У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.net

тематика Специальность 240 01 01 Программное обеспечение информационных технологий Группа Препод

Работа добавлена на сайт samzan.net: 2016-06-20

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 5.3.2025

План учебного занятия № 7

дисциплины «Высшая математика»

Специальность  2-40 01 01 Программное обеспечение информационных технологий

Группа     

Преподаватель Моисеева Т.И.

Раздел программы  « Введение в математику»

Тема: Комплексные числа

Цель обучения: Сформировать понятие комплексного числа.

Цель развития: Показать, что существует  поле чисел, не являющихся действительными.

Цель воспитания: Способствовать воспитанию аккуратности, четкости мышления и восприятия незнакомых образов.

Тип занятия: Урок изучения нового материала.

Вид занятия:  Урок-лекция.

Межпредметные связи: Физика, электротехника, геометрия

Ход занятия:

1.                       Комплексные числа.

 Определение. Комплексным числом z называется выражение , где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, которая определяется соотношением:

 При этом число a называется действительной частью числа z (a = Re z), а b- мнимой частью (b = Im z).

Если a =Re z =0, то число z будет чисто мнимым, если b = Im z = 0, то число z будет действительным.

 Определение. Числа  и называются комплексно – сопряженными.

 Определение. Два комплексных числа  и  называются равными, если соответственно равны их действительные и мнимые части:

 Определение. Комплексное число равно нулю, если соответственно равны нулю действительная и мнимая части.

2.   Геометрическое истолкование комплексного числа.

Понятие комплексного числа имеет геометрическое истолкование. Множество комплексных чисел является расширением множества действительных чисел за счет включения множества мнимых чисел. Комплексные числа включают в себя все множества чисел, которые изучались ранее. Так натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные числа являются, вообще говоря, частными случаями комплексных чисел.

Если любое действительное число может быть геометрически представлено в виде точки на числовой прямой, то комплексное число представляется точкой на плоскости, координатами которой будут соответственно действительная и мнимая части комплексного числа. При этом горизонтальная ось будет являться действительной числовой осью, а вертикальная - мнимой осью.

 Таким образом, на оси ОХ располагаются действительные числа, а на оси ОY – чисто мнимые.

С помощью подобного геометрического представления можно представлять числа в так называемой тригонометрической форме.

                                                       у

                 

                                                                                                      A(a, b)

                        r                   b

     

                         0 a           x

3.      Тригонометрическая форма числа.

Из геометрических соображений видно, что . Тогда комплексное число можно представить в виде:

            

 Такая форма записи называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

При этом величина r называется модулем комплексного числа, а угол наклона - аргументом комплексного числа.

.

Из геометрических соображений видно:

             

Очевидно, что комплексно – сопряженные числа имеют одинаковые модули и противоположные аргументы.

4.           Действия с комплексными числами.

Основные действия с комплексными числами вытекают из действий с многочленами.

1) Сложение и вычитание. 

        

2) Умножение.

В тригонометрической форме:

,

С случае комплексно – сопряженных чисел:

 

3) Деление.

         

В тригонометрической форме:

            

 4) Возведение в степень.

Из операции умножения комплексных чисел следует, что

В общем случае получим:

        ,

где n целое положительное число.

Это выражение называется формулой Муавра.

(Абрахам де Муавр (1667 – 1754) – английский математик)

Формулу Муавра можно использовать для нахождения тригонометрических функций двойного, тройного и т.д. углов.

 Пример. Найти формулы sin2 и cos2.

Рассмотрим некоторое комплексное число

Тогда с одной стороны .

По формуле Муавра:

Приравнивая, получим

Т.к. два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части, то

Получили известные формулы двойного угла.

 

5) Извлечение корня из комплексного числа.

Возводя в степень, получим:

Отсюда:

 Таким образом, корень n – ой степени из комплексного числа имеет n различных значений.

5.    Показательная форма комплексного числа.

Рассмотрим показательную функцию

Можно показать, что функция w может быть записана в виде:

            

 Данное равенство называется уравнением Эйлера. Вывод этого уравнения будет рассмотрен позднее. (См. ).

Для комплексных чисел будут справедливы следующие свойства:

1)

2)

3)   где m – целое число.

Если в уравнении Эйлера показатель степени принять за чисто мнимое число (х=0), то получаем:

 Для комплексно – сопряженного числа получаем:

 Из этих двух уравнений получаем:

 Этими формулами пользуются для нахождения значений степеней тригонометрических функций через функции кратных углов.

Если представить комплексное число в тригонометрической форме:

и воспользуемся формулой Эйлера:

 Полученное равенство и есть показательная форма комплексного числа.




1. КАФЕДРАЛЬНЫЙ СОБОР ВО ИМЯ ХРИСТА СПАСИТЕЛЯ В САМАРЕ
2. По происхождению сырье можно разделить на 3 группы- Природное; Техногенное; Синтетическое спец
3. практикуму Уфа 2006 УДК 53 ББК 22
4. тема римского частного права Римское частное право совокупность норм регулирующих вопросы имущественны
5. Реферат на тему- Естетичні засади педагогічної майстерності Розвиток гуманістичних ідей сприяв народ
6. МЕТОДИЧЕСКАЯ КАРТА ДИСЦИПЛИНЫ Номер раздела тем
7. Реферат- Вислокрылка
8. Переход Российских банков на международные правила ведения бухгалтерского учета и стандарты финансов
9. СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА 30 Г.
10. Анестезия при операциях на крупных сосудах и анестезия у детей и стариков