Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Министерство образования и науки российской федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»
Волгодонский инженерно-технический институт - филиал НИЯУ МИФИ
Методические указания
к выполнению индивидуальных заданий
по теме:
«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»
Векторы и линейные операции над ними
В геометрии вектором называют направленный отрезок с начальной А и конечной В точками, который можно перемещать параллельно самому себе. Таким образом, считается, что два направленных отрезка и , имеющие равные длины и одно и то же направление, определяют (изображают) один и тот же вектор , и пишут .
Длиной (или модулем) вектора называется число, равное длине отрезка АВ, изображающего вектор.
Векторы, параллельные одной прямой, называются коллинеарными и компланарными, если они параллельны одной плоскости.
Если вектор изображается направленным отрезком , то вектор, изображаемый направленным отрезком , называется вектором, противоположным вектору и обозначается -.
Для векторов вводятся операции сложения и вычитания. При этом заметим, что знаки «+» и «», которые ставятся между векторами, имеют другой смысл, чем в алгебре: они обозначают не алгебраическое, а геометрическое сложение векторов по правилу треугольника или параллелограмма.
Произведением вектора на число называется вектор , имеющий длину , направление которого совпадает с направлением вектора , если , и противоположно ему, если .
Сложение векторов и умножение их на число называются линейными операциями над векторами. Эти операции обладают свойствами по форме аналогичными свойствам сложения и умножения чисел.
Осью называется прямая l, положительное направление которой задается единичным вектором . Пусть - произвольный вектор, а А1, В1 ортогональные проекции точек А и В на ось l.
B
A
A1 l0 B1 l
Рис.1
Проекцией (или компонентой) вектора на ось l называется направленный отрезок на оси, началом которого служит проекция начала вектора , а концом - проекция конца этого вектора (рис.1). Очевидно, что компонента и вектор коллинеарны. Значит существует число (обозначим его ), такое, что . Число называется величиной проекции или координатой вектора на ось l и обозначается или . Координата численно равна модулю компоненты , взятой со знаком «+», если и со знаком «», если . Справедливо равенство . Часто именно это число называют проекцией вектора на ось l.
Пусть - векторы, а - действительные числа.
Вектор называется линейной комбинацией векторов .
Например, вектор является линейной комбинацией векторов .
Если вектор представлен как линейная комбинация некоторых векторов, то говорят, что он разложен по этим векторам. В нашем примере вектор разложен по векторам .
Система n векторов называется линейно независимой, если из этих векторов невозможно составить нулевую линейную комбинацию, в которой хотя бы один из коэффициентов был бы отличен от нуля. Иными словами, векторы называются линейно независимыми, если равенство возможно лишь тогда, когда все . В противном случае система векторов линейно зависимая.
Для линейной зависимости двух векторов необходима и достаточна их коллинеарность, для трех векторов – их компланарность.
Если мы имеем два неколлинеарных вектора и , то всякий третий компланарный им вектор может быть единственным способом разложен по векторам и, т.е. представлен как сумма двух векторов, соответственно им компланарных: .
Если мы имеем три некомпланарных вектора, и , то всякий четвертый вектор может быть однозначно разложен по векторам , и , т.е. представлен как сумма трех векторов соответственно им коллинеарных:.
Между четырьмя векторами существует линейная зависимость: , где не равны нулю одновременно.
Система n линейно независимых векторов в n -мерном пространстве называется базисом этого пространства.
На плоскости два неколлинеарных вектора , а в пространстве тройка некомпланарных векторов , взятых в определенном порядке, образуют базис.
Базис называется ортонормированным, если векторы взаимно перпендикулярные и единичные. Этот базис часто используется на практике и имеет специальное обозначение .
Говорят, что в пространстве задана прямоугольная (декартовая) система координат, если в этом пространстве указан ортонормированный базис и фиксированная точка О (начало координат), являющаяся общим началом базисных векторов. Векторы определяют положительное направление трех координатных осей: Оx (оси абсцисс), Oy (оси ординат) и Oz (оси аппликат), соответственно.
В пространственной прямоугольной системе координат вектор может быть представлен следующим образом: , где - координаты вектора относительно базиса , которые совпадают с проекциями вектора на соответствующие оси. Это векторное равенство часто записывают в символической форме: .
Если в прямоугольной системе координат точки А и В имеют координаты и , то координаты вектора находятся как разности
соответствующих координат конца В и начала А этого вектора, т.е.
,
а модуль его определяется как расстояние между двумя точками:
.
Если учесть при этом, что , то выражение для модуля вектора можно записать так: .
Пусть углы вектора с осями Ox, Oy, Oz соответственно равны .
Направляющие косинусы вектора определяются по формулам: ; ;.
Эти числа являются координатами орта , т.е. , и связаны равенством .
Итак, задав координаты вектора, всегда можно определить его модуль и направление, т.е. сам вектор.
Линейные операции над векторами, заданными своими координатами и , выполняются по следующим правилам:
1) при сложении двух векторов их одноименные координаты складываются:;
2) при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число: .
Два вектора равны, если равны их соответствующие координаты, т.е. .
Два вектора коллинеарные, если их координаты пропорциональны.
Итак, если , то или .
Умножение вектора на вектор бывает двух типов: скалярное и векторное. В результате скалярного умножения двух векторов получаем число (скаляр). В результате векторного произведения двух векторов получаем вектор. Скалярным произведением двух ненулевых векторов иназывается число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: , где .
Свойства скалярного произведения во многом сходны со свойствами произведения действительных чисел.
Векторным произведением двух векторов и называется вектор , который:
Отличительная особенность векторного произведения состоит в том, что для него переместительное свойство (коммутативность) не имеет места. От перестановки векторов – сомножителей векторное произведение изменяет знак на противоположный: .
Три вектора могут быть перемножены несколькими способами. Чаще всего рассматривают смешанное произведение двух векторов векторно и на третий скалярно.В результате получают число.
Смешанное произведение трех векторов , и , которое обозначается или , есть скаляр, абсолютная величина которого равна обьему параллелепипеда, построенного на векторах , и , как на ребрах.
Указанные произведения векторов и их свойства достаточно просто выражаются через их прямоугольные координаты, т.е. координаты векторов в базисе , по сравнению с аналогичными выражениями в произвольном базисе , которых мы не приводим.
Пусть заданы два вектора и .
Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов:
.
Угол между векторами вычисляется по формуле
,
или в координатной форме .
Проекция вектора на ось вектора находится из соотношения:
,
или в координатной форме .
Если учесть, что - орт вектора, то .
Условием перпендикулярности ненулевых векторов и является равенство нулю их скалярного произведения:
.
Векторное произведение ненулевых векторов выражается через координаты данных векторов и следующим образом:
.
Равенство нулю векторного произведения двух ненулевых векторов является условием их коллинеарности, т.е. .
Скаляр , представляющий смешанное произведение трех векторов, равняется определителю третьего порядка, составленному из координат этих трех векторов:
.
Равенство нулю смешанного произведения трех ненулевых векторов является условием их компланарности: .
Переход к новому базису
Координаты вектора зависят от выбора базиса. Выбор базиса ничем не ограничен, и принципиальное значение имеет задача о нахождении координат вектора в одном базисе по его координатам в другом базисе. Выясним, как устанавливается связь между координатами одного и того же вектора в различных базисах.
Пусть в пространстве имеются два базиса: старый и новый . Каждый из векторов (i =1,2,3) нового базиса можно выразить в виде линейной комбинации векторов старого базиса:
.
Матрица (i,k=1,2,3) называется матрицей перехода от старого базиса к новому. Базисные векторы (i =1,2,3) линейно независимы, поэтому матрица неособенная.
Обратный переход от нового базиса к старому базису осуществляется с помощью обратной матрицы .
Найдем зависимость между координатами некоторого вектора в разных базисах. Пусть этот вектор имеет координаты относительно старого базиса и координаты относительно нового базиса, т.е. и
Подставив значения из предыдущей системы в первое равенство
для вектора и учитывая второе равенство, получим систему уравнений:
Как нетрудно заметить, матрицей перехода от новых к старым координатам будет транспонированная матрица . В матричном виде взаимосвязь между старыми координатами и новыми выражается следующими равенствами:
и .
Пример. В базисе заданы векторы и вектор . Показать, что векторы (i =1,2,3) образуют базис в трехмерном пространстве и найти координаты вектора в этом базисе.
Решение. Векторы образуют базис, если они линейно независимы. Составим векторное равенство или
Задача сводится к решению системы:
Определитель системы не равен нулю. Следовательно, однородная система имеет только нулевое решение , значит векторы линейно независимы и образуют базис.
Связь между старым базисом и новым выражается системой уравнений:
Матрица перехода от старого базиса к новому имеет вид
Вычисляем . Она имеет вид
Находим транспонированную матрицу
Координаты в новом базисе находим из равенства
Новые координаты вектора в базисе есть (9/6, 5/6, 1/6) и вектор может быть представлен в виде:
Пример. В некотором базисе заданы три вектора , а также вектор . Показать, что векторы (i =1,2,3) образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.
Решение. Покажем, что векторы (i =1,2,3) – линейно независимы. Пусть линейная комбинация этих векторов обращается в нуль, т.е.
Это же равенство удобно записать в матричной форме:
Задача сводится к решению системы:
Убеждаемся в том, что определитель системы не равен нулю. Поэтому однородная система имеет только нулевое решение. Следовательно, , а векторы – линейно независимы и в трехмерном пространстве образуют базис. Пусть – координаты вектора в этом базисе. Это означает, что вектор представим в виде
.
Запишем это равенство в координатной форме:
От этого равенства переходим к решению системы уравнений:
Решением этой системы является тройка чисел . Они также являются координатами вектора в новом базисе . Вектор может быть представлен в виде:
или .
Пример: Даны четыре точки
.
Решение. Находим координаты векторов и через координаты начальной и конечной точек: .
Найдем их линейную комбинацию:
.
Вычислим модуль полученного вектора:
.
2) Найти и , где , .
Решение. Найдем координаты векторов и :
, .
Найдем модули полученных векторов и их скалярное произведение:
, ,
.
Определяем косинус угла между векторами:
Найдем проекцию вектора на вектор :
.
Решение. Определим координаты точкикак средней точки между и :; ; ; .
Вычислим длину медианы и стороны :
;
.
Решение. Площадь треугольника найдем, исходя из геометрического свойства векторного произведения: .
Найдем векторное произведение:
=.
Тогда
.
Определим высоту , исходя из формулы , откуда .
Решение. Объём пирамиды найдем, исходя из геометрического свойства
смешанного произведения:
Высоту пирамиды найдем из формулы
,
откуда
Аналитическая геометрия на основе метода координат изучает геометрические объекты средствами алгебры. При этом геометрическим объектам сопоставляются уравнения (системы уравнений) так, что геометрические отношения (свойства) фигур выражаются в свойствах их уравнений.
Уравнение называется уравнением поверхности (линии) в заданной системе координат, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на этой поверхности (линии), и не удовлетворяют координаты никакой другой точки, не лежащей на этой поверхности (линии).
Понятие уравнения геометрического объекта дает возможность решать геометрические задачи алгебраическими методами, не прибегая к геометрическим построениям. Например, задача нахождения точек пересечения двух линий, определяемых уравнениями и , сводится к алгебраической задаче решения системы этих уравнений.
Плоскость P в декартовой прямоугольной системе координат может быть задана одним из уравнений:
1) – общее уравнение плоскости;
2) – уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно нормальному
вектору ;
3) - уравнение плоскости в отрезках, где – величины направленных отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях соответственно;
4) Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки , не лежащие на одной прямой, можно записать в виде
или ;
5) – нормальное уравнение плоскости, где направляющие косинусы вектора , перпендикулярного плоскости; – расстояние от начала координат до плоскости.
Анализируя все перечисленные уравнения плоскости, приходим к выводу: всякое уравнение первой степени относительно координат точки пространства изображает плоскость, и, наоборот, всякая плоскость может быть представлена уравнением первой степени, содержащим три независимых параметра.
Если в указанном уравнении отсутствует свободный член , то плоскость проходит через начало координат. Если отсутствует член с одной из координат , то плоскость параллельна соответствующей оси координат; если одновременно отсутствуют свободный член и член с одной из координат, то плоскость проходит через соответствующую ось. Если отсутствуют члены с двумя координатами, то плоскость параллельна той координатной плоскости, которая содержит соответствующие оси. Если отсутствуют член уравнения с двумя координатами и свободный член, то плоскость совпадает с одной из координатных плоскостей.
Прямая L в пространстве может быть задана:
как линия пересечения двух непараллельных плоскостей;
,
как прямая, проходящая через точку параллельно
направляющему вектору ;
Взаимное расположение двух плоскостей, прямой и плоскости, двух прямых в пространстве
Пусть имеем две плоскости
с нормальными векторами и .
Определим угол между плоскостями и их взаимное расположение:
а) Величина угла между плоскостями P1 и Р2 вычисляется по формуле .
б) Плоскости P1 и Р2 параллельны (перпендикулярны), если их нормальные векторы коллинеарны (ортогональны): или ;
или .
Расстояние d от точки до плоскости вычисляется по формуле:
.
Пусть плоскость P задана уравнением , а прямая L уравнениями .
Определим угол между прямой и плоскостью, и их взаимное расположение:
а) Угол между прямой L и плоскостью P, как угол между этой прямой и ортоганальной проекцией ее на плоскость P, вычисляется по формуле .
б) Условие параллельности прямой и плоскости:
т.е.
в) Условие перпендикулярности прямой к плоскости: , т.е. .
Пусть две прямые L1 и L2 заданы уравнениями
, .
Установим их взаимное расположение:
а) Угол между прямыми L1 и L2 вычисляется по формуле
.
б) Условие перпендикулярности двух прямых: т.е. .
в) Условие параллельности двух прямых: , т.е. .
Пример. Написать уравнение плоскости P, проходящей через точку перпендикулярно вектору , если .
Решение: а) Пусть – текущая точка плоскости P. Вывести уравнение плоскости – это значит записать аналитически условие, при котором произвольная точка (текущая точка) будет принадлежать этой плоскости. Рассмотрим взаимное расположение произвольного вектора, принадлежащего плоскости и нормального вектора плоскости . Очевидно, что точка , когда указанные векторы ортогональны. Условием ортогональности этих векторов является равенство нулю их скалярного произведения, т.е. . Записав это равенство через координаты векторов, получим уравнение искомой плоскости или .
б) Эту же задачу можно решить используя какое-либо уравнение плоскости. При этом решение задачи будет настолько рациональным, насколько удачно выбрано уравнение. Если его взять в виде как уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору , то, если подставить вместо координаты точки , а в качестве нормального вектора взять вектор , то получим то же уравнение плоскости.
Пример. Написать уравнение плоскости P, проходящей через две точки и параллельно вектору .
Решение. а)Пусть - текущая точка плоскости. Чтобы записать условие ее принадлежности плоскости P, векторизуем задачу. Запишем координаты векторов и . Точка будет принадлежать плоскости, если векторы , и компланарны, т.е. когда . Выразим это условие через координаты векторов: . Раскрыв определитель, получим уравнение плоскости вида .
б) Решение задачи будет более простым, если воспользоваться общим уравнением плоскости . В этом уравнении четыре коэффициента подлежат определению. Первые три из них являются координатами нормального вектора, в качестве которого можно взять вектор
.
Уравнение плоскости примет вид . Коэффициент D определяем из условия того, что указанная плоскость проходит через точку . Подставив значения ее координат в уравнение плоскости, получим равенство , откуда . Окончательно получим то же уравнение плоскости.
Пример. Найти угол между плоскостью P1, проходящей через три точки , , и плоскостью P2, заданной уравнением .
Решение. Угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами. Поэтому
.
Найдем нормальный вектор плоскости P1 через векторы ,. Очевидно, в качестве этого вектора можно взять вектор
или ему коллинеарный вектор . Нормальным вектором плоскости P2 является вектор . Угол между плоскостями определим из равенства
,
откуда
Пример. Прямая L задана общими уравнениями: Написать для этой прямой канонические, параметрические уравнения и уравнения в проекциях. Найти следы этой прямой на координатных плоскостях.
Решение. Выберем одну из точек, через которую пройдет указанная прямая, заданная пересечением плоскостей. Исходная система имеет бесчисленное множество решений, одно из которых получим придавая одной из переменных конкретное значение. Пусть , тогда значения других неизвестных находим из системы
Решением этой системы является пара чисел .
В результате получим точку , через которую проходит искомая прямая. В качастве направляющего вектора прямой можно взять вектор , где , - нормальные векторы плоскостей, линией пересечения которых является прямая. Таким образом,
.
Запишем канонические уравнения прямой: .
Обозначив равные отношения буквой t, получим параметрические уравнения прямой:
Полученная ранее пропорция эквивалентна системе трех уравнений: или
описывающих три плоскости, проектирующие прямую на координатные плоскости Oxy, Oxz и Oyz соответственно.
Чтобы найти следы прямой на координатных плоскостях, полагаем в общих уравнениях прямой последовательно ,, . Получим
системы уравнений:
Решив их, найдем следы прямой на координатных плоскостях: , .
Замечание. Канонические уравнения прямой легко получить, записав уравнение прямой, проходящей через любые две точки, лежащие на этой прямой. Чтобы выбрать одну из них мы предположим, что , и получим точку . Затем положим и придем к системе
решив которую, определим координаты другой точки .
Уравнение прямой запишем в виде
или .
Пример. Показать, что прямые
L1 : и L2:
параллельны и найти расстояние .
Решение. Направляющим вектором прямой L2 будет вектор . Он ортогонален как вектору , так и вектору , которые являются нормальными векторами соответствующих плоскостей. Действительно, легко убедиться, что скалярные произведения и . Запишем уравнение плоскости, проходящей через точку , принадлежащую прямой L2, перпендикулярно этой прямой.
Ее уравнение или .
Находим точку M1 пересечения этой плоскости с прямой, заданной общими уравнениями, т.е. решим систему уравнений:
Решение ее будет тройка чисел , являющаяся координатами точки . Определим расстояние между точками : .
Прямая на плоскости Oxy может рассматриваться как линия пересечения двух плоскостей и , т.е.
или
Эта система определяет линию (прямую) пересечения плоскости Oxy плоскостью , параллельной оси Oz.
Вектор нормали плоскости одновременно является вектором нормали прямой, заданной последней системой уравнений.
Если заведомо известно, что прямая рассматривается на плоскости Oxy, то второе уравнение системы опускается. Тогда прямая в R2 задается одним уравнением вида , которое называется общим уравнением прямой на плоскости, а ее нормальный вектор записывается в виде двумерного вектора .
Из этих рассуждений следует, что в различных по размерности пространствах одно и то же уравнение может описывать различные геометрические объекты. В рассмотренном случае линейное уравнение в пространстве R3 определяет плоскость, параллельную оси Oz, а в пространстве R2 на координатной плоскости Oxy оно определяет прямую – след плоскости на плоскости .
На основании сказанного легко получить всевозможные уравнения прямой на плоскости, исходя из аналогичных уравнений в пространстве:
где - угловой коэффициент прямой, - ее начальная ордината;
;
Если прямые и заданы общими уравнениями и , то угол между ними находится из формулы
.
Условие перпендикулярности этих прямых имеет вид ,
а условие их параллельности .
Если прямые заданы уравнениями и , то угол между ними находится по формуле .
Условие перпендикулярности этих прямых имеет вид , а условие иx параллельности .
Расстояние от точки до прямой, заданной в общем виде, вычисляется по формуле .
Пример. Даны вершины треугольника ABC: A(-4;2), B(8;-6), C(2;6).
Найти:
Решение. 1) Используем уравнение прямой, проходящей через две точки A и B. Получим уравнение стороны AB: , откуда или .
2) Высота опускается из точки C на сторону AB, угловой коэффициент которой . Если обозначим угловой коэффициент стороны CH через , то согласно условию перпендикулярности . Воспользуемся уравнением пучка прямых, проходящих через точку C: . Из этого пучка выберем прямую, перпендикулярную AB, придав значение . Получим или .
3) Предварительно найдем координаты середины М отрезка ВС: , . По известным двум точкам составляем уравнение прямой АМ:
или .
4) Точку пересечения N медианы АМ и высоты CH находим из совместного решения им соответствующих уравнений:
Решив эту систему, получим .
5) Воспользуемся уравнением пучка прямых, проходящих через точку С: . Выберем из него прямую, параллельную прямой AB, придав значение . Получим уравнение искомой прямой в виде
или .
6)Расстояние от точки С до прямой AB вычисляем по формуле
.
Замечание. Предложенное решение задачи можно считать наиболее оптимальным, так как удачный выбор всевозможных уравнений позволил до минимума сократить количество операций. На практике чаще всего требуется просто решить задачу на основании каких-то данных. Тогда при решении задачи можно использовать только те уравнения, которые Вам известны. Например, воспользуемся уравнением прямой с угловым коэффициентом и проследим за тем, как изменяются рассуждения при решении отдельных пунктов задачи.
1) Найдем уравнение стороны AB, учитывая то, что прямая проходит через две точки. Последнее означает, что координаты точек A и B должны удовлетворять уравнению . Подставив координаты этих точек в уравнение, получим систему для определения коэффициентов и : Решив ее, получим , .
Подставим значения коэффициентов в уравнение и получим
или .
2) Уравнение высоты CH также ищем в виде . По условию прямая CH проходит через точку C. Значит справедливо равенство . Далее учтем, что эта же прямая перпендикулярна AB. Это означает, что .
Решим систему Откуда имеем , .
Уравнение высоты CH запишется в виде или .
3) Согласно тому, что прямая АМ проходит через две точки, записываем систему равенств:
Решив систему, получим , .
Тогда уравнение АМ будет или .
4) Запишем уравнение прямой, проходящей через точку C, параллельно стороне AB, основываясь снова на уравнении . Так как прямая проходит через точку C, то справедливо равенство . Согласно условию параллельности имеем . Решаем систему уравнений Имеем , . Тогда уравнение искомой прямой будет или .
5) Найдем предварительно точку K пересечения прямых CH и AB из решения системы уравнений
Имеем . Далее находим расстояние от точки C до прямой AB как расстояние между точками C и K:
.
Линии второго порядка
Линией (кривой) второго порядка называется множество точек плоскости, декартовы координаты x и y которых удовлетворяют алгебраическому уравнению второй степени.
Окружностью называется множество точек на плоскости, равноудаленных от одной и той же точки, называемой ее центром. Окружность радиусом R с центром в начале координат задается уравнением
.
Если центр сместить в точку , то уравнение примет вид
.
Эллипс с полуосями a и b симметричный относительно осей координат определяется простейшим (каноническим) уравнением
.
Точки и , расположенные на оси Ox и отстоящие на расстоянии от начала координат, называются фокусами эллипса. В частном случае, если a=b, то фокусы и совпадают с центром, а каноническое уравнение описывает окружность радиуса a с центром в начале координат.
Число называется эксцентриситетом эллипса и является мерой его сплюснутости (при эллипс вырождается в окружность). Прямые называются директрисами эллипса.
Для любой точки M эллипса сумма расстояний этой точки до фокусов есть величина постоянная, равная 2a: . Это характеристическое свойство эллипса часто принимается за определение эллипса.
Гипербола с действительной полуосью a, мнимой полуосью b, с центром в начале координат имеет следующее каноническое уравнение:
.
Фокусы гиперболы – точки и , где , а ее эксцентриситет принимает любые значения, больше 1.
Прямые – асимптоты гиперболы, а прямые - ее директрисы. Для любой точки M гиперболы абсолютная величина разности ее расстояний до фокусов есть величина постоянная, равная 2a: . Это характеристическое свойство гиперболы часто принимается за определение гиперболы.
Парабола с вершиной в начале координат, симметричная относительно оси Ox, имеет следующее каноническое уравнение:, где - параметр параболы. При ветви параболы направлены вправо, при – влево. Точка - фокус, а прямая – директриса параболы. Парабола представляет собой множество всех точек плоскости, равноотстающих от данной точки (фокуса) и от данной прямой (директрисы). Это характеристическое свойство параболы часто принимается за определение параболы.
Уравнения вида , определяют соответственно эллипс, гиперболу и параболу, которые параллельно смещены относительно системы координат Oxy таким образом, что центр эллипса, гиперболы и вершина параболы находятся в точке .
Кривые эллипс, гипербола и парабола обладают общим свойством: отношение расстояния от любой точки M кривой до фокуса к расстоянию от этой точки до прямой (называемой директрисой) есть величина постоянная (называемая эксцентриситетом). Это свойство можно принять за определение кривых второго порядка. При этом для эллипса , для параболы , для гиперболы .
Пример. Написать уравнение кривой, модуль разности расстояний от каждой точки которой до точек и равен 4.
Решение. Пусть произвольная (текущая) точка искомой кривой. Запишем аналитически (в виде формулы) то свойство, которому должны удовлетворять координаты любой точки кривой. Найдем расстояние от точки до заданных точек и : ; . Согласно условию задачи или
.
Упростим это равенство, выполняя следующие операции: ; ; ; ; .
Окончательно получим уравнение кривой , известное из школьного курса как уравнение гиперболы, для которой оси координат являются асимптотами.
Пример. Даны точка и прямая . В декартовых координатах составить уравнение линии, каждая точка которой:
а) в раза ближе к точке , чем к данной прямой;
б) в раза дальше от точки , чем от данной прямой;
в) равноудалена от точки и прямой .
Решение: а) Пусть точка – основание перпендикуляра, опущенного из точки на прямую . Ее координаты . Тогда согласно условия через координаты точек это равенство запишется в виде
.
Произведем упрощение полученного равенства:
;
; ;
;
;
.
Следовательно, искомая линия - эллипс. Точка совпадает с его правым фокусом, а прямая – правая директриса.
б) Согласно условию задачи . Следовательно, ;
;
;
;
,
т.е. данная линия – гипербола, для которой точка является левым фокусом, а прямая - левой директрисой.
в) По условию . Следовательно,
;
,
.
Получили уравнение параболы с фокусом в точке и директрисой .
Пример. Составить канонические уравнения:
а) эллипса, расстояние между фокусами которого , а точка лежит на кривой;
б) гиперболы с действительной полуосью равной 8 и эксцентриситетом ;
в) параболы, имеющей директрису .
Решение. а) Каноническое уравнение эллипса имеет вид . По условию задачи . Для эллипса выполняется равенство , откуда . Точка лежит на кривой, поэтому должно выполняться равенство .
Значения полуосей эллипса находим из системы уравнений Эта система преобразуется к виду
Из первого уравнения имеем . Исключим из второго уравнения: , , . Тогда . Окончательно имеем .
б) Каноническое уравнение гиперболы имеет вид . По условию действительная полуось . Для гиперболы справедливо равенство , или . В свою очередь . Если учесть, что , то .
На основании предыдущего равенства получим . Искомое каноническое уравнение гиперболы имеет вид .
в) В рассматриваемом случае каноническое уравнение параболы должно иметь вид , а уравнение ее директрисы . Согласно условию уравнение директрисы , поэтому , откуда . Искомое каноническое уравнение параболы запишется в виде .