Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
План учебного занятия № 7
дисциплины «Высшая математика»
Специальность 2-40 01 01 Программное обеспечение информационных технологий
Группа
Преподаватель Моисеева Т.И.
Раздел программы « Введение в математику»
Тема: Комплексные числа
Цель обучения: Сформировать понятие комплексного числа.
Цель развития: Показать, что существует поле чисел, не являющихся действительными.
Цель воспитания: Способствовать воспитанию аккуратности, четкости мышления и восприятия незнакомых образов.
Тип занятия: Урок изучения нового материала.
Вид занятия: Урок-лекция.
Межпредметные связи: Физика, электротехника, геометрия
Ход занятия:
1. Комплексные числа.
Определение. Комплексным числом z называется выражение , где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, которая определяется соотношением:
При этом число a называется действительной частью числа z (a = Re z), а b- мнимой частью (b = Im z).
Если a =Re z =0, то число z будет чисто мнимым, если b = Im z = 0, то число z будет действительным.
Определение. Числа и называются комплексно – сопряженными.
Определение. Два комплексных числа и называются равными, если соответственно равны их действительные и мнимые части:
Определение. Комплексное число равно нулю, если соответственно равны нулю действительная и мнимая части.
2. Геометрическое истолкование комплексного числа.
Понятие комплексного числа имеет геометрическое истолкование. Множество комплексных чисел является расширением множества действительных чисел за счет включения множества мнимых чисел. Комплексные числа включают в себя все множества чисел, которые изучались ранее. Так натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные числа являются, вообще говоря, частными случаями комплексных чисел.
Если любое действительное число может быть геометрически представлено в виде точки на числовой прямой, то комплексное число представляется точкой на плоскости, координатами которой будут соответственно действительная и мнимая части комплексного числа. При этом горизонтальная ось будет являться действительной числовой осью, а вертикальная - мнимой осью.
Таким образом, на оси ОХ располагаются действительные числа, а на оси ОY – чисто мнимые.
С помощью подобного геометрического представления можно представлять числа в так называемой тригонометрической форме.
у
A(a, b)
r b
0 a x
3. Тригонометрическая форма числа.
Из геометрических соображений видно, что . Тогда комплексное число можно представить в виде:
Такая форма записи называется тригонометрической формой записи комплексного числа.
При этом величина r называется модулем комплексного числа, а угол наклона - аргументом комплексного числа.
.
Из геометрических соображений видно:
Очевидно, что комплексно – сопряженные числа имеют одинаковые модули и противоположные аргументы.
4. Действия с комплексными числами.
Основные действия с комплексными числами вытекают из действий с многочленами.
1) Сложение и вычитание.
2) Умножение.
В тригонометрической форме:
,
С случае комплексно – сопряженных чисел:
3) Деление.
В тригонометрической форме:
4) Возведение в степень.
Из операции умножения комплексных чисел следует, что
В общем случае получим:
,
где n – целое положительное число.
Это выражение называется формулой Муавра.
(Абрахам де Муавр (1667 – 1754) – английский математик)
Формулу Муавра можно использовать для нахождения тригонометрических функций двойного, тройного и т.д. углов.
Пример. Найти формулы sin2 и cos2.
Рассмотрим некоторое комплексное число
Тогда с одной стороны .
По формуле Муавра:
Приравнивая, получим
Т.к. два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части, то
Получили известные формулы двойного угла.
5) Извлечение корня из комплексного числа.
Возводя в степень, получим:
Отсюда:
Таким образом, корень n – ой степени из комплексного числа имеет n различных значений.
5. Показательная форма комплексного числа.
Рассмотрим показательную функцию
Можно показать, что функция w может быть записана в виде:
Данное равенство называется уравнением Эйлера. Вывод этого уравнения будет рассмотрен позднее. (См. ).
Для комплексных чисел будут справедливы следующие свойства:
1)
2)
3) где m – целое число.
Если в уравнении Эйлера показатель степени принять за чисто мнимое число (х=0), то получаем:
Для комплексно – сопряженного числа получаем:
Из этих двух уравнений получаем:
Этими формулами пользуются для нахождения значений степеней тригонометрических функций через функции кратных углов.
Если представить комплексное число в тригонометрической форме:
и воспользуемся формулой Эйлера:
Полученное равенство и есть показательная форма комплексного числа.