 20.
Часть III
В задачах 1-10 решить данную систему уравнений методом Гаусса. Рекомендуется преобразования, связанные с последовательным исключением неизвестных, применять к расширенной матрице данной системы. Сделать проверку полученного решения.
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
Задачи линейного программирования.
Графический метод.
Несмотря на то, что графический метод решения задач линейного программирования применяется только для задач с двумя искомыми переменными (или в случае трехмерного пространства с тремя), этот метод позволяет понять основную суть линейного программирования.
Задача 1.
Рассмотрим систему неравенств
(1)
и линейную форму
(2)
Найти минимум и максимум линейной формы (2) из области решений системы (1).
Решение.
Построим выпуклый многоугольник, заданный системой неравенств (1). Для этого построим прямоугольную систему координат х1ох2. Если в этой системе координат построить прямую ах1+bх2=с, то эта прямая разбивает плоскость х1ох2 на две полуплоскости, каждая из которых лежит по одну сторону от прямой. Сама прямая в этом случае называется граничной и принадлежит обеим полуплоскостям. Координаты точек, лежащих в одной полуплоскости удовлетворяют неравенству ах1+вх2≤с, а координаты точек, лежащих в другой полуплоскости, удовлетворяют неравенству ах1+вх2≥с. Построим в плоскости х1ох2 граничные прямые:
1) 4)
2) 5)
3)
В результате получим пятиугольник АВСDЕ (рис. 2)
Значения х1 и х2 , удовлетворяющие системе неравенств (1), являются координатами точек, лежащих внутри или на границе найденного пятиугольника. Теперь задача сводится к тому, чтобы найти те значения х1 и х2 при которых линейная форма L (2) имеет минимум, и те значения х1 и х2 при которых линейная форма L достигает максимума. Из рис. 2 видно, что координаты всех точек, лежащих внутри или на границе пятиугольника, не являются отрицательными, т.е. все значения х1 и х2 больше или равны нулю.
Для каждой точки плоскости х1ох2 линейная форма L принимает фиксированное значение. Множество точек, при которых линейная форма L принимает фиксированное значение L1 , есть прямая , которая перпендикулярна вектору . Если прямую передвигать параллельно самой себе в положительном направлении вектора , то линейная форма L будет возрастать, а в противоположном направлении – убывать. Построим прямую для того случая, когда L = 0, т.е. построим прямую . Как видно из рис. 2, при передвижении прямой в положительном направлении вектора она впервые встречается с вершиной А(0;2) построенного пятиугольника АВСDЕ. В этой вершине линейная форма L имеет минимум. Следовательно,
.
При дальнейшем передвижении прямой параллельно самой себе в положительном направлении вектора значение линейной формы будет возрастать, и оно достигает максимального значения в точке С(8;6). Таким образом,
.
Задача 2.
Туристской фирме требуется не более 10 автобусов грузоподъёмностью 3 тонны и не более 8 автобусов грузоподъёмностью 5 тонн. Цена автобуса первой марки 20000 у.е., цена автобуса второй марки 40000 у.е. Туристская фирма может выделить для приобретения автобусов не более 400000 у.е. Сколько следует приобрести автобусов каждой марки в отдельности, чтобы их общая (суммарная) грузоподъёмность была максимальной.
Решение.
Пусть приобретено х1 трёхтонных, х2 пятитонных автобусов, тогда заданные условия задачи можно записать так:
или (1)
Линейная форма L (часто её называют целевой функцией) применительно к условиям нашей задачи имеет вид:
(2)
Требуется найти те значения х1 и х2, при которых L достигает максимального значения. По условию задачи . Решим задачу графическим методом, который был использован при решении задачи 1. Построим многоугольник АВСDЕ (рис. 3), все точки которого удовлетворяют системе неравенств.
(3)
Затем построим вектор и прямую . Перемещая прямую параллельно самой себе в положительном направлении вектора , установим, что L достигает максимального значения в точке С, для которой х1 = 10 и х2 = 5. Следовательно, туристской фирме следует приобрести 10 трёхтонных и 5 пятитонных автобусов. В этом случае общая грузоподъёмность составит 55 тонн. ()
Задачи для расчетной работы №3
В задачах 1-10 построить выпуклый многоугольник, заданный системой неравенств и, пользуясь графическим методом, найти минимум и максимум линейной формы .
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
Задачи 11-20. Туристской фирме требуется не более а трехтонных автобусов и не более в пятитонных автобусов. Отпускная цена автобусов первой марки 20000 у.е., второй марки 40000 у.е. Туристская фирма может выделить для приобретения автобусов не более с у.е. Сколько следует приобрести автобусов каждой марки в отдельности, чтобы их общая (суммарная) грузоподъёмность была максимальной. Решить задачу графическим методом.
11. а = 11 в = 9 с = 460000
12. а = 12 в = 10 с = 520000
13. а = 13 в = 11 с = 580000
14. а = 14 в = 12 с = 640000
15. а = 15 в = 13 с = 700000
16. а = 16 в = 14 с = 760000
17. а = 17 в = 15 с = 820000
18. а = 18 в = 16 с = 880000
19. а = 19 в = 17 с = 940000
20. а = 20 в = 18 с = 1000000
PAGE 6
8
10
5
D
-4
A
E
B
C
Y
X
-4
l1
N
E
D
0
A
B
C
X2
X1
Рис. 2
N
l1
0
D
A
B
C
X2
X1
Рис. 3