Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
РАЗДЕЛ 3. МНОГОМЕРНЫЕ АВТОМАТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
Тема 8. Математические модели многомерных автоматических систем
8.1 Понятие о системах с несколькими регулируемыми параметрами
В предыдущих разделах изучались одномерные системы. Они могли иметь сложную структуру, много внутренних контуров, но в них всегда имелась одна выходная регулируемая величина: обычно либо х(t), либо (t) и одно задающее воздействие у(t) (хотя возмущающих воздействий может быть несколько f1(t),f2(t),...).Однако на практике часто возникает потребность в одновременном регулировании не скольких выходных величин при нескольких входных воздействиях. Так в системах автоматического управления ЛА требуется обеспечи вать одновременное управление углами тангажа , крена и рыскания за счет отклонения соответствующих рулевых поверхно стей: руля высоты в, элеронов э и руля направления н.
Системы, в которых имеются две и более выходных регулируе мых величин и входных задающих воздействий, называются многомерными или многосвязными автоматическими системами (МАС).
Рассмотрим особенности, которые отличают многомерные системы от одномерных. МАС могут включать в себя один объект управления с несколькими регулирующими органами и несколькими регулируемыми величинами.Например: самолет, авиационный двигатель, генератор и т.п.
Но могут быть МАС с несколькими объектами управления, объе диненными единым управляющим устройством, в котором организу ется требуемая взаимосвязь между регулируемыми величинами всех объектов. Например, система электроснабжения ЛА,системы управления строем самолетов и т.д.
Взаимосвязи, определяющие многомерность системы, могут быть различными. Их можно разделить на две категории: а) внутренние связи и б) внешние связи. Внутренние связи- это связи, физически существующие между выход ными величинами в самом объекте. Математически эти связи заложены в уравнениях динамики объекта. Внешние связи- это связи, организуемые в управляющем устройстве или между управляющими устройствами. Задача внешних связей, создающихся обычно при синтезе АС, может быть двоякой. В одних случаях требуется организовать определенные взаимосвязи между регулируемыми величинами. В других случаях, на оборот, требуется ликвидировать внутренние связи существующие в объекте, то есть обеспечить автономность (независимость) управления по разным координатам.
Так как входные и выходные сигналы МАС состоят из несколь ких переменных, то наиболее удобной формой их представления явля ется векторная форма.
-вектор выходных воздействий; - вектор вход ных воздействий; - вектор управляющих воздействий.
Соответствующие обозначения на структурных схемах следующие:
Математический аппарат исследования многомерных АС основан на теории матриц.
Основные правила преобразования матричных уравнений.
Определим основные правила действий над матрицами.
Матрицей называется упорядоченная таблица чисел или функций, по ложение которых в этой таблице задается номером строки и номером столбца.
-эта таблица (матрица) характеризуется числовыми характеристиками, к важнейшим из которых относятся:
Размерность матрицы dimA=n m, где n- число строк, m- число столбцов.
Определитель матрицы (только при m = n)
где Aij- алгеброическое дополнение элемента aij, - это определитель, получающийся из исходного путем вычеркивания i-той строки и j- того столбца и умноженного на (-1)i+j
3. Минором к-того порядка Мк матрицы А называется определитель, получающийся на пересечении любых ее к строк и к столбцов.
Главным диагональным минором матрицы А называется определитель, стоящий на пересечении ее к последовательных строк, начиная с первой и к соответствующих столбцов.
Ранг матрицы- это порядок наивысшего отличного от нуля миноров этой матрицы .
Например:, rank A=1, потому что все М2=0 (метод окаймляющих миноров).
Над матрицами можно производить различные операции, к основным из них относятся:
Сложение. Суммой двух матриц А и В одинаковой размерности называется такая третья матрица С, каждый элемент которой есть сумма соответствующих элементов матриц А и В:
С=А+В сij=aij+bij, i=1,...n, j=1,...m
Умножение. Произведением двух матриц А и В называется такая матрица С, каждый элемент которой равен сумме произведений элементов строки первой матрицы на соответствующие элементы столбца второй матрицы.
Из этого определения в частности следует, что для того чтобы это произведение существовало необходимо, чтобы число столбцов первой матрицы r совпадало с числом строк второй матрицы. Кроме того, операция умножения матриц некоммутативна, то есть АВ ВА.
Транспонирование
Матрица АТ называется транспонированной по отношению к матрице А, если строки матрицы АТ являются столбцами матрицы А и наоборот.
Обращение (только для квадратных матриц)
Матрица А-1 называется обратной по отношению к матрице А, если она удовлетворяет условию
АА-1 = А-1А = Е,
где - единичная матрица.
Операция обращения обычно осуществляется по формуле:
.
Ас - союзная или присоединённая матрица, состоящая из алгебраических дополнений элементов транспонированной матрицы А.
Например:
detA= 4 - 6 = - 2
Проверка:
Умножить матрицу на число, разделить ее на число, продифференцировать или проинтегрировать - это значит проделать соответствующие операции над всеми элементами матрицы.
Матричная передаточная функция.
Рассмотрим многомерную АС описываемую системой n линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами m входными и n выходными сигналами, приведенную к форме Коши.
Используя аппарат теории матриц данную систему можно записать так:
Данное уравнение получило название уравнение состояния МАС.
Здесь Х = -вектор, характеризующий состояние многомерной АС, - вектор состояния, его порядок n называется порядком системы;
- вектор входных воздействий или вектор управления (часто обозначается как вектор U );
- матрица nn состояния объекта (динамическая матрица объекта);
- матрица nm эффективности управлений.
Применим к данному матричному уравнению преобразование Лапласа при нулевых начальных условиях:
рХ(р)=АХ(р)+ВY(р) (pE-A)X(р)=BY(р)
W(р)=(pE-A)-1B.
Данное выражение называется матричной передаточной функцией многомерной АС
Матричная передаточная функция W(p) представляет собой прямоугольную матрицу размерности nm. Каждый элемент этой матрицы- есть скалярная передаточная функция от i - того входа yi к j - тому выходу xj
Матрица (рЕ-А) называется
характеристической матрицей для матрицы состояния А. Ее определитель det(Ep-A) называется характеристическим определителем или
характеристическим полиномом системы. Он определяет собой степенной полином переменной Лапласа р порядка n.
Так как обратную характеристическую матрицу можно записать так: S(p)- союзная матрица для (рЕ-А).
Это означает, что матричная передаточная функция МАС равна:
Отсюда следует важнейший вывод, что все скалярные передаточные функции многомерной АС имеют один и тот же характеристический полином. Следовательно, анализ МАС в основном сводится к анализу корней этого полинома.
xn
x2
x1
fr
f2
f1
ym
y2
y1
Многомерная
АС
ОУ
ym
y1
xn
x1
um
fr
f1
u1
АУУУ
ym
uj
ui
xj
xi
y1
OУ2
OУ1
AУУ
-
Y
F
X
X(p)
(p)
Y(p)
W(p)
ОУ
X(p)
Y(р)
(pE-A)-1B