Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Введение
1.Постановка задачи
В данной курсовой работе необходимо решить дифференциальное уравнение
с заданными начальными значениями x0=1, xk=2, y0=1, h=0.1. Для проверки точности результатов дано общее решение данного уравнения
.Данное уравнение необходимо решить методом Эйлера и Эйлера модифицированного, а также сравнить результаты и сделать вывод об эффективности методов, построить их графики.
Численное решение задачи Коши сводится к табулированию искомой функции.
График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.
Геометрический смысл задачи:
y’=f(x,y) – тангенс угла наклона касательной к графику решения в точке (x,y) к оси OX,- угловой коэффициент (рис. 1).
y
α
0 х
Рис. 1
Существование решения:
Если правая часть f(x;y) непрерывна в некоторой области R, определяемой неравенствами x-x0<a и y-y0<b , то существует, по меньшей мере, одно решение y=y(x), определенное в окрестности x-x0<h , где h- положительное число.
Это решение единственно, если в R выполнено условие Липшица
, где N - некоторая постоянная (константа Липшица), зависящая, в общем случае, от а и b. Если f(x;y) имеет ограниченную производную f’y=(x;y) в R, то можно положить N=max при (x;y)R
2.Метод Эйлера
Данный метод одношаговый. Табулирование функции происходит поочередно в каждой точке. Для расчета значения функции в очередном узле необходимо использовать значение функции в одном предыдущем узле.
Пусть дано дифференциальное уравнение 1-го порядка
y’=f(x;y)
с начальным условием
y(x0)=y0
Выберем шаг h и введем обозначения:
xi=x0+i*h и, где i = 0, 1, 2, …,
xi-узлы сетки,
yi- значение интегральной функции в узлах
Проведем прямую АВ через точку (x0;y0)
x1=x0+h
Рассмотрим треугольник АВС, он прямоугольный, в этом треугольнике известен tan α,и
, выражаем , , с другой стороны , левые части выражений равны, значит равны и правые, т.е.. Выразим или , найдем точку В(x1; y1),
x1=1+0.1=1.2
y1=1+0,1*3,72=2,372.
Обобщим формулу для решения дифференциальных уравнений методом Эйлера:
у
х
у
3.Эйлер модифицированный
Для уменьшения погрешности вычислений часто используется модифицированный метод Эйлера. Этот метод имеет так же следующие названия: метод Эйлера-Коши или метод Рунге-Кутта второго порядка точности.
Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка
y’=f(x;y)
с начальным условием
y(x0)=y0
Выберем шаг h и введём обозначения:
xi=x0+i*h и, где i = 0, 1, 2, …,
xi -узлы сетки,
yi- значение интегральной функции в узлах
При использовании модифицированного метода Эйлера шаг h делится на два отрезка.
Проведем решение в несколько этапов.
1. Обозначим точки: А(), B() и C(x 1;y 1).
2. Через точку А, с координатами (1;1) проведем прямую под углом , где
3. На этой прямой найдем точку B (), получим B(1,05;1,186)
4. Через точку B проведем прямую под углом, где
5. Через точку А проведем прямую, параллельную последней прямой.
6. Найдем точку C(x1;y1).Координаты точки С: х1=х0+h, x1=1.1; y1=yB+ *f(xB;yB), y1=1,3785.
7.После проведения вычислений, аналогичных вычислениям, описанным в методе Эйлера, получим формулу для определения значения xi, yi:
Модифицированный метод Эйлера дает меньшую погрешность. На рисунке это хорошо видно. Так величина характеризует погрешность метода Эйлера, а– погрешность метода Эйлера Модифицированного.
4.Блок-схемы основных процедур
End
Yi=Yi-1+h*F(xi-1; yi-1)
xi=x0+i*h
i=0,…,N-1
h=(xk-x0)/n
Eiler (x0, xk, y0, N, Y)
Eiler M (x0, xk, y0, N, Y)
Yi=Yi-1+h*F(xi+h/2; yi-1+h/2*F(xi-1; yi-1))
End
X=x0+i*h
h=(xk-x0)/n
i=0,…,N-1
chastnoe
C=ex+1-y*x
5.Листинг программы на языке Visual Basic
6.Формы программы в Visual Basic
7.Проверка в MathCad
Заключение